1

Elementarzelle

Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)

2

Gitterparameter

Kantenlängen a, b, c

Winkel

a

b

c

AACC

BB

3

Kristallsysteme

Triklin: a≠b≠c, ≠≠

Monoklin: a≠b≠c, ==90°≠

(Ortho)rhombisch: a≠b≠c, ===90°

Tetragonal: a=b≠c, ===90°

Hexagonal: a=b≠c, ==90°, =120°

Rhomboedrisch (trigonal): a=b=c, ==≠90°

Kubisch: a=b=c, ===90°

7 (6) Kristallsysteme

rhomboedrische Elementarzelle kann man auch in hexagonalen Achsen beschreiben

4

Anzahl der Atome (Moleküle) in einer Elementarzelle

1/81/41/21

iiu Za

V

m

MN

N … Anzahl der Atome (Moleküle) in der Elementarzelle

M … Masse aller Atome in der Elementarzelle

m … Masse eines Moleküls … Dichte des MaterialsV … Volumen der Elementarzelleau … atomare Masseneinheit (1,66.10-27 kg)

Zi … Atommasse in AME (au)

5

6

Anzahl der Atome in einer Elementarzelle – Beispiele

iiu Za

V

m

MN

Diamant (C)

Kubischa = 3,57 Å

= 3,51 g/cm³

V = a³ V = 45,5.10-24 cm³

Zi = 12

N = 8

Graphit (C)

Hexagonala = 2,46 Åc = 6,70 Å

= 2,25 g/cm³

V = a²c sin120° V = 35,1.10-24 cm³

Zi = 12

N = 4

Fulleren (C60)

Kubischa = 14,17 Å

= 1,68 g/cm³

V = a³ V = 2845,2.10-24 cm³

Zi = 12N = 240

Zi = 720N = 4

7

Kristallformen von Kohlenstoff

o

a

b

c

oa

b

c

Diamant

Graphit

Fulleren

8

Anzahl der Moleküle in einer Elementarzelle

iiu Za

V

m

MN

Steinsalz (NaCl)

Kubischa = 5,62 Å

= 2,15 g/cm³

V = a³ V = 177,5.10-24 cm³

Zi = 23,0+35,5 = 58,5

N = 4o

a

b

c

9

Grundsymmetrieoperationen

Drehachse

t tmt

nt

1,12

cos

cos2

mn

nttmt

cos axis -1 180 2 -0.5 120 3 0 90 4 0.5 60 6 1 360 1

10

Das Penrose ParkettEine ausgesprochen

unerwartete Entdeckung begeisterte 1984 alle

Festkörperphysiker und Kristallographen: Proben einer

sehr schnell abgekühlten Aluminium-Mangan Legierung (Al_6 Mn) kristallisierten als kleine Ikosaeder und - noch

schlimmer - zeigten ein Röntgenbeugungsbild mit

fünfzähliger Symmetrie und ausgeprägten Maxima. Das

bedeutete, dass die Atome in dieser Legierung irgendwie mit

fünfzähliger (Rotations-) Symmetrie angeordnet sein

mussten.

Die genaue Anordnung der Atome ist auch heute noch

nicht bekannt, aber es gibt ein sehr gutes Modell. In zwei

Dimensionen ist das Modell verblüffend einfach und auch ästhetisch sehr ansprechend -

das Penrose Parkett. A: 36° und 144°B: 72° und 108°

11

Das Penrose Parkett – eine andere Variante

12

Grundsymmetrieoperationen

Inversionszentrum

Spiegelebene

Verschiebung

13

Transformationen in der Kristallographie

x M x M y M z

y M x M y M z

z M x M y M z

x

y

z

M

x

y

z

11 12 13

21 22 23

31 32 33

14

Identität (1)

x

y

[x,y,z]

x x

y y

z z

EM 100

010

001

Drehachse „1“

15

_Inversionszentrum (1)

x

y

[x,y,z]

x x

y y

z z[x’,y’,z’]M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

EM

100

010

001

100

010

001

100

010

0012

16

Spiegelebene (m)

x

y

[x,y,z][x1’,y1’,z1’]M

1 0 0

0 1 0

0 0 1

M E2

[x2’,y2’,z2’]

x x

y y

z z

1

1

1

zz

yy

xx

2

2

2

M 1 0 0

0 1 0

0 0 1

zz

yy

xx

3

3

3

100

010

001

M

17

Drehachse

x

[x,y,z]

[x’,y’,z’]

y

1

x r

y r

x r

y r

cos

sin

cos

sin

1

1

1

1

x r r

y r r

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

1 1 1

1 1 1

x x y

y x y

cos sin

sin cos

M cos sin

sin cos

0

0

0 0 1

M E nn ;

2

18

Drehachse

Zähligkeit der Achse =360°n

2 180°

3 120°

4 90°

6 60°

100

0cossin

0sincos

M

100

010

001

2M

100

0

0

21

23

23

21

3M

100

001

010

4M

100

0

0

21

23

23

21

6M

Für die Drehachse entlang c

19

Kopplung der Symmetrieoperationen

Drehachsen1, 2, 3, 4, 6

+ Spiegelebene senkrecht zu den Drehachsen

+ Inversion (Drehinversionsachsen)-1, -2, -3, -4, -6

20

Kopplung der Symmetrieoperationen

-1, -3 und -4 sind die einmaligen

Symmetrieoperationen

-2 und -6 sind es nicht, weil:-2 = m

-6 = 3/m

21

Kombination der Symmetrieoperationen

Drehachsen mit senkrechter Spiegelebene

22

Kombination / Kopplung der Symmetrieoperationen

Oktaeder Tetraeder

23

Kombinationen der Symmetrieoperationen

Drehachsen mit parallelen Spiegelebene(n)

24

Kombinationen der Symmetrieoperationen

Kombination von Drehachsen

25

Kombinationen der Symmetrieoperationen

Kombination von Drehachsen und Spiegelebenen

26

Kombinationen der Symmetrieoperationen

Kombination der Drehspiegelachsen mit Drehachsen und Spiegelebenen

27

Drehinversionsachsen _ _ _ _ __ _ _ _ _ ( 1, 2, 3, 4, 6)( 1, 2, 3, 4, 6)

|1 0 0|1 = |0 1 0| |0 0 1|

_ |-1 0 0|1 = | 0 -1 0| | 0 0 -1|

_ |-1 0 0|1.1 = | 0 -1 0| | 0 0 -1|

|-1 0 0|2 = | 0 -1 0| | 0 0 1|

_ |1 0 0|2.1 = |0 1 0| = m(x,y) |0 0 -1|

|-1/2 -3/2 0|3 = |3/2 -1/2 0| | 0 0 1|

_ | 1/2 3/2 0|3.1 = |-3/2 1/2 0| | 0 0 -1|

|0 -1 0|4 = |1 0 0| |0 0 1|

_ | 0 1 0|4.1 = |-1 0 0| | 0 0 -1|

| 1/2 -3/2 0|6 = |3/2 1/2 0| | 0 0 1|

_ | -1/2 3/2 0|6.1 = | -3/2 -1/2 0| | 0 0 -1|

28

Kombinationen der SymmetrieoperationenErgeben 32 Kristallklassen (Punktgruppen)

System

Triklin C1, Ci

Monoklin Cs, C2, C2h

Rhombisch C2v, V, Vh

Tetragonal C4, C4h, C4v, D4, D4h, S4, Vd

Hexagonal C6, C6h, C6v, D6, D6h

Trigonal C3, C3i, C3v, D3, D3d, C3h, D3h

Kubisch T, Th, Td, O, Oh

mmm

m

mmmmm

mmm

m

mmmmmm

m

mmmmmm

m

23

4,34,3

2,432,23

226,

6,26

,6,622,6,6,2

3,3,32,3,3

224,24,4,422,

4,4,4

,2,222

2,,2

1,1

29

Die Mindestsymmetrie in Kristallsystemen

System

TriklinMonoklinRhombischTetragonalHexagonalTrigonal

Kubisch mmm

m

mmmmmmm

mm

mmmmmm

m

mmmmmm

m

23

4,34,3

2,432,23

226,

6,26,6,622,6,6,

23,3,32,3,3

224,24,4,422,

4,4,4

,2,222

2,,2

1,1 3oder34

3oder31

6oder61

4oder41

2oder23

2oder21

1oder1

30

Symmetrieelemente in einem Würfel

11

9

26

34

43

m

31

Die 32 Punktgruppen

32

Die 32 Punktgruppen

33

Gittertranslation

Zentrierte (Bravais) Gitter:– P [primitiv]: (x,y,z)

– I [innenzentriert (raumzentriert)]: (x,y,z) + (1/2,1/2,1/2)

– F [flächenzentriert]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2)

– C [zentrierte C Fläche]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0)

– R [rhomboedrisch]: (x,y,z) + (1/3,1/3,1/3), (2/3,2/3,2/3) Gleitspiegelebenen

– Spiegelung + Verschiebung entlang der a, b oder c Achse (a/2, …)

– Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale (n = a/2+b/2, …)

– Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale [Diamantverschiebung] (d = a/4+b/4, …)

Schraubenachsen :– 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65 – Drehachse + Verschiebung entlang

der Schraubenachse

34

Gittertranslation

Gitter(sub)translation

x M x M y M z t x

y M x M y M z t y

z M x M y M z t z

x

y

z

M

x

y

z

t x

t y

t z

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( )

( )

( )

( )

( )

( )

x

y

z

M M M t x

M M M t y

M M M t z

x

y

z

1 0 0 0 1 1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( )

( )

( )

Erweiterte Notation für die Matrix der

Symmetrieoperationen

35

Bravais Gitter (Translationsgitter)

Triklin: P

Monoklin: P, I

Orthorhombisch:P, I, F, C

36

Bravais Gitter (Translationsgitter)

Tetragonal: P, I

Hexagonal: P, R

Kubisch: P, I, F

37

Kubisches Gitter

o

a

b

c

o

a

b

c

oa

b

c

Primitiv Raumzentriert Flächenzentriert

Gefülltes Volumen: x = V (Atome) / V (Elementarzelle)

%526

8

2

334

3

EZ

Atome

Atome

EZ

V

Vx

rV

rV

ra

%688

3

2

3,123

4

3

4

334

3

3

EZ

Atome

Atome

EZ

V

Vx

rV

rr

V

ra

%746

2

4

6,222

4

2

4

334

3

3

EZ

Atome

Atome

EZ

V

Vx

rV

rr

V

ra

38

Gleitspiegelebenen

a

b

c

Verschiebung entlang b

T = b/2

Gleitspiegelebene (Verschiebung entlang b) +

Spiegelebene

39

Gleitspiegelebenen

Mögliche Gleitspiegelebenen

Typ der Verschiebung Symbol Translationsvektor

entlang der a Achse a a/2

entlang der b Achse b b/2

entlang der c Achse c c/2

entlang der Diagonale n a/2+b/2, b/2+c/2, c/2+a/2

Diamantverschiebung d a/4+b/4,b/4+c/4,c/4+a/4

40

SchraubenachseKombination der Drehachse und der Gittertranslation

entlang der jeweiligen Achse

Bezeichnung: MN; M ist das Symbol für die Drehachse, N ist die Verschiebung in den 1/M-

Einheiten des Gitterparameters

c/2

c/2

c

n

mtT

41

Schraubenachsen

2, 21

3, 31, 32

4, 41, 42, 43

6, 61, 62, 63, 64, 65

42

Symbole der Symmetrieelemente

43

Kombination der Symmetrieoperationen

Kombination vonDrehachsen + Inversion + Spiegelebenen

ergibt32 Punktgruppen (Kristallklassen)

Kombination vonDrehachsen + Inversion + Spiegelebenen + Zentrierung +

Gleitspiegelebenen + Schraubenachsenergibt

230 Raumgruppen

Zu finden in: International Tables for X-ray Crystallography, Vol. A