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Grundlagen der Messtechnik

Theorie 2. Teil

Studiengang Elektrotechnik, 1. SemesterHerbst 2011

Martin Schlup & Franz Baumgartner

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Was wird von einem Messergebnis erwartet?

• (gegebenenfalls gemittelter) Messwert (korrigiert um die systematischen Fehler): 9.20 V

• Messunsicherheit: ± 0.03 V

• Vertrauensbereich: Der gesuchte Wert befindet sich mit 95%-iger Wahrschein-lichkeit im Bereich 9.20 V ± 0.03 V

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Systematische Abweichungen

Jede Messung ist mit systematischen und zufälligen Abweichungen verbunden.

Systematische Abweichungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie identifiziert und bestimmt werden können, bzw. hinsichtlich Betrag und Vorzeichen bekannt sind. Die Messergebnisse können also um die bekannten systematischen Abweichungen korrigiert werden.

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Zufällige Abweichungen

Zufällige Abweichungen können weder betrags- noch vorzeichenmässig bestimmt werden. Allein deren statistischen Eigenschaften wie z.B. ihre Standardabweichung können bestimmt werden.

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Grundsätzliche Ursachen für die Mess-unsicherheit

• Unsicherheiten vom Typ A: Der Messwert schwankt, da externe Störungen den Wert einmal erhöhen im nächsten Moment wieder verringern. Die Ablesewerte schwanken um einen mittleren Wert.

• Unsicherheiten vom Typ B: Das eingesetzte Messgerät stimmt nicht exakt. Auch wenn der Messwert nicht schwankt, kann eine Abweichung zu einem noch genaueren Messgerät auftreten.

Es wird dabei angenommen, dass die beiden Fehlerquellen voneinander unabhängig sind.

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Histogramm (Häufigkeitsverteilung) der Ergebnisse wiederholter Messungen

Abszisse (x-Achse):Messwerte

Ordinate (y-Achse): dieauf die Anzahl Messungennormierte Häufigkeiten

m Mittelwerts Standardabweichung m-s m m+s

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Statistisches Modell der Ursachen der Messunsicherheit vom Typ A

• Gauss- oder Normal-Verteilung

Dichtefunktion

(Häufigkeitsdichte)

Verteilungsfunktion

(Summenhäufigkeit)

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Eigenschaften der Gauss-Verteilung

• Parameter: Mittelwert = µ, Streuung =

• Normierung:

• Wahrscheinlichkeit

a b P{a≤x<b}

µ– µ+ 68.27%

µ–2 µ+2 95.45%

µ–3 µ+3 99.73%

µ–4 µ+4 99.9937%

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Eigenschaften der Gauss-Verteilung

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Statistik der Mittelwertschätzung

• Mittelwert

(Schätzung für Erwartungswert)

Stichprobenumfang: N

• Empirische Standardabweichung

(Schätzung für Streuung)

• Schätzung für Streuung des Mittelwerts

t-Faktor: Student-Verteilung

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Schwankungsbreite des Mittelwertes

Häufigkeitsverteilung der Stichprobem: Mittelwerts: empirische Standardabweichung

Häufigkeitsverteilungder 50 Mittelwerte

m+s-s

Häufiger messen reduziert die Schwankung des Mittelwertes!

Stichprobenumfang:50 x 20 Messungen

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Typ B Unsicherheit: Herstellerangaben

0.05%v.M. + 3 Digits (3 x Auflösung)

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Zusammensetzung der Standardunsicherheit Typ B bei einem DMM

Die Standardunsicherheit Typ B besteht auszwei Unsicherheitstermen (Bsp. METRA HIT 23 S):

• Empfindlichkeit

• Nullpunktabgleich

Zusammen

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Standardabweichung einer gleichverteilten Zufallsvariablen

Standardabweichung (Streuung) (grauer Bereich: ±)

Bsp: Standardunsicherheit Typ B:

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Kombinierte Standardunsicherheit Typ C

• Da beide Standardunsicherheiten (Typen A und B) gleichzeitig aber unabhängig voneinander „wirken“, ist die resultierende Unsicherheit entsprechend der folgenden Formel grösser:

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Vertrauensbereich

• Die bis jetzt betrachteten Standardunsicherheiten beziehen sich auf einen geschätzten Vertrauensbereich von ca. 68%, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Bereich m ± uC liegt, beträgt 0,68.

• Soll für die Wahrscheinlichkeit ein andrer Wert gelten, so muss die erweiterte Unsicherheit U mit einem Faktor k bestimmt werden:

m ± U = m ± k uC

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Wahl von k für die erweiterte Unsicherheit

Grad des

Vertrauenserweiterte

Unsicherheit U Anwendungsgebiet

68.27% 1·uC• Physik und Vermessungswesen

• physikalische Naturkonstanten

95.00%(95.45%)

1.96·uC

(2·uC )

• industrielle Messtechnik

• Basis aller ASTM Standards

99.73% 3·uC• Biologie

99.993% 4·uCSicherheitsrelevante Anwendungen, z. B.:

• Bremse in Kraftfahrzeug

• Luft- und Raumfahrttechnik

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Überblick: Unsicherheiten nach GUM

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Vorgehen nach GUM

1. Systematische Abweichungen

2. Bester Schätzwert des Messergebnisses

3. Standardunsicherheit Typ A

4. Standardunsicherheit Typ B

5. Kombinierte Standardunsicherheit Typ C

6. Erweitere Unsicherheit basierend auf gewünschtem Vertrauensniveau

7. Vollständiges Messergebnis angeben

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Vorgehen nach GUM: Tabelle

K1.1-S7

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Optimale Messunsicherheit uA, uB

• Wie könnte bei gleichen Messgeräten die Unsicherheit von Einführungsbeispiel 1 optimiert werden. Wo liegt die Grenze?

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Temperatursensor

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