1998 Programmierkurs PROLOG Sommersemester...Programmierkurs PROLOG Sommersemester 1998 1.5...

Programmierkurs PROLOG Sommersemester

Programmierkurs PROLOG

Sommersemester

Thorsten Joachims (LS VIII)

Stephan Lehmke (LS I)

1.1 Kursverlauf

1. Woche 14. 09. 98 – 18. 09. 98 Stephan Lehmke

2. Woche 21. 09. 98 – 25. 09. 98 Thorsten Joachims

8.15–11.45h Vorlesung HG I / HS 2

14.15–15.45h Globalubung HG I / HS 2

3. Woche: 28. 09. 98 – 02. 10. 98

8.15– 9.45h Vorlesung GB IV / HS 112

14.15–15.45h Individualubung

1 Einfuhrung 1-1

Pausen festlegen:

• 2×90min VL + 30min Pause, Ende 11.45h

• 4×45min VL mit je 15min Pause, Ende 12.00h

• 180min VL am Stuck, Ende 11.15h

Erste Woche:

Mo Einfuhrung, Logische Grundlagen, Erste Schritte

Di Syntax, Ausfuhrungsmodell, Arithmetik, Rekursion

Mi Strukturen, Baume, Listen, Backtracking, der Cut,

Do Ein- und Ausgabe, Systempradikate, Modulsystem

Fr Datenstrukturen und Algorithmen

1 Einfuhrung 1-2

Zweite Woche:

Mo Graphen, Suche, Werkzeuge (Debugger)

Di Constraint Logic Programming

Mi Metapradikate, Metaprogrammierung, Metainterpreter

Do Expertensysteme, Planen, Lernsysteme

Fr Definite Clause Grammars

1 Einfuhrung 1-3

Dritte Woche:

Mo Programmierpraxis, fortgeschrittene Programmiertechnik

Di Programmierpraxis, fortgeschrittene Programmiertechnik

Mi Programmierpraxis, PROLOG & Softwaretechnik

Do Programmierpraxis, Einfuhrung in MERCURY

Fr Programmierpraxis, Einfuhrung in MERCURY

1 Einfuhrung 1-4

1.2 Ubungen

• Accountvergabe nach der heutigen Vorlesung.

• Erste und zweite Woche Globalubung (keine Korrektur).

• Abgabe bitte per email:

prolog-betreuer@krypton

bis 12.00h!

• Organisation der Individualubung Anfang dritte Woche.

• Leistungsnachweis: Ubungsschein nach Prg. Projekt.

1 Einfuhrung 1-5

1.3 Technisches

Pools: GB V / Raum 9–10

Rechner: blei, cadmium etc., accounts pkpro00–pkpro49.

Druckquota: 50 Seiten.

Installation: Bitte die Dateien ~pkpro00/.login und~pkpro00/.emacs kopieren.

Editor: emacs

PROLOG-System: eclipse

1 Einfuhrung 1-6

1 Einfuhrung 1-7

1.4 Materialien

Website unter

http://ls1-www.informatik.uni-dortmund.de/~lehmke/Prolog-Kurs/

Dort: Termine, Online-Doku, Folien, Ubungsblatter, Links, . . .

1 Einfuhrung 1-8

1.5 Literatur

• W. F. Clocksin and C. S. Mellish

Programming in Prolog, 4th edition, Springer-Verlag 1994

• Leon Sterling and Ehud Shapiro

The Art of Prolog, 2nd edition, MIT Press 1994

• Richard A. O’Keefe

The Craft of Prolog, MIT Press 1990

• Ivan Bratko

PROLOG Programming for Artificial Intelligence2nd edition, Addison-Wesley 1990

1 Einfuhrung 1-9

1.6 Logisches Programmieren

Grundlegende Idee:

Robert Kowalski

Algorithm = Logic + ControlComm. ACM 22, 1979, pp. 424–436.

Logik: Was ist das Problem?

Kontrolle: Wie wird das Problem gelost?

1 Einfuhrung 1-10

What-Type-Language: Der Benutzer spezifiziert dasProblem abstrakt; das System berechnet die Losung.

How-Type-Language: Der Benutzer spezifiziert eine Folge vonOperationen, durch die das Problem gelost wird.

In Prolog:

• Abstrakte Beschreibung durch Fakten und Regeln.

• Das System stellt das Losungsverfahren zur Verfugung

logisch: Unifikation und Resolution.

technisch: Matching und Nichtdeterminismus (Backtr.).

1 Einfuhrung 1-11

1.7 Geschichte

1965: Resolutionskalkul (J. A. Robinson)

1970–72 Erster Prolog-Interpreter

• R. Kowalski, Edinburgh (Theorie; Horn-Klauseln)

• A. Colmerauer, Marseille (Implementierung)

1975–79 Erster Prolog-Compiler (D. Warren).

1980 Borland’s Turbo Prolog.

1982 Beginn des japanischen 5th Generation Projekts.

1 Einfuhrung 1-12

heute Viele Implementierungen, z. T. erheblich erweitert (z. B.um constraints).

Wir verwenden ECLiPSe.

1 Einfuhrung 1-13

1.8 Anwendungen

• Kunstliche Intelligenz

• deduktive Datenbanken (Datalog)

• symbolische Mathematik

• constraint programming

• Konstruktion von Parsern, Interpretern und Compilern

• Konfigurationsaufgaben (z. B. NT-Netzwerkkonfiguration)

Allgemein:strukturorientierte Verarbeitung symbolischer Daten.

1 Einfuhrung 1-14

1.9 Drei Perspektiven bzgl. Prolog

1. Programming in Logic.Zu ausdrucksschwach ; Theorembeweiser

2. Database Query Language.Zu ausdrucksstark ; Datalog

3. Effiziente strukturorientierte Programmiersprache.

1 Einfuhrung 1-15

Gliederung

• Einleitung.

• Syntax und Semantik des Pradikatenkalkuls 1. Stufe.

• Der Modellbegriff. Semantisches Folgern.

• Formales Ableiten und Beweisen. Resolutionskalkul.

• Entscheidbarkeitsfragen.

• Logisches Programmieren. Horn-Klauseln.

2 Logische Grundlagen 2-1

2.1 Einleitung

Zum Nachlesen und Vertiefen:

• H. Thiele (91–96), H. Wagner (96–99)Skriptum zur Stammvorlesung LSI

• U. Schoning

Logik fur InformatikerB·I Wissenschaftsverlag 87–95

2.1.1 Elemente der mathematischen Logik

Syntax: Sprache logischer Ausdrucke.

Semantik: Interpretation logischer Ausdrucke — wann ist einAusdruck gultig, wann ungultig?

Modellbegriff: Was macht einen Ausdruck gultig?

Semantische Folgerung:

Was folgt aus einer Menge von Annahmen?

Formales Ableiten: Wie kann man die semantische Folgerungdurch regelbasiertes Schließen charakterisieren?

2.2 Syntax der Pradikatenlogik 1. Stufe

PS Menge von Paaren Pradikatensymbol/Aritat (Stellenz.).

Beispiel Pradikatensymbol member mit Aritat 2:

member/2 ∈ PS .

FS Menge von Paaren Funktionssymbol/Aritat.

Beispiel Funktionssymbol div mit Aritat 2: div/2 ∈ FS.

(Spezialfall Aritat = 0: Individuenkonstante (Beisp. pi)).

Definition 1 (Individuenvariablen und Terme)

1. Wir fixieren eine Menge VAR von Individuenvariablen.

2. Individuenvariablen und Individuenkonstanten sind Terme.

3. Gilt f/n ∈ FS mit n ≥ 1 und sind T1, . . . , Tn Terme, dann

ist f(T1, . . . , Tn) ein Term.

Definition 2 (Ausdrucke)

1. Wenn p/0 ∈ PS, so ist p ein Ausdruck.

2. Gilt p/n ∈ PS mit n ≥ 1 und sind T1, . . . , Tn Terme, dann

ist p(T1, . . . , Tn) ein Ausdruck.

3. Sind A und B Ausdrucke, so auch ¬A, (A ∨B).

4. Ist V ∈ VAR und ist A ein Ausdruck, so auch ∀V A.

Die Menge aller Ausdrucke: AUSD.

Ausdrucke nach 1 und 2 heißen atomar.

Zusatzliche Operatoren:

(A→B) =def (¬A ∨B)

(A ∧B) =def ¬(¬A ∨ ¬B)

(A↔ B) =def ((A→ B) ∧ (B → A))

∃V A =def ¬∀V ¬A

Klammersparung:

↔ trennt starker als →, ∨ und ∧→ trennt starker als ∨ und ∧∨ trennt starker als ∧

Beispiel

PS = {p/2} , FS = ?

∀X p(X,X) p reflexiv(1)

∀X∀Y (p(X,Y)→ p(Y,X)) p symmetrisch(2)

∀X∀Y∀Z (p(X,Y) ∧ p(Y,Z)→ p(X,Z)) p transitiv(3)

(3) ohne Abkurzungen:

∀X ∀Y∀Z (¬¬(¬p(X,Y) ∨ ¬p(Y,Z)) ∨ p(X,Z))

2.3 Interpretation der Terme und Ausdrucke

Definition 3 (Interpretation)

Ein Quintupel J = [PS,FS,∆,Φ,Π] heiße Interpretation

⇔ 1. ∆ ist eine nicht-leere Menge (Individuenbereich).

2. Φ ordnet jedem Paar f/n ∈ FS eine Abbildung

Φf/n : ∆n → ∆ zu; ist n = 0, so gilt: Φf/n ∈ ∆.

3. Π ordnet jedem Paar p/n ∈ PS eine Teilmenge

Πp/n ⊆ ∆n zu; ist n = 0, so gilt Πp/n j {?}.

Definition 4 (Zustande; Interpretation der Terme)

1. σ heiße J-Zustand der Individuenvariablen aus VAR⇔ σ : VAR→ ∆

2. EL(T, J, σ) ordnet dem Term T das durch J im J-Zustand

σ festgelegte Individuum aus ∆ zu.

EL(V, J, σ) =def σ(V ), falls V ∈ VAR

EL(f, J, σ) =def Φf , falls f/0 ∈ FS

EL(f(T1, . . . , Tn), J, σ)=def Φf/n(EL(T1, J, σ), . . . ,EL(Tn, J, σ)),

falls f/n ∈ FS und n ≥ 1.

σ 〈V := ξ〉 (W ) =def

σ(W ) , falls W 6= V

ξ , falls W = V.

Definition 5 (Erfullungsdefinition)

σ, J |= p =def Πp = {?}σ, J |= q(T1, . . . , Tn)

=def [EL(T1, J, σ), . . . ,EL(Tn, J, σ)] ∈ Πq

σ, J |= ¬A =def Es gilt nicht, daß σ, J |= A

σ, J |= (A ∨B) =def σ, J |= A oder σ, J |= B

σ, J |= ∀V A =def Fur jedes ξ ∈ ∆ gilt: σ 〈V := ξ〉 , J |= A

Definition 6

1. In J ist A allgemeingultig (kurz: J |= A oder J ag A)

=def Fur jeden J-Zustand σ gilt: σ, J |= A.

2. In J ist A erfullbar (kurz: J ef A)

=def es gibt einen J-Zustand σ mit σ, J |= A.

3. A ist (schlechthin) allgemeingultig

(kurz: |= A oder agA)

=def Fur jede Interpretation J gilt: J |= A.

4. A ist (schlechthin) erfullbar (kurz: efA)

=def es gibt eine Interpretation J, so daß J ef A.

Beispiel A =def ∀X p(X,X)B =def ∀X∀Y (p(X,Y)→ p(Y,X))

C =def ∀X∀Y∀Z (p(X,Y) ∧ p(Y,Z)→ p(X,Z))

Dann gilt fur J = [PS,FS,∆,Φ,Π] mit

∆ = N×N

Πp ={

(n,m) n,m ∈ N und n,m haben die gleichen Teiler},

daß J |= A und J |= B und J |= C (Aquivalenzrelation).

Wahlen wir Πp ={

(n,m) n,m ∈ N und n 5 m}

, so gilt J |= A

und J |= C, aber nicht J |= B.

Beispiel Fur jeden Ausdruck A gilt

|= A→A.

Lemma 1

1. A ist allgemeingultig

genau dann, wenn ¬A nicht erfullbar ist.

2. A ist erfullbar

genau dann, wenn ¬A nicht allgemeingultig ist.

Definition 7

A1 ist mit A2 semantisch aquivalent (A1 ≡ A2)

=def (A1 ↔ A2) ist allgemeingultig, d. h. |= (A1 ↔ A2).

Theorem 2 (Semantisches Ersetzbarkeitstheorem)

Sind A1, A2, A3 beliebige Ausdrucke und geht A4 aus A1 durch

Ersetzung von A2 durch A3 hervor, gilt schließlich

A2 ≡ A3,

so gilt auch A1 ≡ A4.

Beispiel Es gilt fur Ausdrucke A,B,C

A ∨B ≡ B ∨A Kommutativitat

(A ∨B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) Assoziativitat

A ∨ (A ∧B) ≡ A Absorption

A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨B) ∧ (A ∨ C) Distributivitat

¬(A ∨B) ≡ ¬A ∧ ¬B De Morgansche Regel

¬¬A ≡ A Doppelte Negation

¬A→¬B ≡ B→A Kontraposition

¬∀xA ≡ ∃x¬A

Kommt x nicht frei in B vor, so ∀xA ∨B ≡ ∀x(A ∨B)

Definition 8

1. A heiße pranexe Normalform

=def A ist quantorenfrei oder es gibt V1, . . . , Vn ∈ VAR,

Quantoren Q1, . . . , Qn ∈ {∀, ∃} und ein

quantorenfreies B, so daß A = Q1V1 . . . QnVnB.

Q1V1 . . . QnVn heißt Prafix von A.

2. A heiße universale Normalform

=def A ist pranexe Normalform; ist das Prafix von A nicht

leer, so kommen darin nur Allquantoren vor.

Theorem 3

Zu jedem Ausdruck A ∈ AUSD kann eine pranexe Normalform

N konstruiert werden, so daß

A ≡ N.

Beweis

Anwenden des semantischen Ersetzbarkeitstheorems. 2

2.4 Der Modellbegriff. Semantisches Folgern

Sei X eine Menge von Ausdrucken.

Definition 9 (Modell)

J heiße Modell von X (J |= X)

=def Fur jedes A ∈ X ist A in J allgemeingultig,

d. h. es gilt J |= A.

Menge aller Modelle von X: MOD(X).

Theorem 4 (Endlichkeitssatz fur Modelle)

Gibt es zu jeder endlichen Teilmenge Xfin ⊆ Y ein Modell J,

d. h. mit J |= Xfin, dann gibt es auch fur die gesamte Menge Y

ein Modell, etwa J′, d. h. mit J′ |= Y .

Definition 10 (Semantische Folgerung)

1. Aus X folgt (semantisch) A (kurz X |−|− A)

=def Fur jede Interpretation J gilt:

Wenn J Modell von X, so J Modell von A.

2. Cons(X) =def

{A A ∈ AUSD und X |−|− A

Beispiel

PS = {=/2}, FS = {+/2, 0/0}

A =def ∀X∀Y∀Z (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (+ ist assoziativ)

B =def ∀X X + 0 = X (Neutrales Element)

C =def ∀X∃Y X + Y = 0 (Inverses)

D =def ∀X∀Y X + Y = Y + X (+ ist kommutativ)

G =def {A,B,C}

T ∈ Cons(G)⇔ T ist ein Satz der Gruppentheorie.

σ, J |= T1 = T2 =def EL(T1, J, σ) = EL(T2, J, σ)

2-24-1

Definition 11 (Generalisierte)

Seien X1, . . . , Xn die Variablen, die in A frei vorkommen.

Gen(A) =def ∀X1 . . .∀XnA.

Lemma 5

Sei A ∈ AUSD.

Cons(A) = Cons(Gen(A))

2.5 Formales Ableiten und Beweisen.

Resolutionstheorie

2.5.1 Idee

Semantische Folgerung (zu aufwendig) soll durch SyntaktischesAbleiten (Berechnungen uber der Sprache AUSD) ersetztwerden.

Logik: Eine Sprache AUSD zusammen mit einem(semantischen) Folgerungsoperator |−|−.

Kalkul: Eine Sprache AUSD zusammen mit einem(syntaktischen) Beweisbarkeitsoperator |−.

Rechtfertigung eines Kalkuls:

Korrektheit: X |− A =⇒ X |−|− A

”Alles, was beweisbar ist, folgt auch semantisch“.

Vollstandigkeit: X |−|− A =⇒ X |− A

”Alles, was folgt, ist auch beweisbar“.

Um den Beweisoperator automatisieren zu konnen, wahlen wirden Resolutionskalkul.

Da dieser auf einer sehr einfachen Schlußregel beruht, mussenwir die Ausdrucke stark vereinfachen. ; Klauselform.

2.5.2 Vorbereitung

Definition 12 (Termeinsetzung)

A[V /T

]=def Derjenige Ausdruck, der aus A dadurch entsteht, daß die

Individuenvariable V in A uberall, wo sie frei vorkommt,

simultan durch T ersetzt wird.

Gebundene Umbenennung: Eine Variable wird uberall imWirkungsbereich eines Quantors, durch den sie gebunden wird,durch eine andere ersetzt.

Lemma 6 (Widerlegungssystem)

Fur jedes X j AUSD und jedes A ∈ AUSD gilt:

X |−|− A genau dann,

wenn X ∪ {¬Gen(A)} kein Modell hat.

Definition 13

1. X und Y heißen semantisch aquivalent (X ≡ Y )

=def Fur jede Interpretation J und jeden J-Zustand σ gilt:

σ, J |= X g.d.w. σ, J |= Y.

2. X und Y heißen Modell-aquivalent(X ∼= Y )

=def MOD(X) = MOD(Y ).

3. X und Y heißen schwach Modell-aquivalent (X u Y )

=def MOD(X) 6= ? genau dann, wenn MOD(Y ) 6= ?.

Theorem 7

Zu jedem X ⊆ AUSD kann ein Y ⊆ AUSD konstruiert werden,

so daß

1. Y allein aus pranexen Normalformen besteht und

2. X und Y semantisch aquivalent sind.

2.5.3 Skolemisierung

A sei eine Aussage (Ausdruck ohne freie Variablen) der Form

A = ∀X1 . . .∀Xn∃Y B.

Wir wahlen ein neues Funktionssymbol f/n.Dann ist A schwach modell-aquivalent zu

∀X1 . . .∀XnB[Y /f(X1, . . . , Xn)

Theorem 8 (Skolemisierungstheorem)

Zu jedem X ⊆ AUSD kann ein X ′ konstruiert werden, so daß

1. X ′ allein aus universalen Normalformen besteht und

2. X ′ schwach Modell-aquivalent mit X ist.

Folgerung 9

1. X ′ allein aus quantorenfreien Ausdrucken besteht und

2.5.4 Konjunktive Normalform

Definition 14

1. L heiße Literal

=def L ∈ AUSD und L ist ein atomarer oder ein negierter

atomarer Ausdruck.

2. Eine konjunktive Normalform ist eine Konjunktion aus

Alternativen, die ihrerseits aus Literalen bestehen.

Lemma 10

Zu jeder Menge X ⊆ AUSD von quantorenfreien Ausdrucken

kann X ′ ⊆ AUSD konstruiert werden, so daß

1. alle Ausdrucke A′ ∈ X ′ konjunktive Normalformen sind

2. und X ′ semantisch aquivalent mit X ist.

Theorem 11

1. alle Ausdrucke aus X ′ Alternativen von Literalen sind und

Beispiel

¬(∃X p(X,Y) ∨ ∀Z q(Z)) ≡ ∀X∃Z¬(p(X,Y) ∨ q(Z))∼= ∀Y∀X∃Z¬(p(X,Y) ∨ q(Z))

u ∀Y∀X¬(p(X,Y) ∨ q(g(Y,X)))∼= ¬(p(X,Y) ∨ q(g(Y,X)))≡ ¬p(X,Y) ∧ ¬q(g(Y,X))≡ {¬p(X,Y),¬q(g(Y,X))}

2-36-1

2.5.5 Klausellogik

Menge von Alternativen von Literalen

=⇒ Menge von Mengen von Literalen

{¬p(X) ∨ p(f(X, Y)),¬q(Y) ∨ p(f(X, Y))}

=⇒{{¬p(X), p(f(X, Y))} , {¬q(Y), p(f(X, Y))}

• Klausel: Menge von Literalen(Semantik wie bei Alternative).

• Sei X eine Menge von Alternativen von Literalen.

KLM(X): Die X zugeordnete Klauselmenge.

• 2 =def ?: Die leere Klausel (ist niemals erfullt).

2.5.6 Grundresolution

Definition 15

T ist ein Grundterm =def T enthalt keine Individuenvariablen.

Menge aller Grundterme: GTERM.

Definition 16 (Herbrand-Menge)

Sei A ein quantorenfreier Ausdruck, der genau die Variablen

V1, . . . , Vn enthalt.

H(A) =def

{A[V1, . . . , Vn/T1, . . . , Tn

]Ti ∈ GTERM

}H(X) =def

⋃A∈X

Grundresolution: Anwenden der Schlußregel

Aus K ′ ∪ {A}und K ′′ ∪ {¬A}

wird abgeleitet K ′ ∪K ′′

Grundresolutionsbeweis aus Grundklauselmenge KLM:

Sammeln aller Klauseln, die sich aus KLM und darausableitbaren Klauseln (induktive Definition) ableiten lassen.

Definition 17

Sei KLM eine Menge von Grundklauseln.

KLM GR|−−− K=def K ∈ KLM oder

es gibt einen Grundresolutionsbeweis fur K aus KLM

Sei X eine Menge von Alternativen von Literalen.

Theorem 12

X hat kein Modell genau dann, wenn KLM(H(X)) GR|−−− 2.

Beispiel

KLM =�

{p(f(g(a)))} , {¬p(f(g(a))), q(f(g(a)))} , {¬q(f(g(a)))}

{p(f(g(a)))} {¬p(f(g(a))), q(f(g(a)))} {¬q(f(g(a)))}

{q(f(g(a)))}

2-42-1

Definition 18 (Grundresolutionskalkul)

Sei X j AUSD, A ∈ AUSD und X ′ eine Menge von

Alternativen von Literalen, so daß

X ′ u X ∪ {¬A}.

Dann sei

X G|−− A =def KLM(H(X ′))

GR|−−− 2.

Theorem 13 (Korrektheit und Vollstandigkeit)

Sei X j AUSD und A ∈ AUSD. Dann gilt

X |−|− A g.d.w. X G|−− A.

Beispiel

KLM ={{p(U)} , {¬p(f(V)), q(U)} , {¬q(f(g(W)))}

2-43-1

2.5.7 Pradikatenlogische Resolution

Idee (Robinson, 1965): Substitutionen nach Bedarf ausfuhren.Definition 19 (Substitution)

Eine Abbildung

sub : VAR→ TERM

nennen wir Substitution.

Sei Z ein Term oder Ausdruck.

Z sub: ersetze in Z alle Variablen V simultan durch sub(V ).

Notation sub =[V /T

]: sub(V ) = T , W 6= V ⇒ sub(W ) = W .

sub1 ◦ sub2: Hintereinanderausfuhrung.

Sei M eine Menge von Termen oder Ausdrucken.(Anwendung M sub elementweise definiert)

Definition 20 (Unifikator)

1. sub heiße Unifikator fur M =def M sub ist einelementig.

2. sub heiße allgemeinster Unifikator fur M

=def sub ist Unifikator fur M und fur jeden Unifikator sub′

von M existiert sub′′, so daß

sub′ = sub ◦ sub′′ .

Theorem 14 (Unifikationstheorem)

Hat die Menge M von Literalen einen Unifikator, so hat M

auch einen allgemeinsten Unifikator.

Unifikationsalgorithmus

EINGABE: Eine nicht-leere endliche Menge M von Literalen.

sub := die identische Substitution.

WHILE card(M sub) > 1 DO

BEGIN Wahle L1, L2 ∈M subsowie die erste Stelle, wo sich L1 und L2 unterscheiden.

IF keines der Symbole an dieser Stelle ist eine VariableTHEN stop ”nicht unifizierbar“

Sei V die Variable und T der Term an dieser Stelle.

IF V kommt in T vorTHEN stop ”nicht unifizierbar“ELSE sub := sub ◦

Gib sub aus.

Beispiel

M1 ={{p(U)} , {p(f(V))}

{{p(U)} , {p(f(U))}

2-48-1

Theorem 15

Der Unifikationsalgorithmus terminiert fur jedes M und

1. gibt”nicht unifizierbar“ aus

g.d.w. M nicht unifizierbar ist

2. gibt einen allgemeinsten Unifikator sub fur M aus

g.d.w. M unifizierbar ist

Pradikatenlogische Resolutionsregel

Sei A ein atomarer Ausdruck. A =def ¬A und ¬A =def A.

Aus K ′ ∪ {L1, . . . , Ln}und K ′′ ∪ {L′1, . . . , L′m}

wird abgeleitet(K ′ ∪K ′′

wobei sub allg. Unifikator von{L1, . . . , Ln, L′1, . . . , L

Pradikatenlogischer Resolutionsbeweis aus Klauselmenge

KLM: Wie bei Grundresolution.

Definition 21

Sei KLM eine Menge von Klauseln.

KLM PR|−−− K=def K ∈ KLM oder

ex. ein pradikatenlog. Resolutionsbeweis fur K aus KLM

Sei X eine Menge von Alternativen von Literalen.

Theorem 16

X hat kein Modell genau dann, wenn KLM(X) PR|−−− 2.

Beispiel

KLM ={{p(U)} , {¬p(f(V)), q(U)} , {¬q(f(g(W)))}

{p(U)} {¬p(f(V)), q(U)} {¬q(f(g(W)))}

sub =[U/f(V)

]{q(f(V))}

sub =[V/g(W)

2-51-1

Definition 22 (Pradikatenlogischer Resolutionskalkul)

Sei X j AUSD, A ∈ AUSD und X ′ eine Menge von

Alternativen von Literalen, so daß

X ′ u X ∪ {¬A}.

Dann sei

X |− A =def KLM(X ′)

PR|−−− 2.

Theorem 17 (Korrektheit und Vollstandigkeit)

Sei X j AUSD und A ∈ AUSD. Dann gilt

X |−|− A g.d.w. X |− A.

2.6 Entscheidbarkeitsfragen

Theorem 18

Ist X rekursiv aufzahlbar, so ist auch Cons(X) rekursiv

aufzahlbar.

Theorem 19 (Unentscheidbarkeit; Satz von Church)

Gibt es mindestens ein nullstelliges Funktionssymbol, zwei

einstellige Funktionssymbole und ein zweistelliges

Pradikatensymbol, so ist fur die Sprache AUSD die

Allgemeingultigkeit unentscheidbar.

2.7 Logisches Programmieren

Idee (Kowalski, 1970): Durch spezielle Klauselnotation undfestgelegte Resolutionsstrategie Logik zum Programmierennutzen.

2.7.1 Horn-Klauseln

Definition 23

Eine Klausel K heiße Horn-Klausel

=def K enthalt hochstens ein positives Literal.

Was konnen Horn-Klauseln? Wir unterscheiden drei Falle:

Fakten (oder Tatsachenklauseln):

K besteht aus genau einem positiven Literal, z. B.

K = {gruen(gras)}

Regeln (oder Prozedurklauseln):

K enthalt ein positives und mindestens ein negativesLiteral, z. B.

K = {¬mensch(X), sterblich(X)}≡ mensch(X)→ sterblich(X)

K = {¬teilt(2,X),¬teilt(3,X), teilt(6,X)}≡ teilt(2,X) ∧ teilt(3,X)→ teilt(6,X)

Anfragen (oder Zielklauseln):

K enthalt nur negative Literale, z. B.

K = {¬prim(X),¬gerade(X)} ≡ ¬ (prim(X) ∧ gerade(X))

Achtung:

∀X (¬prim(X) ∨ ¬gerade(X)) ≡ ¬∃X (prim(X) ∧ gerade(X))

Beispiel SeiX =

{∀V (mensch(V)→ sterblich(V)) , mensch(sokrates)

Dann gilt

X |−|− ∃V sterblich(V)

g.d.w. {¬mensch(V), sterblich(V)},{mensch(sokrates)},{¬sterblich(V)}

PR|−−− 2

Was konnen Horn-Klauseln nicht?

Alternativen als Konklusion

elternteil(X,Y)→ vater(X,Y) ∨ mutter(X,Y)≡ {¬elternteil(X,Y), vater(X,Y), mutter(X,Y)}

Negationen

teil(X,Y) ∧ ¬teil(Y,X)→ echter teil(X,Y)

≡ {¬teil(X,Y), teil(Y,X), echter teil(X,Y)}

2.7.2 Logik-Programme

Notation:

Fakten

Beispiel dargestellt als

{mensch(sokrates)} mensch(sokrates).

Regeln

Beispiel

{¬teilt(2,X),¬teilt(3,X), teilt(6,X)}

dargestellt als

teilt(6,X)← teilt(2,X), teilt(3,X).

Beispiel dargestellt als

{¬prim(X),¬gerade(X)} ?- prim(X), gerade(X).

Definition 24 (Logik-Programm)

1. Eine Klausel K heiße definit (oder Programm-Klausel)

=def K enthalt genau ein positives Literal.

Das positive Literal heißt Kopf von K,

die Menge der negativen heißt Rumpf.

2. KLM heiße Logik-Programm

=def KLM ist eine Menge von definiten Klauseln.

2.7.3 SLD-Resolution

”linear resolution with selection function for definite clauses“

Wir definieren eine Resolutionsstrategie SLD(P,Z), die fur einLogik-Programm P und eine Zielklausel Z bestimmt, ob sichaus P ∪ {Z} die leere Klausel ableiten laßt.

Wir nehmen an, daß sowohl P als auch Z geordnet sind.

Auf diese Weise wird das Ausfuhrungsmodell einesLogikprogramms eindeutig festgelegt.

Festlegung: Resolvent von Z und ProgrammklauselK wird immer bzgl. der beiden ersten Literale gebildet.

Die ‘restlichen’ Literale von K werden vorne an Z angehangt.

RECURSIVE FUNCTION SLD(P,Z).

EINGABE: Logikprogramm P , Zielklausel Z.

IF Z ist leerTHEN RETURN true

L := Erstes Literal in Z.

K := nachste Klausel in P , deren Kopf mit L unifizierb.

IF ein K konnte gefunden werdenTHEN

Z ′ := Resolvent von K und Z.IF SLD(P,Z ′) THEN RETURN true

ELSE RETURN false

ENDLOOP

Beispiel

P = sterblich(V)← mensch(V).mensch(sokrates).

Z = ?- sterblich(V).

1. Aufruf von SLD

L := ¬sterblich(V)K := sterblich(V)← mensch(V).

Z ′ := ?- mensch(V).

2-65-1

2. Aufruf von SLD

L := ¬mensch(V)K := mensch(sokrates).

Z ′ := 2.

3. Aufruf von SLD ; Ruckgabe true.

2-65-2

2.7.4 Antworterzeugung

Problem: SLD(P,Z) gibt nur true oder false zuruck.

Fur Variablen in der Anfrage hatten wir aber gern eineerfullende Belegung.

Losung: Fur jede in Z vorkommente Variable V fugen wir Zein Literal ¬antw("V ",V ) hinzu, das bei der SLD-Resolutionignoriert wird. Die erfullende Belegung wird automatischwahrend der Resolution fur V substituiert. Am Ende werdendie Antwortliterale aus Z geeignet ausgegeben.

Beispiel

P = sterblich(V)← mensch(V).mensch(sokrates).

Z = ?- sterblich(V), antw("V",V).

1. Aufruf von SLD

L := ¬sterblich(V)K := sterblich(V)← mensch(V).

Z ′ := ?- mensch(V), antw("V",V).

2-66-1

2. Aufruf von SLD

L := ¬mensch(V)K := mensch(sokrates).

Z ′ := ?- antw("V",sokrates).

3. Aufruf von SLD ; Ruckgabe ”V = sokrates“.

2-66-2

2.7.5 Abwandlungen der Resolutionsstrategie

Alle Beweise: SLD stoppt, sobald ein Beweis erzeugt wurde.

Was, wenn wir alle erfullenden Belegungen erzeugen wollen?

; Backtracking

RECURSIVE FUNCTION SLD(P,Z).

EINGABE: Logikprogramm P , Zielklausel Z.

IF Z besteht allein aus AntwortliteralenTHEN Gib Antworten in Z aus.ELSE

L := Erstes Literal in Z.

K := nachste Klausel in P , deren Kopf mit L unifizierb.

IF ein K konnte gefunden werdenTHEN

Z ′ := Resolvent von K und Z.SLD(P,Z ′)

ELSE STOP ”no“

ENDLOOP

Tiefen- vs. Breitensuche

SLD ist nicht vollstandig fur die Klasse der Hornklauseln.

Problem: Moglichkeit von Endlosschleifen.

Losung: Breitensuche— Literale aus K werden hinten an L angehangt.

Vollstandig fur die Klasse der Hornklauseln, aber mehrRechenaufwand; als Programmiersprache ungeeignet.

Beispiel

P = (1) p(V)← p(V).(2) p(ende).

Z = ?- p(V).

2-70-1

2.8 Zusammenfassung und Beispiel

Wir wollen folgende Situation formalisieren:

”Der Dorfbarbier rasiert alle, die sich nicht selbst rasieren.“

Frage: Wer rasiert den Dorfbarbier?

Wir wollen zeigen: Die Situation ist widerspruchlich, d. h. einsolcher Dorfbarbier kann nicht existieren.

2.8.1 Formalisierung

1. ”Der Dorfbarbier rasiert alle, die sich nicht selbst rasieren.“

∀B(ba(B)→∀P (¬ra(P,P)↔ ra(B,P))

)2. ”Es gibt keinen Dorfbarbier.“

¬∃B ba(B)

2.8.2 Anwendung des Widerlegungssystems

{∀B(ba(B)→∀P (¬ra(P,P)↔ ra(B,P))

)} |−|− ¬∃B ba(B)

g.d.w.

), ∃B ba(B)}

hat kein Modell.

2.8.3 Umwandlung in Klauselform

), ∃B ba(B)}

(⇒ pranexe Normalform)

≡ {∀B∀P(ba(B)→ (¬ra(P,P)↔ ra(B,P))

), ∃B ba(B)}

(⇒ Skolemisierung)

ba(B)→ (¬ra(P,P)↔ ra(B,P))), ba(klaus)

(⇒ konjunktive Normalform)

(ba(B)→ (¬ra(P,P)→ ra(B,P)) ∧ (¬ra(P,P)← ra(B,P))

ba(klaus)

(¬ba(B) ∨ (ra(P,P) ∨ ra(B,P)) ∧ (¬ra(P,P) ∨ ¬ra(B,P))

ba(klaus)

(¬ba(B) ∨ ra(P,P) ∨ ra(B,P))

∧ (¬ba(B) ∨ ¬ra(P,P) ∨ ¬ra(B,P)) ,

ba(klaus)

¬ba(B) ∨ ra(P,P) ∨ ra(B,P),¬ba(B) ∨ ¬ra(P,P) ∨ ¬ra(B,P),ba(klaus)

(⇒ Klauselform)

{¬ba(B), ra(P,P), ra(B,P)},{¬ba(B),¬ra(P,P),¬ra(B,P)},{ba(klaus)}

2.8.4 Anwendung der Resolution

{¬ba(B), ra(P,P), ra(B,P)} {ba(klaus)} {¬ba(B),¬ra(P,P),¬ra(B,P)}

B/klaus

{ra(P,P), ra(klaus,P)} {¬ra(P,P),¬ra(klaus,P)}

sub =h

P/klaus

2.9 Das Wichtigste in Kurze

1. Semantik: Ein Ziel zu beweisen, bedeutet zu beweisen,daß es aus dem Programm folgt.

2. Programmklauseln sind allquantifiziert,Zielklauseln existenzquantifiziert.

3. p, q bedeutet ”p und q“.

4. Die Negation kommt nicht mehr vor.

5. Der Geltungsbereich einer Variablenist die Klausel, in der sie vorkommt.

6. Die Resolutionsstrategie verwendet Tiefensuche.

7. Ziel und Programmklauselkopf werden unifiziert.

Programmieren in PROLOG umfaßt

1. Deklarieren von Fakten

2. Definieren von Regeln

}Programm

3. Stellen von Anfragen.

3 Erste Schritte 3-1

3.1 Fakten

Schreibweise:

mag(klaus, sabine).

Pradikat Konstante Argumente

Pradikate und Konstanten beginnen mit einemKleinbuchstaben.

Fakten deklarieren Eigenschaften vonoder Relationen zwischen Objekten.

Beispiel

wertvoll(gold).

weiblich(heike).

vater(klaus,heike).

bruder von(lukas,heike).

Die Bedeutung von Pradikaten und ihren Argumenten muß zuAnfang festgelegt und dann konsequent durchgehalten werden.

Beispiel Zweistellige Pradikate werden infix verstanden:

bruder von(lukas,heike) ; lukas bruder von heike.

Die Gesamtheit aller Fakten (und Regeln) nennen wirDatenbasis oder logisches Programm.

3.2 Anfragen (oder Ziele)

Schreibweise:

?- wertvoll(gold).

Anfragen bewirken eine Suche in der Datenbasis(Beweis des Ziels aus dem logischen Programm).

Beispiel

weiblich(heike). maennlich(klaus).

vater(klaus,heike). bruder von(lukas,heike).

?- maennlich(klaus).

?- bruder von(lukas,heike).

?- maennlich(lukas).

no (more) solution.

Anfragen sind nicht Teil des Programms, sondernwerden vom Benutzer an das System gestellt und von diesembeantwortet.

3.3 Variablen

Variablen beginnen mit einem Großbuchstaben oder einemUnterstrich.

?- maennlich(Mann).

Variablen konnen mit einem Wert instantiiert werden.

3.3.1 Anfragen mit Variablen

Beim Versuch, ein Ziel zu beweisen, wird das Ziel mitvorhandenen Fakten gematcht (unifiziert).

Beim matching durfen Variablen beliebig instantiiert werden,alles nicht-variable muß exakt ubereinstimmen.

In Anfragen sind Variablen existenzquantifiziert.

Antworten auf eine Anfrage sind erfullende Belegungensamtlicher Variablen.

Beispiel

maennlich(thomas). maennlich(klaus).

weiblich(heike). weiblich(ingrid).

?- maennlich(Mann).

Mann = thomas More? (;)

Mann = klaus

3.3.2 Variablen in Fakten

Auch Fakten durfen Variablen enthalten. Eine solche Variablematcht alles, was in einem Ziel an dieser Argumentstelle steht.

Eine mehrfach vorkommende Variable muß an allen Stellen mitdem gleichen Wert instantiiert werden.

In Fakten sind Variablen allquantifiziert.

Beispiel

teilt(1,X).

teilt(X,X).

?- teilt(X,2).

X = 1 More? (;)

3.4 Suchstrategie

Fur jedes Ziel wird die Datenbasis von vorn nach dem erstenFakt durchsucht, das das Ziel matcht (Variablen matchen alles).

Die Fundstelle wird markiert (choice point), die Variablen imZiel (oder Fakt) werden instantiiert.

Es wird eine Antwort ausgegeben.

Wird eine weitere Losung angefordert, wird die Instantiierungzuruckgenommen und ab der markierten Stelle weitergesucht(Wiedererfullung, REDO).

3.5 Konjunktionen

?- mag(klaus, X), mag(heike, X).

”,“ wird als und gelesen.

Der Gultigkeitsbereich von Variablen ist die gesamteKonjunktion ; X steht fur ”alles, was Klaus und Heike mogen“.

Erweiterte Suchstrategie

Variableninstantiierungen bleiben so lange fest, bis siezuruckgenommen werden.

Ist fur eine gegebene Variableninstantiierung ein Teilziel nichterfullbar, so schlagt dieses fehl (fail), und es wird versucht, dasvorherige Teilziel (choice point) wiederzuerfullen (REDO).

; Backtracking

Dabei werden evtl. Instantiierungen zuruckgenommen.

Beispiel

?- mag(klaus, X) , mag(heike, X).

mag(klaus, kino).mag(klaus, tanzen).mag(heike, tanzen).mag(heike, fussball).

[X/kino

3-14-1

3.6 Regeln

bruder(X,Y) :- maennlich(X),

eltern(X,E1,E2), eltern(Y,E1,E2).

”:-“ wird als wenn gelesen.

Der Teil vor dem :- heißt Kopf,der Teil hinter dem :- heißt Rumpf der Regel.

Der Gultigkeitsbereich von Variablen ist die gesamte Regel.

Die Gesamtheit aller Fakten und Regeln fur ein Pradikatnennen wir die Klauseln fur dieses Pradikat.

Erweiterte Suchstrategie

Bei der Suche werden nicht nur Fakten, sondern auchRegelkopfe berucksichtigt.

Um eine Regel zu erfullen, mussen zuerst samtliche Ziele ausdem Rumpf erfullt werden — Variableninstantiierung beachten!

?- bruder(X,heike) .

bruder(X,Y) :- maennlich(X),eltern(X,E1,E2),eltern(Y,E1,E2).

eltern(lukas,klaus,ingrid).eltern(heike,klaus,ingrid).weiblich(ingrid).weiblich(heike).maennlich(klaus).maennlich(lukas).

3-16-1

?- bruder(X,heike) ,

• maennlich(X) ,•eltern(X,E1,E2),•eltern(Y,E1,E2).

bruder(X,Y) :- maennlich(X),eltern(X,E1,E2),eltern(Y,E1,E2).

eltern(lukas,klaus,ingrid).eltern(heike,klaus,ingrid).weiblich(ingrid).weiblich(heike).maennlich(klaus).maennlich(lukas).

[Y/heike

[X/klaus

3-16-2

3.7 Erste Schritte mit ECLiPSe

Programmstart

pkpro00@blei(/home/pkpro/pkpro00/Beispiele){36}: eclipse

ECLiPSe Constraint Logic Programming System [sepia mps standal

Version 3.6.1, Copyright ECRC GmbH and ICL/IC-Parc, Wed Aug 20

[eclipse 1]:

ECLiPSe wartet auf Anfragen.

[eclipse 1]: help.

After the prompt [<module>]: ECLiPSe waits for a goal.

To type in clauses, call [user] or compile(user), and then

enter the clauses ended by ^D (EOF).

Call help(Pred/Arity) or help(Pred) or help(String)

to get help on a specific built-in predicate.

[eclipse 5]: help(help).

Prints general help information on the current output.

help(+PredSpec)

Prints help information on the specified built-ins in PredS

current output.

helpdb

Print a list of all relations to the standard output.

helpdrel(+RelationName)

Print some info on RelationName to the standard output.

helpkb

Print a list of all relations to the standard output.

helprel(+RelationName)

Print some info on RelationName to the standard output.

Call help(Name/Arity) for detailed help.

Fakten und Regeln eingeben

[eclipse 19]: [user].

maennlich(karl).

weiblich(helga).

vater(X,Y) :- eltern(Y,X,_).

user compiled traceable 144 bytes in 0.00 seconds

Beenden mit C-d.

Ein Programm laden

[eclipse 21]: [verwandtschaft].

verwandtschaft.pl compiled traceable 680 bytes in 0.00 seconds

Anfragen stellen

[eclipse 22]: bruder(X,Y).

X = lukas

Y = lukas More? (;)

X = lukas

Y = heike More? (;)

no (more) solution.

Eine weitere Losung wird mit ; angefordert.

ECLiPSe beenden

[eclipse 1]: halt.

ECLiPSe von emacs aus starten

1. Fakten und Regeln werden in Programmdateien mit derEndung .pl gespeichert.

2. Diese werden geladen und dann Anfragen gestellt.

3. Um ein Ziel zu beweisen, wird ein matchendes Faktum odereine Regel mit matchendem Kopf gesucht.

4. Beim matching werden Variablen passend instantiiert.

5. Bei einem passenden Fakt ist ein Ziel sofort erfullt, beieiner Regel mussen zuerst noch die Ziele aus dem Rumpferfullt werden.

6. Stehen fur die Erfullung eines Ziels mehrere Alternativenzur Verfugung, so wird ein choice point erzeugt.

7. Schlagt die Erfullung eines Ziels fehl, so wird am zuletzterzeugten choice point die nachste Alternative ausprobiert(Backtracking).

4.1 Terme

PROLOG-Programme sind aus Termen aufgebaut. Wirunterscheiden drei Typen.

4.1.1 Konstanten

Zwei Arten von Konstanten:

Atome dienen als Bezeichner.

Beginnen normalerweise mit einem Kleinbuchstaben undenthalten Buchstaben, Ziffern oder .

4 Syntax 4-1

Beispiele:

bruder heike helmut Kohl nummer5

Man kann beliebige Zeichenfolgen verwenden, wenn mandiese in Hochkommata einschließt:

’KeineVariable’ ’12’ ’rechts-links’

Auch beliebige Folgen der folgenden Zeichen sind Atome:

= + - * / \ ~ ^ < > : . ? @ # $ &

Beispiele:

= $$$ >= ==> ?- \-/

4 Syntax 4-2

Zahlen Verschiedene Darstellungen sind zulassig:

1. Ganze Zahlen:

0 1 999 123456789 -17

2. Rationale Zahlen:

)3. Fließkommazahlen:

1.2 -15.0 1.3e5 -17.7e-5.

4 Syntax 4-3

4.1.2 Variablen

Beginnen mit einem Großbuchstaben oder und enthaltenBuchstaben, Ziffern oder .

X L Mensch V 23 intern

4 Syntax 4-4

Sonderfall : anonyme Variable. Mehrere anonyme Variablen ineiner Klausel durfen verschieden instantiiert werden!

maennlich(X) :- eltern( ,X, ).

?- eltern(X, , ).

X = lukas More? (;)

X = heike

4 Syntax 4-5

4.1.3 Strukturen

f(T1, . . . , Tn).

Funktor Term Argumente Aritat

Der Funktor ist ein Atom, die Argumente beliebige Terme(rekursive Definition).

Einen Funktor zusammen mit seiner Aritat schreiben wir f/n.Verschiedenstellige Funktoren gelten als verschieden!

4 Syntax 4-6

f(1,2).

?- f(X).

?- f(X,Y).

4 Syntax 4-7

Strukturen konnen beliebig verschachtelt werden:

besitzt(lukas,buch).

besitzt(lukas,buch(momo,ende)).

besitzt(lukas,buch(momo,autor(ende,michael))).

4 Syntax 4-8

4.2 Operatoren

Ein- und zweistellige Funktoren konnen als Operatorendeklariert werden.

Dies ergibt eine bequemere Schreibweise fur Terme.

Achtung: Operatoren bewirken keine Berechnung, sondernlediglich eine andere Schreibweise fur Terme.

2+3 und 3+2 sind verschiedene Terme!

4 Syntax 4-9

4.2.1 Position

Einstellige Operatoren konnen Prafix- oder Postfixoperatorensein. Beispiel:

-X ; -(X) X! ; !(X)

Zweistellige Operatoren sind immer Infixoperatoren.

X+1 ; +(X,1) X >= Y ; >=(X,Y)

4 Syntax 4-10

4.2.2 Vorrang

Welcher Operator der außerste ist, ist durch dieVorrangregelung festgelegt.

4 * Y + X ; +(*(4,Y),X) X + 4 * Y ; +(X,*(4,Y))

4.2.3 Assoziativitat

Wie wird bei mehrfach aufeinanderfolgenden gleichenOperatoren geklammert?

4 + Y + X ; +(+(4,Y),X) X ^ 4 ^ Y ; ^(X,^(4,Y))

4 Syntax 4-11

4.2.4 Operatoren definieren

Um einen neuen Operator zu deklarieren, muß man Position,Vorrang und Assoziativitat festlegen.

Der Vorrang wird durch eine Rangstufe festgelegt. Diese kannzwischen 1 und 1200 liegen (1 bindet am starksten).

4 Syntax 4-12

Position und Assoziativitat werden durch eine Deklarationfestgelegt. Beispiel

Dies bezeichnet einen zweistelligen infix-Operator. x bedeutet,in dem Term an dieser Stelle durfen nur Operatoren mit echtkleinerer Rangstufe vorkommen. y bedeutet, in dem Term andieser Stelle durfen Operatoren mit kleinerer oder gleicherRangstufe vorkommen. ; dieser Operator ist rechtsassoziativ.

4 Syntax 4-13

Alle Assoziativitatsklassen:

Klasse Position Assoziativitat Beispiel

fy prefix iterierbar not

fx prefix nicht iterierbar -

yf postfix iterierbar !

xf postfix nicht iterierbar

xfx infix nicht iterierbar :-

yfx infix linksassoziativ +

xfy infix rechtsassoziativ ^

4 Syntax 4-14

Operatordefinition:

:- op(500,yfx,+).

im Programmtext (wird sofort ausgefuhrt) oder mit?- op(500,yfx,+). als Anfrage.

4 Syntax 4-15

Beispiele:

:- op(1200, xfx, :-).

:- op(1200, fx, :-).

:- op(1000, xfy, ’,’).

:- op(700, xfx, =).

:- op(500, yfx, +).

:- op(500, yfx, -).

:- op(500, fx, -).

:- op(400, yfx, *).

:- op(200, xfy, ^).

4 Syntax 4-16

4.3 Matching und Termvergleich

4.3.1 Matching von Termen

Wird bei der Suche nach einer fur ein Ziel passenden Klauselgebraucht.

4 Syntax 4-17

Seien T1, T2 Terme.

Rekursive Definition fur ”matche T1 und T2“:

1. T1 uninstantiierte Variable V ; instantiiere V mit T2.

2. T2 uninstantiierte Variable W ; instantiiere W mit T1.

T1, T2 uninstantiierte Variablen V,W; identifiziere V und W .

3. Sind T1, T2 (instantiiert zu) Konstanten, so matchen T1, T2

genau dann, wenn sie identisch sind.

4. (Rekursion:) Sind T1, T2 Strukturen, so matche erst dieFunktoren und dann die Argumente (Stelle fur Stelle).

4 Syntax 4-18

Ausgabe: ”Fehlschlag“ oder Terme T ′1, T′2, die (nach

Variableneinsetzung) identisch sind.

Achtung! Kein occur check,also sind ‘unendliche’ Terme moglich!

4 Syntax 4-19

Beispiel Matche mag(kuno,kino) mit X.

Matche lukas mit lukas.

Matche wasser mit seife.

Matche 1001 mit 1002.

Matche 1+2 mit 2+1.

Matche mag(kuno,kino) mit mag(X,kino).

Matche a(b,C,d(e,F,g(h,i,J)))mit a(B,c,d(E,f,g(H,i,j))).

Matche X + Y * 5 mit A * 7 + B.

Matche a(X, f(X), f(Y,Y)) mit a(g(A), B, f(h(B),C)).

4-19-1

[eclipse 6]: a(X,f(X),f(Y,Y)) = a(g(A),B,f(h(B),C)),

write(a(X,f(X),f(Y,Y))),nl,write(a(g(A),B,f(h(B),C))).

a(g(A), f(g(A)), f(h(f(g(A))), h(f(g(A)))))

X = g(A)

Y = h(f(g(A)))

B = f(g(A))

C = h(f(g(A)))

4 Syntax 4-20

[eclipse 3]: X = f(X).

X = f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(...)))))))))))

4 Syntax 4-21

4.3.2 Vergleich von Termen

T1 = T2.

T1 und T2 matchen. Das Pradikat = konnte definiert sein als

X = X.

Schlagt T1 = T2 fehl, werden keine Variablen instantiiert.

T1 \= T2.

T1 und T2 matchen nicht.

Durch \= werden keine Variablen instantiiert.

4 Syntax 4-22

T1 == T2.

T1 und T2 sind identisch.

Durch == werden keine Variablen instantiiert.

Beim Test == werden Variablen als verschieden gewertet, wennsie nicht bereits vorher identifiziert wurden.

== ist nicht mit der logischen Sichtweise auf Prolog vereinbar.

4 Syntax 4-23

?- X == Y.

no (more) solution.

?- X == X.

?- f(X) == f(Y).

no (more) solution.

4 Syntax 4-24

?- X = Y, f(X) == f(Y).

T1 \== T2.

T1 und T2 sind nicht identisch.

Durch \== werden keine Variablen instantiiert.

4 Syntax 4-25

T1 @< T2.

T1 @> T2.

T1 @=< T2.

T1 @>= T2.

Vergleich gemaß der Standardordnung fur (endliche) Terme.

Durch diese Tests werden keine Variablen instantiiert.

X -9 1 fie foe X = Y foe(0,2) fie(1,1,1)

sind der Standardordnung gemaß geordnet.

4 Syntax 4-26

@<, @>, @=<, @>= sind syntaktische, keine arithmetischenOperatoren:

?- 1+3 @> 2+1.

no (more) solution.

compare(Op,T1,T2).

Op ist das Ergebnis der Vergleichs der Terme T1, T2 gemaß derStandardordnung. Mogliche Werte: <, >, =.

4 Syntax 4-27

?- compare(Op,X,Y).

Op = >

?- compare(=,X,Y).

no (more) solution.

4 Syntax 4-28

X = Y, compare(Op,X,Y).

Op = =

4 Syntax 4-29

X=f(A), Y=f(A), compare(Op,X,Y).

Op = =

X = f(A)

Y = f(A)

compare(Op,1+2,2+1).

Op = <

4 Syntax 4-30

4.4 Programme

Ein Prolog-Programm ist eine Folge von Termen, jeweils gefolgtvon einem .

Kommentare werden mit % abgetrennt und reichen bis zumEnde der Zeile oder werden in /* . . . */ eingeschlossen.

Beispiel

% eltern(Kind,Vater,Mutter) setzt Kinder

% mit ihren Eltern in Relation.

eltern(/*Kind*/ lukas, /*Vater*/ klaus, /*Mutter*/ ingrid).

eltern(heike,klaus,ingrid).

4 Syntax 4-31

1. Prologprogramme sind aus Termen aufgebaut.

2. Terme sind Konstanten (Atome, Zahlen), Variablen oderStrukturen, in denen Terme als Argumente eines Funktorsauftreten.

3. Erklart man einen ein- oder zweistelligen Funktor zumOperator, darf man ihn in Termen prefix, postfix oder infixverwenden.

4 Syntax 4-32

4. Mit T1 = T2 wird festgestellt, ob T1 und T2 matchen.

5. Mit T1 == T2 wird festgestellt, ob T1 und T2 identisch sind.

6. Kommentare werden mit % abgetrennt oder in /* . . . */

eingeschlossen.

4 Syntax 4-33

Gegeben ein Programm P und eine Folge Z von Zielen.

1. Wahle das nachste Ziel L (ist Z leer ; Antwort).

2. Wahle die nachste Klausel K im Programm, deren Kopfmit L matcht.

3. Wenn es noch eine weitere Klausel gibt, die in Fragekommt, erzeuge einen choice point.

4. Instantiiere Variablen, so daß der Kopf von K und L

matchen.

5. Hange den Rumpf von K vorn an Z an.

6. Beginne von vorn.

5 Ausfuhrungsmodell 5-1

7. Schlagt die Suche fehl oder wird eine weitere Losungangefordert (redo), fahre am letzten choice point fort(Backtracking).

5.1 First Argument Indexing

Wann kommt eine Klausel ”in Frage“?

; betrachte den Funktor des ersten Arguments.

eltern(lukas, klaus, ingrid).

eltern(heike,klaus,ingrid).

?- eltern(lukas,V,M).

V = klaus

M = ingrid

eltern(sohn(lukas), vater(klaus), mutter(ingrid)).

eltern(sohn(klaus), vater(gustav), mutter(gertrud)).

?- eltern(sohn(lukas),V,M).

V = vater(klaus)

M = mutter(ingrid) More? (;)

no (more) solution.

eltern(lukas, klaus, ingrid).

eltern(klaus, gustav, gertrud).

?- eltern(K,V,ingrid).

S = lukas

V = klaus More? (;)

no (more) solution.

5.2 (nicht-)Determinismus

Ein Pradikat heißt deterministisch, wenn nach Erzeugen derersten Losung keine choice points zuruckbleiben.

Beispiel

t_min_1(T1,T2,T1) :- T1 @=< T2.

t_min_1(T1,T2,T2) :- T1 @> T2.

t_min_2(T1,T2,T3) :-

compare(Op,T1,T2),

t_min_next(Op,T1,T2,T3).

t_min_next(<,T1,_,T1).

t_min_next(=,T1,_,T1).

t_min_next(>,_,T2,T2).

?- t min 1(a,b,X).

X = a More? (;)

no (more) solution.

?- t min 2(a,b,X).

(nicht-)Determinismus kann vom mode abhangen, in dem einPradikat aufgerufen wird.

Jedes Argument hat einen argument mode:

+ Enthalt keine uninstantiierte Variable.

++ Grundterm

- Uninstantiierte Variable

Der mode eines Pradikats setzt sich aus den argument modeszusammen.

Man kann den mode eines Pradikats deklarieren (ist imHandbuch angegeben), dann gibt es noch die zusatzlicheDeklaration ? (egal).

Bis jetzt haben wir nur Pradikate kennengelernt, bei denen alleargument modes als ? deklariert sind.

Beispiel mutter(-,+) ist deterministisch, mutter(+,-) nicht.

5.3 Das Box-Modell

Erlaubt, die Ausfuhrung eines Pradikats zu verfolgen (trace).

Erzeuge fur jeden Aufruf eines Pradikats (Prozedur) eine Box.

Klauselnzu Z

CALL Z

EXIT sub

Kontrollfluß betritt/verlaßt die Box uber Ports:

CALL Z Erster Aufruf mit Ziel Z.; Klauseln zu Z per first argument indexing.

EXIT sub Erfolgreich beendet ; Ruckgabe substitution.

Laßt evtl. choice points zuruck.

FAIL (endgultiger) Fehlschlag.; REDO des vorhergehenden Ziels.

REDO Bewirkt Sprung zum nachsten choice point (oder FAIL).

Beispiel

weiblich(heike).

eltern(K,M,V) :- mutter(K,M), vater(K,V).

mutter(uwe,anke).mutter(thomas,anke).mutter(heike,anke).

vater(uwe,karl).vater(heike,holger).vater(thomas,holger).

5-12-1

?- weiblich(heike), eltern(heike,M,V), eltern(G,M,V).

5-12-2

5.4 last call optimisation

Wenn zum Zeitpunkt des Aufrufs des letzten Teilziels einerKlausel keine choice points ubrig sind, wird dieses in der Boxder aufrufenden Klausel ausgefuhrt.

1. Um ein Ziel zu erfullen, wird nach passenden Klauselngesucht.

2. Ob eine Klausel paßt, wird mit first argument indexingermittelt.

3. Gibt es mehrere passende Klauseln, wird ein choice pointerzeugt.

4. Fuhrt die Ausfuhrung eines Pradikats nicht zur Erzeugungvon choice points, nennt man dieses deterministisch.

Problem: Mit den Vergleichsoperatoren in 4.3.2 kannman Zahlen vergleichen. Arithmetische Ausdrucke wie z. B. 1+2konnen nicht gemaß des von ihnen reprasentierten Zahlenwertsverglichen werden.

6 Arithmetik 6-1

6.1 Arithmetische Ausdrucke

Induktive Definition: Ein arithmetischer Ausdruck ist

• eine Zahl oder

• eine Struktur, deren Funktor ein arithmetischer Operatorund deren Argumente arithmetische Ausdrucke sind oder

• eine Variable, die mit einen arithmetischen Ausdruckinstantiiert ist.

6 Arithmetik 6-2

6.2 Arithmetische OperatorenBeispiele:Ausdruck steht fur

-A NegationA1 + A2 SummeA1 - A2 DifferenzA1 * A2 ProduktA1 / A2 DivisionA1 ^ A2 ExponenzierungA1 // A2 Integer-Anteil der Division (nur wenn A1, A2 ganz)A1 mod A2 Modulo (A1 und A2 mussen ganz sein)abs(A) Absolutwert

6 Arithmetik 6-3

6.3 Auswertung eines arithmetischen Ausdrucks

is(?,+) X is Ausd

Ausd wird gemaß den Regeln der Arithmetik ausgewertet; dasErgebnis (Zahl) wird mit X gematcht.

6 Arithmetik 6-4

6.4 Vergleich arithmetischer Ausdrucke

Argumente werden ausgewertet und die Ergebnisse verglichen.

Vergleich Relation

A1 =:= A2 Gleich

A1 =\= A2 Ungleich

A1 < A2 Kleiner

A1 > A2 Großer

A1 >= A2 Großer oder Gleich

A1 =< A2 Kleiner oder Gleich

6 Arithmetik 6-5

1. Ein arithmetischer Ausdruck darf keine uninstantiiertenVariablen enthalten.

2. is(?,+) wertet einen arithmetischen Ausdruck aus undmatcht das Ergebnis mit einer Variablen.

3. =:=, =\=, <, >, >=, =< werten zwei arithmetische Ausdruckeaus und vergleichen die Ergebnisse.

6 Arithmetik 6-6

Beispiel gcd(+I,+J,?G) berechnet den großten gemeinsamenTeiler von I und J und matcht das Ergebnis mit G.

IB: Ist J = 0, so soll G = I gelten.

gcd(I,0,I).

IS: Ist J > 0, berechne gcd(J, I mod J, G).

gcd(I,J,Gcd) :-

J > 0, K is I mod J, gcd(J,K,Gcd) .

Dank last call optimization ist gcd iterativ ! IH

7 Rekursion 7-1

Beispiel ?- gcd(16,12,G).

Beispiel fact(+N,?F) berechnet die Fakultat dernaturlichen Zahl N und matcht das Ergebnis mit F.

IB: Ist N = 0, so soll F = 1 gelten.

fact(0,1).

IS: Ist N > 0, berechne fact(N-1, F’);es soll F is N * F’ gelten.

fact(N,F) :-

N > 0, N1 is N - 1, fact(N1,F1), F is N*F1.

fact ist nicht iterativ!

7 Rekursion 7-2

Beispiel ?- fact(5,F).

7.1 Von Rekursion zu Iteration: AkkumulatorenBeispiel Hilfspradikat fact(+I,+N,+A,-F):

I wird von 0 bis N hochgezahlt und dabei A = I! akkumuliert.

• Um fact(N,F) zu beweisen, beweise fact(0,N,1,F).

fact(N,F) :- fact(0,N,1,F).

• Ist I = N, soll F = A gelten.

fact(N,N,F,F).

• Ist I < N, berechne fact(I+1,N,A*(I+1),F).

fact(I,N,A,F) :- I < N, I1 is I + 1,

A1 is A*I1, fact(I1,N,A1,F).

7 Rekursion 7-3

Beispiel Hilfspradikat fact(+N,+A,-F):

N wird heruntergezahlt und dabei A = N ∗ (N− 1) ∗ . . .akkumuliert.

• Um fact(N,F) zu beweisen, beweise fact(N,1,F).

fact(N,F) :- fact(N,1,F).

• Ist N = 0, soll F = A gelten.

fact(0,F,F).

• Ist N > 0, berechne fact(N-1,A*N,F).

fact(N,A,F) :- N > 0, N1 is N -1, A1 is A*N,

fact(N1,A1,F).

7 Rekursion 7-4

Beispiel between(+I,+J,?K) ist erfullt,wenn K zwischen I und K liegt (incl.).

• Wenn I ≤ J gilt, ist K = I eine Losung.

between(I,J,I) :- I =< J.

• Wenn I < J gilt, ist auch K mit between(I+1,J,K) eineLosung.

between(I,J,K) :-

I < J, I1 is I+1, between(I1,J,K)

7 Rekursion 7-5

[eclipse 11]: between(4,7,N).

N = 4 More? (;)

N = 5 More? (;)

N = 6 More? (;)

N = 7 More? (;)

no (more) solution.

7 Rekursion 7-6

7.2 Arithmetik ‘logisch’: Successor-Arithmetik

Eine rekursive Datenstruktur fur naturliche Zahlen

nat(?N) soll fur jede naturliche Zahl erfullt sein.

nat(0).

nat(s(N)) :- nat(N).

7 Rekursion 7-7

Beispiel

[eclipse 8]: nat(X).

X = 0 More? (;)

X = s(0) More? (;)

X = s(s(0)) More? (;)

X = s(s(s(0))) More? (;)

X = s(s(s(s(0)))) More? (;)

7 Rekursion 7-8

Vergleich

leq(?N1,?N2) soll erfullt sein, wenn N1 ≤ N2 gilt.

leq(0,N) :- nat(N). (minimales Element)

leq(s(N1),s(N2)) :- leq(N1,N2).

7 Rekursion 7-9

Beispiel

[eclipse 16]: leq(N1,N2).

N1 = 0

N2 = 0 More? (;)

N1 = 0

N2 = s(0) More? (;)

N1 = 0

N2 = s(s(0)) More? (;)

7 Rekursion 7-10

Addition

splus(?N1,?N2,?S) soll erfullt sein, wenn N1 + N2 = S.

splus(0,N,N) :- nat(N). (neutrales Element)

splus(s(N1),N2,s(S)) :- splus(N1,N2,S).

7 Rekursion 7-11

Beispiel

[eclipse 12]: splus(X,Y,Z).

Z = 0 More? (;)

Y = s(0)

Z = s(0) More? (;)

7 Rekursion 7-12

[eclipse 13]: splus(X,0,Z).

Z = 0 More? (;)

X = s(0)

Z = s(0) More? (;)

X = s(s(0))

Z = s(s(0)) More? (;)

7 Rekursion 7-13

Euklidischer Algorithmus

less(0,s(N)) :- nat(N).

less(s(N1),s(N2)) :- less(N1,N2).

smod(N1,N2,N1) :- less(N1,N2).

smod(N1,N2,N3) :- splus(N11,N2,N1), smod(N11,N2,N3).

sgcd(N,0,N) :- less(0,N).

sgcd(N1,N2,G) :- less(0,N2), smod(N1,N2,N3), sgcd(N2,N3,G

7 Rekursion 7-14

Beispiel

[eclipse 9]: sgcd(s(s(s(s(s(s(s(s(s(0))))))))),

s(s(s(s(s(s(0)))))),

N = s(s(s(0))) More? (;)

no (more) solution.

7 Rekursion 7-15

[eclipse 14]: sgcd(N,s(s(s(s(s(s(0)))))),s(s(s(0)))).

N = s(s(s(0))) More? (;)

N = s(s(s(s(s(s(s(s(s(0))))))))) More? (;)

N = s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(s(...))))))))))) More? (;)

7 Rekursion 7-16

1. Ein rekursives Pradikat besitzt eine Regel, die einen Aufrufdesselben Pradikats als Teilziel enthalt.

2. Ein rekursives Pradikat ist immer induktiv aufgebaut:

• Die Induktionsbasis (Abbruchbedingung der Rekursion)ist ein ausreichend einfacher Fall, daß das Ziel ohnerekursiven Aufruf bewiesen werden kann.

• Im Induktionsschritt wird auf die Induktionshypothese(rekursiver Aufruf) zuruckgegriffen.

7 Rekursion 7-17

3. Ein rekursives Pradikat kann einen iterativen Prozeßdefinieren, wenn alle rekursiven Aufrufe am Ende der jwlg.Regel stehen und zum Zeitpunkt des rekursiven Aufrufskeine choice points zuruckbleiben (last call optimization).

7 Rekursion 7-18

Jede Struktur kann als Baum aufgefaßt werden.

buch(momo,autor(ende,michael))

momo autor

ende michael

8 Strukturen, Baume 8-1

Identische Variablen in Strukturen fuhren zu identischenKnoten.

f(X,g(X,a))

8.1 Implizit definierte Baume

fahrzeit(hbf,6min).

fahrzeit(bochum,12min).

fahrzeit(essen,20min).

fahrzeit(duesseldorf,40min).

fahrzeit(koeln,70min).

Man erhalt eine Baumstruktur durch Verwenden rekursivdefinierter Strukturen.

Gewunschte Baumdarstellung:

fahrzeit(essen,20min, , ).

fahrzeit(duesseldorf,40min, , ). fahrzeit(hbf,6min, , ).

fahrzeit(bochum,12min, , ). fahrzeit(koeln,70min, , ).

Als Term:

fahrzeit(essen,20min,

fahrzeit(duesseldorf,40min,

fahrzeit(bochum,12min,_,_),

fahrzeit(hbf,6min,

fahrzeit(koeln,70min,_,_)

Implementierung der Baumsuche:

:- op(1,xf,min).

suche(Stadt,fahrzeit(Stadt,Zeit,_,_),Zeit).

suche(Stadt,fahrzeit(StadtZuGross,_,Links,_),Zeit) :-

Stadt @< StadtZuGross,

suche(Stadt,Links,Zeit).

suche(Stadt,fahrzeit(StadtZuKlein,_,_,Rechts),Zeit) :-

Stadt @> StadtZuKlein,

suche(Stadt,Rechts,Zeit).

[eclipse 48]: suche(essen,B,20min),

suche(duesseldorf,B,40min),

suche(bochum,B,12min),

suche(hbf,B,6min),

suche(koeln,B,70min).

B = fahrzeit(essen, 20 min,

fahrzeit(duesseldorf, 40 min,

fahrzeit(bochum, 12 min, _126, _127

fahrzeit(hbf, 6 min,

fahrzeit(koeln, 70 min, _138, _139)

More? (;) ;

fahrzeit(hbf, 6 min, _132,

fahrzeit(StadtZuKlein, _136,

fahrzeit(koeln, 70 min, _

Alternative:

suche(Stadt,fahrzeit(Stadt,Zeit,_,_),Zeit).

suche(Stadt,fahrzeit(StadtZuGross,_,Links,_),Zeit) :-

nonvar(StadtZuGross),

Stadt @< StadtZuGross,

suche(Stadt,Links,Zeit).

suche(Stadt,fahrzeit(StadtZuKlein,_,_,Rechts),Zeit) :-

nonvar(StadtZuKlein),

Stadt @> StadtZuKlein,

suche(Stadt,Rechts,Zeit).

[eclipse 58]: suche(essen,B,20min),

suche(duesseldorf,B,40min),

suche(bochum,B,12min),

suche(hbf,B,6min),

suche(koeln,B,70min).

_119),

fahrzeit(hbf, 6 min,

fahrzeit(koeln, 70 min, _138, _139)

More? (;) ;

no (more) solution.

8.2 Explizit definierte Baume

bintree(void).

bintree(tree(Element,Left,Right)) :-

bintree(Left), bintree(Right).

Der Baum

wird reprasentiert als

tree(a,tree(b,void,void),tree(c,void,void)).

8.2.1 Suche in Baumen

bt_member(X,tree(X,_,_)).

bt_member(X,tree(_,Left,_)) :- bt_member(X,Left).

bt_member(X,tree(_,_,Right)) :- bt_member(X,Right).

[eclipse 54]: bt_member(a,T), bt_member(b,T),

bt_member(c,T), bintree(T).

T = tree(a,

tree(b,

tree(c, void, void),

void),

More? (;) ;

T = tree(a,

tree(b,

tree(c, void, void),

void),

tree(_107, void, void)

More? (;)

Suche mit Schlusseln:

bt_search(X,tree(X,_,_)).

bt_search(K-D,tree(KLarge-_,Left,_)) :-

K @< KLarge,

bt_search(K-D,Left).

bt_search(K-D,tree(KSmall-_,_,Right)) :-

K @> KSmall,

bt_search(K-D,Right).

[eclipse 62]:

bt_search(essen-fahrzeit(essen,20min),T),

bt_search(duesseldorf-fahrzeit(duesseldorf,40min),T),

bt_search(bochum-fahrzeit(bochum,12min),T),

bt_search(hbf-fahrzeit(hbf,6min),T),

bt_search(koeln-fahrzeit(koeln,70min),T),

bintree(T).

T = tree(essen - fahrzeit(essen, 20 min),

tree(duesseldorf - fahrzeit(duesseldorf, 40 min),

tree(bochum - fahrzeit(bochum, 12 min), void, vo

tree(hbf - fahrzeit(hbf, 6 min),

tree(koeln - fahrzeit(koeln, 70 min), void, void

More? (;) ;

T = tree(essen - fahrzeit(essen, 20 min),

tree(duesseldorf - fahrzeit(duesseldorf, 40 min),

tree(bochum - fahrzeit(bochum, 12 min), void, vo

tree(hbf - fahrzeit(hbf, 6 min),

tree(koeln - fahrzeit(koeln, 70 min),

tree(_171, void, void)

8.2.2 Baume durchlaufen

Beispiel

bt_subst(_,_,void,void).

bt_subst(X,Y,tree(Elem,L,R),tree(SElem,SL,SR)) :-

repl(X,Y,Elem,SElem),

bt_subst(X,Y,L,SL),

bt_subst(X,Y,R,SR).

repl(X,Y,X,Y).

repl(X,_,Z,Z) :- X \= Z.

[eclipse 81]: bt_subst(c,zeh,

tree(a,tree(b,void,void),tree(c,void,void)),T).

T = tree(a, tree(b, void, void), tree(zeh, void, void))

More? (;) ;

no (more) solution.

Beispiel

bt_count(void,0).

bt_count(tree(_,L,R),N) :-

bt_count(L,NL),

bt_count(R,NR),

N is NL + NR + 1.

ist nicht iterativ!

‘Iterativere’ Losung mit Akkumulator:

bt_count_it(T,N) :- bt_count(T,0,N).

bt_count(void,N,N).

bt_count(tree(_,L,R),A,N) :-

NA is A+1,

bt_count(L,NA,NL),

bt_count(R,NL,N).

8.2.3 Partielle Strukturen

Eine Struktur, die freie Variablen enthalt, nennen wir partielleStruktur.

Die Variablen konnen jederzeit instantiiert werden; Flexibilitat beim Aufbau der Struktur.

Uninstantiierte Variablen konnen dupliziert werden; ‘merken’ von Lochern.

Beispiel

T = lochb(tree(a,tree(b, ,Loch),tree(c, , )),Loch),

Loch = tree(d, , ).

1. Jede Struktur kann als Baum aufgefaßt werden.

2. Die Datenstruktur Baum kann implizit durch Verwendeneiner rekursiven Datenstruktur implementiert werden.

3. Man kann die Baumstruktur explizit machen durchVerwendung einer Struktur

tree(Knoten,LinkerTeilbaum,RechterTeilbaum)

4. Akkumulatoren konnen auch beim Baumdurchlaufengenutzt werden, um uberflussige Rekursion zu vermeiden.

5. Partielle Strukturen konnen als Strukturen mit Lochernaufgefaßt werden, wobei man die Locher explizitreprasentieren kann.

Induktive Definition: eine Liste ist

IB: die leere Liste [] oder

IS: eine Struktur .(K,L), wobei K (Kopf der Liste) einbeliebiger Term und L (Rumpf der Liste) wieder eine Listeist.

Baumnotation:

9 Listen 9-1

Alternative Notation:

.(K,L) [K|L]

.(T1,.(T2,.(T3,[]))) [T1,T2,T3]

9 Listen 9-2

Baumdarstellung fur [T1,T2,T3]:

Alternativ:

· · · []

T1 T2 T3

9 Listen 9-3

Listen konnen verschachtelt werden:

[a,V1,b,[X,Y]]

· · · · []

a V1 b · · []

9 Listen 9-4

Beispiel

p([1,2,3]).

p([1,2,3,[4,5,6]]).

[eclipse 16]: p([X|Y]).

Y = [2, 3] More? (;)

Y = [2, 3, [4, 5, 6]]

9 Listen 9-5

[eclipse 17]: p([_,_,_,[_|X]]).

X = [5, 6]

9 Listen 9-6

9.1 Suche nach Listenelementen

member(X, [X|_]).

member(X, [_|Y]) :- member(X,Y).

[eclipse 20]: member(X,[1,2,3]).

X = 1 More? (;)

X = 2 More? (;)

X = 3 More? (;)

no (more) solution.

9 Listen 9-7

9.2 Abbildungen auf Listen

map([], []).

map([K|R], [MK|MR]) :- m(K, MK), map(R,MR).

m(X,Y) :- Y is X * 2.

[eclipse 26]: map([1,2,3,4],L).

L = [2, 4, 6, 8]

9 Listen 9-8

m([],[]).

m([_|R],R).

[eclipse 30]: map([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],L).

L = [[2, 3], [5, 6], [8, 9]]

[eclipse 31]: map(L,[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]).

L = [[_96, 1, 2, 3], [_102, 4, 5, 6], [_108, 7, 8, 9]]

9 Listen 9-9

9.3 Listen aneinanderhangen

append([],L,L).

append([K|R1], L2, [K|R3]) :- append(R1,L2,R3).

9 Listen 9-10

[eclipse 33]: append(X,Y,[1,2,3]).

X = []

Y = [1, 2, 3] More? (;)

X = [1]

Y = [2, 3] More? (;)

X = [1, 2]

Y = [3] More? (;)

9 Listen 9-11

X = [1, 2, 3]

Y = []

9 Listen 9-12

Beispiel

bt_leaves(void,[]).

bt_leaves(tree(L,void,void),[L]).

bt_leaves(tree(_,Left,Right),L) :-

Left \= void,

bt_leaves(Left,L1), bt_leaves(Right,L2),

append(L1,L2,L).

bt_leaves(tree(_,Left,Right),L) :-

Right \= void,

bt_leaves(Left,L1), bt_leaves(Right,L2),

append(L1,L2,L).

9 Listen 9-13

[eclipse 80]: bt_leaves(tree(a,tree(b,void,void),

tree(c,void,void)

L = [b, c] More? (;)

9 Listen 9-14

9.4 Listenverarbeitung mit Akkumulatoren

9.4.1 Lange einer Liste

len1([],0).

len1([K|R], N) :- len1(R,N1), N is N1 + 1.

ist rekursiv,

len2(L,N) :- len_acc(L,0,N).

len_acc([],A,A).

len_acc([K|R],A,N) :- A1 is A + 1, len_acc(R, A1, N).

ist iterativ!

9 Listen 9-15

9.4.2 Eine Liste umkehren

‘Naive’ Version:

nreverse([], []).

nreverse([X|Xs], Zs) :-

reverse(Xs,Ys),

append(Ys,[X],Zs).

9 Listen 9-16

Mit Akkumulator:

areverse(Xs,Ys) :-

reverse_acc(Xs, [], Ys).

reverse_acc([],Ys,Ys).

reverse_acc([X|Xs],A,Ys) :-

reverse_acc(Xs,[X|A],Ys).

9 Listen 9-17

9.5 Listen mit ‘Lochern’: Differenzlisten

Eine Differenzliste ist eine partielle Liste die ein ‘Loch’ amEnde hat, zusammen mit dem Loch.

Beispiel [a,b,c|X]-X, reprasentiert als Baum:

9 Listen 9-18

In einer Differenzliste FL - D ist FL ein ‘Versprechen’ fur dievollstandige Liste und D der Anteil, der zur vollen Liste nochfehlt.

Der eigentliche Inhalt, der durch D=[] erhalten wird, ist alsotatsachlich in gewissem Sinne die Differenz zwischen FL und D.

Aneinanderhangen von Differenzlisten:

dl_append(A-M, M-R, A-R).

9 Listen 9-19

Beispiel

quicksort(L,S) :- quicksort_acc(L,[],S).

quicksort_acc([],S,S).

quicksort_acc([K|R],A,S) :-

split(K,R,L1,L2),

quicksort_acc(L1,[K|Loch],S),

quicksort_acc(L2,A,Loch).

split(M, [K|R1], [K|R2], L) :- K @=< M, split(M,R1,R2,L)

split(M, [K|R1], L, [K|R2]) :- K @> M, split(M,R1,L,R2).

split(_, [], [], []).

9 Listen 9-20

[eclipse 96]: quicksort([5,3,a,7,2,z,b],X).

X = [2, 3, 5, 7, a, b, z] More? (;) ;

9 Listen 9-21

1. Eine Liste ist eine spezielle Struktur mit Funktor ..

2. Schreibweise [K|R] (statt .(K,R)) fur eine Liste mit KopfK und Rumpf R.

3. Operationen auf Listen sind rekursiv: Behandle zuerst denKopf, dann (rekursiver Aufruf) den Rumpf.

9 Listen 9-22

4. Akkumulatoren konnen bei der Listenverarbeitung dieEffizienz verbessern.

5. Eine Differenzliste ist eine partielle Struktur, die anstellemit der leeren Liste mit einem Loch (uninstantiierteVariable) abgeschlossen wird, das explizit reprasentiertwird. Durch Instantiieren mit dem Loch kann an die Listeetwas hinten angehangt werden.

9 Listen 9-23

Das Ziel ! ist immer erfullbar und bewirkt einen Nebeneffekt:Alle choice points, die in der aktuellen Box noch existieren,

• sowohl choice points innerhalb der Boxen von Teilzielen

• als auch der choice point, der auf alternative Klauseln zumaktuellen Ziel zeigt,

werden geloscht.

Im Box-Modell: der FAIL-Port des ! (der vorher mit demREDO-Port des vorhergehenden Teilziels verbunden war), wirddirekt mit dem FAIL-Port der aktuellen Box verbunden.

10 Backtracking, der Cut 10-1

Der Cut bewirkt, daß das aktuelle Pradikat sich aufalle bisher getroffenen Entscheidungen festlegt.

10.1 Graue Cuts

Ein grauer Cut entfernt choice points, die nicht zu neuenLosungen fuhren.

Ein grauer Cut verandert nicht die logische Semantik einesProgramms, sondern verhindert nur, daß beim Beweis ‘sinnlose’Teilziele verfolgt werden.

10.1.1 Blaue Cuts

Machen ein Pradikat deterministisch, daß es eigentlich seinsollte, es aber nicht ist, weil dies vom Compiler nicht erkanntwird.

10.2 Rote Cuts

Schneiden Losungen ab.

Konnen eingesetzt werden, um unerwunschte Losungen zuverhindern.

10.3 Anwendungen des Cut

10.3.1 Cut/Fail

Dient, um Ausnahmen zu kennzeichnen.

11.1 Streams

In Prolog:

see(+File). Macht die Datei File zum aktuellenEingabestream. File muß ein atomsein. Sonderfall user: standard in.

seeing(?File). Matcht File mit dem aktuellenEingabestream (ohne ihn zu andern).

seen. Setzt den aktuellen Eingabestreamzuruck zu user.

11 Ein- und Ausgabe 11-1

tell(+File). Macht die Datei File zum aktuellenAusgabestream. File muß ein atomsein. Sonderfall user: standard out.

telling(?File). Matcht File mit dem aktuellenAusgabestream (ohne ihn zu andern).

told. Setzt den aktuellen Ausgabestreamzuruck zu user.

Achtung ‘Verschachteln’ von see/seen nicht moglich, alsoimmer mit seeing den aktuellen Stream merken.

In ECLiPSe Nur im Kompatibilitatsmodus. Sonst mit open

(Erzeugen eines ”physical stream“), set stream (fursee/tell), get stream (fur seeing/telling), close (furseen/told).

11.2 Ein- / Ausgabe von ASCII-Zeichen

get(?Ascii). Matcht Ascii mit dem Charactercode(Integer) des nachsten Zeichens, dasvom aktuellen Eingabestream gelesenwird.

put(+Ascii). Schreibt das Zeichen mit demCharactercode Ascii auf denaktuellen Ausgabestream.

nl. Schreibt ein Zeilenendekennzeichen auf denaktuellen Ausgabestream.

11.3 Ein- / Ausgabe von Termen

read(?T). Liest einen vollstandigen Term(abgeschlossen mit .) vom aktuellenEingabestream und matcht ihn mit T.

write(?T). Schreibt den Term T (ohne abschließenden .,unter Beachtung der Operatordefinitionen)auf den aktuellen Ausgabestream.

display(?T). Wie write, ohne Operatoren.

12.1 Programmkontrolle

Schlagt immer fehl.

Beispiel Wenn wir Pradikate mit Nebeneffekten einsetzen(z. B. I/O), konnen wir alle Losungen eines Zielsfolgendermaßen abarbeiten (failure-driven loop):

alle_Loesungen :-

ziel(X),

verarbeite(X),

12 Systempradikate 12-1

”Oder“. Werden Ziele mit ; verknupft (bindet schwacher als ,),so wird erst versucht, die linke Seite des ; zu beweisen. Schlagtdies fehl, so wird versucht, die rechte Seite des ; zu beweisen.

Beispiel

elternteil(X, Y) :-

vater(X, Y)

mutter(X, Y)

12.2 Manipulation und Aufruf von Termen

name(?A,?L). Matcht L mit der Liste von ASCII-Codes,die den Zeichen entsprechen, die das Atom A

bilden.

functor(?T,?F,?A). Matcht T mit einer Struktur, die denFunktor F und die Aritat A hat.

arg(+N,+T,?Arg). Matcht das N-te Argument vonStruktur T mit Arg.

=..(?Term,?Liste). Matcht Term mit dem Term, dessenFunktor der Kopf von Liste ist unddessen Argumente die restlichenListenelemente bilden.

call(+Goal). Ruft den Term Goal als Ziel auf.

Beispiel

mapfunc([], [], _).

mapfunc([K|R], [MK|MR], F) :-

functor(Ziel,F,2),

arg(1,Ziel,K),

arg(2,Ziel,MK),

call(Ziel),

mapfunc(R,MR,F).

[eclipse 30]: mapfunc([1,2,3,4],L,-).

L = [-1, -2, -3, -4]

Alternativ:

mapfunc([], [], _).

mapfunc([K|R], [MK|MR], F) :-

Ziel =.. [F,K,MK],

call(Ziel),

mapfunc(R,MR,F).

Achtung! call ist ‘undurchdringlich’ fur den cut.

12.3 Compiliert vs. Interpretiert

:- dynamic(pred/n). Erklart das n-stellige Pradikatpred als dynamisch. Dieses wirdinterpretiert und darf manipuliertwerden.

12.4 Inspektion der Datenbasis

clause(+Clause). Matcht Clause mit einer dynamischenKlausel, falls dies moglich ist.

listing. Listet alle dynamischen Pradikate auf.

listing(+Pred). Listet alle Klauseln zum dynamischenPradikat Pred. Pred darf furpradikatname oder furpradikatname/aritat stehen.

12.5 Alle Antworten

findall(?T,+Z,?L). Matcht L mit einer Liste aller Instanzenvon Term T, fur die Ziel Z erfullt ist.Deterministisch!

bagof(?T,+Z,?L). Instantiiert zunachst alle Variablen inZiel Z, die nicht in T vorkommen, so daßZ erfullbar ist, und matcht L mit einerListe aller Instanzen von Term T, fur dieZ erfullt ist. Evtl. nichtdeterministisch.

setof(?T,+Z,?L). Wie bagof, aber mit anschließendemsort (entfernt Duplikate).

Beispiel

stdpl(lukas,montag,lina).

stdpl(lukas,dienstag,et).

stdpl(lukas,freitag,rs).

stdpl(heike,montag,lsi).

stdpl(heike,mittwoch,tdl).

stdpl(heike,freitag,ki).

[eclipse 13]: findall(Tag-Fach,stdpl(P,Tag,Fach),L).

Tag = Tag

Fach = Fach

L = [montag - lina, dienstag - et, freitag - rs,

montag - lsi, mittwoch - tdl, freitag - ki]

[eclipse 14]: bagof(Tag-Fach,stdpl(P,Tag,Fach),L).

P = heike

Tag = Tag

Fach = Fach

L = [montag - lsi, mittwoch - tdl, freitag - ki] More?

P = lukas

Tag = Tag

Fach = Fach

L = [montag - lina, dienstag - et, freitag - rs]

[eclipse 15]: findall(Fach,stdpl(P,Tag,Fach),L).

Tag = Tag

Fach = Fach

L = [lina, et, rs, lsi, tdl, ki]

[eclipse 16]: bagof(Fach,stdpl(P,Tag,Fach),L).

P = heike

Tag = freitag

Fach = Fach

L = [ki] More? (;)

P = heike

Tag = mittwoch

Fach = Fach

L = [tdl] More? (;)

P = heike

Tag = montag

Fach = Fach

L = [lsi] More? (;)

P = lukas

Tag = dienstag

Fach = Fach

L = [et] More? (;)

P = lukas

Tag = freitag

Fach = Fach

L = [rs] More? (;)

P = lukas

Tag = montag

Fach = Fach

L = [lina]

[eclipse 18]: bagof(Fach,Tag^stdpl(P,Tag,Fach),L).

P = heike

Tag = Tag

Fach = Fach

L = [lsi, tdl, ki] More? (;)

P = lukas

Tag = Tag

Fach = Fach

L = [lina, et, rs]

12.6 Manipulation der Datenbasis

assert(+Clause). Fugt die Klausel Clause derDatenbasis hinzu.

asserta(+Clause). Fugt die Klausel Clause amAnfang der Datenbasis hinzu.

assertz(+Clause). Fugt die Klausel Clause amEnde der Datenbasis hinzu.

retract(+Clause). Entfernt die erste Klausel, dieClause matcht, aus derDatenbasis.

retractall(+Clause). Entfernt alle Klauseln, dieClause matchen, aus derDatenbasis.

Das Pradikat, das definiert oder geloscht wird, muß alsdynamisch deklariert sein.

Beispiel [eclipse 1]: assert(ich(bin(froh))).

[eclipse 2]: ich(bin(X)).

X = froh

[eclipse 3]: assert(ich(bin(X)) :- emotion(positiv,X)).

[eclipse 4]: assert(emotion(positiv,gluecklich)).

[eclipse 5]: assert(emotion(positiv,happy)).

[eclipse 6]: ich(bin(X)).

X = froh More? (;)

X = gluecklich More? (;)

X = happy

abolish(+Pred). Entfernt das Pradikat Predvollstandig aus der Datenbasis.Pred darf fur pradikatnameoder fur pradikatname/aritatstehen.

Das Pradikat kann statisch oder dynamisch sein.

:- module interface(+Name). Deklariert alles folgende (bisFileende oder module body) zInterfaceteil von Modul Name

:- module body(+Name). Deklariert alles folgende zumRumpf von Modul Name.

In Prolog: :- module(+Name).

use module(+Name). Macht das Interface von ModulName verfugbar.

13 Modulsystem 13-1

Wir kennen bereits:

• Listen

• Baume

• Record-Strukturen

14.1 Strings

In Prolog normalerweise reprasentiert durch Listen vonZeichencodes (integer-Werte).

Beispiel

14 Datenstrukturen und Algorithmen 14-1

?- "Hallo" = X.

X = [72, 97, 108, 108, 111]

?- display(‘Hallo‘).

.(72, .(97, .(108, .(108, .(111, [])))))

In ECLiPSe sind Strings ein eigener Typ von Konstante.

Beispiel

[eclipse 6]: "Hallo" = X.

X = "Hallo"

[eclipse 7]: display("Hallo").

Listennotation wird erreicht durch:

:- set_chtab(0’‘,list_quote).

[eclipse 5]: ‘Hallo‘ = X.

X = [72, 97, 108, 108, 111]

[eclipse 10]: type_of("Hallo",X).

X = string

[eclipse 11]: type_of(‘Hallo‘,X).

X = compound

" kann nicht umdefiniert werden.

14.2 Arrays

In Prolog schwer zu reprasentieren.

In ECLiPSe realisierbar mitfunctor(?Term,?Functor,?Arity) und arg(+N,+Term,?Arg)

(Aritat unbegrenzt).

Erzeugung eines ‘Arrays’ mit 1000 Elementen:

functor(Array,array,1000).

‘Zuweisung’ (nur einmal moglich) oder Auslesen eines Wertesan Element 537 des Arrays:

arg(537,Array,Wert).

Uberschreiben von Element 647 mit einem neuen Wert(Vorsicht Seiteneffekt!):

setarg(647,Array,Wert).

14.3 Konstruktion von Datenstrukturen

Durch Instantiieren von Variablen besteht in Prolog dieMoglichkeit, Datenstrukturen top-down oder bottom-up oder ineiner Mischung beider Paradigmen zu erzeugen.

Beispiel

append([],L,L).

append([K|R1], L2, [K|R3]) :- append(R1,L2,R3).

append erzeugt die Ergebnisliste top-down (von Kopf zuRumpf).

Beispiel listtoset(+List)?Set soll aus List top-down eineListe Set erzeugen, die jedes Element, das in List vorkommt,genau einmal enthalt (keine Duplikate).

listtoset([X|Xs],Ys) :-

member(X,Xs),

listtoset(Xs,Ys).

listtoset([X|Xs],[X|Ys]) :-

listtoset(Xs,Ys).

listtoset([],[]).

[eclipse 33]: listtoset([1,2,3,3,5,1,2,4,3,4],L).

L = [5, 1, 2, 3, 4]

Alternative mit Akkumulator:

listtoset_acc(Xs,Ys) :- listtoset_acc(Xs,[],Ys).

listtoset_acc([X|Xs],A,Ys) :-

member(X,A),

listtoset_acc(Xs,A,Ys).

listtoset_acc(Xs,[X|A],Ys).

listtoset_acc([],Ys,Ys).

[eclipse 35]: listtoset_acc([1,2,3,3,5,1,2,4,3,4],L).

L = [4, 5, 3, 2, 1]

Besser fur Mengen:

[eclipse 36]: sort([1,2,3,3,5,1,2,4,3,4],L).

L = [1, 2, 3, 4, 5]

oder Reprasentation durch Baume.

15.1 Ports

Das Verfolgen des Programmablaufs mit dem Debugger bestehtim Verfolgen der Durchgange durch die einzelnen Ports imerweiterten Box-Modell:

CALL Aufruf eines Pradikats.

Es wird das aktuelle Teilziel (Variableninstantiierung vordem Aufruf) angezeigt.

15 Der Debugger 15-1

EXIT Erfolgreiches Ende eines Pradikataufrufs.

Das erfolgreich beendete Teilziel wird mit der erfullendenVariablenbelegung angezeigt.

∗EXIT: nichtdeterministisches EXIT: REDO moglich.

FAIL Fehlschlag eines Teilziels.

Das nicht erfullbare Teilziel wird angezeigt.

NEXT Sprung zur nachsten Klausel in der aktuellen Boxaufgrund eines Fehlschlags in der vorhergehenden Klausel.

Es wird dasselbe wie beim zugehorigen CALL angezeigt.

REDO Wiedererfullung eines Pradikats.

Es wird das wiederzuerfullende Teilziel mit derVariableninstantiierung es letzten choice point angezeigt.

UNIFY Unifikation eines Klauselkopfes mit dem aktuellenTeilziel.

Das Ergebnis der Unifikation wird angezeigt.

Dieser Port existiert nicht bei Fakten.

LEAVE Spezialport fur block/3 und exit block/1.

CUT Entfernung eines choice point durch den !.

Es wird das nun nicht mehr wiedererfullbare Teilzielangezeigt.

TRY Erzeugung eines choice point.

Das wiedererfullbare Teilziel wird angezeigt.

DELAY Die Ausfuhrung des Pradikats wird aufgehalten(suspend). Kann nur bei coroutining auftreten.

RESUME Ein aufgehaltenes Pradikat wird ausgefuhrt (nachDELAY). Handhabung wie CALL.

15.2 Leashing

Wahrend des Verfolgens der Ausfuhrung werden die Portsindividuell behandelt. Dies ist abhangig vom leash level:

stop Es wird eine Statuszeile angezeigt, angehalten, derdebugger prompt gezeigt und auf eine Eingabe gewartet.

print Es wird eine Statuszeile angezeigt und sofortweitergemacht.

notrace Der Port wird nicht verfolgt.

set leash(+Port,+Level). Legt den leash level fur einenPort fest.

15.3 Debug mode

creep Debugger ist aktiviert.

Bei jedem Durchgang durch einen Port wird dessen leashlevel entsprechend gehandelt.

leap Debugger ist aktiviert.

Das Programm lauft normal bis zur Unterbrechung durchC-c, einen Fehler oder einen spy point.

15.4 Aufruf des Debuggers, Spypoints

debug. Schaltet den Debugger in leap mode.

trace. Schaltet den Debugger in creep mode.

nodebug. Schaltet den Debugger aus.

notrace. Schaltet den Debugger aus.

spy(+Pred). Setzt einen spy point fur Pradikat Pred.Pred darf fur pradikatname oder furpradikatname/aritat stehen.

Wird im leap mode ein Pradikat erreicht, das mit einem spypoint belegt ist, so schaltet der Debugger automatisch in creepmode.

Beispiel [eclipse 2]: trace.

Debugger switched on - creep mode

[eclipse 4]: set_leash(unify,stop).

[eclipse 6]: set_leash(next,stop).

[eclipse 12]: set_leash(try,print).

[eclipse 13]: listtoset([1,2,1],X).

(1) 0 CALL listtoset([1, 2, 1], X) (dbg)?- creep

(1) 0 TRY listtoset([1, 2, 1], X)

(1) 0 UNIFY listtoset([1, 2, 1], X) (dbg)?- creep

(2) 1 CALL member(1, [2, 1]) (dbg)?- creep

(2) 1 TRY member(1, [2, 1])

(2) 1 NEXT member(1, [2, 1]) (dbg)?- creep

(2) 1 UNIFY member(1, [2, 1]) (dbg)?- creep

(3) 2 CALL member(1, [1]) (dbg)?- creep

(3) 2 TRY member(1, [1])

(3) 2 *EXIT member(1, [1]) (dbg)?- creep

(2) 1 *EXIT member(1, [2, 1]) (dbg)?- creep

(4) 1 CALL ! (dbg)?- creep

(3) 2 CUT member(1, [1])

(1) 0 CUT listtoset([1, 2, 1], X)

(4) 1 EXIT ! (dbg)?- creep

(5) 1 CALL listtoset([2, 1], X) (dbg)?- creep

(5) 1 TRY listtoset([2, 1], X)

(5) 1 UNIFY listtoset([2, 1], X) (dbg)?- creep

(6) 2 CALL member(2, [1]) (dbg)?- creep

(6) 2 TRY member(2, [1])

(6) 2 NEXT member(2, [1]) (dbg)?- creep

(6) 2 UNIFY member(2, [1]) (dbg)?- creep

(7) 3 CALL member(2, []) (dbg)?- creep

(7) 3 FAIL member(2, []) (dbg)?- creep

(6) 2 FAIL member(2, [1]) (dbg)?- creep

(5) 1 NEXT listtoset([2, 1], X) (dbg)?- creep

(5) 1 UNIFY listtoset([2, 1], [2|Ys]) (dbg)?- creep

(8) 2 CALL listtoset([1], Ys) (dbg)?- creep

(8) 2 TRY listtoset([1], Ys)

(8) 2 UNIFY listtoset([1], Ys) (dbg)?- creep

(9) 3 CALL member(1, []) (dbg)?- creep

(9) 3 FAIL member(1, []) (dbg)?- creep

(8) 2 NEXT listtoset([1], Ys) (dbg)?- creep

(8) 2 UNIFY listtoset([1], [1|Ys]) (dbg)?- creep

(10) 3 CALL listtoset([], Ys) (dbg)?- creep

(10) 3 EXIT listtoset([], []) (dbg)?- creep

(8) 2 EXIT listtoset([1], [1]) (dbg)?- creep

(5) 1 EXIT listtoset([2, 1], [2, 1]) (dbg)?- creep

(1) 0 EXIT listtoset([1, 2, 1], [2, 1]) (dbg)?- cree

X = [2, 1]

[eclipse 15]: debug.

Debugger switched on - leap mode

[eclipse 16]: spy(member).

spypoint added to member / 2.

[eclipse 17]: listtoset([1,2,1],X).

+(2) 1 CALL member(1, [2, 1]) (dbg)?- creep

16.1 Flags

Direktive Werte fur Flag

:- set flag(debug compile,Flag). on, off

Sollen Debug-Informationen eincompiliert werden?

:- set flag(occur check,Flag). on, off

Occur-Check bei der Unifikation?

16 Der Compiler 16-1

:- set flag(dfid compile,Flag). on, off

Iterative deepening moglich?

:- set flag(float precision,Flag). single, double

Direktive

:- set flag(variable names,Flag).

Werte fur Flag

check singletons, on, off

Variablennamen merken?

16.2 Aufruf

compile(+F). Compiliere Datei F in die akt.Datenbasis.

compile(+F,+M). Compiliere Datei F in Modul M.

ensure loaded(+F). Compiliere F, falls notig.

make. Compiliere alle geanderten Dateienneu.

lib(+File). Lade Library File.

16.3 Mode Declarations

:- mode pred(+,?). Lege den mode von pred fest.

16.4 Stand-alone Programme

In ECLiPSe (bei uns) keine Erzeugung ausfuhrbarer Dateienmoglich.

Nutzung von ECLiPSe als Runtimesystem fur einstand-alone-Programm mit Kommandozeilen-Optionen.

eclipse -b boot Compiliere sofort die Datei boot.

eclipse -e goal Fuhre als erstes das Ziel goal aus.

Bei Kombination von -b und -e wird erst boot compiliert unddann goal ausgefuhrt.

Beispiel

:- use_module(listen).

interface(L) :-

write("Die aktuelle Liste ist: "),

writeln(L),

writeln("n - Neue Liste eingeben"),

writeln("l - Laenge bestimmen"),

writeln("r - Liste umdrehen"),

writeln("d - Duplikate entfernen"),

writeln("q - Ende"),

get_char(C),

execute(C,L).

execute("n",_) :-

write("Neue Liste? "),

read(L),

interface(L).

execute("l",L) :-

len2(L,N),

write("Laenge: "),

writeln(N),

interface(L).

execute("r",L) :-

areverse(L,R),

interface(R).

execute("d",L) :-

listtoset(L,S),

interface(S).

execute("q",_).

execute(_,L) :- % Kein erlaubtes Kommando

get_char(C),

execute(C,L).

eclipse -b userinterface -e "interface([])."

listen.pl compiled traceable 4872 bytes in 0.05 seconds

userinterface.pl compiled traceable 1496 bytes in 0.07 se

Die aktuelle Liste ist: []

n - Neue Liste eingeben

l - Laenge bestimmen

r - Liste umdrehen

d - Duplikate entfernen

q - Ende

Neue Liste? [1,2,3].

Die aktuelle Liste ist: [1, 2, 3]

r - Liste umdrehen

q - Ende

Laenge: 3

r - Liste umdrehen

q - Ende

r - Liste umdrehen

q - Ende

Neue Liste? [1,2,3,2,1].

Die aktuelle Liste ist: [1, 2, 3, 2, 1]

r - Liste umdrehen

q - Ende

r - Liste umdrehen

q - Ende

pkpro00@neon(/home/pkpro/pkpro00/Beispiele){8}:

17.1 ProTcXl

Interface Prolog — Tcl/Tk und Xlib

Tcl Skriptsprache fur die Oberflachenprogrammierung

Tk Sprache zur Konstruktion von Widgets(Oberflachenelementen).

Xlib X11 Oberflachenbibliothek

17 Oberflachenprogrammierung 17-1

17.2 Aufruf

Library laden:

:- lib(tk).

Hauptfenster offnen:

tk(+Optionen).

Optionen legen das Aussehen des Fensters fest (z. B.geometry). Im einfachsten Fall: [].

17.3 Erzeugung von Widgets

tcl(’TCL code’).

[eclipse 5]: tcl ’button .b -text "Hi" -command exit; pac

18.1 Programm-Layout

18.1.1 Aufteilen des Programms in Module

Module sollten thematisch zusammengehorige Pradikatesammeln.

Durch das Modul-Interface konnen interne Pradikate verstecktwerden.

18 Entwurf von Prolog-Programmen 18-1

Beispiel

/* Hier beginnt das Interface fuer listtoset.

:- module_interface(listtoset).

/* Direktiven, die in diesem und allen importierenden

* Modulen wirksam sind.

:- op(200,xfx,-*->).

:- op(200,xfx,=*=>).

/* Praedikate, die in dieses und alle importierenden

* Module importiert werden sollen.

:- import member/2 from listen.

/* Praedikate, die in importierende Module exportiert

* werden sollen.

:- export ’-*->’/2, ’=*=>’/2.

/* Ende des Interface; jetzt kommt der body.

:- begin_module(listtoset).

/* Alle Direktiven, Deklarationen und Imports, die hier

* stehen, sind nur in DIESEM Modul sichtbar.

[X|Xs] -*-> Ys :-

member(X,Xs),

Xs -*-> Ys.

[X|Xs] -*-> [X|Ys] :-

Xs -*-> Ys.

[] -*-> [].

Xs =*=> Ys :- listtoset_acc(Xs,[],Ys).

member(X,A),

listtoset_acc(Xs,A,Ys).

listtoset_acc(Xs,[X|A],Ys).

listtoset_acc([],Ys,Ys).

[eclipse 49]: use_module(listtoset).

[eclipse 54]: [1,2,3,2,1] -*-> L.

L = [3, 2, 1]

[eclipse 55]: [1,2,3,2,1] =*=> L.

L = [3, 2, 1]

[eclipse 56]: listtoset_acc([1,2,3,2,1],[],Ys).

calling an undefined procedure listtoset_acc([1, 2, 3, 2

18.1.2 Aufteilen eines Moduls in Pradikate

• In Prolog sollten die Pradikate so klein sein wie moglich,aber eine logische Bedeutung haben.

• Beim Entwurf auf die Schnittstellen (Argumente) achten!

• Zu jedem Pradikat gehort ein Kommentar, in dem

1. die logische Bedeutung des Pradikats,

2. die Reihenfolge, Bedeutung und Typen der Argumente,

3. die zulassigen modes

erlautert werden.

18.1.3 Implementieren eines Pradikats durch Klauseln

• Klauseln eines Pradikats mussen zusammen stehen(Prozedur).

• Klauseln sollten lesbar sein. Dazu sollten

– nicht mehr Teilziele in einer Zeile stehen als unbedingtnotig (am besten genau eins),

– , und ; auf keinen Fall in einer Zeile zusammen stehen,

– ; am Anfang einer ansonsten leeren Zeile stehen.

• Cuts sollten durch Kommentare (blau/grun/rot) erlautertwerden.

• Man prufe, ob sich ; durch Verwendung vonHilfspradikaten vermeiden lassen (nur, wenn diese einelogische Bedeutung haben).

18.2 Vermeiden von Fehlern

18.2.1 Eyeball debugging

Haufige Fehler, die zu silent failure fuhren konnen.:

• Tippfehler in Funktoren,

• falsche Aritat,

• falsche Klammerung bei Operatoren,

• Variablen(un)instantiierungen und sharing,

• bei Fallunterscheidungen: sich uberschneidende / fehlendeFalle.

18.2.2 Steadfastness

Ein Pradikat heißt steadfast, wenn es in allen vorgesehenenModes wie gewunscht funktioniert.

Beispiel max(+N1,+N2,?M).

max1(X,Y,X) :- X >= Y.

max1(X,Y,Y) :- X < Y.

[eclipse 12]: max1(2,1,X).

X = 2 More? (;) ;

no (more) solution.

max2(X,Y,X) :- X >= Y, !. % Blauer CUT

max2(X,Y,Y) :- X < Y.

[eclipse 14]: max2(2,1,X).

max3(X,Y,X) :- X >= Y, !. % ROTER CUT

max3(_,Y,Y).

[eclipse 19]: max3(10,0,0).

Wichtig: Ein ! muß genau dort stehen, wo absolut sicher ist,daß die richtige Klausel ausgewahlt wurde.

Beispiel

max4(X,Y,Z) :- X >= Y, !, Z is X. % ROTER CUT

max4(_,Y,Y).

[eclipse 21]: max4(10,0,0).

no (more) solution.

Daumenregel: Matching von Ausgabevariablen hinter den !

verschieben.

Beispiel flatten(+L,?FL).

flatten1(L,FL) :- flatten1(L,FL,[]).

flatten1([],L,L).

flatten1([K|R],L0,L) :-

flatten1(K,L0,L1),

flatten1(R,L1,L).

flatten1(O,[O|L],L) :-

O \= [],

O \= [_|_].

[eclipse 35]: flatten1([[1,2],[[3],4]],L).

L = [1, 2, 3, 4] More? (;) ;

no (more) solution.

flatten2([],L,L) :- !. % Blauer CUT

flatten2([K|R],L0,L) :- !, % Blauer CUT

flatten2(K,L0,L1),

flatten2(R,L1,L).

flatten2(O,[O|L],L) :-

O \= [],

O \= [_|_].

[eclipse 37]: flatten2([[1,2],[[3],4]],L).

L = [1, 2, 3, 4]

flatten3([],L,L) :- !. % ROTER CUT

flatten3([K|R],L0,L) :- !, % ROTER CUT

flatten3(K,L0,L1),

flatten3(R,L1,L).

flatten3(O,[O|L],L)

* O \= [],

* O \= [_|_]

[eclipse 40]: flatten3([],X).

X = []

[eclipse 42]: X = [_], flatten3([],X).

X = [[]]

flatten4([],L0,L) :- !, % ROTER CUT

L0 = L. % Matching NACH dem CUT

flatten4([K|R],L0,L) :- !, % ROTER CUT

flatten4(K,L0,L1),

flatten4(R,L1,L).

flatten4(O,[O|L],L)

* O \= [],

* O \= [_|_]

[eclipse 45]: flatten4([],X).

X = []

[eclipse 46]: X = [_], flatten4([],X).

no (more) solution.

• Rein deklarative Programmiersprache.

• Keine Nebeneffekte:

– kein CUT,

– I/O-Pradikate manipulieren state of the world.

• Kombination von logischem und funktionalemProgrammieren.

• Deklarationen fur

– Typen,

– Modes,

– Determinismus.

19 Einfuhrung in MERCURY 19-1

• Compiler pruft die Korrektheit der Deklarationen undoptimiert das Programm.

19.1 Syntax

Im Prinzip wie bei ECLiPSe, mit zusatzlichen Deklarationen(s.u.) und folgenden Erganzungen.

19.1.1 Klauseln

Klauseln, deren Kopf den Funktor = hat, heißenFunktionsklauseln.

Funktionsfakt:

Kopf = Ergebnis.

Funktionsregel:

Kopf = Ergebnis :- Rumpf.

kopf ist eine Struktur, deren Funktor die Funktion festlegt.

Die Argumente von kopf sind Datenterme.

19.1.2 Datenterme

Datenterme sind Terme, in denen auch Funktionsaufrufevorkommen durfen.

Funktionsaufruf:

?- P = preis(aepfel,kg,dm,

1.0 + jahreszeitanpassung(september,dm)

P = preis(aepfel, kg, dm, 1.90000000000000).

Definieren und Anwenden einer Funktion perlambda-Ausdruck:

?- N = apply(func(M) = jahreszeitanpassung(M,dm),

september

N = 0.900000000000000

19.2 Module

Ein Mercury-Programm besteht aus einer Folge von Modulen.

Beispiel

:- module queue.

:- interface.

% Declare an abstract data type.

:- type queue(T).

% Declare some predicates which operate on the abstract d

:- pred empty_queue(queue(T)).

:- mode empty_queue(out) is det.

:- mode empty_queue(in) is semidet.

:- pred put(queue(T), T, queue(T)).

:- mode put(in, in, out) is det.

:- pred get(queue(T), T, queue(T)).

:- mode get(in, out, out) is semidet.

:- implementation.

% Queues are implemented as lists. We need the ‘list’ mod

% for the declaration of the type list(T), with its const

% ’[]’/0 % and ’.’/2, and for the declaration of the pred

% list__append/3.

:- import_module list.

% Define the queue ADT.

:- type queue(T) == list(T).

% Declare the exported predicates.

empty_queue([]).

put(Queue0, Elem, Queue) :-

list__append(Queue0, [Elem], Queue).

get([Elem | Queue], Elem, Queue).

:- end_module queue.

• Zugriff auf Objekte aus importierten Modulen:

Modulname Objektname

• Ein Modul im Programm muß ein zweistelliges Pradikatmain(io state::di, io state::uo) exportieren, dasbei Ausfuhren des Programms aufgerufen wird.

19.3 Typen

Jedem Term wird ein Typ zugeordnet.

Primitive Typen: char, int, float, string.

Pradikattypen: pred, pred(T), pred(T1,T2), . . .

Funktionstypen: (func) = T, func(T1) = T2, . . .

Der universale Typ: univ.

Der state of the world Typ: io state

19.3.1 Typen deklarieren

:- type monat ---> januar; februar; maerz; april;

mai; juni; juli; august; september;

oktober; november; dezember.

:- type kaufbar ---> aepfel.

:- type gewichtseinheit ---> kg.

:- type waehrung ---> dm.

:- type preisprogewicht

---> preis(kaufbar,

gewichtseinheit,

waehrung,

:- type employee

---> employee(string, % name

int, % age

string % department

:- type tree

---> empty

; leaf(int)

; branch(tree, tree).

:- type list(T)

---> []

; [T | list(T)].

:- type pair(T1, T2)

---> T1 - T2.

Ein Typ ohne Typvariablen heißt monomorph, mitTypvariablen polymorph.

19.3.2 Aquivalenztypen

:- type money == int.

:- type assoc_list(KeyType, ValueType)

== list(pair(KeyType, ValueType)).

19.3.3 Abstrakte Typen (fur Modulinterfaces)

:- type queue(T).

Funktoren werden nach Name, Aritat und Typ unterschieden.

19.3.4 Typdeklarationen fur Pradikate und Funktionen

:- func jahreszeitanpassung(monat, waehrung) = float.

:- pred member(T, list(T)).

:- func length(list(T)) = int.

:- func sum(list(int)) = int.

:- func map(list(T1), func(T1) = T2) = list(T2).

Der Compiler pruft die Korrektheit von Typdeklarationen.

19.4 Modes

Die einfachsten Modes:

in Grundterm.

out Eine freie Variable wird gebunden.

Modedeklarationen:

:- pred append(list(T), list(T), list(T)).

:- mode append(in, in, out).

:- mode append(out, out, in).

:- pred empty_queue(queue(T)).

:- mode empty_queue(out) is det.

:- mode empty_queue(in) is semidet.

Auch Funktionen konnen verschiedene Modes annehmen.

Hat ein Pradikat oder eine Funktion nur einen Mode, so kannman Mode- und Typdeklaration kombinieren.

:- func length(list(T)::in) = (int::out).

:- func jahreszeitanpassung(monat::in, waehrung::in)

= (float::out).

Der Compiler pruft die Korrektheit von Modedeklarationen.

19.5 Determinismus

Jedem mode eines Pradikats oder einer Funktion wird eineDeterminismuskategorie zugeordnet.

det Hat genau eine Losung.

semidet Hat hochstens eine Losung.

multi Hat mindestens eine Losung.

nondet Kann fehlschlagen, eine oder mehrere Losungen haben.

failure Hat keine Losung.

erroneous Erzeugt in jedem Fall einen Laufzeitfehler.

Maximale Anzahl von Losungen

Kann Fehlschlagen? 0 1 > 1

nein erroneous det multi

ja failure semidet nondet

Die Determinismusdeklaration wird an die Modedeklarationangehangt.

:- func jahreszeitanpassung(monat::in, waehrung::in)

= (float::out)

is det.

:- pred append(list(T), list(T), list(T)).

:- mode append(in, in, out) is det.

:- mode append(out, out, in) is multi.

:- mode append(in, in, in) is semidet.

:- pred loop(int::in) is erroneous.

loop(X) :- loop(X).

:- pred p is det.

:- pred q is failure.

q :- fail.

Der Compiler pruft die Korrektheit vonDeterminismusdeklarationen.

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