2. Mengen

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895)

x M

M = { a, e, i, o, u }

= { u, e, i, a, o } = { a, e, i, o, u, u, u }

b M

= { 1, 2, 3, ... }

M = { x | x x < 3 }.

M = { x | xx = xx }

M = { x | x2 - 3x + 2 = 0 }

M = { 1, 2 }

M = { x | P(x) }

wo P(x) = "x2 - 3x + 2 = 0"

= { 1, 2, 3, ... }

0 = { 0, 1, 2, 3, ... } , Kardinalzahlen

= { ..., -1, 0, 1, 2, ... }

= { m/n | m n }

= { x | x besitzt Dezimaldarstellung }.

= { x + iy | x, y , i2 = -1 }

A B strikte Inklusion

( x: x A x B) ( x: x B x A)

A A schwache Inklusion

(A B B A) (A = B)

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

A B = { x | x A x B }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

A B = { x | x A x B }1 - 2 = - 1

{ 1 } \ { 1, 2 } = A \ B = { x | x A x B }

A B = { (x, y) | x A y B }

{ a, b, c } { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) }

A B C besteht aus geordneten Tripeln(a, b, c) wobei a A, b B, c C.

Anstelle von schreibt man auch einfach 3 .

n n-dimensionaler euklidischen Raum, dessen Elemente die n-Tupel (x1, x2, x3, ..., xn) sind:

n = { (x1, x2, x3, ..., xn) | xk , 1 k n }

Kommutativität

A, B: A B = B A

A, B: A B = B A

A, B: A \ B B \ A

A, B: A B B A

Assoziativität

A, B, C: (A B) C = A (B C) = A B C

A, B, C: (A B) C = A (B C) = A B C

A, B, C:(A B) C A (B C)

A, B, C: A (B C) = (A B) (A C) (2.1)

A, B, C: A (B C) = (A B) (A C) (2.2)

Das Komplement A* einer Menge A (bezüglich )

A* = { x | x x A }

A A* =

A A* =

A = A**

Sätze von de Morgan:

(A B)* = A* B* (2.3)

(A B)* = A* B* (2.4)

Augustus De Morgan

2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A B, die Vereinigung A B und die Differenz A \ B sowie B \ A.

2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A B) C A (B C).

2.3 Für die nicht leere Menge M prüfe man durch logische Herleitung und mit Mengendiagrammen die Sätze:

M M = M (Idempotenzgesetz)M M = M (Idempotenzgesetz)M \ M = M = M = M ( ist neutrales Element der Schnittbildung)M = M ( ist neutrales Element der Vereinigung)M = A (A B) = A (Absorptionsgesetz)A (A B) = A (Absorptionsgesetz)

2.4 Vereinfachen Sie:(A (B A))(A B) (A B*) (A* B) (A B)(A B*)* (A* B)*(((A (B C)) B) \ C) ((A B A*) \ B). [Hinweis: A \ B = A B*.]

2.5 Führt man in einer logischen Aussage die folgenden Ersetzungen bzw. ihre Umkehrungen durch: , und M M* (einschließlich ), so erhält man die duale Aussage. Beispiel: M = ist dual zu M* = . Bilden Sie die dualen Aussagen zuA (B A) = AM = MM M* = und prüfen Sie deren Gültigkeit.

2.6 A = { 1, a } und B = { 1, 2 }. Bilden Sie das Produkt A B sowie das Produkt B A.