2.3 Theorie linearer Systeme

1

2.3.1 Grundsätzliche Methode

2

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

3

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

Definition: ElementarsignalUnter einem Elementarsignal versteht man eine Klasse von Zeitfunktionen,aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensetzbar ist.

4

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

zerlegen

5

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

zerlegen

einzeln berechnen6

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

zerlegen

einzeln berechnen7

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

y3(t)…..

zerlegen

einzeln berechnen8

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

y3(t)…..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

9

2.3.2 Gültigkeitsvoraussetzungen

10

y(t-t)y(t)

y

t

t

Drei Forderungen an Elementarsignale:

1. Jedes „vernünftige“ Eingangssignal muss sich aus ihnen zusammensetzenlassen Für Rechteck-Impulse erfüllt

2. Sie müssen mathematisch einfach behandelbar sein Für Rechteck-Impulse erfüllt

3. Sie müssen experimentell leicht nachgebildet werden können Für Rechteck-Impulse erfüllt

11

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

12

Definition: KausalitätEin System wird kausal genannt, wenn jedes Ausgangssignal y(t) bis zu irgendeinem Zeitpunkt t1 ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x(t) bis zu diesem Zeitpunkt abhängt

13

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

14

t

t

t

t

x1(t)

x2(t) f(x2(t))

f(x1(t))

Zeitinvarianz:

15

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

16

SYSTEM

nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht :

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) f( x1(t) + x2(t))

Es gilt das Superpositionsprinzip:

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y = y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) = f( x1(t) + x2(t) )

Lineare Systeme werden durch

linerae Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten beschrieben

Wiederholung:

17

Beispiel statisches SystemEingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)

Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)

Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)

Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)

Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %

0 %Schieber-position

Durchfluß

Strömungs-geschwindigkeit VS

Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad

Informations-Verarbeitung

I-Eingabe I-Ausgabe

I-Nutzung I-Gewinnung

VS / %

PS / %100

100

0

SYSTEMPS VS

Wiederholung:

18

statischeKennliniey=f(x)

Approxi-mations-fehler

?x y

Statisches Systemmodell dieser Maschine

Wiederholung:

19

Verhalten eines linearen Systems (Superposition)

t

t

t

t

t

t

x1(t)

x2(t)

x1(t) + x2(t) f(x1(t) + x2(t))

f(x2(t))

f(x1(t))

Wiederholung:

20

2.3.3 Faltungsintegral

21

Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls

Höhe=1/ , Breite=Fläche=1

t

g(t)

System(t) g(t)

t

(t)

t

(t)

falls Breite gegen Null t 0

wird Höhe=1/ unendlich Einheitsimpuls entartet zum Dirac-Stoß (t),

t

(t)

22

t

g(t)

System(t) g(t)

t

(t)

normierter Einheitsimpuls (t): Antwort g(t)auf den normierten Impuls

Höhe=1 , Breite=Fläche=

23

für zeitinvariante Systeme gilt:

System(t) g(t)

t

g(t)

t

(t)

WENN

t

g(t-)

t

(t-)

DANN

Sobald man den Eingangsimpulsum nach rechts verschiebt

24

für lineare Systeme giltaußerdem: System(t) g(t)

t

g(t)

t

(t)

t

x()g(t-)

t

x(t-)

UND

DANN

WENN

UND

x()g(t-)x(t-)

tt

Sobald man die Summe aller Signale bildet

tt

x(t-) x()g(t-)

25

Systemx(t) y(t)

tt

x(t-) x()g(t-)

x(t) ~ x()(t-)

mit f1() = x()(t-) für t=const

x(t) ~ f1()

~ Fläche unter f1() für 0

= f1()d

x(t) = x()(t-)d

y(t) ~ x()g(t-)

mit f2() = x()g(t-) für t=const

y(t) ~ f2()

~ Fläche unter f2() für 0

= f2()d

y(t) = x()g(t-)d

Funktionen von zwei Variablen: von t und . Hier interessiert aber nur der Wert bei einem t=const:

26

Systemx(t) y(t)

tt

x(t-) x()g(t-)

x(t) ~ x()(t-)

mit f1() = x()(t-) für t=const

x(t) ~ f1()

~ Fläche unter f1() für 0

= f1()d

x(t) = x()(t-)d

y(t) ~ x()g(t-)

mit f2() = x()g(t-) für t=const

y(t) ~ f2()

~ Fläche unter f2() für 0

= f2()d

y(t) = x()g(t-)d

Funktionen von zwei Variablen: von t und . Hier interessiert aber nur der Wert bei einem t=const:

Faltungs-integral 27

Systemx(t) y(t)

tt

x(t-) x()g(t-)

y(t) ~ x()g(t-)

mit f2() = x()g(t-) für t=const

y(t) ~ f2()

~ Fläche unter f2() für 0

= f2()d

y(t) = x()g(t-)d

Faltungs-integral

x(t)x ~

kennenwir !

g(t-)

kennenwir !

28

2.3.4 Stabilität

29

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke 30

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: Schwingungen 31

Definition der Stabilität

32

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-stabil

Bx

By

33

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

Bx

By

?

gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-instabil34

vG1

G2

x a y

b

21

1

1 kkk

xykges

v = Rückkopplungsschaltung:Mitkopplung

Gegenkopplung

Bei welcher Parameter-Konstellationkönnte es in der Praxis Problemegeben ?

35

Tacoma Narrows Bridge (Washington, 7. November 1940)

36

37