Algorithmen des Internets 2005

HEINZ NIXDORF INSTITUTUniversität Paderborn

Algorithmen und Komplexität

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Klausuraufgaben

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Aufgabe 1

– Welcher Algorithmus ist besser geeignet, um für das Routing in einem Netzwerk kürzeste Wege zu bestimmen?

Breitensuche Tiefensuche

– Eigennütziges Routing: Ändert sich im nachfolgend abgebildetenNetzwerk durch das Einfügen der Kante (B,A) mit Kosten 0 die optimale Lösung?

ja nein

X

X

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Aufgabe 1

– Zu welcher Art des Routings zählt das Link-State-Routing?

Oblivious Routing Adaptives Routing

– Welche Größe versucht man im Mehrfach-Fluss-Modell zu minimieren?

Congestion Dilation

Durchsatz Routingzeit

– Bandbreitenallokation im statischen Fall: Welcher Algorithmus benötigt die

wenigsten Schritte, um die korrekte Bandbreite zu ermitteln?

Binäre Suche AIMD Shrink-Algorithmus

X

X

X

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Aufgabe 2

• Zeichnen Sie zu den angegebenen Tabellen das zugehörige Netzwerk und berechnen Sie die Folgetabellen. Tritt das Count-to-Infinity-Problem auf? (ja)

A B C

ZielEntf

.via

B 1 B

C 2 B

ZielEntf

.via

A 1 A

C ∞ C

X

ZielEntf

.via

A ∞ B

B ∞ B

Router A Router B Router C

ZielEntf

.via

B 1 B

C 2 B

ZielEntf

.via

A 1 A

C ∞ C

ZielEntf

.via

A ∞ B

C ∞ B

update

4 3 A ------update

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Aufgabe 3

• Simulieren Sie AIMD versus AIAD. Verfügbare Bandbreite u=100, Startpunkt (20,50). Zeichnen Sie Fairness- und Effizienzlinie ein.(vgl. Übungsblatt 4)

das Diagramm wurde mitsim 0 1 20 50 21 erzeugt (siehe Materialien zu Übung 4)

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Aufgabe 3

• Beweisen Sie die Fairness-Funktion F(x,y) := (x+y) / (2x2+2y2)für x,y ≥ 0 höchstens 1 werden kann.

Lösungshinweis: (x-y)2 ≥ 0

(vgl. Übungsblatt 4)

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Aufgabe 4

Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u [1..n] ein kompetitives Verhältnis von Ω(n) besitzt bezüglich der gain-Funktion.

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Kompetitive Analyse

• Analyse von Online-Algorithmen

• Vergleich Online-Algorithmus mit Offline-Algorithmus

Kompetitives Verhältnis (competitive ratio)

• für randomisierte/probabilistische Online-Algorithmen:

• Finde Probleminstanz x, für die das Verhältnis maximal ist:

Spiel Adversary gegen Online-Algorithmus

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Bandweitenzuteilung im dynamischen Fall

• Adversary legt für jedem Zeitschritt t eine verfügbare Bandbreite ut fest

• Online-Algorithmus wählt eine Datenrate xt

• Gewinn: Anzahl übertragener Pakete

• ... entspricht strengen Kosten:

S(x,u) = u – gain(x,u)

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Bandbweitenzuteilung im dynamischen Fall

t

ut

xt

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Lösungshinweise zu Aufgabe 4

Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u [1..n] ein kompetitives Verhältnis von Ω(n) besitzt bezüglich der gain-Funktion.

Wir betrachten die Gain-Funktion

Das kompetitive Verhältnis ist

(hier steht optT im Zähler, da wir Gewinn und nicht Kosten betrachten)

Wir versuchen nun, das Verhältnis zwischen optT und gainT zu

maximieren.

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Lösungshinweise zu Aufgabe 4

Beobachtung:

1. AIMD wächst langsam (additive increase), obwohl ut groß ist

2. Beim Überschreiten von ut ist gain(xt, ut)=0. Außerdem wird die

Bandbreite im nächsten Schritt halbiert (multiplicative decrease)

Wir setzen ut abwechselnd auf 1 oder n (ut = 1 falls t gerade, sonst ut = n)

Wenn ut = n, dann ist xt = 1 und gain(xt, ut)=1

Wenn ut = 1, dann ist xt = 2 und gain(xt, ut)=0

(ut = 1 zwingt AIMD zur Halbierung der Bandbreite von 2 auf 1)

Bei T Zeitschritten ist optT = T(n/2+1) und gainT = T/2

ut

xt

ut

xt

additiveincrease

multiplicativedecrease