Benjamin Niedermann · Ubung Algorithmische Geometrie

Benjamin Niedermann

Ubung Algorithmische Geometrie

LEHRSTUHL FUR ALGORITHMIK I · INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · FAKULTAT FUR INFORMATIK

Quad-trees

02.07.2014

Benjamin Niedermann · Ubung Algorithmische Geometrie

Ubersicht

Ubungsblatt 11 - Quadtrees

Benjamin Niedermann · Ubung Algorithmische Geometrie

Motivation: Meshing von Platinenlayouts

Zur Simulation der Hitzeentwicklung aufPlatinen kann man die finite ElementeMethode (FEM) einsetzen:

zerlege die Platine in kleine homogeneElemente (z.B. Dreiecke) → Mesheigene Hitzeentwicklung und Einflussauf Nachbarn je Element bekanntapproximiere numerisch die gesamteHitzeentwicklung der Platine

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Motivation: Meshing von Platinenlayouts

Zur Simulation der Hitzeentwicklung aufPlatinen kann man die finite ElementeMethode (FEM) einsetzen:

zerlege die Platine in kleine homogeneElemente (z.B. Dreiecke) → Mesheigene Hitzeentwicklung und Einflussauf Nachbarn je Element bekanntapproximiere numerisch die gesamteHitzeentwicklung der Platine

Qualitatseigenschaften von FEM:je feiner das Mesh desto besser die Approximationje grober das Mesh desto schneller die Berechnungje kompakter die Elemente desto schneller die Konvergenz

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Motivation: Meshing von Platinenlayouts

Zur Simulation der Hitzeentwicklung aufPlatinen kann man die finite ElementeMethode (FEM) einsetzen:

zerlege die Platine in kleine homogeneElemente (z.B. Dreiecke) → Mesheigene Hitzeentwicklung und Einflussauf Nachbarn je Element bekanntapproximiere numerisch die gesamteHitzeentwicklung der Platine

Qualitatseigenschaften von FEM:je feiner das Mesh desto besser die Approximationje grober das Mesh desto schneller die Berechnungje kompakter die Elemente desto schneller die Konvergenz

Ziel: adaptive Meshgroße (klein an Materialgrenzen, sonst grober)wohlgeformte Dreiecke (nicht zu schmal)

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Adaptive Dreiecksnetze

Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j

mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.

Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften

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Adaptive Dreiecksnetze

Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j

mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.

Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften

keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten

unzulassige Dreiecksknoten

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Adaptive Dreiecksnetze

Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j

mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.

Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften

keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten

Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein

nicht Teil des Dreiecksnetzes

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Adaptive Dreiecksnetze

Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j

mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.

Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften

keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten

Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein

Dreieckswinkel zwischen 45◦ und 90◦

unzulassige Winkel

{gultig

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Adaptive Dreiecksnetze

Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j

mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.

Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften

keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten

Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein

Dreieckswinkel zwischen 45◦ und 90◦

adaptiv, d.h. fein an den Polygonkanten, sonstgrober

uniformes Dreiecksnetz

{gultig

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Adaptive Dreiecksnetze

Geg.: Quadrat Q = [0, U ]× [0, U ] fur Zweierpotenz U = 2j

mit oktilinearen, ganzzahligen Polygonen im Inneren.

Ges.: Dreiecksnetz fur Q mit folgenden Eigenschaften

keine Dreiecksknoten im Inneren von Dreieckskanten

Eingabekanten mussen Teil des Dreiecksnetzes sein

Dreieckswinkel zwischen 45◦ und 90◦

adaptiv, d.h. fein an den Polygonkanten, sonstgrober

uniformes Dreiecksnetz

Kennen wir schon sinnvolle Triangulierungen fur Q?

{gultig

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Aufgabe 1

Delaunay Triangulierung ↔ Meshing

Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließichnicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90◦.

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Aufgabe 1

Delaunay Triangulierung ↔ Meshing

Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließichnicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90◦.

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Aufgabe 1

Delaunay Triangulierung ↔ Meshing

Meshing aus der Vorlesung liefert ausschließlich Dreiecke die ausschließichnicht-stumpfe Winkel besitzen, d.h., keinen Winkel > 90◦.

Sei nun T eine Triangulierung einer endlichen Punktmenge P ⊂ R2,sodass jedes Dreieck nur nicht-stumpfe Winkel besitzt. Zeige, dass T eineDelaunay Triangulierung ist.

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Charakterisierung

Satz uber Voronoi-Diagramme:

Ein Punkt q ist ein Voronoi-Knoten⇔ |CP (q) ∩ P | ≥ 3,der Bisektor b(pi, pj) definiert eine Voronoi-Kante⇔ ∃q ∈ b(pi, pj) mit CP (q) ∩ P = {pi, pj}.

Satz 4: Sei P eine Menge von Punkten.Punkte p, q, r sind Knoten der gleichen Facette inDG(P ) ⇔ Kreis durch p, q, r ist leerKante pq ist in DG(P )⇔ es gibt einen leeren Kreis Cp,q durch p und q

Satz 5: Sei P Punktmenge und T eine Triangulierung von P .T ist Delaunay-Triangulierung⇔ Umkreis jedes Dreiecks ist im Inneren leer.

VL

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Der Satz von Thales

a

Satz 2: Alle Dreiecke aus den Endpunktendes Kreisdurchmessers und einesHalbkreispunktes sind rechtwinklig.

b

Satz 2′: Alle Dreiecke aus den Endpunkten einer Sekante` = ab und eines Kreispunktes c auf der gleichen Seitevon ` haben den gleichen Winkel an c. Fur Dreiecke∆abd mit d innerhalb des Kreises gilt ∠adb > ∠acd,fur e außerhalb des Kreises gilt ∠aeb < ∠acd.

ab

c c′e

d

∠aeb < ∠acb = ∠ac′b < ∠adb

VL

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.

pq

r

z

m

C

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.

z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.

pq

r

z

m

C

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.

z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.

pq

r

z

m

C

1. Fall: z liegt außerhalb von ∆

O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.

z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.

pq

r

z

m

m′

C ′

C

1. Fall: z liegt außerhalb von ∆

O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.

Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′

auf Halfte von pq

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.

z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.

pq

r

z

m

m′

C ′

C

1. Fall: z liegt außerhalb von ∆

O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.

Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′

auf Halfte von pq

Nach Satz 2’ liegt r nicht im Inneren von C ′

Da z in C liegt, muss z auch in C ′ liegen.

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.

z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.

pq

r

z

m

m′

C ′

C

1. Fall: z liegt außerhalb von ∆

O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.

Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′

auf Halfte von pq

Nach Satz 2’ liegt r nicht im Inneren von C ′

Da z in C liegt, muss z auch in C ′ liegen.

Nach Satz 2’ ist Winkel an z großer 90◦

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Aufgabe 1

Annahme: Es gibt Triangulierung T mit nur nicht-stumpfen Dreiecken,die keine Delaunay-Triangulierung ist.

Es gibt Dreieck ∆ = (pqr) dessen Umkreis einen weiteren Punkt z enthalt.

z kann so gewahlt werden, dass mit mind. zwei Punkten von ∆ verbunden.

pq

r

z

m

m′

C ′

C

1. Fall: z liegt außerhalb von ∆

O.B.d.A. sei z mit p und q verbunden.

Sei C ′ Kreis durch p und q Mittelpunkt m′

auf Halfte von pq

Nach Satz 2’ liegt r nicht im Inneren von C ′

Da z in C liegt, muss z auch in C ′ liegen.

Nach Satz 2’ ist Winkel an z großer 90◦

2. Fall: z liegt innerhalb von ∆

Ahnliche Argumentation.

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Quadtrees

NO NW SW SO

Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innereKnoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einemQuadrat und die Quadrate der Blatter bilden eineUnterteilung des Wurzelquadrats.

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Quadtrees

NO NW SW SO

Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innereKnoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einemQuadrat und die Quadrate der Blatter bilden eineUnterteilung des Wurzelquadrats.

Ecken

Kanten

Seiten

Nachbarn

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Quadtrees

Def.: Ein Quadtree ist ein Wurzelbaum, in dem jeder innereKnoten vier Kinder hat. Jeder Knoten entspricht einemQuadrat und die Quadrate der Blatter bilden eineUnterteilung des Wurzelquadrats.

Def.: Fur eine Punktmenge P in einem QuadratQ = [xQ, x

′Q]× [yQ, y

′Q] gilt fur den Quadtree T (P )

ist |P | ≤ 1, so ist T (P ) ein Blatt, das P und Q speichert

sonst sei xmid =xQ+x′

Q

2und ymid =

yQ+y′Q

2und

PNO := {p ∈ P | px > xmid and py > ymid}PNW := {p ∈ P | px ≤ xmid and py > ymid}PSW := {p ∈ P | px ≤ xmid and py ≤ ymid}PSO := {p ∈ P | px > xmid and py ≤ ymid}T (P ) besteht aus Wurzel v, die Q speichert, mit vierKindern fur Pi und Qi (i ∈ {NO,NW,SW,SO}).

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Beispiel

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Beispiel

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Beispiel

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Beispiel

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Beispiel

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Beispiel

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Quadtree Eigenschaften

Die rekursive Definition eines Quadtrees lasst sich direkt ineinen Algorithmus zur Konstruktion umsetzen.

Welche Tiefe hat ein Quadtree fur n Punkte?

Lemma 1: Die Tiefe von T (P ) ist hochstens log(s/c) + 3/2,wobei c der kleinste Abstand in P ist und s dieSeitenlange des Wurzelquadrats Q.

Satz 1: Ein Quadtree T (P ) fur n Punkte und mit Tiefe dhat O((d+ 1)n) Knoten und kann in O((d+ 1)n)Zeit konstruiert werden.

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

NO NW SW SO

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

NO NW SW SO

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

NO NW SW SO

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

NO NW SW SO

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

NO NW SW SO

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

NO NW SW SO

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Aufgabe 2

Komprimierte Quadtrees

NO NW SW SO

Anzahl der Knoten jetzt O(n) (statt O((d+ 1)n))Laufzeit fur Umwandlung?Aufwand fur Konstruktion verringern?

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Aufgabe 3

Balancierte Quadtrees

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Balancierte Quadtrees

Def.: Ein Quadtree heißt balanciert, wenn die Seitenlange vonje zwei Nachbarquadraten in der zugeh. Unterteilungsich um einen Faktor von hochstens 2 unterscheidet.

VL

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Quadtrees balancieren

BalanceQuadtree(T )

Input: Quadtree TOutput: balancierter Quadtree TL← Liste aller Blatter von T ;while L nicht leer do

µ← extrahiere Blatt aus L;if µ.Q zu groß then

Teile µ.Q in vier Teile und lege vier Blatter in T an;fuge neue Blatter zu L hinzu;if µ.Q hat jetzt zu große Nachbarn then fuge sie zu L hinzu;

return T

Satz 3: Sei T ein Quadtree mit m Knoten und Tiefe d. Diebalancierte Version TB von T hat O(m) Knoten undkann in O((d+ 1)m) Zeit konstruiert werden.

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Aufgabe 3

Balancierte Quadtrees

Abanderung: Alle Rechtecke gleich groß

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Aufgabe 3

Balancierte Quadtrees

Abanderung: Alle Rechtecke gleich groß

Frage: Wie viele Blatter?

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Wiederholung: Bereichsanfrage

Szenario:

großer Straßengraph zeige nur einen kleinen Ausschnitt

Problem: BereichsanfrageGegeben eine Punktmenge P (die Knoten in dem Straßengraph) sowieein Rechteck R, finde alle Punkte aus P die in R liegen.

Einfache Losung:Teste fur jeden Punkt p ∈ P , ob p in R liegt.⇒ Laufzeit O(|P |), dabei werden ggf. sehr viel weniger Punkte angezeigt.

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Wie kann man Quadtrees fur Bereichsanfragen nutzen?

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Bereichsabfrage in einem kd-Tree

p1

p2

p3

p4 p5

p6p7

p8

p9p10

p11

p12p13

p1 p2

p4 p5

SearchKdTree(v,R)

if v Blatt thenprufe Punkt p in v auf p ∈ R;

elseif region(lc(v)) ⊆ R then

ReportSubtree(lc(v));else

if region(lc(v)) ∩R 6= ∅ thenSearchKdTree(lc(v), R);

if region(rc(v)) ⊆ R thenReportSubtree(rc(v));

elseif region(rc(v)) ∩R 6= ∅ thenSearchKdTree(rc(v), R);

p3

p6

p6

p7 p8 p9 p10

p7

p8

p9p10

p11 p12 p13

VL

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Bereichsabfrage

PNW PNO

PSW PSO

R

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Bereichsabfrage

PNW PNO

PSW PSO

Starte mit der Wurzel

R

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Bereichsabfrage

PNW PNO

PSW PSO

Starte mit der Wurzel

R

→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder

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Bereichsabfrage

PNW PNO

PSW PSO

Starte mit der Wurzel

R

→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte

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Bereichsabfrage

PNW PNO

PSW PSO

Starte mit der Wurzel

R

→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte

→ Sud-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur zwei Kinder→ Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur ein Kind

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Bereichsabfrage

PNW PNO

PSW PSO

Starte mit der Wurzel

R

→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte

→ Sud-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur zwei Kinder→ Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur ein Kind→ Rekursionsende (Blatter erreicht): gib resultierende Knoten aus

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Bereichsabfrage

PNW PNO

PSW PSO

Starte mit der Wurzel

R

→ Rekursionsaufruf fur alle vier Kinder→ Sud-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenenPunkte

→ Sud-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur zwei Kinder→ Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf fur ein Kind→ Rekursionsende (Blatter erreicht): gib resultierende Knoten aus

Wie geht das schnell?

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Problem 3(b)

Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T

Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v

v

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Problem 3(b)

Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T

Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v

traversiere Teilbaum Tv

Tv

O(|Tv|) × ×Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit

v

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Problem 3(b)

Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T

Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v

traversiere Teilbaum Tv

Tv

O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte

Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit

v

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Problem 3(b)

Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T

Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v

traversiere Teilbaum Tv

Tv

O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte

O(k) O(d · |P |) O(d · |P |)

Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit

(k = Anzahl gefundener Punkte)

v

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Problem 3(b)

Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T

Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v

traversiere Teilbaum Tv

Tv

O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte

O(k) O(d · |P |) O(d · |P |)

speichere Start und Ende inPunktliste

Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit

(k = Anzahl gefundener Punkte)

v

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Problem 3(b)

Gegeben:gewurzelter Baum Tbis zu ein Punkt in jedem Blatt von Tein Knoten v in T

Gesucht: Punktealler Nachfolgern von v

traversiere Teilbaum Tv

Tv

O(|Tv|) × ×speichere allenachfolgenden Punkte

O(k) O(d · |P |) O(d · |P |)

speichere Start und Ende inPunktliste

O(k) O(|T |) O(|T |)

Ansatz Laufzeit Speicher Vorverarbeitungszeit

(k = Anzahl gefundener Punkte)

v

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Welchen Aufwand hat das Verfahren?

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Welchen Aufwand hat das Verfahren?

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Welchen Aufwand hat das Verfahren?

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Welchen Aufwand hat das Verfahren?

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Welchen Aufwand hat das Verfahren?

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Welchen Aufwand hat das Verfahren?

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Aufgabe 4

Quadtrees fur Range Queries?

Welchen Aufwand hat das Verfahren?

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Aufgabe 4

Was, wenn Anfragebereich eine durch eine vertikale Geradebegrenzte Halbebene ist?

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Aufgabe 4

Was, wenn Anfragebereich eine durch eine vertikale Geradebegrenzte Halbebene ist?