Copulas undKorrelationsasymmetrien

Theorie und empirische Analyse am DAX 3008. Mai 2008

Jadran Dobrić, Kreditrisiko-Controlling WGZ BANK

Gruppe Methoden

© W

GZ

BA

NK

200

8

Inhalt

Einführung in die Copulatheorie

Korrelationsmaße und Copulas Lineare Korrelation Spearman‘sche Rangkorrelation

Bedingte Korrelationen

Korrelations-Asymmetrietest

Empirische Untersuchungen der Abhängigkeiten im DAX 30

Betrachtung der Abhängigkeitsunterschiede zwischen dem Bullen- und Bärenmarkt

© W

GZ

BA

NK

200

8

Empirische DAX 30 BeispieleTägliche Log-Renditen vom 02.03.1992-01.03.2002

Kennzahlen Allianz AG BASF AG Münchner Rück AG

Mittelwerte .00038 .00062 .00064

Standardabw. .01854 .01645 .01905

Minimum -.1568 -.0871 -.1719

Maximum .1380 .1009 .1653

Schiefe -.0772 -.0570 .1212

Kurtosis 10.5352 5.3732 10.2293

3.8360 5.2276 2.9979MLE

© W

GZ

BA

NK

200

8

Allianz AG vs. Münchner Rück AG

58.0ˆ 66.0ˆ SPBP

© W

GZ

BA

NK

200

8

Allianz AG vs. BASF AG

47.0ˆ 45.0ˆ SPBP

© W

GZ

BA

NK

200

8

Sklar‘s Seperationstheorem (1959)Sklar‘s Seperationstheorem (1959)

FX(x1,…,xd)

C(u1,…, ud) F1(x1),…, Fd(xd)

FX(x1,…,xd)=C(F1(x1),…, Fd(xd))

C(u1,…, ud)=FX(F-11(u1),…, F-1

d(ud))

C(u1,…, ud) G1(x1),…, Gd(xd)

G(x1,…,xd)

© W

GZ

BA

NK

200

8

Copula

Sie ist eine Abbildung C: [0,1]d → [0,1], mit:

1. Für jedes u [0,1]d gilt C(u)=0, falls mindestens eine Koordinate von u gleich Null ist.

2. Falls alle Koordinaten, mit Ausnahme von ui , gleich 1 sind, gilt C(u)= ui.

3. Für alle a=(a1,…,ad) und b=(b1,…,bd) mit ai≤bi, i=1,…,d, gilt VC([a, b])≥0.

→ D.h. eine d-dimensionale Verteilungsfunktion auf [0,1]d mit uniformen univariaten Randverteilungen

© W

GZ

BA

NK

200

8

Ist die Copula C d-mal partiell differenzierbar, so gilt

Besitzt FX die Dichte fX , so gilt:

→

d

d

d uu

Cuuc

...

u,...,

11

Copuladichte

d

iiXdXXd xfxFxFcxxf

id1

11X ,,,,1

d

iiXX

dXXd

uFf

uFuFfuuc

ii

d

1

1

11

1

1

,,,, 1

X

© W

GZ

BA

NK

200

8

Spezielle Copulas

iX

11X ,, FdomxxFxxF i

d

iiXd i

]1,0[,,1

1

i

d

iid uuuuC

dd

d

iii xFxFFdxF ,,min0,1max 11

1

xX

uuu dd

d

ii

d MuuCduW

,,min0,1max 11

Die Unabhängigkeitscopula

Die Fréchet-Hoeffding Schranken

© W

GZ

BA

NK

200

8

Bivariate logistische Verteilung

Rxxxx

xxF

2121

21X , expexp1

1,

2121

212

121

1121 ,,

uuuu

uuuFuFFuuC

X

i

iii u

uuF

1ln1 iii x

xF

exp1

1

22112211

221121, xFxFxFxF

xFxFxxF

X

© W

GZ

BA

NK

200

8

© W

GZ

BA

NK

200

8

Neue bivariate Verteilungsfunktion G

.4,3,0,0,exp1; ixxxF iiii

;,;;, 443343 xFxFCxxG

44334433

4433

xFxFxFxF

xFxF

1exp

1exp1exp

43

43

xx

xx

© W

GZ

BA

NK

200

8

© W

GZ

BA

NK

200

8

5024.0ˆ BP 2863.0ˆ BP

4851.0ˆ SP

4851.0ˆ SP 4851.0ˆ SP

© W

GZ

BA

NK

200

8

Spezielle Copulaklassen

Sei φ:[0,1]→[0,∞), so dass

für i=1,…,d und t [0,∞), mit φ(1)=0 und φ(0)=∞ gilt,

dann ist:

eine Archimedische Copula.

01 1 tdt

di

ii

d

iiuC

1

1u

© W

GZ

BA

NK

200

8

1. Clayton Copulafamilie

2. Gumbel Copulafamilie

1

1

1;u

d

ii duC

1

1

lnexp;ud

iiuC

01; , tt

1ln; , tt

© W

GZ

BA

NK

200

8

Elliptische Copulaklasse

1. Gauss Copula

2. tν,R-Copula

dd uuC 11

11RR ,,u

d

u

d

udxdxC

d 11T

2

1

2

R xRx2

1exp

R2

1u

111

11

dvv ututtC 11

1R,R, ,,u

d

dv

ut

d

utdxdx

v

dv

Cd 1

21-T

2

1

2

R, xRx1

1R

2

2u

111

11

© W

GZ

BA

NK

200

8

Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

© W

GZ

BA

NK

200

8

222

111

ˆˆ

ˆˆ

uxF

uxF

Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

© W

GZ

BA

NK

200

8

Korrelationsmaße und Copulas

Vorteile : Kompakte Darstellung der Abhängigkeit Leichte Interpretierbarkeit Einfache weiterführende Modelleinbindung

Nachteile : Enormer Informationsverlust Bezifferung nur einer Art von Abhängigkeit.

Missinterpretationen sind möglich Oft nur globale Korrelationsaussagen In einigen Fällen nicht definiert

© W

GZ

BA

NK

200

8

Linearer Korrelationskoeffizient nach Bravais Pearson ρBP

1,0

min1

2

2122

XVar

bXaXEBP

Anwendbar nur bei metrisch skalierten Daten

Benötigt die Existenz der Varianzen

|ρBP| misst die Stärke des linearen Zusammenhangs

)var()var(

),cov(

21

21

XX

XXBP

© W

GZ

BA

NK

200

8

2

121

11

1

0

1

0

2121

21

21221121X21

,varvar

1

,),cov(

udFudFuuuuCXX

dxdxxFxFxxFXX

BP

2121 ,, XXXXT BPBP

Nicht Randverteilungsfrei

Zulässiger Wertebereich i. A. [-1,1]

Nicht invariant bzgl. monotonen Transformationen

],[ maxminBPBP

© W

GZ

BA

NK

200

8

Bivariate Farlie Gumbel Morgenstern Familie

Die FGM Verteilung besitzt die Form (|α|<1):

Der lineare Korrelationskoeffizient liegt bei normalen Randverteilungen bei

bei exponentiellen Randverteilungen bei

und bei uniformen Randverteilungen bei

2211221121 111;, xFxFxFxFxxFX

3

1BP

BP

4

BP

© W

GZ

BA

NK

200

8

Spearman‘sche Rangkorrelation

Definition:

Interpretationen:

1

0

1

0 212´121 3,12, duduuuCXXSP

21212121 124

112, UEUEUUEUUEXXSP

2211

2211

21

2121

,,,12

XFVarXFVar

XFXFCov

UVarUVar

UUCovUUCov

2211 , XFXFBP

© W

GZ

BA

NK

200

8

Spearman‘sche Korrelation als Distanzmaß

41

31

41

,

121

41

,

,22 ]1,0[

2121

]1,0[

2121

21

uudCuuuudCuu

XXSP

2 2

2 2

]1,0[

21

]1,0[

212121

]1,0[

21

]1,0[

212121

,min

,

duduuududuuu

duduuududuuuC

© W

GZ

BA

NK

200

8

Schlußfolgerungen

Existent und Randverteilungsfrei

Da nur von der Copula bestimmt, robust und Invariant bzgl. wachsenden monotonen Transformationen

Mit den meisten Parameter der bivariaten Copulas in Verbindung

C

MC

WC

SPBP

SPBPBP

SPBPBP

00

1

1max

min

© W

GZ

BA

NK

200

8

Einige Schätzfunktionen

n

ii

n

ii

n

iii

SP

uuuu

uuuu

1

2

2,21

2

1,1

12,21,1

3

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

4

1ˆˆ

112

1,2,1

)2(n

iiiSP uu

n

n

i

n

jnSP n

j

n

iC

n 1 12

)1(

4

1,ˆ1

12

© W

GZ

BA

NK

200

8

Asymptotischer Copula-Prozess

GC ist ein zentrierter Gauss-Prozess

BC ist eine d-dimensionale Brown‘sche Brücke

uGuCuCn Cw

n ˆ

vCuCvuCvBuBE

uBuCDuBuG

CC

d

i

iCiCC

,min1

© W

GZ

BA

NK

200

8

Asymptotische Normalität der Schätzfunktion

9-fache vierdimensionale Integralauswertung notwendig

Aber: Die Bootstrap-Schätzfunktion

konvergiert gegen die selbe Zufallsvariable Z !

SPB

SPn 2

CNZn dSPSP

22 ,0~

vdudvGuGEC CC2 21,0 1,0

2 12

© W

GZ

BA

NK

200

8

Bedingte Korrelationen

Allianz AG vs. BASF AG

LA

UA

© W

GZ

BA

NK

200

8

pHypGxyxAL11 ,:,

,,:, LL AYXyYxXPyxF

Die gemeinsame Verteilung von (X,Y) sei mit F und ihre Randverteilungen mit G und H notiert

Der untere Eckbereich sei:

Die bedingte gemeinsame Verteilungen ist

ppC

pHxHpGxGC

,

,min,,min

11

© W

GZ

BA

NK

200

8

vHuGFvuC

yHxGCyxF

LLLL

LLLL

11 ,,

,,

1

0

1

03,12

,,

dudvvuC

AYXYHXGCorrp

L

LLLL

Die bedingten Randverteilungen sind:

Sklar‘s Seperationstheorem bzgl. bedingter Verteilungen

Definition der bedingten Korrelation nach Spearman:

LL AYXxXPxG ,

LL AYXyYPxH ,

© W

GZ

BA

NK

200

8

YVaRYXVaRXYX

pHYpGXYXp

ppSP

SPL

,,

,, 11

Es gilt:

Die bedingte Korrelation ρL nach Spearman ist die globale Korrelation ρSP der bedingten Zufallsvariablen.

Es gelten somit alle Aussagen bezüglich des globalen Rangkorrelationskoeffizienten und seiner Schätz-funktionen

© W

GZ

BA

NK

200

8

x

iXn

xGn

in

1

11ˆ

y

iYn

xHn

in

1

11ˆ

pHypGxyxA nnL11 ˆ,ˆ:,:ˆ

UULL AnAn ˆ: ,ˆ:

LA

Ii L

inL

L

inL

LnL n

Yr

n

Xr

nˆ

312

ˆ ,,,

Nichtparametrische Schätzfunktion

© W

GZ

BA

NK

200

8

2

,

2,

,0ˆ

,0ˆ

Ud

UnUU

Ld

LnLL

Nn

Nn

UL

UL

H

H

:

:

1

0

UL

UL

H

H

:

:

1

0

UL

UL

H

H

:

:

1

0

Asymptotische Normalität der Schätzfunktion

Korrelations-Asymmetrietest

© W

GZ

BA

NK

200

8

1. Berechne und aus den Beobachtungen inund

2. Erzeuge jeweils NB Bootstrap-Stichproben aus und und errechne die zugehörigen Schätzer der asymptotischen Varianzen für und , in Notation

und , der bedingten Korrelationskoeffizienten nach Spearman

3. Überprüfe die jeweilige Nullhypothese Verwerfe falls

nL, nU ,UALA

Algorithmus:

LA

UA2L 2

U2ˆL 2ˆU

ULH :0

21

ˆˆ

ˆˆ1

22

,,

U

U

L

L

nUnL

nn

© W

GZ

BA

NK

200

8

Verwerfe falls

und

verwerfe falls

gilt, mit α>0 als die Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art und Φ als Standardnormalverteilung.

1

22

,,

ˆˆ

ˆˆ

U

U

L

L

nUnL

nn

1ˆˆ

ˆˆ1

22

,,

U

U

L

L

nUnL

nn

ULH :0

ULH :0

© W

GZ

BA

NK

200

8 0882.5294.0ˆ

98

10.0

L

Ln

p

1125.2602.0ˆ

79

10.0

U

Ln

q

Allianz AG vs. BASF AG

47.0ˆ SP

© W

GZ

BA

NK

200

8

Variable Schwellenwerte (p=q)

Allianz AG vs. BASF AG

© W

GZ

BA

NK

200

8

Variable Schwellenwerte (p=q)

Allianz AG vs. Münchner Rück. AG

© W

GZ

BA

NK

200

8

Teststatistiken (p=q)

Allianz AG vs. BASF AG

Allianz AG vs. Münch. Re. AG

© W

GZ

BA

NK

200

8

p=q 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

.3609 .3009 .3149 .3387 .3479

.2685 .2409 .2400 .2571 .2749

.1528 .0891 .0829 .0840 .0754

α H0: ρL ≤ ρU vs. H1: ρL > ρU

0.10 55 61 94 136 148

0.05 35 32 67 89 107

0.01 11 4 30 42 50

170 173 196 218 217

Gesamt DAX 30 Untersuchung

UL ˆˆ

L

U

UL ˆˆ

© W

GZ

BA

NK

200

8

H0: ρL ≥ ρU vs. H1: ρL < ρU

α\p 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

0.10 9 7 3 0 0

0.05 2 2 0 0 0

0.01 1 0 0 0 0

61 58 35 13 14UL ˆˆ

© W

GZ

BA

NK

200

8

Zeitliche BetrachtungBullen- vs. Bärenumfeld

© W

GZ

BA

NK

200

8

Literaturhinweise

Dobrić, Frahm, Schmid (2008), „Dependence of Stock Returns in Bull and Bear Markets“, to appear in Computational Statistics & Data Analysis.

Nelsen (2006), „An Introduction to Copulas“, Springer.

Embrechts, McNeil und Strautmann (2002), „Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls“, Cambrige University Press.

Juri, Wüthrich (2002), „Copula convergence theorems for tail events“, Insurance: Mathematics and Economics.

McNeil, Frey, Embrechts (2005), „Quantitative Risk Management“, Princeton University Press.

© W

GZ

BA

NK

200

8

Danke für Ihre Aufmerksamkeit !

© W

GZ

BA

NK

200

8

Backup

© W

GZ

BA

NK

200

8

Monte Carlo – Power Simulationsstudie

Gauss Clayton

© W

GZ

BA

NK

200

8

Theoretische- vs. Kerndichte Vergleich