LS 2 / Informatik

Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2 (DAP2)

LS 2 / Informatik

2

Organisatorisches

Heimübungsblatt 4 Aufgabe 1 wurde ausgetauscht Falls Sie die alte 1 bereits gemacht haben, geben Sie sie mit ab

Praktikum Ab dem nächsten Blatt (Blatt 9) fließt nur noch eine Aufgabe der

Präsenzübung in die Wertung ein Weitere Aufgaben sind optional

LS 2 / Informatik

3

Stand der Dinge

Gierige Algorithmen Konstruiere Lösung Schritt für Schritt In jedem Schritt: Optimiere ein einfaches, lokales Kriterium

Beobachtung Man kann viele unterschiedliche gierige Algorithmen für ein Problem

entwickeln Nicht jeder dieser Algorithmen löst das Problem korrekt

LS 2 / Informatik

4

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

LS 2 / Informatik

5

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

O.b.d.A. Resource steht ab Zeitpunkt 0 zur Verfügung

O.b.d.A. Resource steht ab Zeitpunkt 0 zur Verfügung

LS 2 / Informatik

6

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

1

LS 2 / Informatik

7

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3

Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3

1 2

LS 2 / Informatik

8

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3

Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3

1 2

Aufgabe 3: Fertig zu Zeitpunkt 6

Aufgabe 3: Fertig zu Zeitpunkt 6

3

LS 2 / Informatik

9

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 2

Deadline 41

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

Aufgabe 1: Fertig zu Zeitpunkt 1

Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3

Aufgabe 2: Fertig zu Zeitpunkt 3

1 2

Aufgabe 3: Fertig zu Zeitpunkt 6

Aufgabe 3: Fertig zu Zeitpunkt 6

3

Alle Aufgaben sind rechtzeitig fertig!Alle Aufgaben sind rechtzeitig fertig!

LS 2 / Informatik

10

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

LS 2 / Informatik

11

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1

LS 2 / Informatik

12

Stand der Dinge

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1 2

LS 2 / Informatik

13

Stand der Dinge

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1 2

Aufgabe 2 wird zu spät

beendet

Aufgabe 2 wird zu spät

beendet

LS 2 / Informatik

14

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

2

LS 2 / Informatik

15

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

2 1

Aufgabe 1 wird zu spät

beendet

Aufgabe 1 wird zu spät

beendet

LS 2 / Informatik

16

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

LS 2 / Informatik

17

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

1

LS 2 / Informatik

18

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

1 2

LS 2 / Informatik

19

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

1 2

Aufgabe 2:Verspätung 1

LS 2 / Informatik

20

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

1 2

Aufgabe 2:Verspätung 1

3

LS 2 / Informatik

21

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

Wir können nicht alle Aufgaben bearbeiten und gleichzeitig die

Deadlines einhalten!

1 2

Aufgabe 2:Verspätung 1

3

Aufgabe 3:Verspätung 2

LS 2 / Informatik

22

Gierige Algorithmen

Scheduling mit Deadlines• Resource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..)

• Anfragen: Aufgabe, die Zeit t benötigt und bis Zeitpunkt d bearbeitet sein soll

Deadline 6

Länge 1

Länge 2

Länge 3

Deadline 4

Deadline 4

2

3

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

1

1 2

Aufgabe 2:Verspätung 1

3

Aufgabe 3:Verspätung 2

Ziel:Minimiere maximale Verspätung

Ziel:Minimiere maximale Verspätung

LS 2 / Informatik

23

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

LS 2 / Informatik

24

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

Keine Verspätung

Keine Verspätung

1

LS 2 / Informatik

25

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

Keine Verspätung

Keine Verspätung

1 5

LS 2 / Informatik

26

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

Keine Verspätung

Keine Verspätung

1 5 3

LS 2 / Informatik

27

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

Keine Verspätung

Keine Verspätung

1 5 3 4

LS 2 / Informatik

28

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

1 5 3 4 2

Verspätung 5

LS 2 / Informatik

29

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

1 5 3 4 2 6

Verspätung 3

LS 2 / Informatik

30

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

1 5 3 4 2 6

Maximale Verspätung durch Aufgabe 2 (5 Zeiteinheiten)

Maximale Verspätung durch Aufgabe 2 (5 Zeiteinheiten)

LS 2 / Informatik

31

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

1 5 3 4 2 6

Maximale Verspätung durch Aufgabe 2 (5 Zeiteinheiten)

Maximale Verspätung durch Aufgabe 2 (5 Zeiteinheiten)

LS 2 / Informatik

32

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

5

Keine Verspätung

Keine Verspätung

LS 2 / Informatik

33

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

5

Keine Verspätung

Keine Verspätung

2

LS 2 / Informatik

34

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

5

Keine Verspätung

Keine Verspätung

2 3

LS 2 / Informatik

35

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

5 2 3 4

Verspätung 2

LS 2 / Informatik

36

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

5 2 3 4 1

Keine Verspätung

Keine Verspätung

LS 2 / Informatik

37

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität?

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

5 2 3 4 1 6

Maximale Verspätung durch Aufgabe 6 (3 Zeiteinheiten)

Maximale Verspätung durch Aufgabe 6 (3 Zeiteinheiten)

LS 2 / Informatik

38

Gierige Algorithmen

Strategie 1 Bearbeite die Jobs nach ansteigender Länge Optimalität? Problem: Ignoriert Deadlines völlig

2

6

1

5

3

4

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

5 2 3 4 1 6

Maximale Verspätung durch Aufgabe 6 (3 Zeiteinheiten)

Maximale Verspätung durch Aufgabe 6 (3 Zeiteinheiten)

LS 2 / Informatik

39

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

LS 2 / Informatik

40

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

Spielraum 8

LS 2 / Informatik

41

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

Spielraum 4

LS 2 / Informatik

42

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

Spielraum 1

2

LS 2 / Informatik

43

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4Spielraum 2

52

LS 2 / Informatik

44

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

52

Spielraum 4

3

LS 2 / Informatik

45

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

52 3

Spielraum 4

4

LS 2 / Informatik

46

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

52 3 4

Spielraum 6

6

LS 2 / Informatik

47

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

52 3 4 6 1

Spielraum 8

LS 2 / Informatik

48

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

52 3 4 6 1

Verspätung 3

LS 2 / Informatik

49

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

52 3 4 6 1

Verspätung 3

Optimal für unsere Eingabe

Optimal für unsere Eingabe

LS 2 / Informatik

50

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität?

2

1

Deadline 9

Deadline 3Spielraum 2

Spielraum 0

LS 2 / Informatik

51

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität?

2

1

Deadline 9

Deadline 3Spielraum 2

Spielraum 02

LS 2 / Informatik

52

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität?

2

1

Deadline 9

Deadline 3Spielraum 2

Spielraum 02 1

Verspätung 7

LS 2 / Informatik

53

Gierige Algorithmen

Strategie 2 Bearbeite zunächst die Aufgaben mit geringstem Spielraum d-t Optimalität?

2

1

Deadline 9

Deadline 3Spielraum 2

Spielraum 01 2

Optimale Lösung hat nur Verspätung 1

Optimale Lösung hat nur Verspätung 1

Verspätung 1

LS 2 / Informatik

54

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

LS 2 / Informatik

55

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5

LS 2 / Informatik

56

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2

LS 2 / Informatik

57

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2 3

LS 2 / Informatik

58

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2 3 4

LS 2 / Informatik

59

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2 3 4 6

LS 2 / Informatik

60

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

LS 2 / Informatik

61

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

Lösung optimal!Lösung optimal!

LS 2 / Informatik

62

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Algorithmus ist optimal!

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

Lösung optimal!Lösung optimal!

LS 2 / Informatik

63

Gierige Algorithmen

Strategie 3 Bearbeite zunächst die Aufgabe mit der frühesten Deadline Algorithmus ist optimal!

2

6

1

5

3

Deadline 9

Deadline 4

Deadline 6

Deadline 6

Deadline 3Deadline 9

4

5 2 3 4 6 1

Verspätung 3

Komisch, da Strategie unabhängig von der Länge

der Aufträge

Komisch, da Strategie unabhängig von der Länge

der Aufträge

LS 2 / Informatik

64

Gierige Algorithmen

Formale Problemformulierung Problem: Scheduling mit Deadline Eingabe: Felder t und d

t[i] enthält Länge des i-ten Intervals d[i] enthält Deadline

Ausgabe: Startzeitpunkte der Intervalle

Wichtige Annahme Eingabe sortiert nach Deadlines d[1]d[2]…d[n]

LS 2 / Informatik

65

Gierige Algorithmen

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

LS 2 / Informatik

66

Gierige Algorithmen

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

LS 2 / Informatik

67

Gierige Algorithmen

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

LS 2 / Informatik

68

Gierige Algorithmen

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

LS 2 / Informatik

69

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

LS 2 / Informatik

70

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1

LS 2 / Informatik

71

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1

LS 2 / Informatik

72

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1

LS 2 / Informatik

73

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2

LS 2 / Informatik

74

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2

LS 2 / Informatik

75

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2

LS 2 / Informatik

76

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2 3

LS 2 / Informatik

77

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2 3

LS 2 / Informatik

78

LatenessScheduling(t,d)

1. n length[t]

2. new array A[1..n]

3. z 0

4. for i 1 to n do

5. A[i] z

6. z z + t[i]

7. return A

Gierige Algorithmen

1

3

2

t 1 4 2

d 3 4 6

z

i

1 2 3

LS 2 / Informatik

79

Gierige Algorithmen

Beobachtung

Es gibt eine optimale Lösung ohne Leerlaufzeit.

1 2 3

Leerlauf

LS 2 / Informatik

80

Gierige Algorithmen

Lemma 34

Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung.

Definition

Lösung hat Inversion, wenn Aufgabe i

Mit Deadline d vor Aufgabe j mit

Deadline d < d bearbeitet wird.

1

3

2

1 23

Inversion

i j

j i

i

LS 2 / Informatik

81

Gierige Algorithmen

Lemma 34

Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung.

Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d.

LS 2 / Informatik

82

Gierige Algorithmen

Lemma 34

Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung.

Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt.

LS 2 / Informatik

83

Gierige Algorithmen

Lemma 34

Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung.

Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt. Unter den Aufgaben mit Deadline d hat die letzte die größte Verzögerung und diese hängt nicht von der Reihenfolge der Aufgaben ab.

LS 2 / Informatik

84

Gierige Algorithmen

Lemma 34

Alle Lösungen ohne Inversionen und Leerlaufzeit haben dieselbe maximale Verzögerung.

Beweis

• Haben zwei Schedules weder Inversionen noch Leerlaufzeiten, so haben sie zwar nicht notwendigerweise dieselbe Ordnung, aber sie können sich nur in der Ordnung der Aufgaben mit identischer Deadline unterscheiden. Betrachten wir eine solche Deadline d. In beiden Schedules werden alle Aufgaben mit Deadline d nacheinander ausgeführt. Unter den Aufgaben mit Deadline d hat die letzte die größte Verzögerung und diese hängt nicht von der Reihenfolge der Aufgaben ab.

LS 2 / Informatik

85

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

1

3

2

1 2 3

LS 2 / Informatik

86

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

1

3

2

1 2 3Ohne Inversionen

und Leerlauf: Also optimal!

Ohne Inversionen und Leerlauf: Also optimal!

LS 2 / Informatik

87

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben)

a b

Deadline 9 Deadline 5

Deadline 9

j i

LS 2 / Informatik

88

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben)

a b

Deadline 9 Deadline 5

Deadline 9

j i

LS 2 / Informatik

89

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben)

a b

Deadline 9 Deadline 5

j i

Spätestens hier Inversion von aufeinander folgenden Aufgaben

LS 2 / Informatik

90

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so dass j direkt nach i auftritt und d < d ist. (D.h. eine Inversion von aufeinanderfolgenden Aufgaben)

a b

Deadline 9 Deadline 5

j i

Spätestens hier Inversion von aufeinander folgenden Aufgaben

LS 2 / Informatik

91

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (b) Nach dem Austauschen von einer benachbarten Inversion i und j erhalten wir ein Schedule mit einer Inversion weniger.

• Es wird die Inversion von i und j durch das Vertauschen aufgehoben und es wird keine neue Inversion wird erzeugt.

LS 2 / Informatik

92

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung.

i j

Aufeinander folgende Inversion (i,j)

di

d j

LS 2 / Informatik

93

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung.

j i

di

d j

Vertausche i und j

Verzögerung von j wird

kleiner

Verzögerung von j wird

kleiner

LS 2 / Informatik

94

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung.

j i

di

d j

Vertausche i und j

Verzögerung von i wird größer!

Verzögerung von i wird größer!

LS 2 / Informatik

95

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung.

j i

di

d j

Vertausche i und j

Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung!

Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung!

LS 2 / Informatik

96

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• Sei O ein optimales Schedule ohne Leerlauf. Wir zeigen zunächst

• (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung.

j i

di

d j

Vertausche i und j

Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung!

Ist aber kleiner als Verzögerung von j vor Vertauschung!

LS 2 / Informatik

97

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Notation für O: Aufgabe r wird im Invervall [s(r),f(r)] ausgeführt und hat

Verzögerung l(r). Sei L = max l(r) die maximale Verzögerung dieses Schedules.

• Notation für das Schedule O* nach Austauschen: s*(r), f*(r), l*(r) und L* mit der entsprechenden Bedeutung wie oben.

• s(r), s*(r) heißt Startzeit

• f(r), f*(r) heißt Abarbeitungszeit

r

dr

s(r) f(r)

l(r)

LS 2 / Informatik

98

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachten wir nun die benachbarte Inversion von i und j. Die

Abarbeitungszeit f(j) von j vor dem Austauschen ist gleich der Abarbeitungszeit f*(i) von i nach dem Austauschen. Daher haben alle anderen Aufgaben vor und nach dem Tauschen dieselbe Abarbeitungszeit.

i j

Aufeinander folgende Inversion (i,j)

di

d j

f(j)f(i)

LS 2 / Informatik

99

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachten wir nun die benachbarte Inversion von i und j. Die

Abarbeitungszeit f(j) von j vor dem Austauschen ist gleich der Abarbeitungszeit f*(i) von i nach dem Austauschen. Daher haben alle anderen Aufgaben vor und nach dem Tauschen dieselbe Abarbeitungszeit.

• Für Aufgabe j ist das neue Schedule besser, d.h. f*(j)<f(j).

ij

Aufeinander folgende Inversion (i,j)

di

d j

f(j)f(i)f*(i)f*(j)

LS 2 / Informatik

100

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachte nur Aufgabe i: Nach dem Tauschen ist die Verzögerung

l*(i) = f*(i)-d .

ij

di

d j

f(j)f(i)f*(i)f*(j)

i

l*(i)

LS 2 / Informatik

101

Gierige Algorithmen

Formaler Beweis von (c)• Betrachte nur Aufgabe i: Nach dem Tauschen ist die Verzögerung

l*(i) = f*(i)-d .

• Wegen d > d folgt l*(i) = f(j) - d < f(j) - d = l(j).

• Damit wird die maximale Verzögerung nicht erhöht.

ij

di

d j

f(j)f(i)f*(i)f*(j)

i

l*(i)

i j i j

LS 2 / Informatik

102

Gierige Algorithmen

Lemma 35

Es gibt eine optimale Lösung ohne Inversionen und Leerlaufzeit.

Beweis• (a) Wenn O eine Inversion hat, dann gibt es ein Paar Aufgaben i und j, so

dass j direkt nach i auftritt und d < d ist.

• (b) Nach dem Austauschen von einer benachbarten Inversion i und j erhalten wir ein Schedule mit einer Inversion weniger.

• (c) Das Tauschen von i und j erhöht nicht die maximale Verzögerung.

• Die Anzahl Inversionen ist zu Beginn höchstens ( ).Wir können (a)-(c) solange anwenden, bis keine Inversionen mehr vorhanden sind.

ij

n2

LS 2 / Informatik

103

Gierige Algorithmen

Satz 36

Die Lösung A, die von Algorithmus LatenessScheduling berechnet wird, hat optimale (d.h. minimale) maximale Verzögerung.

Beweis

Aus dem ersten Lemma folgt, dass es ein optimales Schedule ohne Inversionen gibt. Aus dem zweiten Lemma folgt, dass alle Schedules ohne Inversionen dieselbe maximale Verzögerung haben. Damit ist die Lösung des gierigen Algorithmus optimal.

LS 2 / Informatik

104

Gierige Algorithmen

Zusammenfassung Löse globales Optimierungsproblem durch lokale Optimierungsstrategie Liefert häufig recht einfache Algorithmen Funktioniert leider nicht immer und es ist manchmal nicht ganz einfach, die

‚richtige‘ Strategie zu finden

Algorithmische Entwurfsmethoden Teile & Herrsche Dynamische Programmierung Gierige Algorithmen

LS 2 / Informatik

105

Datenstrukturen

Was ist eine Datenstruktur? Eine Datenstruktur ist eine Anordnung von Daten, die effizienten Zugriff auf

die Daten ermöglicht Datenstrukturen für viele unterschiedliche Anfragen vorstellbar

LS 2 / Informatik

106

Datenstrukturen

Ein grundlegendes Datenbank-Problem Speicherung von Datensätzen

Beispiel Kundendaten (Name, Adresse, Wohnort, Kundennummer, offene

Rechnungen, offene Bestellungen,…)

Anforderungen Schneller Zugriff Einfügen neuer Datensätze Löschen bestehender Datensätze

LS 2 / Informatik

107

Datenstrukturen

Zugriff auf Daten Jedes Datum (Objekt) hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel)

Beispiel Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Name Totale Ordnung: Lexikographische Ordnung

LS 2 / Informatik

108

Datenstrukturen

Zugriff auf Daten Jedes Datum (Objekt) hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel)

Beispiel: Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Kundennummer Totale Ordnung: ‚‘

LS 2 / Informatik

109

Datenstrukturen

Problem: Gegeben sind n Objekte O ,.., O mit zugehörigen Schlüsseln s(O )

Operationen: Suche(x); Ausgabe O mit Schlüssel s(O) =x;

nil, falls kein Objekt mit Schlüssel x in Datenbank Einfügen(O); Einfügen von Objekt O in Datenbank Löschen(O); Löschen von Objekt O mit aus der Datenbank

1 n i

LS 2 / Informatik

110

Datenstrukturen

Vereinfachung: Schlüssel sind natürliche Zahlen Eingabe nur aus Schlüsseln

Analyse von Datenstrukturen Platzbedarf in - bzw. O-Notation Laufzeit der Operationen in - bzw. O-Notation

LS 2 / Informatik

111

Datenstrukturen

Einfaches Feld Feld A[1,…,max] Integer n, 1 n max n bezeichnet Anzahl Elemente in Datenstruktur

13 7 11 6 4 nil nil nil nil nil

n

LS 2 / Informatik

112

Datenstrukturen

Einfügen(s)

1. if n=max then Ausgabe „Fehler: Kein Platz in Datenstruktur“

2. else

3. n n+1

4. A[n] s

13 7 11 6 4 nil nil nil nil nil

n

LS 2 / Informatik

113

Datenstrukturen

Einfügen(s)

1. if n=max then Ausgabe „Fehler: Kein Platz in Datenstruktur“

2. else

3. n n+1

4. A[n] s

13 7 11 6 4 nil nil nil nil nil

n

Einfügen(2)

LS 2 / Informatik

114

Datenstrukturen

Einfügen(s)

1. if n=max then Ausgabe „Fehler: Kein Platz in Datenstruktur“

2. else

3. n n+1

4. A[n] s

13 7 11 6 4 2 nil nil nil nil

n

Einfügen(2)

LS 2 / Informatik

115

Datenstrukturen

Suche(x)1. for i 1 to n do

2. if A[i] = x then return i

3. return nil

13 7 11 6 4 2 nil nil nil nil

n

LS 2 / Informatik

116

Datenstrukturen

Löschen(i)1. A[i] A[n]

2. A[n] nil

3. n n-1

13 7 11 6 4 2 nil nil nil nil

n

Annahme:Wir bekommen Index i des zu löschenden Objekts

Annahme:Wir bekommen Index i des zu löschenden Objekts

LS 2 / Informatik

117

Datenstrukturen

Löschen(i)1. A[i] A[n]

2. A[n] nil

3. n n-1

13 7 11 6 4 2 nil nil nil nil

n

Löschen(2)

LS 2 / Informatik

118

Datenstrukturen

Löschen(i)1. A[i] A[n]

2. A[n] nil

3. n n-1

13 2 11 6 4 nil nil nil nil nil

n

Löschen(2)

LS 2 / Informatik

119

Datenstrukturen

Datenstruktur Feld Platzbedarf (max) Laufzeit Suche: (n) Laufzeit Einfügen/Löschen: (1)

Vorteile Schnelles Einfügen und Löschen

Nachteile Speicherbedarf abhängig von max (nicht vorhersagbar) Hohe Laufzeit für Suche

LS 2 / Informatik

120

Datenstrukturen

Datenstruktur „sortiertes Feld“ Sortiertes Feld A[1,…,max] Integer n, 1 n max n bezeichnet Anzahl Elemente in Datenstruktur

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

A n

LS 2 / Informatik

121

Datenstrukturen

Einfügen(s)1. n n+1

2. i n

3. while s < A[i-1] do

4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

122

Datenstrukturen

Einfügen(s)1. n n+1

2. i n

3. while s < A[i-1] do

4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

123

Einfügen(s)1. n n+1

2. i n

3. while s < A[i-1] do

4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

Datenstrukturen

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

124

Einfügen(s)1. n n+1

2. i n

3. while s < A[i-1] do

4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

Datenstrukturen

2 4 6 7 11 11 13 nil nil nil

n

Einfügen(10)

LS 2 / Informatik

125

Einfügen(s)1. n n+1

2. i n

3. while s < A[i-1] do

4. A[i] A[i-1]

5. i i -1

6. A[i] s

Datenstrukturen

2 4 6 7 10 11 13 nil nil nil

n

Einfügen(10)

Laufzeit O(n)Laufzeit O(n)

LS 2 / Informatik

126

Datenstrukturen

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

n

Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts

Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts

LS 2 / Informatik

127

Datenstrukturen

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

n

Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts

Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts

Löschen(2)

LS 2 / Informatik

128

Datenstrukturen

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

n

Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts

Parameter ist der Index des zu löschenden Objekts

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

129

Datenstrukturen

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

2 4 6 7 11 13 nil nil nil nil

n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

130

Datenstrukturen

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

2 6 7 11 13 13 nil nil nil nil

n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

131

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

Datenstrukturen

2 6 7 11 13 nil nil nil nil nil

n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

132

Löschen(i)1. for j i to n-1 do

2. A[j] A[j+1]

3. A[n] nil

4. n n-1

Datenstrukturen

2 6 7 11 13 nil nil nil nil nil

n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

133

Suchen(x) Binäre Suche Laufzeit O(log n)

Datenstrukturen

2 6 7 11 13 nil nil nil nil nil

n

Löschen(2)

i

LS 2 / Informatik

134

Datenstrukturen

Datenstruktur sortiertes Feld Platzbedarf (max) Laufzeit Suche: (log n) Laufzeit Einfügen/Löschen: (n)

Vorteile Schnelles Suchen

Nachteile Speicherbedarf abhängig von max (nicht vorhersagbar) Hohe Laufzeit für Einfügen/Löschen