Die Schrödinger GleichungEine Einführung

Christian Hirsch

Die Schrodinger Gleichung – p. 1/16

Begriffserklärung

Was ist die Schrödingergleichung?

Die Schrodinger Gleichung – p. 2/16

Begriffserklärung

Was ist die Schrödingergleichung?

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichungder nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie

beschreibt als Wellengleichung die zeitlicheEntwicklung des Zustands eines unbeobachteten

Quantensystems.(Wikipedia)

Die Schrodinger Gleichung – p. 2/16

Grundlagen

� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.

Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16

Grundlagen

� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.

� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.

Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16

Grundlagen

� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.

� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16

Grundlagen

� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.

� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

�

x

ψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16

Grundlagen

� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.

� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

�

x

|ψ(x)|2

Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16

Formel

� Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalenSchrödingergleichung

Die Schrodinger Gleichung – p. 4/16

Formel

� Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalenSchrödingergleichung

−h2

2mψ′′(x) + Epotψ(x) = Egesψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 4/16

Herleitung?

� Fundament der Quantentheorie

Die Schrodinger Gleichung – p. 5/16

Herleitung?

� Fundament der Quantentheorie

� Keine Herleitung im eigentlichen Sinnemöglich

Die Schrodinger Gleichung – p. 5/16

Herleitung?

� Fundament der Quantentheorie

� Keine Herleitung im eigentlichen Sinnemöglich

� Allerdings: Plausibilitätsbetrachtungenmöglich; z.B. Potentialtopf

Die Schrodinger Gleichung – p. 5/16

Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden

x

Die Schrodinger Gleichung – p. 6/16

Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden

Epot

x0 L

Die Schrodinger Gleichung – p. 6/16

Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden

� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential

Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16

Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden

� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential

� Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ Epot = 0

Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16

Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden

� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential

� Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ Epot = 0

−h2

2mψ′′(x)+ 0·ψ(x) = Egesψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16

Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden

� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential

� Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ Epot = 0

−h2

2mψ′′(x) = Egesψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16

Probeansatz

� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)

Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16

Probeansatz

� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)

� −h2

2m(A sin(bx))′′ = EgesA sin(bx)

Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16

Probeansatz

� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)

� −h2

2m(A sin(bx))′′ = EgesA sin(bx)

�h2

2mAb2 sin(bx) = EgesA sin(bx)

Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16

Probeansatz

� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)

� −h2

2m(A sin(bx))′′ = EgesA sin(bx)

�h2

2mAb2 sin(bx) = EgesA sin(bx)

�h2

2mb2 = Eges

Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16

Nebenbedingungen

� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0

Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16

Nebenbedingungen

� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0

� ψ(x) = A sin(bx)

Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16

Nebenbedingungen

� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0

� ψ(x) = A sin(bx)

� bL = kπ ⇒ b =kπ

L

Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16

Nebenbedingungen

� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0

� ψ(x) = A sin(bx)

� bL = kπ ⇒ b =kπ

L

� Einsetzen in Eges =h2

2mb2 =

h2

8π2mb2

Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16

Nebenbedingungen

� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0

� ψ(x) = A sin(bx)

� bL = kπ ⇒ b =kπ

L

� Einsetzen in Eges =h2

2mb2 =

h2

8π2mb2

� Eges =h2k2

8mL2

Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16

Normierung

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16

Normierung

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

�

∫ L

0A2 sin2(bx)dx = 1

Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16

Normierung

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

�

∫ L

0A2 sin2(bx)dx = 1

� A2∫ L

0

1 − cos(2bx)

2dx = 1

Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16

Normierung

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

�

∫ L

0A2 sin2(bx)dx = 1

� A2∫ L

0

1 − cos(2bx)

2dx = 1

� A2

[

x−(2 kπL )−1 sin(2 kπ

L x)2

]L

0

= 1

Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16

Normierung

�

∫

∞

−∞|ψ(x)|2dx = 1

�

∫ L

0A2 sin2(bx)dx = 1

� A2∫ L

0

1 − cos(2bx)

2dx = 1

� A2

[

x−(2 kπL )−1 sin(2 kπ

L x)2

]L

0

= 1

� A2 L

2= 1 ⇒ A =

√

2

L

Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16

Interpretation als stehende Welle

� Ergebnis der Schrödingergleichung

ψ(x) =√

2L sin( kπ

L x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16

Interpretation als stehende Welle

� Ergebnis der Schrödingergleichung

ψ(x) =√

2L sin( kπ

L x)

�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L

k ⇒ λ2 k = L

Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16

Interpretation als stehende Welle

� Ergebnis der Schrödingergleichung

ψ(x) =√

2L sin( kπ

L x)

�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L

k ⇒ λ2 k = L

Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16

Interpretation als stehende Welle

� Ergebnis der Schrödingergleichung

ψ(x) =√

2L sin( kπ

L x)

�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L

k ⇒ λ2 k = L

Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16

Interpretation als stehende Welle

� Ergebnis der Schrödingergleichung

ψ(x) =√

2L sin( kπ

L x)

�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L

k ⇒ λ2 k = L

Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16

Interpretation als stehende Welle

� Ergebnis der Schrödingergleichung

ψ(x) =√

2L sin( kπ

L x)

�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L

k ⇒ λ2 k = L

Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16

Kinetische Energie

� Untersuchung des Terms −h2

2mψ′′(x):

Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16

Kinetische Energie

� Untersuchung des Terms −h2

2mψ′′(x):

� −h2

2mψ′′(x) = −

h2

2m(√

2L sin( kπ

L x))′′

Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16

Kinetische Energie

� Untersuchung des Terms −h2

2mψ′′(x):

� −h2

2mψ′′(x) = −

h2

2m(√

2L sin( kπ

L x))′′

� =h2

8π2m

k2π2

L2

√

2

Lsin( kπ

L x) =h2

8m

k2

(k λ2 )2

ψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16

Kinetische Energie

� Untersuchung des Terms −h2

2mψ′′(x):

� −h2

2mψ′′(x) = −

h2

2m(√

2L sin( kπ

L x))′′

� =h2

8π2m

k2π2

L2

√

2

Lsin( kπ

L x) =h2

8m

k2

(k λ2 )2

ψ(x)

�h2

2λ2mψ(x) =

p2

2mψ(x) = Ekinψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16

Fazit des Gedankenversuchs

� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges

möglich (Eigenwerte)

Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16

Fazit des Gedankenversuchs

� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges

möglich (Eigenwerte)

� Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen

Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16

Fazit des Gedankenversuchs

� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges

möglich (Eigenwerte)

� Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen

� Komplexitätssteigerung beimehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen

Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16

Fazit des Gedankenversuchs

� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges

möglich (Eigenwerte)

� Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen

� Komplexitätssteigerung beimehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen

� Oft keine Lösung in geschlossener Formmöglich

Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16

Ausblicke: Endlicher Potential-topf

x

Die Schrodinger Gleichung – p. 14/16

Ausblicke: Endlicher Potential-topf

x

ψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 14/16

Ausblicke: Endlicher Potential-topf

x

ψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 14/16

Ausblicke: Tunneleffekt

x

Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16

Ausblicke: Tunneleffekt

x

ψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16

Ausblicke: Tunneleffekt

x

ψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16

Ausblicke: Tunneleffekt

x

ψ(x)

Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16

Für Spielereien

www.schulphysik.de/java/physlet/applets/quant2.html

http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/images/slange.exe

http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/images/wippe.exe

http://phys.educ.ksu.edu/vqm/

Die Schrodinger Gleichung – p. 16/16