1 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

Fakultät für Informatik

Tutorienwoche 2 am 12.11.2010

DuE-Tutorien 16 und 17Tutorien zur Vorlesung “Digitaltechnik und Entwurfsverfahren”

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Grossforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Heute

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BCD-CodeGray-CodeAiken-CodeStibitz-CodeGleitzomma-DarstellungIEEE 754Übungsaufgaben

BCD-Code: Einführung

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Binary Coded DecimalJe vier Bits werden zu einer dezimalen Stelle zusammengefasst undals Tetrade bezeichnetDie hexadezimalen Ziffern, die keine dezimale Ziffer darstellen (A-F)werden als Pseudotetraden bezeichnet und sind ungültigKommadarstellung z.B. durch Festkomma-DarstellungBeispiel: 1001010100010111BCD = 951710

BCD-Code: Codetabelle

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Wert Codewort Wert Codewort0 0000 5 01011 0001 6 01102 0010 7 01113 0011 8 10004 0100 9 1001

Vor- und Nachteile des BCD-Code?

BCD-Code: Codetabelle

4 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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Wert Codewort Wert Codewort0 0000 5 01011 0001 6 01102 0010 7 01113 0011 8 10004 0100 9 1001

Vor- und Nachteile des BCD-Code?

Gray-Code

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Code, bei dem sich benachbarte Codewörter nur in einer ZifferunterscheidenAuch das niedrigste und höchste Codewort sind als benachbart zubetrachtenGray-Code für 3 Bit:

Wert Codewort Wert Codewort0 000 4 1101 001 5 1112 011 6 1013 010 7 100

Vor- und Nachteile?

Gray-Code

5 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

Fakultät für Informatik

Code, bei dem sich benachbarte Codewörter nur in einer ZifferunterscheidenAuch das niedrigste und höchste Codewort sind als benachbart zubetrachtenGray-Code für 3 Bit:

Wert Codewort Wert Codewort0 000 4 1101 001 5 1112 011 6 1013 010 7 100

Vor- und Nachteile?

Aiken-Code

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Ähnlich dem BCD-Code, aber mit den Wertigkeiten 2-4-2-1Pseudotetraden sind hier 5 bis A

Aiken(n) = not Aiken(9 - n)Berechnung von 9 - n (Neunerkomplement) ist sehr einfachWas nützt einem das?

Aiken-Code für 4 Bit:Wert Codewort Wert Codewort

0 0000 5 10111 0001 6 11002 0010 7 11013 0011 8 11104 0100 9 1111

Vor- und Nachteile?

Aiken-Code

6 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

Fakultät für Informatik

Ähnlich dem BCD-Code, aber mit den Wertigkeiten 2-4-2-1Pseudotetraden sind hier 5 bis A

Aiken(n) = not Aiken(9 - n)Berechnung von 9 - n (Neunerkomplement) ist sehr einfachWas nützt einem das?

Aiken-Code für 4 Bit:Wert Codewort Wert Codewort

0 0000 5 10111 0001 6 11002 0010 7 11013 0011 8 11104 0100 9 1111

Vor- und Nachteile?

Stibitz-Code

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Entspricht dem BCD-Code, wenn man zu jeder Ziffer 3 addiertPseudotetraden sind 0 bis 2 und D bis FBereich der gültigen Tetraden ist “zentriert”Daher wieder einfache Berechnung von Neunerkomplement durchNegation (wie Aiken-Code)

Codetabelle:Wert Codewort Wert Codewort

0 0011 5 10001 0100 6 10012 0101 7 10103 0110 8 10114 0111 9 1100

Vor- und Nachteile?

Stibitz-Code

7 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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Entspricht dem BCD-Code, wenn man zu jeder Ziffer 3 addiertPseudotetraden sind 0 bis 2 und D bis FBereich der gültigen Tetraden ist “zentriert”Daher wieder einfache Berechnung von Neunerkomplement durchNegation (wie Aiken-Code)

Codetabelle:Wert Codewort Wert Codewort

0 0011 5 10001 0100 6 10012 0101 7 10103 0110 8 10114 0111 9 1100

Vor- und Nachteile?

Bisher: Festkomma-Darstellung

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Das Komma wird an eine feste Stelle verfügt, mit derentsprechenden Wertigkeit der StellenBeispiel für Format mit drei Nachkommazahlen:

Stelle Wertigkeit0. Bit (LSB) 1/8

1. Bit 1/42. Bit 1/23. Bit 14. Bit 2

... ...

Probleme der Festkomma-Darstellung

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Festkomma-Darstellung hat Vorteile ...Assoziativgesetz giltKeine Auslöschung

... aber auch Nachteile:Sehr große und sehr kleine Zahlen nicht darstellbarDifferenz von aufeinanderfolgenden Zahlen ist über den ganzenZahlenbereich gleich groß

→ Gleitkommazahlen

Gleitkomma-Darstellung

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Eine Gleitkommazahl wird durch drei Werte beschrieben:Vorzeichen-BitMantisse: Ziffern der Gleitkommazahl (als Nachkommastellen)Exponent: Verschiebung der Mantisse, um die Zahl zu erhalten

Der Exponent wird in der Offset-Darstellung (Exzess-Code)gespeichert und dann als Charakteristik bezeichnetBerechnung des Werts der Gleitkommazahl:

Zahl = (−1)Vorzeichen−Bit ∗ (0, Mantisse) ∗ bExponent

Achtung: Bei normierter Darstellung steht vor dem Komma eine Eins!Die Basis b ist meistens 2

Gleitkomma-Darstellung

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Eine Gleitkommazahl wird durch drei Werte beschrieben:Vorzeichen-BitMantisse: Ziffern der Gleitkommazahl (als Nachkommastellen)Exponent: Verschiebung der Mantisse, um die Zahl zu erhalten

Der Exponent wird in der Offset-Darstellung (Exzess-Code)gespeichert und dann als Charakteristik bezeichnetBerechnung des Werts der Gleitkommazahl:

Zahl = (−1)Vorzeichen−Bit ∗ (0, Mantisse) ∗ bExponent

Achtung: Bei normierter Darstellung steht vor dem Komma eine Eins!Die Basis b ist meistens 2

Gleitkomma-Darstellung

10 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

Fakultät für Informatik

Eine Gleitkommazahl wird durch drei Werte beschrieben:Vorzeichen-BitMantisse: Ziffern der Gleitkommazahl (als Nachkommastellen)Exponent: Verschiebung der Mantisse, um die Zahl zu erhalten

Der Exponent wird in der Offset-Darstellung (Exzess-Code)gespeichert und dann als Charakteristik bezeichnetBerechnung des Werts der Gleitkommazahl:

Zahl = (−1)Vorzeichen−Bit ∗ (0, Mantisse) ∗ bExponent

Achtung: Bei normierter Darstellung steht vor dem Komma eine Eins!Die Basis b ist meistens 2

Normalisierte Gleitkommazahlen

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Jeder Binärzahl außer der Null enthält irgendwo eine EinsWenn die Zahl nicht zu klein ist, kann man die erste Eins mit demExponent immer vor das Komma schieben→ Normalisierte DarstellungDurch eine implizite Eins statt Null vor dem Komma gewinnt man einBit GenauigkeitAber: Man braucht dann eine spezielle Darstellung für die Null (undggf. sehr kleine Zahlen)

Normalisierte Gleitkommazahlen

11 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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Jeder Binärzahl außer der Null enthält irgendwo eine EinsWenn die Zahl nicht zu klein ist, kann man die erste Eins mit demExponent immer vor das Komma schieben→ Normalisierte DarstellungDurch eine implizite Eins statt Null vor dem Komma gewinnt man einBit GenauigkeitAber: Man braucht dann eine spezielle Darstellung für die Null (undggf. sehr kleine Zahlen)

Aufbau von Gleitkommazahlen

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Um ein einheitliches Format zu verwenden, legt man fest, welcheBits der Gleitkommazahl Vorzeichen, Mantisse und ExponentspezifizierenEine solche Festlegung macht der IEEE 754-Standard (“IEEEStandard for Binary Floating-Point Arithmetic for MicroprocessorSystems”)

Spezielle Gleitkommazahlen

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Bestimmte Gleitkommazahlen, mit denen man eineGleitkomma-Darstellung charakterisieren kann, haben einenspeziellen Wert.

Maxreal: Größte normalisierte ZahlMinreal: Kleinste normalisierte ZahlSmallreal: Kleinste Zahl x mit 1 + x 6= 1

IEEE 754: Formate

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Single Precision (“float“):32 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 8 Bit Charakteristik + 23 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 127

Double Precision (”double”):64 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 11 Bit Charakteristik + 52 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 1023

IEEE 754: Formate

14 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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Single Precision (“float“):32 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 8 Bit Charakteristik + 23 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 127

Double Precision (”double”):64 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 11 Bit Charakteristik + 52 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 1023

IEEE 754: Charakteristik

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1 ≤ Charakteristik ≤ 254:Exponent = Charakteristik − 127Normalisierung

Charakteristik = 0:Kleinstmöglicher Exponent (-126)Keine Normalisierung (nur so ist die Null darstellbar!)

Charakteristik = 255:Mantisse = 0: Überlauf (“unendlich”)Mantisse 6= 0: NaN (“Not a Number”)

IEEE 754: Charakteristik

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1 ≤ Charakteristik ≤ 254:Exponent = Charakteristik − 127Normalisierung

Charakteristik = 0:Kleinstmöglicher Exponent (-126)Keine Normalisierung (nur so ist die Null darstellbar!)

Charakteristik = 255:Mantisse = 0: Überlauf (“unendlich”)Mantisse 6= 0: NaN (“Not a Number”)

IEEE 754: Charakteristik

15 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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1 ≤ Charakteristik ≤ 254:Exponent = Charakteristik − 127Normalisierung

Charakteristik = 0:Kleinstmöglicher Exponent (-126)Keine Normalisierung (nur so ist die Null darstellbar!)

Charakteristik = 255:Mantisse = 0: Überlauf (“unendlich”)Mantisse 6= 0: NaN (“Not a Number”)

Übungsaufgabe 1

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Vervollständigen Sie folgende Tabelle:

Dezimalzahl BCD-Kode AIKEN-Kode STIBITZ-Kode13,78

10010111,10011001,00011010

0110,01000111

Übungsaufgabe 2

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Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse

Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016

Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative

Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.

2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?

3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?

Übungsaufgabe 2

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Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse

Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016

Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative

Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.

2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?

3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?

Übungsaufgabe 2

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Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse

Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016

Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative

Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.

2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?

3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?

Übungsaufgabe 2

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Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse

Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016

Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative

Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.

2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?

3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?

Übungsaufgabe 3

18 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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Wandeln Sie die Dezimalzahl 21 in das 32-Bit-Format desIEEE-754-Standard um. Stellen Sie die Gleitkommazahl alshexadezimale Zahl dar.

Verbleibende Aufgaben der Übung

19 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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(nicht enthalten auf diesem Foliensatz, siehe Folien Ü1-40 ff.)

Fertig!

20 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17

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Quelle: http://xkcd.com/138/