Einführung in die Programmierung (MA8003)Theorie 1.1: Einführung, Grundlagen, Vektoren & Matrizen I

Dr. Laura Scarabosio

Technische Universität MünchenFakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2

07.10.2019

Fachbereich Numerik z.T. basierend auf Boris von Loesch Einführung in die Programmierung (MA8003)

AblaufTheorie 1.1+1.2 Mo (07.10.2019) 08:30 - 10:00 Uhr HS BC2 0.01.17Praxis 1.1 Mo (07.10.2019) 10:30 - 12:00 Uhr HS BC2 0.01.17/16Praxis 1.2 Mo (07.10.2019) 12:30 - 14:00 Uhr HS BC2 0.01.17/16Theorie 2.1+2.2 Mi (09.10.2019) 13:00 - 14:30 Uhr HS BC2 0.01.17Praxis 2.1 Mi (09.10.2019) 15:00 - 16:30 Uhr HS BC2 0.01.17/16Praxis 2.2 Mi (09.10.2019) 16:30 - 18:00 Uhr HS BC2 0.01.17/16Theorie 3.1+3.2 Do (10.10.2019) 08:30 - 10:00 Uhr HS BC2 0.01.17Praxis 3.1 Do (10.10.2019) 10:30 - 12:00 Uhr HS BC2 0.01.17/16Praxis 3.2 Do (10.10.2019) 12:30 - 14:00 Uhr HS BC2 0.01.17/16Theorie 4.1+4.2 Fr (11.10.2019) 08:30 - 10:00 Uhr HS BC2 0.01.17Praxis 4.1 Fr (11.10.2019) 10:30 - 12:00 Uhr HS BC2 0.01.17/16Praxis 4.2 Fr (11.10.2019) 12:30 - 14:00 Uhr HS BC2 0.01.17/16Klausur Fr (25.10.2019) xxx Uhr xxxNachholklausur Fr (22.11.2019) xxx Uhr xxx

Kurswebseite mit Infos, Folien und Übungsblättern:https://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/......MA8003WS19

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Was werden wir lernen?

Ziele sind...

Vermittlung elementarer Programmierkenntnisse am Beispiel einermatrixbasierten Hochsprache (MATLAB).Fähigkeit, einfache Programmieraufgaben zu lösen.Grundlagen für die effiziente Bearbeitung von Problemstellungen mitBezug zur Numerischen Mathematik.Graphische Aufbereitung von Ergebnissen.

Ziele sind NICHT

Programmierung komplexer Anwendungen (z.B. Datenbanken,Handy-Apps, Social-Media-Websites, Betriebssysteme usw.)Behandlung weiterer Sprachen wie z.B. C, C++, C#, Objective C,Java, Fortran, Python, Ruby, . . .

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Inhalte

Die folgenden Theorieblöcke werden paarweise und im Tutorium vertieft.

1.1 Einführung, Grundlagen, Vektoren & Matrizen I1.2 Vektoren & Matrizen II, Funktionen, Indizierung, Matrizen manipulieren2.1 Relationale und logische Operatoren, Funktionen definieren2.2 Schleifen, Vektorisierung, bedingte Ausführung, Debug3.1 2D Plots, 3D Plots, Plots erstellen mit der GUI3.2 Effiziente Behandlung dünnbesetzter Systeme4.1 Datenorganisation (Strukturen, Cell-Arrays), Profiler, nützliche Funktionen4.2 Einführung in die Objektorientierung mit MATLAB

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Was ist Matlab?

Matlab ist...ein Softwaresystem für technische Berechnungen:

Numerische BerechnungenEntwicklung von Algorithmen (Rapid Prototyping)Visualisierung von ErgebnissenAnwendungen mit grafischer BenutzeroberflächeToolboxen zur Modellierung und Simulation technischer ProblemeViele Numerikbibliotheken bieten Matlab-Schnittstelle(z.B. PETSc, IPOpt, . . . )Quasi-Standard in Wissenschaft und Industrie→ Eigene Codes nutzbar für Anwender und Kooperationspartner

Matlab ist NICHT...

Matlab ist kein Computer Algebra System wie z.B. Mathematicaoder Maple (es gibt aber eine symbolic Toolbox).

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Bezugsmöglichkeit und Alternativen

Installiert auf den Rechnern in der Rechnerhalle(Login notwendig → Helpdesk in der kleinen Rechnerhalle)

Matlab Campus Lizenz (mit persönlicher Registrierung)https://matlab.rbg.tum.de/

Studentenversion bei MathWorks bestellbar (ca. 70 Euro?)www.mathworks.de/academia/student_version/

Freie Alternativen (z.B.):Octave (weitgehend codekompatibel; www.octave.org)Scilab (http://www.scilab.org)Python mit Numpy/Scipy/Matplotlib (www.python.org)

? ohne Gewähr

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Theorie 1.1: Inhalt

1 EinführungMotivationGrundlagen

2 Vektoren und MatrizenErzeugen von MatrizenDoppelpunkt OperatorOperatorenBeispiel: Auswerten von Polynomen

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Inhalt

1 EinführungMotivationGrundlagen

2 Vektoren und MatrizenErzeugen von MatrizenDoppelpunkt OperatorOperatorenBeispiel: Auswerten von Polynomen

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Beispiel: Numerische Berechnungen

Lösen eines Gleichungssystems.

>> A = gallery(’poisson’,4);>> f = ones(16,1);>> x = A \ f

x =0.83331.16671.1667...1.16670.8333

>> full(A)ans =

4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 -1 4 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 00 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 00 0 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 -1 0 0 -1 4 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 -1 0 0 0 4 -1 0 0 -1 0 0 00 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 0 00 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -1 0 0 -1 00 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 4 -1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 4

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Beispiel: Entwicklung von Algorithmen

Iteratives Lösungsverfahren (PCG).function [u,m] = solvePCG(A, f, u_s, C1, C2, tol, m_max)

u = u_s; m = 0;r = f - A * u;p = C2 \ (C1\ r);norm_f = norm(f);while( (norm(r)/norm_f > tol) & (m < m_max))

a = A * p;a_dot_p = a’ * p;lambda = (r’ * p) / a_dot_p;u = u + lambda * p;r = r - lambda * a;inv_C_times_r = C2 \ (C1 \ r);p = inv_C_times_r - ((inv_C_times_r’ * a) / a_dot_p) * p;m=m+1;

end

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Beispiel: Visualisierung

3D-Plot der Funktion 1x2+y2 .

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Beispiel: Modellierung und Simulation

Berechnen und Darstellen der Verschiebungsfigur eines Querschnittsunter einer Flächenlast.

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Beispiel: GUI-AnwendungenPartial Differential Equations Toolbox pdetool von Matlab.

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Beispiel: PrototypingTemperaturverteilung in einer Erdmantelkonvektions-Simulation:

Anmerkung: Die 3D-Simulation links mit 1010 Freiheitsgraden erfordertoptimierte Codes, die auf Maschinen wie z.B. SuperMUC ausgeführt werden.Prototyping mit MATLAB o.ä. (2D, rechts) erlaubt es wichtige Fragen mit weitweniger Aufwand (bzgl. Implementierung und Ressourcen) zu beantworten.

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Beispiel: SimulationBlutströmungs-Simulation in Arterien:

Anmerkung: 3D-Simulation, Stromlinien (links) und Wandkräfte (rechts).Fachbereich Numerik z.T. basierend auf Boris von Loesch Einführung in die Programmierung (MA8003)

Stärken von Matlab

Algorithmen lassen sich in einer an die Mathematik angelehntenForm implementierenNative Unterstützung von Vektoren und Matrizen (auchdünnbesetzt!)Große Bibliothek mit numerischen Funktionen, z.B. spline zurBerechnung kubischer SplinesUmfangreiche VisualisierungsmöglichkeitenMatlab wählt automatisch effizienten Algorithmus für bestimmteAufgabe, z.B. beim Lösen von linearen Gleichungssystemen mit \Weite Verbreitung in der CommunityLeicht zu lernende, umfangreiche ProgrammierumgebungNicht so langsam wie sein Ruf bei Beachtung gewisser Regeln

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Matlab IDE

Verzeichnis-Fenster, Befehls-Fenster, Befehls-Historie, Variablenspeicher,Hilfe (help und doc)

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Befehlseingabe

Eingaben können direkt in das Befehlsfenster gemacht werdenMit help <Funktionsname> und doc <Funktionsname> findetman HilfeStichwortsuche in den Hilfetexten aller Funktionen mit lookfor<Stichwort>

Tabulator-Taste verwenden um Befehle automatisch zuvervollständigenMit den Hoch/Runter-Tasten können die zuletzt verwendetenBefehle durchgegangen werdenLaufende Operationen können mit Ctrl+C abgebrochen werdenKeine Ausgabe bei Abschluss mit ;

Mehrere Befehle in einer Zeile mit , oder ; trennen

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Rechnen in Matlab

Variablenzuweisung durch =Punkt-vor-Strich-RechnungIn ans steht das Ergebnis der letzten RechnungEingabe im DezimalsystemFormat: [Vorzeichen] Zahl [Exponent]

Vorzeichen: + oder −Zahl: mind. 1 Ziffer, ggf. DezimalpunktExponent: e oder E gefolgt von + oder − und ganzer Zahl

>> a=5;>> 5*a+2

ans =27

>> b=sqrt(a), b^2

b =2.2361

ans =5.0000

>> 1+2/3*4-5

ans =-1.3333

>> ans

ans =-1.3333

>> 1+2/3*4-5;>>

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Komplexe Zahlen

Matlab unterstützt das Rechnen mit komplexen Zahlen.Eingabeformat: a+bi oder a+bj

Alternativ: complex(a,b)

Achtung: Automatischer Wechsel kann zu Problemen führen

>> z=5+3.5i

z =5.0000 + 3.5000i

>> a=2;>> b=3;>> z2 = a+bi??? Undefined function or variable ’bi’.

>> z2 = a+b*j

z2 =2.0000 + 3.0000i

>> j=2;>> z3 = a+b*j

z3 =8

>> z3=complex(a,b)

z3 =2.0000 + 3.0000i

>> sqrt(-5.2)

ans =0 + 2.2804i

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Inhalt

1 EinführungMotivationGrundlagen

2 Vektoren und MatrizenErzeugen von MatrizenDoppelpunkt OperatorOperatorenBeispiel: Auswerten von Polynomen

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Alles ist Matrix!

Matlab unterstützt das Rechnen mit mehrdimensionalen Datenstrukturen(bei uns Vektoren und Matrizen). Jede Variable wird als Matrixgespeichert, z.B. wird eine Zahl als 1× 1-Matrix interpretiert.

Um Matlab effizient zu nutzen muss vektorisiert gearbeitetwerden!

Dies führt in der Regel auch zu (zumindest für Mathematiker) gutlesbarem Code.

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Erzeugen von Matrizen I

Spezielle häufig benötigte Matrizen können mit Hilfe von Befehlenerzeugt werden:

eye: Einheitsmatrixones: Einsmatrixzeros: Nullmatrixrand: Matrix mit gleichverteilten Zufallswerten in (0, 1)

Syntax (bei allen identisch)rand(n,m): Matrix mit n Zeilen und m Spaltenrand(n): Quadratische Matrix mit n Zeilen und n Spalten

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Erzeugen von Matrizen II

>> R = rand(2,4)

R =

0.8913 0.4565 0.8214 0.61540.7621 0.0185 0.4447 0.7919

>> eye(4,3)

ans =1 0 00 1 00 0 10 0 0

>> ones(4,1)

ans =1111

>> zeros(1,3)

ans =0 0 0

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Erzeugen von Matrizen III

Matrizen und Vektoren können auch direkt mit Hilfe von [...] erzeugtwerden

Zeileneinträge mit Leerzeichen oder Komma trennenZeilenumbruch oder Semikolon für eine neue ZeileAnzahl der Einträge muss in jeder Zeile gleich sein

>> x = [3,4 5 -6]x =

3 4 5 -6

>> x = [2,3;4,5]x =

2 34 5

>> x = [2,3,45 6 7]

x =2 3 45 6 7

>> x = [1,2,3;4,5]??? Error using ==> vertcatCAT arguments dimensions are not consistent.

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Erzeugen von Matrizen IV

Statt Zahlen können auch Vektoren oder Matrizen innerhalb von [...]verwendet werden (Blockmatrizen).Achtung: Auf Dimensionen achten

>> A=[eye(2); ones(2)]

A =

1 00 11 11 1

>> A=[eye(2), [1;2]; rand(1,2), 5]

A =

1.0000 0 1.00000 1.0000 2.0000

0.9218 0.7382 5.0000

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Doppelpunkt Operator, Linspace I

Mit Hilfe der Doppelpunkt Operators können spezielle Vektoren erzeugtwerden. Diese finden häufig in Schleifen oder beim Indizieren Anwendung.

Syntaxv = <Start>:<Abstand>:<Ende>Erzeugt einen Vektor v mit Elementen von <start> bis <Ende>, wobei jezwei benachbarte Elemente den Abstand <Abstand> haben.Hinweis: <Start>:<Ende> == <Start>:1:<Ende>

Auch der verwandte Befehl linspace erzeugt Vektoren.

Syntaxv = linspace(<Start>, <Ende>, n)Erzeugt einen Vektor v der Länge n mit Elementen von <Start> bis<Ende>, wobei je zwei benachbarte Elemente denselben Abstand haben.

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Doppelpunkt Operator, Linspace II

>> x = 1:2.5:7

x =1.0000 3.5000 6.0000

>> x = -1:-2:-6

x =-1 -3 -5

>> x = -1:2

x =-1 0 1 2

>> 2:-1

ans =Empty matrix: 1-by-0

>> x = linspace(1,2,4)

x =1.0000 1.3333 1.6667 2.0000

>> linspace(4,-1,3)

ans =4.0000 1.5000 -1.0000

>> linspace(1,2,1)

ans =2

>> linspace(1,2,0)

ans =Empty matrix: 1-by-0

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Weitere Möglichkeiten: Einlesen aus Datei

Matrizen können aus Textdateien, die z.B. durchTabellenkalkulationsprogramme erzeugt wurden oder numerischeEregbnisse enthalten, eingelesen werden.

SyntaxA = csvread(’eingabe.csv’) erwartet per Kommata getrennteSpalten.A = dlmread(’eingabe.txt’,’\t’) erlaubt die Angabe desTrennungszeichens zwischen den Spalten (hier Tabulator).

Analog zu csvread,dlmread gibt es Befehle um Matrizen inTextdateien abzuspeichern: csvwrite,dlmwrite

In der Matlab-Hilfe finden Sie zahlreiche Lese- und Schreibbefehlefür andere Dateiformate (z.B. Bild-, Audio- und Videodateien)

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Weitere Möglichkeiten

repmat erzeugt Matrizen durch mehrfaches Kopieren.

Syntaxrepmat(A, n, m)Matrix A wird insgesamt m-mal nach rechts kopiert und die entstehendeMatrix n-mal unten angehängt.

>> B=[1,2;3,4]

B =

1 23 4

>> repmat(B, 2, 3)

ans =1 2 1 2 1 23 4 3 4 3 41 2 1 2 1 23 4 3 4 3 4

>> [B,B,B; B,B,B]

ans =1 2 1 2 1 23 4 3 4 3 41 2 1 2 1 23 4 3 4 3 4

>> repmat(1:3, 3, 1)

ans =1 2 31 2 31 2 3

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Operatoren I+, -, .*, ./, .^: Elementweise OperationenAchtung: Auf den Punkt bei .*, ./ und . achten.Syntax

C = s + A mit s Skalar, A Matrix/Vektor: cij = aij + s.C = A .* B mit A und B Matrizen: cij = aij · bij .Achtung: A und B müssen die gleiche Anzahl Zeilen und Spaltenhaben

>> A = eye(2)+2

A =3 22 3

>> R = rand(2,3);>> 3.*ones(2,3) + R

ans =3.8147 3.1270 3.63243.9058 3.9134 3.0975

>> (1:5).^2

ans =1 4 9 16 25

>> 2.^(1:5)

ans =2 4 8 16 32

>> ones(2) + [1,2]??? Error using ==> plusMatrix dimensions must agree.

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Operatoren II

*: Multiplikation im Matrizenprodukt Sinn oder elementweiseMultiplikation mit Skalar

Syntax

C = A*B mit Matrizen A und B: cij =∑

k aikbkj .Achtung: Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl Zeilenvon B seins*A == s.*A, wenn s Skalar.

Hinweis: A*x mit x Spaltenvektor ist das normale Matrix-Vektor Produktvon A mit x .

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Operatoren III

>> x = [1; 2; 3];>> A = ones(3)+eye(3)

A =2 1 11 2 11 1 2

>> A*x

ans =789

>> y = [2; 3; 4];>> x*y??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.

>> y = [2, 3, 4];>> y*x

ans =20

>> B = [2,2;-3,1; 0,1]

B =2 2

-3 10 1

>> A*B

ans =

1 6-4 5-1 5

>> B*A??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.

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Operatoren IV

A’: Adjungierte Matrix A∗ == AT (alternativ: ctranspose(A)))A.’: Transponierte Matrix AT (alternativ: transpose(A))Wird häufig verwendet um aus Zeilenvektoren (z.B. x = 1:n;)Spaltenvektoren zu machen (x = (1:n)’;)

Hinweis: A’ und A.’ unterscheiden sich nur bei Matrizen mit komplexenEinträgen.

>> A=[1, 1+i;2,3]

A =1.0000 1.0000 + 1.0000i2.0000 3.0000

>> A’

ans =1.0000 2.00001.0000 - 1.0000i 3.0000

>> A.’

ans =1.0000 2.00001.0000 + 1.0000i 3.0000

>> transpose(A)

ans =1.0000 2.00001.0000 + 1.0000i 3.0000

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Beispiel: Auswerten von Polynomen

Beispiel: Auswerten des Polynoms p(x) := 3.5x3 + 2x2 − 2 an denPunkten xi = 0 + i/2, i = 0, . . . , 4. In der Regel speichert man denKoeffizientenvektor, also p = [-2; 0; 2; 3.5].

>> p = [-2; 0; 2; 3.5]

p =-2.0000

02.00003.5000

>> x=(0:0.5:2)’

x =0

0.50001.00001.50002.0000

>> X=[x.^0, x, x.^2, x.^3]

X =1.0000 0 0 01.0000 0.5000 0.2500 0.12501.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 1.5000 2.2500 3.37501.0000 2.0000 4.0000 8.0000

>> y = X * p

y =-2.0000-1.06253.5000

14.312534.0000

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Fragen?

Ende Theorie 1.1

Fragen?

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