Post on 11-Jan-2016
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Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Virtueller Vortrag von Andreas Kautsch und Andreas Litschauer im Rahmen der VO Festkörperphysik Grundlagen
2Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Outline
elektrische Leitfähigkeit
Gründe für den elektrischen Widerstand
Umklapp-Streuung
Bewegung in Magnetfeldern – Hall Effekt
Thermische Leitfähigkeit von Metallen
3Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
2. Newtonsches Gesetz für ein freies Elektron
F ... Kraft auf das Elektron E ... elektrisches Feld B ... magnetisches Feld c ... Konstante im CGS-System
)1
( Bvc
Eedt
kd
dt
vdmF
4Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Fermi-Kugel im elektrischen Feld
das elektrische Feld E bewirkt im k-Raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel:
tEek
5Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Bewegung der Elektronen ohne äußeres Magnetfeld
Driftgeschwindigkeit der Elektronen:
elektrische Stromdichte in einem konstanten E-Feld:
wegen (Ohmsches Gesetz):
ergibt sich die elektrische Leitfähigkeit zu:
m
Enevnqj
2
m
ne 2
Ej
m
Eev
6Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
elektrische Leitfähigkeit am Beispiel Kupfer
Leitfähigkeit von reinen Kupferkristallen bei 4 K fast 105 mal größer als bei Raumtemperatur (283,15 K)
daraus folgt für die mittlere freie Weglänge: l(4 K) ≈ 0,3 cm wohingegen l(283,15 K) ≈ 3*10-6 cm
maximal beobachtete mittlere freie Weglänge bei Temperaturen von flüssigem Helium: 10 cm
7Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Experimente zum elektrischer Widerstand von Metallen
bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen
- im Bild rechts sind die Phononen durch unterschiedliche Abstände der Netzebenen symbolisiert
bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanischen Gitterfehler
- Korngrenzen und Versetzungen- Fremdatome- Leerstellen- Zwischengitteratome- Konzentrationsschwankungen- Isotopenschwankungen
8Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Relaxationszeit
bei Abschaltung von E geht Impulsverteilung wieder in Grundzustand zurück nach:
τL ... Stoßzeit mit Phononen
τi ... Stoßzeit mit Gitterfehlern
daraus resultiert der Widerstand im Metall
ρL ... spezifischer Widerstand durch thermische Phononen
ρi ... spezifischer Widerstand durch Streuung der Elektronenwellen an statischen Defekten
iL 111
iL
9Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Matthiessensche Regel
Matthiessensche Regel:
ρ(T) = ρPhononen(T) + ρDefekte
wenn die Temperatur bzw. die Konzentration der Defekte klein ist, können die spezifischen Widerstände unabhängig von diesen sein
ρi(0) ist der auf 0 K extrapolierte spezifische Widerstand;
ρL verschwindet mit T0
Gitterwiderstand
ρL(T) = ρ - ρi(0)
ist derselbe für verschiede Proben aus dem gleichen Metall
Widerstandsverhältnis=
ρ(293,15)/ ρ(0)Maß für Reinheit
10Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Debyetemperatur
Die Kollisionsrate von Elektronen mit Phononen ist proportional zur Konzentration d. thermischen Phononen
Über der Debyetemperatur Θ ist die Phonoenkonzentration proportional zur Temperatur ρ ~ T für T > Θ
Beispiele für Debyetemperaturen in K:Cs 38 Al 428
Pb 105 Fe 467
NaCl 321 C 2230
Cu 343
11Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Umklapp-Streuung (Stöße an Phononen)
bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur
Erklärung: reziproker Gittervektor beteiligt
Normalprozess Umklapp-Prozess (Kleinwinkelstreuung) (starke Streuzentren)
k‘ = k + q k‘ = k + q + Gk: Elektronenimpuls vor Stoß; k‘: Elektronenimpuls nach Stoßq: Phononenimpuls; G: reziproker Gittervektor
12Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Ergebnis von Bloch
analytisches Ergebnis für die normale Streuung bei sehr tiefen Temperaturen:
konnte noch nicht nachgewiesen werden, weil zu viele konkurrierende Effekte wie:
- Störstellenstreuung
- Elektron-Elektron-Streuung
- Umklapp-Streuung
6
5
TL
13Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Bewegung in Magnetfeldern
14Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B
Im CGS-System:
Im SI-System:
15Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Hall-Effekt
Das Hall-Feld:
elektrisches Feld in Richtung j x B
Strom j senkrecht zu Magnetfeld B
Größe der Spannung:
wobei als Hall-Konstante bezeichnet wird und d die Dicke der
Probe parallel zu B ist
16Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Hall-Konstante
Mit und erhalten wir für
die Hallkonstante
Dieser Ausdruck ist negativ für freie Elektronen, denn e ist laut Definition positiv
Ladungsträgerkonzentration klein => Betrag der Hall-Konstante groß
m
Enej
2
neRH
1
xy Em
eBE
17Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Standardgeometrie für den Hall-Effekt
Ein stabförmiger Körper mit rechteckigem Querschnitt wird in ein Magnetfeld B gebracht
18Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Ein elektrisches Feld E an die Elektroden angelegt, verursacht eine Stromdichte j in Stabrichtung
Ablenkung in y-Richtung von Magnetfeld erzeugt
Schnitt senkrecht zur z-Achse, Driftgeschwindigkeit der Elektronen setzt gerade ein
19Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Elektronen auf der einen, positiver Ionen-Überschuss auf der anderen Seite
bis das Hallfeld (transversale elektrische Feld) die Lorentz-Kraft durch das Magnetfeld gerade aufhebt
Schnitt senkrecht zur z-Achse, Driftgeschwindigkeit im stationären Zustand
20Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Tabelle: Vergleich zw. beobachteten Werten und direkt aus der Konzentration der Ladungsträger berechneten Werten der Hall-Konstante
21Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Thermische Leitfähigkeit von Metallen
22Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Wärmeleitzahl K
Vermögen des Stoffes, thermische Energie zu transportieren: Wärmeleitzahl
v ... Teilchengeschwindigkeit C ... spezifischen Wärme pro Volumeneinheit l ... mittlere freie Weglänge
23Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Wärmeleitfähigkeit von Cu
In unten stehendem Graph ist die Wärmeleitfähigkeit von Kupfer nach Berman und MacDonald zu sehen
24Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Verhältnis aus thermischer und elektrischer Leitfähigkeit
Wiedemann-Franzsche Gesetz:
Das Wiedemann-Franzsche Gesetz zeugt von der Tatsache, dass in Metallen die Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie sind
Für alle Metalle bei nicht zu tiefen Temperaturen ist das Verhältnis aus thermischer Leitfähigkeit K und elektrischer Leitfähigkeit σ direkt proportional zur Temperatur
Te
kK B
22
3
25Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Zusammenfassung
das elektrische Feld bewirkt im k-Raum eine Verschiebung der gesamten Fermi-Kugel
Ohmsches Gesetz:
elektrische Leitfähigkeit:
bei der Temperatur von fl. He (4 K) Stöße der Leitungselektronen mit Verunreinigungen bzw. mechanische Gitterfehler
bei höheren Temperaturen (Zimmertemperatur) Stöße der Leitungselektronen mit Gitterphononen
Matthiessensche Regel: ρ(T) = ρPhononen(T) + ρDefekte
Umklapp-Streuung bei niedrigen Temperaturen: Änderung des Elektronenimpulses viel größer als bei normaler Elektron-Phonon Streuprozess bei dieser Temperatur
Ej
m
ne 2
26Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Zusammenfassung
Lorentzkraft auf ein Elektron in einem homogenen Magnetfeld B
Hall Konstante:
Wärmeleitzahl:
Wiedemann-Franzsche Gesetz: in Metallen Ladungsträger auch Träger von Wärmeenergie
neBj
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1
27Elektrische und Thermische Leitfähigkeit von Metallen
Wir bedanken uns fürs Zuhören!