Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter ... · 1 n1 c n y(t) Lehrstuhl für Digitale...

RUHR-UNIVERSITY BOCHUM

Entwurf, Synthese und Analysezeitvarianter Übertragungssysteme

VorlesungZeitvariante Kommunikationssysteme

PD Dr.-Ing. Karlheinz Ochs

Lehrstuhl für Digitale Kommunikationssysteme

Lehrstuhl für

Digitale

Kommunikationssysteme

Fakultät für

Elektrotechnik und

Informationstechnik

www.dks.rub.de SoSe 2017

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

3 Zeitvariante lineare Systeme

4 Synthese zeitvarianter Systeme

5 Eingrößen-Übertragungssysteme

6 Mehrgrößen-Übertragungssysteme

7 Zusammenfassung und Ausblick

Lehrstuhl fürDigitale Kommunikationssysteme

K. Ochs Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme SoSe 2017

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme Einleitung

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

Einleitung 1 / 33

Einleitung

Trends für Kommunikationssysteme

mobile Kommunikationhohe Bitrategeringe Latenzzeit

Randbedingungen für Mobilfunksysteme

teure und begrenzte Bandbreitebegrenzte Sendeleistungzeitvariante Übertragung

Lösungsansätze

Orthogonales Frequenzmultiplexverfahren (OFDM)MehrgrößensystemeMehrantennensysteme. . .

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme Mehrwegekanal

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

Mehrwegekanal 2 / 33

Mobilfunk-Übertragung

Übertragungsszenario

Mobiltelefon

Rauschen

Basisstation

Ursachen für ZeitvarianzMehrwegeausbreitung bei beweglichen ObjektenAbtast-Halteglieder, Modulatoren, HF-Verstärker, ...

Übertragung

Übertragungskanal

reellMittenkreisfrequenz ωc

Bandbreite Bc

−ωc ωc ω

verfugbarerFrequenzbereich

x0(t) y0(t)Quelle Sender

Ubertragungs-kanal

Empfanger Senke

Übertragung

Sendesignal

reellTrägerkreisfrequenz ω0

Bandbreite Bx

X0(jω)

−ω0 ω0 ω

Ubertragungs-kanal

Empfanger Senke

Übertragung

Empfang erfordert angepasstes Sendesignal

reellBandbreite Bx ≤ Bcgeeignete Trägerkreisfrequenz ω0

X0(jω) Bc

−ω0 ω0 ω

Ubertragungs-kanal

Empfanger Senke

Übertragung

Äquivalentes Basisband

Kanal komplexwertig

Sendesignal x(t) komplexwertig

Empfangssignal y(t) komplexwertig

X(jω)

x0(t) y0(t)x(t) y(t)digitaleQuelle

digitalerModulator

analogerModulator

Ubertragungs-kanal

analogerDemodulator

digitalerDemodulator

digitaleSenke

Basisband-Kanal

Zeitinvariante Mehrwegeausbreitung

Signalbeschreibung

y(t) =n∑ν=0

cνxν(t)

Sendesignal erreicht Empfänger auf unterschiedlichen Wegen

xν(t) = x(t− Tν)unterschiedliche Laufzeiten

Tν = T0 + νTDämpfung und Phasenänderung

cν = |cν | ej argcν

x(t) T0 T T

c0 c1 cn−1 cn

Impulsantwort

Definitionx(t) = δ(t− Tx) → y(t) = h(t− Tx)

Impulsantwort des Mehrwegekanals

h(t) =n∑ν=0

cνδ(t− Tν)

Eingangs-Ausgangsverhalten

y(t) =∫ ∞−∞h(t− t′)x(t′)dt′

x(t) T0 T T

c0 c1 cn−1 cn

Übertragungsfunktion

Definition

x(t) = ejΩxt → y(t) = H(jΩx)ejΩxt

Übertragungsfunktion des Mehrwegekanals

H(jω) =n∑ν=0

cν e−jωTν

Y(jω) = H(jω)X(jω)

x(t) T0 T T

c0 c1 cn−1 cn

Zeitvariante Mehrwegeausbreitung

y(t) =n∑ν=0

cν(t)x(t− Tν) mit cν(t) ∈ C

Übertragungsverhalten

x(t) = ejΩxt → y(t) =

[n∑ν=0

cν(t)e−jΩxTν

]ejΩxt

x(t) T0 T T

c0(t) c1(t) cn−1(t) cn(t)

Zeitvariantes Übertragungsverhalten!Lehrstuhl fürDigitale Kommunikationssysteme

Zeitvariante Mehrwegeausbreitung

Stochastische Modellierung

y(t) = c(t)x(t) + w(t) mit c(t),w(t) ∈ C

c(t) assoziiert mit Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion

Rice-VerteilungRayleigh-VerteilungNakagami-m-Verteilung

additives weißes Rauschen w(t)

zeitvariantes Übertragungsverhalten

Übertragungssystem

c(t) w(t)

y(t)digitaleQuelle

digitalerModulator

digitaleSenke

Basisband-Kanal

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme Zeitvariante lineare Systeme

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

Zeitvariante lineare Systeme 9 / 33

Systemfunktionen zeitvarianter Systeme

4 Systemfunktionen

zeit- und frequenzvariante Impulsantwort

h(t, t′) bzw. h(jω, t′)

zeit- und frequenzvariante Übertragungsfunktion

H(t, jω′) bzw. H(jω, jω′)

Diagramm

X(jω)

h(t, t′)

h(jω, t′)

H(t, jω′)

H(jω, jω′)

Y (jω)

Zeitvariante Impulsantwort

Definition

x(t) = δ(t− Tx) → y(t) = h(t,Tx)

h(t, t′)δ(t− Tx) h(t, Tx)

Zeitvariante Faltung

x(t) → y(t) =∫ ∞−∞h(t, t′)x(t′)dt′

x(t) h(t, t′) y(t)

Zeitvariante Übertragungsfunktion

Definition

x(t) = ejΩxt → y(t) = H(t, jΩx) ejΩxt

ejΩxt h(t, t′) H(t, jΩx) ejΩxt

Fourier-Rücktransformation

x(t) → y(t) =1

∫ ∞−∞H(t, jω′)X(jω′)ejω′tdω′

X(jω) H(t, jω′) y(t)

Y(jω) 6= H(t, jω)X(jω)Lehrstuhl fürDigitale Kommunikationssysteme

Spezielle zeitvariante Systeme

Frequenzinvariantes System

y(t) = c(t)x(t)x(t)

Systemfunktionen

y(t) = c(t)x(t)x(t)

Systemfunktionen

x(t) = δ(t− Tx) → y(t) = h(t,Tx) = c(t)δ(t− Tx)

x(t) = ejΩxt → y(t) = H(t, jΩx) ejΩxt = c(t) ejΩxt

y(t) = c(t)x(t)x(t)

Systemfunktionen

h(t, t′) = c(t)δ(t− t′)

H(t, jω′) = c(t)

Frequenzinvariantes Übertragungsverhalten!

Idealer Pulsamplitudenmodulator

y(t) = δT(t)x(t)

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

Signalverläufe

y(t) = δT(t)x(t)

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

Signalverläufex(t)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 t/T

y(t) = δT(t)x(t)

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

SignalverläufeδT (t)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 t/T

y(t) = δT(t)x(t)

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

SignalverläufeδT (t)x(t)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 t/T

y(t) = δT(t)x(t)

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

SignalverläufeδT (t)x(t), δT (t− T/2)x(t)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 t/T

Zeitvariantes System!

y(t) = δT(t)x(t)

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

Systemfunktionen

Zeitvariante ImpulsantwortExistiert nicht!

H(t, jω′) = δT(t) = H(t− T, jω′)

y(t) = δT(t)x(t)

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

Systemfunktionen

Zeitvariante ImpulsantwortExistiert nicht!

H(t, jω′) = δT(t) =1T

∞∑ν=−∞

ejνΩt mit ΩT = 2π

Zeitperiodisches frequenzinvariantes Übertragungsverhalten!

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme Synthese zeitvarianter Systeme

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

Synthese zeitvarianter Systeme 15 / 33

Kaskaden zeitvarianter Systeme

Kaskade zweier zeitvarianter Systeme

X(jω)

Y (jω)

Z(jω)

h1(t, t′)

h1(jω, t′)

H1(t, jω′)

H1(jω, jω′)

h2(t, t′)

h2(jω, t′)

H2(t, jω′)

H2(jω, jω′)

Berechnung

2 Möglichkeiten je SystemfunktionTausch der Teilsysteme ändert Übertragungsverhalten

Welche Systemfunktionen lassen sich ohne Integration berechnen?

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT) x(t) AHG

δT (t)

Signalverläufe

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δT (t)

Signalverläufex(t)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 t/T

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δT (t)

SignalverläufeδT (t)x(t)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 t/T

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =∞∑

ν=−∞

δ(t− νT)x(t)

δT (t)

s(t) y(t)

Signalverläufey(t)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 t/T

Zeitvariantes System!

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =1T

∞∑ν=−∞

ejνΩtx(t)

δT (t)

s(t) y(t)

Systemfunktion

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =1T

∞∑ν=−∞

ejνΩtx(t)

δT (t)

s(t) y(t)

Systemfunktion

x(t) = ejΩxt → 1T

∞∑ν=−∞

ejνΩtejΩxt

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =1T

∞∑ν=−∞

ejνΩtx(t)

δT (t)

s(t) y(t)

Systemfunktion

∞∑ν=−∞

ejνΩtejΩxt → y(t) =1T

∞∑ν=−∞

S(jΩx + jνΩ)ejνΩtejΩxt

Abtast-Halteglied

y(t) = s(t) ∗ [δT(t)x(t)]

δT(t) =1T

∞∑ν=−∞

ejνΩtx(t)

δT (t)

s(t) y(t)

Systemfunktion

H(t, jω′) =1T

∞∑ν=−∞

S(jω′ + jνΩ)ejνΩt

Zeitperiodisches Übertragungsverhalten!

Übertragung von Abtastwerten

Anforderungsspezifikation

y(kT) = x(kT) für k ∈ ZX(jω) H(t, jω′) y(t)

Systembeschreibung

y(kT) = x(kT)

Entwurf und Synthese

Systembeschreibung

∫ ∞−∞H(kT, jω′)X(jω′)ejω′kTdω′ =

∫ ∞−∞X(jω′)ejω′kTdω′

Systembeschreibung

H(kT, jω′) = 1 für k ∈ Z

(verallgemeinerte) 1. Nyquist-Bedingung

y(kT) = x(kT) für k ∈ Zx(t)

δT (t)

s(t) y(t)

Systembeschreibung

H(kT, jω′) =1T

∞∑ν=−∞

S(jω′ + jνΩ)ejνΩkT

δT (t)

s(t) y(t)

Systembeschreibung

∞∑ν=−∞

S(jω′ + jνΩ)

δT (t)

s(t) y(t)

Systembeschreibung

∞∑ν=−∞

S(jω′ + jνΩ) = T

s(t) ist ein Nyquist-Impuls

Zeitvariante Übertragungsfunktion mit cos-förmiger Flanke

2ω′/Ω2t/T

|H(t, jω′ )|

cos(Ωt/2)

(verallgemeinerte)1.Nyquist-Bedingung

cosinusformigeFlanke

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme Eingrößen-Übertragungssysteme

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

Eingrößen-Übertragungssysteme 20 / 33

Übertragung im äquivalenten Basisband

Ressourcen des Kanals

Bandbreite Bc

Dynamik Dc

Dauer Tc

x(t) y(t)

DynamikDauer

Bandbreite

digitaleQuelle

digitalerModulator

Basisband-Kanal

digitaleSenke

Sendesignal

Bandbreite Bx

Dynamik Dx

Dauer Tx

x(t) y(t)

Dynamik DynamikDauer

Bandbreite Bandbreite

Dx DxDcTx Tx Tc

digitaleQuelle

digitalerModulator

Basisband-Kanal

digitaleSenke

Empfang erfordert angepasstes Sendesignal

Bandbreite Bx ≤ Bc

Dynamik Dx ≤ Dc

Dauer Tx ≤ Tc

x(t) y(t)

Dynamik Dynamik DynamikDauer

Bandbreite Bandbreite Bandbreite

Dx Dx DxDc DcTx Tx TxTc Tc

Bx Bx Bx

digitaleQuelle

digitalerModulator

Basisband-Kanal

digitaleSenke

Signalraumzuordnung

Anpassung der Signaldynamik Dx ≤ Dc

endliches Alphabet A

Information in Symbolen u(kT) ∈ A

u(t) x(t) y(t) v(t)

Bx Bx Bx

digitaleQuelle

Impuls-formung

Basisband-Kanal

Symbol-Ruck-gewinnung

digitaleSenke

Signalraum-zuordnung

inverseSignalraum-zuordnung

Impulsformung

Anpassung der Signalbandbreite Bx ≤ Bcessentiell für Symbol-Rückgewinnung

u(t) x(t) y(t) v(t)

Bx Bx Bx

digitaleQuelle

Impuls-formung

Basisband-Kanal

Symbol-Ruck-gewinnung

digitaleSenke

Signalraum-zuordnung

inverseSignalraum-zuordnung

Impulsformung bei additivem Rauschen

Entwurfsvorgaben für Übertragungssystem

1 Nyquist-Impuls

z(kT) = u(kT)

2 Aufteilung in Sende- und Empfangsfilter

S(jω) = R(jω)Q(jω)

3 additives weißes Rauschen auf dem Kanal

y(t) = x(t) + w(t)

4 optimales Signal-Geräusch-Verhältnis am Entscheider

r(t) = q(−t)

δT (t)

s(t)z(t)

δT (t)

AHG v(t)

Sender Empfanger

1 Nyquist-Impuls

z(kT) = u(kT)

y(t) = x(t) + w(t)

r(t) = q(−t)

δT (t)

q(t)x(t)

r(t)z(t)

δT (t)

AHG v(t)

Sender Empfanger

1 Nyquist-Impuls

z(kT) = u(kT)

y(t) = x(t) + w(t)

r(t) = q(−t)

δT (t)

q(t)x(t)

y(t)r(t)

δT (t)

AHG v(t)

Sender additivesRauschen

Empfanger

1 Nyquist-Impuls

z(kT) = u(kT)

y(t) = x(t) + w(t)

r(t) = q(−t)

δT (t)

q(t)x(t)

y(t)q(−t)

δT (t)

AHG v(t)

Empfanger

5 tiefpass-bandbegrenzter Sendeimpuls

Bx ≤ Bc6 zeitliche Synchronisationsfehler

|τ |/T ≤ 5%

δT (t)

q(t)x(t)

y(t)q(−t)

δT (t− τ)

AHG v(t)

Empfanger

5 tiefpass-bandbegrenzter Sendeimpuls

Bx ≤ Bc6 zeitliche Synchronisationsfehler

|τ |/T ≤ 5%

δT (t)

q(t)x(t)

y(t)q(−t)

δT (t− τ)

AHG v(t)

Empfanger

Zeitvariante Übertragungsfunktion mit asech-förmiger Flanke

2ω′/Ω2t/T

|H(t, jω′ )|

cos(Ωt/2)

2ω′/Ω2t/T

|H(t, jω′ )|

cos(Ωt/2)

Toleranzbereich durchSynchronisationsfehler

2ω′/Ω2t/T

|H(t, jω′ )|

cos(Ωt/2)

(verallgemeinerte)1.Nyquist-Bedingungabsolute Robustheit

gegenuberSynchronisationsfehlern

Toleranzbereich durchSynchronisationsfehlerEmpfindlichkeit

gegenuberSynchronisationsfehlern τ/T

2ω′/Ω2t/T

|H(t, jω′ )|

cos(Ωt/2)

(verallgemeinerte)1.Nyquist-Bedingungabsolute Robustheit

gegenuberSynchronisationsfehlern

asymptotischesVerhalten

des Impulses

Toleranzbereich durchSynchronisationsfehlerEmpfindlichkeit

gegenuberSynchronisationsfehlern τ/T

asech-formigeFlanke

Impulsformung bei nichtfrequenzselektivem Schwund

7 WLAN-Kanal: Nakagami-m-Verteilung für c(t)

8 Minimierung der Fehlerwahrscheinlichkeit bei Entscheidung

gesendet u(kT) ∈ A

empfangen z(kT− τ) ∈ C

entschieden v(kT) = Qz(kT− τ) ∈ A

δT (t)

q(t)x(t)

c(t) w(t)

y(t)q(−t)

δT (t− τ)

AHG v(t)

Sender Basisband-Kanal

Empfanger

7 WLAN-Kanal: Nakagami-m-Verteilung für c(t)

8 Minimierung der Fehlerwahrscheinlichkeit bei Entscheidung

gesendet u(kT) ∈ A

empfangen z(kT− τ) ∈ C

entschieden v(kT) = Qz(kT− τ) ∈ A

δT (t)

q(t)x(t)

c(t) w(t)

y(t)q(−t)

δT (t− τ)

AHG v(t)

Empfanger

Welche Flanke hat der optimale Nyquist-Impuls?Lehrstuhl fürDigitale Kommunikationssysteme

Zeitvariante Übertragungsfunktion mit trigonometrischer Flanke

2ω′/Ω2t/T

|H(t, jω′ )|

trigonometrischeFlanke

Fehlerwahscheinlichkeit bei optimierter zeitvarianter Übertragungsfunktion

10−1

10−2

10−3

10−4

10−5

10−6

Symbolfehlerw

ahrscheinlichkeit

0 10 20 30 40

Cosinus-Rolloff-Impuls

trigonometrischecharakteristische Flanke

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme Mehrgrößen-Übertragungssysteme

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

Mehrgrößen-Übertragungssysteme 27 / 33

Zeitdiskreter Übertragungskanal

Überlegungen

1 perfekte zeitliche Synchronisation

τ = 02 keine Empfangsfilterung, Sendefilter ist Nyquist-Filter

x(kT) = u(kT)

3 zeitdiskreter Kanal

y(kT) = c(kT)x(kT) + w(kT)

4 Entscheidung

v(kT) = Qy(kT)

δT (t)

q(t)x(t)

c(t) w(t)

y(t)q(−t)

δT (t)

AHG v(t)

Empfanger

Überlegungen

x(kT) = u(kT)

4 Entscheidung

v(kT) = Qy(kT)

δT (t)

s(t)x(t)

c(t) w(t)

δT (t)

AHG v(t)

Empfanger

Überlegungen

x(kT) = u(kT)

4 Entscheidung

v(kT) = Qy(kT)replacements

δT (t)

s(t)x(t)

c(t) w(t)

δT (t)

AHG v(t)

zeitdiskreter Kanal

Überlegungen

x(kT) = u(kT)

4 Entscheidung

v(kT) = Qy(kT)

u(kT ) = x(kT )

c(kT ) w(kT )

y(kT )v(kT )

zeitdiskreter Kanal

Eingrößen-Übertragungssystem

Kanalmodell

y(k) = c(k)x(k) + w(k)

DynamikDauer

Bandbreite

DxDc Tx Tc

u(k)x(k)

c(k)w(k)

y(k)v(k)S DSVE

Eingrößen-Übertragungssystem

TransinformationMaximierung

geeignetes Alphabet AMaximum erreichen

geeignete Digitale Signalverarbeitung (DSV)

okatio

Transinformation

Fehlinf

ormati

u(k)x(k)

c(k)w(k)

y(k)v(k)S DSVE

Mehrgrößen-Übertragungssystem

Kanalmodell

y(k) = C(k)x(k) +w(k)

SignalvektorenÜbertragungsmatrix

c11(k)

c1n(k)

cn1(k)

cnn(k)

Maximale Transinformation gewünscht!Lehrstuhl fürDigitale Kommunikationssysteme

Mehrgrößen-Übertragungssystem

Mehrfachzugriffsverfahren

Beispiel TDMA DynamikDauer

Bandbreite

DxDc Tx Tc

c11(k)

c1n(k)

cn1(k)

cnn(k)

Vermeidung von Kanal-Interferenz sinnvoll?Lehrstuhl fürDigitale Kommunikationssysteme

Mehrantennen-Übertragungssystem

Interferenz-Ausrichtung und Auslöschung

c11(k)

c1n(k)

cn1(k)

cnn(k)

Steigerung der maximalen Transinformation möglich

Empfänger schätzen Übertragungsmatrix C(k)

Sender erhält C(k) über Rückkanäle

Kanal-Interferenz konstruktiv nutzen

Optimale Signalverarbeitungs-Strategie?Lehrstuhl fürDigitale Kommunikationssysteme

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter Übertragungssysteme Zusammenfassung und Ausblick

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Mehrwegekanal

Zusammenfassung und Ausblick 33 / 33

Zusammenfassung und Ausblick

Zusammenfassung

Nachrichtentheorie

Wie lassen sich Übertragungssysteme entwerfen und synthetisieren?

Informationstheorie

Was ist die maximal mögliche Rate für eine zuverlässige Übertragung?

Digitale Signalverarbeitung

Was ist die optimale Verarbeitungsstrategie?

Programmierbare Hardware

Wie kann das digitale Kommunikationssystem verifiziert werden?

Ausblick

Grenzen der Kommunikation bestimmen und erreichen!

Entwurf, Synthese und Analyse zeitvarianter ... · 1 n1 c n y(t) Lehrstuhl für Digitale...

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