Exponentialfunktion* - MathagoIn ein Speicherbecken ﬂießen pro Zeiteinheit 0,02 m³ Wasser zu....

Exponentialfunktion*Aufgabennummer: 1_435 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £

Aufgabenformat: offenes Format Grundkompetenz: FA 5.1

Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion f mit f (x) = a · bx mit a, b ∈ ℝ+ durch die Punkte P = (0 | 25) und Q = (1|20).

109876543210 11–1

Aufgabenstellung:

Geben Sie eine Funktionsgleichung der dargestellten Exponentialfunktion f an!

* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 21. September 2015

2Exponentialfunktion

LösungsschlüsselEin Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten.Toleranzintervall für ln(0,8): [–0,23; –0,22]

Lösungserwartungf(x) = 25 · 0,8x

f(x) = 25 · ℯ ln(0,8)∙x

Ausbreitung eines Ölteppichs*Aufgabennummer: 1_483 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £

Der Flächeninhalt eines Ölteppichs beträgt momentan 1,5 km2 und wächst täglich um 5 %.

Aufgabenstellung:

Geben Sie an, nach wie vielen Tagen der Ölteppich erstmals größer als 2 km2 ist!

* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 10. Mai 2016

2Ausbreitung eines Ölteppichs

Lösungserwartung1,5 · 1,05d = 2 ⇒ d = 5,896... ⇒ Nach 6 Tagen ist der Ölteppich erstmals größer als 2 km2.

LösungsschlüsselEin Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Tage“ nicht angeführt sein muss.Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.Toleranzintervall: [5,89; 6]

Exponentialfunktion*Aufgabennummer: 1_575 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £

Aufgabenformat: halboffenes Format Grundkompetenz: FA 5.1

Von einer Exponentialfunktion f sind die folgenden Funktionswerte bekannt: f (0) = 12 und f (4) = 192

Aufgabenstellung:

Geben Sie eine Funktionsgleichung der Exponentialfunktion f an!

f (x) =

LösungserwartungMögliche Vorgehensweise:

f (x) = c ∙ ax ⇒ f (0) = c = 12

f (4) = 12 ∙ a4 = 192 ⇒ a = 2

f (x) = 12 ∙ 2x

LösungsschlüsselEin Punkt für eine korrekte Funktionsgleichung. Äquivalente Funktionsgleichungen sind als richtig zu werten.Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

Änderungsprozess*Aufgabennummer: 1_599 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £

Aufgabenformat: Multiple Choice (1 aus 6) Grundkompetenz: FA 5.1

Durch die Gleichung N(t) = 1,2 ∙ 0,98t wird ein Änderungsprozess einer Größe N in Ab-hängigkeit von der Zeit t beschrieben.

Aufgabenstellung:

Welcher der angeführten Änderungsprozesse kann durch die angegebene Gleichung be-schrieben werden? Kreuzen Sie den zutreffenden Änderungsprozess an!

Von einer radioaktiven Substanz zerfallen pro Zeiteinheit 0,02 % der am jeweiligen Tag vorhandenen Menge.

In ein Speicherbecken fließen pro Zeiteinheit 0,02 m³ Wasser zu.

Vom Wirkstoff eines Medikaments werden pro Zeiteinheit 1,2 mg abgebaut.

Die Einwohnerzahl eines Landes nimmt pro Zeiteinheit um 1,2 % zu.

Der Wert einer Immobilie steigt pro Zeiteinheit um 2 %.

Pro Zeiteinheit nimmt die Temperatur eines Körpers um 2 % ab.

* ehemalige Klausuraufgabe, Maturatermin: 16. Jänner 2018

2Änderungsprozess

Lösungserwartung

Pro Zeiteinheit nimmt die Temperatur eines Körpers um 2 % ab.

LösungsschlüsselEin Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Änderungsprozess angekreuzt ist.

Dicke einer Bleiplatte*

Aufgabennummer: 1_672 Aufgabentyp: Typ 1 T Typ 2 £

In der Medizintechnik werden Röntgenstrahlen eingesetzt. Durch den Einbau von Blei

platten in Schutzwänden sollen Personen vor diesen Strahlen geschützt werden. Man geht

davon aus, dass pro 1 mm Dicke der Bleiplatte die Strahlungsintensität um 5 % abnimmt.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die notwendige Dicke x (in mm) einer Bleiplatte, wenn die Strahlungs

intensität auf 10 % der ursprünglichen Strahlungsintensität, mit der die Strahlen auf die

Bleiplatte auftreffen, gesenkt werden soll!

2Dicke einer Bleiplatte

Lösungserwartung

Mögliche Vorgehensweise:

0,1 = 0,95x ⇒ x ≈ 44,9 mm

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „mm“ nicht angeführt sein muss.

Toleranzintervall: [40 mm; 46 mm]

Wachstum*

Die Funktion f beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess der Form f(t) = c · at

in Abhängigkeit von der Zeit t.

Aufgabenstellung:

Ermitteln Sie für t = 2 und t = 3 die Werte der Funktion f !

t f (t)

2 f(2)

3 f (3)

f (2) =

f (3) =

2Wachstum

Lösungserwartung

f (2) = 900

f(3) = 1 350

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei beide Werte richtig angegeben sein müssen.

Wirkstoff*

Die Abnahme der Menge des Wirkstoffs eines Medikaments im Blut lässt sich durch eine

Exponentialfunktion modellieren.

Nach einer Stunde sind 10 % der Anfangsmenge des Wirkstoffs abgebaut worden.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie, welcher Prozentsatz der Anfangsmenge des Wirkstoffs nach insgesamt

vier Stunden noch im Blut vor handen ist!

% der Anfangsmenge

2Wirkstoff

Lösungserwartung

mögliche Vorgehensweise:

0,94 = 0,6561

65,61 % der Anfangsmenge

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung.

Toleranzintervall: [65 %; 66 %]

Exponentialfunktion*

Von einer Exponentialfunktion f mit der Gleichung f(x) = 25 · b x (b ∈ ℝ+; b ≠ 0; b ≠ 1) ist

folgende Eigenschaft bekannt:

Wenn x um 1 erhöht wird, sinkt der Funktionswert auf 25 % des Ausgangswertes.

Aufgabenstellung:

Geben Sie den Wert des Parameters b an!

Lösungserwartung

b = 14

= 0,25

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung. Jede der angeführten Schreibweisen des Ergebnisses

(als Bruch oder Dezimalzahl) ist als richtig zu werten.

Parameter von Exponentialfunktionen*

Aufgabenformat: Lückentext Grundkompetenz: FA 5.3

Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen zweier Exponentialfunktionen f und g mit

den Funktionsgleichungen f(x) = c · ax und g(x) = d · bx mit a, b, c, d ∈ ℝ+.

f(x), g(x)

Aufgabenstellung:

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satz-

teile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!

Für die Parameter a, b, c, d der beiden gegebenen Exponentialfunktionen gelten die Bezie-

hungen 1 und 2 .

2Parameter von Exponentialfunktionen

Lösungserwartung

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der

laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.

Wachstum einer Population*

Die Größe einer Population wird in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der Funktion N mit

N(t) = N0 · ℯ0,1188 · t beschrieben, wobei die Zeit t in Stunden angegeben wird. Dabei be-

zeichnet N0 die Größe der Population zum Zeitpunkt t = 0 und N(t) die Größe der Population

zum Zeitpunkt t ≥ 0.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie denjenigen Prozentsatz p, um den die Population pro Stunde wächst!

p ≈ __________ %

2Wachstum einer Population

Lösungsschlüssel

Toleranzintervall: [12 %; 13 %]

Lösungserwartung

p ≈ 12,6 %

Zellkulturen*

Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 5.3

Im Rahmen eines biologischen Experiments werden sechs Zellkulturen günstigen und

un günstigen äußeren Bedingungen ausgesetzt, wodurch die Anzahl der Zellen entweder

exponentiell zunimmt oder exponentiell abnimmt.

Dabei gibt Ni(t) die Anzahl der Zellen in der jeweiligen Zellkultur t Tage nach Beginn des

Experiments an ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Aufgabenstellung:

Ordnen Sie den vier beschriebenen Veränderungen jeweils die zugehörige Funktions-

gleichung (aus A bis F) zu!

A N1(t) = N

1(0) · 0,15t

B N2(t) = N

2(0) · 0,5t

C N3(t) = N

3(0) · 0,85t

D N4(t) = N

4(0) · 1,5t

E N5(t) = N

5(0) · 1,85t

F N6(t) = N

6(0) · 2t

Die Anzahl der Zellen

verdoppelt sich pro Tag.

Die Anzahl der Zellen nimmt

pro Tag um 85 % zu.

pro Tag um 85 % ab.

pro Tag um die Hälfte ab.

2Zellkulturen

Lösungserwartung

A N1(t) = N

1(0) · 0,15t

B N2(t) = N

2(0) · 0,5t

C N3(t) = N

3(0) · 0,85t

D N4(t) = N

4(0) · 1,5t

E N5(t) = N

5(0) · 1,85t

F N6(t) = N

6(0) · 2t

Die Anzahl der Zellen

verdoppelt sich pro Tag.F

pro Tag um 85 % zu.E

pro Tag um 85 % ab.A

pro Tag um die Hälfte ab.B

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier beschriebenen Veränderungen

aus schließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

Für eine Exponentialfunktion f mit f(x) = 5 · ℯλ · x gilt: f(x + 1) = 2 · f(x).

Aufgabenstellung:

Geben Sie den Wert von λ an!

Lösungserwartung

λ = ln(2)

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung (z. B. als Dezimalzahl)

sind ebenfalls als richtig zu werten.

Eine reelle Funktion f mit der Gleichung f (x) = c ∙ a x ist eine Exponentialfunktion, für deren

reelle Parameter c und a gilt: c ≠ 0, a > 1.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf diese Exponentialfunktion f und alle Werte

k, h ∈ ℝ, k > 1 zutreffen!

f (k ∙ x ) = k ∙ f (x)

f(x + h)

f(x) = ah

f (x + 1) = a ∙ f (x)

f (0) = 0

f (x + h) = f (x) + f (h)

Lösungserwartung

f(x + h)

f(x) = ah

f (x + 1) = a ∙ f (x)

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung

richtigen Aussagen angekreuzt sind.

Eigenschaften einer Exponentialfunktion*

Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5) Grundkompetenz: FA 5.4

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 50 · 1,97x.

Aufgabenstellung:

Welche der folgenden Aussagen trifft/treffen auf diese Funktion zu?

Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt P = (50|0).

Die Funktion f ist im Intervall [0; 5] streng monoton steigend.

Wenn man den Wert des Arguments x um 5 vergrößert, wird der

Funktionswert 50-mal so groß.

Der Funktionswert f (x) ist positiv für alle x ∈ ℝ.

zugehörige Funktionswert um 97 % größer.

2Eigenschaften einer Exponentialfunktion

Lösungserwartung

Die Funktion f ist im Intervall [0; 5] streng monoton steigend.

Der Funktionswert f(x) ist positiv für alle x ∈ ℝ.

zugehörige Funktionswert um 97 % größer.

LösungsschlüsselEin Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich alle laut Lösungserwartung richtigen

Aussagen angekreuzt sind.

Technetium*

Für eine medizinische Untersuchung wird das radioaktive Isotop 99m43

Tc (Technetium)

künstlich hergestellt. Dieses Isotop hat eine Halbwertszeit von 6,01 Stunden.

Aufgabenstellung:

Geben Sie an, wie lange es dauert, bis von einer bestimmten Ausgangsmenge Technetiums

nur noch ein Viertel vorhanden ist!

2Technetium

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Stunden“ nicht angeführt sein muss.

Toleranzintervall: [11,55; 12,06]

Lösungserwartung

Es dauert 12,02 Stunden.

Bienenbestand*

Wegen eines Umweltgifts nimmt der Bienenbestand eines Imkers täglich um einen fixen

Prozentsatz ab. Der Imker stellt fest, dass er innerhalb von 14 Tagen einen Bestandsverlust

von 50 % erlitten hat.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie den täglichen relativen Bestandsverlust in Prozent!

täglicher relativer Bestandsverlust: –––––––––– %

2Bienenbestand

Lösungserwartung

Mögliche Berechnung:

N0 ∙ 0,5 = N

0 ∙ a14

0,5 = a14 ⇒ a ≈ 0,9517

täglicher relativer Bestandsverlust: 4,83 %

Lösungsschlüssel

Toleranzintervall: [4,8 %; 4,9 %]

Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das

Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

Halbwertszeit von Cobalt-60*

Das radioaktive Isotop Cobalt-60 wird unter anderem zur Konservierung von Lebensmitteln

und in der Medizin verwendet.

Das Zerfallsgesetz für Cobalt-60 lautet N(t) = N0 · ℯ–0,13149 · t mit t in Jahren; dabei bezeich-

net N0 die vorhandene Menge des Isotops zum Zeitpunkt t = 0 und N(t) die vorhandene

Menge zum Zeitpunkt t ≥ 0.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die Halbwertszeit von Cobalt-60!

2Halbwertszeit von Cobalt-60

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Jahre“ nicht angegeben sein muss.

Toleranzintervall: [5 Jahre; 5,5 Jahre]

Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das

Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

Lösungserwartung

Mögliche Berechnung:

2 = N0 · ℯ–0,13149 · t ⇒ t ≈ 5,27

Die Halbwertszeit von Cobalt-60 beträgt ca. 5,27 Jahre.

Dicke einer Bleischicht*

Die Intensität elektromagnetischer Strahlung nimmt bei Durchdringung eines Körpers expo-

nentiell ab.

Die Halbwertsdicke eines Materials ist diejenige Dicke, nach deren Durchdringung die

Intensität der Strahlung auf die Hälfte gesunken ist. Die Halbwertsdicke von Blei liegt für die

beobachtete Strahlung bei 0,4 cm.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie diejenige Dicke d, die eine Bleischicht haben muss, damit die Intensität auf

12,5 % der ursprünglichen Intensität gesunken ist!

d = cm

2Dicke einer Bleischicht

Lösungserwartung

d = 1,2 cm

Lösungsschlüssel

Halbwertszeiten*

Aufgabenformat: Zuordnungsformat Grundkompetenz: FA 5.5

Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen von Exponentialfunktionen, die jeweils die

Abhängigkeit der Menge einer radioaktiven Substanz von der Zeit beschreiben.

Dabei gibt M(t) die Menge (in mg) zum Zeitpunkt t (in Tagen) an.

Aufgabenstellung:

Ordnen Sie den vier Graphen jeweils die entsprechende Halbwertszeit (aus A bis F) zu!

t in Tagen

9876543210 10

t in Tagen

9876543210 10

t in Tagen

9876543210 10

t in Tagen

9876543210 10

A 1 Tag

B 2 Tage

C 3 Tage

D 5 Tage

E 10 Tage

F mehr als 10 Tage

Lösungserwartung

t in Tagen

9876543210 10

t in Tagen

9876543210 10

t in Tagen

9876543210 10

t in Tagen

9876543210 10

A 1 Tag

B 2 Tage

C 3 Tage

D 5 Tage

E 10 Tage

F mehr als 10 Tage

Halbwertszeiten

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut

Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

Halbwertszeit*

Die Masse m(t) einer radioaktiven Substanz kann durch eine Exponentialfunktion m in Ab-

hängigkeit von der Zeit t beschrieben werden.

Zu Beginn einer Messung sind 100 mg der Substanz vorhanden, nach vier Stunden misst

man noch 75 mg dieser Substanz.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Halbwertszeit tH dieser radioaktiven Substanz in Stunden!

2Halbwertszeit

Lösungserwartung

tH ≈ 9,64 Stunden

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Stunden“ nicht angeführt sein muss.

Toleranzintervall: [9,6 Stunden; 10 Stunden]

Exponentielle Abnahme

Aufgabennummer: 1_020 Prüfungsteil: Typ 1 S Typ 2 £

S keine Hilfsmittel erforderlich

S gewohnte Hilfsmittel möglich

£ besondere Technologie erforderlich

Die angegebenen Funktionsgleichungen beschreiben exponentielle Zusammenhänge.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die beiden Funktionsgleichungen an, die eine exponentielle Abnahme beschreiben!

f(x) = 100 · 1,2x £

f(x) = 100 · e0,2x £

f(x) = 100 · 0,2x £

f(x) = 100 · 0,2–x £

f(x) = 100 · e–0,2x £

Exponentielle Abnahme 2

Lösungsweg

f(x) = 100 · 1,2x

f(x) = 100 · e0,2x

f(x) = 100 · 0,2x S

f(x) = 100 · 0,2–x

f(x) = 100 · e–0,2x S

Lösungsschlüssel

Die Lösung gilt nur dann als richtig, wenn genau die zwei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.

Exponentialfunktion

Aufgabennummer: 1_021 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2

keine Hilfsmittel erforderlich

gewohnte Hilfsmittel möglich

besondere Technologie erforderlich

Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit f(x) = ex.

Aufgabenstellung:

Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 0 des Graphen hat den Wert 0.

Wird das Argument x um 1 erhöht, dann steigen die Funktionswerte auf das

e-Fache.

Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1 des Graphen hat den Wert e.

Wird das Argument x um 1 vermindert, dann sinken die Funktionswerte auf

e -Fache.

Der Graph von f hat an jeder Stelle eine positive Krümmung.

Exponentialfunktion 2

Lösungsweg

Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 0 des Graphen hat den Wert 0.

Wird das Argument x um 1 erhöht, dann steigen die Funktionswerte auf das

e-Fache.

Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1 des Graphen hat den Wert e.

Wird das Argument x um 1 vermindert, dann sinken die Funktionswerte auf

e -Fache.

Der Graph von f hat an jeder Stelle eine positive Krümmung.

Lösungsschlüssel

Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die vier zutreffenden Aussagen ange-

kreuzt sind.

Exponentielles Wachstum

Die Funktion f mit f(x) = 100 · 2x beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess.

Wie verändert sich der Funktionswert, wenn x um 1 erhöht wird?

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Der Funktionswert f(x+1) ist ...

um 1 größer als f(x)

doppelt so groß wie f(x)

um 100 % größer als f(x)

Exponentielles Wachstum 2

Lösungsweg

Der Funktionswert f(x+1) ist ...

doppelt so groß wie f(x)

um 100 % größer als f(x)

Lösungsschlüssel

Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Aussagen

angekreuzt sind.

Parameter einer Exponentialfunktion

Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion f mit f(x) = a 3 x.

Aufgabenstellung:

Ermitteln Sie den für diesen Graphen richtigen Parameterwert a mit a ∈ !

a = ___________

Parameter einer Exponentialfunktion 2

Möglicher Lösungsweg

a 30 = 2 ⇒ a = 2

Lösungsschlüssel

Die Angabe eines Lösungsweges ist hier nicht erforderlich.

Schnittpunkt mit der y-Achse

S keine Hilfsmittel erforderlich £

gewohnte Hilfsmittel möglich £

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = c ⋅ ax (c ∈ ℝ, a > 0).

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse!

Schnittpunkt mit der y-Achse 2

f(0) = c ⋅ a0 = c → Der Schnittpunkt hat die Koordinaten S = (0|c).

Lösungsschlüssel

Die Aufgabe ist nur dann richtig gelöst, wenn beide Koordinaten des Schnittpunktes korrekt angegeben

Relative und absolute Zunahme

Die Formel N(t) = N0 · a t mit a > 1 beschreibt ein exponentielles Wachstum.

Aufgabenstellung:

Die relative Zunahme ist in gleichen Zeitinter-

vallen gleich groß. £

Die absolute Zunahme ist in gleichen Zeitinter-

vallen gleich groß. £

Die relative Zunahme ist unabhängig von N0. £

Die relative Zunahme ist abhängig von a. £

Die absolute Zunahme ist abhängig von a. £

Relative und absolute Zunahme 2

Lösungsweg

Die relative Zunahme ist in gleichen Zeitinter-

vallen gleich groß. S

Die relative Zunahme ist unabhängig von N0. S

Die relative Zunahme ist abhängig von a. S

Die absolute Zunahme ist abhängig von a. S

Lösungsschlüssel

Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die vier zutreffenden Antwortmöglich-

keiten angekreuzt sind.

Exponentialgleichung

S keine Hilfsmittel erforderlich S

Gegeben ist der Funktionswert 43

der Exponentialfunktion f(x) = 2x.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die rationale Zahl x so, dass sie die Gleichung 2x = 43

erfüllt!

x = ___________

Exponentialgleichung 2

Lösungsweg

Lösungsschlüssel

Die Angabe eines Lösungsweges ist nicht erforderlich.

Werte einer Exponentialfunktion

S keine Hilfsmittel erforderlich S

Gegeben ist die Exponentialfunktion f durch die Gleichung f(x) = 2x.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie diejenige rationale Zahl x, für die f(x) = 1

8 gilt!

x = _____________

Werte einer Exponentialfunktion 2

Lösungsweg

x = –3

Lösungsschlüssel

Die Angabe des Zahlenwertes muss korrekt sein.

Exponentialfunktionen vergleichen

Gegeben sind zwei Exponentialfunktionen f und h mit f(x) = a · bx und h(x) = c · dx.

Dabei gilt: a, b, c, d ∈ ℝ+.

Aufgabenstellung:

Welche der nachstehenden Aussagen über die Parameter a, b, c und d sind zutreffend?

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

a > c £

b > d £

a < c £

b < d £

a = c £

Exponentialfunktionen vergleichen 2

Lösungsweg

b > d S

a < c S

Lösungsschlüssel

Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Antwortmög-

lichkeiten angekreuzt sind.

* Diese Aufgabe wurde dem im Oktober 2013 publizierten Kompetenzcheck (vgl. https://www.bifie.at/node/2389) entnommen.

Verdoppelungszeit*

Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Exponentialfunktion f mit f(t) = a ∙ b t.

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie mithilfe des Graphen die Größe der Verdoppelungszeit!

Verdoppelungszeit 2

z. B.: f(0) = 2000 und f(4) = 4000

→ In 4 Jahren ist der doppelte Betrag vorhanden. Die Verdoppelungszeit beträgt also 4 Jahre.

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn der Wert richtig angegeben ist.

* Diese Aufgabe wurde der im Mai 2013 publizierten Probeklausur (vgl. https://www.bifie.at/node/2231) entnommen.

Halbwertszeit von Felbamat*

Zur Behandlung von Epilepsie wird oft der Arzneistoff Felbamat eingesetzt.

Nach der Einnahme einer Ausgangsdosis D0 nimmt die Konzentration D von Felbamat im Kör-

per näherungsweise exponentiell mit der Zeit ab.

Für D gilt folgender funktionaler Zusammenhang: D(t) = D0 ∙ 0,9659t.

Dabei wird die Zeit t in Stunden gemessen.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die Halbwertszeit von Felbamat! Geben Sie die Lösung auf Stunden gerundet an!

Halbwertszeit von Felbamat 2

2 = D0 ∙ 0,9659t

2 = 0,9659t

ln(0,5) = t ∙ ln(0,9659)

⇒ ln (0,5)

ln (0,9659) ≈ 20 Stunden

Lösungsschlüssel

1 Punkt für die richtige Lösung

Halbwertszeit eines Isotops*

Der radioaktive Zerfall des Iod-Isotops 131I verhält sich gemäß der Funktion N mit

N(t) = N(0) ∙ –0,086∙t mit t in Tagen.

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie diejenige(n) Gleichung(en) an, mit der/denen die Halbwertszeit des Isotops

in Tagen berechnet werden kann!

ln(12) = –0,086 ⋅ t ⋅ ln

2 = –0,086∙t

N(0) = N(0)

2 ∙ –0,086∙t

ln(12) = – ln 0,086 ⋅ t ⋅

2 = 1 ∙ –0,086∙t

Halbwertszeit eines Isotops 2

Lösung

ln(12) = –0,086 ⋅ t ⋅ ln

2 = 1 ∙ –0,086∙t

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Gleichungen angekreuzt sind und alle Kreuze

richtig gesetzt sind.

Gegeben ist eine reelle Funktion f mit der Gleichung f(x ) = a · λ x mit a ∈ +

und λ ∈ .

Aufgabenstellung:

Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

f (x) = a · λ · λ x

Für a > 0 sind alle Funktionswerte negativ.

Die Funktion f hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Die Funktion f schneidet die y-Achse bei (0 |a ) .

Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn λ < 0 und a ≠ 0 ist.

Exponentialfunktion 2

Lösung

f (x) = a · λ · λ x

Die Funktion f schneidet die y-Achse bei (0 |a ) .

Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn λ < 0 und a ≠ 0 ist.

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.

Radioaktives Element

Aufgabennummer: 1_ 273 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2

Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: FA 5.1

Ein radioaktives Element X zerfällt mit einer Halbwertszeit von 8 Tagen. Zum Zeitpunkt t = 0

sind 40 g des radioaktiven Elements vorhanden.

Die Funktion m beschreibt die zum Zeitpunkt t noch vorhandene Menge von X.

Aufgabenstellung:

Zeichnen Sie im gegebenen Koordinatensystem den Graphen von m!

Radioaktives Element 2

Lösungsschlüssel

Ein Punkt wird für einen qualitativ richtigen Graphen, der durch die Punkte A = (0 |40), B = (8|20) und C = (16|10) verläuft, vergeben.

Bakterienkolonie

Das Wachstum einer Bakterienkolonie in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) kann nähe-

rungsweise durch die Funktionsgleichung A = 2 · 1,35 t beschrieben werden, wobei A(t) die

zum Zeitpunkt t besiedelte Fläche (in mm²) angibt.

Aufgabenstellung:

Interpretieren Sie die in der Funktionsgleichung vorkommenden Werte 2 und 1,35 im Hinblick

auf den Wachstumsprozess!

Bakterienkolonie 2

Zum Zeitpunkt t = 0 beträgt der Inhalt der besiedelten Fläche 2 mm2. Die Bakterienkolonie

wächst pro Stunde um 35 %.

Lösungsschlüssel

Die Aufgabe ist als richtig gelöst zu werten, wenn die Interpretation beider Werte sinngemäß

richtig ist. Die Einheit muss nicht angegeben sein.

Insektenvermehrung

Eine Insektenanzahl vermehrt sich wöchentlich um 25 %.

Ein Forscher behauptet, dass sich die Insektenanzahl alle 4 Wochen verdoppelt.

Aufgabenstellung:

Beurteilen Sie, ob diese Behauptung richtig oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort

rechnerisch!

Insektenvermehrung 2

1,254 = 2,44

Die Behauptung ist falsch, da die Insektenanzahl in 4 Wochen um 144 % zunimmt.

Lösungsschlüssel

Auch andere sinngemäß richtige Begründungen, die sich auf exponentielles Wachstum

stützen, sind zulässig.

Lichtintensität

Licht, das in eine dicke Schicht aus Glas eintritt, wird abgeschwächt. Der Hersteller eines Sicher-

heitsglases gibt an, dass die Intensität I des Lichts pro Zentimeter um 6 % abnimmt. I0 gibt die

Intensität des Lichts bei Eintritt in das Glas an.

Aufgabenstellung:

Welche der nachstehenden Gleichungen beschreibt die Lichtintensität I in Abhängigkeit von

der Eindringtiefe x (in cm)?

Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!

I (x ) = I0 · 0,94x

I (x ) = I0 · 1,06x

I (x ) = I0 · 0,06x

I (x ) = I0 · (1 – 0,06 · x)

I (x ) = 1 – I0 · 0,06 · x

I (x ) = I0

Lichtintensität 2

Lösung

I (x ) = I0 · 0,94x

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau eine Gleichung angekreuzt ist und das Kreuz

richtig gesetzt ist.

Viruserkrankung Aufgabennummer: 1_277 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2

Eine Viruserkrankung breitet sich sehr schnell aus. Die Anzahl der Infizierten verdoppelt sich alle vier Tage.

Aufgabenstellung:

Geben Sie an, durch welchen Funktionstyp ein derartiges Wachstum beschrieben werden kann, und begründen Sie Ihre Antwort!

Viruserkrankung 2

Ein solches Wachstum kann durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden, da die An-zahl der Infizierten in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor zunimmt bzw. die relative Änderungsrate der Infizierten konstant ist.

Lösungsschlüssel

Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die Antwort sinngemäß der oben angegebe-nen Lösungserwartung entspricht.

Wachstumsprozesse

Zur Beschreibung von Wachstumsvorgängen aus der Natur bzw. dem Alltag können oft

Exponentialfunktionen herangezogen werden.

Aufgabenstellung:

Welche der nachstehend angeführten Fallbeispiele werden am besten durch eine Exponential-

funktion modelliert? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Beispiele an!

Ein Sparbuch hat eine Laufzeit von 6 Monaten. Eine Spareinlage wird mit

1,5 % effektiven Zinsen pro Jahr, also 0,125 % pro Monat, verzinst. Diese

werden ihm allerdings erst nach dem Ende des Veranlagungszeitraums

gutgeschrieben. [Modell für das Kapitalwachstum in diesem halben Jahr]

Festverzinsliche Anleihen garantieren einen fixen Ertrag von effektiv 6 % pro

Jahr. Allerdings muss der angelegte Betrag 5 Jahre gebunden bleiben.

[Modell für das Kapitalwachstum über diese 5 Jahre]

Haare wachsen pro Tag ca. 1

3 mm. [Modell für das Haarwachstum]

Milchsäurebakterien vermehren sich an heißen Tagen abhängig von der

Außentemperatur um 5 % pro Stunde. [Modell für die Vermehrung der

Milchsäurebakterien]

Die Sonneneinstrahlung auf einen Körper wird stärker, je höher die Sonne

über den Horizont steigt. [Modell für die Steigerung der Sonneneinstrahlung

abhängig vom Winkel des Sonneneinfalls (zur Horizontalen gemessen)]

Wachstumsprozesse 2

Lösung

Festverzinsliche Anleihen garantieren einen fixen Ertrag von effektiv 6 % pro

Jahr. Allerdings muss der angelegte Betrag 5 Jahre gebunden bleiben.

[Modell für das Kapitalwachstum über diese 5 Jahre]

Milchsäurebakterien vermehren sich an heißen Tagen abhängig von der

Außentemperatur um 5 % pro Stunde. [Modell für die Vermehrung der

Milchsäurebakterien]

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Fallbeispiele angekreuzt sind und beide

Kreuze richtig gesetzt sind.

Zerfallsprozess

Die Population P einer vom Aussterben bedrohten Tierart sinkt jedes Jahr um ein Drittel der

Population des vorangegangenen Jahres.

P0 gibt die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Tiere an.

Aufgabenstellung:

Welche der nachstehend angeführten Gleichungen beschreibt die Population P in Abhängigkeit

von der Anzahl der abgelaufenen Jahre t? Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!

P (t ) = P0 · (1

P (t ) = P0 · (2

P (t ) = P0 · (1 – 1

3 · t)

P (t ) = P0

3 · t

P (t ) = 2 · P0

3 · t

P (t ) = (P0 – 1

Zerfallsprozess 2

Lösung

P (t ) = P0 · (2

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau eine Gleichung angekreuzt ist und das Kreuz

richtig gesetzt ist.

Exponentieller Zusammenhang Aufgabennummer: 1_ 272 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2

Die Funktion f beschreibt eine exponentielle Änderung und ist durch zwei Wertepaare angegeben.

f (t ) 400 100

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f !

f (t ) = ________________

Exponentieller Zusammenhang 2

Lösung

f (t ) = 1600 · 0,5t oder f (t ) = 1600 · –0,69·t

Lösungsschlüssel

Ein Punkt für die Angabe eines äquivalenten Terms.

Biologische Halbwertszeit

Die biologische Halbwertszeit bezeichnet diejenige Zeitspanne, in der in einem biologischen

Organismus (Mensch, Tier …) der Gehalt von zum Beispiel einem Arzneimittel ausschließlich

durch biologische Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung usw.) auf die Hälfte abgesunken ist.

Für das Arzneimittel Penicillin G wird bei Erwachsenen eine biologische Halbwertszeit von

30 Minuten angegeben.

Aufgabenstellung:

Einer Person wird um 10:00 Uhr eine Dosis Penicillin G verabreicht.

Ermitteln Sie, wie viel Prozent der ursprünglichen Dosis vom Körper der Person bis 11:00 Uhr

noch nicht verarbeitet wurden!

Biologische Halbwertszeit 2

Zwischen 10:00 Uhr und 11:00 Uhr hat sich die noch nicht verarbeitete Penicillin-G-Dosis

zweimal halbiert.

Bis 11:00 Uhr wurden also 25 % der ursprünglichen Dosis noch nicht verarbeitet.

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die Prozentangabe richtig ist.

Pulver

Ein Pulver löst sich in einer Flüssigkeit annähernd exponentiell auf. Die Menge an Pulver, die in

Abhängigkeit von der Zeit t noch vorhanden ist, wird für einen gewissen Zeitraum durch die

Gleichung N(t) = N0 ∙ 0,6 t beschrieben. N0 gibt die ursprüngliche Menge an Pulver in Milligramm

an, die Zeit t wird in Sekunden gemessen.

Aufgabenstellung:

Geben Sie an, wie viel Prozent der ursprünglichen Pulvermenge N0 nach drei Sekunden noch

vorhanden sind!

Pulver 2

0,6³ ∙ 100 = 21,6

Nach drei Sekunden sind noch 21,6 % der ursprünglichen Menge an Pulver vorhanden.

Lösungsschlüssel

Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die richtige Prozentzahl angegeben ist.

Exponentialfunktion* - MathagoIn ein Speicherbecken ﬂießen pro Zeiteinheit 0,02 m³ Wasser zu....

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Mareno - Komplettprogramm für kompakte Küchen mit hoher … Mareno Kochtechnik ist für ein ganzes Küchenleben konzipiert. Denn in die Konstruktion aller Gerätelinien ﬂießen

161213 Newsletter HS-CI webUnd beides findet sich in Partitur und Takt eben wieder. Der Takt ist mehr als eine bloße Zeiteinheit, er bildet ganz unmissverständlich ab, was innerhalb