Grundlagen 01 Logik02 Mengen03 Relationen

Arithmetik 04 Die natürlichen Zahlen05 Erweiterungen der

ZahlenmengeElementare Geometrie 06 Ebene Geometrie

07 Trigonometrie08 Vektoren09 Geometrie des R3

Lineare Algebra 11 MatrizenAlgebra 15 PolynomeDifferentialrechnung 23 Der Differentialquotient

24 Die Exponentialfunktion25 Die Winkelfunktionen27 Approximation von Funktionen28 Funktionen mehrerer Variablen

Integralrechnung 29 Das Integral30 Integrationsmethoden

Vektoranalysis 34 Differentiation von FeldernDifferentialgleichungen 36 Gewöhnliche DGLPartielle DGL, Wärmeleitung ---

I Grundlagen

1. Logik

Mathematische Aussagen

1 ist kleiner als 2.

Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.

Für drei Punkte gibt es immer eine Ebene, zu der sie gehören.

2 ist kleiner als 1.

Mathematischer Unterricht sollte stärker gefördert werden.

Aussageformen

3n ist eine gerade Zahl.

m teilt n ohne Rest.

Alle a sind b.

a = b.

Aristoteles (384 - 322) gilt als Schöpfer der klassischen Logik

Quantoren

Mindestens eine Lösung der Gleichgung x3 + 1 = 0 ist reell.

: ist reell.

Alle Lösungen der Gleichung x3 + 1 = 0 sind reell.

: ist reell.

Symbol Anwendung Bedeutung

A B A gilt genau dann wenn B gilt.

A B Wenn A gilt, dann gilt auch B.

A B A und B gelten beide.

A B A oder B oder beide gelten.

A A gilt nicht.

A B

1 1

1 0

0 1

0 0

A B A B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A B A B A B

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 1

A B A B A B

1 1 1 1

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 1

A B A B A B A B

1 1 1 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 0

A B A B A B A B A B

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0

A B A B A B A B A B A

1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0 1

A B A B

1 1 0 0

1 0 0 1

0 1 1 0

0 0 1 1

A B A B A B

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

0 0 1 1 1

A B A B A B B A

1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1

0 0 1 1 1 1

A B A B A B B A ¬A B

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

1.1 Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen stets wahr sind, also zur Ableitung wahrer Aussagen die linke Teilaussage für die rechte und die rechte für die linke eingesetzt werden kann (Äquivalenzumformungen):

(A B) (B A) (Kommutativgesetz)

(A B) (B A) (Kommutativgesetz)

(A B) C A (B C) (Assoziativgesetz)

(A B) C A (B C) (Assoziativgesetz)

A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz)

A (B C) (A B) (A C) (Distributivgesetz)

(A B) A B (de Morgansches Gesetz)

(A B) A B (de Morgansches Gesetz)

2. Mengen

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. (G. Cantor, 1895)

x M

M = { a, e, i, o, u }

= { u, e, i, a, o }

b M

= { 1, 2, 3, ... } Georg Cantor1845 - 1918

M = { x | x x < 3 }.

M = { x | xx = xx }

M = { x | x2 - 3x + 2 = 0 }

M = { 1, 2 }

M = { x | P(x) }

wo P(x) = "x2 - 3x + 2 = 0"

= { 1, 2, 3, ... }

0 = { 0, 1, 2, 3, ... } , Kardinalzahlen = { ..., -1, 0, 1, 2, ... }

= { m/n | m n }

= { x | x besitzt Dezimaldarstellung. }

= { x + iy | x, y , i2 = -1 }

A B strikte Inklusion

( x: x A x B) ( x: x B x A)

A A schwache Inklusion

(A B B A) (A = B)

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

A B = { x | x A x B }

G = { ..., -2, 0, 2, 4, ... } = { x | x/2 }

K = { (x, y) | x, y x2 + y2 = 1 }

S = { (x, y) | (x = 0 y = 0) (x2 + y2 = 1) }

= { (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) }

= { }

M

= { x | x x }

, A, B, ..., M, ...,

A B = { x | x A x B }

A B = { x | x A x B }1 - 2 = - 1

{ 1 } \ { 1, 2 } = A \ B = { x | x A x B }

A, B, C: A (B C) = (A B) (A C) (2.1)

A, B, C: A (B C) = (A B) (A C) (2.2)

A B = { (x, y) | x A y B }

{ a, b, c } { 1, 2 } = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2) }

A B C besteht aus geordneten Tripeln(a, b, c) wobei a A, b B, c C.

Anstelle von schreibt man auch einfach 3 .

3 dreidimensionaler euklidischen Raum, dessen Elementedie Tripel (x1, x2, x3) sind:

3 = { (x1, x2, x3) | xk , 1 k 3 }

2.1 Seien A = { 1, a, b, c } und B = { 1, 2, 3, c }. Bilden Sie den Durchschnitt A B, die Vereinigung A B und die Differenz A \ B sowie B \ A.

2.2 Finden Sie ein Beispiel für (A B) C A (B C).

3. Relationen

3.1 Abbildungen

f: X Yf Abbildungsvorschrift (Gleichung, Liste, Diagramm)X Definitionsbereich oder UrbildbereichY Wertebereich oder Bildbereich

Für x X und y Y schreibt man

x y

x heißt Urbild und

y = f(x)

heißt Bild (von x unter f), so dass

x f(x)

Eine Relation ist eine Abbildung oder Funktion, wenn

für jedes x X

genau ein y Y mit y = f(x)

existiert. Sie ist also

"links total und rechts eindeutig".

f(x) = 3

f(x) = sinx

f(x) = x2

f(x) = x3

f(x) = ±|x| ist eine Relation, aber keine Funktion.