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Kapitel 21
Mehrgleichungs-Modelle: Schätzverfahren
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21)
2
Multivariate Regression
Allgemeinste Form: SUR-Modell
yi = Xii + ui, i = 1, …, m
mit n-Vektoren yi und ui, (nxki)-Matrix Xi; der m-Vektor ut = (ut1,…, utm) hat die Kovarianzmatrix
Gleichungsweises Schätzen: bi = (Xi‘Xi)-1Xi‘yi
berücksichtigt nicht kontemporäre Korrelation der Störgrößen
21 12 1
212 2
21 2
{ }
m
t
m m m
Var u
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Multivariate Regression, Forts.
In Matrixnotation mit mn-Vektoren ỹ und ũ etc. lautet das SUR-Modell
oder
mit
11 1 1
2
0 0
0 0
0 0m m mm
Xy u
Xy
y uX
y X u
{ } nV Var u I
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GLS-Schätzer
für aus SUR-Modell
Standardfehler erhält man aus
Effizienzgewinn GLS-Schätzung umso größer, je stärker die Störgrößen korrelieren je weniger die Regressoren korrelieren
GLS-Schätzer stimmt mit bi überein, wenn
Xi = X für alle i
uti mit übrigen utj, j ≠ i unkorreliert ist
' 1 1 ' 1( )X V X X V y
' 1 1{ } ( )Var X V X
i
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FGLS-Schätzer
Zwei-stufiges Verfahren:
1. Schätzung der Einzelgleichungen; Schätzen von aus den Residuen
2. GLS-Schätzung unter Verwendung der geschätzten Matrix
In EViews: Modellierung als System
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Investitionsmodell
Grunfeld & Griliches (1958)
I = 1 + 2F + 3C + umit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der VorperiodeC: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode
Daten für fünf Unternehmen, 1935-1954
General Motors: I = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78
Chrysler: I = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28
General Electric: I = -9.96 + 0.027*F + 0.512*C, R2 = 0.71, se = 27.88
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Investitionsmodell, Forts.
General Motors:
IFGLS = -133.57 + 0.115*F + 0.376*C, R2 = 0.92, se = 91.86
IOLS = -149.78 + 0.119*F + 0.371*C, R2 = 0.92, se = 91.78
Chrysler:
IFGLS = -3.27 + 0.073*F + 0.320*C, R2 = 0.91, se = 13.31
IOLS = -6.19 + 0.078*F + 0.316*C, R2 = 0.91, se = 13.28
General Electric:
IFGLS = -11.96 + 0.028*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.89
IOLS = -9.96 + 0.027*F + 0.152*C, R2 = 0.71, se = 27.88
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Bestimmtheitsmaß
Definition
mit
ẽ: Residuen aus FGLS-Schätzung
Syy: Matrix der Stichproben-Kovarianzen
Alternatives Bestimmtheitsmaß:
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1
ˆ( ) ( )1 1
ˆ(0) ( )g
Ig yy
S SpR
S Sp S
-1 1g
ˆ ˆS (b) = (y-Xb)( )(y-Xb)= ( ) , =(e'e)/nI nSp
2* 1
1ˆ( )yy
mR
Sp S
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Investitionsmodell, Forts.
Berechnen des Bestimmtheitsmaßes1. Generieren der Gruppe GR1 der Residuen aus Sys_3:
Sys_3.makeresids
2. Berechnen der Kovarianzmatrix der Residuen aus Sys_3:
matrix sig_tilde = @cov(@convert(Gr1))
3. Analog Berechnen der Kovarianzmatrix Sig_hat der Residuen der Einzelgleichungen und der abhängigen Variablen (Syy)
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Simultane Mehrgleichungs-Modelle: Schätzverfahren 1. Einzelgleichungs-Schätzverfahren oder Methoden bei beschränkter
Information (limited information methods) Indirekte Kleinste-Quadrate-Schätzung (ILS) Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (2SLS) ML-Schätzung bei beschränkter Information (LIML)
2. Simultane Schätzverfahren (System-Schätzmethoden Dreistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (3SLS) ML-Schätzung bei voller Information (FIML)
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Marktmodell
Gesucht ist ein Schätzer für 2 aus
Q = 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Q = 2P + u2 (Angebotsfunktion)
wobei die Störgrößen kontemporär korreliert sind
1. OLS-Schätzung von 2 aus Angebotsfunktion: b2 = (p‘p)-1p‘q mit n-Vektoren p und q; b2 ist verzerrt!
2. IV-Schätzer mit Hilfsvariabler Y: = (y‘p)-1y‘q; konsistent
3. ILS-Schätzer: = p2/p1 = (y‘p)-1y‘q mit OLS-Schätzern p1 und p2 von 1 und 2 aus der reduzierten Form
P = 1Y + v1
Q = 2Y + v2
2
2̂
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Marktmodell, Forts.
4. 2SLS-Schätzung:
1. Stufe: OLS-Anpassung der Hilfsvariablen
= [(y‘y)-1y‘p] y
2. Stufe: OLS-Schätzung von 2 aus Q = 2 + 2:
P̂P̂
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ˆ ˆ ˆ ˆ( ' ) 'p p p q
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OLS-Schätzung
OLS-Schätzer der Strukturparameter eines Mehrgleichungs-Modells: im Allgemeinen weder erwartungstreu noch konsistent
OLS-Schätzer sind oft interessant: Sie sind effizient, d.h. haben minimale Varianz; sie können
daher – trotz der fehlenden Erwartungstreue – günstig sein Sie sind tendenziell robuster gegen nicht erfüllte
Voraussetzungen als andere Verfahren
OLS-Schätzer spielen eine wichtige Rolle in allen Verfahren zum Schätzen der Parameter von simultanen Mehrgleichungs-Modellen
Rekursive Mehrgleichungs-Modelle: OLS-Schätzer sind asymptotisch unverzerrt, sie können auch bei endlichem n weitgehend unverzerrt sein
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Indirekte Kleinste-Quadrate-SchätzungErfolgt In zwei Schritten: OLS-Schätzung der Koeffizienten der reduzierten Form Berechnung der Koeffizienten der Strukturform aus den
Schätzern der Koeffizienten der reduzierten Form
Voraussetzung: Die Gleichung, deren Koeffizienten geschätzt werden, muss identifizierbar sein
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2SLS-Schätzung
Die Koeffizienten der i-ten Gleichung yi = Xii + ui = Yii + Zii + ui sollen geschätzt werden; Yi: (nx(mi-1))-Matrix der endogenen Variablen, Zi: (nxKi)-Matrix der vorherbestimmten Variablen
2SLS-Schätzung erfolgt in zwei Schritten:
1. Berechnen der Hilfsvariabeln Ŷi mit Hilfe der OLS-Schätzung der Regressionskoeffizienten der reduzierten Form
Yi = Z (')i + Vi
2. Berechnen der Schätzer durch OLS-Anpassung von
yi = i + ui
mit = (Ŷi Zi)
ib
ˆiX
ˆiX
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Markt für Schweinefleisch
Q = 1 + 2P + 3Y + u1 (Nachfragefunktion)
Q = 1 + 2P + 3Z + u2 (Angebotsfunktion)
Endogen: Q, P ; exogen: Y, Z
2SLS-Schätzung:
1. Stufe:
= 11.2 + 0.008Y + 0.728Z [t(Y)=1.41, t(Z)=11.19; R2=0.89]
= 16.1 + 0.046Y – 0.236Z [t(Y)=6.50, t(Z)=2.96; R2=0.73]
2. Stufe:
= 60.9 – 3.088P + 0.149Y [t(P)=11.2, t(Y)=11.7; R2=0.89]
= 8.32 + 0.177P + 0.770Z [t(P)=1.41, t(Z)=11.8; R2=0.89]
Q̂P̂
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Markt für Schweinefleisch, Forts.
Vergleich von OLS-, ILS-, und 2SLS-Schätzung
Nachfrage Angebot
P Y P Z
OLS -1.41 0.08 -0.03 0.77
ILS -3.09 0.15 0.18 0.77
2SLS -3.09 0.15 0.18 0.74
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2SLS-Schätzer: Eigenschaften
Voraussetzung dafür, dass i-te Gleichung schätzbar ist: Identifizierbarkeit der i-ten Gleichung
Abzählbedingung: Anzahl der aus der Gleichung ausgeschlossenen, vorherbestimmten Variablen (K-Ki) ist mindestens so groß wie die um Eins verminderte Zahl der endogenen Variablen (mi-1)
Also: die Anzahl der als Instrumente in Frage kommenden, vorherbestimmten Variablen muss mindestens so groß sein wie die Anzahl der endogenen Variablen, die durch Hilfsvariable zu ersetzen sind
Eigenschaften: 2SLS-Schätzer sind1. konsistent2. asymptotisch normalverteilt
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LIML-Schätzung
ML-Schätzung bei beschränkter Information (limited information ML oder LIML-Schätzung)
Die ältere, aufwendigere LIML-Schätzung ist durch die 2SLS-Schätzung weitgehend verdrängt
Ähnliche Eigenschaften: Beide Schätzer sind konsistent und asymptotisch effizient Die Schätzer der Koeffizienten einer Gleichung stimmen überein,
wenn die Gleichung exakt identifiziert ist
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Schätzer bei voller Information
Die 2SLS-Schätzung ignoriert die kontemporäre Korrelation der Störgrößen
Schätzmethoden bei voller Information (full information methods): Das Berücksichtigen der kontemporären Korrelation macht die Schätzung der Koeffizienten einer Gleichung effizienter, da sie Information verwendet, die in allen anderen Gleichungen zu den Parametern dieser Gleichung enthalten ist
3SLS-Schätzung: Erweiterung des 2SLS-Schätzers im Sinn der FGLS-Schätzung; vergleiche die SUR-Schätzer
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21)
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3SLS-Schätzung
Die m Gleichungen des Modells werden geschrieben als
oder
mit
1 1 1 10
0m m m m
y X u
y X u
y X u
{ } nVar u I
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3SLS-Schätzung
3SLS-Schätzung erfolgt in drei Schritten: Berechnen für jede Gleichung
1. Hilfsvariable2. 2SLS-Schätzer und3. 2SLS-Residuen
Berechnen von mit
Ermitteln der 3SLS-Schätzer
als FGLS_Schätzer für
1ˆ ( ' ) 'i i z iX Z Z Z Z X P X ib
i i i ie y X b
( ' ) /ij i je e n
1 1 1[ '( ) ] '( )G z zb X P X X P y
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3SLS-Schätzer: Eigenschaften
Voraussetzung: Identifizierbarkeit aller Gleichungen
Eigenschaften: 3SLS-Schätzer sind1. konsistent2. asymptotisch normalverteilt
3SLS-Schätzer stimmen mit 2SLS-Schätzer überein, wenn Alle Gleichungen exakt identifizierbar sind diagonal ist, die Störgrößen als kontemporär unkorreliert sind
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Markt für Schweinefleisch, Forts.
Vergleich von 2SLS- und 3SLS-Schätzung
3SLS-Schätzer stimmen gut mit 2SLS-Schätzern überein: beide sind konsistente Schätzer
Die größeren t-Statistiken weisen auf höhere Effizienz der 3SLS-Schätzer hin
Nachfrage Angebot
P Y P Z
2SLS -3.09 0.15 0.18 0.74
t-Stat 3.49 3.67 1.22 10.16
3SLS -3.09 0.15 0.18 0.74
t-Stat 3.79 3.98 1.32 11.02
Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21)
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Weitere Schätzer bei voller Information Iterative 3SLS-Schätzung
Iteratives Berechnen der Hilfsvariablen und Residuen (1.Stufe) FIML-Schätzung (full information ML): unterstellt normalverteilte
Störgrößen, ermittelt Schätzer der Strukturparameter durch Maximieren der Likelihood-Funktion in Bezug auf Elemente von A und
FIML-Schätzer sind konsistent asymptotisch normalverteilt asymptotisch äquivalent den 3SLS-Schätzern
In EViews: 3SLS- und FIML-Schätzer