Kompetenzen hinsichtlichder Methode derFallunterscheidungen

Franz Embacher

Fakultät für Mathematikder Universität Wien

Vortrag im Rahmen der 48. Jahrestagung der Gesellschaft der Didaktik der MathematikUniversität Koblenz-Landau, 14. März 2014

Hintergrund

• Mathematik-Vorkurse im Sommer (2013) an der Fachhochschule Technikum Wien(http://www.technikum-wien.at/)

• Zu den Vorgaben der FH zählt das Thema Fallunterscheidungen, angewandt auf Bruch(un)gleichungen und Betragsgleichungen.

• Besondere Schwierigkeiten der Studierenden!

• Empirische Untersuchungen mit Studierenden der Universität Wien (Sommer 2013, WS 2013/24 + anschließende Untersuchung im WS 2013/14).

1. Untersuchung (Sommer 2013, WS 2013/14)

5 Minuten Zeit

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Musterlösung

1. Untersuchung: Punkteschema

Punkteschema:

Punkte Beschreibung

0 keine adäquate Fallunterscheidung angesetzt

1 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, maximal 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung nicht berücksichtigt

2 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt

3 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, 1 Fall ausgeführt, Fallbedingung berücksichtigt

4 adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen berücksichtigt, Fälle nicht (korrekt) zu einer Gesamtlösung kombiniert .

5 Fallunterscheidungen richtig durchgeführt und (korrekt) zur Gesamtlösung kombiniert

Allfällige Rechenfehler bleiben, soweit eine Diagnose nach diesem Schema möglich ist, unberücksichtigt.

1. Untersuchung: Studierendengruppen

• 73 TeilnehmerInnen am

Vorkurs Physik/Mathematik-Teil

der Fakultät für Physik im Sommer 2013,Physik-Studierende vor dem ersten Semester [9.9.2013].

• 25 TeilnehmerInnen am

Seminar zur Unterrichtsplanung

im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [2.10.2013].

1. Untersuchung: Ergebnisse

0 1 2 3 4 5 und größer

0

10

20

30

40

50

60

70 65

2 2 21 1

Vorkurs Physik/Mathematik-TeilSommer 2013

Punktezahl

Häu

figke

it

1. Untersuchung: Ergebnisse

0 1 2 3 4 5 und größer

0

2

4

6

8

10

12

5

4

11

0

23

Seminar zur UnterrichtsplanungWS 2013/14

Punktezahl

Häu

figke

it

1. Untersuchung: Resümee

• Physik-Studierende vor dem ersten Semester: 1.4% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 89% erzielten 0 Punkte fast keine Erinnerungen an Fallunterscheidungenim Mathematikunterricht

• Mathematik-Lehramts-Studierende: 12% lösten die Aufgabe korrekt und vollständig (5 Punkte) 44% erzielten 2 Punkte („ adäquate Fallunterscheidung angesetzt, alle Fälle ausgeführt, Fallbedingungen nicht berücksichtigt“) 20% erzielten 0 Punkte Schwierigkeit Fallbedingungen?

2. Untersuchung (WS 2013/14)

Nachfolgeuntersuchung im Jänner 2014:

Krimi mit Fallunterscheidungen („Alltagssituation“) Zum Vergleich: Bruchungleichung mit Fallunterscheidungen

jeweils für die Hälfte der Studierenden.

Die Struktur der Argumentation war vorgegeben, es waren nur einige Kästchen auszufüllen.

10 Minuten Zeit

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi

2. Untersuchung: Krimi – Lösung

2. Untersuchung: Krimi – Lösung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung

2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung

2. Untersuchung: Bruchungleichung – Lösung

2. Untersuchung: Punkteschema

Punkteschema:

Punkte Beschreibung

0 keine Fallbedingung erkennbar berücksichtigt

1 1 Fallbedingung erkennbar berücksichtigt

2 2 Fallbedingungen erkennbar berücksichtigt

2. Untersuchung: Studierendengruppen

• 23 TeilnehmerInnen an der Vorlesung

Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 2

im Rahmen des Physik-Lehrsmtsstudiums, Physik-Lehramts-Studierende, die nicht Mathematik-Lehramt studieren, im ersten Semester [13.2.2014].

• 20 TeilnehmerInnen am

Seminar zur Unterrichtsplanung

im Rahmen des Mathematik-Lehramtsstudiums, Studierende typischerweise im 5. – 9. Semester [22.1.2014].

2. Untersuchung: ErgebnisseMathematische Grundlagen für das Physikstudium 2

0 1 2 und größer0123456789

10

VO G2 Häufigkeit Krimi

0 1 2 und größer0

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

VO G2 Häufigkeit Bruchungleichung

2. Untersuchung: ErgebnisseMathematische Grundlagen für das Physikstudium 2

0 1 2 und größer0123456789

10

VO G2 Häufigkeit Krimi

0 1 2 und größer0

0.51

1.52

2.53

3.54

4.55

VO G2 Häufigkeit Bruchungleichung

Krimi: schlechtere Ergebnisse!

2. Untersuchung: ErgebnisseSeminar zur Unterrichtsplanung

0 1 20

1

2

3

4

5

6

SE UP Häufigkeit Krimi

0 1 201234567

SE UP Häufigkeit Bruchungle-ichung

2. Untersuchung: ErgebnisseSeminar zur Unterrichtsplanung

0 1 20

1

2

3

4

5

6

SE UP Häufigkeit Krimi

0 1 201234567

SE UP Häufigkeit Bruchungle-ichung

Krimi: schlechtere Ergebnisse!

Mögliche Gründe

• Hauptproblem ist die nichttriviale Logik der Anwendung von Fallunterscheidungen für Bruchungleichungen (wohl auch für Betrags(un)gleichungen): Im Alltagsleben gibt es kaum Situationen, in denen die Gefahr besteht, die Fallbedingung zu vergessen! Die Krimi-Aufgabenstellung wurde als unnatürlich empfunden!

• Fallunterscheidungen spielen im Mathematikunterricht eine untergeordnete Rolle. Aus dem österreichischenAHS-Oberstufen-Lehrplan: „Arbeiten mit einfachen Ungleichungen (Abschätzungen, Umformungen, Fallunterscheidungen) “.

• Fallunterscheidungen werden als Spezialmethoden für Bruchungleichungen und Betrags(un)gleichungen betrachtet, nicht als Beispiele mathematischer Argumentation.

Abhilfe?• Fallunterscheidungen verstärkt in den Mathematikunterricht

integrieren,• aber nicht beschränkt auf Bruch(un)gleichungen und

Betragsgleichungen! Beispiele:• Zahl der Lösungen einer quadratische Gleichung über den

reellen Zahlen (Fallunterscheidung nach dem Vorzeichender Diskriminante)

• Aussagen über Teilbarkeit, z.B.• Bei der Division einer Quadratzahl durch 3 ergibt sich als

Rest 0 oder 1, jedoch niemals 2.(n = k2, Fallunterscheidung nach dem Rest bei Division k:3)

• Für jede natürliche Zahl n ist 3n2 + n gerade.(Fallunterscheidung nach geradem/ungeradem n)

• …

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Diese Präsentationfinden sie am Web unter

http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/MatheDidaktik/GDM2014/