Post on 22-Oct-2019
01.11.17
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LeonhardEuler
HanspeterKra/DepartementMathema4kundInforma4kUniversitätBasel
unddiemoderneMathematik
VolkshochschulebeiderBasel
EineArbeitvonCharlesHermiteCharlesHermite,französischerMathema4ker,24.Dezember1822–14.Januar1901
JournalfürReineundAngewandteMathema4kBand59(1861),304-305
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Exkurs:LösenvonGleichungen
Quadra)scheGleichungen(bereitsimAltbabylonischenReichbekannt)
Idee:quadra4scheErgänzung:
KubischeGleichungen(FormelnvonCardano1545)
Exkurs:LösenvonGleichungen
GleichungenvomGrad>4?
ÉvaristeGalois(25.Okt.1811–31.Mai1832)
Gleichungen4.Grades:ebenfallsFormelnvonCardano(1545)
„EsgibtkeinegeschlossenenFormelfürdieLösungeneinerallgemeinenGleichungvomGradgrösserodergleich5!“
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ModerneForschungReduk)oneinerGleichungn-tenGradesaufeinfachereForm(z.B.möglichstvieleKoeffizienten=0;LeopoldKronecker,FelixKlein,...)
JoeBuhler&ZinovyReichstein(Composi4oMath.106(1997),159-179):„Esbrauchtmindestensn/2verschiedeneKoeffizienten.“
• FormelvonHermite(1861):x5+ax3+bx+b=0
• FormelvonJoubert(1867):x6+ax4+bx2+cx+c=0
Erklärung?
WerwarLeonhardEuler?
• EinwohlbekannterBasler?• EinweltberühmterAuslandschweizer?
• DergrössteGelehrteseinerZeit?• DerführendeWissenscha/lerdes18.Jahrhunderts?
• Einerdergenialstenundproduk4vstenMathema4kerallerZeiten?
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oderDerMannmitderNachthaube?
DerMannaufderaltenZehnernote?
DerMannaufderBriefmarke?
DerAuslandschweizer
1707inBaselgeboren(15.April)1727Basel➙St.Petersburg
1741St.Petersburg➙Berlin
1766Berlin➙St.Petersburg
1783inSt.Petersburgverstorben(18.September)
„ErbliebseinerVaterstadtimmerengverbunden,istaberniedahinzurückgekehrt.“
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DerGelehrteundWissenscha/ler
FundamentaleBeiträgezurMathema4k,Op4k,Mechanik,AstronomieundTechnik
Über800wissenscha/licheArbeiten,etwa3000BriefevonundanEulerundrund40’000Manuskriptseiten
PhilosophischeundtheologischeBeiträge,sowiemehrereSchri/enzurMusiktheorie
DergenialeMathema4ker
VieleoriginelleAnsätzeundgrundlegendneueIdeen
EnormeBreiteundTiefeinderForschung
GrosseAusstrahlung
UnvergleichlicheSchaffenskra/
„EulerhatdieMathemaOkvonGrundaufrevoluOoniert!“
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Er„schaqe”neuemathema4scheTheorienundForschungsgebiete.
Er„nutzte”dieMathema4kundwendetesieüberallan.
ErliessdieganzeWeltanseinenGedankenundIdeen„teilhaben“.
ErwarinjederHinsicht„rein”UND„angewandt”.
UnderwaraucheinPrak4ker!
Euler:EinmodernerMathema4ker!
WasserkunstinSanssouci
Au/ragdesKönigs
EulersVorschlägeundBerechnungen
Aber:dieRohreplatzten!
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«Jevoulusfaireunjet-d'eauenmonJardin;leCiclopeEulercalculal'éffortdesroües,pourfairemonterl'eaudansunbassind'oùelledevoitretomberpardescanaux,afindejailliràSans-Souci.MonMoulinaétééxécutégéométriquement,etiln'apuéleverunegouted'eauàcinquantepasduBassin.VanitédesVanités;Vanitédelagéométrie.»FriedrichIIanVoltaire,25.Januar1778
DerSpovdesKönigs
„...zweitklassigalsPhysiker...?”
„Thephysicaluniversewasanoccasionformathema4cstoEuler,scarcelyathingofmuchinterestinitself;andiftheuniversefailedtofithisanalysisitwastheuniversewhichwasinerror.”(E.T.Bell1937)
„DergenialeMathema4kerEulerwarzweitklassigalsPhysiker...”(A.Hermann1991)
„WhenEulerappliedhisequa4onstodesignafountainforFredericktheGreatofPrussia,itfailedtowork...Unfortunately,heomivedtheeffectsoffric4on,withembarrassingprac4calconsequences.”(S.Perkovitz1999)
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EulersAu/rag„JeprendlalibertédevousaddressermesrecherchessurlaMachineHydrauliquedeSans-Soucy...jecrainsfortqu'ils'enfaudrabeaucoupqu'ellemonteàlahauteurqueLeRoysouhaite...“
(EuleranMaupertuis,21.September1749)
„CommeSaMajestéleRoydePrusse,NotretrèsgracieuxSouverain,areçulescalculsqueleprofesseurEulerLuiaadresséausujetdelaMachinedeSans-Soucyetqu'Elleenestfortcontente,SaMajestéveutbienluitémoignertoutlegré...“
(FriedrichII.anEuler,27.September1749)
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„Carsurlepiedqu'ellessetrouventactuellement,ilestbiencertain,qu'onn'éleveroitjamaisunegouved'eaujusqu'auréservoir,ettoutelaforceneseroitemployéequ'àladestruc4ondelamachineetdestuyaux.“
(EuleranFriedrichII,17.Oktober1749)
„Lavéritablecausedecefâcheuxaccidentconsistoituniquementencequelacapacitédespompesétoittropgrande,etàmoinsqu'onneladiminuetrèsconsidérablement,ouendiminuantleurdiamètreouleurhauteur,oulenombredesjeuxquirepondàuntourdemoulin,lamachineneserapasenétatdefourniruneseulegoûted'eaudansleréservoir.“
(EuleranMaupertuis,21.Oktober1749)
EulersWarnungen!
FazitEulersAnalysedesSanssouci-Problemswarkorrekt.SiebegründetediemoderneHydraulik.
Diedarausabgeleitetenprak4schenRegelnwurdenignoriert.
DasWasserkunst-ProjektinSanssoucischeiterte,weilderKönigunfähigePrak4kerpfuschenliessundvordenhohenAusgabenzurückschreckte.
EulersHydrodynamikberuhteaufjahrelangerErfahrungmitprak4schenProblemwiedeminSanssouci.
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EulersMathema4kDreiBeispiele
DasKönigsbergerBrückenproblem
DieEulerschePolyederformele-k+f=2
DerEulerscheSatzxϕ(n)=1modn
DasKönigsbergerBrückenproblem
Königsberg(Kaliningrad)amPregel,mitden7Brücken
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GibteseinenSpaziergangdurchKönigsberg,beidemmanjededer7Brückengenaueinmalüberschreitet?
Frage
ErsterVersuch:
ZweiterVersuch:
„Esscheintnichtzugehen!Aberwarumnichtundwiesiehtmandasein?“
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Graphentheorie
Defini)onEinGraphbestehtausPunkten(=Ecken),diedurchStrecken(=Kanten)verbundensind.
AllgemeinesProblemGegebeneinbeliebigerGraph.GibteseinenWegdurchdiesenGraphen,derjedeKantegenaueinmalbenutzt?
NotwendigeBedingung(„Valenzbedinung“):DieAnzahldervoneinerEckeausgehendenKantenistgerade,eventuellmitgenauzweiAusnahmen.
WaspassiertbeieinemsolchenSpaziergang?
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KönigsbergerBrückengraph
ErfülltdienotwendigeValenz-bedingungnicht!☛EsgibtdaherkeinensolchenSpaziergang!
SatzvonEuler:Valenzbedingungistauchhinreichend,umeinensolchenSpaziergangzufinden!
Beispiel:DasNikolaushaus
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DieEulerschenValenzbedingungensinderfüllt.EsgibtalsoeinensolchenSpaziergang!
AnwendungenderGraphentheorie
• Transportprobleme
• Naviga4onssysteme
• Ökonomie(op4maleVerteilungen)
• BauvonMikrochips
• usw.
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Zusammenfassung
• Ausgangspunkt:einprak4schesProblem
• Ansatz:Abstrak4on(Reduk4onaufdasWesentliche)☛Graphen
• Verallgemeinerung☛Lösung
• Weiterentwicklung☛Graphentheorie
Neue,unvorhergeseheneundüberraschendeAnwendungen!
DiePolyederformel:e-k+f=2
PolyederoderVielflächner:konvexerKörper,derdurchVieleckebegrenztist.
Formel:e=AnzahlEcken,k=AnzahlKanten,f=AnzahlFlächen
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H+S=A+2
S=numerusangulorumsolidorumH=numerushedrarumA=numerusacierum
1Dreieck,5Vierecke,3Fünfeckee=12,k=19,f=9
UnregelmässigePolyeder
BriefanChris4anGoldbach(1750):H+S=A+2
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DerFussball
KlassischerFussball:Pentakisdodekaedermit12Fünfeckenund20Sechsecken
e=60=(60+120)/3k=90=(60+120)/2f=32=12+20☛e-k+f=2
Wasistdaransoerstaunlich?
• SehreinfacheAussage,leichtnachprü�ar
• UniverselleGül4gkeit• GenialeIntui4on• UngeahnteAuswirkungen:
Basisder„algebraischenTopologie”
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DerEulerscheSatz:xϕ(n)=1modn
• ElementareZahlentheorie,gehtaufFermatzurück:xp=xmodp
• AnspruchsvolleSpielerei?
• FermatscheVermutung:xn+yn=zn
istunlösbaringanzenZahlenx,y,zfürn>2.
☛EntwicklungdermodernenZahlentheorie
• Nützlichkeit?Anwendungen?
DanielBernoullianNicolausFuss(Briefvom18.März1776)
«Cequevousmedites...estsansdouteinfinimentsublime;jeveuxparlerdubeauthéorèmedeM.Eulersurlesnombrespremiersetdesanouvelleméthodepourexaminertelnombrequ'onpropose,quelquegrandqu'ilpuisseêtre,s'ilestpremier,ounon.Cequevousvousêtesdonnélapeinedemediresurcevema4èrem'aparufortsub4letdignedenotregrandmaître.Maisnetrouvezvouspasquec'estpresquefairetropd'honneurauxnombrespremiersqued'yrépandretantderichesses,etnedoit-onaucunégardaugoûtraffinédenotresiècle?Jenelaissepasderendrejus4ceàtoutcequisortdevotreplumeetd'admirervosgrandesressourcespoursurmonterlesdifficultéslesplusépineuses,maisceveadmira4onseredoublequandlesujetpeutmeneràdesconnoissancesu4les.»
DanielBernoulli8.Februar1700–17.März1782
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Pythagoras!
a2+b2=c2 GanzzahligeLösungen?
42+32=52
☛LandvermessungimaltenÄgypten!
Sender Empfänger
Eingriffe von aussen
Öffentliche Leitung
Exkurs:InternetundöffentlicheNetzwerke
Manmussdavonausgehen,dassdieLeitungöffentlichistunddassalleverwendetenGeräteundVerfahrenbekanntsind.
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Problemevon„öffentlichen”Netzwerken
VertraulichkeitundSicherheit• Geheimhaltung(Abhören)
• AuthenOfizierung
• Eindringen(„Hacken”)
Schutzmassnahmen
Klassisch:Kuriere,eingeschriebeneSendungen,Unterschri/,Ausweis,usw.
Digital:-GeheimhaltungdurchVerschlüsselung(Chiffrierung)-Authen4fizierungdurchdigitaleUnterschri/
FürdiedigitalenMethodenbrauchtesPasswörter!- PersönlichePasswörter- Streichlisten(einmaligerGebrauch)- Kartenleser- 3-DSecure(SmartphonemitTransakt-App)usw.
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DigitaleVerschlüsselung(Chiffrierung)
EsgibtabsolutsichereChiffrierverfahren!
-Gemeinsamergeheimer„Schlüssel”fürSenderundEmpfänger
-RegelmässigeÄnderungdesSchlüssels
Problem:SchlüsselverwaltungundSchlüsselaustausch(vielePartner!)
„ÖffentlicheGeheimhaltung“PublicKeyCryptography
ÖffentlicherSchlüsseltausch(W.DiffieundM.E.Hellman,StanfordUniversity1976):
AustauscheinesgeheimenSchlüsselsübereineöffentlicheLeitung
RSA-Kryptosystem(R.Rivest,A.Shamir,L.Adleman1977):
ChiffrierungmitHilfeeinesöffentlichenSchlüssels,DechiffrierungnurmitgeheimemSchlüsselmöglich
BeideSystemeverwendenMethodenderelementarenZahlentheorieundsogenannte„Einweg-Funk4onen“.• Diffie-Hellman:PotenzierenversusdiskreterLogarithmus• RSA:ProduktgrosserPrimzahlen+Euler-Formel
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AnwendungenDiffie-HellmanKeyExchange• On-lineZahlungen• E-Banking• E-Commerce• E-Vo4ng(elektronischeAbs4mmungen)
RSA-Kryptosystem• E-Mail(PGP-Algorithmus)• ÜbermivlungvonPasswörtern• DigitaleUnterschri/• SignierenvonelektronischenDokumenten
Zusammenfassung
• KryptographieundKodierungstheorie:BasisfürdensicherenDatenaustausch
• BeruhenaufMethodenderelementarenZahlentheorie
• EulerscheFormelspielteinewich4geRolle(z.B.beimRSA-Kryptosystem)
EineEntdeckungderelementarenZahlentheoriefindet250JahrespätereineerstaunlicheAnwendung,dieheuteim
täglichenLebeneinezentraleRollespielt!
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Bemerkungen
• DiffieundHellmanwarennichtdieersten!(Bri4scherGeheimdienst:J.Ellis,C.Cocks,M.WilliamsonkanntendieMethodeschon1970!)
• Quantum-Compu4ng(vielschnellereAlgorithmen!)
DieTes�rage
WaswürdenSieohneEulerunddieMathema4ktun?
Barzahlen!
VielenDankfürIhreAufmerksamkeit
hvp://www.bez.unibas.chhvp://www.beg.unibas.ch