Lineare Algebra

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Außerdem bieten Determinanten einfache Kontrollmöglichkeiten bestimmter Eigenschaften.

Bei der exakten und übersichtlichen Beschreibung des mathematischen Grundgerüstes können einige wichtige Sachverhalte einfacher mit Determinanten erklärt werden.

Lineare Algebra

1. Determinanten1.1 Berechnungsvorschriften1.2 Rechenregeln für

Determinanten1.3 Anwendungen

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DeterminanteEiner Anordnung von Zahlen in einem

quadratischen Schema wird nach einer bestimmten Rechenvorschrift ein Zahlenwert zugeordnet.

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12352

32342

104396

65264

42132

=> 24

Diese Zahl nennt man Determinante.

Determinante

Die Ordnung n der Determinante wird durch die Anzahl der Reihen (Zeilen oder Spalten) bestimmt.

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12352

32342

104396

65264

42132

1 2 3 4 5 => n = 5

Unterdeterminante

Die Unterdeterminante Uik n-1-ter Ordnung entsteht durch Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte einer Determinante.

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12352

32342

104396

65264

42132

1252

3242

10496

4232

23

U

Adjunkte

Eine Adjunkte Aik ist eine mit dem Faktor (-1)i+k multiplizierte Unterdeterminante Uik n-1-ter Ordnung.

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A Uiki k

ik ( )1

Entwicklungssatz von Laplace

Die Determinante n-ter Ordnung wird bestimmt, indem man für eine bestimmte Reihe (Zeile oder Spalte) die Produkte aus den einzelnen Elementen und den zugehörigen Adjunkten aufsummiert.

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D a A a Urk rkk

nr k

rk rkk

n

1 11( )

Rechenregeln

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Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn eine Zeile (oder Spalte) Linearkombination anderer Zeilen (oder Spalten) ist.

Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn zwei Zeilen (oder Spalten) Übereinstimmen.

Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn eine Zeile (oder Spalte) nur die Elemente O enthält.

RechenregelnEine Determinante wird mit dem

Faktor k multipliziert, indem man alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) mit dem Faktor k multipliziert.

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Eine Determinante ändert das Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen (oder Spalten) miteinander vertauscht.

RechenregelnEine Determinante ändert ihren

Wert nicht, wenn man alle Elemente an der Hauptdiagonalen spiegelt (stürzt oder transponiert).

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Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man sie rändert.

RechenregelnEine Determinante ändert ihren

Wert nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) eine mit einem Faktor k multiplizierte andere Zeile (oder Spalte) entsprechend addiert.

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RechenregelnSind alle Elemente aik oberhalb (oder

unterhalb) der Hauptdiagonalen einer Determinante null, so berechnet sich der Wert der Determinante aus dem Produkt aller Elemente der Hauptdiagonalen aii .

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HauptminorenDie Unterdeterminanten

, , , ... ,

werden Hauptabschnittsdeterminanten (oder auch Hauptminoren) der Determinante A genannt.

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11a2221

1211

aa

aa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

nnn

n

aa

aa

1

111