Routenplanung& Komplexität

Lernziele

• Sie haben den Dijkstra-Algorithmus nachvollzogen.

• Sie haben das Konzept der Komplexität eines Algorithmus verstanden.

• Sie haben die Komplexität des Dijkstra-Algorithmus abgeschätzt.

• Sie können auch für andere Probleme die Komplexität (in O-Notation) abschätzen

Routenplanung

Es geht darum, anhand einer Strassenkarte den kürzesten Weg zwischen zwei Orten zu findenEdsger Dijkstra fand schon 1956 eine effiziente Lösung für dieses Problem, die auch heute noch in den meisten Navigationsgeräten Anwendung findet

Was ist ein Algorithmus?

Schr

itt 1

: Abs

trak

tion

(= R

eduz

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Wes

entli

che)

Man kann noch weiter

Abstrahieren

Ziel: möglichst wenige,

gleichförmige Elemente

Schritt 2: Lösung?!

• Es gibt eine sehr simple, aber nicht besonders schlaue Lösung für das Problem mit dem kürzesten Weg:

Brute Force• Diese Methode funktioniert übrigens bei

vielen Problemen, und wird doch fast nie angewandt – später sehen wir, warum

Es gibt bessere Lösungen

• ... aber wie?

• Idee???

Schritt 2: Grundidee

Ameisen bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang des Graphen und markieren dabei ihren Weg•Ausgehend vom Startort•Aufspaltung an jeder Kreuzung•Bereits markierte Wege werden verworfen•Wer zuerst den Zielort erreicht hat den kürzesten Weg gefunden

Dijkstras Algorithmus

• ... ist eine Variante der Ameisenidee• Warum Variante?

– weil Computer seriell arbeiten– weil man noch ein kleines bisschen optimieren

kann

• Wie genau es funktioniert?– routeplanner_3.pdf– mit Stift nachvollziehen

Ergebnis:allerdings mit einem

Fehler!

Schritt 3: Formalisieren

Beispielsweise als•Flow Chart•Pseudocode•Struktogramm

– s. Arbeitsblätter

AufgabeSchauen Sie sich den Algorithmus nochmals an. Welche Werte müssen Sie sich von jedem Knoten aufschreiben, wenn Sie bei der Lösung des Algorithmus nicht auf die vorliegende Karte schreiben dürfen?

Aufgabe:1.Bestimmen sie eines der Hotels (gelbe Knoten) als Startpunkt2.Erstellen Sie eine Distanztabelle für die Strecken zu allen anderen Hotels(Lösungen für A, G & K im pdf)

Schritt 4: Analysieren

• Ist das ein guter Algorithmus?• Ist er besser als ein Anderer?

– Immer?– In speziellen Fällen?

• Lohnt es sich, ihn zu implementieren?

Komplexität & Big-O-Notation

Das Problem des Handlungsreisenden (travelling salesman):

Berechne die kürzeste Strecke, die durch mehrere vorgegebene Orte führt

Komplexitätsabschätzung

Es geht um asymptotische Laufzeit (Speicherbedarf)

Abschätzen, wie sich der Rechenaufwand eines Algorithmus im ungünstigsten Fall mit immer grösser werdenden Eingaben verändert

Und wozu ist das nütze?

LaufzeitabschätzungWir betrachten, wie viele Schritte im Algorithmus abgearbeitet werden müssen - abhängig von der Menge der Eingabedaten.

Beispiel 1:Wir haben eine Namensliste und wollen wissen, ob ein bestimmter Name darin vorkommt. und jetzt?

Kerim Alexandra LorenzJulianSamuelNirubanAymarJoëlSlavkoManuelNathanaelAnselmNiko

Laufzeitabschätzung

1) Lösung (Algorithmus) finden

2) Für den ungünstigsten Fall (worst

case) durchspielen

3) Laufzeit abschätzen (O-Notation)

Kerim Alexandra LorenzJulianSamuelNirubanAymarJoëlSlavkoManuelNathanaelAnselmNiko

Algorithmus Lineare Suche• Worst case?• Laufzeit

– n = 10?– n = 20?– n = 100?– allgemein?

O(n)(n verdoppeln verdoppelt Laufzeit)

LaufzeitabschätzungWir betrachten, wie viele Schritte im Algorithmus abgearbeitet werden müssen - abhängig von der Menge der Eingabedaten.

Beispiel 2:Wir haben eine Namensliste und wollen wissen, ob ein Name darin doppelt vorkommt.

Kerim Alexandra LorenzJulianSamuelNirubanAymarJoëlSlavkoManuelNathanaelAnselmNiko

Allgemeine Laufzeit?

O-NotationWir betrachten, wie sich die Schrittanzahl im Algorithmus für eine sehr grosse Anzahl von Eingabedaten verhält („obere Schranke“ für Worst Case).

Beispiel Namensliste:Für n Eingabedaten brauchen wir sicher nicht mehr als

(n-1)+(n-2)+…+(1) = Schritte.

Schreibweise:Laufzeit_Namensliste = O(n2)

2

)1( nn

O-NotationVereinfachungsregeln:

Addition f(n) = n + 3 ⇒ O(n)

f(n) = n2 + 3n O⇒ (n2)

Multiplikation f(n) = 3n ⇒ O(n)

f(n) = n2 * 3n ⇒ O(n3)

Konstante Summanden werden vernachlässigt

Es zählt der Summand mit dem stärkeren Wachstum Konstante Faktoren werden vernachlässigt

Es zählt die Summe der Exponenten

Aufgaben (s. ABKomplexität1.doc)

1. Wir wollen einen quadratischen Rasen mähen, die Länge einer Seite ist n. Zu welcher Komplexitätsklasse gehört das Rasenmähen?

2. Wir wollen eine n-stöckige Pyramide aus Getränke-Kisten bauen. Wie lautet dieLaufzeit in O-Notation?

3. Sie haben das Bier für die Party schon gekauft, n ist die Anzahl der Gäste. Saufzeit in O-Notation?

Turm von Hanoi (original mit 64 Scheiben)

Anzahl Züge:

3 Scheiben7 Züge

n Scheiben 2n-1 Züge

Komplexitätsabschätzung

Wie verhält sich die asymptotische Laufzeit für folgende Algorithmen? (wie ändert sich die Anzahl der Rechenschritte, wenn man die Anzahl der Elemente im Array verdoppelt)

1.Suchen eines Elements im Array

2.Sortieren der Elemente des Arrays

3.Alle möglichen Permutationen ausgeben

Komplexitätsabschätzung

Es geht um asymptotische Laufzeit (Speicherbedarf)

Abschätzen, wie sich der Rechenaufwand eines Algorithmus im ungünstigsten Fall mit immer grösser werdenden Eingaben verändert

Theoretische Informatik

Berechenbarkeit von Algorithmen

2. Kann alles, was theoretisch berechenbar ist, auch tatsächlich berechnet werden?

was heisst hier „praktisch“?

Ein Computer ist eine universelle Rechenmaschine, er kann alles berechnen, was berechenbar ist.

1. Gibt es auch Probleme, die nicht berechenbar sind?

Komplexitätsklassen

Komplexitätsklassen

noch praktikabelnicht mehr praktikabel

Berechenbarkeit von AlgorithmenDie nicht-polinomialen Algorithmen (NP):Sind praktisch nicht lösbar,für etwas grössere n.1. Gibt es keine schnellere Lösung, oder haben wir nur noch keine gefunden?Und: Für die grosse Familie der NP-vollständigen Problememuss diese Frage nur an einem einzige Beispiel beantwortet werden!

NP-vNP-hNP?...

NP-vollständige Probleme• Sie sind entscheidbar (=berechenbar). • Sie besitzen Lösungen in exponentieller Zeit. • Für keines dieser Problem wurde je ein Algorithmus

mit Polynomialzeit gefunden. • Niemand konnte bisher beweisen, ob sie exponentielle

Zeit benötigen müssen.• Alle diese Probleme sind miteinander verwandt:

– Sollte jemals für ein einziges Problem ein Algorithmus mit Polynomialzeit gefunden werden, dann ergäben sich sofort Polynomialzeit-Algorithmen für alle anderen Probleme.

– Umgekehrt gilt das allerdings auch (Beweis, dass NP≠P)

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_NP-complete_problems

P == NP ?

Das P-NP-Problem gilt als eines der wichtigsten offenen Probleme der Informatik und wurde vom Clay Mathematics Institute in die Liste der Millennium-Probleme aufgenommen – auf seine Lösung ist eine Preis von 1 Million $ ausgesetzt.

Frage: Rein finanziell gesehen wäre man bescheuert, den Preis in Anspruch zu nehmen, falls man einen Beweis für die Vermutung P == NP gefunden hätte. Warum?

Verstanden?

• Formulieren Sie mit eigenen Worten:

1. Wie ist die Problemklasse P definiert?

2. Wie ist die Problemklasse NP definiert?

Verstehen sie den Witz jetzt besser?

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_NP-complete_problems

Das Problem des Handlungsreisenden (travelling salesman)

Komplexitätsabschätzung

Es geht um asymptotische Laufzeit (Speicherbedarf)

Abschätzen, wie sich der Rechenaufwand eines Algorithmus im ungünstigsten Fall mit immer grösser werdenden Eingaben verändert

Und bei Dijkstra?

Vollständige Wege in GraphenWege von S aus: 2 Wege (2 x 2 Schritte)

Möglichkeiten bei noch mehr Knoten:3 x 2 Wege (x 3)4 x 6 Wege (x 4)5 x 24 Wege (x 5)6 x 102 Wege (x 6) (n-1)(n-1)! Schritte = O(n!)

3 Wege in den 3er-Graphenvon: 3 x 2 Wege (6 x 3 Schr.)

Dijkstra: keine doppelten Wege

• Alle Wege von S aus, danach ist S aus dem Rennen

• Im verkleinerten Graphen wird der näheste Knoten zu S und das Ganze von vorn...

(n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 n2/2O(n2)

Bei nicht vollständig verknüpften Graphen und geschickter Implementierung: O(n x log(n))

Welche Komplexität hat Routenplanung ...

• mit „brute force“?

O(n!), also NP

• mit dem Dijkstra Algorithmus?

O(n2), also P

genauer: O(n2/2), wenn der Graph nicht voll verbunden und der Algorithmus geschickter implementiert ist sogar nur O(n*log(n))

Binäre Suche; O(log(n))