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Simulation mit modernen Tools- runde und spitze Berechnung von π -
Prof. Dr. rer. nat. Stefan RitterFakultät EIT27. April 2012
Gliederung
1. Wozu Simulation?2. Moderne Tools zur Simulation
1. Maple, Geogebra und Matlab2. Etwas genauer betrachtet: Matlab
3. Simulationen1. Monte-Carlo Simulationen2. „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat3. „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln
4. Zusammenfassung
27.04.2012 2Stefan Ritter (EIT)
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1. Wozu Simulation? 2. Moderne Tools zur Simulation
1. Maple, Geogebra und Matlab2. Etwas genauer betrachtet: Matlab
3. Simulationen1. Monte-Carlo Simulationen2. „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat3. „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln
4. Zusammenfassung
27.04.2012 3Stefan Ritter (EIT)
27.04.2012 Stefan Ritter (EIT) 4
1 Wozu Simulation?
Simulation spart Kosten und spart Zeit
Simulation ist ungefährlich
Simulation liefert Systemverständnis
Simulation verläuft auf einer anderen Zeitskala
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Gliederung
1. Wozu Simulation?
2. Moderne Tools zur Simulation1. Maple, Geogebra und Matlab2. Etwas genauer betrachtet: Matlab
3. Simulationen1. Monte-Carlo Simulationen2. „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat3. „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln
4. Zusammenfassung
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2.1 Maple
• Computer-Algebra System• Numerik• Grafik
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• Programmierumgebung mit CAS• Schöne Grafik-Animationen• Interaktive Worksheets• kostenlos!
Geogebra
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• Numerische Berechnungen• Große Datenmengen• Graphik• Toolboxen
Matlab
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2.2 Etwas genauer betrachtet: Matlab
% Matrix und Vektor als Datenstruktur>> x=[1 2 4 9]>> y=sqrt(x)
% Datenanalyse mit find>> index=find(y>1.5)
y=[1.0000 1.4142 2.0000 3.0000]
index=[3 4]
Gliederung
1. Wozu Simulation?2. Moderne Tools zur Simulation
1. Maple, Geogebra und Matlab2. Etwas genauer betrachtet: Matlab
3. Simulationen1. Monte-Carlo Simulationen2. „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat3. „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln
4. Zusammenfassung
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3.1 Monte-Carlo Simulation
• Simulation auf Basis von Zufallsexperimenten• Realisierung auf dem Computer durch Zufallszahlen• MC-Simulationen werden oft auf deterministische Probleme angewendet
Zufallsexperiment:
•Ergebnis ω: Ausgang eines Experiments
•Ergebnisraum Ω : Gesamtheit der Ergebnisse
•Ereignis A: Teilmenge von Ω
•Es werden n Experimente durchgeführt:
• Gesetz der großen Zahlen
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nAmitErgebnissederAnzahlAhn =)(
.),()( ∞→→ nAPAhn
Basis der Monte-Carlo Simulation
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Vorgehen bei der Monte-Carlo Simulation
1. Erzeuge Zufallszahl
2. Werte Zufallszahl aus:
Entscheide: „Treffer“ / „Nicht Treffer“
3. Wiederhole Schritte 1 und 2 sehr oft
4. Bilde Trefferquote als Schätzung der gesuchten Größe
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Geometrische Wahrscheinlichkeiten
•Zufallsexperiment: Dartwurf auf Rechteck R
•Ergebnisraum Ω ↔ Fläche R mit Inhalt |R|
•Ereignis A ⊂ Ω ↔ Fläche A mit Inhalt |A|
•Geometrische Wahrscheinlichkeit: .||||)(
RAAP =
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Betrachte das Einheitsquadrat
R = {(x, y): x ∈ [0,1], y ∈ [0,1]} mit |R|=1
A = Viertelkreis (Radius 1) mit |A|=π/4
3.2 „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat
MC-Simulation:
1. Erzeuge n Zufallspunkte (Paare gleichverteilter Zufallszahlen aus [0,1])
2. Prüfe: „Treffer“für i=1,2,..n.
3. Bilde relative Häufigkeit der Treffer:
4. Näherung:
nkAhn =)(
)(4)()(4
AhAhAP nn ⋅≈⇒≈= ππ
1),( 22 ≤+⇔∈= iiiii yxAyxX
RyxX iii ∈= ),(
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%% Berechnung von Pi mit Darts%n=1000;% rand: in (0,1) gleichverteilte Zufallszahlenx=rand(n,1);y=rand(n,1);anz_in_kreis=sum(x.^2+y.^2< 1);Trefferquote=anz_in_kreis/n;etwa_pi=Trefferquote*4
Implementierung in Matlab
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Ergebnis der Simulation
n πn
100 3.04001000 3.2200
10.000 3.1516100.000 3.1471
1000.000 3.1403
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3.3 „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln
Louis Leclerc de Buffon (1707-1788, französischer Naturforscher)
•In der Ebene sind parallele Linien gezogen, die den Abstand d haben•Auf diese Ebene werde zufällig eine Nadel der Länge l geworfen, l < d. •Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine Linie?
πϕ ≤≤≤≤ 0,2
0 dx
)sin(2
ϕ⋅=≤lyx
•Bedingung “Nadel kreuzt Linie“:
x: Abstand Nadelmitte - näheste Linieϕ: Winkel Nadel gegen Linie
bzw. ]180,0[ oi ∈ϕ
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Monte-Carlo Simulation
•Betrachte gleichverteilte Zufallszahlen
.,..,1,2
,0],,0[ nidxii =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈∈ πϕ
R
•Nadel kreuzt Linie:
)sin(2 iiilyx ϕ=≤⇒ „Treffer“
R
•Nadel kreuzt Linie nicht:
)sin(2 iiilyx ϕ=>⇒ „nicht
Treffer“
R
Parameterbereich
bzw. ]180,0[ oi ∈ϕ
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Interpretation als „geometrische Wahrscheinlichkeit“
)sin(2
),( iiiiiilyxAxX ϕϕ =≤⇔∈=
•Treffer: Nadel kreuzt Linie
•Trefferquote: nkAhn =)(
lldlA ∫ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=⋅=
π π
ϕϕϕ0 0
))cos((2
)sin(2
||
dl
dl
RA
⋅⋅
=⋅
=⇒ππ
2
2||||
•Geometrische Wahrscheinlichkeit
dRA
l
⋅
⋅=⇒
||||
2π
•Nutze „Trefferquote“ zur Berechnung der Näherung:dAh
l
n ⋅⋅
≈)(
2π
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%% Buffonsches Problem%d=1;l=0.5;n=20;x=rand(n,1)*d/2;phi=rand(n,1)*180;Nadeln_kreuzen=sum(x<l/2*sind(phi));Trefferquote=Nadeln_kreuzen/n;pi_n=2*l/(Trefferquote*d)
Implementierung in Matlab
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n πn
100 2.9412 1000 2.9070
10.000 3.1172100.000 3.1452
1000.000 3.1379
Ergebnis der Simulation
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Hier die daraus von einigen Experimentalforschern erzielten Näherungswerte für π:
• 3.1596 (Wolf, im Jahre 1850, 5000 Würfe)• 3.1553 (Smith, im Jahre 1855, 3204 Würfe)• 3.1419 (Fox, im Jahre 1894, 1120 Würfe)• 3.1415929 (Lazzarini, im Jahre 1901, 3408 Würfe)
Historisches
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Effiziente Berechnung von π=3.14159265358979323846264..
Methode n=3 n=5 n=10 n=20 n=100
Leibniz‐Reihe 0.2464 0.1656 0.0907 0.0476 0.0099
Fourierreihe 0.2839 0.1782 0.0922 0.0469 0.0095
Machin 0.0417 0.001 2.9e‐8 1.5e‐15 3.86e‐72
BBP‐Reihe 2.0e‐7 3.6e‐10 1.1e‐16 2.8e‐28 5.9e‐127
•Leibniz-Reihe, 1682
•Formel von Machin, 1706 •Bailey, Borwein und Plouffe, 1996
•Fourierreihe von f(x)=π2-x2
Fehler bei der Berechnung von π:
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Gliederung
1. Wozu Simulation?2. Moderne Tools zur Simulation
1. Maple, Geogebra und Matlab2. Etwas genauer betrachtet: Matlab
3. Simulationen1. Monte-Carlo Simulationen2. „Berechnung“ von π durch Dartwurf auf ein Quadrat3. „Berechnung“ von π durch Werfen von Nadeln
4. Zusammenfassung
27.04.2012 25Stefan Ritter (EIT)
01.02.2012 Stefan Ritter (EIT) 26
4 Zusammenfassung
•Simulation ist ein wichtiges Teilgebiet der Ingenieurmathematik
•Simulation erfordert Kreativität
•Simulation macht Spaß!