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H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 1
Stochastic Samplingals Messprinzip
Holger Nobach
Max-Planck-Institut für Dynamik und SelbstorganisationGöttingen
Physikalisches Kolloquium der Universität Göttingen13.10.2008
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 3
Inhalt
Stochastic Sampling Unregelmäßige Abtastung
gewollt natürlich
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 4
Inhalt
Stochastic Sampling Unregelmäßige Abtastung
gewollt natürlich
Vorteil Nachteil
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 5
Stationen
, Universität Rostock– Studium Elektrotechnik, Diplom– Promotion Messtechnik
, Dantec Measurement Technology, Kopenhagen– DFG-Postdoc-Programm
, TU Darmstadt– Forschung: Strömungsmesstechnik– Lehre: Messtechnik, Signale und Systeme– Habilitation im Fachbereich Maschinenbau
, Cornell University– Forschung: Strömungsmesstechnik
, Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation, Göttingen– Forschung: Strömungsmesstechnik, Turbulenz, Windkanal– Lehre: Optische Messtechnik
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 6
Turbulenzforschung
mikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 7
Turbulenzforschung
makroskopischmikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
1mm
100m
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 8
Turbulenzforschung
Turbulenzmodelle
makroskopischmikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 9
Turbulenzforschung
Experimentelle Verifikation, Experiment, Messtechnik, Statistische Verfahren
Turbulenzmodelle
makroskopischmikroskopisch
Navier-Stokes-Gleichungen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 11
f-Korrelation
g-Korrelation
E~4" 881 5
"53
TurbulenzspektrumR~1"4 x
x1 52
R~1"4 xx2 5
23
R~exp 4" xx3 5
R~1"4 xx1 5
2
R~exp 4" xx3 5
E~4" 881 5
"53
Messpunkte
Messrichtung
Messpunkte
Messrichtung
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 12
Hitzdrahtanemometrie
Anströmung Heiz- / Fühlerelement(Draht)
Abströmung
Wärmeabgabe Strom I
Sensor (dünner Draht:1mm lang 5µm dick)
Stifte (Kontakte und Halterung für den Draht)
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 13
Sensor VorverstärkerAnpassung
TP
Analoges Filter:- Anti-Aliasing- Rauschunterdrückung
ADU
AD-Umsetzer:- Diskretisierung
Diskreter Datensatz ui(t
i)
- äquidistant abgetastet- schmalbandiges Rauschen
äquidistanterDatensatz
ui(t
i)
Autokorrelations-funktionR
uu(=
k)
Amplituden-dichtespektrum
U(fj)
Leistungs-dichtespektrum
Suu
(fj)
Four
ier-T
rans
form
atio
n
inve
rse
Four
ier-T
rans
form
atio
n
Four
ier-T
rans
form
atio
n
inve
rse
Four
ier-T
rans
form
atio
n
R(=)=*u(t)u(t+=)+
S(f)=U*U=|U|2
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 14
Empfänger
Laser
Strahl-teiler
Sende-linse
Interferenzfeld
Streuteilchen
Signal-burst
Laser-Doppler-Anemometrie
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 15
Ges
chw
indi
gkei
t
Zeit
Einzelteilchenmessung . zufällig abgetastete ZeitreiheUnsicherheit der Frequenzschätzung . breitbandiges RauschenKorrelation zw. Teilchenrate und Geschwindigkeit . Korrelation zw. Datenrate und GeschwindigkeitInterferenz des Streulichtes verschiedener Teilchen . Prozessortotzeit
LDA-Datensatz
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 16
unregelmäßig abgetasteterDatensatz
statistische Datenanalyse
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 17
unregelmäßig abgetasteterDatensatz
- Mathematische Beschreibung des Signals (z.B. Folge von Dirac-Impulsen)
- Berücksichtigung der unregelmäßigen Abtastung
- Entwicklung geeigneter Schätzer
- Wahl einer geeigneten Rekonstruktions- bzw. Interpolationsvorschrift
- Klassische Datenverarbeitung
Direkte Verarbeitung Signalrekonstruktion undregelmäßige Wiederabtastung
Transformation in einen dünnbesetzten Datensatz
- Quantisierung der Abtastzeitpunkte oder -intervalle
- Berücksichtigung von Signallücken
- Schätzer aus der Prozessidentifikation
Zeit
Ges
chw
indi
gkei
t
Zeit
Ges
chw
indi
gkei
t
ZeitG
esch
win
digk
eit
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 18
SS 4f 5'1T $%
0
T
u 4t 5e"2: j f t i$2
= TN 2$!
i=1
N
uie"2: jft i$
2
, Prinzip der direkten Spektralanalyse , Systematischer Fehler aufgrund der unregelmäßigen Abtastung
E {SS }=SP/TN
<u2
3SP 4f 5=TN2 {$!i=1
N
u ie"2: j f t i$
2
"!i=1
N
ui2}
Fehlerabschätzung:
Korrektur:
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 19
SS 4f 5'1T $%
0
T
u 4t 5e"2: j f t i$2
= TN 2$!
i=1
N
uie"2: jft i$
2
, Prinzip der direkten Spektralanalyse , Systematischer Fehler aufgrund der unregelmäßigen Abtastung
E {SS }=SP/TN
<u2
3SP 4f 5=TN2 {$!i=1
N
u ie"2: j f t i$
2
"!i=1
N
ui2}
Fehlerabschätzung:
Korrektur:
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 20
LDA-Datensatz
Rekonstruktion undregelmäßige Abtastung
Korrelationsfunktion
Fourier-Transformation
Spektrum
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 21
LDA-Datensatz
Rekonstruktion undregelmäßige Abtastung
Korrelationsfunktion
Fourier-Transformation
Spektrum
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 22
, Sample-and-Hold-Rekonstruktion
, lineare Interpolation
, exponentielle Rekonstruktion
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 23
, Spline-Interpolation
, Kalman-Rekonstruktion, Shannon-Rekonstruktion, Anpassung einer bandbegrenzten Funktion (POCS), fraktale Rekonstruktion
Allen Rekonstruktionen (unabhängig von der Rekonstruktionsvorschrift) gemeinsam:– Bei hoher Datenrate sind alle Verfahren geeignet, aus dem unregelmäßig
abgetasteten LDA-Datensatz einen regelmäßig abgetasteten Datensatz zu erzeugen, der die spektralen Eigenschaften des Strömungsprozesses widerspiegelt.
– Bei geringer Datenrate verändern sich die spektralen Eigenschaften. Der spektrale Charakter des Rekonstruktionsergebnisses wird direkt und unabhängig vom zugrundeliegenden Strömungsprozess von der verwendeten Rekonstruktionsvorschrift und der Datenrate bestimmt.
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 24
Unregelmäßige Abtastung, Messkette
Prozess
Messgröße
Signal
Verarbeitung
Kenngrößen und -funktionen
Information
Messgerät
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 25
Unregelmäßige Abtastung, Messkette , Einfluss des
MessgerätesProzess
Messgröße
Signal
Verarbeitung
Kenngrößen und -funktionen
Information
Prozesseigenschaften Messgerät
Signaleigenschaften
Messgerät
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 26
1. Analyse des rekonstruierten Datensatzes
LDA-Datensatz
Rekonstruktion
Resampling
Korrelations-und Spektralanalyse
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 27
2. Abschätzung des Filters
Wahre ACFLDA-Datensatz
Rekonstruktion
Resampling
Korrelations-und Spektralanalyse
Nach Rekonstruktionerwartete ACF
E { 3RR 4=5}=MR 4=5
3RR 4=5
t 1
t2
=1 =2
R 4=5
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 28
3. Korrektur
Wahre ACFLDA-Datensatz
Rekonstruktion
Resampling
Korrelations-und Spektralanalyse
Nach Rekonstruktionerwartete ACF
Korrigierte ACF
Nach Rekonstruktionbestimmte ACF
E { 3RR 4=5}=MR 4=5 3R 4= 5=M"1 3RR 4= 5
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 29
, Sample-and-Hold-Rekonstruktion– Rekonstruktionsvorschrift– Interpolationsfilter
– Korrektur
, Proportional-Ein-Punkt-Rekonstruktion (exp., Korrelationskoeffizient, S&H)– Rekonstruktionsvorschrift– Interpolationsfilter
– Korrektur erfolgt numerisch durch Lösung des linearen Gleichungssystems
, andere Interpolationen– prinzipiell auch für andere Interpolationen geeignet– numerischer Aufwand steigt mit der Anzahl der verwendeten Stützstellen
stark an– geringer Gewinn gegenüber Sample-and-Hold-Interpolation
uR 4t 5=u i f R 4t"t i 5 t i1t0t i/1
E { 3RR4=k 5}=R 405!i="#
0f R 4"=i 5f R 4=k"=i 5 41"e"n6= 5e"n 4=k"= i 5
/!9=1
#R 4=95!i=1
min 4k ,95f R 4=9"=i 5f R 4=k"=95 41"e"n6= 52e"n4=k"2=i/=95
E { 3R R 4=k 5}=e"n=k {R 40 5/ 4e n6="1 52
1"e2 n6= !9=1
#e"n=9 41"e2 n min 4k , 956 = 5R 4=95}
uR 4t 5=u i t i1t0t i/1
3R 4=k 5={ 3RR 40 5 für k=042c/1 5 3RR 4=k 5"c [ 3RR 4=k "15/ 3RR 4=k /15] sonst
c= e"n6 =
41"e"n6 =52
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 30
LDA-Datensatz
S&H-Rekonstruktion undregelmäßige Abtastung
Korrelationsfunktion
Fourier-Transformation
Spektrum
FilterkorrekturBestimmung derDatenrate
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 31
Slot Correlation
AKF
u iu j
t i t j
t j"t i /u i u j
/16=
i=12Nj=12N j(i
zk=!i=1
N
!j=1j(i
N
u i u j bk 4t j"t i 5
nk=!i=1
N
!j=1j(i
N
bk 4t j"t i 5
bk 46 t 5={1 für 4k"1/256=)6 t04k/1/256=0 sonst 3Rk=zk /nk
-1 0 1 2 3 4 5
-1 0 1 2 3 4 5
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 32
Modellbasierte Rausch- / Varianzschätzung
Slot Correlation
- Local Normalization- Fuzzy Slotting- Local Time Estimation- Wichtungsfaktoren (Transit-Time / Forward-
Backward-Arrival-Time)- etwas geringere Schätzunsicherheit- Offline-Auswertung
S&H-Rekonstruktion und regelmäßige Abtastung
- Korrektur des Datenratenfilters- Verarbeitung großer Blöcke durch Kürzen
der Korrelationsfunktion- Verwendung schneller Algorithmen (FFT)- kommerzielle Nutzung
unregelmäßig abgetasteter Datensatz
Zeitskalen
- Taylor-Zeitmaß- integrales Zeitmaß
Leistungsdichtespektrum
- Continuous Fourier Transform- Variable Windowing
Räumliche Korrelationsfunktion
- Zeit-Raum-Transformationen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 33
Unregelmäßige Abtastung
, hohe zeitliche Auflösung durch kurze Abtastintervalle, geringes Datenvolumen durch lange Abtastintervalle, sehr effizient, Bestimmung statistischer Kennwerte und -funktionen
möglich
Interessante Eigenschaftenauch für andere Anwendungen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 45
Stochastic Sampling
hohe Frequenzen niedrige Frequenzen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 46
Stochastic Sampling
Rekonstruktion stat. Eigenschaften
Prozess / Signal
Abtastung
hohe Frequenzen niedrige Frequenzen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 47
AbtastschemaPoisson-Prozess Mindestabstände max. Abstände Jitter
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 48
Abtastschema
20µm
Paul R. Martin, Ulrike Grünert, Tricia L. Chan, and Keely Bumsted: Spatial orderin short-wavelength-sensitive cone photoreceptors: a comparative study of the primate retina. JOSA A, Vol. 17, Issue 3, pp. 557-567
menschl. Retinablaue Zapfen
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 49
Anwendungen
, Computer Graphics (Anti Aliasing, Motion Blur, Tiefenschärfe), Punktraster (Informationsgewinnung, Visualisierung), Suchalgorithmen, Tomographie, Signal- und Bildrekonstruktion, Signal- und Systemidentifikation, Bilddatenkompression, Wetter- und Klimavorhersagen, Populationsuntersuchungen, Höchstfrequenztechnik, Astronomie
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 52
Empfänger
Laser
Strahl-teiler
Sende-linse
Interferenzfeld
Streuteilchen
Signal-burst
LDA-Beschleunigungsmessung
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 53
Anforderungen
, Hohe Genauigkeit der momentanen Teilchengeschwindigkeit
, Akurate Justage der Optik (Streifensystem)
, Hohes Signal-Rausch-Verhältnis
, Durchflugzeit
, Mittenfrequenz
, Teilchengeschwindigkeit
, Momentanfrequenz
, Relative Frequenzänderung
100µm
v=10 ms
a=2000 ms2
6 x=2.5µm10µs
4MHz
9.99210.01 ms
3.99624.004MHz
6 ff
=0.1%
H. Nobach: Stochastic Sampling als Messprinzip 54
Methoden
, Kurzzeit-FFT, komplexe FFT (direkte Methode), Wavelet, Modellanpassung (LMS), Modellanpassung (Korrelation)