Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem

Das FVS-Problem Markovsche FVS-Algorithmen Ergebnisse

Auf Markovketten basierende Heuristiken für dasFeedback-Vertex-Set-Problem

Mile Lemaić

Institut für InformatikUniversität zu Köln

20.01.2010

Gliederung

1 Das FVS-Problem

Gliederung

1 Das FVS-Problem

2 Markovsche FVS-Algorithmen

Gliederung

1 Das FVS-Problem

3 Ergebnisse

Gliederung

1 Das FVS-Problem

3 Ergebnisse

NotationInverser Digraph

• Sei G = (V ,A) ein Digraph

G G−1

• Sei G = (V ,A) ein Digraph• Dann bezeichnet G−1 den inversen Digraph von G

DefinitionenFeedback-Vertex-Set

Definition

DefinitionSei G = (V ,A) ein Digraph.

• G heißt azyklisch, falls er keine Kreise enthält

• G heißt azyklisch, falls er keine Kreise enthält• F ⊂ V ist ein Feedback-Vertex-Set (FVS) von G ,

falls G − F ayklisch ist

falls G − F ayklisch ist• Ein FVS minimaler Kardinalität heißt optimal

Das FVS-ProblemÜberblick

FVS-Problem

Eingabe: Digraph G = (V ,A)Ausgabe: Optimales FVS F

FVS-Problem

• FVS-Problem ist NP hart [Karp, 1972]

FVS-Problem

• FVS-Problem ist NP hart [Karp, 1972]• Es gibt polynomiell lösbare Klassen

• completely contractible graphs [Levy/Low, 1988]• Smith-Walford reducible graphs [Wang et al, 1985]• . . .

FVS-Problem

• FVS-Problem ist NP hart [Karp, 1972]• Es gibt polynomiell lösbare Klassen

• completely contractible graphs [Levy/Low, 1988]• Smith-Walford reducible graphs [Wang et al, 1985]• . . .

• Bester Approximationsalgorithmus hat Güte vonO(log |V | log log |V |) [Even et al, 1998]

Anwendung: Programmverifikation nach FloydBeispiel: Ganzzahlige Division mit Rest

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

• Stelle Programm alsFlowchart dar

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

• Wähle Cutpoints

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

• zerlegen Programmin azyklischeTeilstrukturen

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

• representieren Pro-grammspezifikationen

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

• Zeige Kosistenz derSpezifikationen aufTeilstrukturen

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

• Zeige Kosistenz derSpezifikationen aufTeilstrukturen

• Zeige Korrektheit desgesamten Programmsmittels induktiverArgumente

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

Dann gilt: Falls das Programmtertminiert, so arbeitet esformal korrekt.

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

Spezifikationen:

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

Spezifikationen:◦ a ≥ 0 ∧ b > 0

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

◦ a = bq + r ∧ q ≥ 0 ∧ 0 ≤ r < b

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

◦ a = bq + r ∧ q ≥ 0 ∧ 0 ≤ r < b

◦ ay = bq + ry

Eingabe: a, b

Ausgabe: q, r

y := 1q := 0r := a

b := 2by := 2y

r := r-bq := q+y

b := b/2y := y/2

r > bNein

r ≥ bNein

y = 1Nein

◦ a = bq + r ∧ q ≥ 0 ∧ 0 ≤ r < b

◦ ay = bq + ry

◦ · · ·

Das FVS-ProblemHeuristiken für die Knotenwahl

Heuristiken:

Heuristiken:1 [Lee/Reddy, 1990]: Wähle Knoten mit maximalem Produkt

(bzw. Summe) von Eingangs- und Ausgangsgrad

(bzw. Summe) von Eingangs- und Ausgangsgrad2 [Lin/Jou, 1999]: Wähle Knoten mit maximaler Summe von

Eingangs- und Ausgangsgrad sowie Anzahl von Länge-2-Wegen

(bzw. Summe) von Eingangs- und Ausgangsgrad2 [Lin/Jou, 1999]: Wähle Knoten mit maximaler Summe von

Eingangs- und Ausgangsgrad sowie Anzahl von Länge-2-Wegen

Problem bei 1 und 2 : Auswahlkriterien sind lokal,aber Kreise sind global

Gliederung

1 Das FVS-Problem

3 Ergebnisse

MarkovkettenDefinitionen

• Eine Markovkette

• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 35 0 2

5 00 0 1 0 027 0 0 1

0 0 0 0 10 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

• Eine Markovkette• ist ein Digraph M = (V , A) mit V = {v1, . . . , vn}• versehen mit stochastischer Matrix P = (pij ), so dass

pij �= 0 ⇐⇒ (vi , vj ) ∈ A

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 35 0 2

5 00 0 1 0 027 0 0 1

0 0 0 0 10 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

pij �= 0 ⇐⇒ (vi , vj ) ∈ A• P heißt Übergangsmatrix von M

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 35 0 2

5 00 0 1 0 027 0 0 1

0 0 0 0 10 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

• Eine Markovkette heißt Random Walk,

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 12 0 1

2 00 0 1 0 013 0 0 1

0 0 0 0 10 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

• Eine Markovkette heißt Random Walk,falls je zwei positive Zeilenelemente pij , pik von P gleich sind

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 12 0 1

2 00 0 1 0 013 0 0 1

0 0 0 0 10 1 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

• Eine Markovkette heißt Random Walk,falls je zwei positive Zeilenelemente pij , pik von P gleich sind

• Jeder Digraph G = (V , A) induziert eindeut. Random Walk MG

MarkovkettenStationäre Verteilung

M = (V ,A) Markovkette mit V = {v1, . . . , vn} undÜbergangsmatrix P

Ist M stark zusammenhängend, so

Ist M stark zusammenhängend, so• existiert eindeutiger Spaltenvektor π = (πi ), so dass

tπ · P = tπ undn∑

i=1πi = 1

• π heißt stationäre Verteilung von M

i=1πi = 1

• π heißt stationäre Verteilung von M• 1

πiist mittlere Rückkehrzeit zum Knoten vi

Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus (MFVS)

Bestimme kleines FVS F von G = (V ,A) mit V = {v1, . . . , vn}

MFVS Algorithmus [Speckenmeyer, 1989]

• Konstruiere Random Walk MG

• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG

• Konstruiere Random Walk MG• Berechne stationäre Verteilung π = (πi ) von MG• Wähle Knoten vi mit kleinster mittlerer Rückkehrzeit 1

Beispiel zu MFVS

• Berechne stationäre Verteilung

Beispiel zu MFVS

• Berechne stationäre Verteilung• Wähle Knoten mit

kleinster mittlerer Rückkehrzeit

Beispiel zu MFVS

kleinster mittlerer Rückkehrzeit

Beispiel zu MFVS

kleinster mittlerer Rückkehrzeit• Restgraph vollständig reduzierbar

Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Kernidee

Versuche suboptimale Entscheidungen von MFVS zu vermeiden

• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte

• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte• Schlagen beide Heuristiken gleichen Knoten vor, so wähle ihn

• Konzipiere alternative unabhängige Heuristik gleicher Güte• Schlagen beide Heuristiken gleichen Knoten vor, so wähle ihn• Falls nicht, dann . . .

Beobachtung: F FVS von G ⇐⇒ F FVS von G−1

Alternative Heuristik: Wende Heuristik von MFVS auf G−1 an

Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Tie-Break

Welchen Knoten wählen,wenn beide Heuristiken verschiedene Knoten vorschlagen?

• Berechne stationäre Verteilungen π und π′

der Random Walks MG und MG−1

• Definiere π̃ = (π̃i) durchπ̃i := h(πi , π

′i ) mit Heuristik h : R

2 → R

• Wähle Knoten vi mit kleinstem 1eπi

2 → R

Wahl v h:

2 → R

Wahl v h:• muss symmetrisch sein

2 → R

Wahl v h:• muss symmetrisch sein• Kandidaten: arithm. Mittel, geom. Mittel, Maximum, . . .

2 → R

Wahl v h:• muss symmetrisch sein• Kandidaten: arithm. Mittel, geom. Mittel, Maximum, . . .• Bestes: arithmetrisches Mittel, d.h. h(x , y) = 1

2(x + y)

2 → R

Wahl v h:• muss symmetrisch sein• Kandidaten: arithm. Mittel, geom. Mittel, Maximum, . . .• Bestes: arithmetrisches Mittel, d.h. h(x , y) = 1

2(x + y)

Resultierender Algorithmus: MFVSMean

Der gemittelte MFVS (MFVSMean)Beispiel

Beispiel zu MFVSMean

• Berechne stat. Verteilung von MG

G−1• Berechne stat. Verteilung von MG

• Konstruiere inversen Digraphen G−1

• Berechne stat. Verteilung von MG−1

• Mittele stat. Verteilungen

• Mittele stat. Verteilungen• Wähle Knoten

MarkovSearchKernidee

Bestimme kleines FVS F des Digraphen G = (V ,A)

• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F

• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d

• Generiere Nachfolger-FVS F ′ eines gegebenen FVSs F• Steuere Generierung durch Schrittweite d• Schrittweite von F nach F ′: |F \ F ′|

Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F

Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G

Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F

Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X

Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X• Digraph G ′ := G − F1 ist zyklisch

Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X• Digraph G ′ := G − F1 ist zyklisch• Bestimme FVS F2 von G ′ mittels MFVSMean

Konstruktion eines Nachfolger-FVSs F ′ von F• Eingabe: FVS F von Digraph G• Wähle zufällige d -elementige Menge X ⊂ F• Setze F1 := F \ X• Digraph G ′ := G − F1 ist zyklisch• Bestimme FVS F2 von G ′ mittels MFVSMean• Ausgabe: F ′ := F1 ∪ F2

MarkovSearchAlgorithmus

MarkovSearch Algorithmus

MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G

MarkovSearch Algorithmus• Eingabe: Digraph G• Bestimme FVS F0 von G mittels MFVSMean

• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu

• Füge F0 zu Prioritätswarteschlange Q hinzu• Iteriere t mal:

• Extrahiere FVS F kleinster Kardinalität aus Q• Generiere Nachfolger-FVSs F1, . . . , Fk von F (Schrittweite d)• Füge F1, . . . , Fk zu Q hinzu

• Ausgabe: kleinstes generiertes FVS

Parameter von MarkovSearch:

Parameter von MarkovSearch:• Anzahl der Iterationen t

Parameter von MarkovSearch:• Anzahl der Iterationen t• Anzahl der Nachfolger-FVSs k

Parameter von MarkovSearch:• Anzahl der Iterationen t• Anzahl der Nachfolger-FVSs k• Schrittweite d

MarkovSearchOptimale Schrittweite

Was ist die optimale Schrittweite d?

• Eindeutiger optimaler Wert existiert

• Eindeutiger optimaler Wert existiert• Schwer zu quantifizieren

• Eindeutiger optimaler Wert existiert• Schwer zu quantifizieren• Hängt von der Eingabe-Instanz ab

MarkovSearchVariierende Schrittweite

0 30 60 90 120 150180

Schrittweite

100 Iterationen500 Iterationen

FVS-Größe in Abhängigkeit vonSchrittweite d für 100 Zufallsdigraphen(p = 0.05) mit 300 Knoten.

0 50 100 150 200 250457

ßeSchrittweite

100 Iterationen500 Iterationen

FVS-Größe in Abhängigkeit vonSchrittweite d für 100 Zufallsdigraphen(p = 0.2) mit 500 Knoten.

Markovsche FVS-AlgorithmenImplementierung und Laufzeit

• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt

• Jeder Knoten vom FVS F wird von Markov-Heuristik gewählt• Dazu muss Eigenvektor π = (πi ) der Übergangsmatrix P

berechnet werden:tπ · P = tπ mit

n∑i=1

πi = 1

n∑i=1

πi = 1

Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)

n∑i=1

πi = 1

Laufzeit mit direkter Methode: O(|V |2.376|F |)Iterative Methode:

n∑i=1

πi = 1

• Ist P irreduzibel und aperiodisch, so gilt:limn→∞ Pn = e tπ, wobei e = t (

1 · · · 1)

n∑i=1

πi = 1

1 · · · 1)

=⇒ limn→∞ txPn = tπ, für jeden Vektor x mit txe = 1

n∑i=1

πi = 1

1 · · · 1)

=⇒ limn→∞ txPn = tπ, für jeden Vektor x mit txe = 1• Bekannt: Für n > d

− log |λ| stimmen txPn und tπ auf ersten dStellen überein (λ subdominanter Eigenwert von P)

n∑i=1

πi = 1

1 · · · 1)

=⇒ limn→∞ txPn = tπ, für jeden Vektor x mit txe = 1• Bekannt: Für n > d

− log |λ| stimmen txPn und tπ auf ersten dStellen überein (λ subdominanter Eigenwert von P)

Laufzeit mit iterativer Methode: O(|A||F | d− ln |λ|)

n∑i=1

πi = 1

• Rechengenauigkeit üblicherweise beschränkt

n∑i=1

πi = 1

• Rechengenauigkeit üblicherweise beschränkt• Stellenzahl d kann als konstant angenommen werden

n∑i=1

πi = 1

• Rechengenauigkeit üblicherweise beschränkt• Stellenzahl d kann als konstant angenommen werden

Laufzeit mit iterativer Methode: O(|A||F | 1− ln |λ|)

Gliederung

1 Das FVS-Problem

3 Ergebnisse

Betrachtete Algorithmen

MFVS: Speckenmeyers ursprünglicher Algorithmus

MFVS: Speckenmeyers ursprünglicher AlgorithmusMFVSMean: Gemittelte Version von MFVS

MarkovSearch: Markovsche lokale Suchfunktion• führt 100 Iterationen aus• generiert jeweils 2 Nachfolger-FVSs

Simple: Wählt Knoten v ∈ V des Graphen G = (V ,A) mitmaximalem Produkt∑

v∈N−(v)

d−(v) · ∑v∈N+(v)

Simple: Wählt Knoten v ∈ V des Graphen G = (V ,A) mitmaximalem Produkt∑

v∈N−(v)

d−(v) · ∑v∈N+(v)

GRASP: Multistart-Algorithmus von Resende et al• generiert 2048 FVSs• wird derzeit als bester Algorithmus angesehen

Deterministische Algorithmen

0.05 0.10 0.15 0.20

XXX MFVSMean

XXX MFVSXXX Simple

FVS-Größe für 100 Zufallsdigraphenmit 500 Knoten in Abhängigkeit vonDichte p.

3 5 7 9

XXX MFVSMean

XXX MFVSXXX Simple

FVS-Größe für 100 reguläre Digraphenmit 500 Knoten in Abhängigkeit vomRang k .

Randomisierte Algorithmem I

0.05 0.10 0.15 0.20

XXX MarkovSearchXXX GRASP

FVS-Größe für 100 Zufallsdigraphenmit 300 Knoten in Abhängigkeit vonDichte p.

100000

150000

200000

250000

300000

0.05 0.10 0.15 0.20

Laufzeit in Sekunden.

Randomisierte Algorithmem II

120130140150160170180190200210220230240

4 6 8 10

FVS-Größe für 100 reguläre Digraphenmit 400 Knoten in Abhängigkeit vomRang k .

4 6 8 10

Laufzeit in Sekunden.

MFVSMean vs. GRASP vs. MarkovSearch

Resende Digraphen:

• 40 Digraphen

Resende Digraphen:

• 40 Digraphen• verschiedene Größen (50—1000 Knoten)

Resende Digraphen:

• 40 Digraphen• verschiedene Größen (50—1000 Knoten)• verschiedene Dichten

Resende Digraphen:

Optimum MFVSMean GRASP MarkovSearchFVS-Größe ≤ 6576 6964 6941 6749Laufzeit (Sek.) 193 41626 733

Resende Digraphen:

Optimum MFVSMean GRASP MarkovSearchFVS-Größe ≤ 6576 6964 6941 6749Laufzeit (Sek.) 193 41626 733

Weitere Informationen: M. Lemaić, E. Speckenmeyer.Markov-Chain-Based Heuristics for the Minimum FeedbackVertex Set Problem,zaik2010-596, http://www.zaik.uni-koeln.de, 2010

Zusammenfassung

• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch

Zusammenfassung

• Neue Markovsche Algorithmen: MFVSMean, MarkovSearch• erzielen gute Resultate

Zusammenfassung

• MFVSMean

• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS

Zusammenfassung

• MFVSMean

• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS• übertrifft bekannte deterministische Algorithmen

Zusammenfassung

• MFVSMean

• ist eine signifikante Verbesserung gegenüber MFVS• übertrifft bekannte deterministische Algorithmen• nur marginal schlechter als GRASP

Zusammenfassung

• MFVSMean

• MarkovSearch• übertrifft GRASP in puncto FVS-Größe als auch Laufzeit

Zusammenfassung

• MFVSMean

• MarkovSearch• übertrifft GRASP in puncto FVS-Größe als auch Laufzeit• derzeit bester Algorithmus für FVS-Problem

• Markovketten sehr gut geeignet für FVS-Problem

Vielen Dank!

Techtalk: Auf Markovketten basierende Heuristiken für das Feedback-Vertex-Set-Problem

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