Post on 05-Apr-2015
Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Anwendungen des Operations Research (ANDOR)
Institutsleitung: Prof. Dr. Gerald Hammer
Dreidimensionale orthogonale Packungsprobleme Eine Übersicht über Ausprägungen und Lösungsmöglichkeiten
Seminararbeit vom 16.02.2004 im WS 2003/04
Betreuung: Dipl.-Math. Peer Giemsch
01.06.2004
Thilo Böltink
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
2
zahlreiche Praxisanwendungen:
Beladen von LKWs, Kommissionierpaletten, Containern sowie Verschnitt-, Layout- oder Kapitalanlegeprobleme, Laufzeitaufteilung auf Prozessoren, Werbeblockverteilung
gleiche logische Struktur von Packungsproblemen und Zuschnittproblemen: Dualität von Materie und Raum:
"Cutting and Packing" (C&P)
Praxisbedeutung dreidimensionaler Packungsprobleme:
Bedeutungsanstieg der Logistik in den letzten Jahren
meist dreidimensionale Objekte
Dennoch: Wissenschaft seit 80er Jahren kontinuierlich nur kleine Anzahl von Arbeiten
wettbewerbsrelevanten Bedeutung
Komplexität des Problems
Verbesserungen bestehender Verfahren schwierig
Einleitung: Packungsprobleme
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
3
Überblick über dreidimensionale orthogonale Packungsprobleme
Struktur der Packungsprobleme und ihre verschiedenen Typen transparent machen
Einordnung der in der Literatur sehr uneinheitlich notierten Probleme
gegenwärtiger Stand der zugehörigen Lösungsverfahren
schneller Einstieg in das Gebiet
als Ausgangspunkt zu einer vervollständigenden Literaturrecherche
Zusammenfassungen von ausgewählten Papers, um Relevanz für eigene Forschungszwecke zu überprüfen.
Stand der Forschung und Trends
exemplarisch Heuristik von Gehring/Menschner/Meyer (1990) ausführlich und strukturiert
Die Arbeit stellt den - meines Wissens nach - bisher einzigen Überblick dieser Art in deutscher Sprache dar.
Ziel dieser Arbeit
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
4
Einleitung
Problemausprägungen Merkmale nach Dyckhoff
Die 4-Feld Klassifizierung von Dyckhoff
Die 4-Grundtypen Klassifizierung von Dyckhoff
Problem- und Problemklassendefinition für diese Arbeit
Lösungsansätze Exakte Algorithmen (2)
KS3, PL3, BP3, SP3
Heuristiken (12)
Wall-Building, Column-Building und Layer-Approach
KS3, PL3, BP3, SP3
Das Verfahren von Gehring/Menschner/Meyer
Fazit, Fragen und Diskussion
Inhaltsübersicht
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
5
Packungsproblem: Anordnung kleinerer Objekte innerhalb eines oder mehrerer größerer Objekte
Vielzahl verschiedenartiger Probleme und Bezeichnungen, deren Gemeinsamkeit diese grundsätzliche Struktur ist.
unterscheiden sie sich aber auf einer detaillierteren Ebene in ihren Ausprägungen deutlich voneinander
Merkmale deren Ausprägungen das jeweilige Problem charakterisieren
Probleme mit hinreichend gleichen Ausprägungen können dann zu einer Problemklasse zusammengefasst werden.
Zuordnung einer Lösungsmethodik für alle Probleme der Klasse
Literatur: am meisten Beachtung und Anwendung findende Klassifizierungen: Arbeiten von Dyckhoff (1990, 1992)
Problemausprägungen
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
6
Logische Grundstruktur nach Dyckhoff (a) Es existieren zwei Gruppen von Objekten, die als
geometrische Körper bestimmten Ausmaßes in einem endlich dimensionalen Raum realer Zahlen dargestellt werden:
- ein bestimmter Vorrat an kleinen Objekten
- ein bestimmter Vorrat an großen Objekten
(b) Zwei Aufgaben sind zu bewerkstelligen:
(b1) Jedem großen Objekt muss eine ausgewählte (evtl. leere) Menge von kleinen Objekten zugeordnet werden
(kombinatorische Grundvoraussetzung).
(b2) In jedem großen Objekt müssen diese kleinen Objekte so angeordnet werden, dass sie nicht überlappen und in dieses Objekt passen. Das verbleibende Residuum heißt Leerraum (geometrische Grundvoraussetzung).
Charakterisierung großer und kleiner Objekte sowie deren geometrische Kombination
Merkmale
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
7
i) Geometrische Merkmale sind: - Dimension
- Gestalt
-
Packmusterrestriktionen
ii) kombinatorische Merkmale sind: - Art des Mengenmaßes
- Auswahl an Gestalten
- Vorrat an Objekten
-
Packmusterrestriktionen -
Zuordnungsrestriktionen
iii) weitere Merkmale sind: - Zielfunktion (en)
- Stand der Information
Arten von Merkmalen (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
8
(1) Dimension:
Minimale Anzahl an Dimensionen, um die Geometrie der Packmuster zu beschreiben.
nicht notwendigerweise die räumliche Dimension der kleinen bzw. großen Objekte, sondern das Problem, bzw. präziser: das Packmuster.
• eindimensional• zweidimensional• dreidimensional• mehr (n-) dimensional
! Palettenbeladung: 'Dimension 2+1' statt 3,Verschnittprobleme mit Guillotineschnitt: '1+1' statt 2
Merkmale (1) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
9
(2) Art des Mengenmaßes:• diskret (durch Natürliche Zahlen)
Anzahl oder Frequenz von Objekten bestimmter Form
• kontinuierlich (durch Reale Zahlen)
z. B. deren Längen, Gewichte oder Durchmesser
können auch summiert werden und stellen so eine weitere Dimension dar, die mit dem eigentlichen Packmuster nichts zu tun hat.
oft als halbe 'Dimension' dem Problem zugeschlagen
Merkmale (2) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
10
(3) Gestalten:
Die Gestalt eines (kleinen oder großen) Objektes ist eindeutig bestimmt durch seine: Form, Größe und Orientierung
• regelmäßige Formen (insbesondere rechteckige)
• unregelmäßige Formen
Objekte gleicher Form und Größe heißen kongruent.
Objekte gleicher Form, Größe und Orientierung können als identisch betrachtet werden.
Daher sind kongruente Objekte, denen 'jede Orientierung erlaubt' ist, ebenso nicht zu unterscheiden.
Sind 'nur 90-Grad Drehungen erlaubt', können nur kongruente Objekte bestimmter regelmäßiger Formen,
z. B. rechteckigen, als identisch bezeichnet werden.
Falls die 'Orientierung festgelegt' (und nicht vorab gleich) ist, sind kongruente Objekte unterschiedlicher Gestalt.
Merkmale (3) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
11
(4) Auswahl an Gestalten:
nicht mehr die verschiedenen prinzipiell möglichen Gestalten, sondern das tatsächliche Auftreten verschiedener Gestalten im Vorrat der zu verwendenden Objekte.
• heterogene Auswahl: sehr viele verschiedene Gestalten
• schwach heterogene Auswahl: es lassen sich einige Gruppen identischer bilden
• homogene Auswahl: alle Objekte kongruent oder gar identisch
wichtige Spezialfälle
Merkmale (4) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
12
(5) Vorrat an Objekten:
charakterisiert durch deren Menge, Reihenfolge und Zeitpunkt.
bereitstehende Menge: unendlich oder begrenzt
- große obere Schranke wirkt wie ein unendlicher Vorrat,
- größten gegenteiligen (begrenzenden) Effekt hat der Vorrat nur eines Objektes
Vorschreiben einer Reihenfolge, nach der die Objekte verwendet werden sollen. (Beziehung zwischen den Objekten:
partielle oder vollständige Ordnung)
Festlegung, zu welchem Zeitpunkt das betreffende Objekt verwendet werden muss.
Merkmale (5) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
13
(6) Packmusterrestriktionen:
Restriktionen der geometrischen Anordnung der kleinen innerhalb der großen Objekte zusätzlich zu den Basisbedingungen (vgl. (b2))
• Abstandsrestriktionen• Orientierungsrestriktionen• Häufigkeitsrestriktionen• Anordnungsrestriktionen (bzgl. des großen Objektes)
zulässige Lage oder Anzahl der Objektgrenzen bzw. Kanten oder Schnitte zu denen des großen Objektes
rechteckige Objekte: orthogonale und nicht-orthogonale Packmuster.
orthogonale: kleine Objekte immer parallel zu den Kanten des großen angeordnet, so dass alle Seiten orthogonal.
- Guillotine – Schnitte bzw. Muster Bei rekursiver Anwendung kann die Anzahl der Drehungen beschränkt sein (Stufen).
- vernestelte Muster
Merkmale (6) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
14
(7) Zuordnungsrestriktionen:
Vor Anordnung in (6) ist Zuordnung von kleinem zu großem nötig, bzw. jedem großen Objekt muss eine ausgewählte (evtl. leere) Menge von kleinen (vgl. (b1)) zugeordnet werden. Restriktionen:
Art der ZuordnungTyp I: alle kleinen und großen Objekte (reine
Layoutprobleme)Typ II: alle großen, Auswahl an kleinen ('Beladeprobleme')Typ III: Auswahl an großen, alle kleinen ('Verladeprobleme')
Typ IV: Auswahl an großen und kleinen ('Ladeprobleme') Anzahl an Zuordnungsstufen Anzahl, Häufigkeit oder Reihenfolge von Mustern
Effizienz der Packeinrichtung oder Kundenpackung Dynamik der Zuordnung
• statisch (off-line und on-line Probleme)• dynamisch (verschiedene Aus- und Umladezeitpunkte/-
abschnitte)
Merkmale (7) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
15
(8) Zielfunktionen(en):
Operationale Subziele i. d. R. konfliktionär und schwierig in einem Modell integrierbar.
meist Auswahl des wichtigsten Ziels und übrigen Satisfaktionsniveau durch Nebenbedingung
Bsp.: Minimierung der Anzahl großer Objekte Minimierung des Leerraums Minimierung des Materialverbrauchs /-kosten Maximierung des Packvolumens /- wertes kleiner Objekte
außerdem denkbar: Zielfunktionen, welche Geometrie der Muster (Layout Optimierung) oder deren Häufigkeit, Reihenfolge oder Kombination optimieren
Merkmale (8) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
16
(9) Stand der Information:
Problemrelevanten Daten:
• deterministisch, stochastisch oder unsicher
- meist aufgrund des kurzen Planungshorizontes deterministisch
- aber auch Fälle mit stochastischen Schwankungen (z. B. produktionsbedingte Größenvarianz bei Metallplatten)
aus einigen der Merkmale Typen jeweils gleicher Ausprägung bilden
besondere Priorität: möglichst eindeutige Zuordnung von Lösungsmethoden zu Typen
Typen auch durch Lösungsmethodik charakterisiert!
Dyckhoff: Zwei verschiedene Klassifizierungen dieser Art
Merkmale (9) (Dyckhoff)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
17
sinnvolle Systematisierung steht im Mittelpunkt
identifiziert vier Merkmale als besonders wichtig und verwendet sie daher typdefinierend:
1. Dimension ()2. Art der Zuordnung () 3. Auswahl an Gestalten der großen Objekte () 4. Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte ()
Durch Kombination der Ausprägungen dieser Merkmale erhält man 4234 = 96 verschiedene Typen.
Notation übersichtlich als Tupel der Form / / /
Dyckhoff ordnet der neuen Notation die Problembezeichnungen aus der Literatur zu.
4-Feld Klassifizierung (Dyckhoff 1990)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
18
1. Dimension ():(1) Eindimensional (2) Zweidimensional (3) Dreidimensional (N) N-dimensional
2. Art der Zuordnung (): (B) alle großen Objekte, Auswahl an kleinen ('Beladeproblem' / Typ II)
(V) Auswahl an großen Objekten, alle kleinen ('Verladeprobleme' /Typ III)
3. Auswahl an Gestalten der großen Objekte (): (O) Ein Objekt (one) (I) Identische Gestalten (identical) (homogen) (D) Verschiedene Gestalten (different) (heterogen)
4. Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte (): (F) wenige Objekte ('few') verschiedener Gestalt (heterogen)(M) viele Objekte ('many') vieler verschiedener Gestalten (heterogen) (R) viele Objekte relativ ('relatively') weniger versch. Gest. (schwach heterogen)(C) Kongruente ('congruent') Gestalten (homogen)
Notation: / / /
4-Feld Klassifizierung (Dyckhoff 1990)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
19
Beispiel : 1 / V / I / M
klassische Bin-Packing Problem
zugehörig zu diesem Typ bspw. auch Prozessorlaufzeitaufteilungs-, Maschinenbelegungs- und Speicherallokationsprobleme, eindimensionale Vehicle-Loading Problem, klassisches Cutting-Stock Problem unterscheidet sich nur im letzten Merkmal (=R).
1 / B / O / klassisches Knapsack Problem
2 / B / O / C Palettenbeladungsproblem
3 / B / O / Containerbeladungsproblem
n / B / O / z. B. Mehrperiodige Budgetierungprobleme
4-Feld Klassifizierung (Dyckhoff 1990)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
20
Verdichtung zu wenigen bekannten Typen
bessere Übersicht
mehr als 300 Werke der Literatur werden diesen 4 Grundtypen bzw. 26 Spezialtypen zugeordnet
zunächst nur Kombination der zwei wichtigsten Merkmale:
1. Art der Zuordnung • Typ II: alle großen Objekte, Auswahl an kleinen O. ('Beladeproblem') • Typ III: Auswahl an großen Objekten, alle kleinen O. ('Verladeproblem') • Typ IV:Auswahl an großen und kleinen Objekten ('Ladeproblem')
2. Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte• homogen • heterogen
- wenige Objekte je Gestalt (heterogen)- viele Objekte je Gestalt (schwach heterogen)
Vier Grundtypen:
4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
21
4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992)
Abb. 1: Die vier Grundtypen, kombiniert aus 'Art der Zuordnung' und 'Auswahl an Gestalten der kleinen Objekte'
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
22
Bin-Packing Typ (BP): Typ III oder IV, heterogen
Cutting-Stock Typ (CS): Typ III oder IV, schwach heterogen
Knapsack Typ (KS): Typ II, schwach heterogen oder heterogen
Pallet-Loading Typ (PL): Typ II, homogen
weiter differenziert nach:
3. Dimension: (1) Eindimensional (2) Zweidimensional
(3) Dreidimensional
zwölf Grundtypen: BP1, BP2, BP3, CS1, CS2, CS3, KS1, KS2, KS3, PL1, PL2 und PL3
4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
23
V. a. bei BP1, KS1 und KS2, PL2 sowie die dreidimensionalen Typen weitgehende Einheitlichkeit in der Literatur
Standardtypen
Im Sinne der hier verwendeten Klassifizierung sind diese Standardtypen Spezialfälle der Grundtypen mit weiteren Standardeigenschaften.
BP2, CS1 und CS2 werden durch verschiedene Ausprägungen weiterer Merkmale zu insgesamt 16 Spezialtypen differenziert.
Typenhierarchie:
4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
24
4-Grundtypen Klassifizierung (Dyckhoff 1992)
Abb. 2: Typenhierarchie für Packungsprobleme
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
25
Dreidimensionale Probleme: Problemstellung, bzw. Geometrie der Packmuster muss durch mindestens drei Dimensionen beschrieben werden.
! Dreidimensionales Problem Dreidimensionale Objekte
Orthogonale Probleme: Anordnungsrestriktion: parallele Lage der Objektgrenzen bzw. Kanten oder Schnitte zu denen des großen Objektes !
Gestalt der Objekte nur regelmäßige und insbesondere rechteckige Formen !
'kleine Objekte' : 'Kiste'
'große Objekte' : 'Container'
Zuordnung: Off-line
Dreidimensionale orthogonale Packungsprobleme:
Eine gegebene Menge von Kisten wird vollständig oder nur zum Teil orthogonal in eine auswählte Menge bekannter quaderförmi- ger Container gepackt.
- Zielfunktion je nach Problemtyp unterschiedlich
Problemdefinition
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
26
wie in Literatur angeregt:
Ähnlichkeit bzgl. logischer Struktur von Knapsack-, und Pallet-Loading Problemen sowie von Bin Packing, Cutting-Stock und sog. Strip-Packing Problemen:
Knapsack und Bin-Packing Problem als Hauptklassen, übrige (als eigene Klassen bestehen bleibend) untergeordnet
Ähnlichkeit anhand 4-Feld Notation sehr transparent
Kritik: Notation keine ausreichende Unterscheidungsmöglichkeiten (z. B. Strip-Packing Probleme nicht problemlos ausweisbar)
Strip- Packing Probleme als eigene (Unter-)klasse von Bin-Packing Problemen
Unterklassen explizit aufzuführen:
bessere Transparenz und Übersicht
trotz ähnlicher Merkmale große Unterschiede zu Hauptklassen bzgl. Komplexität und Lösungsmethodik
folgende Problemklassifizierung:
Problemklassifizierung
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
27
Knapsack (i.w. S.): KS3 bzw. 3 / B / / , oft 3 / B / O /
Knapsack (i. e. S.): KS3 bzw. 3 / B / / {M, R, F},oft 3 / B / O / {M, R, F}
Aus einer mehr oder weniger heterogenen Menge an Kisten wird eine Auswahl in alle, in begrenzter Anzahl zur Verfügung stehenden, Container gepackt.
Der Wert der eingepackten Kisten soll hierbei maximiert werden. Oft wird der Wert durch die Kistengröße repräsentiert, so dass der oder die Container möglichst voll gepackt werden sollen und möglichst wenig Leerraum bleibt
Pallet-Loading: PL3 bzw. 3 / B / O / C und 2 / B / O / C
Homogene (kongruente oder identische) Kisten werden in einen Container gepackt. Es werden so viele Kisten wie möglich eingepackt.
Da die Kisten homogen sind reduziert sich das geometrische Problem auf zwei Dimensionen, wenn aus den (bei gleicher Orientierung gleich hohen Kisten) identische Schichten gebildet werden, die aufeinander geschichtet werden bis eine gewünschte Packhöhe erreicht ist. Ein möglichst gutes Packmuster aus den Grundflächen der Kisten reicht dann als Lösung aus. Werden die Kisten auch in die anderen beiden Orientierungen gekippt, muss jeweils eine Lösung hierfür gefunden werden und es können dann die drei verschiedenen Schichten in beliebiger Reihenfolge geschichtet werden, um die Höhe günstig auszunutzen. Prinzipiell kann auch mehr als eine Palette vorliegen. Da diese aber auch homogen sind, ist die Lösung für den Fall einer Palette für alle anderen gleichermaßen gültig.
Pallet-Loading Probleme können als spezielle Knapsack Probleme mit homogenen Kisten und Containern (die daher als einer angesehen werden) betrachtet werden.
Problemklassifizierung
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
28
Bin-Packing: BP3 bzw. 3 / V / I / und 3 / V / D /
Heterogene Kisten werden i. d. R. vollständig (V, Typ III) in einer Auswahl mehrerer Container verpackt.
Dabei sollen die Kisten in möglichst wenige Container verpackt werden, d.h. die Anzahl an Containern wird minimiert. Sind die Container verschiedenartig (heterogen), so werden ihnen Kosten proportional zum jeweiligen Volumen zugeordnet und dann die Gesamtkosten bzw. das benötigte Gesamtvolumen minimiert.
Cutting-Stock: CS3 bzw. 3 / V / I / RKisten weniger verschiedener Typen (Gestalten) (schwach heterogen) werden i. d. R. vollständig (V, Typ III) in einer Auswahl mehrerer identischer Container verpackt.Cutting-Stock Probleme: spezielle BP Probleme (mit einer weniger heterogenen
Auswahl an verschiedenen Kistentypen und identischen Containern) Reduktion der Komplexität gegenüber Bin-Packing Problemen
Strip-Packing: SP3 bzw. 3 / V / O Heterogene Kisten werden i. d. R. vollständig (V, Typ III) in genau einen Container
verpackt, dessen dritte Dimension (Höhe i. d. R.) offen und unbeschränkt ist. Dabei sollen die Kisten so verpackt werden, dass diese Dimension bzw. Höhe des Containers minimiert wird.
Strip-Packing Probleme: spezielle BP Probleme mit einem in einer (oft als halbe bezeichneten) Dimension unbeschränkten Container.
Dyckhoff: BP Problem mit einem (unendlichen) Vorrat an Containern gleicher Grundfläche und allen möglichen Höhen, aus dem der (eine) Container mit der minimalen Höhe ausgewählt wird.
SP Probleme werden allerdings algorithmisch anders behandelt als BP Probleme.
Problemklassifizierung
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
29
eine oder die optimale Lösung
Techniken: Lineare ganzzahlige oder binäre Programme, dynamische Programmierung, Suchbaumverfahren (branch-and-bound), Graphen etc.
bereits BP1 und KS1 NP-vollständig
KS3, BP3 und SP3: unmittelbar als NP-vollständig zu identifizieren, da KS1 und BP1 als Teilprobleme enthalten. Zusätzlich zu dieser kombinatorischen Komplexität tritt dann die geometrische auf (immense Anzahl räumlicher Anordnungsmöglichkeiten)
theoretisch optimale Lösung, aber praktisch kaum anwendbar, da der Rechenaufwand dabei prohibitiv groß würde.
Selbst modernste Rechner rechnen mehreren Stunden und gelangen im worst case auch dann nicht zu einem Ergebnis.
exakte Methoden kaum praktische Bedeutung (fast immer heuristische Lösungsverfahren), aber von wiss. Interesse (s.
u.)
Zugehörigkeit von PL zu dieser Komplexitätsklasse ist noch ungeklärt, einiges spricht aber dafür, dass PL polynomiell lösbar ist
Lösungsansätze: Exakte Algorithmen
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
30
aktuelle Forschung: Entwicklung effizienterer Verfahren
in Zukunft die Anwendung optimaler Packungen in der Praxis: weitere Optimierungspotentiale in logistischen Prozessen
Packen weniger großer Kisten (Heuristik verringert Güte der Lösung drastisch, Anzahl der Variablen und Rechenaufwand geringer)
moderne Algorithmen zunächst in hybriden Ansätzen einsetzen
(Bsp.: sperrige Objekte mit exakten Verfahren anordnen, später die kleinen mit Heuristik in die Lücken packen)
Verfahren, die Ausgangslösung iterativ bis zur Optimallösung verbessern, bei Erreichen eines gewissen Satisfaktionsniveaus oder nach gewisser Laufzeit abbrechen (wenn sie dabei bessere Ergebnisse als eine Heuristik aufweisen)
Algorithmen, die im Mittel in angemessener Zeit optimale Lösungen liefern einsetzen, auch wenn die Laufzeit im Worst Case nicht polynomiell beschränkt ist (Heuristik als Backup bereithalten)
Gütebeurteilung heuristischer Verfahren nur durch Kenntnis der Optimallösung und somit Obergrenze, ohne diese nur Volumen-nutzungsgrade berechenbar
Exakte Algorithmen: Potenziale
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
31
Literatur sehr überschaubar, in den letzten Jahren einige neue Verfahren
einige prominente Arbeiten: • Mannchen (1989): KS3, BP3 Probleme (-> Seminararbeit)
• Chen/Lee/Shen (1995): BP3 , Anpassung an SP3 (-> Seminararbeit)
Dreidimensionale Bin-Packing Probleme:
... + Martello/Pisinger/ Vigo (1997), Schepers (1997)
Dreidimensionale Strip-Packing Probleme:
Schepers(1997): sind "Veröffentlichungen ... nicht bekannt"
Anpassung des linearen Programms von Chen/Lee/Shen (1995)
Dreidimensionale Knapsack Probleme (KS3):
Mannchen (1989), Schepers (1996), Fekete und Schepers (1997), Schepers (1997), Übersicht: Martello und Toth (1990),
Dreidimensionale Pallet-Loading Probleme:
reduzierbar auf PL2: zahlreiche exakte Verfahren:
Christofides und Whitlock (1977), Beasley (1985), Dowsland (1987), Übersicht: Isermann (1987), Christofides und Hadjiconstantinou (1995) lineare Progr., weitere Quellen: Arnold et al. (2002) und Isermann (1998)
Lösungsansätze: Exakte Algorithmen
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
32
innerhalb angemessener Zeit eine möglichst gute Lösung statt vollständiger (Programme) bzw. unvollständiger (branch-and-bound etc.)
Enumeration aller möglichen Lösungen:
Konstruktion einer zulässigen Lösung anhand einiger Regeln (heuristic rules), die geeignet erscheinen, das angestrebte Ziel möglichst gut zu erreichen
Regeln basieren auf dem gesunden Menschenverstand des Gestalters, Kreativität sind keine Grenzen gesetzt
reduzierte Komplexität und Rechenzeit
Zielerreichungsgrad zu Beginn unbekannt und von der Qualität der gewählten Regeln abhängig
Zielerreichungsgrad müsste prinzipiell an der Optimallösung gemessen werden, kann aber i. d. R. nur mit theoretischen Obergrenzen (z. B. Volumen Container) verglichen werden
seit den 80er Jahren Entwicklung diverser Heuristiken, dennoch Zahl nach wie vor relativ überschaubar
Lösungsansätze: Heuristiken
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
33
Heuristiken gehen unterschiedlich vor, dennoch verschiedene Grundstrategien: drei weit verbreitetsten Ansätze:
• Wall-Building Approach
• Column-Building Approach
• Layer Approach sowie Cuboid-Arrangement Approach
allen gemeinsam: Prinzip, den Container bzw. Stauraum sukzessive in Teilräume zu unterteilen und diese dann möglichst gut zu packen
Gesamtproblem zerlegt in mehrere Teilprobleme,
Komplexität deutlich geringer, weil i. d. R. ein- oder zweidimensionale Probleme
mehrere möglichst gute oder gar optimale Teillösungen, aber i. d. R. kein Gesamtoptimum, sondern nur 'gute' Lösung
geringe Abstriche an der Lösungsqualität, aber deutliche Reduktion der Komplexität und Rechenzeit
in der Praxis einzig effiziente Lösungen
Heuristiken: Ansätze
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
34
vor der Rückwand des Containers Wand aus Kisten
sukzessive neue Wände: Folge von Wänden und vertikalen Schichten
auch heterogene Kisten: Frontseite einer Wand nicht eben
nächste Wand wieder mit ebener Rückseite beginnend gepackt
nicht miteinander verbunden, Permutation möglich (z. B. bessere Gewichtsverteilung) vs:
Leerraumverschmelzung (Amalgamation), Rückwände nicht not- wendig eben, nicht vertauschbar (bessere Volumennutzung)
vertikale Schicht (oft missverständlich: 'layer'): Hilfskonstrukt zur Definition der Teilräume
meist Schichtdefinition durch erste platzierte Box: Konzept der LDB (layer determining box).
Verfahren: George und Robinson (1980), Liu und Chen (1981), Bischoff und Marriott (1990),
Gehring/Menschner/Meyer (1990), Wottawa (1996), Bortfeldt und Gehring (1999),
Pisinger (2002)
Heuristiken: Wall-Building Approach
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
35
Bildung einzelner Säulen (columns) bzw. Stapel (stacks) oder Türme (towers)
Grundfläche und Höhe des Containers gut ausnutzen
Säulen auf dem Boden des Containers möglichst optimal angeordnet
nur noch zweidimensionales Verfahren auf die Grundflächen der Stapel anzuwenden
noch bessere Berücksichtigung von Nebenbedingungen wie Gewichtsverteilung, Packen von Aufträgen eines Kunden in nur einen Stapel oder Entladereihenfolgen als beim Wall-Building Approach
Verfahren: Haessler und Talbot (1990), Bischoff und Ratcliff (1995), Gehring und Bortfeldt (1997)
Heuristiken: Column-Building Approach
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
36
legt auf dem Containerboden beginnend sukzessive horizontale 'layer' (Lage, Schicht) aus Kisten übereinander bis die Containerhöhe keine weitere mehr zulässt.
selten möglich komplette Lage aus nur einem Kistentyp zu bilden
Eine (einschichtige) Teillage oder ein (mehrschichtiger) Block aus einem Kistentyp teilt daher die zu packende Grundfläche und erzeugt neben sich und auf sich neue rechteckige Packflächen
Bildung von Blöcken: "Cuboid-Arrangement Approach" (Blockanordnung)
Da Teillagen oder Blöcke aus einem Kistentyp zu bilden sind, bietet sich der Layer Approach eher bei schwach heterogenen Probleme an
inhärente Stabilität
- separates Handling von einzelnen Aufträgen und zwischenzeitliche Entladungen nur schlecht möglich
Verfahren: Bischoff/Janetz/Ratcliff (1995)
Heuristiken: Layer Approach
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
37
Notation: KS3 bzw. 3 / B / O / {M, R, F}
Verfahren: (Zusammenfassende Darstellung s. Seminararbeit)
• Gehring/Menschner/Meyer (1990) (s. u.)
• Bischoff und Ratcliff (1995) Stab. (s. u.), Mehrfach-Entlade-Situationen
• Bischoff/Janetz/Ratcliff (1995) Distributor's PL, Stabilität der Ladung
• Wottawa (1996) (s. u.)
• Gehring und Bortfeldt (1997) genetischer Algorithmus, Hybridisierungen
• Bortfeldt (1998) MCLP, Auswahlproblem, Kooperation mit Anordnungsheuristik
• Pisinger (2002) Streifenbildung,mit Branch-and-bound Verfahren und Backtracking
Heuristiken für KS3 Probleme
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
38
Notation: PL3 bzw. {3,2} / B / O / C
bei Bildung von Schichten gleicher Kistenorientierung: Einfachheit (Reduktion auf PL2) exaktes Verfahren Volumennutzung relativ effiziente Bestimmung optimaler Packmuster notwendige Eigenstabilität (keine Halt gebenden Seitenwände)
Werden Paletten mit heterogenen Kisten in Schichten beladen:per Definition kein PL3, sondern ein KS3 ('Distributor's
Pallet-Loading Problem')
Daher entsprechen PL Probleme nicht direkt Thema dieser Arbeit.
dennoch wichtig, weil in der Praxis große Bedeutung
Literatur:
• Übersichten: Isermann (1987), Dowsland (1985), Dowsland und Dowsland (1992), Wottawa (1996), Isermann (1998) und Arnold et al. (2002)
• allgemeines PL3 (ohne Schichtenbildung/Reduktion auf PL2): wenig Beachtung: George (1992), Wottawa (1996)
Heuristiken für PL3 Probleme
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
39
Notation: BP3 bzw. 3 / V / I / und 3 / V / D /
Verfahren: (Zusammenfassende Darstellung s. Seminararbeit)
• Liu und Chen (1981) Computersystem-Implementierung, z. T. interaktiv
• Haessler und Talbot (1990) speziell für LKW-Anhänger/Güterwagons
• Sommerweiß (1996) Distributor's PL, Stabilität (Ladung und Kisten, 'height-density-function', Branch-and-bound
• Wottawa (1996) 'Teilfolgen-Heuristik': Kisten mit min. Seitenlängen- diffferenz, Push-Straight-Insert Alg.
(Verbesserung)
• Bortfeldt (1998) (s. o.)
Notation: SP3 bzw. 3 / V / O /
Verfahren: (Zusammenfassende Darstellung s. Seminararbeit)
• George und Robinson (1980) reines Anordnungsverfahren, 'flexible width' 'amalgamation'
• Bischoff und Marriot (1990) Problemabhängigkeit ('domain depen- dency' 'combined heuristics' 'hybride'
Heuristik
• Bortfeldt und Gehring (1999) Tabu-Search, genetischer Algorithmus
Heuristiken für BP3 und SP3 Probleme
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
40
Wie sieht die Anwendung von Heuristiken in der Praxis aus? Welche werden eingesetzt? Wie sehen moderne Heuristiken aus?
präzise feststellen, welche Art von Packungsproblem (Problemtyp, Heterogenität der Kisten, Restriktionen, ...)
Bischoff und Marriot (1990): Performance signifikant von Struktur des zu lösenden Problems abhängig ('domain dependent')
Ad hoc ist keine Heuristik anderen immer überlegen!
verglichene Heuristiken selten uneingeschränkt vergleichbar (d. h., für exakt gleiches Problem inkl. aller NBen etc. entwickelt worden)
zunehmend zusammengesetzte Heuristiken (mehrere verschiedene Heuristiken oder Versionen der selben parallel oder sequentiell)
vertretbare Laufzeit
hybride Heuristiken (zusammenges., die je nach Ausprägung des zu lösenden Problems unterschiedliche
Entscheidungsregeln ('heuristic rules') anwenden; auch exakte Verfahren kombinierbar
Heuristiken: Fazit (1)
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
41
Berücksichtigung der wichtigsten relevanten Nebenbedingungen für Praxisanwendung wichtig! (Forschungsbedarf)
neben traditionellen Heuristiken vermehrt sog. Metaheuristiken, die z. B. genetische Algorithmen, Simulated Annealing oder Tabu-Search Verfahren beinhalten (höherer Aufwand aber bessere Auswahl der Lösung)
insgesamt "beachtlicher Forschungsbedarf": Zahl Veröffentlichungen immer noch relativ gering
Anforderungen der Praxi eher selten ausreichend modelliert
Verbesserungen gegenüber älteren Verfahren oft auch mit größerem Aufwand marginal (Verfahren von George und Robinson (1980) nach wie vor als Referenz für eine effiziente Heuristik genannt)
Heuristiken: Fazit (2)
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
42
Ausgangspunkt: Auftrag einer kleineren Versandagentur, den bisherigen manuellen Beladungsvorgang durch ein leistungsfähigeres computergestütztes Verfahren zu ersetzen
Agentur sammelt verschiedene einzelne Klein-Aufträge für einen Zielhafen in Nordamerika und verfrachtet diese gemeinsam in (20' oder 40') Standard-Frachtcontainern per Schiff
Bisher:
Mitarbeiter nahm Aufträge für einen Container solange entgegen, bis Gesamtvolumen der Kisten einen bestimmten Erfahrungswert erreicht hatte
übergibt dem Frachtaufseher Packliste,
anhand dieser versucht er, die Kisten in den Container zu packen
bildet von der Rückseite beginnend Wände aus Kisten bis Container voll ist
Passen nicht alle Kisten hinein: Umpacken
in einigen Fällen: übrig gebliebene Kisten nicht zu vermeiden
Die Heuristik von Gehring/Menschner/Meyer (1990)
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
43
jetzt: Ziel, dieses Umpacken durch Generierung zulässiger Staupläne mittels Computer zu vermeiden und dabei den Containerraum möglichst gut auszunutzen
Problemspezifikation:
Ziel: Aus der heterogenen Menge (M) von Kisten soll diese Auswahl (B) in einen (O) Container gepackt werden, die den
Containerleerraum minimiert bzw. maximales Kistenvolumen aufweist. (einschließlich Fall: alle Kisten)
Nebenbedingungen: Gewichtsverteilung: Der Schwerpunkt des beladenen Containers soll innerhalb eines gewissen Toleranz bereichs um den Mittelpunkt des Containers liegen
Annahmen:(1) Alle Kisten sind rechteckig und deren Maße bekannt.(2) Alle Orientierungen der Kisten sind zulässig. (keine Orientierungsrestr.)(3) Jede Kiste kann neben jede andere platziert werden. (keine Abstandsrestr.)(4) Jede Kiste kann auf jede andere gestellt werden. (5) Jede Kisten kann an jeder Stelle des Container platziert werden. (keine
Anordnungsrestriktionen außer: orthogonale Anordnung)
Gehring et al. (1990): Problemspezifikation
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
44
Problemtyp: dreidimensionales Knapsack Problem mit Gewichtsverteilungsrestriktion.
zulässige Gewichtsverteilung kann durch die Heuristik immer (ex-post) erzeugt werden, keine echte Restriktion, da nicht ex-ante in den Ansatz integriert, sondern erwünschter Nebeneffekt ex-post
Benutzer muss Kistenwände nach Terminierung des Algorithmus so vertauschen, dass Restriktion eingehalten wird
Verfahren löst das allgemeine dreidimensionale Knapsack Problem KS3 bzw. 3 / B / O / M
Gehring et al. (1990): Problemtyp
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
45
Lösungsverfahren:
Grundelemente:
(1) Kisten werden in Liste nach Vol. absteigend sortiert gespeichert
(2) Kisten werden von der Rückwand beginnend zu aufeinander folgenden separaten Wänden innerhalb einer gedachten senkrechten Schicht gestapelt (Wall-Building Approach). Die Wände können dann permutiert werden bis die Gewichtsverteilung am besten ist.
(3) Die Tiefe jeder Schicht ergibt sich aus der Tiefe der jeweils ersten platzierten Kiste (LDB)
(4) In Leerräume neben, vor und über einer Kiste wird in dieser Reihenfolge (aber nicht vor der LDB) jeweils das passende Kistenpaar mit dem größten Volumen gepackt. Diese begrenzte Vorausschau erzeugt tendenziell geeignete Oberflächen für das weitere Packen.
(5) Es können viele alternative Staupläne erzeugt werden, aus denen der Frachtaufseher einen geeigneten auswählen kann. Hierzu kann jede LDB in sechs Anordnungen platziert werden. Außerdem können die Elemente 2, 3, ... der Liste jeweils an die erste Stelle versetzt werden, so dass sie als LDB herangezogen werden. Die Kombination beider ergibt viele verschiedene Möglichkeiten.
Gehring et al. (1990): Grundelemente
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
46
Gehring et al. (1990): Container und erste LDB
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 3: Container und erste LDB
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
47
Verfahrensablauf : Einlesen und Initialisieren der Container- und Kistendaten Kisten nach absteigendem Volumen sortiert in der Liste gespeichert erste Kiste der Liste (mit größtem Volumen) als LDB ausgewählt, der
Schicht zugeordnet und möglichen Anordnungen ('positions') bestimmt (3/2/1 versch. lange Seiten 6/3/1 Möglichkeiten, 3/2/1 versch. Schichttiefen)
Schichtdefinition: Seitenlänge der LDB in Längsrichtung (Tiefe) des Containers = Schichttiefe, Breite und Höhe des Containers (s. u.)
Schicht weiter mit Kisten gefüllt (s. u.) Ermittlung der verbliebenen Länge (Resttiefe, 'residual depth', RD) des
Containers und Prüfung, ob nächste LDB hinein passt- nein oder keine Kisten mehr übrig Container gilt als voll sonst LDB definiert die nächste Schicht
- voll Inputdaten und Packliste werden für diesen Stauplan ausgedruckt, System fragt Benutzer, ob weitere alternative Staupläne erwünscht
ja andere möglichen Anordnungen der ersten Kiste, falls es keine weiteren mehr, andere Kisten an die erste Stelle der Liste gesetzt, erst wenn alle Kisten als LDB in jeweils allen möglichen Anordnungen verwendet wurden, gibt es keine neuen Staupläne mehr Ende.
- nein Ende.
Gehring et al. (1990): Verfahrensablauf
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
48
Gehring et al. (1990): Verfahrensablauf
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 4: Struktogramm des Verfahrensablaufs
Kernprozesse 'Bestimme Schichtdaten' und 'Fülle Schicht' (s. u.)
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
49
Anordnung der LDB ist gewählt 'Bestimme Schichtdaten' Breite, Höhe und Tiefe einer Schicht bzw. des Containers werden
als LW, LH, LD, bzw. CW, CH, CD bezeichnet Resttiefe RD vor platzierter LDB wird ermittelt und überprüft, ob in
diese noch eine neue Schicht passen wird. wenn die kürzeste aller Seitenlängen der Kisten in der Liste
(MinDim) kleiner ist als die Resttiefe RD (RD < MinDim)
Schichttiefe LD = Tiefe der LDB. - Passt die Kiste mit Seitenlänge MinDim nicht in RD
(RD < MinDim): aktuelle Schicht ist letzte und wird mit der Resttiefe des Containers zu einer Schicht verschmolzen
Schichttiefe LD = CL - CumLD (Summe der
bisherigen LDs) erste Kiste nicht als LDB bezeichnet, Schicht wird von Beginn an mit am besten passenden Kistenpaaren gefüllt.
Gehring et al. (1990): 'Bestimme Schichtdaten'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
50
Gehring et al. (1990): 'Bestimme Schichtdaten'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 5: Struktogramm des Prozesses 'Bestimme Schichtdaten'
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
51
Schicht ist definiert und wird mit Kisten möglichst gut ausgefüllt: Anordnung der LDB der ersten Schicht variiert, alle folgenden LDBs:
hochkant und mit der kürzeren Seite in Richtung Breite angeordnet, um größere Leerquader zu erzeugen, die besser gefüllt werden können
Platzierung einer Kiste in Leerquader: immer maximal drei neue Leerquader – neben, vor und über der Kiste - , die wiederum (in dieser Reihenfolge) gefüllt werden
Reihenfolge wird durch Leerquader-Liste realisiert (Stack (Stapel)) entstehende Leerquader in umgekehrter Reihenfolge in diese Liste
gespeichert, so dass Bearbeitung in gewünschter Reihenfolge treppenförmigen Anordnungen, weil immer in den Leerquader neben
der platzierten Kiste die nächste Kiste platziert wird ist Leerquader gefüllt, wird er aus Liste gelöscht und nächster 'darunter'
wird bearbeitet, d. h., Liste expandiert zunächst und wird dann sukzessive abgearbeitet bis sie leer ist
Physikalische Packvorgang gleiche Reihenfolge wie Algorithmus! Reihenfolge in Packliste festgehalten (Queue-Speicher (Schlange))
Höhe der letzten Kiste = Höhe des benachbarten Leerquaders; kann dieser nicht mehr gefüllt werden: gilt als gefüllt, Höhe als neue Packfläche für weitere Kisten verwendet Praxis: Leerräume mit Material ausfüllen!
Gehring et al. (1990): 'Fülle Schicht'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
52
Gehring et al. (1990): 'Fülle Schicht'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 7: zugehörige Leerquaderliste (Stack)
Abb. 6: Packstufen innerhalb einer Schicht
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
53
zu füllende Schicht als erster Leerquader Existiert zugeordnete Kiste? (zu Beginn die LDB) Anordnung und Daten in Packliste eingetragen und Gesamtfracht-
daten (Gewicht, Volumen, Frachtkosten) berechnet eine LDB wird aus der Kistenliste gelöscht und MinDim aktualisiert- eigentlicher Füllvorgang eines Leerquaders: Suche nach passendem
Kistenpaar mit größtem Volumen sowie dessen bester Anordnung (2)
- Anordnung und Daten der ersten Kiste des Paares in Packliste eingetragen und Gesamtfrachtdaten berechnet
- Kiste wird aus Kistenliste gelöscht und MinDim aktualisiert- entstandene Leerquader gemäß Reihenfolge in Leerquaderliste (1) - zweite Kiste des Paares muss einem dieser zugeordnet werden aus Liste gelöscht, da sie im nächsten Schritt in dem Quader
angeordnet wird, dem sie zugeordnet wurde Leerquader gilt als voll, falls kein passendes Paar mehr; wird aus
Leerquaderliste gelöscht. Schicht ist voll, wenn Leerquaderliste leer ist.
Gehring et al. (1990): 'Fülle Schicht'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
54
Gehring et al. (1990): 'Fülle Schicht'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 8: Struktogramm des Prozesses 'Fülle Schicht'
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
55
• In einen Leerquader neben der Kiste Bi wird die Kiste Bj angeordnet. drei neue Leerquader
• für die Implementierung: Koordinaten bestimmen
• Falls Leerquader kleiner als MinDim: nicht in die Leerquaderliste, es wird versucht, sie mit benach-barten Leerquadern zu größeren zu verschmelzen
Gehring et al. (1990): 'Bestimme neue Leerquader'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 9: Darstellung neuer Leerquader
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
56
1. Schritt: Suche passendes Kistenpaar mit maximalem Volumen Bildung einer Teilliste ('candidate list') der Kistenliste, die nur
Kisten enthält, deren Volumen und Seitenlängen geringer als die des Leerquaders sind, nach absteigendem Volumen sortiert.
Paarbildung durch die Kombination jeder Kiste der Liste mit allen folgenden (kleineren) Kisten
keine Enumeration aller möglichen Kombinationen nötig, da sobald ein passendes Paar gefunden wurde, Suche einschränkbar auf Paare größeren Volumens:
Sei (Bi, Bj) mit i < j das aktuell passende Paar mit größtem Volumen. Paare mit größerem Volumen müssen aus Kisten bestehen, die im Bereich Bi+1, ... ,Bj-1 liegen.
auch degenerierte Paare zulässig (nur eine Kiste) 2. Schritt: Festlegung der 'besten' zulässige Anordnung beider Kisten
durch Entscheidungsregeln: Anordnungen entlang der Tiefe, der Höhe und entlang der Breite
des Containers: erstere am höchsten bewertet, letztere am geringsten mehrere mögliche Anordnungen eines Typs: Höhe als größte
Dimension am höchsten eingestuft, solche mit der Breite am niedrigsten möglichst große neue Leerquader
Gehring et al. (1990): 'Bestimme bestes Kistenpaar und Anordnung beider Kisten'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
57
Gehring et al. (1990): 'Bestimme bestes Kistenpaar und Anordnung beider Kisten'
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 10: Zulässige Anordnungen von Kistenpaaren
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
58
Gehring et al. (1990): Test der Heuristik
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Test mit Daten der Frachtagentur leider nur zwei Testinstanzen: eine aus 21 Kisten und 20' Standard-
Container, andere aus 48 Kisten und 40' Standard-Container
Tab. 1: Kistendaten für Instanz 1.
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
59
Gehring et al. (1990): Ergebnisse
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Ergebnisse: für einige der Staupläne Für erste Instanz ist Stauplan 1 der beste: alle Kisten und somit
größtes Packvolumen. Da Kisten auch Frachtkosten bzw. Werte zugeordnet sind, kann auch
der Gesamtfrachtwert als Zielkriterium berücksichtigt werden. es gibt z. B. Staupläne, die zwei Kisten übrig lassen (Plan 3),
aber höheren Gesamtwert als Staupläne mit einer übrig gebliebenen (Plan 19) aufweisen
Tab. 2: Testergebnisse für Instanz 1
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
60
Gehring et al. (1990): Stauplan 1
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Abb. 11: graphische Darstellung des Stauplanes 1 der ersten Instanz.
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
61
Gehring et al. (1990): Stauplan 1 und Ergebnisse
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Sortierung: Kiste mit dem größten Volumen (Nr. 16) als erste LDB es passen nur noch einige kleinere Kisten noch übrige zweitgrößte Kiste (Nr. 10) als LDB für Schicht 2 drittgrößte ist noch als LDB für Schicht 3 vorhanden letzte (vierte) Schicht besteht aus dem Restraum des Containers,
daher ist Kiste 18 keine LDB (geringere Tiefe als die der Schicht)- Hauptanteil des Leeraumes in Schicht 4, da keine weiteren Kisten
mehr vorhandenRaumnutzungsgrad hier keine aussagekräftige Kenngröße für
die Performance der Heuristik ! bei Instanz 2 bleiben bei allen Stauplänen Kisten übrig
Volumennutzung (75 - 82%) aussagekräftiger für Performance !
- kein systematischer Vergleich auf Basis gleicher Testinstanzen mit anderen Heuristiken !
- kein Vergleich mit manueller Lösungen, da keine Daten dieser Ziel der besseren Packung und Prozessbeschleunigung auf jeden Fall
erreicht durch Erzeugung mehrerer Staupläne Generierung eines Stauplanes: 6 - 15 Sekunden CPU Rechenzeit auf
einem Intel 8086 Prozessor (1990): 10 verschiedene Staupläne in wenigen Minuten mit PC: Anwendung im Tagesgeschäft möglich !
01.06.2004T. Böltink
Einleitung
Problem-ausprägungen
Lösungs-ansätze
Fazit/Fragen/Diskussion
62
Diskussion
ExakteAlgorithmen
Heuristiken
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
Fragen?
Diskussion ...