Varianzanalyse IV: Messwiederholung

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Varianzanalyse IV: Messwiederholung1. Definition2. Vor- und Nachteile3. Quadratsummen und F-Test4. Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung5. SPSS6. Mehrfaktorielle ANOVAs mit Messwiederholung

Messwiederholung

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Messwiederholung• Man spricht von „Messwiederholung“, wenn verschieden Daten

zu einem „Fall“ gehören, d.h. wenn diese Daten sinnvoll einander zugeordnet werden können.

• Beispiele:- Messwiederholung im engeren Sinn: Die selbe AV wird mehrfach erhoben

( Veränderungsmessung)- Eine AV wird durch unterschiedliche Verfahren (z.B. unterschiedliche Tests)

erhoben ( Vergleich der Verfahren)- Personen aus zwei (oder mehreren) Stichproben werden einander

zugeordnet ( Partner, Geschwister, etc.)

Messwiederholung

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Beispiel• Fünf Versuchspersonen bearbeiten eine Geschicklichkeitsaufgabe

dreimal hintereinander.• AV: erreichte Punktzahl

Messzeitpunkt

vp 1 2 31 48 50 50 49.332 40 46 46 44.003 43 44 47 44.674 45 46 49 46.675 48 49 49 48.67

44.80 47.00 48.20 46.67

Messwiederholung

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Einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung• Eine einfaktorielle ANOVA mit Messwiederholung kann als

2-faktorielle ANOVA mit gemischten Effekten betrachtet werden:– Faktor A: Messzeitpunkt (fester Effekt)– Faktor B: Versuchsperson (Zufallseffekt)

• Allerding ist dann in jeder Zelle des Versuchsplans nur noch ein Fall.

• Warum Vp als Zufallseffekt?Generalisierbarkeit für andere Vpn

• Es interessiert dabei nicht der Effekt von Vp (oder die Interaktion) sondern der Effekt von Faktor A.

• Weil für Faktor B Zufallseffekte angenommen werden, wird die SSA an der SSAxB relativiert.

Messwiederholung

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Vorteile der Messwiederholung• Es werden weniger Versuchspersonen benötigt, da dieselben Vpn

mehrmals getestet werden.• Höhere Teststärke (Power), da die Fehlervarianz verringert wird. Die Varianz „zwischen“ Vpn ist eliminiert, da man die Vpn nur mit sich selbst vergleicht.

Messwiederholung

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Nachteile der Messwiederholung• Sphärizitätsannahme (Zirkularitätsannahme)

– Varianzen und Kovarianzen unter den einzelnen Faktorstufen müssen homogen sein.

– Bei einer Verletzung der Sphärizitätsannahme erfolgt die Greenhouse-Geiser-Korrektur des F-Tests.

• Sequenzeffekte (Reihenfolge der Testung kann Einfluss haben Versuchsplanung)

• Fehlende Daten zu einem Messzeitpunkt führen dazu, dass eine Person komplett (zu allen Messzeitpunkten) ausgeschlossen werden muss.

Der F-Test

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Quadratsummenzerlegung

• Varianzanteile– zwischen den Vpn

(interessiert nicht wird nicht für den F-Test verwendet)– innerhalb der Vpn

• auf Treatment zurückzuführen • Fehlervarianz

SStotal = SSbetween + SSwithin

SStotal = SSbetween + SStreatment + SSerror

Der F-Test

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Der F-Test

• Es fließt also nur die Varianz „within participants“ in den F-Test ein.

• Statistische Hypothesen– H0: αj=0, für alle j keine Effekte des Messzeitpunkts keine Mittelwertsunterschiede

– H1: αj≠0, für mindestens ein j Effekte des Messzeitpunkts Mittelwertsunterschiede

error

treatment

MS

MSF

Quadratsumme „treatment“

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p

jjtreatment yynSS

1

2..).(

1pdftreatment

73.29)53.1(5)33.0(5)87.1(5

)67.4620.48(5)67.4600.47(5)67.4680.44(5222

222

treatmentSS

87.142

73.29

treatment

treatmenttreatment df

SSMS

Aufgabe

Vp 1 2 3

1 48 50 50 49.332 40 46 46 44.003 43 44 47 44.674 45 46 49 46.675 48 49 49 48.67

44.80 47.00 48.20 46.67

Quadratsumme „error“

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n

i

p

jijijerror yyyySS

1 1

2..)..(

)1()1( Npdferror

93.14

)67.4667.4820.4849(

...)67.4600.4480.4440()67.4633.4980.4448(2

22

errorSS

87.18

93.14

error

errorerror df

SSMS

Aufgabe

Vp 1 2 3

1 48 50 50 49.332 40 46 46 44.003 43 44 47 44.674 45 46 49 46.675 48 49 49 48.67

44.80 47.00 48.20 46.67

Der F-Test

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Femp > Fkrit

signifikantes Ergebnis Die H0 wird verworfen

Es wurde also ein Unterschied zwischen den Messzeitpunkten nachgewiesen

46.4)8;2(

96.787.1

87.14

87.1

87.14

Nzkrit

error

treatmentemp

error

treatment

dfdfF

MS

MSF

MS

MS

Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung

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• Was wäre herausgekommen, wenn man die gleichen Daten in einem Design ohne Messwiederholung erhalten hätte?

• UV: Training (3 Gruppen: kein, wenig, viel) • AV: Leistung in der Geschicklichkeitsaufgabe• Fragestellung: „Verbessert sich die Leistung in dieser Aufgabe

nach unterschiedlichem Trainingbedingungen?“

• Berechnung des F-Tests:

within

betweenemp MS

MSF

Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung

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n

i

p

jjijwithin

p

jjbetween

yySS

yynSS

1 1

2

1

2

)(

)(

Aufgabe

Vp 1 2 3

1 48 50 50 49.332 40 46 46 44.003 43 44 47 44.674 45 46 49 46.675 48 49 49 48.67

44.80 47.00 48.20 46.67

„between-subjects“ ANOVA:

73.29)53.1(5)33.0(5)87.1(5

)67.4620.48(5)67.4600.47(5)67.4680.44(5222

222

betweenSS

60.81)20.4849(...)80.4440()80.4448( 222 withinSS

Vergleich: ANOVA mit und ohne Messwiederholung

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46.4)8;2(

96.787.1

87.14

87.1

87.14

Nzkrit

error

treatmentemp

error

treatment

dfdfF

MS

MSF

MS

MS

89.3)12;2(

19.280.6

87.14

80.612

60.81

87.14

Nzkrit

within

betweenemp

within

between

dfdfF

MS

MSF

MS

MS

signifikant nicht signifikant

Messwiederholung„within“

3 Gruppen„between“

Messwiederholung in SPSS

ANOVA mit Messwiederholung in SPSS• Jeder Fall steht in einer Zeile.• Unterschiedliche Messzeitpunkte werden durch unterschiedliche

Variablen kodiert.• Eine Unabhängige Variable (der Faktor) wird definiert:

Es wird angegeben, welche AVs zu den verschiedenen Stufen des Faktors gehören.

Anders als bei einem Faktor ohne Messwiederholung ist die UV also nicht als eigene Variable im SPSS-Datensatz definiert.

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Messwiederholung in SPSS

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Messwiederholung in SPSS

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Messwiederholung in SPSS

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Messwiederholung in SPSS

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SPSS Syntax

glm test1 test2 test3 /wsfactor mzp 3.

Messwiederholung in SPSS

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• Die Multivariaten Tests basieren auf einer anderen Berechnung, die wir hier nicht besprechen

• Vorteil: Die Sphärizität muss nicht erfüllt sein.• Wenn die Voraussetzungen der ANOVA erfüllt sind, sind die Ergebnisse

identisch mit den Ergebnissen der ANOVA, wie wir sie berechnen.

Messwiederholung in SPSS

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• Bei p<.05 ist die Sphärizitätsanahme verletzt.• In diesem Fall müsste die Greenhouse-Geisser-Korrektur angewendet werden

(siehe unten).

Messwiederholung in SPSS

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• Unter „Innersubjekteffekte“ werden alle Effekte mit Messwiederholung angegeben

• Es sollte immer die obere Zeile verwendet werden, wenn die Sphärizität nicht verletzt ist, oder die zweite, wenn eine Korrektur notwendig ist.

Messwiederholung in SPSS

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• Für die messwiederholten Faktoren werden immer automatisch Kontraste berechnet.

• Diese können, wie für Gruppenfaktoren, selbst definiert werden.• Werden keine Kontraste definiert, wird der „lineare Trend“ (die Mittelwerte

liegen auf einer Geraden) und der „quadratische Trend“ (die Mittelwerte liegen auf einer Parabel U-förmiger Verlauf) berichtet.

Messwiederholung in SPSS

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• Für die messwiederholten Faktoren werden immer automatisch Kontraste berechnet.

• Diese können, wie für Gruppenfaktoren, selbst definiert werden.• Werden keine Kontraste definiert, wird der „lineare Trend“ (die Mittelwerte

liegen auf einer Geraden) und der „quadratische Trend“ (die Mittelwerte liegen auf einer Parabel U-förmiger Verlauf) berichtet.

Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Mehrfaktorielle ANOVA• Beispiel: Evaluation eines Trainings zur schnelleren Fertigung

eines Bauteils• Abhängige Variable: Zeit zur Fertigung (in Sekunden)• Design:

– 1. Faktor: Messzeitpunkt (prä, post, follow up)– 2. Faktor: Produkt (A=trainiert; B=untrainiert)

• Hypotese: Beschleunigte Fertigung nur für die trainierte Aufgabe (Produkt A)

• Mit dem Kontroll Produkt (B) soll ausgschlossen werden, dass mögliche Effekte nur auf die Testwiederholung zurückzuführen sind!

Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Menu-BefehlEs müssen 2 Faktoren definiert werden:1. Messzeitpunkt: 3 Stufen2. Produkt: 2 Stufen

Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Wichtig: • Die Reihenfolge der Variablen muss

zu den Stufen der Faktoren passen.• Diese sind in den Klammern

angegeben:– 1. Zahl: Stufe von Faktor 1– 2. Zahl: Stufe von Faktor 2

Syntax:glm A1 B1 A2 B2 A3 B3 /WSFACTOR mzp 3 group 2 /plot profile (mzp*group).

Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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• In der Tabelle „Innersubjektfaktoren“ kann kontrolliert werden, ob die Variablen korrekt den Faktoren zugeordnete wurden.

Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Gemischte Designs: Mit und ohne Messwiederholung• Beispiel: Evaluation eines Anti-Aggressions-Trainings• Abhängige Variable: Aggressives Verhalten im Schulalltag (1-10)• Design:

– 1. Faktor: Messzeitpunkt (prä, post, follow up)– 2. Faktor: Gruppe: Training vs. Kontrollgruppe

• Hypotese: Beschleunigte Fertigung nur für die trainierte Aufgabe (Produkt A)

• Mit dem Kontroll Produkt (B) soll ausgschlossen werden, dass mögliche Effekte nur auf die Testwiederholung zurückzuführen sind!

Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Zusammenfassung• Varianzanalysen mit Messwiederholung werden durchgeführt,

wenn die gleiche AV mehrmals erhoben wurde, bzw. wenn mehrer Messungen einander zugeordnet werden können.

• Eine Untersuchung mit Messwiederholung ist sehr ökonomisch, da bei geringer Vp-Zahl eine hohe Teststärke erreicht werden kann.

• Allerdings muss die Sphärizitätsannahme erfüllt sein, sonst ist die ANOVA zu liberal, d.h. die H1 wird zu oft angenommen. Bei einer Verletzung der Sphärizitätsannahme kann das Testergebnis über eine Korrektur der Freiheitsgrade berichtigt werden (Greenhouse-Geiser-Korrektur).

Messwiederholung auf mehreren Faktoren

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Zusammenfassung• Der F-Test der messwiederholten ANOVA vergleicht die Varianz

des Treatments mit der Fehlervarianz innerhalb der Vpn, d.h. die (Fehler-)Varianz zwischen Vpn wird nicht berücksichtigt.

• Somit beruht der Vorteil der Messwiederholten ANOVA auf einer Verringerung der Fehlervarianz im F-Bruch.