Verhalten Maschinen und Modellen - TUHH · 2009-07-25 · 25.07.2009 MV.32 Dr.-Ing. habil. Jörg...

25.07.2009MV.1

Dr.-Ing. habil. Jörg Wollnack

VerhaltenVerhalten

vonvon

Maschinen und ModellenMaschinen und Modellen

25.07.2009MV.2

•• Geometrische RelationenGeometrische Relationen

•• Eingeschwungener ZustandEingeschwungener Zustand

•• Ohne elastische VerformungenOhne elastische Verformungen

•• Dynamische EigenschaftenDynamische Eigenschaftenohne und mit elastischen Verohne und mit elastischen Ver--formungenformungen sowie ohne und mitsowie ohne und mitthermischen Effektenthermischen Effekten

Verhalten von Maschinen

25.07.2009MV.3

Kompensation

Elimination

Ursachen für absolute Positionierfehler

1. Kinematische Parameter:1. Kinematische Parameter:(Nullage, Fluchtung und L(Nullage, Fluchtung und Läänge)nge)

2. Lage des Maschinen2. Lage des Maschinen--KS KS zum Basiszum Basis--KSKS

3. Temperatur3. Temperatur--schwankungenschwankungen

4. Gelenk4. Gelenk--elastizitelastizitäätenten

5. Element5. Element--elastizitelastizitäätenten6. Getriebefehler6. Getriebefehler

7. Lagerspiel7. Lagerspiel

8. Weggeber8. Weggeber

9. Reibung9. Reibung

10. Steuerung:10. Steuerung:(Rundungen und numerische (Rundungen und numerische Verfahrensfehler)Verfahrensfehler)

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System

Modell

Identifika-tionsalgo-rithmus

∆x ∆y

p Min M Mp y y p x− < >( , ) ,m r ε ε 0

x x x y y y≡ → ≡1 1t t t t t t,..., ,...,I Ic h c h

, {1,..., }i D i I∈ ∈ ⊂xx !

Dim{ } Dim{ }iI ≥y p

•• Geometrisches MaschinenmodellGeometrisches Maschinenmodell•• IdentifikationsIdentifikations--AlgorithmusAlgorithmus•• Fehlerfortpflanzung / AbschFehlerfortpflanzung / Abschäätzung der Unsicherheitentzung der Unsicherheiten•• OptimierungsmOptimierungsmööglichkeitenglichkeiten

Systemidentifikation als Minimierungsproblem I

{ }I M MMin ( , , , ) , 0ε ε< >p f p x y

25.07.2009MV.5

1( , )

( , )I

1( , )

( , )I

"1( , )

( , )I

x x x y y y≡ → ≡1 1t t t t t t,..., ,...,I Ic h c h

Implizites Modell:Implizites Modell:

System Matrizen:System Matrizen:

I ( , , ) ,i i =f y p x 0 mit Dim{ } Dim{ }iI ≥y p, {1,..., } ,i D i I∈ ∈ ⊂xx !

Komposition:Komposition:

Systemidentifikation als Minimierungsproblem II

Identifizierbarkeit:Identifizierbarkeit:

25.07.2009MV.6

OffeneOffene

kinematischekinematische

KettenKetten

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Typische Maschinen-Konfigurationen

Warnecke

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IAM, Uni Rostock

Typische Gelenke

f := degreeof freedom

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Koordinatensysteme an Werkzeugmaschinen I

Drehungen umDrehungen umKoordinatenachsenKoordinatenachsen

in einer Koordinatenin einer Koordinaten--systemebenesystemebene

Translation in Richtung derTranslation in Richtung derKoordinatenachsenKoordinatenachsen

Aktives Gelenk:Aktives Gelenk:typisch genautypisch genauein Antriebsein Antriebs--

parameterparameterpro Gelenkpro Gelenk

WerkzeugWerkzeug-- und und WerkstWerkstüückck--KOSKOS

PalettenPaletten-- und Werkzeugund Werkzeug--magazinmagazin--KOSKOS

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Koordinatensysteme an Werkzeugmaschinen II

DrehmaschineDrehmaschine

M := MaschinennullpunktW := WerkzeugnullpunktE := WerkzeugeinstellpunktT := Werkzeugträgerbezugspunkt

25.07.2009MV.11

M := MaschinennullpunktW := WerkzeugnullpunktE := WerkzeugeinstellpunktT := WerkzeugträgerbezugspunktR := Referenzpunkt

Koordinatensysteme an Werkzeugmaschinen III

FrFrääsmaschinensmaschinen

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Kinematische Transformation I

i-tes Gelenk

WKSRoboter-

( +1)-tesGelenki

i-tesGelenk

y i+1z i+1

y i z i

p := Parametervektorx := ideale Maschinenkoordinaten

3 3 3 31 1 1 1 1, mit , ,x

i i i i i i i− − − − −= + ∈ ∈ ∈r D r t D t r# # #

Koordinatentransformation (klassisch)(klassisch)

r D D D D D D r t t t t t t0 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6= + + + + +FH IK + =− − − − − − − − − − − −I I I I I I i I I I I I I Ic hd ie je j ,

25.07.2009MV.13

4 4 3 3 31 11 1 1 1 1, mit , ,

1x xi i

i i i i i i− −

− − − − −

= = ∈ ∈ ∈

D tv T v T D t

0# # #

( ) ( )t tt 41 1i i i i ix y z= = ∈v r #

Homogene KoordinatentransformationHomogene Koordinatentransformation

Kinematische Transformation II

Homogene KoordinateHomogene Koordinate

ri i i i− − −FHGIKJ =FHG

IKJFHGIKJ

1 1 1=

− −D r ti i i1 1

MatrixMatrix--VektorVektor--ProduktProdukt

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⇒ = =∏T T f p xjj

Koordinatentransformation Koordinatentransformation TT bei einer kinematischen Kettebei einer kinematischen Kette

Produkte der homogenen MatrizenProdukte der homogenen Matrizen Tj

Kinematische Transformation III

VorteileVorteile

homogener Koordinatenhomogener Koordinaten

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Kinematische Transformation IV

p := konstante Achsparameter des kinematischenModells

x := ideale variable Antriebskoordinaten auchideale variable Maschinenkoordinaten genannt

xS := reale variable Sensorkoordinaten der internen Wegmesssysteme bzw. reale variableMaschinenkoordinaten

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( ), ( , )P M ND W+∀ ∈ ⊆ ∃ ∈ ⊆ =f yp x y y f p x# #( , ) ( , )

∂≡ =∂x x

fJ J p x p x

dy J dx

y J x J x

y J x J x J x

Τ J p x F

$ $$$$ $ $$$$ $$$$ $ $$ $$$

Beweise, siehe Script Robotik.

− −

− − −

dx J dy

x J y J y

x J y J y J y

F J p x Τ

$ $$$$ $ $$$$ $$$$ $ $$ $$$

VorwVorwäärtsrts

Positions-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungs-, Ruck/Stoß- und Kraftverhalten

InverseInverse

Max( ) ,x t vε ε≤$ Max( ) ,x t aε ε≤$$ {1,..., }fε ∈Technische RestriktionenTechnische Restriktionen

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Mechanische Übertragungsglieder

Isermann

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x x m xk k k k= +S S S0' '

Inverse linearisierte stationInverse linearisierte stationääre Sensorgleichungre Sensorgleichung

x x m xk k k kS S S= +0

Linearisierte stationLinearisierte stationääre Sensorgleichungre Sensorgleichung

NullagenfehlerNullagenfehler

SteigungsfehlerSteigungsfehler

Linearisierte Sensorgleichung

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Abtrieb

Antrieb ün

n= =ωω

1= ωω η

=FHGIKJ

, J J J ii

G 1 =FHGIKJ +∑2

Rotationsachse: Rotation ⇔⇔⇔⇔ Rotation

nmS S1

' '= 2

GetriebeGetriebeüübersetzungsfehlerbersetzungsfehlerffüühren zu Sensorssteigungsfehlerhren zu Sensorssteigungsfehler

25.07.2009MV.20

h := Spindelsteigung

Antriebv F

Schlitten

Spindel

Jspω M

hs v v= = =ϕ ϕ

v=ω η

v= FHGIKJω

, J mv

J J ii

G 1 sp= FHGIKJ + +∑ω

Linearachse: Rotation ⇔⇔⇔⇔ Translation

m h mS S1' '=SpindelsteigungsfehlerSpindelsteigungsfehler

ffüühren zu Sensorssteigungsfehlerhren zu Sensorssteigungsfehler

25.07.2009MV.21

T f p= +, x m xk k kS'

S0d i d ie j

Kinematische Transformation mit Sensorkoordinaten

Sensornullagenfehler undSensornullagenfehler undSensorsteigungenSensorsteigungen

kköönnen als Parameternnen als Parameterdes Modells interpretiert werden.des Modells interpretiert werden.

= =f m x p x f p x' ' '( , , , ) ( , )S'

= = FH IKf p x p p' ' '( , ) ,S S' t

S' t t

m xk kd i d i0

25.07.2009MV.22

stationstationäärereKennlinieKennlinie

„Spiel“

xI System

Input Output

xA Mechanisches Mechanisches „„SpielSpiel““ffüührt bei einem hrt bei einem

Richtungswechsel Richtungswechsel von Krvon Krääften und ften und

Momenten zu Momenten zu Umkehrspannen bzw. Umkehrspannen bzw.

einem einem richtungsabhrichtungsabhäängigenngigenPositionierverhalten Positionierverhalten

von Maschinen.von Maschinen.

25.07.2009MV.23

Welche MaWelche Maßßnahmen knahmen köönnen zur Reduktion der nnen zur Reduktion der Umkehrspannen ergriffen werden?Umkehrspannen ergriffen werden?

Aufbau von mechanischen Vorspannungen im Bereich Aufbau von mechanischen Vorspannungen im Bereich elastischer Verformungenelastischer Verformungen

(Verringert Wirkungsgrad und erhöht Verschleiß)..

Maßnahmen zur Reduktion der Umkehrspanne I

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Lagekorrekturwerte in AbhLagekorrekturwerte in Abhäängigkeitngigkeitvon dervon der

BewegungsrichtungBewegungsrichtungder Antriebe berder Antriebe berüücksichtigencksichtigen

(Nicht stetig differenzierbare Bewegungsmodelle sind makroskopis(Nicht stetig differenzierbare Bewegungsmodelle sind makroskopisch ch unphysikalisch und funphysikalisch und füühren zu vergrhren zu vergrößößerten Bahnfehlern)erten Bahnfehlern)..

Wirkstellennahe PoseWirkstellennahe Pose--/Positionsmessung, die die /Positionsmessung, die die Umkehrspannen erfasstUmkehrspannen erfasst

(Derartige Nichtlinearit(Derartige Nichtlinearitääten sind kritisch und kten sind kritisch und köönnen zu Schwingungen nnen zu Schwingungen im Lageregelkreis fim Lageregelkreis füühren, die den Verschleihren, die den Verschleißß im Gesamtsystem im Gesamtsystem

erherhööhen)hen)..

Maßnahmen zur Reduktion der Umkehrspanne II

25.07.2009MV.25

Inverse kinematische Inverse kinematische TransformationTransformation

25.07.2009MV.26

y T y T y f p x

≡ =FHGIKJ =∏

( ) ( , )

ΘΘΘΘd i

VorwVorwäärtstransformationrtstransformation

Inverse TransformationInverse Transformation

y x y f y

x f yy

%c h c hc h

Kinematische Vorwärts- und inverse Transformation I

25.07.2009MV.27

Aufgabe der kinematischen Transformation ist es, aus den Aufgabe der kinematischen Transformation ist es, aus den MaschinenMaschinen--/Gelenkkoordinaten die Pose zu berechnen./Gelenkkoordinaten die Pose zu berechnen.

Aufgabe der inversen kinematischen Transformation ist es, Aufgabe der inversen kinematischen Transformation ist es, unter vorgegebener Pose die Maschinenunter vorgegebener Pose die Maschinen--/Gelenkkoordinaten /Gelenkkoordinaten

zu berechnen.zu berechnen.

Kinematische vorwärts und inverse Transformation II

25.07.2009MV.28

Die inverse kinematische Transformation ist nicht Die inverse kinematische Transformation ist nicht notwendigerweise eindeutig, so dass fnotwendigerweise eindeutig, so dass füür eine Pose r eine Pose

mehrere Lmehrere Löösungen existieren ksungen existieren köönnen.nnen.

Diese Mehrdeutigkeiten kDiese Mehrdeutigkeiten köönnen z.B. dazu genutzt nnen z.B. dazu genutzt werden, Hindernissen auszuweichen.werden, Hindernissen auszuweichen.

Wozu lassen sich diese MehrdeutigkeitenWozu lassen sich diese Mehrdeutigkeitenin der Praxis nutzen?in der Praxis nutzen?

Kinematische vorwärts und inverse Transformation III

25.07.2009MV.29

Kinematische vorwärts und inverse Transformation IV

Kinematik Vorwärts-Transformation

Inverse-Transformation

seriell analytisch nur unter bestimmtenAnnahmen analytischlösbar, Mehrdeutig-keiten

parallel iterativ lösbar,Mehrdeutigkeiten

analytisch

kartesisch analytisch analytisch

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Inverse AbbildungInverse Abbildung

25.07.2009MV.31

x f g x f g x= =( )( ) ( ( ))% f g≡ −1 u g f u g f u= =( )( ) ( ( ))%

⇒∂∂

= ∂∂

∂∂

=( )f gx

E% ⇒

∂∂

= ∂∂

∂∂

=( )g fu

⇒∂∂

= ∂∂FHGIKJ

∂∂

≠−

0, det ⇒∂∂

= ∂∂FHGIKJ

∂∂

≠−

0, det

⇒ ∂ = ∂∂FHG

IKJ ∂ ∂

∂≠

u( ) , det ( )0

⇒ = = ∂∂FHG

IKJ + ∂

∂≠z z

g dgfu

u du cfu

u( ) , det ( )0

Inverse Abbildung I

25.07.2009MV.32

Inverse Abbildung II

u du cfu

u= ∂∂FHG

IKJ + ∂

∂≠

z ( ) , det ( )0

Die inverse Abbildung von Die inverse Abbildung von f ist in der lokalen Umgebung ist in der lokalen Umgebung

eines reguleines reguläären Punktes eindeutig bis auf eine ren Punktes eindeutig bis auf eine

additive Konstante additive Konstante c bestimmt.bestimmt.

Die singulDie singuläären Stellen definieren zugleich die Verzweigungsren Stellen definieren zugleich die Verzweigungs--

punkte der inversen Abbildung. Die Elemente der Menge der punkte der inversen Abbildung. Die Elemente der Menge der

inversen Abbildungen unterscheiden sich nur hinsichtlich inversen Abbildungen unterscheiden sich nur hinsichtlich

einer additiven Konstanten einer additiven Konstanten c . .

det ( )∂∂

25.07.2009MV.33

NewtonNewton--VerfahrenVerfahren

∆∆∆∆ ∆∆∆∆y J xxRTCP = ⋅

∆∆∆∆ ∆∆∆∆x J y

−1RTCP

Rang Dim

m r l qx x J y yx= + ⋅ −−

R STCP

R 0TCPd i

Inversen Berechnung I

Lineare NLineare Nääherungherung

Nur lokal umNur lokal umeinen Arbeitspunkt einen Arbeitspunkt x0

anwendbaranwendbar

Min RTCP

R STCP

x y f p x y x( , )b go t− →

MinimierungsproblemMinimierungsproblem

Rechenzeitaufwendig,Rechenzeitaufwendig,Mehrdeutigkeiten,Mehrdeutigkeiten,

StartwertStartwert x0 erforderlicherforderlich

Iterativer AnsatzIterativer Ansatz

x x xi i i→ ∈+1 00 1, { , , } ,…

S := Sollwert

25.07.2009MV.34

Ist , so liegt ein redundanter EiIst , so liegt ein redundanter Eingangsngangs--

grgrößößenvektorenvektor1 vor. Dann existiert eine unendliche Anzahl vor. Dann existiert eine unendliche Anzahl

von Lvon Löösungen. sungen.

Rang DimJ xxm r l q<

Inversen Berechnung II

1 redundante Kinematik

25.07.2009MV.35

AnalytischeAnalytischeinverseinverse

kinematischekinematischeTransformationTransformation

25.07.2009MV.36

Ansatz für analytische inverse kinematische Transformation

⇒ = −T A T6

6b gT A A T6

6= − −b g b gT A A A T6

6= − − −b g b g b gT A A A A T6

6= − − − −b g b g b g b gT A A A A A T6

6= − − − − −b g b g b g b g b gPaulSukzessive Maschinenkoordinaten isolieren.Sukzessive Maschinenkoordinaten isolieren.

T A A A A A A6 1 2 3 4 5 6=

6 nicht redundante Achsentransformationen 6 nicht redundante Achsentransformationen Ai ffüürr6 Freiheitsgrade des Tool6 Freiheitsgrade des Tool--CenterCenter--Point:Point:

25.07.2009MV.37

Kinematische Inverse

•• Die zu lDie zu löösenden Gleichungen sind im allgemeinen nicht senden Gleichungen sind im allgemeinen nicht linear.linear.

•• Es kEs köönnen mehrdeutige Lnnen mehrdeutige Löösungen auch bei nicht sungen auch bei nicht redundanten Kinematiken auftreten.redundanten Kinematiken auftreten.

•• Redundante Kinematiken besitzen eine unendliche Anzahl Redundante Kinematiken besitzen eine unendliche Anzahl von Lvon Löösungen.sungen.

•• Es kEs köönnen fnnen füür die Kinematik nicht zulr die Kinematik nicht zuläässige Lssige Löösungensungenauaußßerhalb des Definitionsbereiches erhalb des Definitionsbereiches Dx auftreten.auftreten.

•• Geschlossene analytische LGeschlossene analytische Löösungen existieren bisher nur sungen existieren bisher nur ffüür parallele oder orthogonale Gelenkachsen.r parallele oder orthogonale Gelenkachsen.

(Lösung, siehe Robotik Script im Internet)

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KoordinatentransformationKoordinatentransformation

undund

PosePose

25.07.2009MV.39

n,o,a := Einheitsvektoren des Ausgangs-koordinatensystems im Ziel-koordinatensystem beschrieben

ex,ey,ez:= Einheitsvektoren des Ziel-koordinatensystem

T := homogene Transformations-matrix vom Ausgangs- zumZielkoordinatensystem

R := orthogonale (orthonormale) Rotationsmatrix

t := Translationsvektor zwischen Ausgangs- und Zielkoordinaten-system im Zielkoordinaten-system beschrieben.

Kinematische Transformation

25.07.2009MV.40

⇒ =−F

−TD D t

Inverse homogene KoordinatentransformationInverse homogene Koordinatentransformation

D D Et =

Eigenschaften der Drehmatrix und der Inversen

OrthonormalitOrthonormalitäätt

⇒ ⇒3 3Freiheitsgrade Winkel

r D r t' = + D−1 von links

⇒ = + = + = +D r D D r D t E r D t r D tt t t t t' −D tt

⇒ = −r D r D tt t'

KoordinatentransformationKoordinatentransformation

mehreremehrereWinkelbegriffeWinkelbegriffe

25.07.2009MV.41

R ( ) 1K' K K 'R R K

−=T T T E

Geschlossener UmlaufGeschlossener Umlauf

Homogene Transformationen

TRK = ?

Gesuchte TransformationGesuchte Transformation

( ) 1K' K K ' K'R R K R von links

−=T T T E T

( ) 1K K ' K' K'R K R K von rechts

−=T T T E T

( ) 1K K' K 'R R K

−=T T E T

( ) 1K K' K 'R R K

−=T T T

25.07.2009MV.42

( )( ) ( ) 4 4

1i jt × = = ∈

n o a tT

− ⋅

− ⋅ = − ⋅

− ⋅ − ⋅ = ∈ − ⋅

n o a t oT

Homogene Transformationsmatrix

25.07.2009MV.43

EndeEnde15.04.200815.04.2008

25.07.2009MV.44

Verschiedene Winkelbeschreibungen

Euler Euler -- WinkelWinkel

Roll Roll -- Pitch Pitch -- Yaw Yaw -- WinkelWinkelschlingern-neigen - gieren

Elementar Elementar -- DrehungenDrehungen

Kardan Kardan -- WinkelWinkel

Drehung um AchsvektorDrehung um Achsvektor

25.07.2009MV.45

Elementardrehungen I

kartesisches rechtsorientierteskartesisches rechtsorientiertesKoordinatensystemKoordinatensystem

mathematisch positive Zmathematisch positive Zäählrichtunghlrichtungder Winkelder Winkel

Drehung in mathematisch positiver Zählrichtung um die Koordinatenachse bewirkt bei einem Rechtsgewinde

Bewegung in positiver Achsrichtung

25.07.2009MV.46

Rot x x x x

( ) cos sin

sin cos

Θ Θ ΘΘ Θ

= −F

Rot y y

cos sin

sin cos

ΘΘ Θ

Θ Θ=

Rot z z

z z( )

cos sin

sin cosΘΘ ΘΘ Θ=

Elementardrehungen II

25.07.2009MV.47

Reihenfolge der Drehungen

R R Rot Rot Rot≡ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( )ΘΘΘΘ z z y y x xΘ Θ Θ

≠ ⋅ ⋅Rot Rot Rotx x z z y y( ) ( ) ( )Θ Θ Θ

Matrixprodukt ist nicht kommutativMatrixprodukt ist nicht kommutativ

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Reihenfolge der Drehungen nichtReihenfolge der Drehungen nichtvertauschbar !vertauschbar !

25.07.2009MV.48

Roll-Pitch-Yaw-Winkel/Transformation

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

cos cos cos sin sin - sin cos cos sin cos + sin sin

sin cos sin sin sin + cos cos sin sin cos - cos sin

-sin cos sin cos cos

Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ

Θ Θ Θ Θ Θ

z y z y x z x z y x z x

y y x y x

R R Rot Rot Rot≡ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( )ΘΘΘΘ z z y y x xΘ Θ Θ

25.07.2009MV.49

Euler-Winkel/Transformation

R R≡ =( ) ,ΘΘΘΘ ΘΘΘΘE E tϕ ϑ ψa f

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

cos cos - sin cos sin -cos - sin cos

sin cos cos sin -sin cos

sin sin

ψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϑψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϕ ψ ϑ ϕ ψ ϑ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

sin cos sin sin

cos sin cos cos cos sin

sin cos cos

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

e e e e e e

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

x x’

y’zz’

φx’

x’’

y’y’’z’z’’

x’’

x’’’

y’’

y’’’

z’’z’’’

25.07.2009MV.50

Kardan-Winkel/Transformation

R R Rot Rot Rot≡ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( )ΘΘΘΘK K K Kx x y y z zΘ Θ Θ

=⋅ − ⋅

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

cos cosK K K K K

K K K K K K K K K K K K

Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ

y z y z y

x z x y z x z x y z x y

cos sin sin

cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos

sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos

25.07.2009MV.51

R R r R R R R R≡ = − −( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑ α β ϑ β αz y z y z

=− + − − − +− + − + − −− − − + − +

r r r r r r r

x x y z x z y

x y z y y z x

x z y y z x z

cos cos cos sin cos sin

cos sin cos cos cos sin

cos sin cos sin cos cos

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

a f a f a fa f a f a fa f a f a f

r = r r rx y zc ht ,

sin , cos

sin , cos ,

2 2 2 2

Drehung um Achsvektor

25.07.2009MV.52

Pose /Pose /

Position und OrientierungPosition und Orientierung

25.07.2009MV.53

y t f T1 2 1 26

( )= ≡ ∈ΘΘΘΘc h !

=−− +RST

14 24 34

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 32 1 2 33 1 2

1 2 21 1 2 11 1 2

b gc h

, , , ,

arcsin( )

arctan ( / cos( ), / cos( ))

ΘΘΘΘ Θ Θ Θ

Θ Θ ΘΘ Θ Θ

für I und II

für III und IVπ

Roll-Pitch-Yaw-Pose I

25.07.2009MV.54

z y z y x z x z y x z x

y y x y x

c he j =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

cos cos cos sin sin - sin cos cos sin cos + sin sin

sin cos sin sin sin + cos cos sin sin cos - cos sin

-sin cos sin cos cos

Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ ΘΘ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ

Θ Θ Θ Θ Θ

arcsin( )

arcsin( )=

−− +RST

für I und II

für III und IVπ

Θ Θ Θx y yt t1 2 32 1 2 33 1 22, , ,arctan ( / cos( ), / cos( ))=

Θ Θ Θz y yt t1 2 21 1 2 11 1 22, , ,arctan ( / cos( ), / cos( ))=

Roll-Pitch-Yaw-Pose II

25.07.2009MV.55

y t f T1 2 1 2,

t t( )K K K= ≡ΘΘΘΘc h

=−RST

14 24 34

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 23 1 2 33 1 2

1 2 12 1 2 11 1 2

b gc h

, , , ,

arcsin( )

arctan ( / cos( ), / cos( ))

ΘΘΘΘK K K K

für I und II

für III und IV

Θ Θ Θ

Kardan-Pose

25.07.2009MV.56

y t r f T1 2 1 2,

t( )A t A= ≡ϑc h

+ + −FH

+ + + −FH

=−−−

14 24 34

11 22 33

arccos

sin, .

für I oder II

für III oder IV

Drehachsenparameter

25.07.2009MV.57

RS|T|arcsin

arcsin

e je j

für I oder IV

für II oder III

RS|T|arccos

arccos

e je j

für I oder II

für III oder IV

=≡ ≥

arctan ( , )

arctan

a fa f

für I oder IV

für II oder III <

III IV

Mehrdeutigkeiten der arc-Funktionen

25.07.2009MV.58

Objektkoordinatensystem I

:= Ursprung des Körper- imReferenz-KS

x-Achse des Körper-KS in Richtung der Verbindungsgeraden von p1

R und p2

p p p1 2 3R R R, , := Koordinaten im Referenz-KS

x/y-Ebene des Körper-KS geht durch die Punkte p1

R, p2R und p3

25.07.2009MV.59

a ep p p p

p p p pR R

R R R R

R R R R≡ =

− × −

− × −z2 1 3 1

2 1 3 1

c h c hc h c h

o e e eR R R R≡ = ×y z x

n ep pp p

R RR R

R R≡ = −

−x2 1

Objektkoordinatensystem II

25.07.2009MV.60

Objektkoordinatensystem III

Te e e p

R R R R

x y zc h 1

e e e p e

R R R t R R

− ⋅− ⋅− ⋅

x y z y

25.07.2009MV.61

Objektkoordinatensystem IV

r = + +r r rx y z2 2 2

KJJ ∈

= × =x y z

= − + − + −a b a b a b a b a b a by z z y x z x x z y x y y x zc h b g c he e e

≡−−−

a b a b

y z z y

z x x z

x y y x

25.07.2009MV.62

Boeing

Anwendungsbeispiel I

Posemessung von BauteilenPosemessung von Bauteilen

BauteilfBauteilfüührung von Eintakthrung von Eintakt--in Montageposein Montagepose

Laser-Tracker

BauteilformkorrekturBauteilformkorrektur

25.07.2009MV.63

p p p1 2 3R;K R;K R;K, , := Koordinaten im Körper-

und Referenz-KS(hochgestellter Index K und R)

T T TRK

K'K mit=

−c h 1,

Te e e p

R R R R

x y zc h 1

e e e p e

K K K t K K

K Kc h c h−=

− ⋅− ⋅− ⋅

x y z y

Anwendungsbeispiel II

25.07.2009MV.64

ep p p p

p p p pzR;K

R;K R;K R;K R;K

R;K R;K R;K R;Kund=

− × −

− × −2 1 3 1

2 1 3 1

c h c hc h c h

e e ey z xR;K R;K R;K= ×

ep pp px

R;KR;K R;K

R;K R;K= −

−2 1

Anwendungsbeispiel III

25.07.2009MV.65

ObjektObjekt--orientiertesorientiertes

ProgrammProgramm--

DesignDesign

25.07.2009MV.66

Vektor<double> MessPointsIst(iDEF_DIMHomogeneKoodinaten),XYZ1Pos(iDEF_DIMHomogeneKoodinaten);

HMatrix<double> HT_RA;

::::::::::::::::::::::::::::::::

HT_RA.RPY(m_XYZAktuator.GetPoseRA());PosErrorA = XYZ1Pos - HT_RA * MessPointsIst;

Objekt-orientierter Programmentwurf

MS Visual C++MS Visual C++

25.07.2009MV.67

MesstechnischeMesstechnische

CharakterisierungCharakterisierung

derder

UnsicherheitenUnsicherheiten

von Maschinenvon Maschinen

25.07.2009MV.68

WerkzeugmaschinenWerkzeugmaschinen

RoboterRoboter

ReferenzReferenz--systemesysteme

Vermessung von Maschinen I

SchaublinSchaublin

25.07.2009MV.69

Die Maschinen sollten/mDie Maschinen sollten/müüssen unter den Betriebsssen unter den Betriebs--bedingungenbedingungen vermessen werden:vermessen werden:

•• KraftKraft-- und Momente,und Momente,

•• Temperatur usw.Temperatur usw.

Es wird Es wird üüberwiegend das stationberwiegend das stationääre Poseverhaltenre Poseverhaltenherangezogen. Dynamische Posemessungen werdenherangezogen. Dynamische Posemessungen werdenim Gegensatz zur Positionsmessung weniger verwirklichtim Gegensatz zur Positionsmessung weniger verwirklicht(Messmittel sehr teuer bzw. stehen nur einschränkt zur Verfügung).

Vermessung von Maschinen II

25.07.2009MV.70

Systematische Fehler

Messbereich

ideale Regressions-Sensor/Objekt-Gerade

Worst-Case-Fehler

DifferentielleFehler

MittlererFehler

25.07.2009MV.71

Vergleich mit Referenzmaßen

25.07.2009MV.72

Positionierverhalten einer Achse

- λ σ+ µ+ + λ σ+

- λ σ- µ- + λ σ-

UmkehrspanneUmkehrspanne

{ },v v v x y zu v v x y z∆ λ σ ϕ ϕ ϕ≤ + ∈UnsicherheitenUnsicherheiten

u µ µ+ −= −

SollSoll--positionposition

25.07.2009MV.73

99,99%4

- λ σ µ + λ σ

( ) { },v v v v v x y zw v x y zµ λ σ µ λ σ ϕ ϕ ϕ+ + − −≤ + − + ∈

Wiederholgenauigkeit einer Achse

( )XP X µ λ σ− <

25.07.2009MV.74

---------------------------------------------------------------Wost-Case-Größen

Differentielle Größen

Fehlergleichungen

Unsicherheiten

zufällige FehlerSystematische FehlerBezeichnung

im Sensor/Objekt- oder Referenz-KOS (Index S und R) beschrieben.{S, R}ε ∈

ε ε ε ε ε ε εM SE NE( ) ( ) ( )= + +r r r r r r r

ε ε ε ε εMSE SE( ) ( )= +r r r r r ε ε ε ε ε

MNE NE( ) ( )= +r r r r r

( ) ( )ε ε εMSE ba SE b SE a= −r r r r r∆∆∆∆

ε 2 ε ε 2 εN N

ε ε 2 ε ε 2 εMNE ba N N

ε 2 ε ε 2 εN N

( ) ( )

x a x b

y a y b

z a z b

+ = + +

∆∆∆∆

( ) ( ){ }ε ε ε ε εMSE SE b SE aE E

Max≤ −r r r r r∆∆∆∆

Systematische und zufällige Fehler

25.07.2009MV.75

mittlerer quadratischer Fehler(RMS)

mittlerer Betragsmessfehler

maximaler Messfehler

mittlerer Messfehler

Systematische FehlerBezeichnung

sind differentielle Größen zwischen Mess- und Referenzsystem im Sensor/Objekt-oder Referenz-KOS beschrieben. Liegen signifikante zufällige Messfehler vor, so ist

zu wählen (r ist entweder ein Positions- oder Orientierungsvektor).

ε εM R M RE E

= ∑r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆

{ }ε εM R Max ; ; M R ; ;Maxi x y z i x y z=r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆

2 2ε εM R M RE E

i iiI =

= ∑r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆

ε εM R M R

= ∑r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆

εM Rir∆∆∆∆

εM Ri i

r∆∆∆∆

∆ µ∆ µ∆ µ∆ µ

Genauigkeitskenngrößen systematischer Fehler

25.07.2009MV.76

Globale mittlere Streuung

Globaler mittlerer Fehler

ortsabhängige Streuung

ortsabhängiger Erwartungswert

Zufällige FehlerBezeichnung

k iikK =

= ∑rr

∆∆∆∆µ ∆µ ∆µ ∆µ ∆

( )ε εM R M R

k ii ikK =

= −∑r rr µ

∆∆∆∆σ ∆σ ∆σ ∆σ ∆

k ii kI K = =

= ∑∑rr

∆∆∆∆µ ∆µ ∆µ ∆µ ∆

( )ε εM R M R

M R1 1

k i ii kI K = =

= −∑∑r rr2222

∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆σ ∆ µσ ∆ µσ ∆ µσ ∆ µ

Ortsindex i, I := Anzahl der OrteMessindex k, K := Anzahl der Messungen

Genauigkeitskenngrößen bei signifikanten zufälligen Fehlern

25.07.2009MV.77

Problem: Erwartungswert und Streuung des zufälligen Prozesses sind unbekannt.

Erwartungswert und Streuung müssen über Messungen geschätzt werden. Die notwendigerweise endliche Stichprobenzahl N führt zwangsläufig zur Notwendigkeit der Angabe von Vertrauensintervallen. Die Vertrauensintervalle definieren Bereiche um die berechnet Werte, innerhalb derer die wahren Wert liegen.

Genauigkeitskenngrößen und Stichproben 1

25.07.2009MV.78

Der arithmetische Mittelwert der

normalverteilten Stichproben ist selbst eine

normalverteilte Zufallsgröße, deren Vertrauensintervall sich

über berechnet.

X XN =

= ∑nX

% % %P x PP X X PN N

σ σλ µ λ − ≤ ≤ + =

siehe Heinhold/Gaede Ingenieur-Statistik

Eine Reduktion des Vertrauensintervall auf

führt somit zu Stichproben.

% % ,P PqN

σλ σ λ=

q=] 0,1 ]q ∈

25.07.2009MV.79

Problem: Die Abschätzung der erforderlichen Stichproben setzt eine Kenntnis der Streuung voraus, die ihrerseits erst empirischermittelt werden muss.

Die Stichprobenzahl sollte hierfür um den Faktor 10 größer gewählt werden als bei der Berechnung des Erwartungswertes.

Ist der Prozess ortsinvariant, so kann man eine räumliche Mittelung vornehmen. Anderenfalls muss die Erhebung injeder Pose vollzogen werden.

25.07.2009MV.80

Die Fehlervektoren können sowohl im Sensor/Objekt- als auch Referenzkoordinatensystem beschrieben werden. Hierzu ist es notwendig, entweder die Sensor/Objektkoordinaten ins Referenz-oder die Referenzkoordinaten ins Sensorkoordinatensystem zu transformieren. Dabei müssen die Transformationsparameter hinreichend genau bekannt sein. Dieses bereitet im allgemeinen Schwierigkeiten, weshalb die unbekannten Transformations-parameter zunächst über das Minimierungsproblem

zu bestimmen sind.

S RR SM MS R OptMin ( )

1 1i i

− →

r rT p p

SR Optp

Fehlervektoren I

25.07.2009MV.81

Sodann können die Fehlervektoren im

Sensor/Objekt- oder Referenz-

koordinatensystem beschrieben werden.

S S RRM R M MS Opt( )

1 1 1i i i

r r rT p

∆∆∆∆ R S R1 RMR M M

S Opt( )1 1 1i i i−

r r rT p

∆∆∆∆

Fehlervektoren II

25.07.2009MV.82

Fehlervektoren III

S RR SM MS R OptMin ( )

1 1i i

− →

r rT p p

S S RRM R M MS Opt( )

1 1 1i i i

r r rT p

∆∆∆∆ R S R1 RMR M M

S Opt( )1 1 1i i i−

r r rT p

∆∆∆∆

OptimierungsproblemOptimierungsproblem

Sensor/ObjektSensor/Objekt--KSKS ReferenzReferenz--KSKS

25.07.2009MV.83

Eigenschaften verschiedenerEigenschaften verschiedener

MaschinenmodelleMaschinenmodelle

25.07.2009MV.84

Anzustrebende Eigenschaften der Modelle

I M M M E M( ) ( , , ) ( , ) , 0Q ε ε= ≡ − < >p f p x y y f p x

•• VollstVollstäändigkeitndigkeitDas gemessene Systemverhalten (Index M) wird mit ausreichender Genauigkeit beschrieben:

•• MinimalitMinimalitäättDas Modell weist eine minimale Anzahl von Parametern auf. Die schließt insbesondere auch Linearkombinationen zwischen den Parametern aus.

•• RobustheitRobustheitStetigkeit: Kleine Änderungen der Parameter und Eingangsgrößen bewirken nur kleine Änderungen der Ausgangsgrößen.Parameterunempfindlichkeit: Kleine Änderungen der Eingangs- und Aus-gangsgrößen bewirken nur kleine Änderungen der Parameter.

25.07.2009MV.85

Minimalität der kinematischen Transformation

n r tK K K= + +4 2 6

rK := Anzahl der Drehgelenke

tK := Anzahl der Schubgelenke

nk := Anzahl der Parameter des minimalen, vollständigenMaschinenmodells einer offenen und unverzweigtenkinematischen Kette

25.07.2009MV.86

ModellbildungModellbildungDenavit Hartenberg ‘55 Achsmodell Gewinn an Verlust Eindeutigkeit

MinimalitätHayati, Mirmirani ‘85 “ “ “Spur, Schröer ‘93 Stetigkeit, Vollständigkeit “ “

RangdefekteRall, Gossel ‘96 Konstruktion mini- nicht identifizier- keine Lösungs-

maler Modelle bare Parameter und Maschinen-genauigkeitWollnack ‘98 numerische Kon- identifizierbare

struktion minimaler Parameter, keine Lösungs-Modelle geordnet nach und Maschinen-

Signifikanz genauigkeit

Maschinenmodelle

25.07.2009MV.87

Eigenschaften kinematischer Achsmodelle I

ang Dim{ } { *}*J pp <Nicht-Minimalität / Rangdefekte ⇒ Mehrdeutigkeiten und Unsicher-

heiten der Parameteridentifikation

Denavit- ja ja (global) 4 rK + 4 tK + 6 bei parallelen AchsenHartenberg

Hayati- ja nein (global) 4 tK + 6 orthogonale Rotationsachsen; BeliebigenMirmirani nur lokal, für nicht Rotationsachsen, die sich im Ursprung

aufeinanderfolgende des Ausgangs-KS schneiden.identische Rotationsachsen

Veitschegger- ja ja (global) 5rK + 5 tK + 6 Rotationsachsen, die die z-Achse im Aus-Wu gangskoordinatensystem schneiden; bei

Rotationsachsen, die parallel zur x/y-Ebene liegen.

Trans- Stetig- Voll- Minimalitätformation keit ständigkeit 4 rK + 2 tK + 6 Rangdefekte

Roll-Pitch- ja ja (global) 6 rK + 6 tK + 6 Drehungen, bei der die z-Achse in die x/y-Yaw übergeht.

25.07.2009MV.88

Denavit-Hartenberg / DH - Transformation I

Gelenk +1i

Glied +1i

zi -1di

Glied -2i

Gelenk -1i

Gelenk i

Glied -1i

Glied i

25.07.2009MV.89

TransformationstypRangverlust bei parallelen Achsen Vollständigkeit ja (global) Stetigkeit ja Minimalität 4 parametrig

T R T T R= z z x xd a( ) ( ) ( ) ( )Θ α

Denavit-Hartenberg / DH - Transformation II

25.07.2009MV.90

Gelenk +1iGelenk i

yi -1 zi-1

Hayati-Mirmirani / HM - Transformation I

25.07.2009MV.91

Hayati-Mirmirani / HM - Transformation II

Transformationstyp(nur Drehgelenke)

Rangverlust Bei orthogonalen Rotationsachsenund beliebigen Rotationsachsen,die sich im Ursprung des Aus-gangskoordinatensystemsschneiden.

Vollständigkeit nein (global); nur lokal, für nichtaufeinanderfolgende identische Rotationsachsen

Stetigkeit ja Minimalität 4 parametrig

T R T R R= z x x ya( ) ( ) ( ) ( )' ' ''Θ α β

25.07.2009MV.92

Veitschegger-Wu / VW - Transformation

TransformationstypRangverlust Bei Rotationsachsen, die die z-Achse im

Ausgangskoordinatensystem schneidenund bei Rotationsachsen, die parallel zurx/y-Ebene liegen.

Vollständigkeit ja (global) Stetigkeit ja Minimalität 5 parametrig

T R T T R R= z z x x yd a( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ''Θ α β

Kombination der DHKombination der DH-- und HMund HM--AnsAnsäätze mit dem Ziel, die tze mit dem Ziel, die RangRang--verlusteverluste ffüür aufeinanderfolgende identische Achsen r aufeinanderfolgende identische Achsen auszuauszu--schlieschließßenen..EinfEinfüührung eines weiteren Drehwinkels mit dem Verlust an hrung eines weiteren Drehwinkels mit dem Verlust an MinimalitMinimalitäät.t.

25.07.2009MV.93

FFüür Maschinen mit Translationsachsenr Maschinen mit Translationsachsenexistieren bisher keineexistieren bisher keine

minimalen Modelleminimalen Modelle

Eigenschaften kinematischer Achsmodelle II

25.07.2009MV.94

SCARA / HorizontalSCARA / Horizontal--KnickarmKnickarm--

Selective-Compliance-Assembly-Robot-Arm

WerkzeugmaschinenWerkzeugmaschinen

Roboter aufRoboter aufLinearachseLinearachse

Beispiele für Systeme mit Linearachsen

25.07.2009MV.95

Foulloy, Davies ‘84/’90 Fehlermatrizen einfach nur lokalHayati ‘85 Parameter- ID (simulativ) global höherer AufwandHayati, Roston ‘86 Parameter- ID (experimentell) einfach nur lokal

FehlerkorrekturFehlerkorrektur

Behrens, Roos ‘98 Subraum-Parameter einfach, global suboptimalWollnack ‘95 2D-SCARA-ID on-line nicht global, suboptimal

Genauigkeitssteigerung von Maschinenmodellen

Verringerung der Verringerung der Fertigungstoleranzen der Bauteile Fertigungstoleranzen der Bauteile sind technisch und wirtschaftlich sind technisch und wirtschaftlich

Grenzen gesetzt.Grenzen gesetzt.

Identifikation

25.07.2009MV.96

Idee der Maschinen-Kalibration

Modellparameter ausModellparameter ausgemessenemgemessenem

PositionierverhaltenPositionierverhaltenberechnenberechnen

3D3D--ModellModell

Globale KalibrationGlobale Kalibration

25.07.2009MV.97

WerkzeugmaschineWerkzeugmaschineM M M

M M M Cx y zx y z= + + +r u u u r

Position kartesischer AchsenPosition kartesischer Achsen(Orthogonalit(Orthogonalitäätsfehler)tsfehler)

M M MC M M Mx y zx y z= − = + +r r r u u u∆∆∆∆

Differenzielle PositionDifferenzielle Position(werkstückbezogen)

Sensorposition Sensorposition (werkstückbezogen)M S

Systeme mit Linearachsen 1

; ; M 1x y z =u

GetriebeübersetzungSpindelsteigungSensorwert pro moder rad/grad

25.07.2009MV.98

M M MC M M Mx y zx y z= − = + +r r r u u u∆∆∆∆

Kinematische Inverse Kinematische Inverse (werkstückbezogen)

FFüür existiert eine einfache analytisr existiert eine einfache analytische che LLöösung sung (keine Orthogonalit(keine Orthogonalitäätsfehler)tsfehler)::

; ; M ; ; Mx y z x y z=u e

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

25.07.2009MV.99

Kartesische kinematische Inverse mit OrthogonalitKartesische kinematische Inverse mit Orthogonalitäätsfehlerntsfehlern(werkstückbezogen)

M M MS M M M Sx y zx y z− = + + −r r u u u r∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

{ }MM M M M

M M M S EMin x y zx y z+ + − →

ru u u r r∆∆∆∆

Kinematische Inverse als Minimierungsproblem Kinematische Inverse als Minimierungsproblem (werkstückbezogen)

( )tM M M MS x y z− → =r r r∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆ Analytische LAnalytische Löösung ?sung ?

25.07.2009MV.100

Sofern die OrthogonalitSofern die Orthogonalitäätsfehler hinreichend klein sind,tsfehler hinreichend klein sind,kköönnen die Startwerte des Minimierungsverfahrensnnen die Startwerte des Minimierungsverfahrensanalytisch mit dem orthogonalen Modell analytisch mit dem orthogonalen Modell üüberber

berechnet werden.berechnet werden.

( ) ( )ttM t M M M0 x y z

x y z r r r= =r ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

Mit dem NewtonMit dem Newton--Verfahren Verfahren (numerisch Paul(numerisch Paul--Verfahren) Verfahren) lassen lassen sich iterativ die Maschinenkoordinatensich iterativ die Maschinenkoordinatenberechnen. Der Fixpunkt der Iteration berechnen. Der Fixpunkt der Iteration produziert die Lproduziert die Löösung des inversen Problems.sung des inversen Problems.

M M1 N ( ) , {0,1, }i i i+ = ∈r f r …

M * M *N ( )=r f r

25.07.2009MV.101

Analytische 4Analytische 4--PunktePunkte--KalibrationKalibration

( )tS S S S1 0 0 0x y z=p

( )tS S S S2 1 0 0x y z=p

( )tS S S S3 0 2 0x y z=p

( )tS S S S4 0 0 3x y z=p

C unbekannt!r

25.07.2009MV.102

Empirische Bestimmung SteuerungskoordinatensystemsEmpirische Bestimmung Steuerungskoordinatensystems

33--PunktePunkte--FormForm

( )tS S S S1 0 0 0x y z=p

( )tS S S S2 1 0 0x y z=p

( )tS S S S3 0 2 0x y z=p

Te e e p

R R R R

x y zc h 1

tR R R R RR 1K

x y z y

− −=

e e e p eT

C unbekannt!r

25.07.2009MV.103

Aus der Definition des SteuerungskoordinatensystemsAus der Definition des Steuerungskoordinatensystemsfolgt die notwendige Bedingung:folgt die notwendige Bedingung:

( )( )( )

y yx yy

z zx zy zz

25.07.2009MV.104

Wie lassen sich die Modellkonstanten Wie lassen sich die Modellkonstanten empirisch bestimmen?empirisch bestimmen?

, { , , }C x y zPεε

ε ε= ∈

Welche transformationsinvariante GrWelche transformationsinvariante Größößenenlassen sich hierflassen sich hierfüür heranziehen?r heranziehen?

25.07.2009MV.105

Empirische Bestimmung der ModellkontantenEmpirische Bestimmung der Modellkontanten

( )tR S S Si i

x y z↔r S S A Ai j i j− = −r r r r44--PunktePunkte--FormForm

( )tS S S S1 0 0 0x y z=p

( )tS S S S2 1 0 0x y z=p

( )tS S S S3 0 2 0x y z=p

SSS S01 0SSR R01 0 z

yyx xC

−= = − r r

SSS S02 0SSR R02 0 z

xxy yC

−= = − r r

SSS S03 0SSR R03 0

xxz zC

−= = − r r

( )tS S S S4 0 0 3x y z=p

25.07.2009MV.106

R A A RR A , {1,2,3,4}i i i= + ∈r D r t

( )R R A A R A R RR A R Ai j i j⇒ − = + − +r r D r t D r t

( )R R A A ARi j i j⇒ − = −r r D r r

R R A AARR R A A

i j i j

− −⇒ =

− −r r r r

Dr r r r

R RR 1 0A R R

−=−

r ru D

r rR R

R 2 0A R R

−=−

r ru D

R RR 3 0A R R

−=−

r ru D

Empirische Bestimmung der normierten AchsrichtungsvektorenEmpirische Bestimmung der normierten Achsrichtungsvektoren

R R A Ai j i j− = −r r r r

44--PunktePunkte--Form:Form:

25.07.2009MV.107

Min ( , , ) ( , , ) , mitI

i i i ii=

→ ∑p r p x y r p x y p

E( , , ) ( , , ) ( , , )i i i i i i=r p x y r p x y r p x y

Iterative Parameteridentifikation kartesischer SystemeIterative Parameteridentifikation kartesischer Systeme

Minimierungsproblem:Minimierungsproblem:

Startwerte analytisch Startwerte analytisch üüber 4ber 4--PunktePunkte--MethodeMethodeberechnen.berechnen.

25.07.2009MV.108

( )S S S R AM M M R( , , ) ( ) , miti i x i x y i y z i z iC x C y C z= + + − +R

Ar p x y u u u D r tΘΘΘΘ

( )tt t t t A tM M M Rx y z x y zC C C= R

Ap u u u tΘΘΘΘ

( )tx y z=xR=y r

Residuum:Residuum:

( )( )( )

y yx yy

z zx zy zz

Verhalten Maschinen und Modellen - TUHH · 2009-07-25 · 25.07.2009 MV.32 Dr.-Ing. habil. Jörg...

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