Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

1

Begriff der Zufallsgröße

Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:

Beispiele: • Punkte beim Werfen zweier Würfel• Zeit beim Warten auf den Bus• Ja= 1 nein = 0

Formal Abbildung:

:X

Im Beispiel:

4)2,2(

3)1,2(

3)2,1(

2)1,1(

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

2

Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen

benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Sie ist definiert als .)()( xXPxf

36/3)4(

36/2)3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

3

Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt

man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine

Zufallsgröße definiert als )()( xXPxF X

36/)321()4(

36/)21()3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

4

Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen

sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen

Werten .

Dann sind der Erwartungswert und die Varianz

wie folgt definiert:

)(

)())(()))((()(

)()(

1

22

1

XVar

xXPXExXEXEXVar

xXPxXE

x

n

iii

n

iii

nxx ,...1

X

)(XE )(XVar

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

5

Beispiel: Einfacher Würfel

5.36*6

15*

6

14*

6

13*

6

12*

6

11*

6

1)( XE

7.19.2

9.2)5.36(*6

1)5.35(*

6

1)5.34(*

6

1

)5.33(*6

1)5.32(*

6

1)5.31(*

6

1)(

222

222

X

XV

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

6

Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen

Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten

a und b):

)()(

)()(2 XVarbXbaVar

XEbaXbaE

X

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

7

Binomialverteilung: Idee

Frage:

Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß hiervon m Tiere erkrankt sind?

• insgesamt N Tieren

• davon sind M erkrankt

• und (N-M) nicht erkrankt

Betrachtet wird ein Bestand mit

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

8

Binomialverteilung: Formal

iX

erkranktnichtTiergezogenestesifalls

erkranktTiergezogenestesifallsX i ,0

,1

n

iiXXmitmXP

1

?,)(Frage:

ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen

Dann gilt:

PN

MXP i )1(

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

9

Binomialverteilung: Definition

mnm PPm

nmXP

)1()(

Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen

0-1-Variablen , heißt binomial-verteilt mit

Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)

Es gilt

n

iiXX

1

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

10

Binomialkoeffizient: Definition

))(...21()...21(

)...21(

)!(!

!

mnm

n

mnm

n

m

n

Beispiel

Die Größe

1062

120

)321()21(

)5...21(

2

5

heißt Binomialkoeffizient.

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

11

Binomialverteilung: Anwendungen

• krank vs. gesund

• schwarzbunt vs. braun

• Niedersachsen vs. Bayern

• Grenzwert überschritten vs. unterschritten

• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich

Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

12

Binomialverteilung: Beispiel

Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10

gezogene Stichprobe n = 5

• Hormonuntersuchung bei Kälbern

0729.0729.001.010)9.0(1.02

5)2(

329.0656.01.05)9.0(1.01

5)1(

591.0591.011)9.0(1.00

5)0(

32

41

50

XP

XP

XP

etc.

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

13

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

14

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

15

Binomialverteilung: Eigenschaften

• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere

E(X) = n P

Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5

• Varianz

Var(X) = n P (1-P)

Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

16

Stetige Zufallsgrößen

b

adxxfbXaP )()(

• Darstellung durch Dichtefunktion f

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

17

:

dxxfbFXPb

)()(b)(

Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Dic

hte

b

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

18

a b

Stetige Gleichverteilung

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

19

Stetige Gleichverteilung

]);([~ baGX

)(1

)(

1)(

axab

xF

abxf

für

für

12

)()(

2)(

2abXVar

baXE

bxa

bxa

Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt

Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

20

Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen

Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man:xf

dxxfXExXEXEXVar

dxxxfXE

)())(()))((()(

)()(

22

X

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

21

Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen

Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):

)()(

)()(2 XVarbXbaVar

XEbaXbaE

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

22

Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt:

2,

2

2)(

2

1exp

2

1:)(

x

Xf X

2 und

Erwartungswert Varianz 2)( XVar

Normalverteilung: Definition

)(XE

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

23

3210-1-2-3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Dichte der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)

3210-1-2-3

1.0

0.5

0.0

Verteilungsfunktion der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)

Normalverteilung

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

24

Normalverteilung

);(~ 2NX

dtexF

sfunktionVerteilung

dtexf

tx

x

2)(5,0

2)(5,0

2

1)(

2

1)(

Beschreibung: „Glockenkurve“

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

25

Anwendung der Normalverteilung

Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodellin vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei

• Metrische Größen einer Population• Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen• Natürliche Variabilität• Messfehler

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

26

Schwankungsbereiche der Normalverteilung

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

27

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

28

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

29

Beispiel zur Normalverteilung

Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen:

Studie:Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

30

Quantile der Normalverteilung: Beispiel

• P (X > 20)

• P (5 < X < 20)

• P (-2 < X < 15)

Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =5.Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: