Krümmung in der Mathematik

und Physik Lange Nacht der Wissenschaften 15. 6. 2018

Dr. rer. nat. Frank Morherr Technische Universität Dresden

www.scilogs.de/die-sankore-schriften/files/geometriendesunivefrsums.jpg de.wikipedia.org/wiki/Nichteuklidische_Geometrie Wolfram Mathworld

Was ist Krümmung?

• Gerade soll Krümmung Null haben.

• Prototyp Kreis

- großer Radius, kleine Krümmung:

- kleiner Radius, große Krümmung:

Daher liegt nahe zu definieren:

Krümmung k = 1/R

Quelle: www.shopzeus.co.uk

Wie passt die Gerade hier rein?

Erdoberfläche ist gekrümmt,

trotzdem hielt sich hartnäckig

bis ins 15.Jh. die Ansicht

einer Scheibe.

Grund: Erdradius so groß,

dass man Krümmung auf

1. Blick nicht sieht.

Gerade ist Kreis mit großem Radius.

Quelle: Mein erstes Buch von Himmel und Erde

Quelle: www.astronomie.de/bibliothek/kleines-lehrbuch-der-astronomie

Krümmung anderer Kurven der Gestalt

Differentialrechnung:

• Steigung Kurve = Steigung

Tangente =

• Krümmung Kurve =

Krümmung des

Krümmungskreises

Nötig hierfür:

Was ist der Krümmungskreis?

Annäherung von P´ und P´´

auf P ergibt Krümmungskreis

mit Radius

ghghg

2.51.250-1.25-2.5

3.75

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

x

y

x

y

www.matheprisma.de/Module/Kurven/pages/node21.htm

Krümmung mit Vorzeichen

Mathematisch positive

Richtung ist entgegen dem

Urzeigersinn, daher

Positiv = Linkskrümmung

Steigung der Ableitung wächst

Negativ = Rechtskrümmung

Steigung der Ableitung fällt

http://www.netalive.org/rationale-funktionen/chapters/2.3.3.html

Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen

Für Kurven der Gestalt

mit Parameter t gilt für die

Krümmung

Beispiel Ellipse

Schnittkrümmung von Flächen

• Schnitt von Flächen mit

Ebenen ergibt Schnittkurven mit

Krümmung

• Hauptkrümmungen

= minimale und maximale

Krümmung

• Satz von Meusnier:

Abhängigkeit Krümmung von Winkel

der Schnittebene: Krümmungskreise

aller ebenen Schnitte durch dasselbe

Linienelement, d.h. Punkt mit

zugehöriger Tangentenrichtung der

Fläche liegen auf einer Kugel

• Hauptkrümmungsrichtungen

stehen senkrecht aufeinander. Quelle: hades

Quelle: hades

Gaußsche Krümmung K

Theorema Egregium:

Gaußkrümmung K

hängt nur von der

Inneren Geometrie

der Fläche ab, nicht

von dem

umgebenden Raum

Quelle: https://geom.ivd.kit.edu/59_210.php

Theorema Egregium von Gauß

http://scienceblogs.de/mathlog/2014/06/27/linksdrehende-uhren http://galerie.chip.de/k/landschaft-natur/makro/ameise/440614

Anwendung: Ist das Universum flach oder gekrümmt?

Gauss, 1818: Messung der

Winkelsumme im Dreieck

Brocken-Inselsberg-Göttingen

→ Erdkrümmung 0

<1

Winkelsumme:

180

0

1

Winkelsumme:

180

0

1

Winkelsumme:

180

Messung durch

Interferometer, z.B.

Lisa (ursprünglich

zum Nachweis von

Gravitationswellen)

Quelle: Sterne und Weltraum

Mittlere Krümmung H

Bei Minimalflächen

= Flächen minimaler

Oberfläche bei

vorgegebenem Rand

H = 0

Beispiel:

• Seifenhautgebilde

Oberflächenenergie ist

minimal

http://www.muenchenarchitektur.com

www.uni-regensburg.de/mathematik/fakultaet/sonstiges/mathematische-modellsammlung/index.html

Bilder verschiedener Minimalflächen

Enneperfläche

Katenoid

Scherksche Fläche

Hennebergfläche

Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Minimalflaeche

Geodäten

Geodäte ist lokal kürzeste

Verbindung zweier Punkte

auf einer Fläche

• Teile von Geraden auf Ebenen

• Teile von Großkreisen auf Kugeln

- Fluglinien

Allgemein: Lösungen der

Geodätengleichung

Quelle: http://scienceblogs.de/mathlog/2009/08/28/

topologie-von-flachen-lxxx

Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik

Gegeben Polyeder (Vielflach)

• e : Anzahl der Ecken

• k : Anzahl der Kanten

• f : Anzahl der Flächen

Dann gilt

Eulercharakteristik:

Platonsche Körper

www.solon-line.de/2007/03/31/

mysterium-cosmographicum

http://www.faltgeometrie.ch/ueberuns/

platonische-koerper/index.html

Historisch: Versuch der Gleichsetzung der Platonischen

Körpern mit den 4 bzw. 5 (Quintessenz!) Elementen der

griechischen Antike

http://www.rhenania-buchversand.de/data/pictures/930864_1.jpg

Flächen unterschiedlicher Eulercharakteristik

Kugel Torus Brezelfläche

2006 Heiko Burkhardt Lilano.com

http://mathworld.wolfram.com

GriffithsHarrisAlgebraicGeometry

Mathematik im Fernsehen: Simpsons

Topologie von Schmalzkringeln (Donuts)

Satz von Gauß-Bonnet

Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik

mit der differential-geometrischen Größe Krümmung

K : Gaußkrümmung

M : Fläche

: stückweiser glatter Rand der Fläche

: geodätische Krümmung der Randkurve von M

: Eulercharakteristik von M

: Außenschnittwinkel an Ecken des Randes

Für glatten Rand sind alle Außenschnittwinkel Null und es folgt:

Beispiel 1 zur Gauß-Bonnet-Formel

Beispiel 2 zur Gauß-Bonnet-Formel

Satz von Gauß-Bonnet für glatten Rand

Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik

mit der differential-geometrischen Größe Krümmung

K : Gaußkrümmung

M : Fläche

: glatter Rand der Fläche

: geodätische Krümmung der Randkurve von M

: Eulercharakteristik von M

Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet

Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt:

Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen

Randkurven aus Geodäten bestehen, ist

http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec15.html

Die hyperbolische Kreisscheibe

Konstruktion Geodäten

Modell einer Geometrie mit unendlich vielen „Parallelen“

durch einen Punkt zu einer vorgegebenen „Geraden“.

Gläser: Mathematischer :Werkzeugkasten

Kunst von M. C. Escher

Der Riemannsche Krümmungstensor

• Auf gekrümmten Flächen

ändern Vektoren nach

Paralleltransport ihre

Richtung.

• Einführung des Symbols

als Ableitung des

Vektorfeldes Y in

Richtung des Vektorfeldes

X

• Riemannscher

Krümmungstensor:

Einsteinsche Feldgleichung

• Ric : Riccitensor

• R : Skalarkrümmung, Spur von

Ric, R = 2K, K G.-Krümmung

• T : Energie-Impuls-Tensor

• g : Metrik (Abstandsfunktion)

• Λ : Kosmologische Konstante

Spezielle Lösung:

Schwarzschildmetrik eines

schwarzen Loches: Bublath,: Das neue Bild der Welt

Albert Einstein und das Universum

Kurzbiographie:

1879 geboren 14. März in Ulm

1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich

1902 Patentamt in Bern

1905 spezielle Relativitäts- theorie

1908 Habilitation

1915 Allgemeine Relativitäts- theorie

1921 Nobelpreis

1933 Umzug nach Princeton

1955 Stirbt am 18. April

www.planet-wissen.de/politik_geschichte/persoenlichkeiten/

albert_einstein/img/tempx_einstein_pult_g.jpg

Spezielle Relativitätstheorie

• Zeitdehnung

•Längenkontrak-

tion

•Massenzuwachs

Raum + Zeit = Raumzeit

Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag

Visualisierte Lorentz-Kontraktion

Visualisierte Lorentz-Kontraktion

Wieso kann man die Rückseite sehen?

Wenn die Platte sich

schnell genug bewegt,

genug bewegt, gelang

Licht von der Rückseite

zum Beobachter B Quelle: Fokus Sek

II

Visualisierte Lorentz-Kontraktion

Nachweise der speziellen Relativitätstheorie

Was ist Was: moderne Physik, Tessloff-Verlag www.scfx.ch/lorber/sonne.htm

Einsteingalerie.de

Allgemeine Relativitätstheorie

Beschrieb Verhalten von

Körpern unter

Schwerkraft, doch Grund

für deren Existenz fand er

nicht.

Massen krümmen die

Raumzeit, wodurch

umlaufende Körper wie

auf einer schiefen Ebene

eine Kraft nach innen

erfahren.

Albert

Einstein

(1879-1955)

Isaac

Newton

(1643-1727)

PM Magazin PM Magazin

PM Magazin

Gravitation bei Newton und Einstein

▪ Jeder Körper übt auf einen anderen Körper

eine anziehende Kraft aus.

Sir Isaac Newton

(1643 – 1727)

▪ Raum und Zeit sind zwei voneinander

unabhängige Erscheinungen.

Albert Einstein

(1879 – 1955)

Gravitationsgesetz

(1686)

Allgemeine Relativitätstheorie

(1915)

▪ Die Gravitationswirkung breitet

sich instantan (unendlich schnell) aus.

2

21

r

m mG

F

2

311-

s kg

m 10 6.673 G

m1 m2

F r

F

▪ Gravitation ist eine Eigenschaft von

Raum und Zeit; jede Masse bewirkt eine

Krümmung der 4-dimensionalen Raumzeit.

▪ Bewegte Massen erzeugen Änderungen in

der Krümmung, die sich mit Lichtgeschwind-

igkeit ausbreiten → Gravitationswellen.

x

y

(Gravitationskonstante)

Allgemeine Relativitätstheorie

In großen Schwerefeldern

vergeht die Zeit langsamer.

Auf Neutronensternen könnte man seinen

Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern

herumläuft.

Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag

Was ist Was: Moderne Physik, Tessloff-Verlag

Scheinbare

Positionsänderung

von Sternen bei

totaler

Sonnenfinsternis

Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie

Periheldrehung des Merkur

Schwarze Löcher als Gravitationslinse

Bublath,: Das neue Bild der Welt

Periheldrehung des Merkur

• Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in

deren einem Brennpunkt die Sonne steht

• Beeinflussungen der Planeten untereinander führen zu Störungen,

so dass sich der sonnennächste Punkt (Perihel) mit der Zeit

verschieben kann

• Perihel des Merkur dreht sich auch abzüglich der Einflüsse der

anderen Planeten noch zusätzlich um die Sonne mit einer

Winkelgeschwindigkeit von 43,1±0,5 Bogensekunden pro

Jahrhundert.

• Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte dieser Effekt

erklärt werden.

• Einsichtig wird dies so: Schneidet man

die sich im Zentralkraftfeld ergebende

Ellipse ein und drückt sie zusammen, so

schließt sie sich nicht mehr sondern wird

rosettenförmig und der Raum wird ein „Kegel“

Gravitationswellen sich umkreisender Pulsare 1974: Hulse/ Taylor, Pulsare (PSR 1913/16) Nobelpreis 1993

http://www.weltderphysik.de/gebiet/astro/news/

2012/pulsare-als-detektoren-fuer-gravitationswellen

Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Neutronenstern

Einsteinlinsen, Einsteinkreuze und Anwendung

Dunkle Materie

Dunkle Materie, die nicht direkt sichtbar, aber mit

„Gravitations-Wechselwirkung“ behaftet ist, wird in der

Kosmologie postuliert, weil im Standardmodell der

Kosmologie nur so die Bewegung der sichtbaren Materie

erklärt werden kann, insbesondere die Geschwindigkeit, mit

der sichtbare Sterne das Zentrum ihrer Galaxie umkreisen.

In den Außenbereichen ist diese Geschwindigkeit deutlich

höher, als man es allein auf Grund der Gravitation der

Sterne, Gas- und Staubwolken erwarten würde.

Indirekt ist die Dunkle Materie durch ihre

Gravitationswechselwirkung dennoch beobachtbar,

z. B. durch Gravitationslinsen in der Astronomie

Zukunft des Universums

http://abyss.uoregon.edu/~js/cosmo/lectures/lec15.html

Räumliche Krümmung, zeitliche Krümmung und

raumzeitliche Krümmung: Eine Veranschaulichung

Einzelheiten: Siehe Sterne und Weltraum Feb. Seite 38/März Seite 50

Relativitätstheorie im Alltag Was Navigationssysteme mit Einstein zu tun haben

Global

Position

System

(GPS)

PM Magazin

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und noch

viel Spaß bei der

DD Langen Nacht der Wissenschaften 2018