( ) Dipl.-Ing. Klaus Menny (auth.)-Strömungsmaschinen-Vieweg+Teubner Verlag (1985)

Strmungsmaschinen

Von Dipl.-Ing. Klaus Menny Professor an der Fachhochschule Hannover

Mit 225 Bildern, 37 Tabellen und 48 Beispielen

B. G. Teubner Stuttgart 1985

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Menny, Klaus: Strmungsmaschinen I von Klaus Menny. Stuttgart : Teubner, 1985

ISBN 978-3-519-06317-9 ISBN 978-3-322-96735-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96735-0

Das Werk ist urheberrechtlich geschtzt. Die dadurch begrndeten Rechte, besonders die der berset-zung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder hnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervieif

Vorwort

Dieses Buch ist auf eine Anregung des Verlegers aus meinen Vorlesungen an der Fachhoch-schule Hannover hervorgegangen. Es wendet sich vor allem an die Studenten des Maschi-nenbaus, doch wird es auch den in der Praxis stehenden Ingenieuren von Nutzen sein, insbesondere solchen, die sich am Rande ihres Aufgabenbereiches mit Strmungsmaschi-nen beschftigen wollen.

Mathematische Kenntnisse in dem Umfang, wie sie das Grundstudium der Fachhoch-schulen vermittelt, reichen bei weitem aus. Die wichtigsten Grundlagen aus der Hydro-mechanik und Thermodynamik werden in einem einleitenden Kapitel hergeleitet, das die Strmungsmaschinen in ihrer Gesamtheit behandelt. Die weiteren Kapitel, die auch je fr sich allein lesbar sind, behandeln die einzelnen Maschinenarten. Aufbau, Wirkungsweise und Betriebsverhalten werden beschrieben und durch Abbildungen und Kennlinien ver-deutlicht. Ferner werden Berechnungsverfahren und Unterlagen fr die Ermittlung der Hauptabmessungen angegeben. Es war dabei mein Bestreben, dem Verstndnis des Lesers dadurch entgegenzukommen, da die Ergebnisse, wo immer das mglich war, aus bekann-ten Grundtatsachen heraus hergeleitet werden. Ist doch die Beschftigung mit den Str-mungsmaschinen in der Ingenieurausbildung nicht nur um ihrer selbst willen wertvoll, sondern nicht zuletzt, weil hier Anwendungen des Grundlagenwissens deutlich werden.

Gleichungen sind ausnahmslos als Grengleichungen geschrieben worden, so da die Wahl der Einheiten frei ist. In den Beispielen wurde das Internationale System verwendet, nmlich die Grundeinheiten m, kg, s, K und sonst nur solche, die sich aus ihnen ohne andere Faktoren als ganze Zehnerpotenzen herleiten lassen. Insbesondere wurden die nicht kohrenten Zeiteinheiten min und h vermieden.

Meinem Kollegen K.-H. Kttner von der Technischen Fachhochschule Berlin danke ich fr zahlreiche Vorschlge zur Abfassung des Manuskripts und dem Teubner-Verlag fr die gute Zusammenarbeit.

Hannover, im Februar 1985 Klaus Menny

Inhalt

1 Gemeinsame Grundlagen der Strmungsmaschinen

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Einleitung . . . 1.1.1 Definition 1.1.2 Einteilung 1.1.3 Vergleich mit Kolbenmaschinen

Hydromechanische und thermodynamische Grundlagen 1.2.1 Kontinuittssatz . . . . . . . . . 1.2.2 Bernoullische Gleichung . . . . . . 1.2.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 1.2.4 Ideales Gas . . . . . . . 1.2.5 Idealer Dampf . . . . . . 1.2.6 Theorie der Dsenstrmung 1.2.7 Carnotscher Kreisproze. .

Energieumsetzung im Laufrad 1.3.1 Absolut- und Relativgeschwindigkeit, Geschwindigkeitsplne 1.3.2 Spezifische Stutzenarbeit und Wirkungsgrade 1.3.3 Impulsstze der stationren Strmung . . . . . . . . 1.3.4 Die Eulersche Hauptgleichung . . . . . . . . . . . 1.3.5 Anwendung des Energieerhaltungssatzes auf Strmungen

in rotierenden Kanlen ...... . 1.3.6 Gleichdruck- und berdruckprinzip . . 1.3.7 Reaktionsgrad und Beaufschlagungsgrad

hnlichkeitsbeziehungen und Kennzahlen 1.4.1 Modellgesetze 1.4.2 Kennzahlen . . . . . . .

Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit

Kavitation

2 Wasserturbinen

2.1 Einleitung

2.2 Typenbersicht und Einsatzgebiete

2.3 Pelton-Turbinen ....... . 2.3.1 Wirkungsweise und Bauformen 2.3.2 Betriebsverhalten . . . . . . 2.3.3 Festlegung der Hauptabmessungen

9 9

10 12

12 12 13 13 15 17 19 23

25 25 27 31 32

33 34 36

38 38 40

44

44

46

48

49 49 53 56

2.4 Francis-Turbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Allgemeine bersicht . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Zusammenhang zwischen Radform und Schnellufigkeit 2.4.3 Laufradberechnung 2.4.4 Betriebsverhalten

2.5 Kaplan-Turbinen . . . 2.5.1 Bauformen . . . 2.5.2 Laufradberechnung

3 Dampfturbinen

3.1 Einleitung

3.2 Der Dampfkraftproze . . . . . . . . . 3.2.1 Der einfache Clausius-Rankine-Proze 3.2.2 Speisewasservorwrmung 3.2.3 Zwischenberhitzung 3.2.4 Der wirkliche Proze 3.2.5 Der Sattdampfproze

3.3 bersicht ber Turbinenbauarten 3.3.1 Kammerturbinen und Trommelturbinen 3.3.2 Kraftwerksturbinen 3.3.3 Industrieturbinen 3.3.4 Schiffsturbinen . 3.3.5 Kleinturbinen

3.4 Theorie der Einzelstufe 3.4.1 Einleitung . . . 3.4.2 Eindimensionale Theorie der Axialstufe 3.4.3 Kenngren von Turbinenstufen 3.4.4 Curtis-Stufen. . . . . . . . . . . . 3.4.5 Das radiale Gleichgewicht der Strmung 3.4.6 Nadampfstufen . . 3.4.7 Gitterwirkungsgrade . . . 3.4.8 Weitere Stufenverluste . .

3.5 Auslegung mehrstufiger Turbinen 3.5.1 Rckgewinn . . . . . . 3.5.2 Stufeneinteilung 3.5.3 Verluste und Wirkungsgrade 3.5.4 Labyrinthdichtungen 3.5.5 Axialschub und Schubausgleich 3.5.6 Betrieb . . . . . . . . . .

4 Gasturbinen

Inhalt 5

58 58 61 63 65

68 68 72

78

82 82 84 87 89 92

93 93 95 98

102 .104

.105 105 106 .109 114 118 122 124 128

134 134 137 141 143 146 149

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6 Inhalt

4.2 Kreisprozesse. . . . . . . . . . . . 4.2.1 Idealprozesse . . . . . . . . . 4.2.2 Offener und geschlossener Proze 4.2.3 Verbrennung und Verbrennungsgas 4.2.4 Reale Prozesse . . . . . . . . . 4.2.5 Kombinierte Gas-Dampf-Prozesse .

4.3 Baugruppen . . 4.3.1 Turbinen 4.3.2 Verdichter 4.3.3 Brennkammern

4.4 Anwendungen . . . 4.4.1 Elektrische Energieversorgung 4.4.2 Pumpen- und Verdichterantrieb 4.4.3 Abgasturbolader 4.4.4 Fahrzeugturbinen . 4.4.5 Schiffsantriebe . . 4.4.6 Flugzeugtriebwerke

5 Kreiselpumpen

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

Einleitung

Bauformen ............ . 5.2.1 Schnellufigkeit und Laufradform 5.2.2 Mehrstufige und mehrflutige Pumpen 5.2.3 Weitere Konstruktionsformen

Berechnung radialer und halbaxialer Laufrder 5.3.1 Meridianform . . . . . 5.3.2 Geschwindigkeitsdreiecke 5.3.3 Relativer Kanalwirbel . . 5.3.4 Minderleistung . . . . . 5.3.5 Festlegen des Schaufelverlaufs 5.3.6 Doppelt gekrmmte Laufschaufeln

Berechnung weiterer Einzelteile 5.4.1 Radiale Leitapparate 5.4.2 Spiralgehuse 5.4.3 Axiale Schaufelgitter 5.4.4 Axialschub und Schubausgleich

Betriebsverhalten . . . . . . . . . 5.5.1 Theoretisch berechnete Kennlinie 5.5.2 Das tatschliche Verhalten der Pumpe 5.5.3 Haltedruckhhe und Kavitation. . . 5.5.4 Zusammenarbeit von Pumpe und Rohrleitung. 5.5.5 nderung des Betriebspunktes . . . . . . . 5.5.6 Verhalten der Pumpe auerhalb des normalen Betriebszustandes . 5.5.7 Pumpspeicherkraftwerke, Pumpenturbinen . . . . . . . . . .

156 156 161 162 165 169

174 174 177 177

179 179 180 180 182 182 183

186

187 187 188 191

194 194 197 199 .200 .202 .205

.209

.209

.211 214 .218

.221 221 .224 .226 .230 231 . 235 .237

6 Ventilatoren und Verdichter

6.1 Einleitung . . . . .

6.2 Ventilatoren . . . . 6.2.1 Radialventilatoren 6.2.2 Axialventilatoren . 6.2.3 Querstromventilatoren .

6.3 Verdichter . . . . . . . . . 6.3.1 Zwischenkhlung . . . 6.3.2 Bauformen von Verdichtern 6.3.3 Wellendichtungen. . . . . 6.3.4 Elementare Theorie der Verdichterstufe 6.3.5 Kennlinien. . . . . . . . .

7 Hydrodynamische Kupplungen und Wandler

7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . .

7.2 Fttinger-Kupplungen. . . . . . . 7.2.1 Funktionsweise und Kennlinien 7.2.2 Zusammenarbeit mit der Antriebsmaschine 7.2.3 Manahmen zur Beeinflussung der Kennlinie 7.2.4 Kupplungen mit vernderlicher Fllung

7.3 Fttinger-Drehmomentwandler . . 7.3.1 Aufbau und Wirkungsweise 7.3.2 Kennlinien. . . . . . . . 7.3.3 Stellwandler . . . . . . . 7.3.4 Hydrodynamische Getriebe.

8 Windrder und Propeller

8.1 Einleitung . . . .

8.2 Windrder. . . . 8.2.1 Vorbemerkung 8.2.2 Windradtheorie . 8.2.3 Bauformen . . .

8.3 Propeller. . . . . . . 8.3.1 Strahltheorie des Propellers. 8.3.2 Schraubenpropeller . . . 8.3.3 Voith-Schneider-Propeller .

9 Anhang

Schrifttum

Sachverzeichnis

Inhalt 7

241

.242

.242

.247 251

251 251 .254 .258 .259 .264

.267

.268

.268

.270 271 .272

.274

.274

.275

.278

.281

.284

.284

.284

.285

.288

291 291 .292 .294

.295

.302

.304

Formelzeichen (Auswahl)

A Flche u Umfangsgeschwindigkeit a Lichtweite V Volumen b Breite V Volumenstrom C Konstante spezifisches Volumen c Absolutgeschwindigkeit W Arbeit c p spez. Wrmekapazitt w spezifische Arbeit D Durchmesser w Relativgeschwindigkeit d Durchmesser Y spezifische Stutzenarbeit E Energiestrom z Anzahl e Exzentrizitt z Ortshhe F Kraft CI. Winkel zwischen c und u f Rckgewinnziffer f3 Winkel zwischen wund u H Fallhhe, Frderhhe cl Durchmesserzahl h Hhe b Spaltweite h Enthalpie Beaufschlagungsgrad K Drallkonstante Gleitwinkel L Lnge ( Verlustbeiwert I Lnge (A Auftriebsbeiwert M Moment (w Widerstandsbeiwert m Massenstrom ~ Wirkungsgrad n Drehzahl .9 Winkel zwischen Radius und p Leistung Meridianstromlinie p Druck K Isentropenexponent p Minderleistungsziffer ), Leistungszahl Q Wrme ), Rohrreibungskoeffizient Q Wrmestrom ),* Minderleistungskoeffizient q spezifische Wrme J1 Massenanteil R Gaskonstante J1 Schluckzahl R Radius Laufzahl

Radius n Druckverhltnis Reaktionsgrad Q Dichte

s Weg Q Radius Entropie (J Schnellufigkeit Profilsehnenlnge Verengungsfaktor

s Schlupf 'fJ Durchfl uzahl T absolute Temperatur 'fJ Zentriwinkel

Temperatur 'f' Durchflufunktion Zeit

1 Gemeinsame Grundlagen der Strmungsmaschinen

1.1 Einleitung

1.1.1 Definition

AufgabensteIlung. Unter der Sammelbezeichnung Strmungsmaschinen werden Wassertur-binen, Dampf- und Gasturbinen, Windrder, Kreiselpumpen und Kreiselverdichter sowie Propeller zusammengefat. Allen diesen Maschinen ist gemeinsam, da sie dem Zweck dienen, einem Fluid 1) Energie zu entziehen, um damit eine andere Maschine anzutreiben, oder umgekehrt, einem Fluid Energie zuzufhren, um dessen Druck zu erhhen. Die hydro-dynamischen Kupplungen und Drehmomentwandler, die gleichfalls zur Gruppe der Str-mungsmaschinen gehren, sind Kombinationen von Kreiselpumpen und Flssigkeitstur-binen.

Arbeitsprinzip. Kolbenmaschinen und Strmungsmaschinen, die die soeben beschriebene Aufgabe gemeinsam haben, unterscheiden sich voneinander durch die Art der Energie-umsetzung. Die Wirkungsweise einer Kolbenmaschine ist unmittelbar anschaulich zu verstehen. Be-zeichnet FK = pA die auf den Kolben wirkende Kraft, A die Kolbenflche und p den im Zylinder vorhandenen Druck, so ist die bei einer Kolbenbewegung um das Wegelement ds geleistete Arbeit

dW= FKds = pAds = pdV

Bei der Kolbenmaschine ist also die Arbeit urschlich mit einer V 0 I urne n n der u n g verbunden. In der Strmungsmaschine ist die Energieumsetzung indirekt und nimmt stets den Weg ber die kinetische Energie des Fluids. Am Beispiel einer einfachen Turbine (Bild 1.1 a) lt sich das verfolgen. Das Fluid tritt am Druckstutzen in die Maschine ein und fliet dann zunchst durch einen Kranz feststehender Leitschaufeln. Dabei erhht sich die Geschwin-digkeit und damit die kinetische Energie des Fluids auf Kosten seines Druckes oder exakter seiner potentiellen Energie. Zugleich entsteht durch die Form der Leitschaufeln eine Ge-schwindigkeitskomponente in der Umfangsrichtung des Laufrades. Im Laufrad gibt das Fluid seine kinetische Energie an den Lufer ab, indem die Richtung und oft auch der Betrag der Geschwindigkeit beim Durchstrmen der von den Laufschaufeln gebildeten Kanle verndert wird. Die dabei entstehenden Krfte treiben das Laufrad an. Mit vermin-dertem Energiegehalt tritt das Fluid aus dem Saugstutzen der Maschine aus.

1) Dieses aus dem Englischen bernommene Wort lateinischer Herkunft stellt eine gemeinsame Be-zeichnung fr Flssigkeiten und Gase dar, also fr solche Krper, die eine strmende Bewegung ausfhren knnen.

10 1.1 Einleitung

Im Laufrad einer Strmungs arbeitsmaschine (Bild 1.1 c) wird dem Fluid kinetische Energie zugefhrt. Die Leitschaufe1n sind hier hinter dem Laufrad angeordnet und haben den Zweck, einen Teil der kinetischen Energie durch Verzgerung der Strmung in eine Druck-erhhung umzusetzen. Der gleichen Aufgabe dient hier auch das Gehuse, dessen Quer-schnitte deshalb in Strmungsrichtung zunehmen.

Die beschriebene Art der Energieumsetzung ist fr alle Strmungsmaschinen typisch, sie arbeiten also nach dem Prinzip der Geschwindigkeitsnderung.

1.1 Prinzipbilder von Strmungsmaschinen

axiale Turbine a) Lngsschnitt b) zylindrischer Schnitt durch die Schaufelung

radiale Pumpe c) Lngsschnitt d) Querschnitt

Konstruktiver Aufbau. Alle Strmungsmaschinen sind prinzipiell so aufgebaut wie in Bild 1.1. Je nach dem Verwendungszweck sind aber zahlreiche Varianten mglich. Insbe-sondere ist oft die Hintereinanderanordnung von einem Leitrad und einem Laufrad, die als eine Stufe bezeichnet wird, mehrfach vorhanden (s. Abschn. 1.5). In anderen Fllen, etwa bei Propellern, kann auf ein Leitrad auch verzichtet werden, aber stets ist das mit Schaufeln besetzte La ufrad (Bild 1.1 Pos. 4) das wesentliche Bauelement aller Strmungsmaschinen. Dazu kommen in den meisten Fllen ein Gehuse (1) mit den Ein- und Austrittsstutzen (2 und 8), in das die Leitschaufe1n (3) eingesetzt sind. An den Stellen, wo die Welle (5) durch das Gehuse durchgefhrt ist, liegen Dichtungen (6). Die Lagerung (7) liegt von Ausnahmen abgesehen auer halb des vom Arbeitsfluid erfllten Raumes.

Zusammenfassung. Eine Strmungsmaschine soll einem Fluid Energie entziehen oder zu-fhren. Sie arbeitet nach dem Prinzip der Geschwindigkeitsnderung und ist dadurch gekennzeichnet, da sie ein rotierendes Laufrad besitzt, dessen Schaufeln vom Fluid um-strmt werden.

1.1.2 Einteilung

Strmungsmaschinen knnen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten eingeteilt werden (Bild 1.2).

Hydraulische und thermische Maschinen. Ein mgliches Unterscheidungskriterium ist die Kompressibilitt des Fluids. Die hydraulischen Maschinen wie Wasserturbinen und Kreiselpumpen arbeiten mit inkompressiblen Flssigkeiten. Dampfturbinen, Gasturbinen

1.1.2 Einteilung 11

und Verdichter sind Beipiele thermischer Strmungsmaschinen, deren Arbeitsfluide kom-pressibel sind.

1.2

'--__ ra_d_i_al __ ---'I I halbaxial I 1'=" __ a_X_ia_I __ --'

~6~ :==========IOamPf- u.Gasturb 11 Kreiselpumpen II'-v-er-d-ic-h-te-r--'

1 Kraftmaschinen I I Arbeitsmaschinen

~~/ hydraulische

Strmungsma schinen thermische

Str mungs masc hinen

inkompressibel I I kompressibel

~/ Einteilung der Strmungsmaschinen I Fluid I Kraft- und Arbeitsmaschinen. Strmungskraftmaschinen 1) oder Turbinen entziehen ei-nem Fluid Energie und geben sie an eine andere Maschine z. B. einen Generator ab. Die Arbeitsmaschinen wie Pumpen und Verdichter erhhen die Fluidenergie.

Aktions- und Reaktionsmaschinen. Nach der Art der Energieumsetzung unterscheidet man das Gleichdruck- oder Aktionsprinzip, bei dem sich die Geschwindigkeit im Laufrad nur der R ich tun g nach ndert, sowie das berdruck-oder Reaktionsprinzip, bei dem auch der Betrag der Geschwindigkeit verndert wird (s. Abschn. 1.3.6).

Radial- und Axialmaschinen. Die Hau p t s t r m u n g s r ich tun g im Laufrad bildet ein weiteres Unterscheidungsmerkmal. Neben radialen und axialen gibt es als Zwischenform halbaxiale oder diagonale Maschinen (Bild 1.3).

1.3 Laufradformen

a) radial b) halbaxial c) axial

') Die Worte Kraftmaschine und sinnverwandte Ausdrcke wie Kraftwerk, Kraft-Wrme-Kopplung sind sprachlich nicht korrekt. Sie sind berbleibsel einer Zeit, die die Begriffe Energie und Kraft noch nicht klar unterschieden hat.

12 1.1 Einlei tung

1.1.3 Vergleich mit Kolbenmaschinen

Aufbau. Die konstruktive Ein fa c hh ei t einer Strmungsmaschine ist ein wesentlicher Vorteil. Als einziges Bauteil bewegt sich der Lufer in der einfachen, in der Technik bevor-zugten rotierenden Bewegung, whrend eine Kolbenmaschine eine groe Zahl von Teilen hat, die in komplizierter Weise hin- und herlaufen und immer wieder beschleunigt und verzgert werden, was sich auf die Laufruhe der Maschine nachteilig auswirkt.

Drehmoment und Drehzahl. Aus den unterschiedlichen Arbeitsprinzipien ergibt sich, da das Drehmoment der Kolbenmaschine periodisch vernderlich, dasjenige der Strmungs-maschine dagegen zeitlich gleichfrmig ist. Bei manchen Anwendungen bedeutet das einen zustzlichen Vorteil.

Ein weiteres Unterscheidungsmerkmal ist die hhere Drehzahl der Strmungsmaschine. Dadurch bedingt kommt diese bei gleicher Leistung mit geringeren Abmessungen und geringerem Gewicht aus.

Verluste. Wegen der stets notwendigen Umsetzung von Druckenergie in kinetische Energie oder umgekehrt treten in der Strmungsmaschine zustzliche Verluste auf, so da die inneren Wirkungsgrade meist kleiner sind als bei der Kolbenmaschine. Zum Teil wird dieser Nachteil durch die wegen des einfacheren Aufbaus besseren mechanischen Wir-kungsgrade ausgeglichen.

Anwendungsgebiete. Mitunter stehen Kolben- und Strmungsmaschinen einander gleich-wertig gegenber. Im allgemeinen sind jedoch die Strmungsmaschinen dann berlegen, wenn es um die Verarbeitung groer Vol umens trme geht. Das liegt daran, da durch die Querschnitte der Strmungsmaschine das Fluid durch keine Ein- und Auslaventile behindert mit verhltnismig groer Geschwindigkeit strmen kann. Die Kolbenmaschi-nen dagegen haben ihr Anwendungsgebiet dort, wo groe Druckunterschiede zu berwin-den sind. So stehen Kolben- und Strmungsmaschinen gewhnlich nicht in Konkurrenz zueinander, sondern beide haben ihre bevorzugten Anwendungsgebiete.

1.2 Hydromechanische und thermodynamische Grundlagen

1.2.1 Kontinuittssatz

Eine Strom rhre (Bild 1.4 a) sei von einem beliebigen Fluid s ta tio nr durchflossen. Damit ist gemeint, da die Flssigkeitsbewegung zeitlich unvernderlich ist, also die Geschwindig-keit an der gleichen Stelle der Strom rhre zu jeder Zeit den gleichen Wert hat, aber auch,

(p.dpIA ./

t;Z= :::j::clz = COSQ'ds

1.4 Stationre Strmung

a) Kontinuittssatz b) b) Bernoulli-Gleichung

1.2.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 13

da die Mantelflche der Stromrhre sich wie eine feste Wand verhlt, auch wenn sie nur eine gedachte Begrenzungsflche innerhalb des Fluids ist.

In dem schraffierten Querschnitt habe die Geschwindigkeit den mittleren Wert c. A sei die senkrecht zur Strmungsrichtung gemessene Flche des Querschnittes, durch den im Zeit-element dt das Volumen d V = A ds = Ac dt fliet. Der Volumenstrom ist V = d V/dt = Ac und der Massenstrom m = (! A c, wobei (! die Fluiddichte ist. Der Kontinuittssatz sagt nun aus, da der Massenstrom fr jeden Querschnitt derselben Stromrhre den gleichen Wert hat:

m = I!cA = konst (1.1) Whrend also die Werte von (!, c und A sich im allgemeinen ndern, bleibt deren Produkt unter der Voraussetzung der stationren Flssigkeitsbewegung konstant. Im Falle einer inkompressiblen Flssigkeit vereinfacht sich wegen Q = konst GL 1.1 zu

V= cA = konst (1.2)

1.2.2 Bernoullische Gleichung

In einer Stromrhre (Bild 1.4 b) sei die Strmung rei b ungsfrei. Auf das hervorgehobene zylindrische Fluidelement wirken dann nur die Gewichtskraft und die Druckkrfte. Die auf die Mantelflche wirkenden Druckkrfte knnen unbercksichtigt bleiben, da sie keine Komponente in der Bewegungsrichtung haben, auf die es allein ankommen solL Die Bewe-gung sei stationr und das Fluid inkompressibeL

Das Newtonsche Grundgesetz der Mechanik, Kraft = Masse' Beschleunigung, lautet fr die Bewegungsrichtung mit dem Druck p, der Zeit t, dem Weg s und dem Winkel rx der Stromlinie gegenber der Senkrechten

dc - dpA - g(!Ads cosrx = QAds dt

oder anders geordnet mit dem Hhenelement dz = ds cos rx

dp -+gdz+cdc=O I!

und nach Integration

p c2 - + 9 z + - = konst I! 2

(1.3)

Diese nach Daniel Bernoulli (1700-1782) benannte Gleichung stellt fr die stationre Bewegung einer reibungsfreien, inkompressiblen Flssigkeit den Er hai tun g s s atz der Energie dar.

1.2.3 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Geschlossenes System. Es werde ein thermodynamisches System betrachtet, ber dessen Grenzen nur Energien, aber keine Stoffe bertreten knnen. Als Beispiel kann ein

14 1.2 Hydromechanische und thermodynamische Grundlagen

gasfrmiger Krper, der sich bei geschlossenen Ventilen und dichtem Kolben im Arbeits-raum einer Kolbenmaschine befindet, gelten. Dem System werde durch eine Bewegung des Kolbens die spezifische Arbeit d w zugefhrt. Zugleich werde die spezifische Wrme dq in das System eingebracht. Die spezifische innere Energie u des Systems wird sich dann um den Betrag du = dw + dq erhhen. Mit dem Druck P und dem spezifischen Volumen v wird dw = - pdv, wobei sich das - Zeichen dadurch erklrt, da die Zufuhr einer Arbeit eine Verringerung des Volumens bedeutet,

dq=du+pdv (1.4)

Mit der spezifischen Enthalpie h = u + pv erhlt man durch Auflsen nach u und Differen-zieren du = dh - p du - v dp und damit

dq = dh - vdp (1.5)

Die beiden gleichwertigen Gin. 1.4 und 1.5 stellen den ersten Hauptsatz, nmlich den Erhal-tungssatz der Energie fr ein geschlossenes System dar.

d",

1.5 Thermodynamische Systeme a) geschlossen

dq a) b) offen

Offenes System. Ein System, das an einem Eintritts- und an einem Austrittsquerschnitt fr Stoffs trm e offen ist, werde von einem Fluid stationr durchstrmt (Bild 1.5 b). Ebenfalls stationr sollen die Energiestrme Q1,2 = dQl.2/dtund~.2 = W,1.2 = dVV,I.2/dt ber die Systemgrenze hinweg in das System eingebracht werden. Whrend einer kurzen Zeitspanne dt werden dann die Energien dQ1.2 und dJ.V;I.2 zugefhrt. Um GI. 1.4 anwenden zu knnen, wird das System durch die Grenzen 1 und 2 abgeschlos-sen. Diese sind mit der Strmung mitfahrend zu denken; im Zeitelement dt bewegen sie sich um die Wegstcke dS I und ds2. Dem System wird dadurch hnlich wie bei einer Kolben-bewegung die Arbeit PIAldsl-PzA2ds2 =PldVI -P2dV2 =dm (PIVI-PzV2) zuge-fhrt. Da die Strmung als stationr vorausgesetzt wurde, sind alle Zustandsgren an einem bestimmten Ort konstant. Der Energieinhalt des Systems kann sich nur dadurch ndern, da in der Zeit dt bei 1 ein Massenelement dm mit einer bestimmten Energie eintritt, whrend gleichzeitig ein gleich groes Massenelement, aber mit anderem Energieinhalt, bei 2 austritt. Auer der inneren ist hier auch die kinetische und die poten-tielle Energie des Massenelementes zu bercksichtigen, also dm(ul + d/2 + gZI) bzw. dm (U2 + d/2 + 9 Z2)' Die gesamte Energiebilanz lautet damit

dQl.2 + d J.V; 1,2 + dm[ (PI VI + Uj + ~ + 9ZI) - ~2 V2 + U2 + cl + 9 Z2) J = 0 oder nach Division durch dt und mit h = u + P V

Ql.2 + ~.2 = m[(h2 + ~+ 9Z2) - (h1 + cl + 9Z1)J (1.6)

1.2.4 Ideales Gas 15

Das ist die Gleichung des ersten Ha u ptsa tzes fr ein offenes System, eine Verallgemei-nerung der Bernoulli-Gleichung, in die Gi. 1.6 bergeht, wenn Ql, 2 = ~,2 = 0 und U 1 = U2 gesetzt werden. Die Bernoulli-Gleichung gilt deshalb nur fr reibungsfreie Strmungen, denn sobald Reibungseffekte auftreten, wird sich die innere Energie des Fluids zu Lasten der brigen Energieformen erhhen. Fr den ersten Hauptsatz (Gi. 1.6) gibt es keine solche Einschrnkung. Gi. 1.6 gilt sogar auch dann, wenn die Voraussetzung der stationren Strmung im Innern des Systems nicht streng erfllt ist. Entscheidend ist nmlich nur, da am Ein- und Austritt stationre Zustnde vorliegen.

1.2.4 Ideales Gas

Gaskonstante, spezifische Wrmekapazitt und Isentropenexponent. Als ideales Gas wird ein Stoff bezeichnet, fr den die thermische Zus tandsgleich ung

pv=RT (1. 7)

gilt, worin R die individuelle Gaskonstante und T die absolute Temperatur sind. Auch fr wirkliche Gase bildet Gi. 1.7 eine gute Nherung, obgleich sie gen au genommen nur das Grenzgesetz ist fr den Fall, da der Druck gegen Null geht. Fr viele Gase sind die Abweichungen in den fr die Technik wichtigen Zustandsbereichen jedoch gering, so da man Gi. 1. 7 vielfltig anwenden kann. Die Enthalpie eines Stoffes, der Gi. 1.7 gengt, ist nur von der Temperatur abhngig, also

T

h= J cp(t)dt. To

Dabei ist To die Temperatur, fr die die Enthalpie willkrlich gleich Null gesetzt wird, und cp(t) die wahre spezifische Wrmekapazitt bei konstantem Druck, die auch bei idealen Gasen von der Temperatur abhngt, bei anderen Stoffen auerdem auch vom Druck. In Anwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung wird auch

(1.8)

gesetzt, was praktisch bedeutet, da im Temperaturbereich To bis T die in Wirklichkeit variable spezifische Wrmekapazitt cp(t) durch einen konstanten Wert, die mittlere spezifische Wrmekapazitt [cpl; ersetzt wird. In Tabelle 9.1 im Anhang sind Zah-lenwerte von [cpl~ angegeben, dort ist ~ie blich to = ooe, To = 273 K gewhlt worden. Fr irgendeinen Temperaturbereich t 1 bis t2 errechnet sich die Enthalpiedifferenz und die mittlere spezifische Wrmekapazitt zu

h2 - h1 = [cpl~2 t 2 - [cpl~l t 1 und

(1.9)

Mit den beiden Zahlenwerten von Rund [cpl;2 ist das Verhalten eines idealen Gases vollstndig beschrieben. Als dritte, aber nicht mebr unabhngige Gre wird durch

K-1 R (1.10)


der Isentropenexponent K definiert, der ebenso wie [cpl:z eine temperaturabhngige Gre ist, und nur innerhalb eines bestimmten Temperaturbdreiches als konstant angese-hen werden darf.

Isentrope. Fr eine Zustandsnderung, bei der die Entropie weder durch Wrmezufuhr von auen noch durch innere Reibung verndert wird, gilt die Differentialgleichung

dp dv -=-K-P v

Mit dem oben definierten konstanten Wert von K kann sie zu

pv' = konst; ~: =G:J (1.11 ) integriert werden. Mit Gl.1.7 folgt weiter

T .-1 = konst; (1.12)

p

Zusammen mit Gl.1.10 ergeben sich damit fr die isentrope Enthalpiedifferenz die oft gebrauchten Beziehungen

,,-I

i\h. = h2 - hl = K : 1 PI V{ (::)" - IJ (1.13) ~

i\h. = hl - h2 = _K_ PI VI [1 _ (P2) rc J K -1 PI

(1.14)

von denen die erste fr die Kompression, die zweite fr die Expansion ein positives Ergebnis liefert.

Beispiel 1.1. Ausgehend vom Zustand p, = 4 bar, t, = 800 oe expandiert Luft isentrop auf einen Gegen-druck von P2 = 1 bar. Man berechne die Temperatur t2 und die Enthalpiedifferenz.

Lsung. Da die Temperatur t2 nicht bekannt ist, kann auch die mittlere spezifische Wrmekapazitt noch nicht nach GI. 1.9 berechnet werden. Deshalb wird zunchst nherungsweise mit dem fr t, = 800 oe gltigen Wert gearbeitet und das Resultat schrittweise verbessert, indem der Tabelle 1.1 eine weitere Spalte zugefgt wird.

Fr die erste Spalte folgt aus den Gin. 1.10 und 1.12 mit R = 0,287 kJj(kg K)

kJ 0,287-k

K -1 R gK -- = -- = = 0,2677 bzw. K = 1,366

[c.J:~ 1,072 kkJ gK

K

.-, T,. = 7; (~)" = 1073 K (1 bar)O.2677 = 740 K bzw. 12 = 467 oe

p, 4 bar

Fr die zweite Spalte kann jetzt aus der Tabelle 9.1 ein verbesserter Wert von [cpl i entnommen, und die Rechnung wiederholt werden.

Das Ergebnis der ersten Spalte weicht noch erheblich vom richtigen Resultat ab, eine Korrektur ist also

1.2.5 Idealer Dampf 17

notwendig. Bereits nach einmaliger Verbesserung wird jedoch ein hinreichend genaues Ergebnis er-reicht. Damit lt sich nun noch die Enthalpiedifferenz berechnen. Mitp1 V1 = R I; (GI. 1.7) folgt aus GI. 1.14

~ 0,287~1073K t;.h = 1 1 _ -.2 = 1 - -- = 359,6 kJ/kg R T. [ (P ) ] kg K [(1 bar)O.2552]

, (K - l)/K P1 0,2552 4 bar

Tabelle 1.1 Berechnung der Expansionsendtemperatur (Beispiel 1.1)

[C.,J~1 kJ/(kgK) Tabelle 9.1 1,072 1,072 1,072

[C.,J~2 kJ/(kgK) Tabelle 9.1 1) 1,072 1,036 1,037

[C.,J'2 kJ/(kgK) GI. 1.9 1,072 1,123 1,125 '1

(K - l)/K 1 GI. 1.10 0,2677 0,2556 0,2552 T, K GI. 1.12 740 753 753 12 oe 467 480 480 1) aus Tabelle 9.1 mit 12 aus der vorherigen Spalte. In der ersten Spalte

hilfsweise mit 12 "" 11 ,

1.2.5 Idealer Dampf

Thermische Zustandsgleichung. Fr jeden beliebigen Stoff gilt

pv=zRT,

wobei der Realgasfak tor z im Sonderfall des idealen Gases gleich eins ist, im allgemeinen aber eine Zustandsgre, die eine Funktion zweier anderer, etwa von Temperatur und Druck oder auch von Entropie und Druck ist. Stoffe, fr die z allein von der Entropie abhngig ist, stellen einen besonders einfachen Sonderfall dar. Sie haben zwar einen allgemeineren Charakter als die idealen Gase, bedeu-ten aber immer noch eine Idealisierung und werden als ideale Dmpfe bezeichnet. Selbstver-stndlich ist ein ideales Gas "erst recht" ein idealer Dampf, whrend die Umkehrung, wie sich aus der Definition ergibt, natrlich nicht gilt. Fr berhitzten Wasserdampf ist die Voraussetzung z = f(s) mit guter Genauigkeit erfllt, so da dieser Stoff, der fr die Anwendung in Strmungsmaschinen zu den wichtigsten zhlt, nach den Gesetzen des idealen Dampfes behandelt werden kann.

Enthalpie. Wie in [8] bewiesen wird, folgt aus den Hauptstzen der Thermodynamik und der obigen Definition des idealen Dampfes

h = -"- pv + h* (1.15) ,,-1

wobei h* eine Integrationskonstante ist, mit der der Nullpunkt der Enthalpieskala festge-legt wird. Besonders einfache Verhltnisse ergeben sich, wenn man diesen Nullpunkt so whlt, da h* gleich Null wird. Fr die so definierte Enthalpie

_ K

h=--pv K-1

hat Traupe1 in [8] die Bezeichnung Normalenthalpie eingefhrt.

(1.16)


Anders als beim idealen Gas existiert fr idealen Dampf kein einfacher Zusammenhang zwischen Enthalpie und Temperatur. Whrend dort das Produktpv der absoluten Tempe-ratur proportional ist, ist es beim idealen Dampf der Normalenthalpie proportional, so da hnlich einfache Zusammenhnge entstehen wie bei idealem Gas, wenn statt der Tempera-tur mit der Enthalpie gerechnet wird, die ohnehin fr thermodynamische Berechnungen fast immer bentigt wird.

Isentrope. Die Beziehung p vK = konst, die weder die Temperatur noch die Enthalpie ent-hlt, bleibt gltig. Zusammen mit GI. 1.16 folgt daraus

Ti ,-I = konst;

p K ~: = CJ K (1.17)

Ein Vergleich mit GI. 1.12 zeigt, da auch hier die absolute Temperatur durch die Normal-enthalpie ersetzt ist. Durch Einsetzen in GI. 1.16 weist man nach, da die beiden Gin. 1.13 und 1.14 ihre Gltigkeit behalten.

Beispiel 1.2. Mittels der Zahlenwerte aus der Dampf tafel im Anhang (Tabelle 9.3) soll die Genauigkeit der GI. 1.15 berprft werden.

Lsung. Zunchst soll versucht werden, geeignete Werte der beiden Konstanten K/(K - 1) und 11* fr den gesamten Zustandsbereich der Tabelle 9.3 zu finden. Dazu mssen zwei Gleichungen aufgestellt werden, und das gelingt durch Einsetzen zweier zusammengehriger Wertetripel p, v, 11 in GI. 1.15. Willkrlich werden aus dem ersten und letzten Drittel der Tabelle ausgewhlt

PI = 0,6 bar; VI = 4,402 m3/kg; 11 1 = 3075,4 kJ/kg P2 = 60 bar; V2 = 0,05659 m 3/kg; h2 = 3422,2 kJ/kg womit

K h2 - 11 1

K - 1 P2 V2 - PI VI

kJ Nm (3422,2 - 3075,4) - 103 -

kg kJ --------'::...---N-----=-m3 = 4,598

(600,05659 - 0,64,402) 105 m2 kg

K U N ~ U h*= h1 ---P1Vl = 3075,4--4,598 0,6 .105- 4,402-10- 3 -

K - 1 kg m 2 kg Nm

= 1860,9 kJ /kg

Jetzt knnen die Enthalpien fr jeden Zustand, fr den P und v gegeben sind, berechnet werden. Zum Vergleich mit den Tabellenwerten werden die Eckpunkte der Tabelle 9.3 sowie ein Zustand in der Mitte ausgewhlt.

Tabelle 1.2 Vergleich zwischen berechneter und wirklicher Enthalpie von Wasserdampf (Beispiel 1.2)

P bar Tabelle 9.3 0,2 10 200 v m3/kg Tabelle 9.3 8,585 0,3065 0,02385

hberechn kJ/kg GI. 1.15 2650,4 3270,3 4054,3

hwirkl kJ/kg Tabelle 9.3 2686,3 3264,4 4065,3 Fehler kJ/kg hberechn - hwirkl -35,9 +5,9 -11,0

Wie die relativ groen Fehler zeigen, ist es nur bei bescheidenen Genauigkeitsansprchen mglich, einen so groen Zustandsbereich mit einem einzigen Wertepaar der bei den Konstanten zu erfassen.

1.2.6 Theorie der Dsenstrmung 19

Deshalb soll der entsprechende Vergleich zwischen berechneten und wirklichen Enthalpien fr einen Teilbereich durchgefhrt werden.

Mit p, = 15 bar; v, = 0,1865 m 3jkg; h, = 3148,7 kJjkg P2 = 8 bar; V2 = 0,2932 m 3jkg; h2 = 2950,4 kJjkg

wird ~1 = 4,388; K = 1,295; h* = 1921,1 kJjkg K-

und die Kontrolle mit zwei nicht allzuweit von den beiden Ausgangszustnden entfernten Vergleichs-zustnden ergibt

Tabelle 1.3 Enthalpievergleich innerhalb eines kleineren Teilbe-reichs (Beispiel 1.2)

P bar Tabelle 9.3 10 20 v m 3 jkg Tabelle 9.3 0,2580 0,1386

hberechn kJjkg GI. 1.15 3053,3 3137,5

hwirkl kJjkg Tabelle 9.3 3052,1 3138,6 Fehler kJjkg hberechn - hwirkl +1,2 -1,1

Fr diesen Teilbereich liefert die GI. 1.15 also Ergebnisse besserer Genauigkeit, die auch notwendig ist, da es in der Praxis fast immer auf Enthalpiedifferenzen ankommt, und die Fehler sich addieren, wenn ihre Vorzeichen wie hier verschieden sind.

Beispiel 1.3. Wasserdampf expandiert isentrop vom Ausgangszustand p, = 15 bar; h, = 3148,7 kJjkg auf den Gegendruck P2 = 6 bar. Unter Benutzung des vorigen Beispiels berechne man die Enthalpie-differenz und das spezifische Volumen v2

Lsung. Es ist Tz, = h, - h* = (3148,7 - 1921,1) kJjkg = 1227,6 kJjkg und mit den Gin. 1.14 und 1.16 ,,-1 1

!J..h, = Tz, - Tz 2 = Tz, [1 _ (~)K J = 1227,6 kJ [1 _ (6 bar )4.388J = 231,3 kJjkg p, kg 15 bar

Tz 2 = Tz, -!!.h, = (1227,6 - 231,3) kJjkg = 996,3 kJjkg

Weiter folgt aus GI. 1.16 mit 1 kJ = 103 Nm

9963.103 _N_m Tz 2 ' kg v2 = --- = ____ --'='c:-= 0,378 m 3 jkg

K 5 N K _ 1 P2 4,388610 m2

1.2.6 Theorie der Dsenstrmung

Voraussetzungen. Die Fluidbewegung wird eindimensional beschrieben. Das bedeutet, da die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Hauptstrmungsrichtung vernachlssigt werden, und da die ber einen Kanalquerschnitt hin vernderliche Geschwindigkeit durch eine Konstante ersetzt wird, nmlich den Mittelwert der Geschwindigkeit in diesem Quer-schnitt. Das Fluid sei ein idealer Dampf, was nach Abschnitt 1.2.5 auch den Fall des idealen Gases mit einschliet. Ferner sei die Strmung stationr, und der Strmungsraum adiabat, das heit wrmedicht, abgeschlossen. Es ist dann


Ortshhe z befinden, so da die Glieder g Z I und g Z 2 gegeneinander aufgehoben werden knnen. GI. 1.6 lautet dann

(1.18)

Ausstrmgeschwindigkeit. GI. 1.18 kann nach C2 aufgelst werden, wenn die Zustrmge-schwindigkeit Cl und die Enthalpiedifferenz hl - h2 der Expansion, die der Beschleunigung des Fluids entspricht, bekannt sind.

Diese Enthalpiedifferenz ist besonders einfach fr die, nur in Gedanken mgliche, reibungs-freie Strmung zu bestimmen. Dann ist die Strmung isentrop, so da GI. 1.14 anwendbar wird. Mit den Bezeichnungen von Bild 1.6 b wird

Cl, = JU,hs + ci Beim wirklichen, nicht reibungsfreien Fall wird noch ein Dsenwirkungsgrad 11 eingefhrt

h

s-

Q) b)

1.6 Dsenstrmung

a) Dse; b) h, s-Diagramm; c) Durchflufunktion

o c)

PJP1 Plp"-

(1.19)

Durchflufunktion. Die folgende Untersuchung soll auf die rei bun gsfreie Strmung be-schrnkt sein. Auerdem soll zur weiteren Vereinfachung das Quadrat der Zustrmge-schwindigkeit ci vernachlssigt werden. Gren ohne Index beziehen sich auf einen beliebi-gen Querschnitt im Innern einer Dse. Wird fr die isentrope Enthalpiedifferenz GI. 1.14 eingesetzt, so wird zunchst

C = ~ PI VI [1 - (l!...) , J K -1 PI

(1.20)

Mit dem Massenstrom nach GI. 1.1 ergibt sich damit die Stromdichte

m C - = QC = - = A V

~ PI V~ [1 _ (p) K J, K - 1 VI V \PI

worin (VdV)2 wegen pv' = konst durch (P/pd l /' ersetzt werden kann.

~A' = (i;VII 2 I( [( P)~ (p )"! I J (i; >.j;; 1(-1 PI -PI =>.j;;''P (1.21 )

1.2.6 Theorie der Dsenstrmung 21

Bei gegebenem Zustand 1 hngt der Massenstrom nur vom Querschnitt und von der durch Gl. 1.21 definierten Durchflufunktion 'P ab. Diese wiederum ist ber K von der Art des Fluids und sonst nur vom Druckverhltnis abhngig. Die fr den Vorgang charakteristische Funktion 'P hat Nullstellen bei piPI = 0 und bei piPI = 1 (Bild 1.6c). Um das dazwischenliegende Maximum zu finden, wird die eckige Klammer in Gl. 1.21 differenziert und die Ableitung gleich Null gesetzt. Man findet

" ~L = (K ~ 1)"-1 (1.22)

Dieses besondere Druckverhltnis wird nach dem schwedischen Ingenieur Gustav de Laval (1845-1913) Laval-Druckverhltnis genannt und mit dem Index L bezeichnet. Der entsprechende Wert der Durchflufunktion ist

(1.23)

Im Querschnitt, in dem das Laval-Druckverhltnis erreicht wird, ist die Fluidgeschwindig-keit gleich der Schallgesch windigkei t, nmlich

(1.24)

wie durch Einsetzen von Gl. 1.22 in Gl. 1.20 nachzuweisen ist. Werden noch die Gren PI und VI mittels Gl.1.11 durch PL und VL , also durch Druck und spezifisches Volumen im Laval-Querschnitt ersetzt, so folgt

(1.25)

Maximaler Durchflu. Variiert man bei einer Dse nach Bild 1.7 a, deren engster Quer-schnitt zugleich der Austrittsquerschnitt ist, den Gegendruck, indem man zunchst P2 = PI setzt, und dann P2 laufend verkleinert, so wird der Massenstrom zuerst anwachsen. Er erreicht aber nach Gl. 1.21 einen maximalen Wert bei P2 = PL. Es wird dann

1.7 Dsenformen

a) nicht erweiterte Dse b) Laval-Dse al

K(_2 ):~~ K+1

(1.26)

- x

x-


Zugleich wird im Austrittsquerschnitt die Schallgeschwindigkeit erreicht. Bei weiterer Druckabsenkung hinter der Dse kann weder der Massenstrom noch die Geschwindigkeit grer werden, auch kann der Druck im Austrittsquerschnitt nicht kleiner werden als der Lavaldruck.

Diese theoretischen Folgerungen sind auch anschaulich zu verstehen. Eine Drucknderung breitet sich bekanntlich mit der Schallgeschwindigkeit aus, sie kann sich deshalb unmglich gegen das seinerseits mit Schallgeschwindigkeit ausstrmende Fluid in das Innere der Dse hinein auswirken.

Laval-Dsen. Sollen in einer Dse berschallgeschwindigkeiten erreicht werden, so mu das Fluid die Mglichkeit zu weiterer Expansion ber das Maximum von Bild 1.6 c hinaus haben. Da der Massenstrom natrlich fr die ganze Dse konstant bleibt, kann die Strom-dichte nur dadurch wieder abnehmen, da der Querschnitt nach seinem kleinsten Wert wieder anwchst (Bild 1.7 b). Dsen dieser Form wurden erstmals im Jahre 1878 von dem deutschen Ingenieur Ernst Krting angewendet. Man nennt sie aber nach ihrem erwhnten zweiten Erfinder Laval-Dsen. Die notwendige Querschnittserweiterung wird mittels der Kontinuittsgleichung berechnet, die mit GI. 1.21 die Form

annimmt.

Beispiel 1.4. In einer Dse expandiert Wasserdampf isentrop, also reibungsfrei von p, = 15 bar, h, = 3148,7 kJ /kg auf den Gegendruck P2 = 6 bar. Der Massenstrom betrgt 1 kg/s. Man berechne den engsten Dsenquerschnitt und den Austrittsquerschnitt.

Lsung. Nach dem frheren Beispiel 1.3 ist

!'J.h, = 231,3 kJ/kg; K = 1,295; v, = 0,1865 m 3/kg. 6 bar .. ( 2 )4.388 . ..

Da P2/P, = 15 bar = 0,4 klemer Ist als hip, = 2,295 = 0,547 (GI. 1.22), mu die Duse als Laval-

Dse ausgefhrt werden.

Die Durchflufunktion betrgt fr den engsten bzw. den Austrittsquerschnitt nach den GIn. 1.23 und 1.21

( 2 ):j-:}~:

1,295 = 0,666 1,295 + 1

2.1295 _2_ '-.295+' '1'2 = '[0,4,295 - 0,4 '.295 1 = 0,635

1,295 - 1

Fr die Querschnitte folgt aus A = ril/('I' Jp,/v,) nach GI. 1.21 mit 1 bar = 105 kg/(m S2) und mit ril 1 kg/s

= 0,35261O- 3 m 2 15.105 kg/(m S2)

0,1865 m 3/kg

0,3526.10- 3 m2 3 2 Amin = = 0,529 10- m

0,666

1.2.7 Carnotscher Kreisproze 23

0,35261O- 3 m2 A = = 0 5561O- 3 m2

2 0,635 '

Im Austrittsquerschnitt ist die Geschwindigkeit nach GI. 1.19 mit CI = 0 und" = 1

J kJ 3 kg m2 C2 = 2231 3 -10 -- = 680 mjs , kg kJ S2

Im engsten Querschnitt herrscht die Schallgeschwindigkeit, also nach GI. 1.24

J 21,295 5 kg m3 cL = 15 10 - 0 1865- = 562mjs 1,295+1 ms2 ' kg

1.2.7 Carnotscher Kreisproze

Um einen Fluid nicht nur einmalig, sondern stetig Energie zu entziehen, lt man es eine derartige Folge von Zustandsnderungen durchlaufen, da am Ende wieder der Ausgangs-zustand erreicht wird. Zur Beurteilung der Gte der Energieumsetzung in einem Kreisproze wird der thermische Wirkungsgrad definiert

11th = ~ = qzu -Iqabl = 1 _Iqabl qzu qzu qzu

(1.27)

Dabei sind qzu und Iqabl die zu- bzw. abgefhrte Wrme, beide positiv und als spezifische, auf die Masse bezogene Gren eingesetzt. Ihre Differenz w ist die durch den Proze gewonnene Arbeit, und der thermische Wirkungsgrad gibt an, wie gro diese Arbeit im Verhltnis zur zugefhrten Wrme ist. Besondere Bedeutung fr die Thermodynamik hat der von dem franzsischen Physiker Sadi Carnot im Jahre 1824 eingefhrte Kreisproze, der aus zwei Isothermen und zwei Isentropen besteht. Aus dem T, s-Diagramm (Bild 1.8) wird entnommen qzu = T3 (SI - S3) und Iqabl = Tl (SI - S3), so da sich der thermische Wirkungsgrad zu

TI "th = "c = 1 - -T3 (1.28)

1.8 Carnot-Proze

T

~----Q4

P,

r,

s

ergibt. Damit er hohe Werte annimmt, mu die obere Prozetemperatur T3 mglichst gro, die untere TI mglichst klein sein. In der Praxis ist die obere Temperatur durch die Werk-stoffestigkeit begrenzt, die untere aber durch die Umgebung festgelegt, die ja der Energie-speicher ist, an den der nicht in Arbeit umgewandelte Teil der zugefhrten Wrme abgege-ben wird.


Aus Bild 1.8 ist ersichtlich, da bei gegebener oberer und unterer Prozetemperatur die zugefhrte Wrme nicht grer und die abgefhrte nicht kleiner werden kann als gerade bei der isothermen Wrmezu- und -abfuhr des Carnot-Prozesses. Damit bildet der Carnotsche Wirkungsgrad die obere Grenze der thermischen Wirkungsgrade, die berhaupt in einem Kreisproze erreichbar sind.

Prozearbeit. Fr die Brauchbarkeit eines Kreisprozesses ist nicht allein die Hhe des thermischen Wirkungsgrades magebend. Auch die im Proze umgesetzte spezifische Arbeit mu mglichst hoch sein, damit mit einer Maschine, die nach diesem Kreisproze arbeitet, bei gegebenen Abmessungen eine mglichst groe Leistung erreicht wird, oder damit umgekehrt fr eine gegebene Leistung die Maschinenabmessungen klein werden. In

w = qzu -Iqabl = (T3 - TI) (SI - S3)

lt sich die Entropiedifferenz (SI - S3) fr ein ideales Gas durch

SI - S3 = R In(P3) - [cpl:3 In(T3) PI I TI

ausdrcken. Damit und mit GI. 1.10 erhlt man die spezifische Arbeit

w = [cpl:~ (T3 - TI) l K: 1 lne:) -lnGD] bzw. nach Division durch die spezifische Wrmekapazitt [cpl:3 und die untere Prozetem-peratur TI den dimensionslosen Ausdruck I

W (T3 ) lK - 1 (P3) (T3)] [cpl:3 TI = TI - 1 -K- In PI - In TI ' 1

der zusammen mit dem thermischen Wirkungsgrad IJth fr ein ideales Gas mit K = 1,4 und fr TI = 288 K in Bild 1.9 dargestellt ist. Es wird deutlich, da der Carnot-Proze nicht praktisch verwendbar ist, denn bei den kleineren, leicht realisierbaren Druckverhltnissen ist die spezifische Arbeit klein, und der Proze kann nur mit niedrigen Temperaturen betrieben werden, so da auch die thermi-

2

1,5

o 200 400 600 600

' .... .... " "

1000 oe 1200

1.9 Thermischer Wirkungsgrad und spezifische Arbeit des Carnot-Prozesses in Abhngigkeit von der Temperatur T3 und vom Druckverhltnis P3!P,

1.3.1 Absolut- und Relativgeschwindigkeit, Geschwindigkeitsplne 25

sehen Wirkungsgrade unbefriedigend sind. Bei Temperaturen, die mit heutigen Werkstoffen ohne weiteres zulssig sind, mte andererseits das Druckverhltnis unrealistisch hohe Werte annehmen. Zu diesen Schwierigkeiten kommt noch hinzu, da die isotherme Ver-dichtung und Expansion nur nherungsweise und nur mit schlechtem Wirkungsgrad ver-wirklicht werden knnten. Das Interesse, das dem Carnotschen Kreisproze entgegengebracht wird, liegt deshalb nicht darin begrndet, da man versucht, ihn in einer Maschine zu verwirklichen, derartige Versuche sind lngst aufgegeben. Vielmehr dient der Carnot-Wirkungsgrad nach GI. 1.28 als eine optimale Vergleichszahl fr die thermischen Wirkungsgrade anderer Kreisprozesse. Schlielich gehrt es zu den wichtigsten Erkenntnissen der Thermodynamik, da eine Wrme niemals vollstndig, sondern im gnstigsten Fall zu dem Bruchteil, den der Carnot-Wirkungsgrad angibt, in Arbeit umgewandelt werden kann.

1.3 Energieumsetzung im Laufrad

1.3.1 Absolut- und Relativgeschwindigkeit, Geschwindigkeitsplne

Geschwindigkeitsdreiecke. Bei der Fluidbewegung im Laufrad mu zwischen der ab s 0-lu ten und der rela ti yen Strmung unterschieden werden. Relativ zum rotierenden Lauf-rad bewegen sich die Fluidteilchen auf Bahnkurven, die im wesentlichen durch die Form der Schaufeln vorgegeben sind. Die Absolutbewegung kommt durch die berlagerung dieser Relativstrmung mit der Laufraddrehung zustande (Bild 1.10). Bezeichnet man die Relativgeschwindigkeit des Fluids mit w, seine Absolutgeschwindigkeit mit c und die Fhrungs- bzw. Umfangs geschwindigkeit mit u, so gilt die Vektorgleichung

c=u+w die sich als Vektorparallelogramm oder einfacher als Geschwindigkeitsdreieck dar-stellen lt. Diese Geschwindigkeitsplne werden insbesondere fr den Laufradeintritt (Index 1) und fr den Laufradaustritt (Index 2) berechnet und gezeichnet. Sie stellen ein wichtiges Hilfsmittel fr die Schaufelkonstruktion dar.

Berechnung. Die Umfangsgeschwindigkeit folgt aus der Drehzahl n und dem Laufraddurch-messer D

(1.29)

Relativ- und Absolutgeschwindigkeit werden fr die Berechnung in Komponenten parallel und senkrecht zur Umfangsgeschwindigkeit zerlegt. Die Parallelkomponente wird mit dem Index u bezeichnet und heit Umfangskomponente, die dazu senkrechte mit dem Index m ist die Meridiankomponente. Die Umfangskomponente der Absolut- wie auch der Relativgeschwindigkeit kann mit der Umfangsgeschwindigkeit gleichsinnig oder entgegengesetzt zu ihr gerichtet sein. Im Inter-esse einer einheitlichen analytischen Darstellung wird die Umfangskomponente im zuletzt genannten Fall als negativ definiert. Die Richtung der Absolutgeschwindigkeit wird durch den WinkellJ(, diejenige der Relativ-geschwindigkeit durch den Winkel beschrieben, wobei beide Winkel grundstzlich gegen-

26 1.3 Energieumsetzung im Laufrad

ber der positiven Umfangsgeschwindigkeit zu messen sind. Im Falle positiver Umfangs-komponenten ergeben sich somit spitze, bei negativen Umfangskomponenten stumpfe Winkel.

Mit diesen Definitionen ist in jedem Fall

Cu = C . cos Q(

Wu = W . cos = Cu - U Crn = C . sin Q( = Wrn = W sin (1.30)

Wobei alle diese Beziehungen mit dem Index 1 oder 2 geschrieben werden knnen.

Aus den Geschwindigkeitsdreiecken (Bild 1.1 0 bund c) und aus GI. 1.30 folgt, da die Meridiankomponenten von Relativ- und Absolutgeschwindigkeit gleich sind. Sie knnen aus dem Volumenstrom V mittels des Kontinuittssatzes berechnet werden

~ ~ C1rn=w1rn=-A ; C2rn = w2rn =-A

1 '1 2'2

(1.31)

Die Verengungsfaktoren '1 und '2 sind Korrekturen zur Bercksichtigung der Quer-schnittsverengung durch die Dicke der Schaufeln und des Grenzschichteinflusses.

b)

c)

1.10 Geschwindigkeitsdreiecke

a) im Laufrad 1 Eintritt 2 Austritt 3 relative und 4 absolute Strombahn

b) am Eintritt 1 cl am Austritt 2

Beispiel 1.5. Fr ein Pumpenlaufrad berechne man die Geschwindigkeitsdreiecke fr den Ein und Austritt.

Gegeben sind der Volumenstrom V = 0,025 m3/s, die Drehzahl n = 24,41/s und die Hauptabmessun gen

D, = 100 mm; b, = 28 mm; Dz = 230 mm; bz = 14 mm,

sowie die Winkel ()(, = 90" (drallfreie Zustrmung) und z = 146". Die Verengungsfaktoren werden mit T, = 1 und TZ = 0,98 angenommen.

Lsung. Ei n tri tt 1 m

GI. 1.29 u, =rrnD, =rr24,4-0,1 m=7,665-s s

GI. 1.31 V 0,025 m3/s

c'rn=w'm=---= 1=2,842m/s rrD,b,T, rr0,lm0,028m

GI. 1.30 C'rn 2,842m/s

c = -- = = 2 842 m/s , sin", sin 90 '

1.3.2 Spezifische Stutzenarbeit und Wirkungsgrade 27

Austritt

GI. 1.29

GI. 1.31

GI. 1.30

C l u = Cl' COS"1 = 2,842 m/s, cos90 = 0

W l u = Cl u - U l = (0 - 7,665) m/s = - 7,665 m/s

m2 (7,665 2 + 2,8422) 2 = 8,175 m/s

s

W lu (-7,665m/S) l = arccos - = arccos = 159,7

w l 8,175 m/s

1 U 2 = 7tnD2 = 7t. 24,4-0,23 m = 17,631 m/s

s

V 0,025 m3/s c2 m = w2m = --- = = 2,522 m/s

7tD2 b2 ' 2 7t. 0,23 m 0,014 m 0,98

w2m 2,522 m/s w 2 = -- = = 4 510 m/s

sin 2 sin 1460 '

w2u = w2 COS 2 = 4,510 m/s, cos 146 = - 3,739 m/s

c2 u = w 2u + u2 = (- 3,739 + 17,631) m/s = 13,892 m/s

C2= JC~u+c~m= (13,8922 +2,522 2)m22 =14,119~ s s . C 2m . 2,522m/s

0(2 = arcsm- = arcsm = 103 c2 14,119m/s'

1.3.2 Spezifische Stutzen arbeit und Wirkungsgrade

Als spezifische Stutzenarbeit einer Strmungsmaschine bezeichnet man das spezifische Energiegeflle zwischen den Stutzen d. h. bei den Kraftmaschinen zwischen Eintritts- und Austrittsstutzen und bei den Arbeitsmaschinen in entgegengesetzter Richtung.

Hydraulische Strmungs maschinen. Die Indizes E und A (Bild 1.11) kennzeichnen die Eintritts- und Austrittsstutzen. Bei einer Wasserturbine wird das Saugrohr stets zur Ma-schine gerechnet. Ihr saugseitiges Ende stellt also der Unterwasserspiegel dar, weil das Saugrohr ein fr die Funktion der Wasserturbine wesentliches Bauteil ist und deshalb auch zum Lieferumfang gehrt.

CE c,.

E

1i:~ 1.11 q .... ~ Hydraulische Strmungsmaschi I ...... nen mit Symbolen nach DIN 2481 A a) Wasserturbine ! b) Kreiselpumpe a) b) CE

Spezifische Stutzenarbeit. Fr die Querschnitte E und A kann die Bernoulli-Gleichung in der Form der GI. 1.3 nicht gelten, denn es ist ja gerade der Zweck der zwischen


beiden Querschnitten liegenden Maschine, dem Fluid Energie zu entziehen bzw. zuzufh-ren. Mit den Bezeichnungen von Bild 1.11 wird die ideelle Energiedifferenz bei reibungs-freier Strmung

[ c~ - cl PE - PA] lid = g(ZE - ZA) + --2- + --12- , (1.32)

wobei das + Zeichen fr die Kraftmaschine und das - Zeichen fr die Arbeitsmaschine gilt. Zur Bercksichtigung der inneren Verluste ist fr die Kraftmaschine die spezifische Verlust-arbeit Wvcrli zu subtrahieren und fr die Arbeitsmaschine zu addieren. Damit wird die spezifische Stutzenarbeit

(1.33)

Fall-, F rderh he. Neben der ideellen spezifischen Stutzenarbeit ist auch der Begriff der Fallhhe fr die Kraftmaschine bzw. der Frderhhe fr die Arbeitsmaschine in Gebrauch. Gerade fr die hydraulischen Strmungs maschinen ist die Darstellung des Energiegeflles durch die Hhe einer Flssigkeitssule durchaus anschaulich und hat seine Vorteile. Es gilt der einfache Zusammenhang

lid = gH

Wirkungsgrade. Durch Vergleich der spezifischen Stutzenarbeit mit der ideellen Ener-giedifferenz wird ein innerer Wirkungsgrad lJi definiert

'1' = J':.. = lid - Wver1 i = 1 _ Wver1 i (Kraftmaschine) I lid lid lid

(1.34)

(Arbeitsmaschine)

Die in lJi bercksichtigten inneren Verluste zeichnen sich dadurch aus, da sie die Tempera-tur des Arbeitsfluids erhhen. Auer ihnen gibt es uere Verluste wie z. B. die Lagerrei-bung, die durch den mechanischen Wirkungsgrad 17m erfat werden. Mit der Kupp-lungsleistung PK wird

PK . 17m = mY (Kraftmaschme) und mY b' . 17m = ~ (Ar eltsmaschme)

PK (1.35)

Der effektive oder Kupplungswirkungsgrad IJK, der alle Verluste umfat, ist das Produkt aus innerem und mechanischem Wirkungsgrad

1 PK h' -. - (Kraftmasc me)

m lid IJK = lJi 17m = . Y

m id (Arbeitsmaschine) PK

(1.36)

Thermische Strmungsmaschinen. Bild 1.12 zeigt neben der Symboldarstellung der Ma-schine die Expansion bzw. die Kompression des Fluids im h, s-Diagramm. Die Indizes E und A bezeichnen wieder den Ein- und Austritt. Mit As ist der Zustand bezeichnet, der sich bei isentroper Zustandsnderung vom Eintrittszustand auf den Austrittsdruck ergibt.

Spezi fi s c h e S tutzen ar bei t. Vernachlssigt man das bei gasfrmigen Fluiden unbedeu-

1.3.2 Spezifische Stutzenarbeit und Wirkungsgrade 29

tende Glied 9 (ZE - ZA), so folgt aus GI. 1.6

[ c~ -ci] [ c~ -ci] Yid = hE - hAs + --2- = t.hs + --2- , (1.37) wobei wieder das positive Vorzeichen fr die Kraftmaschine und das negative fr die Arbeitsmaschine gilt.

N ~ N-

I:: N., '-' '" E A

1.12 ~ .c; -? )... .


kinetischen Energien vernachlssigt, so ist

1 ~ (Kraftmaschine) nU1hs

IJK = lJilJm = . I!.h ~ (Arbeitsmaschine)

PK

Beispiel 1.6. Beim Abnahmeversuch an einer Kreiselpumpe wurde gemessen

V = 22,8Ijs; ZA - ZE = 625 mm; PA - PE = 1,54 bar; PK = 4,76 kW

(1.40)

Der Rohrdurchmesser am Austrittsstutzen betrgt dA = 100 mm und am Eintrittsstutzen dE = 125 mm. Das Frderfluid ist Wasser.

Wie gro sind die ideelle spezifische Stutzenarbeit, die Frderhhe und der Kupplungswirkungsgrad?

Lsung. Nach dem Kontinuittssatz (GI. 1.2) ist

CA = 4 Vj(ndD und CE = 4 Vj(ndD

kg kgm und damit folgt aus G1.1.32 mit 12 = 103 , und mit 1 N = I-2-m s

m = 9,81 2 0,625 m +

s

m2 Nm = (6,13 + 2,49 + 154,00)2 = 162,6-

s kg Die Frderhhe ist

m 2 162,6 2

Yd s H=...'.... = ---= 16,58m

9 m 9,81 2 s

kgm2 Nach GI. 1.36 ist der Kupplungswirkungsgrad mit 1 kW = 103 --3-

S

m kg m 3 912 V H 9,81;>. 103 m3 . 0,0228 -;-. 16,58 m

IJK = -- = -----------,---- = 0,779 PK kgm2

4,76 103 . --3-S

Beispiel 1.7. Fr eine Gasturbine ist gegeben:

m = 1,276 kgjs; PK = 500 kW. Der Gaszustand am Turbineneintritt ist PE = 8,5 bar, LE = 900 oe und am Austritt PA = 1,2 bar, LA = 540C. Das Verbrennungsgas kann als ideales Gas mit R = 287 Jj(kgK) und K = 1.32 angenom-men werden.

Man berechne isentrope Enthalpiedifferenz, spezifische Stutzenarbeit und den inneren und den Kupp-lungswirkungsgrad.

Lsung. Aus GI. 1.14 folgt mitpEvE = RTy,

M. = _K_ R T" [1 _ (~)K~_lJ = 1,32 0,287 ~ 1173 K [1 _ (1,2 bar)~:;~J = 525 kJ , K -1 . PE 0,32 kgK 8,5 bar kg

1.3.3 Impulsstze der stationren Strmung 31

K 1,32 kJ kJ Nach GI. 1.10 ist [cp):E = -- R = -0,287-- = 1,184-- und damit

A K - 1 0,32 kg K kg K

kJ kJ !!h = hE - hA = [cJ:~ (tE - tA) = 1,184 kgK (900 - 540) K = 426 kg

Angaben ber die Gasgeschwindigkeiten fehlen in der AufgabensteIlung. Deshalb mssen die kineti-schen Energien unbercksichtigt bleiben. D. h. es wird angenommen, da die kinetischen Energien am Eintritt und am Austritt gleich gro sind und sich aufheben. Damit folgt aus GI. 1.38

kJ Y=!!h =426-

kg

und weiter aus GI. 1.39

kJ 426-

!!h kg '1, = !!h = ----u = 0,811

, 525-kg

und aus GI. 1.40

PK 500 kW "K=--= =0746 ., mf'l.h, kg kJ '

1,276-525-s kg

1.3.3 Impulsstze der stationren Strmung

Impulssatz. In der Mechanik wird die Vektorgre r = mc, das Produkt aus Masse mund Geschwindigkeit C, als Impuls bezeichnet. Der Impulssatz der Hydromechanik sagt aus, da die zeitliche nderung des mit einem Fluid in ein offenes System ein- und austretenden Impulses mit den ueren Krften im Gleichgewicht steht. Auf ein Massenelement dm (Bild 1.13) wirkt die Kraft

d ~ d dc dm d~ . d~ F= m-=- c=m c dt dt

Das Integral in den Grenzen von 1 bis 2 ergibt

F=m(cz-c 1)

1.13 Zur Herleitung des Impuls- und des Impulsmomentensatzes

Die so berechnete Kraft F ist die Summe aller ueren Krfte, die auf den Flssigkeitskr-per einwirken. Als solche kommen insbesondere Druck- und Gewichtskrfte, aber auch Reibungskrfte in Frage. Mit einer gleich groen aber entgegengesetzt gerichteten Reaktionskraft wirkt umgekehrt das Fluid auf seine Umgebung

FR = m(c 1 - cz) (1.41) Der Impulssatz ermglicht die Berechnung der Krfte, die durch nderung der Geschwin-digkeit eines Fluids auf durchstrmte oder umstrmte Krper ausgebt werden. Dabei gengt es, die Strmungszustnde am Eintritt und am Austritt des betrachteten Strmungs-


raumes zu kennen, ohne da Kenntnisse ber die mitunter verwickelten Vorgnge im Inneren erforderlich sind. Auch fr die Berechnung der Krfte im Innern eines Strmungs-maschinenlaufrades reicht es aus, wenn die Verhltnisse am Ein- und Austritt bekannt sind.

Impulsmomentensatz. hnlich wie bisher die Kraft, soll jetzt das Moment bezogen auf den Punkt P (Bild 1.13) berechnet werden. Unter Beachtung der Definition des Momentes als vektorielles Produkt aus dem Radiusvektor und der Kraft ist

dM = r x dF = r x mdc = mir x dc). Andererseits ist nach der Produktregel der Differentialrechnung

dir x c) = dr x c + r x dc = r x dc,

(1.42)

denn es ist d r x c = , weil die Vektoren d rund c = d r /dt parallel zu einander sind. Damit folgt aus GI. 1.42

dM = md(r x c) und nach Integration in den Grenzen von 1 bis 2

M=m(r2 xc 2 -rl xc l ) Das vom Fluid auf die Umgebung ausgebte Reaktionsmoment ist entgegengesetzt gerich-tet, also

(1.43)

Mit den zu r 1 bzw. r 2 senkrechten Komponenten der Vektoren Cl und c 2' die nach Abschn.1.3.1 als Clu und C2u bezeichnet werden, kann auch skalar geschrieben werden

(1.44)

PotentialwirbeI. Fr die Strmung eines Fluids, auf das kein Moment bertragen wird, insbesondere auch kein Reibungsmoment folgt aus GI. 1.44

rcu = konst.

In einer solchen Wirbelstrmung nimmt also die Umfangskomponente der Geschwindig-keit umgekehrt proportional mit dem Radius ab.

1.3.4 Die Eulersche Hauptgleichung

Moment und Schaufelleistung. Schreibt man die Momentengleichung fr die Strmung im Laufrad in der Form

(1.45)

so wird das Moment fr beide Maschinenarten positiv. Fr die Kraftmaschine wird das vom Fluid auf die Schaufeln bertragene Moment angegeben und fr die Arbeitsmaschine umgekehrt das von den Schaufeln auf das Fluid bertragene.

Die von der Beschaufelung der Kraftmaschine abgegebene bzw. von der Arbeitsmaschine aufgenommene Leistung ergibt sich durch Multiplikation mit der Winkelgeschwindig-keit w

( 1.46)

1.3.5 Anwendung des Energieerhaltungssatzes auf Strmungen in rotierenden Kanlen 33

Spezifische Schaufelarbeit. Durch Division der Leistung P'Ch durch den Massenstrom m lt sich eine spezifische Schaufelarbeit definieren, fr die dann gilt

(1.47)

Diese Beziehung wird nach Leonard E uler, der sie im Jahre 1753 zuerst hergeleitet hat, die Eulersche Turbinenhauptgleichung oder kurz die Hauptgleichung genannt.

Durchflugleichung. Mittels des Cosinussatzes der Trigonometrie kann die Hauptgleichung noch in eine etwas andere Form gebracht werden. Aus dem Eintrittsdreieck (Bild 1.10b) liest man ab

wr = ur + ci - 2U l Cl COSC(l = ur + ci - 2U l C l u also

U l Cl u = ! (cr - wi + uD Indem man dies und die entsprechende Gleichung fr das Austrittsdreieck in GI. 1.47 einsetzt, bekommt man die Hauptgleichung in der als Durchflugleichung bezeichneten Form

ci - ci - wi + wi + ui - ui Y.ch= 2 (1.48)

Die beiden vllig gleichwertigen GIn. 1.47 und 1.48 gelten ohne Ausnahme fr alle Str-mungsmaschinen. In ihnen sind die Verluste der Maschine bercksichtigt, aber natrlich nur soweit sie in der Beschaufelung entstehen. Hieran soll der Index sch erinnern. Nicht zu den Beschaufelungsverlusten gehren die ueren Verluste, aber auch ein Teil der inneren.

1.3.5 Anwendung des Energieerhaltungssatzes auf Strmungen in rotierenden Kanlen

Fr die Anwendung auf die Laufradstrmung ist es ntzlich, zu untersuchen, in welcher Form der Energieerhaltungssatz fr die R ela ti vs trtn ung in einer Stromrhre gilt, die mit der Winkelgeschwindigkeit w um ihren Bezugspunkt rotiert (Bild 1.14). Aus GI. 1.6, dem ersten Hauptsatz folgt fr die adiabate Strmung mit QI.Z = 0 und mit wtl Z = PI. z/m

w~ - wr wtl.z=hz-hl + 2 +g(ZZ-Zl)

Bei einer ruhenden Stromrhre wre die spezifische Arbeit Wt 1. z gleich Null, aber durch die Rotation wirken auf ein Fluidteilchen die Coriolis-Kraft und die Zentrifugalkraft, die an ihm Arbeit leisten knnen.

Die Coriolis-Kraft dFc = 2dm [w x w] steht berall auf der Relativgeschwindigkeit senkrecht und leistet deshalb keinen Beitrag zu Wt 1, Z Die Zentrifugalkraft ist dF: = dm r W Z und damit

1 52 52 W = - J dF . d s = WZ J r . d s

t 1. Z dm s, Z s,

1.14 Strmung im rotierenden Kanal

(1.49)


Die zu r parallele, also radiale Komponente des Wegelements ds ist dr, und damit

2 rS' W 2 2 2 ui - UI Wtl , 2=W rdr=-(r2 -rl )=---n 2 2

Der Energieerhaltungssatz entsteht durch Einsetzen in GI. 1.49

(1.50)

bzw. fr den Sonderfall der reibungsfreien Strmung eines inkompressiblen Fluids

P2 - PI + ( ) + w~ - wi ui - uj (! 9 Z2 - ZI 2 - - -2- = 0 (1.51)

Wendet man GI. 1.50 auf die Strmung im Laufrad einer Strmungsmaschine an, so erhlt man nach Addition von (d - d)/2 die spezifische Schaufelarbeit

22 222222 v _ h _ h CI - C2 ( ) _ CI - C2 - W I + W2 +_ U I - U2 l seh - I 2 + 2 + 9 Z I - Z2 - 2

Die rechte Seite stimmt mit GI. 1,48 berein und der mittlere Ausdruck ist entsprechend aufgebaut wie GI. 1.38, ist aber nicht fr die ganze Maschine sondern nur fr die Beschaufe-lung angeschrieben.

1.3.6 Gleichdruck- und berdruckprinzip

Im Zusammenhang mit der Einteilung der Strmungsmaschinen war schon in Abschn. 1.1.2 zwischen Gleichdruck- oder Aktionsmaschinen und berdruck- oder Reaktionsmaschinen unterschieden worden.

Gedankenexperiment. Aus einem unter berdruck stehenden Behlter fliet Wasser aus einer seitlichen ffnung (Bild 1.15), Der Strahl trifft auf eine vertikale ebene Platte, an der die Flssigkeit um 90 umgelenkt wird. Der Schwerkrafteinflu bleibe ebenso wie die Reibung unbercksichtigt. Sowohl auf den Behlter als auch auf die Platte wirken Krfte, die nach dem Impulssatz (GI. 1,41) berechnet werden.

1.15 Aktions- und Reaktionskraft

Bei 1 ist die Geschwindigkeit, wie an jeder anderen Stelle im lnnern des Behlters vcrnach-lssigbar klein. Bei 2 wird die Ausflugeschwindigkeit J2f:"p/Q erreicht, die bei 3 und 4 noch unverndert vorhanden ist.

Damit errechnet sich die auf den Behlter wirkende Reak ti 0 n sk raft

FR = !TI (c I - C 2) = - !TI C 2

Sie entsteht dadurch, da sich von 1 bis 2 die Geschwindigkeit dem Betrage nach ndert, nmlich erhht, wobei der Druck entsprechend abfllt.

1.3.6 Gleichdruck- und berdruckprinzip 35

An der Platte bleiben Druck und Geschwindigkeitsbetrag unverndert. Die Geschwindig-keit ndert sich aber der Richtung nach. Ihre Horizontalkomponente bei 3 und 4 ist C3x = C2 bzw. C4x = 0 und damit wird die Kraft

FA = m(c3x - c4X) = mC2

Eine solche, aus der Richtungsnderung einer Strmung entstehende Kraft, wird im vorlie-genden Zusammenhang als Akt ion s k raft bezeichnet.

In den Laufrdern der Strmungsmaschinen knnen sowohl Aktions- als auch Reaktions-krfte ausgenutzt werden, wobei die ersteren einer nderung der Geschwindigkeitsrichtung bei gleichbleibendem Druck und die letzteren einer nderung des Geschwindigkeitsbetra-ges bei verndertem Druck entsprechen.

Aktions- oder Gleicbdruckturbine. In den von den Leitschaufeln gebildeten verengten Kan-len (Bild 1.16a) wird das gesamte Energieflle in kinetische Strmungsenergie umgewan-delt. Dabei steigt die Geschwindigkeit und der Druck fllt ab. In den Laufschaufeln bleiben Druck und Relativgeschwindigkeit konstant, was durch Kanle mit gleichbleibender Licht-weite erreicht wird. Da sich die Richtung der Relativgeschwindigkeit aber ndert, entstehen Aktionskrfte, die das Laufrad antreiben. Wie der Geschwindigkeitsplan (Bild 1.16 ) zeigt,

1.16 Prinzipbilder axialer Turbi- ~ nenstufen

a) Gleichdruckturbine b) berdruckturbine

IX) Lngsschnitt ) abgewickelter Zylinder-

schnitt durch die Schaufel-gitter mit Geschwindig-keitsdreiecken

y) Druck- und Geschwindig-keitsverlauf ~

o Leitgittereintritt 1 Leitgitteraustritt bzw.

Laufgittereintritt 2 Laufgitteraustritt a) c b)


verringert sich der Betrag der Absolutgeschwindigkeit erheblich, ein Zeichen dafr, da die Strmung im Laufrad einen groen Teil ihrer kinetischen Energie an den Lufer abgibt.

Reaktions- oder berdruckturbinen. In den Leitkanlen (Bild 1.16 b) wird nur ein Teil des Energiegeflles in kinetische Energie umgesetzt. Der Rest dient dazu, die Relativgeschwin-digkeit innerhalb der Laufschaufelkanle zu erhhen. Whrend in der Gleichdruckturbine die Schaufelkrfte ausschlielich Aktionskrfte sind, kommt hier ein mehr oder minder groer Anteil aus der nderung des Geschwindigkeitsbetrages hinzu. Wegen des Druckun-terschiedes aufbeiden Seiten des Laufrades spricht man auch von einer berdruckturbine.

1.3.7 Reaktionsgrad, Beaufschlagungsgrad

Kinematischer Reaktionsgrad. Die spezifische Schaufelarbeit Y,eh nach GI. 1.48 kann in die Anteile des Leit- und Laufrades unterteilt werden

2 2

Y' = + Cj - C2 spezifische Leitradarbeit seh - 2

U 2 _ UZ _ W Z + w2 Y" = + j 2 j 2 spezifische Laufradarbeit

seh - 2

wobei wieder das obere Vorzeichen fr die Kraftmaschine und das untere fr die Arbeitsma-schine gilt. Zur dimensionslosen Beschreibung der Aufteilung wird der kinematische Reaktionsgrad definiert UI - u~ - wI + w~ uI - u~ - wi + w~

Z ,2 2 2 2 2 = 2 Y c j -cZ+U j -U2- W j+WZ seh

(1.52)

1.17 Geschwindigkeitsplan einer axialen Verdichterstufe

Axialer Sonderfall. Eine besonders anschauliche Darstellung wird im Fall der axialen Beschaufelung mit U = U j = U z und W jm = W Zm mglich (Bild 1.17). Dort wird mit

und mit GI. 1.47

1.3.7 Reaktionsgrad, Beaufschlagungsgrad 37

W~-WI wL-wL _Wzu+Wl u _w oou rk = = = + = +--

2U(Cl u -Czu) 2u(w1u -wzu) 2u U

Die hier benutzte, in Bild 1.17 erluterte Geschwindigkeit Woo spielt eine Rolle in der Theorie der Tragflgel und der axialen Schaufelgitter.

Isentropen-Reaktionsgrad. Bei thermischen Strmungsmaschinen wird auch eine etwas ab-weichende Definition des Reaktionsgrades gebraucht. Ist /)'hs = /)'h~ + /).h; das isentrope Enthalpiegeflle mit den Anteilen /).h; des Leit- und /).h; des Laufrades, so gilt

/)'h" /)'h' r = /)'h' + s/)'h" = 1 - /).hs

S S S

(1.53)

Der Unterschied gegenber dem kinematischen Reaktionsgrad ist gering und verschwindet ganz, wenn die Beschaufelungsverluste sich im gleichen Verhltnis auf Leit- und Laufschau-felung verteilen wie die isentropen Enthalpiegeflle.

Anwendung. Bei den Arbeitsmaschinen wird von seltenen Ausnahmen abgesehen nur das berdruckprinzip verwendet, weil die Drucksteigerung in den um lau fe n den Kanlen der Laufrder besser gelingt als in den ruhenden Leitrdern. Das lt sich dadurch erklren, da die Fliehkrfte im Laufrad eine absaugende Wirkung auf Totrume ausben und dadurch stabilisierend wirken. Bei den Kraftmaschinen wird sowohl das Gleichdruck- als auch das berdruckprinzip verwirklicht.

Teilbeaufschlagung. Eine Besonderheit der Gleichdruckturbinen ist die Mglichkeit, die Laufrder nur auf einem Teil ihres Umfangs arbeiten zu lassen. Dabei liegen die Leitschau-felkanle nur auf dem Teil, der mit dem Arbeitsfluid beaufschlagt wird (Bild 1.18). Ist b die beaufschlagte Bogenlnge und D der Bezugsdurchmesser, auf dem b gemessen ist, so wird als Beaufschlagungsgrad I; definiert

b 1;=-:

38 1.4 hnlichkeitsbeziehungen und Kennzahlen

Lsuug. Nach GI. 1.48 ist

und nach GI. 1.52

m 2 ------------------~----------------=245--

2 S2

m 2 m 2 2245 -- + (2,842 2 - 14,1192)--2

S2 S uf - u~ - \Vf + IV~ 2 J-;'h + (cf - cD rk = - 2 J-;'h 2 J-;'h

-------------------- = 0,610 m 2

2245--S2

1.4 hnlichkeitsbeziehungen und Kennzahlen

1.4.1 Modellgesetze

Fr die Beurteilung des Betriebsverhaltens einer Strmungsmaschine ist es von Interesse, wie sich die Maschine bei vernderter Drehzahl, und wie sich ein Modell mit anderen Abmessungen verhlt. Es sind also die Einflsse von Drehzahl und Maschinengre, letz-tere vertreten durch den Laufraddurchmesser, auf die Betriebsdaten Volumenstrom, spezifi-sche Stutzenarbeit, Drehmoment und Leistung zu untersuchen.

Die Ergebnisse sind unter anderem deshalb wichtig, weil experimentelle Untersuchungen an Strmungsmaschinen hufig nur an verkleinerten Modellen ausgefhrt werden kn-nen. Um aus solchen Versuchen die richtigen Rckschlsse auf die Ausfhrung zu ziehen, mssen die Modellgesetze bekannt sein.

Geometrische hnlichkeit. Fr die Modellhnlichkeit zweier Maschinen ist es eine notwen-dige Voraussetzung, da fr die Abmessungen aller strmungstechnisch wichtigen Teile ein einheitlicher Lngenmastab existiert, der das Verhltnis einer Lnge der Ausfhrung (ohne Index) zu der ihr zugeordneten am Modell (Index M) angibt. Er ist gleich D/DM und gilt auch fr irgend ein anderes Paar zugeordneter Abmessungen.

Kinematische hnlichkeit. Eine weitere Voraussetzung besteht darin, da einander entspre-chende Geschwindigkeiten von Ausfhrung und Modell zueinander im gleichen Verhltnis stehen, bzw. da die Geschwindigkeitsdreiecke hnlich sind.

C2 W 2 U2 -- = --- = -- usw. C2M W 2M U2M

Mit der Umfangsgeschwindigkeit u = nnD wird der Geschwindigkeitsmastab

( 1.55)

Spezifische Stutzenarbeit. Nach der Hauptgleichung (GI. 1.47) ist Y,Ch = U l Cl u - U2 C2u = ~(ucu)' Die spezifische Schaufelarbeit ist also dem Produkt zweier Geschwindigkeiten proportional und, da fr alle Geschwindigkeiten der gleiche Mastab gilt, ist das Verhltnis der spezifischen Schaufelarbeiten von Ausfhrung und Modell gleich dem Quadrat des

Geschwindigkeitsmastabes.

Y n2 D 2 -=-2--2 YM nM DM

oder

1.4.1 Modellgesetze 39

(1.56)

Da hier Y,Ch durch Y ersetzt ist, bedeutet die gut erfllte Nherung, da der Einflu der inneren Verluste, soweit sie nicht Beschaufelungsverluste sind, fr Modell und Ausfhrung bereinstimmt.

Bei geometrischer und kinematischer hnlichkeit verhalten sich die spezifischen Stutzenar-beiten zweier Maschinen wie die Quadrate der Drehzahlen und der Durchmesser.

Volumenstrom. Dem Kontinuittssatz (GI. 1.2) entsprechend ist das Verhltnis der Volu-menstrme von Ausfhrung und Modell gleich dem Produkt aus dem Geschwindigkeits-und dem Flchenmastab. Beachtet man, da dieser das Quadrat des Lngenmastabes ist, so bekommt man mit GI. 1.55

V nD3 --'---=--3 ~ nMDM

oder (1.57)

Der Volumenstrom zweier geometrisch hnlicher Strmungsmaschinen ndert sich unter der Voraussetzung kinematischer hnlichkeit proportional mit der Drehzahl und der drit-ten Potenz des Durchmessers.

Leistung. Fr die Kraftmaschine gilt P = (! V Y17 und fr die Arbeitsmaschine P = (! V Y/17. Damit wird unter Vernachlssigung etwaiger Wirkungsgradunterschiede zwischen Ausfh-rung und Modell mit den Gin. 1.56 und 1.57

P (!n 3 D 5 -= 3 5 PM (!MnMDM

oder (1.58)

Die Leistung von Strmungsmaschinen ist bei geometrischer und kinematischer hnlich-keit proportional der Dichte des Fluids, der dritten Potenz der Drehzahl und der fnften Potenz des Durchmessers.

Drehmoment. Da M = P/w = P/(2 TC n), ergibt sich das hnlichkeitsgesetz

M (!n 2 D5

MM = (!Mn~D~ oder (1.59)

Das Drehmoment geometrisch und kinematisch hnlicher Strmungsmaschinen ist der Fluiddichte, dem Quadrat der Drehzahl und der fnften Potenz des Durchmessers propor-tional.

Beispiel 1.8. Fr ein Pumpspeicherkraftwerk ist eine Pumpenturbine mit folgenden Daten vorgesehen:

Pumpenbetrieb Turbinenbetrieb

V m 3/s 25,7 28,0 H m 289,5 305,5 P MW 78,9 78,0 n l/s 8,33 8,33


Der Laufraddurchmesser ist D = 3010 mm. Fr die Modellversuche mit D" = 490 mm steht eine An-triebsleistung von 1,5 MW fr den Pumpenbetrieb und eine Modellfallhhe von 80 m fr den Turbinen-betrieb zur Verfgung.

a) Wie gro ist die maximal mgliche Modelldrehzahl im Pumpenbetrieb? b) Die Modellversuche werden mit einer Pumpendrehzahl von n" = 31,67 l/s ausgefhrt. Wie gro werden V"' H" und PM? c) Welche Modelldrehzahl ergibt sich fr den Turbinenbetrieb?

Lsung.

JR D5 zu a) GI. 1.58 nMm" = n 3 ~ PDM

1 J 1,5 MW (3,01 m)5 1 n = 8 33 - 3 -- = 45 8 -"mox ' S 78,9 MW 0,49 m ' s

. . n"D~ zu b) GI. 1.57 VM = V --3-

nD

zu c)

1.4.2

. m 3 31,67 l/s (0,49 m)3 m3 VM = 25,7- --- --- = 0,421 -

s 8,33 l/s 3,01 m s

n2 D 2 GI. 1.56 H M = H ~ ~ nD

( 31,67 l/s 0,49 m)2 H" = 289,5 m = 110,8 m 8,33 l/s 3,01 m

n 3 D 5 GI. 1.58 P" = P ~3 ", weil 11M = 11

n D 5

( 31 67 I/S)3 (0 49 m)5 PM = 78,9 MW -' -- -'-- = 0,494 MW 8,33 l/s 3,01 m

D fH:, GI. 1.56 nM = n - ~ It

DM H

1 3,01m ~om 1 nM = 8,33- -- --- = 26,2-

s 0,49 m 305,5 m s

Kennzahlen

Zur Beurteilung von Versuchsergebnissen und zur Auslegung von Strmungsmaschinen sind dimensionslose Kennzahlen zweckmig. Sie geben unabhngig von der Dreh-zahl und von der Gre der Maschine, reprsentiert durch den Laufraddurchmesser, das fr die jeweilige Maschine typische Verhalten wieder.

Bedauerlicherweise hat sich die Fachliteratur bisher auf keine einheitliche Definition der Kennzahlen einigen knnen. Die in diesem Buch fr alle Strmungsmaschinen benutzten und hier erluterten Kenngren sind im Anhang in Tabelle 9.5 zusammengefat. Die Definitionen gelten unabhngig davon, mit welchem ihrer Werte die spezifische Stutzenar-beit eingesetzt wird. Bei den hydraulischen Maschinen wird der ideelle Wert g H nach GI. 1.32 und bei den thermischen das isentrope Enthalpiegeflle benutzt. Entsprechendes gilt fr den Bezugsdurchmesser. Hier wird gewhnlich der grte Durchmesser der Laufbe-schaufelung, in manchen Fllen, etwa bei den axialen Dampf turbinen stufen, aber der mitt-lere Beschaufelungsdurchmesser eingesetzt.

1.4.2 Kennzahlen 41

Druckzahl. Zur dimensionslosen Beschreibung der spezifischen Stutzenarbeit wird diese mit der kinetischen Energie verglichen, die der Umfangsgeschwindigkeit u = nnD ent-spricht

(1.60)

Laufzahl. Die Wurzel aus dem Kehrwert der Druckzahl

1 nnD u v=--=--=-

fo J2Y CA (1.61 )

wird als Laufzahl bezeichnet. Sie setzt die Umfangsgeschwindigkeit ins Verhltnis zu der Geschwindigkeit CA, die entstnde, wenn die spezifische Stutzenarbeit verlustfrei in kineti-sche Energie umgesetzt wrde. Dabei ist es unwesentlich, ob diese Geschwindigkeit wirklich in der Maschine auftritt.

Durchfluzahl. Um den Volumenstrom zu kennzeichnen, wird er durch das Produkt aus der Umfangsgeschwindigkeit und der Flche des Kreises mit dem Durchmesser D dimensions-los gemacht.

4V 4V Cf' = nuD1 = n1 nD3 (1.62)

Eine andere Definition bildet den Quotienten der Meridian- und der Umfangsgeschwindig-keit


rechten Seite die Drehzahl ohne einen Exponenten erscheint. Damit wird

qJI /2 2n~ (/=--=

1/13 /4 (2 y)3 /4 (1.65)

Spezifische Drehzahl. Als ltere, dimensionsbehaftete Kenngre ist bei hydraulischen Str-mungsmaschinen noch die Vergleichsdrehzahl in Gebrauch, die in einer geometrisch hnli-chen Maschine unter der Fall- bzw. Frderhhe 1 m den Volumen strom 1 m 3/s verarbeitet. Setzt man diese Gren in die Gin. 1.56 und 1.57 ein, so folgt

und

Durch Elimination der Durchmesser und Auflsen nach der spezifischen Drehzahl nq folgt

hieraus JV/(m 3/s) nq = n (H/m)3/ 4

Sie hat die gleiche Dimension wie die Drehzahl und wird stets in der Einheit 1/min angege-ben. Der Anbindung an bestimmte Einheiten haftet etwas willkrliches an. Es wre deshalb wnschenswert, wenn die spezifische Drehzahl allmhlich aus dem technischen Schrifttum verschwinden wrde.

Mit Y = g H ergibt sich der Zusammenhang zwischen a und nq

a = 2 Jn . Jm 3/s . nq = nq (2g)3 /4 m3/4 60 s/min 157,81/min

Durchmesserzahl. So wie die Schnellufigkeit durch Elimination des Durchmessers aus den Gin. 1.60 und 1.62 entstanden ist, kann auch umgekehrt die Drehzahl eliminiert werden. Man bekommt zunchst

~= (2y)1 /2 n2D3cp nDljJ1 /2

und hieraus durch Auflsen nach 1jJ1 /2/cp und Potenzieren mit 1/2 die Durchmesserzahl

0= 1/11 /4 = D~ 4fi! qJl/2 2 VV2 (1.66)

Vergleich der Kennzahlen. Wie die Gleichungen dieses Abschnitts erkennen lassen, wrden zwei Kennzahlen z. B. cp und ljJ an sich ausreichen, da sich die brigen durch cp und ljJ ausdrcken lassen. Doch ist es fr manche Zwecke gnstig, die brigen Kennzahlen, oder doch einige von ihnen zur Verfgung zu haben.

Man kann die Kennzahlen einteilen in solche, die das Betrie bs verhalten kennzeichnen wie cp und ljJ und solche, die fr die Bauart einer Maschine typisch sind, wie a und b. Es zeigt sich nmlich, da z. B. zwei Kreiselpumpen gleicher Schnellufigkeit einander sehr hnlich sind, auch wenn sie von verschiedenen Herstellern stammen.

Cordier-Diagramm. Trgt man die Durchmesserzahl ber der Schnellufigkeit auf, so er-gibt sich fr die Kraft- und Arbeitsmaschinen je eine Kurve mit nur geringer Streuung, jedenfalls dann, wenn nur solche Maschinen bercksichtigt werden, die unter den jeweiligen

1.4.2 Kennzahlen 43

Bedingungen die besten Wirkungsgrade haben. Dieses nach seinem Erfinder Cordier be-nannte Diagramm kann fr die Auslegung von Strmungsmaschinen benutzt werden. Ist z. B. fr eine Pumpe der Volumenstrom und die Frderhhe gegeben, so kann man nach Wahl einer geeigneten Drehzahl die Schnellufigkeit berechnen. Man entnimmt dann dem Cordier-Diagramm (Bild 1.19) die zugehrige Durchmesserzahl, die einen guten Wirkungs-grad erwarten lt, und kann damit nach GI. 1.66 den Laufraddurchmesser festlegen.

10

'\ \

8

6 ~ ~.

~I\ ~

-~ \, ~ 1\ .~ \

~. '?~ r\

5

\ \ 1\ \

,"" 1,6

1,2

1.19 Cordier-Diagramm 0,1 0,2 0,3 0,4.

Beispiel 1.9. Fr eine Pumpe ist gegeben:

V = 10 m3/s; H = 146 m; n = 7,142 1/s Welcher Laufraddurchmesser ist zu whlen?

Lsung. Mit Y = g H ist nach Gl. 1.65

C7i 27,142- ,,10-

0'-

1~3 2nv"V s s

(J = (2 g H)3i4 = ( m )3/4 = 0,2045 2.9,81 2 ' 146 m s

1\ ~

I'\,

~ 1'" "I'\,

"'" I'~ ~ "----.........

~, 0,6 0,8 1

44 1.5 Mehrstufigkeit und Mehrnutigkeit

Hierzu wird aus dem oberen Kurvenzug von Bild 1.19 abgelesen 6 = 4,5. Aus GI. 1.66 ergibt sich

J~ J- JlO ms3 26 V 2

1.6 Kavitation 45

negative Werte annehmen knnte, aber das ist aus einleuchtenden physikalischen Grnden nicht mglich.

Ursachen. Der kleinste in einer Flssigkeit mgliche Druck ist durch den Siededruck gegeben, der fr Wasser in Abhngigkeit von der Temperatur aus Tabelle 9.2 entnommen werden kann. Da beim Erreichen des Siededrucks ein, wenn auch kleiner Teil der Flssig-keit in den Dampfzustand bergeht, ist die Voraussetzung der Bernoulli-Gleichung, nm-lich die Inkompressibilitt des Fluids nicht mehr erfllt, denn das spezifische Volumen des Dampfes ist bei niederen Temperaturen um einige Zehnerpotenzen grer als dasjenige der Flssigkeit.

In allen hydraulischen Strmungsmaschinen kann der Druck an den Stellen hoher Ge-schwindigkeit rtlich soweit ab sinken, da eine Dampfblasenbildung einsetzt. Das beein-flut zunchst die Strmungsgeschwindigkeit wegen des erwhnten groen Volumens der Dampfblasen. Wesentlich strender sind jedoch die Erscheinungen, die auftreten, wenn die Dampfblasen wieder kondensieren, sobald sie von der Strmung an einen Ort mitgetra-gen worden sind, an dem der Druck wieder ansteigt.

Die Kondensation der Dampfblasen geschieht auerordentlich schnell, so da das einbre-chende Wasser sehr groe Verzgerungskrfte erfhrt. Dadurch treten kurzzeitige hohe Druckspitzen auf, die rasch aufeinander folgen. Diese Erscheinung wird als Kavitation bezeichnet. Das Wort ist lateinischer Herkunft und lt sich etwa mit Hohlraumbildung bersetzen, ein Name, der den Sachverhalt nicht ganz trifft, da es sich ja nicht um Hohl-rume, sondern um dampferfllte Rume handelt. Auch ist nicht die Bildung sondern vielmehr das Verschwinden der Dampfblasen entscheidend.

Folgen. Die Kavitation hat mehrere unerwnschte Folgen und mu deshalb vermieden werden. Sie beeinflut die Kennlinien und vermindert insbesondere den Wirkungsgrad. Sie fhrt zu mechanischen Schwingungen und verursacht prasselnde Gerusche. Vor allem aber wird das Material der Schaufeln und anderer der Kavitation ausgesetzter Bauteile durch die hochfrequente mechanische Beanspruchung zerstrt. Der Materialverschlei ist nicht nur mechanischer, sondern auch chemischer Natur, weil schtzende Oberflchen-schichten zerstrt werden und ihre Neubildung verhindert wird. Der mechanische Mate-rial abtrag wird Kavitationserosion, der chemische Kavitationskorrosion genannt.

Die verschiedenen Werkstoffe verhalten sich gegenber der Kavitation sehr unterschied-lich. Ungnstig sind Gueisen und Kunststoffe, sehr widerstandsfhig dagegen Chromnik-kelsthle.

Grenzen. Die Kavitation tritt dort zuerst auf, wo der Druck ohnehin besonders niedrig ist. Bei den Turbinen also am Laufradaustritt und bei den Pumpen am Laufradeintritt. Auch sind besonders solche Maschinen gefhrdet, die mit hohen Geschwindigkeiten arbeiten, also schnellufig ausgelegt sind. Da sie aber bei gegebener Leistung kleinere Abmessungen haben, also preiswerter sind als langsamlufige, mu bei der Auslegung hydraulischer Strmungsmaschinen aus wirtschaftlichen Grnden dicht an die Grenze der Kavitations-gefhrdung herangegangen, bzw. bei manchen Betriebszustnden schwache Kavitation zugelassen werden.

2 Wasserturbinen

2.1 Einleitung

Ursprnge. Als Vorlufer der heutigen Wasserkraftmaschinen gab es schon im Altertum die verschiedenen Bauformen der Wasserrder, die nicht zu den Strmungsmaschinen gerech-net werden, da ihnen das Merkmal der durchstrmten Schaufelkanle fehlt. Das Wasser fliet vielmehr in einseitig offene Kammern und strmt ber die gleiche Kante wieder aus, ber die es eingetreten ist. Als Geburtsdatum der modernen Strmungsmaschinen kann das Jahr 1750 gelten, als Johann Adreas Segner eine Turbine beschrieb, nach deren Prinzip manche heutigen Rasen-sprenger arbeiten. Durch diese Erfindung angeregt, befate sich der Mathematiker Leonard Euler (1707 -1783) mit der Theorie dieser Maschinen. Seine 1754 verffentlichte Arbeit "Verbesserte Theorie der durch Reaktion des Wassers angetriebenen Maschinen" macht Euler zum Begrnder der Lehre von den Strmungsmaschinen. Seine eindimensionale Stromfadentheorie und die nach ihm benannte Turbinenhauptgleichung (GI. 1.47) sind auch heute noch wichtige Berechnungsgrundlagen (s. Abschn. 1.3.4).

Francis-Turbinen. Als die von England ausgehende Industriealisierung in der ersten Hlfte des 19. Jahrhunderts auf den europischen Kontinent und Nordamerika bergriff, konnte sie sich nicht im gleichen Ausma wie in ihrem Ursprungsland auf leicht erschliebare Kohlevorkommen sttzen. Deshalb fhrte der steigende Energiebedarf auch zu einer Wei-terentwicklung der Wasserkraftmaschinen. Whrend einige der in dieser Zeit entstandenen Konstruktionen heute keine Bedeutung mehr haben, setzte sich die im Jahre 1838 von den Amerikanern S. Howd und James B. Francis erfundene Tubine durch. Sie ist eine Reaktionsturbine mit einem radial durch-strmten Leitgitter, dessen Schaufeln zum Zweck der Regelung verstellbar sind, und einem Laufrad, in dessen Bereich die Strmung in die axiale Richtung bergeht (Bild 2.1 a).

Kaplan-Turbinen. Um Abmessungen und Kosten zu verkleinern, wurden in der Folgezeit die Francis-Turbinen zu immer schnellufigeren Typen weiterentwickelt. Dazu mssen die Laufschaufeln immer mehr in den axialen Bereich verlegt werden. In konsequenter Fortsetzung dieser Tendenz wurde bei der von dem sterreicher Viktor Kaplan im Jahre 1912 erfundenen Turbine dem radialen Leitrad ein rein axiales Laufrad in der Form eines Schiffspropellers nachgeschaltet (Bild 2.1 b). Der grere Abstand zum Leitapparat erweist sich als unschdlich. Zur Regelung werden bei der Kaplan-Turbine auer den Leitschaufeln auch die Laufschaufeln verstellt.

Pelton-Turbinen. Zur Ausnutzung groer Fallhhen, fr die sich Gleichdruckturbinen bes-ser eignen, wurde am Ende des 19. Jahrhunderts eine Turbine entwickelt, an deren Laufrad symmetrisch geformte Becherschaufeln mit einer Schneide in der Mitte angeordnet sind. Auf diese trifft der aus einer Dse austretende freie Wasserstrahl, der in zwei Teile getrennt in den beiden Schaufelmulden um fast 1800 umgelenkt wird (Bild 2.1 c und 2.3).

2.1 Einleitung 47

Durcbstrmturbinen. Eine andere Form der Gleichdruckturbine ist die von dem Australier MicheIl im Jahre 1903 erfundene Maschine, bei der ein breiter Wasserstrahl von rechtecki-gem Querschnitt die Schaufeln eines walzenfrmigen Laufrades quer zu dessen Achse zweimal durchstrmt. Fr kleine Leistungen bis zu etwa 200 kW hat sich diese Bauart wegen ihrer Einfachheit und Anspruchslosigkeit gut bewhrt (Bild 2.1 d).

a) b)

d) 2.1 Prinzipbilder von Wasserturbinen

a) Francis-Turbine c) Pelton-Turbine b) Kaplan-Turbine d) Durchstrmturbine

Energieerzeugung. Bis in die zweite Hlfte des 19. Jahrhunderts waren die Leistungen auf etwa 250 kW beschrnkt. Die Maschinen dienten damals zum unmittelbaren Antrieb von Mhlen, Sgewerken, Holzschleifereien und dergleichen. Die Energieerzeugung war immer an den Ort der Wasserkraft gebunden. Grere Wasserkrfte konnten erst durch die Mglichkeit der elektrischen Energiebertragung ber groe Entfernungen ausgenutzt werden. Heute werden Wasserturbinen mit Leistungen bis zu 700 MW und fr Fallhhen von wenigen Metern bis zu 1800 m gebaut. Die Wirkungsgrade erreichen Werte von 92 bis 94%.

In der energiewirtschaftlichen Bilanz der Industrielnder spielen die Wasserkrfte nur eine geringe Rolle. In der Bundesrepublik Deutschland tragen sie z. B. nur mit etwa 5 % zur Erzeugung elektrischer Energie bei. Dieser Anteil wird weiter absinken, da der Energiebe-darfinsgesamt steigt, die natrlichen Wasserkrfte aber zu einem hohen Prozentsatz bereits ausgebaut sind. In den auereuropischen Lndern gibt es aber noch groe, wirtschaftlich ausbaufhige Wasserkrfte. In den industriell entwickelten Lndern besteht noch Bedarf an Pumpspeicherkraftwerken, die ein geeignetes Mittel sind, den Spitzenstrombedarf wirt-schaftlich zu decken (s. Abschn. 5.5.7).

1 H

48 2.2 Typenbersicht und Einsatzgebiete

2.2 Typenbersicht und Einsatzgebiete

Wie im vorigen Abschnitt ausgefhrt, werden heute fast ausschlielich die Wasserturbinen der Pelton-, Francis- und Kaplan-Bauart eingesetzt. In ihrer Gesamtheit erfllen sie die folgenden Anforderungen an neuzeitliche Wasserkraftmaschinen.

Forderungen. Maschinen mglichst geringer Abmessungen fr jede Fallhhe.

Hoher Wirkungsgrad nicht nur im Auslegungspunkt, sondern auch bei Teillast und bei schwankenden Wasserspiegeln. Gute Regelbarkeit. Senkrechte und waagerechte Aufstellungsmglichkeit.

TypenwahI. Welcher Typ zur Anwendung kommt, richtet sich nach dem Hhenunterschied zwischen Ober- und Unterwasser, dem verfgbaren Volumenstrom und der fr kavitations-freien Betrieb zu whlenden Drehzahl (Bild

( ) Dipl.-Ing. Klaus Menny (auth.)-Strömungsmaschinen-Vieweg+Teubner Verlag (1985)

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