Beschränktheits- undKompaktheitsbegriffeAlexander Marcel BirxE-Mail: alexander_marcel.birx@stud.tu-darmstadt.de

Fachbereich Mathematik,Technische Universität Darmstadt

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort 2

2 Kompaktheit und Beschränktheit im metrischen Raum 3

2.1 Beschränktheit und Präkompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Überdeckungskompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Folgenkompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Äquivalenz von Kompaktheitsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Der Satz von Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Kompaktheit im topologischen Raum 10

3.1 Überdeckungskompaktheit im topologischen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Charakterisierung von Kompaktheit über Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Hausdorff-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Kompaktheit und stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Relative Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Kompaktifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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1 VorwortDiese Ausarbeitung hat das Thema Beschränkheits- und Kompaktheitsbegriffe.Der Begriff der Kompaktheit ist einer der zentralsten Begriffe der allgemeinen Topologie, wes-wegen es nötig ist detailliert auf weitere große Themen der Topologie einzugehen. Da die de-taillierte Einführung dieser Themen jedoch den Rahmen dieser Ausarbeitung sprengen würde,werden im Folgenden einige elementare Dinge, wie beispielsweise mengentheoretische Grund-lagen, als bekannt angesehen.

Weiterführende Themen, wie die Konzepte von metrischen und topologischen Räumen oderFilter, werden kurz einführt und Literaturangaben zu detaillierteren Einführungen gemacht.

Diese Ausarbeitung ist in zwei große Bereiche zu unterteilen: Im ersten Abschnitt werden wir Be-griffe wie Beschränktheit und Präkompaktheit (Totalbeschränktheit) untersuchen. Den Begriffder Kompaktheit werden wir im Folgenden durch offene Überdeckungen und durch Folgencharakterisieren. Weiter werden wir zeigen, dass eine Teilmenge eines metrischen Raumes ge-nau dann kompakt ist, wenn sie präkompakt und vollständig ist. Abschließen werden wir diesenersten Abschnitt mit dem Satz von Heine-Borel.

Im zweiten Abschnitt werden wir Kompaktheit im topologischen Raum behandeln. Hierbeiwird die Kompaktheit, wie bereits im metrischen Raum, durch offene Überdeckungen cha-rakterisiert. Anstatt mit Folgenkompaktheit werden wir uns jedoch mit Filterkompaktheit be-schäftigen. Hierfür wird es erst einmal nötig sein, den Begriff des Filters angemessen detaillierteinzuführen. Zudem werden wir den Begriff der relativen Kompaktheit einführen und unter-suchen. Abschließend werden wir noch kurz auf das Thema Kompaktifizierung eingehen.

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2 Kompaktheit und Beschränktheit immetrischen Raum

2.1 Beschränktheit und Präkompaktheit

In diesem Abschnitt werden wir Beschränktheit und Präkompaktheit im metrischen Raum de-finieren. Zu allererst werden wir jedoch das Konzept des metrischen Raumes einführen. Einedetailliertere Einführung in das Thema metrische Räume ist Teil von Proseminar (4) und kannzudem auf den Seiten 10-12 in [4] nachgelesen werden.

2.1.1 Definition. (Metrischer Raum)Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar (X , d) aus einer Menge X und einer Funktion d :X × X → R mit den folgenden Eigenschaften:

i.) ∀x , y ∈ X : d(x , y)≥ 0, d(x , y) = 0⇔ x = y (Definitheit)

ii.) ∀x , y ∈ X : d(x , y) = d(y, x) (Symmetrie)

iii.) ∀x , y, z ∈ X : d(x , y) + d(y, z)≥ d(x , z) (Dreiecksungleichung)

2.1.2 Definition. (Beschränktheit)Sei (X , d) ein metrischer Raum. A ⊆ X heißt beschränkt genau dann, wenn ein x0 ∈ A und einr > 0 existieren, sodass gilt:

d(x0, x)≤ r, ∀x ∈ A

Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist also beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endli-chem Radius enthalten ist.

2.1.3 Definition. (Präkompaktheit)Sei (X , d) ein metrischer Raum. A⊆ X heißt präkompakt bzw. totalbeschränkt genau dann, wennfür alle ε > 0 eine endliche Anzahl Punkte x1, ..., xn ∈ A existiert, sodass gilt:

A⊆n⋃

i=1

{x ∈ M : d(x , x i)< ε}

Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist also präkompakt, wenn sie mit einer endlichen An-zahl Kugeln mit Radius ε überdeckt werden kann.

Bemerkung. Die Menge Nε := {x1, ..., xn} nennt man auch ε-Netz.

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Nun stellt sich die Frage, in welchem Zusammenhang Beschränktheit und Präkompaktheitstehen. Der folgende Satz gibt hierüber Auskunft.

2.1.4 Satz. Jede präkompakte Menge ist beschränkt.

Beweis. Sei (X , d) ein metrischer Raum, A⊆ X präkompakt. Dann gilt für ein r-Netz {x1, ..., xn}

A⊆n⋃

i=1

Br(x i),

wobei Br(x i) hierbei die Kugel mit Radius r und Mittelpunkt x i ist.Sei nun N :=maxi∈{1,...,n} d(x1, x i) + r , dann gilt:

Br(xk) ⊆ BN (x1) ∀k ∈ {1, ..., n} ⇒ A⊆ BN (x1)

Somit ist A beschränkt.

2.2 Überdeckungskompaktheit

Wir wenden uns nun der zentralen Definition dieser Ausarbeitung zu: Die Charakterisierung vonKompaktheit durch offene Mengen. Diese Definition der Überdeckungskompaktheit gilt nichtnur im metrischen Raum, sondern ist auch in fast exakt gleicher Formulierung im topologischenRaum gültig. Bevor wir jedoch zu besagter Definition vorstoßen müssen wir vorbereitend denBegriff der offenen Überdeckung definieren.

2.2.1 Definition. (offene Überdeckung)Sei K eine Menge und I eine beliebige Indexmenge. Die Familie offener Mengen (Oi)i∈I heißtoffene Überdeckung von K genau dann, wenn die Mengen Oi für alle i ∈ I offen sind und zusätz-lich gilt:

K ⊆⋃

i∈I

Oi

2.2.2 Bemerkung. Die Definition einer offenen Menge kann auf Seite 19 in [5] nachgelesenwerden. Eine Teilmenge A ⊆ X ist abgeschlossen, wenn ihre Komplementärmenge, also X\A,offen ist.

Mit dem Begriff der Überdeckung ausgestattet können wir nun Überdeckungskompaktheitdefinieren.

2.2.3 Definition. (Überdeckungskompaktheit)Sei (X , d) ein metrischer Raum. Die Teilmenge A⊆ X heißt überdeckungskompakt genau dann,wenn man aus jeder offenen Überdeckung (Oi)i∈I von A die Mengen O1, ..., ON entnehmen kann,sodass gilt:

A⊆N⋃

i=1

Oi

Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist also kompakt, wenn jede ihrer offenen Überde-ckungen eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

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2.2.4 Bemerkung. Es ist nicht schwer einzusehen, dass jede kompakte Teilmenge A ⊆ X auchpräkompakt ist, denn nach der Definition von Kompaktheit hat jede unendliche Überdeckungvon A durch offene ε-Kugeln eine endliche Teilüberdeckung. Hieraus folgt natürlich mit Satz2.1.4 auch, dass jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes beschränkt ist.

Dass eine präkompakte Menge kompakt ist, gilt offensichtlich im Allgemeinen nicht, was unszu der Frage führt, welche Eigenschaft eine präkompakte Menge noch benötigt, um kompaktzu werden.

2.3 Vollständigkeit

Im folgenden Abschnitt werden wir die Vollständigkeit eines metrischen Raumes definieren.Hierfür definieren wir vorbereitend den Begriff der Cauchy-Folge. Später werden wir sehen,dass jede Teilmenge eines metrischen Raumes genau dann kompakt ist, wenn Sie präkompaktund vollständig ist.

2.3.1 Definition. (Cauchy-Folge)Sei (X , d) ein metrischer Raum. Eine Folge (an)n∈N ⊂ X heißt Cauchy-Folge genau dann, wennfür alle ε > 0 ein N0 ∈ N existiert mit

d(xn, xm)< ε ∀n, m≥ N0.

2.3.2 Definition. (Vollständigkeit)Ein metrischer Raum (X , d) heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert.

2.3.3 Satz. Sei (X , d) ein vollständiger metrischer Raum und A⊂ X . Dann sind folgende Aussagenäquivalent:

i.) A ist abgeschlossen

ii.) A ist vollständig

Hinweis: Der folgende Beweis verwendet den Begriff ∂ A (Rand von A), welcher auf Seite 32 in [5]für den topologischen Raum definiert wird. Diese Definition gilt auch im metrischen Raum.

Beweis. i)⇒ ii):Wir nehmen an A sei nicht vollständig. Sei (an)n∈N ⊂ A also eine Cauchy-Folge, die gegenein x ∈ X\A konvergiert. Da X\A nach Voraussetzung offen ist, existiert ein ε > 0, sodassBε(x) ⊂ X\A und ein N0 ∈ N, sodass d(an, x) < ε für alle n ≥ N0. Dies steht im Widerspruchdazu, dass (an)n∈N Teilmenge von A ist.

ii)⇒ i):Da A nach Voraussetzung vollständig ist, konvergiert jede Cauchy-Folge (an)n∈N ⊂ A gegen einx ∈ A. Insbesondere existiert für jedes x ∈ ∂ A eine Cauchy-Folge (an)n∈N ⊂ A, die gegenbesagtes x konvergiert. Somit gilt ∂ A⊂ A, woraus folgt, dass A abgeschlossen ist.

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2.4 Folgenkompaktheit

Bevor wir nun zeigen, dass Vollständigkeit in der Tat die Eigenschaft ist, die eine präkompakteMenge zu einer kompakten macht, wollen wir noch Kompaktheit durch Folgen charakterisieren.

2.4.1 Definition. (Folgenkompaktheit)Sei (X , d) ein metrischer Raum. A ⊆ X heißt folgenkompakt genau dann, wenn jede Folge(an)n∈N ⊂ A eine konvergente Teilfolge besitzt.

2.5 Äquivalenz von Kompaktheitsdefinitionen

Wir haben nun also Kompaktheit durch Überdeckung und durch Folgen charakterisiert undhegen die Vermutung, dass präkompakte, vollständige Teilmengen eines metrischen Raumesebenfalls kompakt sind. Im Folgenden werden wir zeigen, dass sogar alle drei Aussagen äquiva-lent sind.

2.5.1 Satz. Sei (X , d) ein metrischer Raum und A⊆ X . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

i.) A ist folgenkompakt

ii.) A ist präkompakt und vollständig

iii.) A ist überdeckungskompakt

Beweis. i)⇒ ii):Sei (an)n∈N ⊂ A eine Cauchy-Folge. Nach Voraussetzung besitzt (an)n∈N eine konvergente Teil-folge. Da (an)n∈N aufgrund der Definition einer Cauchy-Folge nur einen Häufungspunkt besitztund keine divergenten Teilfolgen haben kann, ist (an)n∈N selbst konvergent. Somit ist A voll-ständig.

Wir nehmen nun an, A wäre nicht präkompakt. Dies würde bedeuten, dass ein ε > 0 existiert,für das kein endliches ε-Netz existiert. Wir definieren nun induktiv eine Folge (bn)n∈N ⊂ A, fürdie folgendes gilt:Sei b1 beliebig. Die Punkte b1, ..., bn seien nun bereits so definiert, dass

d(bi, b j)≥ ε ∀i, j ∈ {1, ..., n}, i 6= j

gilt. Dann existiert ein bn+1 ∈ A für das

d(bi, bn+1)≥ ε ∀i ∈ {1, ..., n}

gilt, da sonst {b1, ..., bn} bereits ein ε-Netz gewesen wäre.Da sich die Folge (bn)n∈N in dieser Weise beliebig fortsetzen lässt und der Abstand zwischenzwei Elementen immer größer oder gleich ε ist, kann (bn)n∈N keinen Häufungspunkt und somitkeine konvergente Teilfolge besitzen. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Folgenkompaktheitvon A.

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ii)⇒ iii):Nach Voraussetzung ist A präkompakt und vollständig. Wir nehmen nun an A wäre nicht kom-pakt, dann gäbe es eine offene Überdeckung (Oi)i∈I von A, die keine endliche Teilüberdeckungbesitzt.Aus der Präkompaktheit von A folgt, dass ein endliches 1-Netz F existiert, wobei die Kugeln umdie Punkte von F mit Radius r = 1 die Menge A überdecken. Ließe sich jede dieser Kugeln vonendlich vielen Oi überdecken, würde sich auch A mit endlich vielen Oi überdecken lassen. Esmuss also eine Kugel B1 := B1(x1) existieren, sodass sich A∩ B1 nicht von endlich vielen Oiüberdecken lässt.Wir gehen nun erneut induktiv vor: Sei B1 unser Induktionsanfang und Bn−1 = B2−(n−1)(xn−1)bereits so gewählt, dass A∩ Bn−1 nicht von endlich vielen Oi überdeckt werden kann. Aufgrundder Präkompaktheit von A existieren nun endlich viele Kugeln C1, ..., Cm mit Radius 2−n, die Aüberdecken. Von den Kugeln, für die A∩Bn−1∩Ci 6= ; gilt, existiert mindestens eine, sodass sichA∩ Ci nicht von endlich vielen Oi überdecken lässt. Sei xn der Mittelpunkt von Ci, dann setzenwir Bn = B2−n(xn). Da Bn ∩ Bn−1 6= ;, gilt

d(xn−1, xn)≤ 2−n+1 + 2−n ≤ 2−n+2.

Wir wählen nun zu jedem Bn ein an ∈ A∩ Bn. Dann gilt aufgrund der Dreiecksungleichung:

d(an−1, an)≤ d(an−1, xn−1) + d(xn−1, xn) + d(xn, an)≤3

2n−2

Weiter folgt für n, m ∈ N mit n< m:

d(an, am)≤ d(an, an+1) + d(an+1, an+2) + ...+ d(am−1, am)

≤3

2n−1

m−n+1∑

i=0

1

2i

≤3

2n−2

Die Folge (an)n∈N ist somit eine Cauchy-Folge, welche aufgrund der Vollständigkeit von A gegenein a ∈ A konvergiert. Es existiert also ein i0 ∈ I für das a ∈ Oi0 gilt. Da Oi0 eine offene Mengeist existiert ein ε > 0, sodass Bε(a) ⊂ Oi0. Zudem existiert ein n ∈ N mit d(a, an) ≤

32n−2 <

ε

2und somit auch 1

2n <ε

4.

Für jedes x ∈ A∩ Bn gilt somit:

d(x , a)≤ d(x , xn) + d(xn, an) + d(an, a)≤1

2n +1

2n +ε

2< ε

Hieraus folgt jedoch, dass alle x ∈ A∩ Bn in Bε(a) und somit auch in Oi0 liegen. Die MengeA∩ Bn besitzt somit sehr wohl eine endliche Teilüberdeckung, nämlich Oi0. Dies steht jedoch imWiderspruch zu unserer Definition von Bn.

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iii)⇒ i):Sei (an)n∈N ⊂ A eine Folge und Fn der Abschluss der Menge {an, an+1, ...}. Wir nehmen nun anes würde

A∩ (∞⋂

n=1

Fn) = ;

gelten. Das heißt wir nehmen an (an)n∈N ⊂ A hätte keinen Häufungspunkt in A.Dann gilt:

A⊂ X\∞⋂

n=1

Fn =∞⋃

n=1

(X\Fn),

wobei X\Fn für alle n ∈ N offen ist. Da A nach Voraussetzung kompakt ist, wird A auch vonendlich vielen dieser Mengen überdeckt, das heißt:

A⊂ (X\Fn1∪ ...∪ X\Fnk

) = X\k⋂

i=1

Fni

Für n>maxi∈{1,...,k} ni gilt Fn ⊂⋂k

i=1 Fniund somit auch A⊂ X\Fn, woraus folgt, dass A∩ Fn =

; gilt, was ein Widerspruch zur Definition von (an)n∈N ist.Die Folge (an)n∈N ⊂ A besitzt also einen Häufungspunkt in A und hat somit eine konvergenteTeilfolge, woraus folgt, dass A folgenkompakt ist.

2.6 Der Satz von Heine-Borel

Wir wagen nun noch einen Abstecher in den euklidischen Rn. Hier lässt sich Kompaktheit be-sonders einfach als abgeschlossen und beschränkte Menge charakterisieren.

2.6.1 Satz. (Satz von Heine-Borel)Sei A⊂ Rn. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

i.) A ist kompakt

ii.) A ist abgeschlossen und beschränkt

Beweis. i)⇒ ii):Nach Bemerkung 2.2.3 ist jede kompakte Menge beschränkt. Es bleibt also noch zu zeigen, dassA abgeschlossen ist.Sei x /∈ A. Wir wählen nun zu jedem a ∈ A einen Radius ra < d(x , a), sodass

⋃

a∈A Bra(a) eine

offene Überdeckung von A ist. Da A kompakt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung mit

A⊆k⋃

i=1

Brai(ai).

Sei nun r = mini∈{1,...,n} d(x , ai)− rai, dann ist Br(x) eine Umgebung von x , die ganz in X\A

liegt. Da man diese Umgebung für alle x ∈ X\A bilden kann, ist X\A offen und A als Komple-ment von X\A abgeschlossen.

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ii)⇒ i):Wir zeigen zunächst, dass jede beschränkte Menge im Rn präkompakt ist. Dies gilt natürlichnicht in einem allgemeinen metrischen Raum.Im Rn bilden die Punkte ( i1

k, i2

k, ..., in

k) ∈ Rn mit i j ∈ Z für alle j ∈ {1, ..., n} ein k−1-Netz. Da

die Menge A beschränkt ist, enthält sie nur endlich viele dieser Punkte, woraus folgt, dass Apräkompakt ist.Da Rn vollständig ist, folgt nach Satz 2.3.3, dass A als abgeschlossene Teilmenge eines vollstän-digen metrischen Raumes ebenfalls vollständig ist. Nach Satz 2.5.1 folgt mit der Präkompaktheitund Vollständigkeit von A, die Kompaktheit von A.

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3 Kompaktheit im topologischen Raum

3.1 Überdeckungskompaktheit im topologischen Raum

Im zweiten Kapitel dieser Ausarbeitung beschäftigen wir uns mit Kompaktheit im topologischenRaum. Das Konzept des topologischen Raumes wird in [5] ab Seite 21 und in [1] ab Seite 74ausführlich erklärt. Dennoch werden wir kurz die Definition darlegen.Hinweis: Die Menge P(X ) bezeichnet im Folgenden die Potenzmenge der Menge X .

3.1.1 Definition. (Topologischer Raum)Sei X eine Menge und τ ⊆ P(X ). Die Familie von Mengen τ heißt Topologie auf X genau dann,wenn

i.) ; ∈ τ und X ∈ τ

ii.) ∀A, B ∈ τ : A∩ B ∈ τ

iii.) ∀A ⊆ τ : (⋃

A∈A A) ∈ τ

gelten. Das Tupel (X ,τ) heißt topologischer Raum und die Elemente von τ heißen offene Mengendes topologischen Raumes (X ,τ).

Es ist leicht zu sehen, dass ein topologischer Raum gänzlich ohne Abstandsbegriff auskommt,weshalb topologische Räume im Allgemeinen nicht metrisch sind. Umgekehrt jedoch bildetjeder metrische Raum (X , d) mit τd := {O ⊆ X | O offen bzgl. d} eine Topologie auf X . OhneAbstandsbegriff ist der klassische Konvergenzbegriff nicht mehr anwendbar, denn wie soll eineFolge einem Punkt unendlich nahe kommen, wenn der Abstand nicht bestimmbar ist?Folgerichtig kann Kompaktheit im topologischen Raum im Allgemeinen auch nicht durchFolgen charakterisiert werden. Die Definition der Überdeckung ist jedoch auch imtopologischen Raum gültig, weshalb die Charakterisierung von Kompaktheit durch offeneÜberdeckungen ähnlich wie im metrischen Raum funktioniert.Bevor wir jedoch zur Überdeckungskompaktheit im topologischen Raum vorstoßen, werdenwir noch den Begriff der Basis und der Subbasis einer Topologie einführen.

3.1.2 Definition. (Basis einer Topologie)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge B ⊆ τ heißt Basis der Topologie τ genaudann, wenn gilt:

∀O ∈ τ : ∃A ⊆ B : O =⋃

A∈AA

Die Menge B ist somit eine Basis von τ, wenn jedes Element aus τ als Vereinigung von Elemen-ten aus B dargestellt werden kann.

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3.1.3 Definition. (Subbasis einer Topologie)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum. Die Familie von Mengen S ⊆ P(X ) heißt Subbasis der Topo-logie τ genau dann, wenn die Familie

B := {n⋂

i=1

Si | n ∈ N, Si ∈ S}

aller endlichen Schnitte von Elementen aus S eine Basis von τ ist.

3.1.4 Definition. (Überdeckungskompaktheit)Ein topologischer Raum (X ,τ) heißt überdeckungskompakt genau dann, wenn man aus jederoffenen Überdeckung (Oi)i∈I ⊆ τ von X die Mengen O1, ..., ON entnehmen kann, sodass gilt:

X =N⋃

i=1

Oi

Eine Teilmenge A⊆ X heißt kompakt, wenn sie als Teilraum von X kompakt ist.

3.1.5 Satz. Sei (X ,τ) ein kompakter topologischer Raum. Dann ist jede abgeschlossene Teilmengevon (X ,τ) kompakt.

Beweis. Sei A ⊂ X und (Oi)i∈I eine offene Überdeckung von A. Da X\A nach Voraussetzungoffen ist, ist (X\A)∪ (Oi)i∈I eine offene Überdeckung von X . Da X kompakt ist, besitzt besagteÜberdeckung eine endliche Teilüberdeckung, welche insbesondere auch A überdeckt.

3.2 Filter

Da wir also Kompaktheit im topologischen Raum im Allgemeinen nicht über Folgen charak-terisieren können, stellt sich die Frage, ob es nicht möglich ist das Konzept von Folgen undFolgenkonvergenz so zu modifizieren, dass es ohne Abstandsbegriff auskommt und somit im to-pologischen Raum anwendbar ist. Dies führt uns im weiteren Verlauf auf den Begriff des Filters,welcher Thema von Proseminar (3) ist. Um sinnvoll mit diesem Konstrukt arbeiten zu könnenist es nötig im Folgenden eine kleine Einführung in das Thema Filter zu geben. Eine detaillierteEinführung findet man unter Anderem in [5] ab Seite 68 und in [1] ab Seite 45.

3.2.1 Definition. (Filter)Sei X 6= ;. Eine nichtleere Familie ϕ ⊂ P(X ) heißt Filter auf X genau dann, wenn

i.) ; /∈ ϕ

ii.) A∈ ϕ ∧ B ∈ ϕ⇒ A∩ B ∈ ϕ

iii.) A∈ ϕ ∧ B ⊇ A⇒ B ∈ ϕ

gelten. Die Menge aller Filter auf X bezeichnen wir mit F(X ).

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3.2.2 Definition. (Hauptfilter und Einpunktfilter)Sei ; 6= A⊆ X . Dann bezeichnen wir das Mengensystem

[A] := {B ∈ P(X ) | B ⊇ A}

als den von A erzeugten Hauptfilter. Ist A := {x} einelementig, so nennen wir x := [{x}] denvon x erzeugten Einpunktfilter.

3.2.3 Definition. (Grobheit, Feinheit und Ultrafilter)Seien ϕ1,ϕ2 ∈ F(X ). Dann heißt ϕ1 gröber als ϕ2 bzw. ϕ2 feiner als ϕ1 genau dann, wenn

ϕ1 ⊂ ϕ2

gilt. Ein Filter ϕ ∈ F(X ) heißt Ultrafilter auf X , wenn kein Filter auf X existiert, der feiner als ϕist.

3.2.4 Definition. (Oberfilter)Sei F(X ) die Menge aller Filter auf X und ϕ ∈ F(X ). Dann bezeichnen wir das Mengensystem

F(ϕ) := {ψ ∈ F(X ) |ψ ⊇ ϕ}

als Menge aller Oberfilter von ϕ.

3.2.5 Bemerkung. Offensichtlich ist jeder Filter, der feiner als ϕ ist, Oberfilter von ϕ. Ultrafilterbesitzen offensichtlich keine Oberfilter außer sich selbst.

3.2.6 Definition. (Filterbasis und Filtersubbasis)Eine Familie A ⊆ P(X ) von Teilmengen einer nichtleeren Menge X heißt Filterbasis genau dann,wenn die Menge

[A]F(X ) := {B ⊆ X | ∃A∈ A : A⊆ B}

aller Obermengen von Elementen aus A ein Filter ist.

Eine Familie B ⊆ P(X ) von Teilmengen einer nichtleeren Menge X heißt Filtersubbasis ge-nau dann, wenn die Menge

[B]F(X ) := {C ⊆ X | ∃n ∈ N, B1, ..., Bn ∈ B :n⋂

i=1

Bi ⊆ C}

aller Obermengen endlicher Schnitte von Elementen aus B ein Filter ist. Die Filter [A]F(X ) bzw.[B]F(X ) nennen wir den von A bzw. B erzeugten Filter.

3.2.7 Satz. Sei X eine nichtleere Menge und B ⊆ P(X ). Sind alle endlichen Schnitte von Elementenaus B nichtleer, so ist B eine Filtersubbasis.

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Beweis. Es genügt zu zeigen, dass [B]F(X ) ein Filter ist. Da endliche Schnitte von B nach Vor-aussetzung nichtleer sind und [B]F(X ) aus Obermengen endlichen Schnitten von Elementen ausB besteht, gilt ; /∈ [B]F(X ). Sei nun

n⋃

i=1

Bi ⊆ B ∈ [B]F(X ) undn⋃

j=1

C j ⊆ C ∈ [B]F(X )

mit Bi, C j ∈ B, dann giltn⋃

i=1

Bi ∩n⋃

i=1

Ci ⊆ B ∩ C

und somit auch B ∩ C ∈ [B]F(X ). Sei nun D ∈ [B]F(X ) und E ⊇ D. Dann folgt direkt aus derDefinition von [B]F(X ), dass auch E ∈ [B]F(X ) gilt. Somit ist [B]F(X ) ein Filter und B eineFiltersubbasis.

3.2.8 Definition. (Filterkonvergenz und Umgebungsfilter)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum, x ∈ X und ϕ ∈ F(x). Wir sagen ϕ konvergiert gegen x genaudann, wenn

ϕ ⊇ x ∩τ

gilt. Also enthält ϕ alle τ-offenen Mengen als Element, die x wiederum als Element enthalten.Für ϕ konvergiert gegen x schreiben wir auch ϕ

τ−→ x .

Den von x ∩τ erzeugten Filter

Uτ(x) := {B ⊆ X | ∃O ∈ τ : x ∈ O ⊆ B}

nennen wir Umgebungsfilter von x bezüglich τ. Die Elemente von Uτ(x) nennen wir Umgebun-gen von x.

3.2.9 Definition. (Berührungspunkt)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum und ϕ ∈ F(X ). Ein Punkt x ∈ X heißt Berührungspunkt vonϕ genau dann, wenn es einen Oberfilter von ϕ gibt, der gegen x konvergiert.Für X ⊆ A heißt x ∈ X Berührungspunkt der Menge A genau dann, wenn er Berührungspunktdes Hauptfilters [A] ist.

Der folgende Satz wird sich in den kommenden Beweisen als nützlich erweisen.

3.2.10 Satz. Sei X eine Menge und ϕ ∈ F(X ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

i.) ϕ ist ein Ultrafilter

ii.) ∀A⊆ X : (A∈ ϕ)∨ (X\A∈ ϕ)

iii.) ∀n ∈ N, A1, ..., An ∈ P(X ) :⋃n

i=1 Ai ∈ ϕ⇒∃i ∈ {1, ..., n} : Ai ∈ ϕ

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Beweis. i)⇒ ii):Sei ϕ ein Ultrafilter auf X . Wir nehmen nun an es würde ein A ⊂ X existieren mit A /∈ ϕ undX\A /∈ ϕ. Da X\A nicht in ϕ, ist nach Definition auch keine Teilmenge von X\A in ϕ. Hierausfolgt

∀P ∈ ϕ : P ∩ A 6= ;,

da sonst P ⊂ X\A gelten würde. Wir definieren nun die Menge

ϕ′ := {B ⊆ X | ∃P ∈ ϕ : P ∩ A⊆ B}.

Man prüft leicht nach, dass ϕ′ selbst ein Filter ist. Da A ∈ ϕ′ und ϕ ∈ ϕ′, ist ϕ′ Oberfilter vonϕ. Da ϕ jedoch ein Ultrafilter ist, steht dies im Widerspruch zu Bemerkung 3.2.5.

ii)⇒ iii):Gelte nun ii). Wir nehmen nun an es gäbe endlich viele Teilmengen A1, ..., An von X , sodass

n⋃

i=1

Ai ∈ ϕ ∧ (∀i ∈ {1, ..., n} : Ai /∈ ϕ)

gilt. Nach Voraussetzung gilt dann ∀i ∈ {1, ..., n} : (X\Ai) ∈ ϕ und nach Defintion 3.2.1 auch

n⋂

i=1

(X\Ai) = X\n⋃

i=1

Ai ∈ ϕ.

Da also⋃n

i=1 Ai ∈ ϕ und X\⋃n

i=1 Ai ∈ ϕ gilt, muss auch der Schnitt dieser beiden Mengen,nämlich die leere Menge, in ϕ liegen. Dies ist jedoch ein Widerspruch zu Definition 3.2.1.

iii)⇒ i):Gelte nun iii). Wir nehmen an, ϕ wäre kein Ultrafilter, dann existiert ein Filter ψ ⊃ ϕ und einA∈ψmit A /∈ ϕ. Nun gilt X = A∪(X\A) ∈ ϕ und nach Voraussetzung auch X\A∈ ϕ (da A /∈ ϕgewählt wurde). Da ϕ ⊆ψ gilt offensichtlich auch X\A∈ψ.Da also A ∈ ψ und X\A ∈ ψ gilt, muss auch der Schnitt dieser beiden Mengen, nämlich dieleere Menge, in ψ liegen. Dies ist jedoch ein Widerspruch zu Definition 3.2.1.

3.3 Charakterisierung von Kompaktheit über Filter

Wie bereits erwähnt ist Folgenkonvergenz in klassischer Weise im topologischen Raum nichtmöglich. Im vergangenen Abschnitt haben wir uns jedoch Filter und Filterkonvergenz definiert.Nun stellt sich die Frage, ob es im topologischen Raum möglich ist, Kompaktheit durch Filter-konvergenz zu charakterisieren.

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3.3.1 Satz. Sei (X ,τ) ein topologischer Raum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

i.) (X ,τ) ist überdeckungskompakt

ii.) Jeder Ultrafilter auf X konvergiert gegen ein x ∈ X

iii.) Jeder Filter auf X besitzt einen Oberfilter, der gegen ein x ∈ X konvergiert

iv.) Jede Familie abgeschlossener Teilmengen von X , deren Schnitt leer ist, besitzt eine endlicheTeilfamilie, deren Schnitt ebenfalls leer ist

Beweis. i)⇒ ii):Sei (X ,τ) kompakt und ϕ Ultrafilter auf X . Wir nehmen nun an ϕ würde nicht gegen ein x ∈ Xkonvergieren. Dann muss nach Definition 3.2.8 für alle x ∈ X eine offene Menge Ox existieren,sodass

(Ox ∈ τ∩ x)∧ (Ox /∈ ϕ)

gilt. Da x ∈ Ox für alle x ∈ X gilt, bildet die Menge aller Ox offensichtlich eine offene Überde-ckung von X. Es gilt also:

X =⋃

x∈X

Ox

Da (X ,τ) nach Voraussetzung kompakt ist, besitzt diese Überdeckung eine endliche Teilüberde-ckung Ox1

, ..., Oxnmit n ∈ N.

Da offensichtlich X ∈ ϕ gilt, gilt ebenso⋃n

i=1 Oxi∈ ϕ und da ϕ ein Ultrafilter ist, folgt mit Satz

3.2.10, dass ein Oxiexistiert mit Oxi

∈ ϕ, was im Widerspruch zur Definition von Oxisteht.

Somit konvergiert ϕ gegen ein x ∈ X .

ii)⇒ iii):Sei ϕ ein Filter auf X und F(ϕ) := {ψ ⊇ ϕ | ψ ∈ F(X )} die Menge aller Oberfilter von ϕ.Durch Überprüfen der Definition 3.2.1 erkennt man, dass χ :=

⋃

ψ∈F(ϕ)ψ wiederum ein Filterauf X ist, nämlich das Maximum von F(ϕ) bezüglich Inklusion.Somit hat jedes ϕ ∈ F(X ) einen Oberfilter der ebenso Ultrafilter ist, welcher nach Vorausset-zung gegen ein x ∈ X konvergiert.

iii)⇒ iv):Sei A ⊆ P(X ) eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X mit

⋂

A∈A A = ;. Wir nehmennun an es gibt keine endliche Teilfamilie von A, deren Schnitt leer ist. Nach Satz 3.2.7 ist A so-mit eine Filtersubbasis und nach Voraussetzung besitzt der von A erzeugte Filter [A]F(X ) einenOberfilter ϕ, der gegen ein x ∈ X konvergiert. Da somit ϕ ⊃ [A]F(X ) gilt, ist x Berührungs-punkt jedes A ∈ A. Da alle A ∈ A abgeschlossen sind, folgt, dass ∀A ∈ A : x ∈ A und folglichx ∈⋂

A∈A A gilt. Dies steht jedoch im Widerspruch zu⋂

A∈A A= ;.Somit existiert eine endliche Teilfamilie von A deren Schnitt leer ist.

iv)⇒ i):Sei (Oi)i∈I ⊆ τ eine offene Überdeckung von X , dann gilt:

X =⋃

i∈I

Oi ⇔ ;= X\⋃

i∈I

Oi =⋂

i∈I

(X\Oi)

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Somit folgt, dass A := {X\Oi | i ∈ I} eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X mitleerem Schnitt ist. Nach Voraussetzung gibt es nun also endlich viele O1, ..., On ∈ (Oi)i∈I mitn ∈ N, derart, dass

;=n⋂

i=1

(X\Oi) = X\n⋃

i=1

Oi ⇔ X =n⋃

i=1

Oi

gilt. Somit enthält (Oi)i∈I eine endliche Teilüberdeckung.

3.3.2 Satz. (Alexander’scher Subbasissatz)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum und S eine Subbasis von τ. Dann sind folgende Aussagen äqui-valent:

i.) (X ,τ) ist kompakt

ii.) Jede Überdeckung von X mit Elementen aus S besitzt eine endliche Teilüberdeckung

Beweis. i)⇒ ii):Da S eine Subbasis von τ ist, ist B := {

⋂ni=1 Si | n ∈ N, Si ∈ S} eine Basis von τ, welche nach

Definition 3.1.2 nur offene Mengen enthält. Wir nehmen nun an, S enthalte Mengen, die nichtoffen sind, d.h. es existiert mindestens ein A1 ∈ S mit A1 /∈ τ. Dann müsste

⋂1i=1 Ai = A1 ∈ B

gelten. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Tatsache, dass B nur offene Mengen enthält. DieSubbasis S enthält somit ebenfalls nur offene Mengen, woraus folgt, dass eine Überdeckung vonX mit Elementen aus S eine offene Überdeckung ist, welche nach Voraussetzung eine endlicheTeilüberdeckung besitzt.

ii)⇒ i):Sei nun S eine Subbasis von τ und enthalte jede Überdeckung von X mit Elementen aus S eineendliche Teilüberdeckung. Wir nehmen nun an (X ,τ) sei nicht kompakt, dann existiert nachSatz 3.3.1 ein Ultrafilter ϕ auf X , welcher nicht gegen ein Element aus X konvergiert. Es exis-tiert somit zu jedem x ∈ X eine offene Menge Ox mit x ∈ Ox ∈ x∩τ und Ox /∈ ϕ. Aus Definition3.1.2 und 3.1.3 folgt, dass jedes Ox die Vereinigung endlicher Schnitte von Elementen aus S ist.Es existieren somit insbesondere Si ∈ S, i ∈ {1, ..., n} mit

Ox ⊇n⋂

i=1

Si und x ∈n⋂

i=1

Si

Für mindestens eines dieser Si muss Si /∈ ϕ gelten, da sonst nach Definition 3.2.1 die Menge Oxin ϕ wäre. Es existiert somit für alle x ∈ X ein Sx ∈ S mit x ∈ Sx /∈ ϕ, woraus

X =⋃

x∈X

Sx

folgt. Nach Voraussetzung sind existieren nun schon endlich viele Sx1, ..., Sxm

∈ S, m ∈ N mitX =⋃m

k=1 Sxk, woraus⋃m

k=1 Sxk∈ ϕ folgt. Mit Satz 3.2.10 folgt, dass eines dieser Sxk

Elementvon ϕ sein muss. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Wahl der Elemente Sxk

.

16

3.4 Hausdorff-Räume

Wir führen im Folgenden den Begriff des Hausdorff-Raumes ein. Dieser ist benannt nach demdeutschen Mathematiker Felix Hausdorff (1868-1942), welcher als einer der Mitbegründer derallgemeinen Topologie gilt.

3.4.1 Definition. (Hausdorff-Raum)Ein topologischer Raum (X ,τ) heißt Hausdorff-Raum genau dann, wenn es zu je zwei Punktenx , y ∈ X offene Mengen Ux , Uy ∈ τ gibt mit Ux ∩ Uy = ;, x ∈ Ux und y ∈ Uy .

3.4.2 Satz. Ist (X ,τ) ein Hausdorff-Raum, so ist die Filterkonvergenz in (X ,τ) eindeutig. Es giltsomit:

∀ϕ ∈ F(X ), x , y ∈ X : ϕτ−→ x ∧ϕ

τ−→ y ⇒ x = y

Beweis. Wir nehmen an es existieren ϕ ∈ F(X ) und x , y ∈ X mit x 6= y , ϕτ−→ x und ϕ

τ−→ y .

Nach Definition 3.2.8 gilt nun ϕ ⊇ Uτ(x) und ϕ ⊇ Uτ(y) und somit ist jedes Ux ∈ Uτ(x)und Uy ∈ Uτ(y) auch Element von ϕ. Nach Definition 3.2.1 gilt Ux ∩ Uy ∈ ϕ und somit auchUx ∩ Uy 6= ;, was aber bedeutet, dass jede Umgebung von x einen nichtleeren Schnitt mitjeder Umgebung von y hat. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Definition eines Hausdorff-Raumes.

3.4.3 Satz. Ist (X ,τ) ein Hausdorff-Raum, so ist jede kompakte Teilmenge von X abgeschlossen.

Beweis. Sei A ⊆ X kompakt und x ∈ X Berührungspunkt von A. Es existiert somit ein Filter ϕ,der A enthält und gegen x konvergiert. Wie in dem Beweis zu Satz 3.3.1 (ii⇒ iii) gezeigt, besitztjeder Filter einen Oberfilter der zugleich ein Ultrafilter ist. Somit besitzt insbesondere ϕ einensolchen Oberultrafilter ψ, der selbstverständlich ebenfalls A enthält und gegen x konvergiert.Da A kompakt ist, muss ψ nach Satz 3.3.1 gegen ein a ∈ A konvergieren. Aus Satz 3.4.2 folgt,dass a = x gilt, woraus folgt, dass x Element von A ist. Da A somit alle seine Berührungspunkteenthält, ist A abgeschlossen.

3.5 Kompaktheit und stetige Funktionen

Nachdem wir nun die verschiedenen Definitionen von kompakten Mengen untersucht haben,beschäftigen wir uns jetzt mit einigen einfachen Eigenschaften kompakter Mengen im topologi-schen Raum und insbesondere mit stetigen Bildern kompakter Mengen.

3.5.1 Definition. Seien (X ,τ) und (Y,υ) topologische Räume. Eine Funktion f : X → Y heißtstetig genau dann, wenn gilt:

∀O ∈ υ : f −1(O) ∈ τ

Eine Funktion ist also stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

3.5.2 Satz. Seien (X ,τ) und (Y,υ) topologische Räume und f : X → Y eine Funktion. Ist f −1(A)abgeschlossen in X für alle abgeschlossenen Teilmengen A⊆ Y , so ist f stetig.

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Beweis. Sei B ⊆ Y offen, dann ist Y \B abgeschlossen. Somit gilt nach Voraussetzung f −1(Y \B)ist abgeschlossen in X und somit ist f −1(B) = X\ f −1(Y \B) offen, was die Stetigkeit von fimpliziert.

3.5.3 Satz. Seien (X ,τ) und (Y,υ) topologische Räume, (X ,τ) kompakt und f : X → Y stetig.Dann ist f (X ) ⊆ Y ebenfalls kompakt.

Beweis. Sei (Oi)i∈I eine offene Überdeckung f (X ). Dann ist ( f −1(Oi))i∈I eine offene Überde-ckung von X , die eine endliche Teilüberdeckung ( f −1(Oi))i∈{1,...,n} besitzt. Somit ist (Oi)i∈{1,...,n}eine endliche Teilüberdeckung von f (X ), woraus folgt, dass f (X ) kompakt ist.

3.5.4 Satz. Sei (X ,τ) ein kompakter topologischer Raum und f : X → R stetig bezüglich dereuklidischen Topologie auf R. Dann nimmt f auf X ein Maximum und ein Minimum an.

Beweis. Aus Satz 3.4.1 folgt, dass f (X ) ⊆ R kompakt ist. Satz 2.6.1 impliziert nun, dass f (X ) ab-geschlossen und beschränkt ist. Aufgrund der Beschränktheit existieren Supremum und Infimumvon f (X ), welche aufgrund der Abgeschlossenheit Elemente von f (X ) sind.

3.5.5 Satz. Sei (X ,τ) ein kompakter topologischer Raum, (Y,υ) ein Hausdorff-Raum und f : X →Y stetig und bijektiv. Dann ist f ein Homöomorphismus.Hinweis: Der Begriff Homöomorphismus wird in [5] auf den Seiten 52-53 definiert.

Beweis. Da f nach Voraussetzung bereits bijektiv und stetig ist, bleibt nur noch zu zeigen, dassf −1 stetig ist. Nach Satz 3.5.2 genügt es zu zeigen, dass für jedes abgeschlossene A ⊆ X dasUrbild ( f −1)−1(A) = f (A) wiederum abgeschlossen in Y ist. Da (X ,τ) kompakt ist, ist nachSatz 3.1.5 jede abgeschlossene Teilmenge A ⊂ X ebenso kompakt. Satz 3.5.3 impliziert nun,dass f (A) ebenfalls kompakt ist. Da (Y,υ) Hausdorff’sch ist, folgt mit Satz 3.4.3, dass f (A)abgeschlossen ist.

3.6 Relative Kompaktheit

Wir werden nun einen weiteren, abgeschwächten Kompaktheitsbegriff, nämlich die relativeKompaktheit, einführen und diese untersuchen.

3.6.1 Definition. (Relative Kompaktheit)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A⊆ X heißt relativ kompakt in (X ,τ) genaudann, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung von A enthält.

3.6.2 Satz. Sei (X ,τ) ein topologischer Raum und A⊆ X . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

i.) A ist relativ kompakt

ii.) Jeder Ultrafilter auf A konvergiert gegen ein Element von X

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Beweis. i)⇒ ii):Sei A⊆ X relativ kompakt und ϕ Ultrafilter auf A. Wir nehmen nun an ϕ würde nicht gegen einElement aus X konvergieren. Dann gibt es für alle x ∈ X eine offene Umgebung Ox für die gilt:

Ox ∈ x ∩τ∧Ox /∈ ϕ

Diese Ox bilden offensichtlich eine offene Überdeckung von X , die nach Voraussetzung eine Teil-überdeckung Ox1

, ..., Oxnmit n ∈ N von A enthält. Da A in ϕ liegt, folgt aus A⊆

⋃ni=1 Oxi

, dass⋃n

i=1 Oxi∈ ϕ gilt. Mit Satz 3.2.10 folgt, dass eines der Oxi

in ϕ liegt, was aber im Widerspruchzu unserer Wahl der Ox steht.

ii)⇒ i):Sei nun A⊆ X eine Teilmenge von X derart, dass jeder Ultrafilter, der A enthält, gegen ein Ele-ment von X konvergiert. Weiter sei (Oi)i∈I ⊆ τ eine offene Überdeckung von X . Wir nehmennun an (Oi)i∈I besitzt keine endliche Teilüberdeckung von A. Dann ist

B := {A\⋃

i∈J

Oi | J ⊆ I , J endlich}

eine Filterbasis auf A und es existiert ein Ultrafilter ϕ auf A, der B umfasst. Nach Voraussetzungkonvergiert ϕ gegen ein x ∈ X , da jedoch auch x von einem O ∈ (Oi)i∈I überdeckt wird, enthältB ⊆ ϕ die Menge A\O ⊆ X\O. Dies steht im Widerspruch zur Konvergenz von ϕ.

Es ist nur logisch sich nun die Frage zu stellen, welche Eigenschaft einem relativ kompaktenTeilraum eines topologischen Raumes zur Kompaktheit fehlt. Im Folgenden werden wir dieseFrage beantworten.

3.6.3 Definition. (Schwach relative Vollständigkeit)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt schwach relativ vollständig in(X ,τ) genau dann, wenn jeder Filter auf A, der gegen ein Element von X konvergiert, einenOberfilter besitzt, der gegen ein Element von A konvergiert.

3.6.4 Satz. Sei (X ,τ) ein topologischer Raum und A⊆ X . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

i.) A ist kompakt

ii.) A ist relativ kompakt und schwach relativ vollständig

Beweis. i)⇒ ii):Sei A kompakt. Dann konvergiert nach Satz 3.3.1 jeder Ultrafilter auf A gegen ein Element ausA und da A⊆ X folgt mit Satz 3.6.2, dass A relativ kompakt ist.Nach Satz 3.3.1 besitzt jeder Filter auf A, also insbesondere auch die, die gegen ein x ∈ Xkonvergieren, einen Oberfilter, der gegen ein Element von A konvergiert. Dies impliziert dieschwach relative Vollständigkeit von A.

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ii)⇒ i):Sei nun A relativ kompakt und schwach relativ vollständig. Aus der relativen Kompaktheit folgtmit Satz 3.6.2, dass jeder Ultrafilter auf A gegen ein Element aus X konvergiert. Sei also ϕ einUltrafilter auf A, der gegen ein x ∈ X konvergiert. Da ϕ keinen Oberfilter außer sich selbstbesitzt, folgt mit der schwach relativen Vollständigkeit von A, dass ϕ auch gegen ein a ∈ Akonvergiert.

3.6.5 Satz. Sei (X ,τ) ein topologischer Raum. Endliche Vereinigungen kompakter Teilmengen vonX sind wiederum kompakt.

Beweis. Seien A1, ..., An kompakte Teilmengen von X und (Oi)i∈I ein offene Überdeckung von⋃

i∈I Ai. Aus der Kompaktheit der Teilmengen A1, ..., An folgt mit Satz 3.6.4, deren relative Kom-paktheit. Die Überdeckung (Oi)i∈I enthält somit für jedes A j mit j ∈ {1, ..., n} eine endlicheTeilüberdeckung (OA j i)i∈{1,...,n j} von A j. Die Teilüberdeckung

O := {(OA j i)i∈{1,...,n j} | j ∈ {1, ..., n}}

überdeckt somit⋃

i∈I Ai, woraus die Kompaktheit von⋃

i∈I Ai folgt.

3.7 Kompaktifizierung

Zum Ende dieser Ausarbeitung möchten wir uns der Frage widmen, wie man durch möglichstgeringe Modifikation aus einem beliebigen topologischen Raum einen kompakten topologischenRaum macht. Diesen Vorgang nennt man im allgemeinen Kompaktifizierung. Es gibt verschie-dene Formen der Kompaktifizierung, jedoch werden wir uns in dieser Ausarbeitung auf dieAlexandroff-Kompaktifizierung beschränken. Weitere Kompaktifizierungen, wie die Stone-Cech-Kompaktifizierung und die Wallman-Kompaktifizierung kann man in [1] ab Seite 190 nachlesen.

3.7.1 Definition. (Offene Abbildung)Seien (X ,τ), (Y,υ) topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt offen genau dann,wenn

∀O ∈ τ : f (O) ∈ υ

gilt, also genau dann, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.

3.7.2 Definition. (Kompaktifizierung)Seien (X ,τ), (Y,υ) topologische Räume, wobei (Y,υ) kompakt sei. Eine Abbildung f : X → Yheißt Kompaktifizierung genau dann, wenn f stetig, offen und injektiv ist.

Auf den vergangenen Seiten haben wir gezeigt, dass ein topologischer Raum (X ,τ) genaudann kompakt ist, wenn jeder Ultrafilter auf X gegen ein x ∈ X konvergiert. Wir könnten nunein Element zu unserem topologischen Raum derart hinzufügen, dass jeder Ultrafilter auf Xgegen dieses Element konvergiert.

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Man kann sich bereits denken, dass man durch eine solche Kompaktifizierung dentopologischen Raum stärker modifiziert als es unter Umständen nötig wäre. Es könnte nämlichsein, dass bereits einige Ultrafilter gegen ein x ∈ X konvergieren. Diese zu modifizieren wärealso unnötig.Aus diesem Grund ändert die Alexandroff-Kompaktifizierung, welche wir im folgendeneinführen, nur das Konvergenzverhalten derer Ultrafilter, die nicht gegen ein x ∈ Xkonvergieren.

3.7.3 Definition. (Alexandroff-Kompaktifizierung)Sei (X ,τ) ein topologischer Raum. Sei∞ Element aus irgendeiner Obermenge von X , das nichtElement von X ist. Weiter sei X ∗ := X ∪ {∞} und

τ∗ := τ∪ {X ∗\A | A⊆ X , A abgeschlossen und kompakt in (X ,τ)}.

Dann heißt (X ∗,τ∗) die Alexandroff ’sche Einpunkt-Kompaktifizierung von (X ,τ).

3.7.4 Satz. Sei (X ,τ) ein topologischer Raum und (X ∗,τ∗) die Alexandroff ’sche Einpunkt-Kompaktifizierung von (X ,τ). Dann ist (X ∗,τ∗) ein kompakter topologischer Raum und es existierteine Abbildung f : X → Y wie in Definition 3.7.2 gefordert.

Hinweis: Wir definieren für den folgenden Beweis zur Übersichtlichkeit:

K := {A⊆ X | A abgeschlossen und kompakt in (X ,τ)}

Somit gilt: τ∗ := τ∪ {X ∗\A | A∈K}

Beweis. Wir überprüfen zunächst die Definition 3.1.1 eines topologischen Raumes:

i.)Die leere Menge liegt offensichtlich in τ∗, da sie bereits in τ liegt. Die Menge X ∗ liegt ebenfallsin τ∗, da ; ∈K gilt.

ii.)Sei weiter A, B ∈ τ∗. Gilt bereits A, B ∈ τ, so gilt trivialerweise A∩B ∈ τ∗. Seien also A, B ∈ τ∗\τ,dann existieren A′, B′ ∈K mit A= X ∗\A′ und B = X ∗\B′. Somit gilt

A∩ B = (X ∗\A′)∩ (X ∗\B′) = X ∗\(A′ ∪ B′),

woraus A∩ B ∈ τ∗ folgt, da A′ ∪ B′ ⊆ X abgeschlossen und nach Satz 3.6.5 kompakt ist.Sei nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit A ∈ τ und B ∈ τ∗\τ. Dann existiert wiederumein B′ ∈K mit B = X ∗\B′. Somit gilt B′ = X ∗\B ∈K, woraus folgt:

A∩ B = A∩ (X ∗\B′) = A\(X ∗\B) ∈ τ ⊂ τ∗

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iii.)Sei (Ai)i∈I ⊆ τ∗ eine Familie offener Mengen. Wir setzen nun Iτ = {i ∈ I | Ai ∈ τ} undAτ =⋃

i∈IτAi sowie Iτ∗ = {i ∈ I | Ai ∈ τ∗} und Aτ∗ =

⋃

i∈Iτ∗Ai. Gilt Iτ∗ = ;, so ist nichts zu

zeigen, denn Aτ ∈ τ ⊂ τ∗, da τ bereits eine Topologie ist.Gelte also Iτ∗ 6= ;. Dann gilt Ai = X ∗\Ki mit Ki ∈K für alle i ∈ Iτ∗ und somit

Aτ∗ =⋃

i∈Iτ∗

(X ∗\Ki).

Nun folgt dass

Aτ∗ ∪ Aτ =⋃

i∈Iτ∗

(X ∗\Ki)∪ Aτ = (X∗\⋂

i∈Iτ∗

Ki)∪ Aτ = X ∗\(⋂

i∈Iτ∗

Ki\Aτ)

gilt. Die Menge⋂

i∈Iτ∗Ki\Aτ ist abgeschlossen, da Aτ offen ist. Sei nun j ∈ Iτ∗ , dann ist of-

fensichtlich K j kompakt und es gilt K j ⊇⋂

i∈Iτ∗Ki\Aτ, woraus nach Satz 3.1.5 folgt, dass

⋂

i∈Iτ∗Ki\Aτ kompakt ist und somit in K liegt. Es gilt also Aτ ∪ Aτ∗ ∈ τ∗.

Somit ist (X ∗,τ∗) ein topologischer Raum.

Sei nun f : X → X ∗ die kanonische Injektion mit f (x) := x .Die Injektivität von f ist trivial.Dass f offen ist, folgt sofort, da f (O) = O für alle O ∈ τ und τ ⊂ τ∗ gilt.Es bleibt somit noch die Stetigkeit zu zeigen. Für O ∈ τ gilt trivialerweise f −1(O) = O. Sei alsoO ∈ τ∗\τ, dann existiert ein A⊂ X , welches abgeschlossen in (X ,τ) ist und für das O = X ∗\Agilt. Folglich gilt dann

f −1(O) = X ∩ (X ∗\A) = X\A∈ τ.

Da alle Elemente aus τ und τ∗ per Definition offen sind, ist f stetig.

Nun bleibt nur noch die Kompaktheit von (X ∗,τ∗) zu zeigen. Sei (Oi)i∈I eine Überdeckungvon X ∗. Dann existiert ein O0 ∈ (Oi)i∈I mit∞∈ O0. Das Komplement K = X ∗\O0 ist nach Defi-nition von τ∗ eine kompakte Teilmenge von X , weshalb eine endliche Teilüberdeckung O1, ..., Onvon K existiert. Somit ist O0, O1, ..., On eine endliche Teilüberdeckung von X ∗, woraus folgt, dass(X ∗,τ∗) kompakt ist.

Die Alexandroff’sche Einpunkt-Kompaktifizierung ist also in der Tat eine Kompaktifizierung,wie wir sie in Definition 3.7.2 definiert haben.

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Literaturverzeichnis[1] R. Bartsch. Allgemeine Topologie I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, 1. edition,

2007.

[2] J. Dugundji. Topology. Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1. edition, 1966.

[3] R. Engelking. General Topology. Heldermann Verlag, Berlin, revised and completed editionedition, 1989.

[4] K. Jänich. Topologie. Springer-Verlag, Berlin, 8. edition, 2005.

[5] G. Preuß. Allgemeine Topologie. Springer-Verlag, Berlin, 2. edition, 1975.

[6] J. Cigler/H.-C. Reichel. Topologie - Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut Wien,Wien, 2. edition, 1987.

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