УДК 62-50:519.2

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ МОНОТОННЫХ СИСТЕМ. I

И. Э. МУЛЛАТ

(Таллин)

Р а с с м а т р и в а е т с я о б щ а я т е о р е т и ч е с к а я модель , п р е д н а з н а ч е н н а я д л я н а ч а л ь н о г о э т а п а а н а л и з а с и с т е м в з а и м о с в я з а н н ы х э л е м е н т о в . В р а м к а х м о д е л и и и с х о д я и з с п е ц и а л ь н о п о с т у л и р о в а н н о г о свойства м о н о т о н н о ­с т и с и с т е м г а р а н т и р у е т с я с у щ е с т в о в а н и е о с о б ы х п о д с и с т е м — я д е р . У с ­т а н а в л и в а е т с я р я д э к с т р е м а л ь н ы х свойств и с т р у к т у р а я д е р в м о н о т о н ­н ы х с и с т е м а х . Д е т а л и з и р у е т с я я з ы к о п и с а н и я м о н о т о н н ы х с и с т е м в з а и ­м о с в я з а н н ы х э л е м е н т о в н а о б щ е м т е о р е т и к о - м н о ж е с т в е н н о м у р о в н е , и н а его о с н о в е в ы р а б а т ы в а е т с я к о н с т р у к т и в н а я с и с т е м а п о н я т и й в с л у ­ч а е с и с т е м с к о н е ч н ы м ч и с л о м э л е м е н т о в . И з у ч а е т с я р я д свойств о с о ­б ы х к о н е ч н ы х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й э л е м е н т о в системы, с п о м о щ ь ю к о т о ­р ы х о с у щ е с т в и м о в ы д е л е н и е я д е р в м о н о т о н н ы х с и с т е м а х .

1. Введение

При изучении поведения сложной системы часто приходится сталки­ваться с задачей анализа конкретных числовых данных о функционирова­нии системы. На основе подобных данных иногда требуется выяснить, существуют ли в системе особые элементы или подсистемы элементов, реагирующих однотипно на какие-либо «воздействия», а также «отноше­ния» между однотипными подсистемами. Сведения о существовании ука­занных особенностей или о «структуре» изучаемой системы необходимы, например, до проведения обширных или дорогостоящих статистических исследований.

В связи с широким применением вычислительной техники в настоящее время на начальном этапе выявления структуры системы намечается под­ход, основанный на различного рода эвристических моделях [1—4]. При построении моделей многие авторы исходят из содержательных постано­вок задач, а также из формы представления исходной информации [5, 6 ] .

Естественной формой представления информации для целей изучения сложных систем является форма графа [7] . Распространенным носителем информации служит также матрица, например матрица данных [8] . Мат­рицы и графы легко допускают выделение двух минимальных структур­ных единиц системы: «элементов» и «связей» между элементами*. В дан­ной работе понятия «связь» и «элемент» трактуются достаточно широко. Так, инргда желательно рассматривать связи в виде элементов системы; в этом случае можно обнаружить более «тонкие» зависимости в исходной системе.

Представление системы в виде единого объекта — элементы и связи между элементами — позволяет придать более четкий смысл задаче выяв­ления структуры системы. Структура системы — это такая организация элементов системы в подсистемы, которая складывается в виде множества отношений между подсистемами. Структурой системы, например, может быть естественно сложившийся способ объединения подсистем в единую

* В л и т е р а т у р е п о д о б н ы е с и с т е м ы н а з ы в а ю т с я с и с т е м а м и в з а и м о с в я з а н н ы х эле­м е н т о в .

130

систему, который определяется на основе «сильных» и «слабых» связей между элементами системы. Подобный подход к анализу систем описан, например, в [9] , где рассматривается вопрос агрегирования систем взаи­мосвязанных элементов. Агрегирование оказывается удобным макроязы­ком для вскрытия структуры системы.

Обычно в теории систем имеются в виду непосредственные связи меж­ду элементами. Ситуация же иногда такая, что требуется учесть и опо­средованные связи в системе. Данное требование отличается тем, что опо­средованные связи — это динамичные зависимости в том смысле, что «степень» зависимости уже определяется подсистемой, в которой та или иная связь рассматривается. Ниже описывается и изучается один подкласс подобных «динамичных» систем — монотонные системы.

Свойство монотонности систем позволяет в общем виде сформулировать понятие ядра системы как подсистемы, которая в указанном первоначаль­ном смысле отражает структуру всей системы в целом. Ядро представляет собой подсистему, элементы которой в наибольшей степени «чувствитель­ны» по отношению к одному из двух типов действий (положительных и отрицательных), так как «чувствительность» к действиям определяется внутренней структурой системы. Определение положительных и отрица­тельных действий приводит к существованию двух видов ядер — положи­тельных и отрицательных.

Существование ядер (особых подсистем) гарантируется описываемой в работе математической моделью, а задача «выделения» ядер представ­ляет собой типичную задачу описания структуры «большой» системы на языке «малой» системы — ядра. В этом смысле, образно выражаясь, ядром системы является подсистема, удаление которой «координально» меняет свойства самой системы: система «теряет» имеющуюся структуру.

При изложении материала используется терминология и символика тео­рии множеств, которая не требует специальных знаний. Следует обратить внимание на вводимые особые обозначения, так как развитый в работе аппарат является новым.

2. Примеры монотонных систем

1. П у с т ь в га-мерном в е к т о р н о м п р о с т р а н с т в е з а д а н о N векторов. Д л я к а ж д о й п а р ы векторов х и у м н о г и м и с п о с о б а м и м о ж н о о п р е д е л и т ь р а с с т о я н и е р ( я , у) м е ж ­д у э т и м и в е к т о р а м и ( м е т р и з и р о в а т ь п р о с т р а н с т в о ) . П о л о ж и м , что м н о ж е с т в о з а д а н ­н ы х векторов о б р а з у е т н е к о т о р у ю н е и з в е с т н у ю с и с т е м у W.

Д л я л ю б о г о вектора в л ю б о й з а д а н н о й п о д с и с т е м е , с и с т е м ы векторов W п о д ­с ч и т а е м с у м м у р а с с т о я н и й до в с е х векторов, н а х о д я щ и х с я только в н у т р и о т о б р а н ­н о й п о д с и с т е м ы . Т а к и м о б р а з о м , но о т н о ш е н и ю к к а ж д о й п о д с и с т е м е с и с т е м ы W и д л я к а ж д о г о вектора, н а х о д я щ е г о с я в н у т р и п о д с и с т е м ы , о п р е д е л я е т с я с о б с т в е н ­н а я с у м м а р а с с т о я н и й , в о з м о ж н о р а з л и ч н а я д л я р а з л и ч н ы х п о д с и с т е м .

Н е т р у д н о у с т а н о в и т ь с л е д у ю щ е е свойство п о д с ч и т а н н о г о м н о ж е с т в а р а з л и ч н ы х с у м м р а с с т о я н и й , а и м е н н о : в р е з у л ь т а т е у д а л е н и я вектора и з п о д с и с т е м ы н а остав­ш и х с я в е к т о р а х п о д с ч и т ы в а е м ы е с у м м ы л и ш ь у м е н ь ш а ю т с я , а в р е з у л ь т а т е д о б а в ­л е н и я вектора к п о д с и с т е м е — л и ш ь у в е л и ч и в а ю т с я . П о д о б н о е свойство с у м м п о от­н о ш е н и ю к л ю б о й п о д с и с т е м е с и с т е м ы W в н а с т о я щ е й р а б о т е н а з ы в а е т с я свойст­вом м о н о т о н н о с т и , а о б л а д а ю щ а я т а к и м свойством с и с т е м а W — м о н о т о н н о й с и с т е м о й .

2. Д л я и з у ч е н и я школ , н а п р а в л е н и й в р а з л и ч н ы х о б л а с т я х н а у к и и с п о л ь з у ю т с я так н а з ы в а е м ы е г р а ф ы ц и т и р о в а н и я п у б л и к а ц и й [ 1 0 ] . Это ориентированные^ а ц и к л и ч е с к и е графы, так как к а ж д ы й автор м о ж е т ц и т и р о в а т ь только т е х авторов, чьи р а б о т ы у ж е о п у б л и к о в а н ы . В п о л н е р а з у м н о считать, что м н о ж е с т в о п у б л и к а ­ц и й W о б р а з у е т н е к у ю с и с т е м у , где э л е м е н т ы с и с т е м ы ( п е ч а т н ы е работы) о б м е н и ­в а ю т с я д р у г с д р у г о м и н ф о р м а ц и е й , п р и ч е м с п е ц и а л ь н ы м о б р а з о м - с п о м о щ ь ю ц и т и р о в а н и я . Е с л и рассмотреть н е к о е п о д м н о ж е с т в о п у б л и к а ц и й и з д о с т у п н о г о о б о з р е н и ю м н о ж е с т в а п у б л и к а ц и й W, то к а ж д у ю п у б л и к а ц и ю м о ж н о о х а р а к т е р и ­зовать к о л и ч е с т в о м б и б л и о г р а ф и ч е с к и х н а з в а н и й , п р и х о д я щ и х с я только на р а с ­с м а т р и в а е м о е п о д м н о ж е с т в о , - п о д с и с т е м у . Понятно , что « у д а л е н и е » п у б л и к а ц и й из п о д с и с т е м ы л и ш ь у м е н ь ш а е т т а к и м с п о с о б о м в в е д е н н ы е к о л и ч е с т в е н н ы е о ц е н к и с т е п е н и о б м е н а и н ф о р м а ц и и в н у т р и п о д с и с т е м ы , а «добавление» п у б л и к а ц и и в п о д ­с и с т е м у л и ш ь у в е л и ч и в а е т те ж е о ц е н к и д л я в с е х п у б л и к а ц и й , в х о д я щ и х в п о д ­с и с т е м у . Т а к и м о б р а з о м , мы и м е е м д е л о с м о н о т о н н о й с и с т е м о й ц и т и р о в а н и я , за ­д а н н о й в виде графа.

5* 13.1

В с в я з и с п р и в е д е н н ы м п р и м е р о м и н т е р е с н о о т м е т и т ь р а б о т у [ И ] , где автор невольно р а с с м а т р и в а е т п р и м е р м о н о т о н н о й с и с т е м ы в виде о р и е н т и р о в а н н о г о графа .

3. Д о п у с т и м , что и м е е т с я н е к о т о р о е м н о ж е с т в о W т е л е ф о н н ы х с т а н ц и й и л и п у н к т о в с в я з и , к о т о р ы е с о е д и н е н ы л и н и я м и д в у с т о р о н н е й связи . П р и о т с у т с т в и и м е ж д у п у н к т а м и какой-либо с в я з и в с и с т е м е с к о м м у т а ц и я м и в о з м о ж н а органи­з а ц и я т р а н з и т н о й с в я з и . Е с л и н а б л ю д а т ь ф у н к ц и о н и р о в а н и е п о д о б н о й с и с т е м ы в т е ч е н и е д л и т е л ь н о г о в р е м е н и , то «качество связи» м е ж д у к а ж д о й п а р о й п у н к т о в , н е з а в и с и м о от того, и м е е т с я д в у с т о р о н н я я связь и л и нет , м о ж е т быть к о л и ч е с т в е н ­н о в ы р а ж е н а в с р е д н е м ч и с л е «отказов» в у с т а н о в л е н и и с в я з и м е ж д у н и м и в эта­л о н н у ю е д и н и ц у в р е м е н и . В о о б щ е говоря, е с л и ж е л а т е л ь н о о х а р а к т е р и з о в а т ь к а ж ­д ы й п у н к т с и с т е м ы W в с м ы с л е « н е н а д е ж н о с т и » у с т а н о в л е н и я с в я з и с д р у г и м и п у н к т а м и , то м о ж н о за э т у в т о р у ю х а р а к т е р и с т и к у п р и н я т ь с р е д н е е ч и с л о отказов в у с т а н о в л е н и и с в я з и х о т я бы с о д н и м и з п у н к т о в с и с т е м ы в е д и н и ц у в р е м е н и . П о н я т н о , что те ж е ч и с л о в ы е в е л и ч и н ы (качество с в я з и , х а р а к т е р и с т и к а н е н а д е ж ­н о с т и ) м о ж н о о п р е д е л и т ь только в н у т р и к а ж д о й п о д с и с т е м ы с и с т е м ы с к о м м у т а ­ц и я м и W.

П р е д д о ж е н н а я м о д е л ь о б л а д а е т с л е д у ю щ и м и о ч е в и д н ы м и с в о й с т в а м и : разрыЕ в к а к ой -ли б о л и н и и д в у с т о р о н н е й с в я з и только у в е л и ч и в а е т с р е д н е е ч и с л о о т к а з о в м е ж д у л ю б ы м и д р у г и м и п у н к т а м и связи; в в о д к ак ой - ли бо н о в о й л и н и и , н а о б о р о т , у м е н ь ш а е т с р е д н е е ч и с л о отказов . Это с в я з а н о с тем, что у в е л и ч и в а е т с я ( у м е н ь ш а ­ется) н а г р у з к а н а о с у щ е с т в л е н и е т р а н з и т н о й с в я з и в т е л е ф о н н о й с е т и к о м м у т а ц и и ; в с л у ч а е п р е к р а щ е н и я д е я т е л ь н о с т и какого-либо п у н к т а с в я з и в н у т р и з а д а н н о й п о д с и с т е м ы у в е л и ч и в а е т с я н е н а д е ж н о с т ь в с е х п у н к т о в в ы б р а н н о й п о д с и с т е м ы , а в с л у ч а е д о б а в л е н и я к п о д с и с т е м е одного п у н к т а с в я з и н е н а д е ж н о с т ь у м е н ь ­ш а е т с я .

Т а к и м о б р а з о м , и м е е т с я п о л н а я а н а л о г и я с у ж е р а с с м о т р е н н ы м и в ы ш е п р и ­м е р а м и м о н о т о н н ы х с и с т е м и м о ж н о у т в е р ж д а т ь , что о п и с а н н а я м о д е л ь т е л е ф о н ­н ы х к о м м у т а ц и й п р е д с т а в л я е т с о б о й м о н о т о н н у ю с и с т е м у .

В д а н н о й р а б о т е м о н о т о н н а я с и с т е м а W о п р е д е л я е т с я как с и с т е м а , н а д э л е м е н ­т а м и к о т о р о й м о ж н о п р о и з в о д и т ь « п о л о ж и т е л ь н ы е » и «отрицательные» действия . П р и э т о м п о л о ж и т е л ь н ы е д е й с т в и я у в е л и ч и в а ю т н е к о т о р ы е к о л и ч е с т в е н н ы е показа ­т е л и ф у н к ц и о н и р о в а н и я с и с т е м ы , а о т р и ц а т е л ь н ы е у м е н ь ш а ю т те ж е п о к а з а т е л и . В р а с с м о т р е н н о м втором п р и м е р е п о л о ж и т е л ь н ы м д е й с т в и е м с ч и т а е т с я д о б а в л е н и е э л е м е н т а к п о д с и с т е м е , а о т р и ц а т е л ь н ы м — у д а л е н и е э л е м е н т а и з п о д с и с т е м ы ; в т р е т ь е м п р и м е р е - наоборот .

В п р и в е д е н н ы х в ы ш е втором и т р е т ь е м п р и м е р а х я д р а д о л ж н ы и м е т ь с о д е р ж а ­т е л ь н ы й смысл. Так, в г р а ф а х ц и т и р о в а н и я о т р и ц а т е л ь н ы м я д р о м д о л ж н о о к а з а т ь с я м н о ж е с т в о п у б л и к а ц и й , в з н а ч и т е л ь н о й с т е п е н и ц и т и р у ю щ и х д р у г д р у г а (авторы, п р е д с т а в л я ю щ и е о д н у н а у ч н у ю ш к о л у ) , а п о л о ж и т е л ь н ы м я д р о м — п у б л и к а ц и и , ц и т и р у ю щ и е д р у г д р у г а в м е н ь ш е й с т е п е н и ( п р е д с т а в и т е л и р а з л и ч н ы х ш к о л ) .

В т е л е ф о н н ы х с е т я х к о м м у т а ц и й с о д е р ж а т е л ь н ы й с м ы с л я д е р д о л ж е н р а с к р ы ­ваться в с л е д у ю щ е м . Е с л и за э л е м е н т ы с е т и к о м м у т а ц и й п р и н я т ь л и н и и с в я з и , то о т р и ц а т е л ь н о е я д р о - это с о в о к у п н о с т ь л и н и й , которые в с р е д н е м д а ю т « в з а и м о ­о б у с л о в л е н н о е » б о л ь ш о е число отказов , а п о л о ж и т е л ь н о е я д р о о б л а д а е т п р о т и в о ­п о л о ж н ы м с м ы с л о м — с о в о к у п н о с т ь л и н и й с в я з е й , которые в с р е д н е м д а ю т м е н ь ш е отказов . В с л у ч а е , когда э л е м е н т а м и с и с т е м ы с ч и т а ю т с я п у н к т ы с в я з и т е л е ф о н н о й с е т и к о м м у т а ц и й , соответственно п о л у ч а е т с я , что о т р и ц а т е л ь н о е я д р о — м н о ж е с т в о в з а и м н о н е н а д е ж н ы х п у н к т о в связи , а п о л о ж и т е л ь н о е — м н о ж е с т в о б о л е е н а д е ж н ы х .

П р и в е д е н н а я с о д е р ж а т е л ь н а я и н т е р п р е т а ц и я я д е р г р а ф о в ц и т и р о в а н и я и с е т е й к о м м у т а ц и й н е о с н о в а н а н а д о с т а т о ч н о м количестве э к с п е р и м е н т а л ь н ы х фактов . У к а з а н н ы е свойства о т м е ч а ю т с я п о а н а л о г и и с и м е ю щ и м и с я с о д е р ж а т е л ь н ы м и и н т е р п р е т а ц и я м и я д е р , п о л у ч е н н ы м и п р и р е ш е н и и з а д а ч а в т о м а т и ч е с к о й к л а с с и ­ф и к а ц и и [ 1 2 ] .

3. Описание монотонной системы

Рассматривается некая система W, состоящая из конечного числа эле­ментов *, т. е. |PF|—7V, где каждый элемент а системы W играет опреде­ленную роль. Предполагается, что состояния элементов а системы W опи­сываются определенными числовыми величинами, характеризующими уровень «значимости» элементов а для функционирования системы в це­лом и что с каждым элементом системы можно производить некоторые дискретные действия.

Отразим внутреннюю зависимость элементов системы на уровнях зна­чимости отдельных элементов. Внутреннюю зависимость элементов систе­мы естественным образом представляется возможным рассматривать как

* Е с л и W — к о н е ч н о е м н о ж е с т в о , то ч е р е з \W\ о б о з н а ч а е т с я ч и с л о его э л е м е н т о в

132

изменение, вносимое в уровень значимости элементов [}, оказываемое про­изводимым на элемент а дискретным действием.

Предполагается, что уровень значимости самого элемента в результате этого воздействия меняется. Если элементы в системе между собой никак не связаны, то естественно предположить, что изменение, вносимое эле­ментом а на значимость [} (или влияние а на [1), равно нулю.

Выделим класс систем, у которых глобальные изменения в уровнях значимости, вносимые дискретными действиями на элементы системы, но­сят монотонный характер.

Определение. Под монотонной системой понимается такай система, у которой осуществленное на любой элемент а действие вызывает одно­временное изменение в уровнях значимостей всех других элементов либо только в сторону уменьшения, либо увеличения.

В соответствии с определением монотонной системы выделяются два типа действий: тип © и тип ©. Действие типа ® вызывает увеличение в уровнях значимостей, а . @ — уменьшение.

Рассмотренное формальное понятие дискретного действия на элемент а системы W и в связи с этим возникающее изменение в уровнях значимо­стей элементов позволяет определить на множестве остальных элемен­тов W бесчисленное множество функций, коль скоро у нас имеется хотя бы одна действительная функция значимости элементов системы Wn: (D — множество действительных чисел).

Действительно, если на элемент а оказано действие, то исходя из пред­ложенной схемы можно сказать, что функция я отображается в я а

+ или Л с Г соответственно в случае Ф и © действий. Значимость элементов си­стемы перераспределяется в результате действия на элемент а из функ­ции я в я а

+ ( я а ~ ) или по-другому, начальный набор значимостей {я(б) | б^И 7 } переходит в новый набор { я а

+ ( б ) |б^Т7} *. Понятно, если задана некоторая последовательность at, а 2 , а 3 , . . . элементов W (допус­каются любые повторения и комбинации элементов) и двоичная последо­вательность + , — , + , . . . , то тем самым обычным путем можно определить

функциональное произведение функций п *, я а ~ Я а * , . , . в виде я а ^ я а~ я а * . .

Представленная конструкция позволяет записать свойство монотонно­сти систем в виде основных неравенств (1) я « + Ш > я ( Р ) > я а - ( р )

для любой пары элементов a, $^W, включая и пары а, а либо [}, [}. Пусть задано разбиение множества W на два подмножества, т. е.

HUH=W и НГ\Н=ф. Если_подвергнуть положительным действиям только элементы ыи а 2 , а 3 , . . . е Я , то тем самым на множестве W определяется

Y + + +

некоторая функция я К 1 , я а 2 , я а з , , которую можно рассматривать опреде­

ленной только на подмножестве Я множества W **. Если_отобрать из всех возможных последовательностей элементов мно­

жества Н одну, а именно <аи а 2 , . . . , сад) ***, где а* не повторяются, то на множестве Н однозначно индуцируется функция я ^ я ^ . . .

Эту функцию обозначим я + Я и назовем стандартной функцией. Вве­денную таким образом функцию будем называть также весовой функцией, а значение этой функции на элементе — а-весом.

В соответствии с данной терминологией множество {п+Н(а) \а^Н}, которое обозначается П+Н, называется весовым набором, заданным на

* Ф у н к ц и и я , я а

+ и л а ~ о п р е д е л е н ы на в с е м м н о ж е с т в е W и, следовательно , о п р е д е л е н ы з н а ч и м о с т и я а

+ (а)- и я а ~ ( а ) . __• ** Н а с н е и н т е р е с у ю т з н а ч и м о с т и , п о л у ч е н н ы е в р е з у л ь т а т е д е й с т в и й н а э л е м е н т ы II на с а м о м м н о ж е с т в е Я !

*** З д е с ь символы <, > у п о т р е б л я ю т д л я того, чтобы п о д ч е р к н у т ь у п о р я д о ч е н н о с т ь п о с л е д о в а т е л ь н о с т и э л е м е н т о в Н.

133

множестве Я, или весовым набором относительно множества Я. Условим­ся, что задана совокупность весовых наборов {Tl+H\H^W} на множестве всех возможных подсистем P(W) системы W. Число всевозможных под­систем | P ( T ^ | - 2 | W | .

Вместо того, чтобы рассматривать стандартную функцию положитель­ных действий, можно рассмотреть аналогичную функцию отрицательных действий Я ч х Л х з . Таким образом, точно по аналогии определяется функция лгЯ, весовой набор П~Я={я~Я(а ) \а^Н} и совокупность весо­вых наборов {П~Я|Я^И^}.

Подведем небольшой итог проведенному выше построению. Итак, ис­ходя из некоторой действительной функции я, заданной на конечном мно­жестве W, используя понятие положительных и отрицательных действий на элементы системы И7, можно построить два вида совокупностей набо­ров, заданных на каждом подмножестве множества W, а именно П + Я и П~Я. Каждая функция из совокупности (весовой набор) строится посред­ством дополнения к Я, равным W/H, и последовательности <osi, а 2 , . . . ,<х>\н\У различных элементов множества Я . Для этого осуществляется процесс действий типа © для получения П + Я и типа © для получения П~Я после­довательно ко всем элементам множества Я в соответствии с упорядочен­ным списком <ai, a 2 , — , а,\н\У.

Понятие весовой набор П + Я и П~Я нуждается в уточнении. Определе­ние, данное выше, не учитывает характер зависимости функций я Я от последовательности осуществленных действий на элементы множест­ва Я '*. Вообще говоря, весовой набор П + Я ( П ~ Я ) определен неоднозначно, так как может случиться, что для разных упорядочений множества Я получаются и разные функции яЯ.

Для того чтобы весовой набор П + Я ( П ~ Я ) однозначно определялся только подмножеством Я множества W, необходимо ввести понятие ком­мутативности действий.

Определение. Действие типа © или © называется коммутативным для системы W, если для любой пары элементов a, выполняется

(2) я . а

+ Я р + = Я р + я а

+ , я а ~ Я р ~ = Я р ~ я а - .

В этом случае легко показать, что значения функции я Я на множе­стве Я не зависят от какого-либо определенного порядка элементов мно­жества Я , заданного списком <« 1 ? a 2 , . . .>. Доказательство можно прове­сти по индукции, и здесь оно опущено.

Таким образом, функция я + Я ( я ~ Я ) в системе с коммутативными дей­ствиями определяется однозначно для каждого подмножества множе­ства W.

В заключение данного пункта сделаем одно важное замечание содер­жательного характера. Как видно из приведенного определения совокуп­ностей © и © весовых наборов, основным конструктивным элементом для их построения служит начальный весовой набор. Начальный весовой на­бор — функция уровней значимости, заданная на множестве элементов системы, до того как с элементами системы производятся действия. Дру­гими словами, это начальное состояние системы, зафиксированное весовым набором TIW. Естественно рассматривать только такие совокупности весо­вых наборов, которые строятся из начального ©-набора, тождественного начальному ©-набору. Указанная зависимость между © и © весовыми наборами существенно используется при доказательстве теоремы двойст­венности во второй части данной работы.

* В д а л ь н е й ш е м , е с л и з н а к «—» и л и « + » о п у щ е н в о б о з н а ч е н и и , то п о д р а з у м е ­вается , что это л и б о «—», л и б о « + » .

134

4. Экстремальные теоремы. Структура экстремальных множеств

Рассмотрим вопрос о выделении из системы W подсистемы, уровни значимостей элементов которой, обусловленные только внутренней «орга­низацией» подсистемы, численно велики или же, наоборот, численно малы. Поскольку эта задача состоит в выделении из всего множества подсистем P(W) одной, обладающей требуемыми свойствами, то необходимо точ­но определить как предпочесть одну подсистему другой.

Пусть заданы совокупности наборов весов {H+H\H^W} и {H~H\H^W}. На каждом подмножестве H<=W определяются следующие две функции:

F+ (Я) = шах я + Я (а) , F- (Я) = min п'Н ( а ) , а е Н а е Я

Определение ядра. Ядрами множества W называются точки глобаль­ного минимума функции F+ и глобального максимума функции F-.

Подсистема, на которой достигается глобальный минимум называ­ется ©-ядром системы W, а подсистема, на которой достигается глобаль­ный максимум F-i называется ©-ядром.

Таким образом, в любой монотонной системе поставлена задача отыс­кания ©- и ©-ядер.

С целью содержательной интерпретации, а также с целью объяснения полезности введенного понятия ядра обратимся вновь к примерам графов цитирования и телефонных сетей коммутаций.

Определение ядер можно сформулировать словесно с помощью уров­ней значимостей элементов системы, а именно: ©-ядро — это такая подси­стема монотонной системы, у которой максимальный уровень среди значи­мостей, обусловленных только внутренней организацией подсистемы, минимален, а ©-ядро — это такая подсистема монотонной системы, у кото­рой минимальный уровень среди тех же значимостей максимален.

Сформулированное словесное определение ядер согласуется с содержа­тельной интерпретацией ядер графов цитирования и телефонных сетей коммутаций. Так, ©-ядром в графах цитирования является такое подмно­жество (подсистема) публикаций, в котором наиболее длинный список библиографических названий в то же время самый короткий, но уже не внутри подмножества, а среди всех возможных подмножеств отобранного множества публикаций (среди самых длинных списков). Если в подмно­жестве публикаций самый короткий список библиографических названий в то же время самый длинный среди самых коротких по всем подмноже­ствам, то это будет ©-ядро графа цитирования. Понятно, что в ©-ядре публикации достаточно часто цитируют друг друга, так как у каждой пуб­ликации список библиографических названий, по крайней мере, не мень­ше самого короткого, а самый короткий все же достаточно длинный. В ©-ядре то же соображение объясняет, почему в этом подмножестве должны находиться представители разных научных школ.

В телефонных сетях коммутаций можно рассматривать два типа эле­ментов системы — линии связи и пункты связи. В системе, состоящей из линий связи, ©-ядром оказывается такое подмножество линий, при кото­ром внутри этого множества линия с наименьшим количеством отказов в то же время есть линия с наибольшим количеством отказов среди всех возможных совокупностей линий связи. Это значит, что, по крайней мере, число отказов, обусловленное только внутренней организацией подсети из линий ©-ядра, не меньше количества отказов линии с наименьшим числом отказов, а это число опять же достаточно велико. Поэтому можно ожидать, что число отказов в линиях ©-ядра достаточно большое/Аналогично сле­дует ожидать меньшего числа отказов в линиях ©-ядра. Словесная форму­лировка ©- и ©-ядер пунктов связи точно такая же, как и для линий, и здесь ошллена.

135

Прежде чем изложить формулировку теорем, необходимо ввести неко­торые новые определения и понятия.

Пусть а = < а 0 , ai, . . . , a f e_i> — упорядоченная последовательность раз­личных элементов множества W и исчерпывающая все это множество, т.е. Л: = | | . Построим по последовательности а упорядоченную последо­вательность подмножеств множества W в виде

Ай=(Н0, Hi,..., Hh-i> с помощью следующего рекуррентного правила:

H0=W, Hi+i^Hi/fa}; -i=0, 1, 2 , . . . , Л - 2 *. Определение. Последовательность а элементов множества W называ­

ется определяющей относительно совокупности наборов весов {H~H\H^W}, если в последовательности Да существует подпоследова­тельность множеств

такая, что • , - . а) вес n~Hi(ai) любого элемента .<%* из последовательности а, принад­

лежащего множеству Tj", но не принадлежащего множеству Tj+1, строго меньше значения F-(Tj+i) **;

б) в множестве Г р ~ не существует такого собственного подмножест­ва L, чтобы выполнялось строгое неравенство

F...(l\)<F.„(L). Последовательность а с указанными в а) и б) свойствами обознача­

ется а_. Аналогично определяется последовательность а+. Определение. Последовательность а элементов множества называется

определяющей относительно совокупности наборов весов {IL+H\H^W}, если в последовательности Да существует подпоследовательность множеств

Г * + = < Г 0

+ , Г Л . . . , IV> , такая, что

а) вес 7t+Hi(ai) любого элемента из последовательности а, принадле­жащего множеству ГУ1", но не принадлежащего множеству Г^+i строго больше значения F+ (Г^ + 1 ) ;

б) в множестве Г к

+ не существует такого собственного подмноже­ства L, чтобы выполнялось строгое неравенство

F+(TR)>F+(L). Вводится понятие определимого множества. Определение. Подмножество Н+* множества W называется определи­

мым, если существует определяющая последовательность а+, такая, что

Определение. Подмножество HJ множества W называется определи­мым, если существует определяющая последовательность а_, такая, что # _ * = г Р - .

Ниже формулируется, но не доказывается теорема о свойствах точек (множеств) глобального максимума функции F-. Доказательство приве­дено в приложении I. Аналогичная теорема имеет место и для функ­ции F+. В приложении I не воспроизводится параллельный ход доказа­тельства с функцией F+. Соответствующий переход от доказательства тео­ремы для F- к F+ можно осуществить простой взаимной заменой словес­ных отношений «больше» и «меньше», знаков неравенств ^ и > и < , а также взаимной сменой знаков «+» и «—». В соответствии со сказан-

* З н а к / о з н а ч а е т о п е р а ц и ю в ы ч и т а н и я м н о ж е с т в . ** З д е с ь и в е з д е , где это т р е б у е т с я , д л я у п р о щ е н и я з а п и с и , з н а к « - » и л и « + » н е

и с п о л ь з у е т с я в о б о з н а ч е н и я х д в а ж д ы . Следовало бы з а п и с а т ь F-(Tj+i).

136

ным осуществлен переход от определимого множества Н+* к HJ и от оп­ределения последовательности а_ к а + .

Теорема I. На определимом множестве Н- функция F- достигает гло­бального максимума. Существует единственное определимое множество

Все множества, на которых достигается глобальный максимум, лежат внутри определимого множества EJ.

Теорема II. На определимом множестве Н+* функция F+ достигает гло­бального минимума. Существует единственное определимое множество Н+*. Все множества, на которых достигается глобальный минимум, лежат внутри .определимого множества Н+*.

В доказательстве теоремы I (приложение I) предполагается, что опре делимое множество #_* существует. Естественно, что данное предположе ние, в свою очередь, требует доказательства. Существование II-* гаранти­руется специальной конструктивной процедурой *..

Доказательство теоремы II полностью аналогично доказательству тео­ремы I и в приложении I не приводится.

Приведем теорему, которая отражает более тонкую структуру ядер множества W как элементов множества P(W) — всех возможных подмно­жеств (подсистем) множества W.

Теорема III. Система всех тех множеств из P{W), на которых функ­ция F-(F+) достигает глобального максимума (минимума), замкнута по отношению к бинарной операции объединения множеств.

Доказательство теоремы приводится в приложении II, причем только для функции F~. Утверждение теоремы для F+ устанавливается анало­гично.

Таким образом, установлено, что множество всех ©-ядер (©-ядер) образует некоторую замкнутую систему множеств по отношению к бинар­ной операции объединения множеств. Объединение всех ядер — самое большое ядро и, по утверждениям теорем I и II, это определимые мно­жества.

ПРИЛОЖЕНИЕ! Доказательство теоремы 1. П р е д п о л о ж и м , что о п р е д е л и м о е м н о ж е с т в о # _ * с у ­

щ е с т в у е т . П р е д п о л о ж и м , что с у щ е с т в у е т такое м н о ж е с т в о W, что в ы п о л н я е т с я н е р а ­

венство (доказательство в е д е т с я от противного)

(3) F_(H*)<F_{L).

Р а с с м а т р и в а ю т с я два м н о ж е с т в а # _ * и L. В ы п о л н я е т с я о д и н из с л е д у ю щ и х д в у х п у н к т о в :

1) либо Ь/Н-*=ф, что о з н а ч а е т с у щ е с т в о в а н и е э л е м е н т о в м н о ж е с т в а L, н е п р и ­н а д л е ж а щ и х Н-*;

2) л и б о £<=#_*. Р а с с м а т р и в а е т с я с н а ч а л а п. 2. По с в о й с т в у о п р е д е л и м о г о м н о ж е с т в а # _ * с у ­

щ е с т в у е т т а к а я о п р е д е л я ю щ а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь а _ э л е м е н т о в м н о ж е с т в а W со свойством б) (см. о п р е д е л е н и е а _ ) , что строгое н е р а в е н с т в о F- ( # * ) < F _ ( L ) не в ы п о л н я е т с я и, следовательно , в ы п о л н е н о л и ш ь равенство в н е р а в е н с т в е ( 3 ) . В э т о м с л у ч а е п е р в о е и третье у т в е р ж д е н и я т е о р е м ы д о к а з а н ы . Остается д о к а з а т ь л и ш ь е д и н с т в е н н о с т ь # _ * , что о с у щ е с т в л я е т с я п о с л е того, как р а с с м о т р е н п у н к т 1.

Итак, п у с т ь м н о ж е с т в о Ь/Н-*Фф и п р е д л а г а е т с я р а с с м о т р е т ь м н о ж е с т в о Hi — н а и м е н ь ш е е и з т е х м н о ж е с т в Hi (£=0, 1, 1) о п р е д е л я ю щ е й п о с л е д о в а т е л ь ­н о с т и а - , которые в к л ю ч а ю т м н о ж е с т в о L/H-*. То, что Ht — н а и м е н ь ш е е и з у к а з а н ­н ы х м н о ж е с т в , влечет с л е д у ю щ е е : с у щ е с т в у е т э л е м е н т / ^ L , такой что l^Ht, о д н а к о

Н и ж е ч е р е з i(Q) о б о з н а ч а е т с я н а и м е н ь ш и й из и н д е к с о в э л е м е н т о в о п р е д е л я ю ­щ е й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и а - , п р и н а д л е ж а щ и х м н о ж е с т в у W.

П у с т ь Тр~ — п о с л е д н е е и з п о с л е д о в а т е л ь н о с т и м н о ж е с т в (1У">, с у щ е с т в о в а н и е к о т о р ы х г а р а н т и р о в а н о п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю а_ . Д л я и н д е к с а t и и н д е к с а i(Tp~) с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о t<i(Tv~).

П о с л е д н е е н е р а в е н с т в о о з н а ч а е т , что в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и м н о ж е с т в (1у-> с у ­щ е с т в у е т х о т я бы одно такое м н о ж е с т в о Т8~, что в ы п о л н я е т с я

(4) г - ( Г 8 - + 1 ) > Н - 1 .

* Эта п р о ц е д у р а б у д е т и з л о ж е н а во второй ч а с т и работы, п о с к о л ь к у з д е с ь у с т а ­н а в л и в а ю т с я только экстремальные свойства я д е р и с т р у к т у р а всего м н о ж е с т в а я д е р .

137

Н е у м а л я я о б щ н о с т и , м о ж н о считать, что Г 5 ~ - н а и б о л ь ш е е с р е д и т а к и х м н о ­ж е с т в .

В ы ш е у с т а н о в л е н о , что l^Ht, н о l&Ht+i. Н е р а в е н с т в о (4) у к а з ы в а е т н а то, что Ts-^Ht+i, так как о б р а т н о е п р е д п о л о ж е н и е Ts~^Ht+i п р и в о д и т к з а к л ю ч е н и ю : i(Ts~)^t+l и , с л е д о в а т е л ь н о , тогда Ts~ н е есть н а и б о л ь ш е е и з т е х м н о ж е с т в , д л я к о т о р ы х в ы п о л н я е т с я ( 4 ) .

Т а к и м о б р а з о м , у с т а н о в л е н о , что r s ~ < = # i + i . Т а к как l&Ht+i, то т е м б о л е е l^Ts~.

У с т а н о в и м теперь , что Г ^ - Э Я ^ . Д е й с т в и т е л ь н о , е с л и Y~_1O.Hv то д л я и н д е к ­

сов i ( Г ^ ) и t справедливо i (Г~_ х) ^ t.

Отсюда i (Г7_ х) + 1 > t - f -1 и из неравенства i (Т~) > i (Г"^) + 1 с л е д у е т i (Г~) > > £ + 1 . П о с л е д н е е н е р а в е н с т в о вновь противоречит о т б о р у м н о ж е с т в а T s ~ как н а и ­б о л ь ш е г о м н о ж е с т в а , д л я которого в ы п о л н я е т с я н е р а в е н с т в о ( 4 ) .

Т а к и м о б р а з о м , 1&TS~, н о /^Г~__ 1 , п о с к о л ь к у 1<^Ни Н^Т~_± . Н а о с н о в а н и и свойства а) о п р е д е л я ю щ е й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и а_ м о ж н о заключить , что (5) n-Ht(l)<F-(Ts), где 0<5</?.

Р а с с м о т р и м л ю б о е м н о ж е с т в о - Г , - ( / = 0 , 1, .j_.,p-l) и э л е м е н т и^Гг, и м е ю ­щ и й н а и м е н ь ш и й и н д е к с в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и а _ . Д р у г и м и словами, с э л е м е н т а и н а ч и н а е т с я м н о ж е с т в о Tf- в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и а _ . В э т о м с л у ч а е м н о ж е с т в о i y ~ -это н е к о т о р о е м н о ж е с т в о Hi в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и в л о ж е н н ы х м н о ж е с т в <#*>. И з о п р е д е л е н и я F-{H) ф у н к ц и и F _ и п о с в о й с т в у а) о п р е д е л я ю щ е й п о с л е д о в а т е л ь ­н о с т и а _ с л е д у е т

(6) Р-(Тз)<л-Тз(и)<Р_(Тт).

З н а ч и т

, Р _ ( Г о ) < ^ - ( Г 1 ) < . . . < , Р _ ( Г р )

и, как следствие , д л я в с е х / = 0 , 1 , . . . , р с п р а в е д л и в о

(7) F-(Tj)<F-(Tp)=F-(H*)1

так как Г р - = Я _ * . П у с т ь тп^Ь и в е с %~Ь(тп) м и н и м а л е н в н а б о р е весов о т н о с и т е л ь н о м н о ж е с т в а L.

Н а о с н о в а н и и н е р а в е н с т в ( 3 ) , (5) и (7) д е л а е м в ы в о д :

(8) n-Ht(l)<n-L(m)=F-{L).

В ы ш е Ht о т б и р а л о с ь так, что L^Hu В с п о м и н а я о с н о в н о е свойство м о н о т о н н о с т и н а б о р о в весов (1) ( в л и я н и е э л е м е н т о в д р у г н а д р у г а ) , легко у с т а н о в и т ь , что

(9) n-L(l)<n'Ht{l).

И з н е р а в е н с т в (8) и (9) с л е д у е т н е р а в е н с т в о

п~Ь(1) <зт~£(7?г ) ,

т. е. в н а б о р е весов о т н о с и т е л ь н о м н о ж е с т в а L с у щ е с т в у е т вес, строго м е н ь ш и й м и н и м а л ь н о г о .

П о л у ч е н о п р о т и в о р е ч и е и т е м с а м ы м п о к а з а н о , что м н о ж е с т в о L м о ж е т быть р а з в е л и ш ь п о д м н о ж е с т в о м Я _ * и что все м н о ж е с т в а , о т л и ч н ы е от # _ * , н а к о т о р ы х т а к ж е д о с т и г а е т с я глобальный м а к с и м у м , н а х о д я т с я в н у т р и Я _ * .

Остается доказать , что е с л и о п р е д е л и м о е м н о ж е с т в о Я _ * с у щ е с т в у е т , то оно е д и н с т в е н н о е . Д е й с т в и т е л ь н о , в с л е д с т в и е д о к а з а н н о г о в ы ш е м о ж н о л и ш ь п р е д п о ­л о ж и т ь , что н е к о т о р о е о т л и ч н о е от Я _ * о п р е д е л и м о е м н о ж е с т в о HJ в к л ю ч е н о в Я _ * .

Д о с т а т о ч н о т е п е р ь п р о в е с т и р а с с у ж д е н и я д л я о п р е д е л и м о г о м н о ж е с т в а Я _ / , а н а л о г и ч н ы е п р о в е д е н н ы м в ы ш е д л я L, с ч и т а я за о п р е д е л и м о е м н о ж е с т в о HJ, от­к у д а с л е д у е т з а к л ю ч е н и е , что Я _ * ^ Я _ ' . Т е о р е м а д о к а з а н а .

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Доказательство теоремы III. П у с т ь Q — с и с т е м а в с е х т е х м н о ж е с т в и з P(W), н а к о т о р ы х ф у н к ц и я F- д о с т и г а е т глобального м а к с и м у м а , и п у с т ь Ki и K2^Q.

П о с к о л ь к у н а Ki и К2 д о с т и г а е т с я г л о б а л ь н ы й м а к с и м у м ф у н к ц и и F _ , то с п р а ­ведливы н е р а в е н с т в а

(10) F^(Ki[}K2)<F^(Ki)1 F-(KiUK2)<F^(K2).

Р а с с м а т р и в а е т с я э л е м е н т r^KiUK2, н а к о т о р о м д о с т и г а е т с я з н а ч е н и е ф у н к ц и и F _ н а м н о ж е с т в е KiVK2, т. е.

TTKI (J Кг (г) = m i n к~Кг \J К* (а ) .

138

Е с л и r^Ki, то, о к а з ы в а я © - д е й с т в и я н а все те э л е м е н т ы м н о ж е с т в а KiUK2, которые н е п р и н а д л е ж а т м н о ж е с т в у Ки и з основного с в о й с т в а м о н о т о н н о с т и н а б о р о в весов (1) с л е д у е т с п р а в е д л и в о с т ь н е р а в е н с т в а ( г ) < n " " ^ i U Z 2 ( г ) .

Т а к к а к и з о п р е д е л е н и я F- с л е д у е т , что F-(Ki) <n-Ki(r) и п о с п о с о б у в ы б о р а э л е м е н т а г п~К^К2(г) =F-(KiVK2), то справедливо н е р а в е н с т в о

F _ ( Z 1 ) < F _ ( Z 1 U Z 2 ) .

И з н е р а в е н с т в а (10) теперь с л е д у е т

F_(KI)=F-(Ki\}K1).

Е с л и ж е п р е д п о л о ж и т ь , что r^K2l то о к а з ы в а е т с я 0 — д е й с т в и я на э л е м е н т ы # i U Z 2 , н е п р и н а д л е ж а щ и е К2\ а н а л о г и ч н ы м п у т е м п о л у ч а е м р а в е н с т в о

F-(K2)=F-(K,\SK2),

что и требовалось д о к а з а т ь . П о с т у п и л а в р е д а к ц и ю

13 августа 1975 г.

Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Браверман Э. М., Киселева Н. Е., Мучник И. Б., Новиков С. Г. Л и н г в и с т и ч е с к и й п о д х о д к з а д а ч е о б р а б о т к и б о л ь ш и х массивов и н ф о р м а ц и и . А в т о м а т и к а и т е л е ­м е х а н и к а , № И , стр. 7 3 - 8 8 , 1974.

2. McCormick W., Schweitzer P., White Т. P r o b l e m D e c o m p o s i t i o n and Data R e o r g a ­n i s a t i o n b y a C lus ter ing T e c h n i q u e . J. Operat. Res . , vo l . 20, No . 5, pp. 993—1009, 1972.

3. Deutsch S., Martin J. J. A n order ing a l g o r i t m for a n a l y s i s of data arrays . J. Operat . Res . , vo l . 19, No . 6, pp. 1 3 5 0 - 1 3 6 2 , 1971.

4. Zahn T. Graph-Theore t i ca l M e t h o d s for D e t e c t i n g and D e s c r i b i n g Ges ta l t Clusters . I E E E Trans . Comput . , vol . C-20, No . 1, pp. 6 8 - 8 6 , 1971.

5. Выханду Л. К. Об и с с л е д о в а н и и м н о г о п р и з н а к о в ы х б и о л о г и ч е с к и х систем. В с б . : « П р и м е н е н и е м а т е м а т и ч е с к и х м е т о д о в в биологии», т. III , Изд-во ЛГУ, стр. 19— 22, 1964.

6. Терентъев П. В. М е т о д к о р р е л я ц и о н н ы х п л е я д . Весты. ЛГУ, № 9, стр. 1 3 7 - 1 4 1 , 1959.

7. Мучник И. Б. А н а л и з с т р у к т у р ы э к с п е р и м е н т а л ь н ы х графов . А в т о м а т и к а и т е л е ­м е х а н и к а , № 9, стр. 6 2 - 8 0 , 1974.

8. Hartigan J. D irec t C lus ter ing of a D a t a Matrix . J. A m e r . Stat i s t . Assoc . , vo l . 67, No . 337, pp . 1 2 3 - 1 2 9 , 1972.

9. Браверман Э. M., Дорофеюк А. А., Лумелъский В. Я., Мучник И. Б. Д и а г о н а л и -з а ц и я м а т р и ц ы с в я з и и в ы я в л е н и е с к р ы т ы х факторов . В сб. « П р о б л е м ы р а с ш и ­р е н и я в о з м о ж н о с т е й автоматов», вып. 1, стр. 4 2 - 7 9 . Изд-во Ин-та п р о б л е м у п р а в ­л е н и я , М., 1971.

10. Налимов В. В., Мулъченко 3. М. Н а у к о м е т р и я . «Наука», 1969. И . Трыбулец А. О д о к у м е н т о г р а ф и ч е с к о м м е т о д е к л а с с и ф и к а ц и и наук . В сб. «При­

м е н е н и е у н и в е р с а л ь н ы х в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н в работе органов и н ф о р м а ц и и » (Тр. с и м п о з и у м а , М., июнь , 1967) . Изд-во В И Н И Т И , 1970.

12. Ojaveer Е., Mullat Vohandu L. A s t u d y of In fraspec i f i c Groups of t h e B a l t i c Eas t Coast A u t u m n Herr ing b y T w o N e w M e t h o d s B a s e d on Cluster A n a l y s i s . Д о к л а д ы э с т о н с к и х у ч е н ы х п о м е ж д у н а р о д н о й б и о л о г и ч е с к о й п р о г р а м м е V I , стр. 2 3 - 2 8 , Изд-во А Н ЭССР, Т а р т у , 1975.

E X T R E M A L S U B S Y S T E M S O F MONOTONIC S Y S T E M S

J . E . MJJLLAT

A g e n e r a l theore t i c m o d e l i s de scr ibed w h i c h i s i n t e n d e d for the i n i t i a l a n a l y s i s of s y s t e m s of in terre la ted e l e m e n t s . In t h e f r a m e w o r k of the m o d e l t h e e x i s t e n c e of a s p e c i a l k i n d of s u b s y s t e m s ca l l ed k e r n e l s i s i n s u r e d w i t h m o n o t e n e i t y of t h e s y s t e m s p o s t u l a t e d . A n u m b e r of e x t r e m a l propert ies are e s t a b l i s h e d a n d t h e s tructure of t h e k e r n e l s i s found . T h e l a n g u a g e for d e s c r i p t i o n of s u c h s y s t e m s i s de scr ibed i n se t t h e o ­re t i c t e r m s a n d l e a d s to a s y s t e m of n o t i o n s for s y s t e m s w i t h a f in i te n u m b e r of e l e ­m e n t s . A n u m b e r of propert ies of s p e c i a l f in i te s e q u e n c e s of e l e m e n t s are s tud ied w h e ­r e b y t h e k e r n e l s are ident i f i ed i n m o n o t o n i c s y s t e m s .