Pr¤sentation in der Veranstaltung Finanzmathematik (MAF – E)

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Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen. - Präsentation in der Veranstaltung Finanzmathematik (MAF – E) -. Präsentation Finanzmathematik. Alexander Pech (Matrikel-Nummer 278645). Essen, 14. Mai 2011. Einleitung Finanzmathematischer Wert einer Anleihe - PowerPoint PPT Presentation

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Folie 1

- Prsentation in der Veranstaltung Finanzmathematik (MAF E) -Essen, 14. Mai 2011 Alexander Pech (Matrikel-Nummer 278645)Prsentation FinanzmathematikDie Duration als Ma fr die Zinsempfindlichkeit von Anleihen

1Inhaltsverzeichnis1

Prsentation Finanzmathematik Einleitung Finanzmathematischer Wert einer Anleihe Duration und relative Vernderung einer Anleihe Macaulay-Duration Duration als Elastizittswert bungsaufgabeEinleitung2

Prsentation FinanzmathematikBetrachtung: Risiko festverzinslicher Wertpapiere: Bonittsrisiko vernachlssigbar Restrisiko: Zinsrisiko (nderung des Kurses bei Marktzinsschwankungen) Marktzinserhhung Kurs sinkt/ Endwert steigt Marktzinserhhung Kurs steigt/ Endwert sinktWie stark ndert sich der Kurs festverzinslicher Wertpapiere bei nderung des Marktzinses? Suche nach einer Laufzeit, die die Zinseffekte berkompensiertFinanzmathematischer Wert einer Anleihe3

Prsentation Finanzmathematik

Bei einer Anleihe mit feststehenden Kuponzahlungen Zk zu den Zeitpunkten tk ergibt sich im Zeitpunkt t0 der finanzmathematische Wert (Barwert) C0 In der letzten Zahlung sei der Rcknahmekurs Cn enthalten C0 erhllt man durch Abzinsung der knftigen Zahlungen Unterscheidung zwischen stetiger und diskreter Verzinsung

Stetig:

Diskret:

Duration und relative Vernderung einer Anleihe4

Prsentation Finanzmathematik Die nderung von C0 bei einer nderung des Marktzinses i erhlt man durch die erste Ableitung C0(i) bzw. das Differnzial dC0=C0(i) * di zunchst: Anwendung der stetigen Verzinsung

Daraus folgt die relative Vernderung in Abhngigkeit von der Zinsnderung di:

Duration und relative Vernderung einer Anleihe5

Prsentation FinanzmathematikZwischenergebnis (bei Anwendung der stetigen Zinsformel):1. Die Duration einer gegebenen Zahlungsreihe Z1, Z2,Zn beim Marktzinsniveau i ist die Zahl D mit

2. Die resultierende relative nderung von C0 ist gegeben durch:

Duration und relative Vernderung einer Anleihe6

Prsentation FinanzmathematikUmgekehrt lsst sich die Duration aus der Definition definieren als:

Duration und relative Vernderung einer Anleihe7

Prsentation FinanzmathematikDer eigentliche Bedeutung des Wortes Duration ist Lnge/Laufzeit Daher kann die Duration auch anders erklrt werden:

Der geklammerte Term ist der Barwertanteil der kten Zahlung. Jeder zuknftitige Zahlungszeitpunkt wird entsprechend des Barwertanteils der zugehrigen Zahlung gewichtetDie Duration ist der gewogene Durchschnitt aller LaufzeitenDurchschnittliche Bindungsdauer des eingesetzten Kapitals bis Ende der LaufzeitDuration und relative Vernderung einer Anleihe8

Prsentation FinanzmathematikBeispiel:

Duration und relative Vernderung einer Anleihe9

Prsentation FinanzmathematikBeispiel:Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001)

C0 sinkt um 0,41982% von 106,6156 auf 106,1680 Macaulay-Duration10

Prsentation FinanzmathematikMacaulay: Einfhrung des Durationsbegriffs unter Verwendung der diskreten Zinsformel:

Macaulay-Duration11

Prsentation FinanzmathematikRelative nderung (ergibt sich wieder aus der ersten Ableitung):

Daraus folgt die relative Vernderung in Abhngigkeit von der Zinsnderung di bei diskreter Verzinsung:

Macaulay-Duration12

Prsentation FinanzmathematikRelative nderung von C0 im Vergleich:

Bei stetiger Verzinsung:

Bei diskreter Verzinsung:

Der Term wird auch als modifizierte Duration MD bezeichnet

Macaulay-Duration13

Prsentation FinanzmathematikBeispiel:

14

Prsentation FinanzmathematikBeispiel:Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001) C0 sinkt um 0,38923% von 107,9854 auf 107,5651 Macaulay-Duration

Duration als Elastizittswert15

Prsentation FinanzmathematikFrage: Wie hoch ist die relative (prozentuale) Vernderung beider Variablen? Durch den Elastizittsbegriff lassen sich der Vernderungen beider Variablen erklren: Unter der Elastizitt des Anleihepreises C0 in Bezug auf den Marktzinsfaktor q (=1+i) versteht man den Quotienten der relativen Vernderungen der beiden Variablen C0 und q

Duration als Elastizittswert16

Prsentation Finanzmathematik

Die Macaulay-Duration beschreibt die prozentuale nderung des Anleihewertes C0 bei nderung des Zinsfaktors um ein ProzentDuration als Elastizittswert17

Prsentation FinanzmathematikBeispiel:Die Zunahme des Marktzinses auf 8,1% stellt eine Zunahme des Zinsfaktors q in Hhe von 0,092592% dar.

Aus folgt:

bungsaufgabe18

Prsentation Finanzmathematik

15 15 15 15 150 Stetiger/diskreter Marktzins = 5 %1. Berechnen Sie den Preis des Wertpapiers zum Zeitpunkt t0 unter Verwendunga) der stetigen Zinsformelb) der diskreten Zinsformel

2. Berechnen Sie die Duration und die prozentuale Vernderung von C0, wenn der Marktzins auf 5,3 % steigt, unter Anwendungder stetigen Zinsformelder diskreten Zinsformel

3. Wie hoch ist die Elastizitt?bungsaufgabe (Lsung)19

Prsentation Finanzmathematikstetige Verzinsungdiskrete VerzinsungZeitpunktZahlungBarwertZeitpunkt x BarwertBarwertZeitpunkt x Barwert11514,268414,268414,285714,285721513,572627,145113,605427,210931512,910638,731912,957638,872741512,281049,123812,340549,36215150116,8201584,1006117,5289587,6446Summe169,8527713,3699170,7182717,3761DurationD=4,1999MD=4,2021di=0,0030,003d*C0/C0=stetig-1,2600%d*C0/C0=diskret-1,2569%Elastizitt=-D=-4,2021