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Juli 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 8.1 © Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Regelungstechnik 2

Normalformen der ZustandsgleichungenNormalformen der ZustandsgleichungenDefinition von SystemeigenschaftenDefinition von Systemeigenschaften

2. Juli 2003

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken


Zustandsraum

Allgemeines:• Methoden der klassischen Regelungstechnik basieren auf die Beschrei-

bung von Übertragungssystemen für jeweils eine Eingangs- und Aus-gangsgröße.

• Die Lösung erfolgt für zeitinvariante und lineare Systeme unter Anwendung der Laplace-Transformation in der s-Ebene. Die zugrunde-liegende Differentialgleichung wird in eine algebraische Gleichungüberführt.

• Zustandsbeschreibung ist eine allgemeine Beschreibungsform im Zeit-bereich, die für mehrere Ein- und Ausgangsgrößen sowie auch für zeitvariante und nicht lineare Systeme angewendet werden kann.

• Zustandsgrößen erlauben zudem die Berechnung von inneren Größen,welche den Zustand eines Systems und nicht nur sein Ein- Ausgangs-verhalten beschreiben.


Beispiel und Gegenüberstellung

Vektorielle Darstellung der Zustandsdifferentialgleichung

111 12 1n 11

221 22 22 11 12 1p

p 1n 1 ppn 1 p1

pnn nn1n

1

2

q 1

q

ua a . . a xxua a . . . xx b b . . b.. . . . . .. . . . . .

u. . . . . xx b . . . bua . . . a xx

y

y

.

y

y

11 12 1n 11

21 22 22 11 12 1p

p 1n 1 qpq1

qn pq1 n

c c . . c uxc c . . . ux d d . . d. . . . . .. . . . . .. . . . . ux d . . . d

c . . . c ux


Allgemeine Darstellung

Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen:

x AX BU

V CX DU

11 12 1n

21 22

nnn1

a a . . a

a a . . .

. . . . .A Systemmatrix

. . . . .

a . . . a

11 12 1p

ppp1

b b . . b

B . . . . . Eingangsmatrix

b . . . b

11 12 1n

21 22

qnq1

c c . . c

c c . . .

. . . . .C Ausgangsmatrix

. . . . .

c . . . c

11 12 1p

qpq1

d d . . d

D . . . . . Durchgangsmatrix

d . . . d


Allgemeine Darstellunggraphische Darstellung


X AX BU

V CX DU


Allgemeine Darstellung


X AX BU

V CX DU

Aufbau / Benennung der Vektoren und Matrizen:x : (n,1) Zustandsvektor

u: (p,1) Eingangsvektor

v: (q,1) Ausgangsvektor

A : (n,n) Systemmatrix

B : (n,p) Steuerungsmatrix,Eingangsmatrix

C : (q,n) Beobachtungsmatrix,Ausgangsmatrix

D: (q,p) Durchschaltmatrix


Allgemeine DarstellungBeispiel

System 3. Ordnung -> n = 3jeweils eine Ein- und Ausgangsgröße: -> p = 1, q = 1

1 11 12 13 1 1

2 21 22 23 2 2

3 31 32 33 3 3

1

2

3

x Ax Bu

v Cx Du

x a a a x b

x a a a x b u

x a a a x b

x

v c1 c2 c3 x du

x

x : (3,1) Zustandsvektor

u: (1,1) Eingangsvektor

v: (1,1) Ausgangsvektor

A : (3,3) Systemmatrix

B : (3,1) Steuerungsmatrix

C : (1,3) Beobachtungsmatrix

D: (1,1) Durchschaltmatrix

Aufbau der Vektoren/Matrizen:


Allgemeine Darstellung für einfache Systeme

Einfache Systeme mit nur einer Eingangs- und Ausgangsgröße ergibtsich folgende vereinfachte Zustandsgrößenbeschreibung:

T

0

x Ax bu

v c x du

x xdt x(t )

Bild 2.1.5

Für nicht sprungfähige Systeme ist d=0


Zustandsgleichungen 1. Standardform

11

22

n 1n 10 n 11

nnn n n n

1

2

n n0 n10 1 1

n nq 1

q

00 1 0 . 0xx

00 0 1 . 0xx

.. . . . ... u

00 0 . 0 1xx

1. . xx

y

y

. . .y

y

1

2

n1 n

n nn 1

n

x

x

. u

x

x


Aufstellen von Zustandsgleichungen

11

22

n 1n 1

nn 0 1 n 1

1 1

2 2

m0 1

q 1 n 1

q n

x0 1 0 . 0 0x

x0 0 1 . 0 0x

.. . . . . .. u

x0 0 . 0 1 0x

x. . 1x

y xy x. .. 0

y xy x

Sonderfall n = 1

• Zählergrad kleiner Nennergrad m < n -> n = 0 -> d = 0


Aufstellen von Zustandsgleichungen

Signalflussplan:


Lösungen der Zustandsgleichung

Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen

Zustandsgleichungen:

1

1

1

V(s) CX(s) DU(s)

V(s) C sE A BU(s) x(0) DU(s)

V(s) C sE A B D U(s)

V(s)G(s) C sE A B D

U(s)

1

x Ax Bu

v Cx Du

sX(s) x(0) AX(s) BU(s)

sE A X(s) BU(s) x(0)

X(s) sE A BU(s) x(0)

V(s) CX(s) DU(s)



Laplace-Transformierte Zustandsgleichungen

Betrachtungsfall • Systeme mit jeweils einem

Ein- und Ausgangssignalq = 1, p = 1

• Zählergrad < Nennergrad -> d = 0

T

1T

1T

1T

V(s) c X(s)

V(s) c sE A bU(s) x(0)

V(s) c sE A b U(s)

V(s)G(s) c sE A b

U(s)



Mathematische Lösung

1T

T

T1ik

11 12

21 22

T22 21 22 11

12 1211 22 12 21 11 22 12 21

V(s) Z(s)G(s) c sE A b

U(s) N(s)

adj(sE A)b Z(s)G(s) c

det(sE A) N(s)

allgemein

adj(A) 1A a

det(A) det(A)

Beispiel

a aA

a a

a a a a1 1A

a aa a a a a a a a

2

21 12a a


Lösung der Zustandsgleichung

Der Ausdruck (sE-A)-1 wird in der sogenannten Transitionsmatrix (s)zusammengefasst.



Lösung im Zeitbereich

Fall a: skalarer Fall (bedeutet: es ist nur eine Zustandsgröße definiert)

t

at a t

0

x(t) ax(t) bu(t)

sX(s) x(0) aX(s) bU(s)

x(0) bX(s) U(s)

s a s a

x(t) x(0)e u( )be d




Fall b: vektorieller Fall

1 1

1

t

0

x(t) Ax(t) Bu(t)

X(s) sE A x(0) sE A BU(s)

(s) sE A

X(s) (s)x(0) (s)BU(s)

x(t) (t)x(0) (t )Bu( )d




Fall b: vektorieller FallLösung der Rücktransformation der Transitionsmatrix

1

11 At

tAt A t

0

(s) sE A

(t) L sE A e

X(s) (s)x(0) (s)BU(s)

x(t) e x(0) e Bu( )d



Interpretation der gefundenen Lösung:

1

11 At

tAt A t

0

tA(t to) A t

to

(s) sE A

(t) L sE A e

X(s) (s)x(0) (s)BU(s)

x(t) e x(0) e Bu( )d

x(t) e x(to) e Bu( )d

Die Lösung besteht aus 2 Termen.• 1. Term entspricht homogener

Lösung (alle Eingangssignale 0).• 2. Term entspricht partikulärer

Lösung (ohne Anfangszustand)• Lösung

momentaner Systemzustand istnur vom Anfangszustand und der Transitionsmatrix abhängigFür alle t > to kann der Zustandüber die Transitionsmatrix er-mittelt werden.

A(t to)hx (t) e x(to)



Interpretation der gefundenen Lösung:

tA(t to) A t

to

tA(t to) A t

to

x(t) e x(to) e Bu( )d

v(t) CX Du(t)

Ce x(to) C e Bu( )d Du(t)

Die Lösung besagt: Die Ausgangsgröße ist nur vom Anfangszustand der Zustandsgrößen x(to) sowie der Eingangsgrößen abhängig.



Eigenschaften der Lösung:• Nur homogene Lösung bedeutet u(t) =0

Kenne ich den Anfangszustand x(to), kann über die Transitionsmatrixsofort auf den Verlauf von x(t) geschlossen werden.

• Lösung im einzelnen lautet:

• Umkehrung liefert: kennt man den Verlauf der Zustandsgrößen, kannman auf den Anfangszustand zurückrechnen.

Atx(t) (t)x(to) e x(to)

11 121 1

21 222 2

x (t) x (to)X (t)X(to)

x (t) x (to)

1X(to) (t)X(t) ( t)X(t)


Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung

Gegeben sei

1

2

2

0 1A

1 2

(s) sE A

s 1sE A

1 s 2

det(sE A) s(s 2) 1 s 2s 1

s 11(s)

1 s 2s 2s 1

Lösung im Zeitbereich wird rückge-Führt auf eine Reihenentwicklung

a 2 3

A 2 3

2 3At 2 3

0 1t

1 2At

1 1e 1 a a a ...

2! 3!1 1 1

e E A A A ...1! 2! 3!

t t te E A A A ...

1! 2! 3!

(t) e e ?


Beispiel für Transitionsmatrix und deren BerechnungLösung: 0 1

t1 2At

2

3

(t) e e ?

0 1A

1 2

1 2A

2 3

2 3A

3 4

....


Beispiel für Transitionsmatrix und deren BerechnungLösung:

2 3 2 3

0 1t

1 2

2 3 2 3

t t11 12

t t21 22

t t t t t t1 0 1 2 ... 0 1 2 3 ...

1! 2! 3! 1! 2! 3!(t) et t t t t t

0 1 2 3 ... 1 2 3 4 ...1! 2! 3! 1! 2! 3!

1 t t(t) (t) 1 t e te(t) e

t 1 t(t) (t) te 1 t e

t


Beispiel für Transitionsmatrix und deren Berechnung

Alternative Lösung durch Bestimmung der Rücktransformierten von

2 22 2

2 22 2

0 1t

1 2 11 12

21 22

t tt

t t

s 1s 1s 1 s 1s 2s 1 s 2s 1(s)

1 s 2 1 s 2s 2s 1 s 2s 1 s 1 s 1

(t) (t)(t) e

(t) (t)

1 t t1 t e tee

t 1 tte 1 t e


Weitere Darstellungsformen der Zustandsgleichungen

1. Darstellungsform Regelungsnormalformalternative Bezeichnungen: 1. Standardform Frobenius-Normalform Steuerungs-Normalform

2. DarstellungsformDarstellung nach physikalischen Variablen

3. Darstellungsform Beobachtungsnormalformalternative Bezeichnungen: 2. Standardform


Zustandsgleichungen in der Beobachternormalform

Herleitung der Beobachternormalform:

Die Gesamtübertragungsfunktion ist definiert und wird am Beispiel fürn = m = 3 beispielhaft hergeleitet:

3 23 2 1 0

3 23 2 1 0

3 2 3 23 2 1 0 3 2 1 0

3 3 2 23 3 2 1 0 2 1 0

32 2 1 1

3 3

b s b s bs b Y(s)G(s)

a s a s as a U(s)

Y(s) a s a s as a U(s) b s b s bs b

a s Y(s) b s U(s) b s U(s) bsU(s) b U(s) a s Y(s) asY(s) a Y(s)

b 1 1 1 1Y(s) U(s) b U a Y bU aY b

a a s s s

0 0U a Y



Herleitung der Beobachernormalform:

32 2 1 1 0 0

3 3

3 3 01 0 0 0 0 3 0 0 3

3 3 3 3

3 32 1 1 1 1 1 3 1 1 1

3 3 3

b 1 1 1 1Y(s) U(s) b U a Y bU aY b U a Y

a a s s s

Defi nitionen:

b b a1sX (s) b U a Y b U a U X b a U X

a a a a

b b1sX (s) bU aY X bU a U X X b a U

a a a

13 1

3

3 3 23 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2

3 3 3 3

33

3 3

aX X

a

b b a1sX (s) b U a Y X b U a U X X b a U X X

a a a a

b 1Y(s) U X

a a



Herleitung der Beobachernormalform:

0 00 3

3 3

1 11 3

3 3

2 22 3

3 3

3

3 3

a a0 0 b b

a a

a aX 1 0 X b b U

a a

a a0 1 b b

a a

b1Y 0 0 X U

a a



Herleitung der Beobachernormalform:Signalflussbild



Zusammenhang zwischen Regelungs- und Beobachtungsnormalform:• Beide Zustandsdarstellungen sind dual zueinander• Beide Zustandsdarstellungen können direkt in die andere überführt

werden.• Die Systemmatrix wird an der Diagonalen gespiegelt• Die Eingangs- und Ausgangsmatrix (-vektor) werden getauscht.

Beispiel


Systemeigenschaften Steuer-barkeit und Beobachtbarkeit

Wir kennen folgende Systemeigenschaften:• Stabilität von Systemen (setzen wir voraus)• Steuerbarkeit von Systemen• Beobachtbarkeit von Systemen

Definition:Ein Übertragungssystem (in Zustandsgleichungen) ist steuerbar, wenneine Eingangsvariable u so existiert, so dass die Zustandsvariable x(t)von einem beliebigen Anfangszustand x(to) in einen beliebigen Endzu-stand x(tE) überführt werden kann. Die Steuerzeit t = tE-to muss

endlich sein.


Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen?

Satz:Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig steuerbar, wenn der Rang der (n, np)-Steuerbarkeitsmatrix QS:

gerade n ist, also r(QS) = n.

Alternativ bedeutet das, das det QS 0

2 n 1SQ B AB A B . A B


Wie beurteilt man die Steuerbarkeit von Systemen?Beispiel

S2

M MS1

ESS

0 1 00

K1X 0 X 0 U

T TK

10 0 T

T

Y 1 0 0 X



S1 S2

MES

2 S1 S2 S1 S2S

M M MES ES ES

S1 S1 S12 3

ES ES ES

3 2S1 S1 S2 S1 S2 S1 S2

S S13 S22 S31 3 2M M MES ES ES ES

K K0 0

T T

K K K K 1 1Q b Ab A b 0

T T T T T T

K K KT T T

K K K K K K Kdet Q q q q

T T T T T T T


Systemeigenschaft der Beobachtbarkeit

Die Eigenschaft Beobachtbarkeit liefert eine Aussage darüber, ob manmit den zur Verfügung stehenden Ausgangsgrößen, unabhängig von reinmeßtechnischen Problemen, alle Informationen aus dem System entneh-men kann, die zum Entwurf einer Regeleinrichtung erforderlich sind.

DefinitionEin lineares zeitinvariantes System ist dann vollständig beobachtbar,wenn der Anfangszustand x(t0) aus dem Verlauf des Ausgangsvektors

v(t) innerhalb eines endlichen Zeitintervalls t-t0 bestimmt werden

kann.


Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen?

Satz:Ein lineares zeitinvariantes System ist dann und nur dann vollständig beobachtbar, wenn der Rang der (n, nq)-Beobachtbarkeitsmatrix QB:

gerade n ist, also r(QB) = n.

Alternativ bedeutet das, das det QB 0

T

T

TT T T 2 T n 1 T 2S

T n 1

c

c A

Q c c A c A . c A c A

.

c A


Wie beurteilt man die Beobachtbarkeit von Systemen?Beispiel

S2

M MS1

ESS

0 1 00

K1X 0 X 0 U

T TK

10 0 T

T

Y 1 0 0 X



T

TB

T 2S2

M M

S2S B13 B22 B33

M

C 1 0 0

Q C A 0 1 0

K1C A 0T T

Kdet Q q q q

T

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