z-Transformation

z-Transformation 2

Warum z-Transformation?Die z-Transformation führt Polynome und rationale Funktionenin die Analyse der linearen zeitdiskreten Systeme ein.

Die Faltung geht über in die Multiplikation von Polynomen.

Algebraischen Operationen wie Division, Multiplikation undFaktorisierung entsprechen dem Zerlegen bzw. Zusammen-setzen von LTI Systemen.

Im allgemeinen sind die z-Transformationen rationale Funktionen,d.h. sie bestehen aus einem Zähler- und einem Nennerpolynom.Die Wurzeln dieser Polynome sind wichtig, da die meistenEigenschaften digitaler Filter von der Lage dieser Wurzelnabhängen.

z-Transformation 3

ˆ, , Bereichn z

Impulsantwort, Differenzengleichungen, "wirklicher" Signalbereiˆ Frequenzbereich (Frequency dom

ch

Frequenzantworten, Sp

Zeitbereich (Time dom

ektraldarstellungen

a

A

ain

nal

i

y

)

n)

se v

n

on Tönen

Operatoren, Pole und Nullstellen mathematische Analyse

un

Domain

d Synthese

z z

z-Transformation 4

Eingangssignale

Impuls Komplexe Exponentialfunktion

• x[n] = zn

z-Transformation 5

z-Transformation und FIR-Filter

0

0

[ ] [ ]

als Filtergleichung oder mit der Faltungssumme

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Wir verwenden das Signal [ ] { }, beliebige (kompfür lexe) Zahalle l

als Eingangssignal

[

n

]

M

kk

M

kk

n

y n b x n k

y n x n h n h n b n k

x n z z

y n

0

0 0

0 0 0

[ ]

... Systemfunktion( ) [ ]

Mk

kk

M

M M

Mk

Mn k n k n

k k kk

k

k

k

kk

kb x n k b z b z z z

H z

b z

b z h k z

ˆ

Zur Erinnerung:jz e

z-Transformation 6

0 0

[ ] [ ] (

Die Systemfunkt

)

Für das Eingangssignal folgt[ ] [ ] ( )

wobei ( ) die Tr

ion ( ) ist die Transformationder Impulsantw

ansformierte vo

ort:

n [ ] is

M Mk

k kk k

n

n n

H z z

h n b n k H z b z

zy n h n z H z z

H z z h n

t.

z-Transformation 7

0 1 2 1 20 1 2

2

2 2

[ ] ( )1,2,1 ( ) 1 2 1

2 1 2 1 =1+z

k

h n H zb H z b z b z b z z z

z zz z

Die Systemfunktion ist eine gebrochen rationale Funktion mitdem Zählerpolynom

und dem Nennerpolynom

2 2 1z z

2z

z-Transformation 8

0 1 2

21 2 0 1 2

0 1 2 2

Aus der Impulsantwort

[ ] [ ] [ 1] [ 2]

wird durch z-Transformation die Systemfunktion

( )

h n b n b n b n

b z b z bH z b b z b zz

z-Transformation 9

Darstellung von Signalen

0

Ein Signal endlicher Länge kann dargestellt werden

[ ] [ ] [ ]

die Transformation dieses Signales ist definiert

ist eine beliebige komplexe Z0

ahl, d.h. ist die unabhängige(

( ) [ ]

N

kx n x k n k

z

z

Nk

kz

X z x k z

1

0

1

komplexe) Variable der -Transformation.Man kann auch schreiben

( ) [ ]( )

was nicht anderes bedeutet, dass X( ) ein Polynom der Ordnung N der Variablen ist !

Nk

k

z

X z x k z

zz

0 0

... Systemfunktion[ ]) ( M M

k kk

k kb z h k zH z

z-Transformation 10

TransformierenDen Übergang von n z nennt man die z-Transformation von x[n].Um X [z] zu erhalten ist es lediglich erforderlich ein Polynom in z-1 , dessen Koeffizienten die Werte der Folge x[n] sind, zu bilden.z.B.:

n n < -1 -1 0 1 2 3 4 5 n > 5x[n] 0 0 2 4 6 4 2 0 0

1 2 3 4( ) 2 4 6 4 2X z z z z z

z-Transformation 11

0 0

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

[ ] ( )

N Nk

k k

n Domain z Domain

x x k kn n X

zXn

x kz

x

z

0

Beispiel:

[ ] [ ]

[ ]o

n

x n n n

X z z

0

[ ]

von [ ]

j

Nj k j k

kk

z e

z re x k r e

x k r

ω

ω ω− −

=

−

= →

= →∑

DFT

DFT

z-Transformation 12

Die Transformation eines FIR-Filters ist einPolynom ten Grades und hat daher Nullstellen, die dasPolynom (bis auf eine multipl

Die Systemfunktion ( ) ist eine Funktion der komplexenVariablen .

zM M

H zz

ikative Konstante) vollständigdefinieren (Fundamentalsatz der Algebra).

1 11 2 1 1 3 2

2

1 13 2

Beispiel:[ ] 6 [ ] 5 [ 1] [ 2]

( ) 6 5 (3 )(2 ) 6

Nullstellen bei und

y n x n x n x nz z

H z z z z zz

z-Transformation 13

Eigenschaften der z-Transformation

1 2 1 2

1

[ ] [ ] ( ) ( )

im Bereich entspricht einer Z

Linearität

Time-deitverzögerung

von 1 im Bereich (Zeitbereich)

elay

ax n bx n aX z bX z

z zn

n n < 0 0 1 2 3 4 5 n > 5 x[n] 0 3 1 4 1 5 9 0

1 2 3 4 5

1

0 1 2 3 4 5 6

( ) 3 4 5 9( ) ( )

= (0 ) 3 4 5 9

X z z z z z zY z z X z

z z z z z z z

z-Transformation 14

z-Transformation als Operator

1 1 1

1

1

Unit-Delay Operator [ ] { [ ]} [ 1][ ] für alle [ ] { [ ]} { } [ ]

Der Ausdruck [ ] gilt nur für [ ] Es ist allerdings üblich, die Größe alternativ zu

!

n

n

n

n n

y n x n x nx n z ny n x n z z z z z x n

zz x n x n z

DD

D D

1

m Unit-Delay Operatorsymbol zu verwenden!

[ ] [ ] [ 1]{ }y n z x n x nD

z-Transformation 15

UnitDelay

x[n] x[n-1]z -1

X(z) z-1X(z)

×

z-1

× × ×

+ + +

0b 1b 2b3b

[ ]x n [ 1]x n [ 2]x n [ 3]x n

[ ]y n

z-1 z-1

z-Transformation 16

Faltung und z-Transformation

Domain Domain[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

n zy n h n x n Y z H z X z

Kaskadieren von Systemen

LTI 1 LTI 21[ ] [ ]x n h n[ ]x n 1 2( [ ] [ ]) [ ]x n h n h n

1[ ]h n 2[ ]h n

1 2 1 2[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )h n h n h n H z H z H z

z-Transformation 17

1 2 3

12 1

1 2 31 2

2 11

1

1 1 2

Beispiel:( ) 1 2 2

Eine Wurzel dieses Polynoms liegt bei , damit ergibt sich( ) ( )(1 ) ( ) ( )

( ) 1 2 2 1( ) 1

( ) 1 1

11

H z z z z

H z H z z H zH z z z zH z zH z z

H z z z z

zz

11( ) (1 )H z z 1 2

2 ( ) 1H z z z

Partitionierung

z-Transformation 18

ˆ

ˆ

0 0

..

ˆ( ) (

ˆ

.

)M M

kk

k

j

j kk

k

H z b z H b

e

e

z

ω

ω

ω− −

= =

=

= ⇔ =

⇔

∑ ∑

z -Be

Einhei

reich

tskreis in der komp

ω-Berei

lexen

ch

Ebene

z-Transformation 19

Pole und Nullstellen

3 3

3 3

1 2 3

1 1 1

3 2

3 3

z.B.: ( ) 1 2 2

(1 )(1 )(1 )

2 2 1 ( 1)( )( )

j j

j j

H z z z z

z e z e z

z z z z z e z ez z

ο

ο

ο

xxxxx

dreifach im Nullpunkt

z-Transformation 20

Was bedeutet eine Nullstelle?

3

1 2 33 3 3 3

23

3

[ ] [ ] 2 [ 1] 2 [ 2] [ 3]

[ ]

[ ] 2 2

(1 2 2 )

1 1 3 1 3 1 0

n

n n n n

n

n

j

j j j j

j j j j

j

y n x n x n x n x n

x n e

y n e e e e

e e e e

e j j

3 31 2 3

Die komplexen Eingangsgrößen

( ) 1, (z ) , (z )werden unterdrückt!

n nj jn n nz e e

z-Transformation 21

Nulling Filter (Sperrfilter)

0 0

0ˆ ˆ1 1

0 2 2

Nullstellen in der Ebene "entfernen" Signaleder Form [ ] .

ˆUm ein Kosinussignal cos( )zu entfernen müssen zwei Eingangsgrößen entfernt werden!Die Nullstellen liegen konjugie

n

j n j n

zx n z

n e e

rt komplex!

z-Transformation 22

PN-Video

z-Transformation 23

21 11

10

10 109

1 90

( ) (1 )

10-point running average 101 1( )1 ( 1)

j kL Lk L

kk

k

k

H z z e z

Lz zH z zz z z

z-Transformation 24

3 21 2 3

3

2 2 1( ) 1 2 2 z z zH z z z zz

− − − − + −= − + − =

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt

3 2 /3 /3

/30

2 2 1 ( 1)( ),

01

( )

j j

j

z z z z z e z ez e

π π

π

−− + −

= ±

= − − − =

B = [1 –2 2 -1]A = [1]zplane(B,A)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

1

2

3

4

5

6

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

Mag

nitu

de

Magnitude Response

z-Transformation 25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0

1

2

3

4

5

6

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

Mag

nitu

de

Magnitude Response

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

Normalized Frequency ( ×π rad/sample)

Mag

nitu

de (

dB)

Magnitude Response (dB)

lin log

z-Transformation 26

Inverse Filterung (1)

Kanal

Ausgangssignal bekannt

Kanal bekannt

Eingangssignal gesucht

[ ] [ ] [ ][ ] ?

y n h n x nx n

= ∗= Inverse Faltung

Deconvolution

z-Transformation 27

Inverse Filterung (2)Lösung im Zeitbereich schwer/nicht möglich

Lösung im z-Bereich

1Kanal

2Korrektur

1 2 21

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) 1 ( )(

) ((

)

)HY z X z H z X z

H z H z H

H z

z

z

H z

= =

= ⇒ =

z-Transformation 28

Inverse Filterung (3)1 2

1

2 1 21

( ) (1 0.5 )1 1H (z) = =

H ( ) (1 0.5 )

H z z z

z z z

− −

− −

= − +

− +

Nullstellen in Nenner(außerhalb von Null) Polstellen

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt

z-Transformation 29

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.50

0.51

0

2

4

6

8

10

12

14

16

ImRe

H(z

)

11

1 0.9( )

zH z −−

=

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y Pa

rtPole/Zero Plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Samples

Impulse Response

Am

plitu

de

PN-Diagramm

Impulsantwort

z-Transformation 30

11

1 0.9( )

zH z −−

=

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y Pa

rt

0

π