03.01 Arithmetik und Algebra Grundlagen...

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN

www.ibn.ch 16. Februar 2014

Kapitel 3 Mathematik

Kapitel 3.1

Arithmetik und Algebra Grundlagen

Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn

055 - 654 12 87

Ausgabe: Februar 2009

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 2 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN


Inhaltsverzeichnis 3 Mathematik

3 Mathematik

3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen 3.1.1 Vorwort 3.1.2 Grundlagen der Zahlen 3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade 3.1.4 Massvorsätze 3.1.5 Das griechische Alphabet 3.1.6 Prozente und Promille 3.1.7 Mathematische Zeichen 3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen 3.1.9 Lampeneinteilung in einem Raum 3.1.10 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse 3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen 3.1.12 Zahlengrössen 3.1.13 Symbole für Zahlen 3.1.14 Grafische Darstellungen 3.1.15 Mittelwerte 3.1.16 Proportionen und Verhältnisse 3.1.17 Absoluter Betrag 3.1.18 Zahlenbereiche 3.1.19 Rechnen mit dem Taschenrechner 3.1.20 Umrechnung Dezimal- in Dualsystem 3.1.21 Römische Ziffern

BiVo Probleme umfassend bearbeiten Verstehen und anwenden Erinnern TD Technische Dokumentation BET Bearbeitungstechnik TG Technologische Grundlagen 3.1 Mathematik 3.1.1 Arithmetische Operationen

- Operationen mit bestimmten und allgemeinen Zahlen

- Berechnungen mit Zehnerpotenzen - Umrechnungen von Grössenordnungen mit

Massvorsätzen 3.1.1 Logische Operationen

- Duales Zahlensystem - Wahrheitstabelle - Grundoperationen der Logik: - AND, OR, NOT

3.1.1 Algebraische Gleichungen

- Gleichungen 1. Grades und rein quadratische Gleichungen

- Gleichungen 2. Grades mit Bezug zu den Fächern dieses Lehrplans

3.1.2 Geometrische Grössen

- Länge, Fläche, Volumen - Seiten im rechtwinkligen Dreieck - (Pythagoras) - Trigonometrische Funktionen: - Sinus, Cosinus, Tangens (0-90°) - Darstellung der Sinus-, Cosinus- und Tan-

gensfunktion im Einheitskreis und als Linien-diagramm

3.1.2 Grafische Darstellungen

- Diagrammarten - Darstellungen im rechtwinkligen Koordinaten-

system mit linearen und nichtlinearen Mass-stäben

3.1.2 Grafische Darstellungen

- Strecke, Pfeil als Mass einer Grösse (Vektor) - Addition und Subtraktion mit zwei Grössen - Addition und Subtraktion mit mehreren Grös-

sen EST Elektrische Systemtechnik KOM Kommunikationstechnik



3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen

3.1.1 Vorwort Die Mathematik besteht aus Teilgebieten. Die drei wichtigsten sind:

1. Arithmetik (Lehre von den Zahlengrössen)

2. Algebra (Lehre von den Gleichungen)

3. Geometrie (Lehre von den Raumgrössen)

Unser heutiges technisches Zeitalter wäre ohne die Mathematik nicht denkbar, deshalb ist sie die Grundlage für alle technischen Berufe. Die Lehre von den Zahlengrössen (Arithmetik) gliedert sich in:

1. das Rechnen mit bestimmten Zahlen, die im allgemeinen durch die arabischen Ziffern dargestellt wer-den (1; 2; 3; 4; ....)

2. das Rechnen mit Variablen, die üblicherweise durch Buchstaben dargestellt werden (a; b; c; ...)

Die Lehre von den Raumgrössen gliedert sich in:

1. Die Lehre von den ebenen Flächen (Planimetrie)

2. Die Lehre von den Körpern (Stereometrie)

3. Die Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken (Trigonometrie)

Die Grundlage dieses Gebäudes ist die menschliche Vernunft; das heisst, die Mathematik baut auf Grundsätzen (Axiome) auf, die beweislos vorausgesetzt werden. Einige lauten:

1. Jede Grösse ist sich selbst gleich. 2. Werden gleiche Grössen gleich behandelt, so ergeben sich gleiche Grössen. 3. Sind zwei Grössen einer dritten gleich, so sind sie auch untereinander gleich.

Alle anderen mathematischen Aussagen (Lehrsätze) müssen bewiesen werden, d.h. man muss sie auf bekann-te Lehrsätze oder Grundsätze zurückführen.



3.1.2 Grundlagen der Zahlen Zahlen werden in der Mathematik folgendermassen eingeteilt.

1−=j jz 32 +=

14212 ,=

4 4 2133

,=

1423 ,=π

7182 ,e =

1−=j jz 32

BruchGanze Zahlen

Zahlen

Imaginäre Zahlen Reelle Zahlen Rein komplexe Zahlen

Rationale Zahlen Irrationale Zahlen

Unechter Bruch

Dezimalbruch

Transzendentirrationale Zahlen

Irrationale Zahlen

Echter Bruch

Stammbruch

14212 ,=

4 4 2133

,=

1423 ,

7182 ,e



3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade Unter Zahlengerade versteht man in der Mathematik die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Im Bild wurden die Orte der Punkte der ganzen Zahlen durch senkrechte Striche hervorgehoben. Die Zahlengerade ist eine Veranschaulichung des eindimensionalen euklidischen Vektorraums . Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen ℜ eine geordnete Menge ist. Die Zah-lengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden.

Ganze Zahlen Die Summe der ganzen Zahlen ist nachfolgend dargestellt.



3.1.4 Massvorsätze Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruchteile von Dekaden verwendet.

Vorsatz Vorsatz-zeichen

Zehner-potenz

Vorsatz Vorsatz-zeichen

Zehner-potenz

Tera T 1012 Dezi d 10-1 Giga G 109 Zenti c 10-2 Mega M 106 Milli m 10-3 Kilo k 103 Mikro µ 10-6

Hekto h 102 Nano n 10-9 Deka da 101 Piko p 10-12

Femto f 10-15

3.1.4.1 Abgeänderte Basis-Einheiten Ausser den unter den Basisgrössen aufgeführten Einheiten sind auch weitere - verkleinerte oder vergrösserte - Einheiten gesetzlich erlaubt.

Längen [[[[m]]]] µµµµm, mm, cm, dm, km

Zeit [[[[s]]]] ms, min., Std=h, Tg=d, Jahr=a

Strom [[[[A]]]] µµµµA, mA, kA

Gewicht [[[[kg]]]] g, mg, t



3.1.5 Das griechische Alphabet Das griechische Alphabet umfasst 24 Buchstaben.

Grossbuch-

staben Kleinbuch-

staben Translite-

ration Name

1. Α αααα a Alpha

2. Β ββββ b Beta

3. Γ γγγγ g Gamma

4. ∆ δδδδ d Delta

5. Ε εεεε e Epsilon

6. Ζ ζ z Zeta 7. Η ηηηη ë (gespr. Ä) Eta

8. Θ ϑϑϑϑ th Theta

9. Ι ι i Iota 10. Κ κ k Kappa 11. Λ λλλλ l Lambda

12. Μ µµµµ m My

13. Ν ν n Ny 14. Ξ ξ x Xi 15. Ο ο o Omikron 16. Π ππππ p Pi

17. Ρ ρρρρ r Rho

18. Σ σσσσ s Sigma

19. Τ ττττ t Tau

20. Υ υ y (gespr. ü) Ypsilon 21. φ ϕϕϕϕ ph (gespr. f) Phi

22. Χ χ ch Chi 23. Ψ ψ ps Psi 24. Ω ωωωω õ Omega

Geschichte unserer Buchstaben Das lateinische Alphabet wurde, über Vermittlung der Etrusker, aus dem westgriechischen Alphabet entlehnt. Das archaische lateinische Alphabet bestand aus 21 Buchstaben: A B C D E F Z H I K L M N O P Q R S T V X. Im deutschen Alphabet kommen noch die Buchstaben Ä ä, Ö ö und Ü ü sowie – außer in der Schweiz und Liech-tenstein – der Kleinbuchstabe ß hinzu. In zahlreichen Sprachen wurde das lateinische Alphabet um diakritische Zeichen ergänzt (z. B. å, é, ï, ò, û), um weitere sprachspezifische Laute darstellen zu können.

Der Buchstabe A ist der erste Buchstabe des Alphabets. Bei den Griechen hieß dieser Buchstabe “Alpha”. Der zweite Buchstabe des Alphabets hieß

“Beta”. Aus diesen beiden Buchstabennamen ist das Wort “Alphabet” zusammengesetzt.

Das moderne lateinische Alphabet enthält 26 Zeichen. Diese sind (in

Großbuchstaben): A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z; Und in Kleinbuchstaben: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n,

o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;



3.1.6 Prozente und Promille

Prozentwert Der Prozentwert wird immer als Fak-tor vom Ganzen (100%) berechnet.

%100

%wGW ⋅=

%100% ⋅=G

Ww

Differenzwert

G

GWw

−=∆

%100% ⋅−

=∆G

GWw

Achtung Negativer Endwert bedeutet eine Abnahme gegen-über dem Grundwert. Positiver Endwert entsteht bei einer Zunahme des Grundwertes (Beispiele: Leistungszunahme, Span-nungszunahme und Temperaturzunahme).

G Grundwert G ist der angenommene 100%-Wert W Wert der mit dem Grundwert verglichen wird.

Wieviel in absolutem Betrag ist dieser Wert vom Grundwert

%w Prozentsatz [%]

‰P Promillsatz [‰]

w∆ Differenzwert Wieviel in relativem Betrag ist dieser Wert vom 100%-Wert

%w∆ Prozentsatz der

Differenz [%]

Praxisbeispiele Beispiel 1 „Wirkungsgrad - Motorleistung“

21 PPPV −=

1P

2P

1P

2P

M∼

%100%

⋅=Auf

Ab

P

Pη

„Differenzwert -Leistung“

%1001

12

%⋅

−=∆

P

PPP

Beispiel 2 „Differenzwert - Spannungsabfall“

RL

U1

Bild 1.7.1

RV

RL

U2

VL

UL

VL

UL

V1 V2

I

%U

UUu% 100

1

21 ⋅−

=∆

Beispiel 3 „Differenzwert -Temperatur“

%% 10020

20 ⋅−

=ϑ

ϑϑϑ∆

C°−= 20ϑϑ∆

Bild 1.2.1

ϑϑ20ϑ ϑ

R

Rϑ

R20

Rϑ

∆ϑ

∆R

∆R

∆ϑ

1P Anfangsleistung ]W[

2P Endleistung ]W[

VP Leistungsverluste ]W[

1U Anfangsspannung ]V[

2U Endspannung ]V[

u∆ Spannungsabfall ]V[

1ϑ Anfangstemperatur ]C[°

2ϑ Endtemperatur ]C[°

ϑ∆ Temperaturdifferenz ]C[°



3.1.7 Mathematische Zeichen (nach DIN 1302)

Beschreibung Beispiel

+ plus, und 743 =+

- minus, weniger 235 =−

x ⋅ mal, multipliziert 1262 =⋅

: geteilt durch, dividiert 43

12=

= gleich 8311 +=

≡ identisch gleich 55 ≡

≠ ungleich, nicht gleich 75 ≠

≈ nahezu gleich, rund, etwa 333,031

≈

∞ unendlich ∞=01

< kleiner als 85 <

≤ kleiner als oder gleich ba ≤

> grösser als 17 >

absoluter Betrag 7

= entspricht Ncm 500ˆ1 = (z.B. in einer Zeichnung)

Wurzel aus 39 =

∑ Summe 4321

4

1aaaaa

ii

+++=∑=



3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen

3.1.8.1 Kopfrechnen „EINMALEINS“ Serie 1 Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des „Einmaleinstrainings“ in 10 Minuten zu lösen.

158 ⋅ 120 184 ⋅ 72 66 ⋅ 36 560:7 80 9⋅125 1125

106 ⋅ 60 212 ⋅ 42 12:12 1 320:40 8 8⋅125 1000

1257 ⋅ 875 223 ⋅ 66 1212 ⋅ 144 480:60 8 7⋅125 875

184 ⋅ 72 233 ⋅ 69 88:11 8 180:3 60 3⋅125 375

253 ⋅ 75 224 ⋅ 88 9⋅23 207 720:90 8 3⋅24 72

307 ⋅ 210 119 ⋅ 99 28:4 7 450:9 50 9⋅15 135

204 ⋅ 80 125 ⋅ 60 7⋅88 616 240:40 6 16⋅2 32

1256 ⋅ 750 117 ⋅ 77 560:8 70 240:8 30 190⋅2 380

189 ⋅ 162 134 ⋅ 52 80⋅6 480 420:6 70 350⋅2 700

187 ⋅ 126 207 ⋅ 140 480:6 80 540:90 6 360⋅2 720

128 ⋅ 96 247 ⋅ 168 50⋅9 450 630:7 90 370⋅2 740

129 ⋅ 108 158 ⋅ 120 390:3 130 180:9 20 470⋅2 940

99 ⋅ 81 177 ⋅ 119 110⋅7 770 210:3 70 70⋅100 7000

74 ⋅ 28 809 ⋅ 720 480:12 40 480:80 6 10:1000 100

55 ⋅ 25 309 ⋅ 270 15⋅6 90 280:4 70 90⋅90 8100

156 ⋅ 90 230 ⋅ 60 150:5 30 560:80 7 70⋅70 4900

175 ⋅ 85 256 ⋅ 150 5⋅8 40 320:8 40 300:2 150

194 ⋅ 76 640 ⋅ 240 40:10 4 210:7 30 320:2 160

168 ⋅ 128 670 ⋅ 420 44:11 4 720:8 90 2⋅125 250

167 ⋅ 112 680 ⋅ 480 4⋅75 300 240:60 4 480:2 240

195 ⋅ 95 6090 ⋅ 5400 300:5 60 63:9 7 560:2 280

124 ⋅ 48 370 ⋅ 210 9⋅11 99 280:7 40 2⋅225 450

154 ⋅ 60 74 ⋅ 28 180:3 60 350:5 70 2⋅335 670

176 ⋅ 102 706 ⋅ 420 7⋅20 140 360:4 90 2⋅499 998

138 ⋅ 104 770 ⋅ 490 250:5 50 99:11 9 780:2 390

66 ⋅ 36 78 ⋅ 56 400⋅2 800 100:10 10 58:2 29

68 ⋅ 48 807 ⋅ 560 240:2 120 49:7 7 9⋅25 225

62 ⋅ 12 790 ⋅ 630 12⋅9 108 25:5 5 980:2 490

1258 ⋅ 1000 808 ⋅ 640 15⋅10 150 36:6 6 3⋅110 330

67 ⋅ 42 1259 ⋅ 1125 336:3 112 16:4 4 700:2 350

1253⋅ 375 1258 ⋅ 1000 22⋅2 44 126:3 42 75⋅8 600

254 ⋅ 100 3:300 100 17⋅9 153 648:8 81 13⋅13 169

246 ⋅ 144 5:400 80 50:2 25 153:3 51 14⋅14 196

1010 ⋅ 100 246 ⋅ 144 35⋅2 70 819:9 91 12⋅12 144

32 ⋅ 6 10100 ⋅ 1000 7⋅16 112 486:6 81 9⋅13 117

132 ⋅ 26 320 ⋅ 60 2⋅24 48 36:6 6 5⋅125 625

105 ⋅ 50 1302 ⋅ 260 6⋅6 36 240:3 80 333:3 111

183 ⋅ 54 1005 ⋅ 500 990:11 90 90:30 3 222:2 111

187 ⋅ 126 830 ⋅ 240 100⋅11 1100 140:20 7 190:2 95

146 ⋅ 84 8125⋅ 1000 11⋅11 121 600:5 120 12⋅12 144

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 11 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 8 EINMALEINS DER ZAHLEN



8⋅7 56 4⋅8 32 2⋅6 12 560:7 80 11⋅11 121

6⋅8 48 2⋅11 22 12:4 3 320:40 8 8⋅16 128

7⋅6 42 3⋅12 36 6⋅12 72 480:60 8 7⋅18 126

4⋅8 32 3⋅13 39 88:11 8 180:3 60 3⋅19 57

3⋅9 27 4⋅12 48 9⋅3 27 720:90 8 3⋅20 60

7⋅3 21 9⋅11 99 28:4 7 450:9 50 4⋅15 60

4⋅9 36 5⋅12 60 7⋅8 56 240:40 6 16⋅2 32

6⋅9 54 7⋅11 77 56:8 7 240:8 30 19⋅2 38

9⋅6 54 4⋅13 52 8⋅6 48 420:6 70 35⋅2 70

7⋅8 56 7⋅20 140 48:6 8 540:90 6 36⋅2 72

8⋅8 64 7⋅19 133 5⋅9 45 630:7 90 37⋅2 74

9⋅8 72 8⋅15 120 39:3 13 180:9 20 47⋅2 94

9⋅9 81 7⋅17 119 11⋅7 77 210:3 70 7⋅100 700

4⋅7 28 9⋅80 720 48:12 4 480:80 6 10:1000 100

5⋅5 25 9⋅30 270 5⋅6 30 280:4 70 8⋅90 720

6⋅5 30 30⋅2 60 15:5 3 560:80 7 70⋅5 350

5⋅7 35 6⋅30 180 5⋅8 40 320:8 40 300:2 150

4⋅8 32 40⋅6 240 40:10 4 210:7 30 320:2 160

8⋅6 48 70⋅6 420 44:11 4 720:8 90 2⋅95 190

7⋅6 42 80⋅6 480 4⋅7 28 240:60 4 480:2 240

5⋅9 45 9⋅60 540 30:5 6 63:9 7 560:2 280

4⋅6 24 70⋅3 210 9⋅11 99 28:7 4 2⋅225 450

3⋅8 24 4⋅7 28 18:3 6 35:5 7 2⋅335 670

6⋅9 54 6⋅70 420 7⋅9 63 36:4 9 2⋅499 998

8⋅9 72 70⋅7 490 25:5 5 99:11 9 780:2 390

6⋅6 36 8⋅7 56 4⋅2 8 100:10 10 58:2 29

8⋅6 48 7⋅80 560 240:2 120 49:7 7 3⋅25 75

2⋅6 12 90⋅7 630 2⋅9 18 25:5 5 980:2 490

8⋅3 24 8⋅80 640 5⋅10 50 66:6 11 3⋅110 330

7⋅6 42 9⋅8 72 36:3 12 16:4 4 700:2 350

3⋅3 9 8⋅6 48 2⋅2 4 12:3 4 70⋅8 560

4⋅5 20 30:3 10 17⋅2 34 64:8 8 6⋅13 78

6⋅4 24 400:5 80 50:2 25 15:3 5 7⋅14 98

10⋅10 100 6⋅4 24 35⋅2 70 81:9 9 10⋅12 120

2⋅3 6 100⋅10 1000 7⋅6 42 48:6 8 9⋅13 117

2⋅13 26 20⋅3 60 2⋅4 8 36:6 6 5⋅70 350

5⋅10 50 2⋅130 260 3⋅6 18 240:3 80 333:3 111

3⋅8 24 5⋅100 500 99:11 9 90:30 3 222:2 111

7⋅8 56 30⋅8 240 10⋅11 110 140:20 7 190:2 95

6⋅9 54 7⋅8 56 11⋅11 121 60:5 12 12⋅12 144

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Seite 12 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 8 EINMALEINS DER ZAHLEN



12⋅15 180 4⋅18 72 6⋅16 96 560:7 80 9⋅125 1125 12⋅10 120 12⋅21 252 12:12 1 320:40 8 8⋅125 1000 8⋅125 1000 3⋅22 66 12⋅12 144 480:60 8 7⋅125 875 11⋅18 198 3⋅23 69 88:11 8 180:3 60 3⋅125 375 15⋅25 375 4⋅22 88 9⋅20 180 720:90 8 12⋅24 288 7⋅30 210 11⋅11 121 284:4 71 450:9 50 11⋅15 165

18⋅20 360 5⋅12 60 7⋅88 616 240:40 6 16⋅2 32 6⋅125 750 7⋅11 77 560:8 70 240:8 30 190⋅2 380 9⋅18 162 4⋅13 52 80⋅6 480 420:6 70 350⋅2 700 7⋅18 126 7⋅20 140 480:6 80 540:90 6 360⋅2 720 8⋅12 96 7⋅24 168 50⋅9 450 630:7 90 370⋅2 740 9⋅12 108 8⋅15 120 390:13 30 180:9 20 470⋅2 940 19⋅9 171 7⋅17 119 110⋅7 770 210:3 70 70⋅100 7000 14⋅7 98 9⋅80 720 480:12 40 480:80 6 1000:10 100 15⋅5 75 9⋅30 270 15⋅15 225 280:4 70 90⋅90 8100

15⋅15 225 30⋅2 60 150:5 30 560:80 7 70⋅70 4900 5⋅17 85 6⋅25 150 5⋅18 90 320:8 40 3000:2 1500 4⋅18 72 40⋅6 240 40:10 4 210:7 30 3200:2 1600 8⋅16 128 70⋅6 420 400:10 40 720:8 90 20⋅125 2500 7⋅16 112 80⋅6 480 4⋅75 300 240:60 4 480:2 240

15⋅19 285 9⋅60 540 300:5 60 63:9 7 560:2 280 12⋅12 144 70⋅3 210 9⋅11 99 280:7 40 2⋅225 450 15⋅15 225 4⋅17 68 180:30 6 350:5 70 2⋅335 670 6⋅15 90 6⋅70 420 70⋅20 1400 360:4 90 2⋅499 998 812 96 70⋅70 4900 250:5 50 990:11 90 780:2 390 6⋅6 36 80⋅7 560 400⋅2 800 100:10 10 580:2 290 8⋅8 64 7⋅80 560 240:2 120 490:7 70 19⋅25 475 2⋅2 4 90⋅7 630 120⋅9 1080 250:5 50 980:2 490

9⋅125 1125 80⋅80 6400 15⋅10 150 360:6 60 11⋅110 1210 7⋅16 112 9⋅125 1125 336:3 112 160:4 40 700:2 350

3⋅125 375 8⋅125 1000 22⋅20 440 126:3 42 75⋅8 600 4⋅25 100 300:3 100 17⋅9 153 648:8 81 13⋅13 169 6⋅24 144 400:5 80 500:2 250 153:3 51 14⋅14 196

10⋅10 100 6⋅24 144 350⋅2 700 819:9 91 12⋅12 144 2⋅3 6 100⋅10 1000 7⋅16 112 486:6 81 9⋅13 117

13⋅13 169 20⋅20 400 2⋅24 48 360:6 60 5⋅125 625 15⋅10 150 2⋅130 260 20⋅24 480 240:30 8 333:3 111 3⋅18 54 5⋅100 500 990:11 90 90:30 3 222:2 111 7⋅18 126 300⋅8 2400 100⋅11 1100 140:20 7 190:2 95 6⋅14 84 125⋅8 1000 11⋅11 121 600:5 120 12⋅12 144



3.1.9 Lampeneinteilung in einem Raum

)1(

)(21

−

+⋅+−=

n

abnalx

)1(

)( 21

−

+−=

n

aalx

l

1a2ab x x xb b b

Bild22.05.06

l

1a2ab b b b

21 )1( axnbnal +⋅−+⋅+=

l

1a2

a

b

x x x

Bild22.05.07

l

1a2

a

b

21 )1( axnal +⋅−+=

l

1a2ax x x

Bild22.05.08

l

1a2a

Bei allen eingesetzten Einheiten ist auf die Gleichheit zu achten.

][m

][dm

][cm

][mm

Einheitenumrechnung siehe Seite 304.

x Lampenabstand ][m

b Lampenlänge ][m

1a Wandabstand

links ][m

1a Wandabstand

rechts ][m

n Anzahl Lampen ][−



3.1.10 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse

Länge ∗

Fläche ∗

Volumen ∗

Exponent 1 2 3 *mm

110 2

10 310

*cm 1

10 210 3

10 *dm

110 2

10 310

*m 3

10 610 9

10 *km

:

Rechnet man von einem kleineren Mass zu einem grösseren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle dividiert werden.

.

Rechnet man von einem grösseren Mass zu einem kleineren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle multipliziert werden.

mm100 = ? m

Teiler

mm100 =

1000

100mm = m1,0

Zwischen mm und m sind 111

101010 ⋅⋅ Teile. Dies entspricht

einem Teiler von 1000103 = .

31 dm = ? 3

cm

Faktordm ⋅31 = 10001

3 ⋅dm = 31000cm

Zwischen 3dm und 3

cm sind 310

Teile. Dies entspricht dem Faktor 1000 .



3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen Geschichte unserer Ziffern Der deutsche Gelehrte Gerbert de Aurillac (945 gebo-ren) rechnet als erster mit arabischen Ziffern, die er in der spanischen Grenzmark kennengelernt hat – also mit den Zahlen „Westarabiens“. Diese fanden sehr schnell Eingang in die europäischen Gelehrtenstuben – die Null wurde erst im 12. Jahrhundert in die westliche Mathematik eingeführt („Null“ oder „leer“ ist die arabi-sche Übersetzung des (indischen) Sanskritwortes su-nya , welches die gleiche Bedeutung hat). Kurz nach der Übernahme durch Gerbert „starb“ die westarabische Schreibweise der Ziffer aus und wir sind auf der ostarabischen Schreibweise der Ziffern „sitzen-geblieben“ .

Die Synthese griechischer und indischer Wissenschaft (mit babylonischen

Erkenntnissen gewürzt) legte den Grundstein der arabischen Gelehrsamkeit und Wissenschaft, die in der Zeit vom 8. bis zum 12. Jahrhundert die glän-

zenste Periode erlebte.

Das arabische Reich teilte sich im 13. Jahrhundert in zwei Teile – der ostarabische Teil mit seinem Zentrum Bagdad und Damaskus und der

westarabische Teil mit seinem kulturellem Zentrum in Cordova.

So nahmen auch die Zahlen zwei unterschiedliche Entwicklungen. Die west-arabische Ausprägung und die ostarabische Ausprägung.

3.1.12 Zahlengrössen

3 Kilogramm 3 kg 3 kg

Masszahl + Masseinheit = Zahlengrösse

3.1.13 Symbole für Zahlen

Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen,

werden immer Länge und Breite miteinander

multipliziert. Diese Gesetzmässigkeit kann man

auch durch Symbole, z.B. Buchstaben, ausdrücken:

Fläche BreiteLänge ⋅=

Berechnung in Worten.

a Länge ]m[

b Breite ]m[

A Fläche ]m[ 2

baA ⋅=

Formelgleichung



3.1.14 Grafische Darstellungen Die Basis aller grafischen Darstellungen ist die Wertetabelle. Aus der Wertetabelle wird anschliessend ein Diagramm erstellt. Die drei wichtigsten Diagrammtypen sind nachfolgend anhand je eines Beispiels dargestellt.

Liniendiagramm

t

sv =

[h]

t

0

S[km]

1 2 3

4

8

12

16

20

t

sv =

Durch Liniendiagramme können Funktionen und Messungen veran-schaulicht werden.

Balken- / Säulendiagramm

Ein Säulendiagramm (vertikal) oder ein Balkendiagramm (horizontal) wird meistens für einfache Vergleiche verwendet.

Tortendiagramm

Tortendiagramme dienen zum Aufzeigen der prozentualen Verteilung ausgehend vom Grundwert (100%).

Sankey-Diagramm

Ein Sankey-Diagramm ist eine graphische Darstellung von

Mengenflüssen. Anders als beim Flussdiagramm werden die Mengen durch mengenproportional dicke Pfeile dargestellt.

Sankey-Diagramme sind wichtige Hilfsmittel zur Visualisierung von Energie- und Materialflüssen sowie von Ineffizienzen und

Einsparpotenzialen im Umgang mit Ressourcen.

Energiekonzept für ein Gebäude



3.1.15 Mittelwerte

3.1.15.1 Arithmetische Mittelwert Merke:

Das arithmetische Mittel einer Anzahl von Grössen ist

der Quotient aus ihren Summen und ihrer Anzahl.

2

bama

+=

n

a....aaam n

a

+++= 321

Arith- metrisches Mittel

Praktische Anwendung

Mittlerer Durchmesser einer Spule

di

da

dm

2

aim

ddd

+=

3.1.15.2 Geometrische Mittelwert Merke:

Das geometrische Mittel von n Zahlen ist die n-te

Wurzel aus dem Produkten der n Zahlen.

221 ggmg ⋅=

n

ng g....gggm ⋅⋅⋅= 321

Geo- metrisches Mittel

Nr. 1

Hzf 3001 = Hz'f 30032 =

H zf 9950 =

Hzf 3001 = Hz'f 30032 =

H zf 9950 =

Telefonübertragungsbereich in logarithmischer Einteilung. Die Mittenfrequenz ist 995 Hz. Der Abstand von 300 Hz bis 995 Hz ist gleich dem Abstand von 995 Hz bis 3300 kHz. Der Frequenzbereich 300 Hz bis 3,3 kHz ist die Bandbreite der Übertragung von 3 kHz. Manchmal geht der Telefonbereich sogar bis 3,4 kHz.

Nr. 2

Hzf 201 = Hz'f 000202 =Hz,f 56320 =Hzf 201 = Hz'f 000202 =Hz,f 56320 =

Hörbereich in logarithmischer Einteilung. Der Abstand von 20 Hz bis 632 Hz ist gleich dem Abstand von 632 Hz bis 20 kHz. Siehe die angegebenen Punkte.

Praktische Anwendung Nr. 1

Als Beispiel wurden hier die Grenz-frequenzen einer Telefonübertra-

gung vorgegeben: f1 = 300 Hz und f2= 3300 Hz, wobei die richtige Mittenfrequenz f0 = 995 Hz als

geometrisches Mittel ist und nicht die 1800 Hz der Berechnung des

arithmetischen Mittels. Was für ein Unterschied!


Der Hi-Fi-Hörbereich ist von f1 = 20 Hz und f2 = 20000 Hz angegeben, wobei die richtige Mittenfrequenz f0=632,5 Hz - als geometrisches

Mittel ist und nicht die 10,010 kHz aus der Berechnung des arithmeti-

schen Mittels. Dieses ist häufig nicht klar!



3.1.15.3 Quadratische Mittelwert Merke:

Das quadratische Mittel von n Zahlen ist die Wurzel aus

Wurzel aus der Summe der n Quadratzahlen dividiert duch

die Anzahl der Quadratzahlen.

2

2

2

2

1

2

ggmq

+=

2

22

3

2

2

2

1 ....

n

ggggm n

g

++++=

Quadratisches Mittel


Da in der Elektrotechnik bzw. Elektronik die Spannungsverläufe häufig stark vom Sinusverlauf abweichen, können hiermit erheblich falsche Messwerte entstehen.

Messgeräte, die den Effektivwert tatsäch-lich gemäß seiner Definition bstimmen,

werden Echteffektivwert-Messgeräte genannt und mit der Bezeichnung True RMS bzw. TRMS ausgewiesen (RMS =

root mean square = Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrats)

Elektronische Schaltung zur

Echt-Effektivwertbildung


Elektromechanische Dreheisenmessgerä-

te arbeiten „TRMS“-bildend und zeigen daher unabhängig vom zeitlichen Verlauf den Effektivwert an. Auch sie sind nur für

einen begrenzten Frequenzbereich geeignet..

3.1.15.4 Harmonische Mittelwert Merke:

Das harmonische Mittel von n Zahlen ist der Quotient aus

der Anzahl harmonischer Zahlen dividiert duchdie Summe

ihrer Bruchzahlen.

21

11

2

gg

mh

+

=

n

h

gggg

nm

1111

221

+⋅⋅⋅⋅+++

=

Harmonisches Mittel Kehrwert des arithmetischen Mittel


Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke die Zeit (also Durch-

schnittsgeschwindigkeit ) und für die Teilstrecke die Zeit (also Durch-

schnittsgeschwindigkeit ), so gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über

die gesamte Strecke

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete

harmonische Mittel der Teilgeschwindig-keiten oder das mit der benötigten Zeit

gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.



3.1.16 Proportionen und Verhältnisse Grössenvergleiche können durch Verhältnisse beschrieben werden. Das Verhätnis von a zu b ist der Quotient ba : . Man liesst „a verhält sich zu b“ oder „a zu b“.

Verhältnissgleichung

Wenn die Verhätnisse a:b und c:d den gleichen Wert

haben, können sie gleichgesetzt werden.

Verhältnisse Verhältnissgleichung

a b: c d:=

innere Glieder

äussere Glieder

8:42:1 =

Produktegleichung

Das Produkt der äusseren Glieder einer Proportion

ist gleich dem Produkt der innenren Glieder.

Proportion Produktegleichnung

a d. cb= .

4:28:1 =

Das Verhältnis ba : werden wir meist als Bruch b

a schreiben und durch Erweitern und/oder Kürzen

vereinfachen. Verhältnisse, die aus mehreren Zahlen oder Grössen gebildet werden, kann man eben falls vereinfachen. Bein Vergleich von Grössen können folgende Aussagen gemacht werden:

a

Die Strecke a ist mm20 lang.

b

Die Strecke b ist mm30 lang.

a ist um mm10 kürzer als b . b ist um mm10 länger als a .

a ist um ein Drittel kürzer als b . b ist um die Hälfte länger als a .

a ist 3

2-mal so gross wie b . b ist

2

11 -mal so gross wie a .

a verhält sich zu b wie 3:2 . b verhält sich zu a wie 2:3 .



3.1.17 Absoluter Betrag Unter dem absoluten Betrag einer Zahl a versteht man ihren Wert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen,

geschrieben a .

3.1.17.1 Rechenregeln a) a b a b± ≤ +

b) a b a b± ≥ −

c) a b a b− ≤ − a b a b− ≤ ± a b a b± ≤ +

d) a b a b⋅ = ⋅

e) a

b

a

b=



3.1.18 Zahlenbereiche



3.1.19 Rechnen mit dem Taschenrechner In der Technik müssen viele Berechnungen durchgeführt werden. Meistens verwenden wir dazu einen technischen Taschenrechner. Einige der gebräuchlichsten Tasten sind nachfolgend kurz beschrieben.



3.1.20 Umrechnung Dezimal- in Dualsystem

Umrechnung Dual-in das Dezimalsystem Die Umrechnung vom Dualsystem in das Dezimalsystem wird wie folgt gehandhabt.



3.1.21 Römische Ziffern Die Zuordnung der Rämischen Ziffern in das römische System ist nachfolgend dargestellt.

Umrechnung Römisch in das Dezimalsystem Die Umrechnung vom Römischen System in das Dezimalsystem wird wie folgt gehandhabt.

03.01 Arithmetik und Algebra Grundlagen...

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