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TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN

www.ibn.ch 4. März 2011

Kapitel 3 Mathematik

Kapitel 3.1

Arithmetik und Algebra Grundlagen

Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn

055 - 654 12 87

Ausgabe: Februar 2009

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 2 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN


Inhaltsverzeichnis 3 Mathematik

3 Mathematik

3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen

3.1.1 Vorwort 3.1.2 Einteilung der Zahlen

3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade

3.1.4 Massvorsätze

3.1.5 Das griechische Alphabet 3.1.6 Prozent- und Promille

3.1.7 Mathematische Zeichen

3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen

3.1.9 Lampeneinteilung in einem Raum

3.1.10 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse

3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen

3.1.12 Zahlengrössen

3.1.13 Symbole für Zahlen

3.1.14 Grafische Darstellungen

3.1.15 Mittelwerte

3.1.16 Proportionen

3.1.17 Absoluter Betrag

3.1.18 Zahlenbereiche



3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen

3.1.1 Vorwort Die Mathematik besteht aus Teilgebieten. Die drei wichtigsten sind:

Unser heutiges technisches Zeitalter wäre ohne die Mathematik nicht denkbar, deshalb ist sie die Grundlage für alle technischen Berufe. Die Lehre von den Zahlengrössen (Arithmetik) gliedert sich in:

1. das Rechnen mit bestimmten Zahlen, die im allgemeinen durch die arabischen Ziffern dargestellt wer-den (1; 2; 3; 4; ....)

2. das Rechnen mit Variablen, die üblicherweise durch Buchstaben dargestellt werden (a; b; c; ...) Die Lehre von den Raumgrössen gliedert sich in:

Die Grundlage dieses Gebäudes ist die menschliche Vernunft; das heisst, die Mathematik baut auf Grundsätzen (Axiome) auf, die beweislos vorausgesetzt werden. Einige lauten:

1. Jede Grösse ist sich selbst gleich. 2. Werden gleiche Grössen gleich behandelt, so ergeben sich gleiche Grössen. 3. Sind zwei Grössen einer dritten gleich, so sind sie auch untereinander gleich.

Alle anderen mathematischen Aussagen (Lehrsätze) müssen bewiesen werden, d.h. man muss sie auf bekannte Lehrsätze oder Grundsätze zurückführen.

1. Arithmetik (Lehre von den Zahlengrössen)

2. Algebra (Lehre von den Gleichungen)

3. Geometrie (Lehre von den Raumgrössen)

1. Die Lehre von den ebenen Flächen (Planimetrie)

2. Die Lehre von den Körpern (Stereometrie)

3. Die Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken (Trigonometrie)



3.1.2 Einteilung der Zahlen Zahlen werden in der Mathematik folgendermassen eingeteilt.

1−=j jz 32 +=

14212 ,=

4 4 2133

,=

1423 ,=π

71 82 ,e =

1−=j jz 32

BruchGanze Zahlen

Zahlen

Imaginäre Zahlen Reelle Zahlen Rein komplexe Zahlen

Rationale Zahlen Irationale Zahlen

Unechter Bruch

Dezimalbruch

Transzendentiationale ZahlenIrationale Zahlen

Echter Bruch

Stammbruch

14212 ,=

4 4 2133

,=

1423 ,

71 82 ,e

1. Wie werden die Zahlen 3, 7, -2 und -6 bezeichnet:

2. Zu welchen Zahlen behören 2,3 und 5,2:



3.1.3 Zahlenstrahl, Zahlengerade Unter Zahlengerade versteht man in der Mathematik die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Im Bild wurden die Orte der Punkte der ganzen Zahlen durch senkrechte Striche hervorgehoben. Die Zahlengerade ist eine Veranschaulichung des eindimensionalen euklidischen Vektorraums . Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen ℜ eine geordnete Menge ist. Die Zah-lengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden.

1 Die Zahlengerade kann auch für die Addition und Subtraktion von Zahlen oder Stecken verwendet werden. Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt werden.

3731 −=−+

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-3 -2-4-5-6-7-8-9-10

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 6 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 3 ZAHLENSTRAHL, ZAHLENGERADE


2 Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt wer-den.

=−+− 795

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-3 -2-4-5-6-7-8-9-10

3 Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt wer-den.

=+− 10168

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-3 -2-4-5-6-7-8-9-10



3.1.4 Massvorsätze Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruchteile von Dekaden verwendet.

Vorsatz Vorsatz-zeichen

Zehner-potenz

Vorsatz Vorsatz-zeichen

Zehner-potenz

Tera Dezi Giga Zenti Mega Milli Kilo Mikro

Hekto Nano Deka Piko

Femto

3.1.4.1 Abgeänderte Basis-Einheiten Ausser den unter den Basisgrössen aufgeführten Einheiten sind auch weitere - verkleinerte oder vergrösserte - Einheiten gesetzlich erlaubt.

Längen

Zeit

Strom

Gewicht



3.1.5 Das griechische Alphabet Das griechische Alphabet umfasst 24 Buchstaben.

Grossbuch-

staben Kleinbuch-

staben Translite-

ration Name

1. Α a

2. Β b

3. Γ g

4. ∆ d

5. Ε e

6. Ζ ζ z Zeta 7. Η ë (gespr. Ä)

8. th

9. Ι ι i Iota 10. Κ κ k Kappa 11. Λ l

12. Μ m

13. Ν ν n Ny 14. Ξ ξ x Xi 15. Ο ο o Omikron 16. Π p

17. Ρ r

18. s

19. Τ t

20. Υ υ y (gespr. ü) Ypsilon 21. ph (gespr. f)

22. Χ χ ch Chi 23. Ψ ψ ps Psi 24. õ

Geschichte unserer Buchstaben Das lateinische Alphabet wurde, über Vermittlung der Etrusker, aus dem westgriechischen Alphabet entlehnt. Das archaische lateinische Alphabet bestand aus 21 Buchstaben: A B C D E F Z H I K L M N O P Q R S T V X. Im deutschen Alphabet kommen noch die Buchstaben Ä ä, Ö ö und Ü ü sowie – außer in der Schweiz und Liech-tenstein – der Kleinbuchstabe ß hinzu. In zahlreichen Sprachen wurde das lateinische Alphabet um diakritische Zeichen ergänzt (z. B. å, é, ï, ò, û), um weitere sprachspezifische Laute darstellen zu können.

Der Buchstabe A ist der erste Buchstabe des Alphabets. Bei den Griechen hieß dieser Buchstabe “Alpha”. Der zweite Buchstabe des Alphabets hieß

“Beta”. Aus diesen beiden Buchstabennamen ist das Wort “Alphabet” zusammengesetzt.

Das moderne lateinische Alphabet enthält 26 Zeichen. Diese sind (in

Großbuchstaben): A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z; Und in Kleinbuchstaben: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n,

o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;



3.1.6 Prozent- und Promille

Prozentwert Der Prozentwert wird immer als Fak-tor vom Ganzen (100%) berechnet.

Differenzwert

Achtung Negativer Endwert bedeutet eine Abnahme gegen-über dem Grundwert. Positiver Endwert entsteht bei einer Zunahme des Grundwertes (Beispiele: Leistungszunahme, Span-nungszunahme und Temperaturzunahme).

G Grundwert G ist der angenommene 100%-Wert W Wert der mit dem Grundwert verglichen wird.

Wieviel in absolutem Betrag ist dieser Wert vom Grundwert

%w Prozentsatz [%]

‰P Promillsatz [‰]

w∆ Differenzwert Wieviel in relativem Betrag ist dieser Wert vom 100%-Wert

%w∆ Prozentsatz der

Differenz [%]

Praxisbeispie Beispiel 1 „Wirkungsgrad - Motorleistung“

21PPPV −=

1P

2P

1P

2P

M∼

%100%

⋅=Auf

Ab

P

Pη

„Differenzwert -Leistung“

%100

1

12

%⋅

−=∆

P

PPP

Beispiel 2 „Differenzwert - Spannungsabfall“

RL

U1

Bild 1.7.1

RV

RL

U2

VL

UL

VL

UL

V1 V2

I

%U

UUu% 100

1

21 ⋅−

=∆

Beispiel 3 „Differenzwert -Temperatur“

%% 100

20

20 ⋅−

=ϑ

ϑϑϑ∆

C°−= 20ϑϑ∆

Bild 1.2.1

ϑϑ20ϑ ϑ

R

Rϑ

R20

Rϑ

∆ϑ

∆R

∆R

∆ϑ

1P Anfangsleistung ]W[

2P Endleistung ]W[

VP Leistungsverluste ]W[

1U Anfangsspannung ]V[

2U Endspannung ]V[

u∆ Spannungsabfall ]V[

1ϑ Anfangstemperatur ]C[°

2ϑ Endtemperatur ]C[°

ϑ∆ Temperaturdifferenz ]C[°

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 10 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 6 PROZENTRECHNEN


1

Srassensteigung Eine Strasse steigt auf einer Länge von km,682 um m215 . Wie gross ist die Steigung in Prozent und Promille?

%,028

‰,280

2 Spannungsverbrauch Auf einer mit Gleichspannung betriebenen Leitung ist der Span-nungsverbrauch V23 .Wie gross ist der Spannungverbrauch in %, wenn die Spannung am Leitungsanfang V230 beträgt?

%23

Analoges Voltmeter



3 Versicherungskosten Nach der Lehre mieten Sie sich eine Wohnung. Die Wohnungsein-richtung (Möbel, TV, PC, CD’s, ….) hat einen Wert von Fr. 25'000.--. Wie viel Versicherungsprämie müssen Sie jährlich zahlen, wenn die Prämie auf ‰,53 des Wertes festgelegt ist?

Fr,587

4 Prozent- oder Promillewerte Berechnen Sie die entsprechenden Werte der nachfolgenden Auf-stellung (Rechnungsweg muss ersichtlich sein).

%,52 von −..Fr 125

%83 von l'2001

‰,80 von −.'.Fr 000500

‰15 von m'0002

.Fr,1253

l996

.Fr400

m30



5 Grundwert Berechnen Sie den jeweiligen Grundwert – dabei muss der Berech-nungsweg ersichtlich sein.

%53 , gW 350=

%12 , −= 1200.FrW

‰25 , VW 230=

g,4660

.Fr'00010

V'2009

6 Prozentsatz Berechnen Sie den jeweiligen Prozentsatz – dabei muss der Be-rechnungsweg ersichtlich sein.

kgG 12= , gW 750=

−= ..FrG 75 , −= 30.FrW

lG 20= , dlW 5=

%,256

%40

%25



7 Prozenwerte aus Brüchen Wandeln Sie die nachfolgenden Brüche in Prozentwerte um. (z.B. ½=50%)

=4

1

=4

3

=5

1

=5

3

=8

1

=25

1

=100

2

=1000

1

8 Farbe mischen Ein Maler will ein Zimmer mit weisser Farbe, welche einen leichten Orangeton aufweisen soll, streichen. Nach Herstellerangaben muss er %,51 rote Farbe zur weissen dazumischen. Wie viel rote Farbe in ml wird benötigt, wenn er 2 Liter weisse Farbe verwendet.

ml30



3.1.7 Mathematische Zeichen (nach DIN 1302)

Beschreibung Beispiel

+ plus, und 743 =+

- minus, weniger 235 =−

x ⋅ mal, multipliziert 1262 =⋅

: geteilt durch, dividiert 43

12=

= gleich 8311 +=

≡ identisch gleich 55 ≡

≠ ungleich, nicht gleich 75 ≠

≈ nahezu gleich, rund, etwa 333,031

≈

∞ unendlich ∞=01

< kleiner als 85 <

≤ kleiner als oder gleich ba ≤

> grösser als 17 >

absoluter Betrag 7

= entspricht Ncm 500ˆ1 = (z.B. in einer Zeichnung)

Wurzel aus 39 =

∑ Summe 4321

4

1aaaaa

ii

+++=∑=



3.1.8 Das Einmal-Eins der Zahlen

3.1.8.1 Kopfrechnen „EINMALEINS“ Serie 1 Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des „Einmaleinstrainings“ in 10 Minuten zu lösen.

158 ⋅ 184 ⋅ 66 ⋅ 560:7 9⋅125

106 ⋅ 212 ⋅ 12:12 320:40 8⋅125

1257 ⋅ 223 ⋅ 1212 ⋅ 480:60 7⋅125

184 ⋅ 233 ⋅ 88:11 180:3 3⋅125

253 ⋅ 224 ⋅ 9⋅23 720:90 3⋅24

307 ⋅ 119 ⋅ 28:4 450:9 9⋅15

204 ⋅ 125 ⋅ 7⋅88 240:40 16⋅2

1256 ⋅ 117 ⋅ 560:8 240:8 190⋅2

189 ⋅ 134 ⋅ 80⋅6 420:6 350⋅2

187 ⋅ 207 ⋅ 480:6 540:90 360⋅2

128 ⋅ 247 ⋅ 50⋅9 630:7 370⋅2

129 ⋅ 158 ⋅ 390:3 180:9 470⋅2

99 ⋅ 177 ⋅ 110⋅7 210:3 70⋅100

74 ⋅ 809 ⋅ 480:12 480:80 10:1000

55 ⋅ 309 ⋅ 15⋅6 280:4 90⋅90

156 ⋅ 230 ⋅ 150:5 560:80 70⋅70

175 ⋅ 256 ⋅ 5⋅8 320:8 300:2

194 ⋅ 640 ⋅ 40:10 210:7 320:2

168 ⋅ 670 ⋅ 44:11 720:8 2⋅125

167 ⋅ 680 ⋅ 4⋅75 240:60 480:2

195 ⋅ 6090 ⋅ 300:5 63:9 560:2

124 ⋅ 370 ⋅ 9⋅11 280:7 2⋅225

154 ⋅ 74 ⋅ 180:3 350:5 2⋅335

176 ⋅ 706 ⋅ 7⋅20 360:4 2⋅499

138 ⋅ 770 ⋅ 250:5 99:11 780:2

66 ⋅ 78 ⋅ 400⋅2 100:10 58:2

68 ⋅ 807 ⋅ 240:2 49:7 9⋅25

62 ⋅ 790 ⋅ 12⋅9 25:5 980:2

1258 ⋅ 808 ⋅ 15⋅10 36:6 3⋅110

67 ⋅ 1259 ⋅ 336:3 16:4 700:2

1253⋅ 1258 ⋅ 22⋅2 126:3 75⋅8

254 ⋅ 3:300 17⋅9 648:8 13⋅13

246 ⋅ 5:400 50:2 153:3 14⋅14

1010 ⋅ 246 ⋅ 35⋅2 819:9 12⋅12

32 ⋅ 10100 ⋅ 7⋅16 486:6 9⋅13

132 ⋅ 320 ⋅ 2⋅24 36:6 5⋅125

105 ⋅ 1302 ⋅ 6⋅6 240:3 333:3

183 ⋅ 1005 ⋅ 990:11 90:30 222:2

187 ⋅ 830 ⋅ 100⋅11 140:20 190:2

146 ⋅ 8125⋅ 11⋅11 600:5 12⋅12

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 16 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 8 EINMALEINS DER ZAHLEN



8⋅7 4⋅8 2⋅6 560:7 11⋅11

6⋅8 2⋅11 12:4 320:40 8⋅16

7⋅6 3⋅12 6⋅12 480:60 7⋅18

4⋅8 3⋅13 88:11 180:3 3⋅19

3⋅9 4⋅12 9⋅3 720:90 3⋅20

7⋅3 9⋅11 28:4 450:9 4⋅15

4⋅9 5⋅12 7⋅8 240:40 16⋅2

6⋅9 7⋅11 56:8 240:8 19⋅2

9⋅6 4⋅13 8⋅6 420:6 35⋅2

7⋅8 7⋅20 48:6 540:90 36⋅2

8⋅8 7⋅19 5⋅9 630:7 37⋅2

9⋅8 8⋅15 39:3 180:9 47⋅2

9⋅9 7⋅17 11⋅7 210:3 7⋅100

4⋅7 9⋅80 48:12 480:80 10:1000

5⋅5 9⋅30 5⋅6 280:4 8⋅90

6⋅5 30⋅2 15:5 560:80 70⋅5

5⋅7 6⋅30 5⋅8 320:8 300:2

4⋅8 40⋅6 40:10 210:7 320:2

8⋅6 70⋅6 44:11 720:8 2⋅95

7⋅6 80⋅6 4⋅7 240:60 480:2

5⋅9 9⋅60 30:5 63:9 560:2

4⋅6 70⋅3 9⋅11 28:7 2⋅225

3⋅8 4⋅7 18:3 35:5 2⋅335

6⋅9 6⋅70 7⋅9 36:4 2⋅499

8⋅9 70⋅7 25:5 99:11 780:2

6⋅6 8⋅7 4⋅2 100:10 58:2

8⋅6 7⋅80 240:2 49:7 3⋅25

2⋅6 90⋅7 2⋅9 25:5 980:2

8⋅3 8⋅80 5⋅10 66:6 3⋅110

7⋅6 9⋅8 36:3 16:4 700:2

3⋅3 8⋅6 2⋅2 12:3 70⋅8

4⋅5 30:3 17⋅2 64:8 6⋅13

6⋅4 400:5 50:2 15:3 7⋅14

10⋅10 6⋅4 35⋅2 81:9 10⋅12

2⋅3 100⋅10 7⋅6 48:6 9⋅13

2⋅13 20⋅3 2⋅4 36:6 5⋅70

5⋅10 2⋅130 3⋅6 240:3 333:3

3⋅8 5⋅100 99:11 90:30 222:2

7⋅8 30⋅8 10⋅11 140:20 190:2

6⋅9 7⋅8 11⋅11 60:5 12⋅12

TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 17 3 MATHEMATIK 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA GRUNDLAGEN 8 EINMALEINS DER ZAHLEN



12⋅15 4⋅18 6⋅16 560:7 9⋅125 12⋅10 12⋅21 12:12 320:40 8⋅125 8⋅125 3⋅22 12⋅12 480:60 7⋅125 11⋅18 3⋅23 88:11 180:3 3⋅125 15⋅25 4⋅22 9⋅20 720:90 12⋅24 7⋅30 11⋅11 284:4 450:9 11⋅15

18⋅20 5⋅12 7⋅88 240:40 16⋅2 6⋅125 7⋅11 560:8 240:8 190⋅2 9⋅18 4⋅13 80⋅6 420:6 350⋅2 7⋅18 7⋅20 480:6 540:90 360⋅2 8⋅12 7⋅24 50⋅9 630:7 370⋅2 9⋅12 8⋅15 390:13 180:9 470⋅2 19⋅9 7⋅17 110⋅7 210:3 70⋅100 14⋅7 9⋅80 480:12 480:80 1000:10 15⋅5 9⋅30 15⋅15 280:4 90⋅90

15⋅15 30⋅2 150:5 560:80 70⋅70 5⋅17 6⋅25 5⋅18 320:8 3000:2 4⋅18 40⋅6 40:10 210:7 3200:2 8⋅16 70⋅6 400:10 720:8 20⋅125 7⋅16 80⋅6 4⋅75 240:60 480:2

15⋅19 9⋅60 300:5 63:9 560:2 12⋅12 70⋅3 9⋅11 280:7 2⋅225 15⋅15 4⋅17 180:30 350:5 2⋅335 6⋅15 6⋅70 70⋅20 360:4 2⋅499 812 70⋅70 250:5 990:11 780:2 6⋅6 80⋅7 400⋅2 100:10 580:2 8⋅8 7⋅80 240:2 490:7 19⋅25 2⋅2 90⋅7 120⋅9 250:5 980:2

9⋅125 80⋅80 15⋅10 360:6 11⋅110 7⋅16 9⋅125 336:3 160:4 700:2

3⋅125 8⋅125 22⋅20 126:3 75⋅8 4⋅25 300:3 17⋅9 648:8 13⋅13 6⋅24 400:5 500:2 153:3 14⋅14

10⋅10 6⋅24 350⋅2 819:9 12⋅12 2⋅3 100⋅10 7⋅16 486:6 9⋅13

13⋅13 20⋅20 2⋅24 360:6 5⋅125 15⋅10 2⋅130 20⋅24 240:30 333:3 3⋅18 5⋅100 990:11 90:30 222:2 7⋅18 300⋅8 100⋅11 140:20 190:2 6⋅14 125⋅8 11⋅11 600:5 12⋅12



3.1.9 Lampeneinteilung in einem Raum



3.1.10 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse



3.1.11 Natürliche Zahlen und Bruchzahlen Geschichte unserer Ziffern Der deutsche Gelehrte Gerbert de Aurillac (945 gebo-ren) rechnet als erster mit arabischen Ziffern, die er in der spanischen Grenzmark kennengelernt hat – also mit den Zahlen „Westarabiens“. Diese fanden sehr schnell Eingang in die europäischen Gelehrtenstuben – die Null wurde erst im 12. Jahrhundert in die westliche Mathematik eingeführt („Null“ oder „leer“ ist die arabi-sche Übersetzung des (indischen) Sanskritwortes su-nya , welches die gleiche Bedeutung hat). Kurz nach der Übernahme durch Gerbert „starb“ die westarabische Schreibweise der Ziffer aus und wir sind auf der ostarabischen Schreibweise der Ziffern „sitzen-geblieben“ .

Die Synthese griechischer und indischer Wissenschaft (mit babylonischen

Erkenntnissen gewürzt) legte den Grundstein der arabischen Gelehrsamkeit und Wissenschaft, die in der Zeit vom 8. bis zum 12. Jahrhundert die glän-

zenste Periode erlebte.

Das arabische Reich teilte sich im 13. Jahrhundert in zwei Teile – der ostarabische Teil mit seinem Zentrum Bagdad und Damaskus und der

westarabische Teil mit seinem kulturellem Zentrum in Cordova.

So nahmen auch die Zahlen zwei unterschiedliche Entwicklungen. Die west-arabische Ausprägung und die ostarabische Ausprägung.

1. Mit Hilfe der zehn kann man alle natürlichen Zahlen

darstellen.

2. Zum Zählen benutzt man .

3. Jede Zahl besteht aus einer oder mehreren .

4. Schreiben Sie die zehn arabischen Ziffern nebeneinander auf.

5. Man nennt die Zahlen, die man zum Zählen der Dinge benutzt

Zahlen.

6. Natürliche Zahlen sind immer Zahlen.

7. Buchstaben sind natürlichen Zahlen.

8. Buchstaben sind , Platzhalter für Grössen.

9. Der Ausdruck 0,25 ist natürlichen Zahlen, sondern ein .

10. Die Zahl 29 ist natürlichen Zahlen, und besteht aus zwei .

11. Der Ausdruck 65 ist keine Zahlen, sondern ein .

12. Der Wert 5170 ist eine Zahl. .

13. Welche nachfolgenden Zahlen sind

0,3; 121; 7

5;

2

12 ;

9

1; 3; 5600 natürliche Zahlen.


11 NATÜRLICHE ZAHLEN UND BRUCHZAHLEN


14. Welche Zahlen der folgenden Zahlenreihe sind keine natürlichen Zahlen und wie werden alle acht Zahlen bezeichnet?

Zahl Antwort 1 Antwort 2

17

3

12

4,24

2

10

9

1500

5

7

π

15. Bezeichnen Sie die Grössen eines Bruches:

5

7

16. Brüche mit dem Zähler eins sind .

17. Schreiben Sie Stammbrüche auf:

18. Eine bildliche Darstellung von Zahlen nennt man auch .



3.1.12 Zahlengrössen

19. Zahlen in Verbindung mit Einheiten heissen

20. Das Ergebnis einer Grösse besteht aus Teilen:

3 Kilogramm 3 kg

+ =

21. Die Grösse „7 kg“ hat die Einheit .

22. Die Grösse „30 Fr.“ hat den Wert .

23. Bei der Grösse „12,7 min.“ ist die Einheit und

der Zahlenwert .

24. Die natürlichen Zahlen und die positiven Bruchzahlen nennt man zusammen

.

25. Grössen entstehen durch Messen, z.B.: cm15 , kg12 , .min20 , 215m und K284 .

Welche der folgenden Angaben sind durch Messen entstanden:

8 Tische 314m

215dm 3 Planeten

m7 24 ΩΩΩΩ

19 Bücher 36 V

kg,56 2 Leitern

26. Welches der nachfolgenden Werte sind gleichartige Grössen, die zusammengefasst werden können?

.Fr7 K145

kg5 kg25

mc17 200 g

kg16 20 mg

C°205 1 MΩΩΩΩ Zusammenfassung:


12 ZAHLENGRÖSSEN


27. Die Angabe 2

13 ist eine:

Zahl Dezimalbruch

Grösse Positive rationale Zahl

Gemischte Zahl Stammbruch

Echter Bruch Bestimmte Zahl

Unechter Bruch

28. Ist cm17 eine Zahl oder eine Grösse?

29. Unterscheiden Sie zwischen Grössen und Zahlen bei den nachfolgenden Angaben:

Werte Zahl Grösse

120,

29cm

.min3

4

13

.Fr21

211,

K,14273

1200



3.1.13 Symbole für Zahlen

1. Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen,

werden immer Länge und Breite miteinander

multipliziert. Diese Gesetzmässigkeit kann man

auch durch Symbole, z.B. Buchstaben, ausdrücken:

Berechnung in Worten.

a Länge ]m[

b Breite ]m[

A Fläche ]m[ 2

Formelgleichung

2. Wie nennt man die Buchstaben in Gleichungen: .

3. In Zukunft werden wir diese Buchstaben nennen.

4. Die Zahlen 7

1, .min4 , cm,615 , 16 heissen Zahlen.

5. Die Buchstaben a , b , c , d , x , y , usw. nennt man .

6. Welche der folgenden Angaben sind Variablen?

.Fr4 120,

15 24m

a β

5

13

P

x

7. Für den Rauminhalt eines Zimmers gilt:

Berechnung in Worten.

Die gegebene Gesetzmässigkeit soll durch Variablen ausgedrückt werden und dabei sollen in der Endformel folgende Platzhalter verwendet werden: l , b , h und V

l Länge ]m[

b Breite ]m[

h Höhe ]m[

V Volumen, Rauminhalt ]m[ 3

Formelgleichung


13 SYMBOLE FÜR ZAHLEN


8. Berechnen Sie die Fläche A eines Dreiecks für:

cmc 15=

cmhC 6=

Ch Ch

c Grundseite ]m[

Ch Höhe auf der Seite c ]m[

A Fläche ]m[ 2

9 Variablenwerte einsetzen Berechnen Sie die Masse m der folgende algebraische Gleichung ( cba ++ ) durch einsetzen der Variablenwerte: kga 5= , kgb 6= und

kgc 8= .


13 SYMBOLE FÜR ZAHLEN


10 Einsetzen von mehreren Werten in Variablen Berechnen Sie die nachstehende Aufgabe indem Sie für 5=x , 3

1=y ,

4=a , 02

=y und 7=z einsetzen.

=+++++21

yzxayx



3.1.14 Grafische Darstellungen Die Basis aller grafischen Darstellungen ist die Wertetabelle. Aus der Wertetabelle wird anschliessend ein Diagramm erstellt. Die drei wichtigsten Diagrammtypen sind nachfolgend anhand je eines Beispiels dargestellt.

Liniendiagramm

t

sv =

[h]

t

0

S[km]

1 2 3

4

8

12

16

20

t

sv =

Durch Liniendiagramme können Funktionen und Messungen veran-schaulicht werden.

Balken- / Säulendiagramm

Ein Säulendiagramm (vertikal) oder ein Balkendiagramm (horizontal) wird meistens für einfache Vergleiche verwendet.

Tortendiagramm

Tortendiagramme dienen zum Aufzeigen der prozentualen Verteilung ausgehend vom Grundwert (100%).

Sankey-Diagramm

Ein Sankey-Diagramm ist eine graphische Darstellung von

Mengenflüssen. Anders als beim Flussdiagramm werden die Mengen durch mengenproportional dicke Pfeile dargestellt.

Sankey-Diagramme sind wichtige Hilfsmittel zur Visualisierung von Energie- und Materialflüssen sowie von Ineffizienzen und

Einsparpotenzialen im Umgang mit Ressourcen.

Energiekonzept für ein Gebäude



3.1.15 Mittelwerte

3.1.15.1 Atithmetische Mittelwert Merke:

Arith- metrisches Mittel

Praktische Anwendung

Mittlerer Durchmesser einer Spule

di

da

dm

3.1.15.2 Geometrische Mittelwert Merke:

Geo- metrisches Mittel

Nr. 1

Hzf 3001

= Hz'f 30032

=

H zf 9950

=

Hzf 3001

= Hz'f 30032

=

H zf 9950

=

Telefonübertragungsbereich in logarithmischer Einteilung. Die Mittenfrequenz ist 995 Hz. Der Abstand von 300 Hz bis 995 Hz ist gleich dem Abstand von 995 Hz bis 3300 kHz. Der Frequenzbereich 300 Hz bis 3,3 kHz ist die Bandbreite der Übertragung von 3 kHz. Manchmal geht der Telefonbereich sogar bis 3,4 kHz.

Nr. 2

Hzf 201

= Hz'f 000202

=Hz,f 56320

=Hzf 201

= Hz'f 000202

=Hz,f 56320

=

Hörbereich in logarithmischer Einteilung. Der Abstand von 20 Hz bis 632 Hz ist gleich dem Abstand von 632 Hz bis 20 kHz. Siehe die angegebenen Punkte.

Praktische Anwendung Nr. 1

Als Beispiel wurden hier die Grenz-frequenzen einer Telefonübertra-

gung vorgegeben: f1 = 300 Hz und f2= 3300 Hz, wobei die richtige Mittenfrequenz f0 = 995 Hz als

geometrisches Mittel ist und nicht die 1800 Hz der Berechnung des

arithmetischen Mittels. Was für ein Unterschied!

Praktische Anwendung Nr. 2

Der Hi-Fi-Hörbereich ist von f1 = 20 Hz und f2 = 20000 Hz angegeben, wobei die richtige Mittenfrequenz f0=632,5 Hz - als geometrisches

Mittel ist und nicht die 10,010 kHz aus der Berechnung des arithmeti-

schen Mittels. Dieses ist häufig nicht klar!



3.1.16 Proportionen Merke: Das Produkt der äusseren Glieder einer Proportion

ist gleich dem Produkt der innenren Glieder.

1 Man zerlege die Zahl 63 in zwei Teile, die sich zueinander wie 86 :y:x = verhalten.

27=x

36=Y


16 PROPORTIONEN


2 Die Differenz aus 12 und einer Zahl verhält sich zur Summe aus 18 und der gleichen Zahl wie 34 : . Wie heisst die Zahl x ?

3 Die Luft besteht aus Sauerstoff und Stickstoff, und zwar im Gewichtsver-hältnis von 7624 : . Wieviel Gramm beider Gase sind in kg4 Luft enthalten?


16 PROPORTIONEN


4 Wieviel wiegt ( Om , Nm ) der in einem Zimmer von m,l 54= Länge, m,b 53= Breite und mh 4= Höhe enthaltene Sauerstoff ( O ) und der

Stickstoff ( N ), wenn das Gewicht von l1 Luft l/g,'mL 31= beträgt und das Gewichtsverhältnis von Sauerstoff zu Stickstoff den Wert 7624 : hat?

5 Ein Behälter enthält l450 Wasser und wird bei geöffnetem Hahn in 12 Minuten gefüllt. Wieviel Liter Wasser waren in dem Behälter nach 7 Minuten?


16 PROPORTIONEN


6 Ein Verkehrsflugzeug mit h/km420 legt einen Weg in .min55 zurück. Wieviel Zeit braucht eine neuzeitliche Reisemaschine mit h/km850 für diesen Weg?

7 Für g100 Lot braucht man g90 Zinn und g10 Blei. Wieviel g Zinn und Blei sind in kg,54 Lot enthalten?

Lötzinn mit Sn/Pb-

Verbindung

Lötkolben


16 PROPORTIONEN


8 Die Drehzahl zweier Riemenscheiben A und B verhalten sich wie 204 zu 286 . Welches Verhältnis steht zwischen den Durchmessern? Wie gross ist der Durchmesser von A , wenn der von B mm240 be-trägt?

9 Ein Elektromotor mit einer Drehzahl von min/11400 und einer Rie-menscheibe von mm120 ∅ treibt eine Bohrmaschine mit einer Rie-menscheibe von mm340 . Wieviel Umdrehungen macht der Bohrer?

Einzelteile der Ständerbohrmaschine

1 Fuß, Arbeitstisch 2 höhenverstellbarer Bohrtisch 3 Feststellhebel für die Höhenverstel-

lung 4 Maschinenschraubstock 5 Bohrer 6 Bohrfutter alter Art (spannen mit Bohrfutterschlüssel) 7 Vorschubhebel 8 Elektromotor 9 Spannvorrichtung für die Keilriemen 10 Gehäuse mit "Gangschal-

tung" aus verschieden gro-ßen Riemenscheiben

11 grün: einschalten rot: ausschalten 12 Tiefenanschlag

NIN __________

Wenn der Nottaster nicht an der Maschine vorhanden ist, sollte die

Stromzufuhr an anderer Stelle in der Nähe der Bohrmaschine mit einem

Nottaster unterbrochen werden können


16 PROPORTIONEN


10 Ein Elektromotor mit einer Drehzahl von min/11440 soll eine Schleif-scheibe von mm60 ∅ antreiben. Die Schleifscheibe soll laut Anga-ben auf dem Pappring eine Umfangsgeschwindigkeit von s/m30 haben, ihre Riemenscheibe hat mm40 ∅. Welchen Durchmesser muss die Riemenscheibe des Motors erhalten?

11 Ein Elektromotor mit min/1960 hat ein Zahnrad mit 30 Zähnen. Über ein zweites Zahnrad mit 300 Zähnen treibt er eine Kurbelwelle an. Das Zahnrad auf der Kurbelwelle hat 48 Zähne. Wie hoch ist die Drehzahl der Kurbelwelle? Wie gross ist das Gesamtübersetzungs-verhältnis?


16 PROPORTIONEN


12 Auf einer Zeichnung mit dem Massstab 201 : werden folgende Mas-se gemessen: cm,43 , cm,65 , mm12 und cm,815 . Wie gross sind die Masse in Wirklicheit?

13 Ein Tauchsieder erzeugt bei einer Stromstärke von AI 21

= eine Wärmemenge JQ 3433

1= . Berechnen Sie die Qärmemenge

2Q , die

ein Tauchsieder bei einer Stromstärke A,I 542

= erzeugt. (Bei glei-chem Widerstand ist die in einem Leiter erzeugte Wärmemenge dem Quadrat der Stromstärke verhältnisgleich: 2

2

2

121I:IQ:Q = )



3.1.17 Absoluter Betrag Unter dem absoluten Betrag einer Zahl a versteht man ihren Wert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen,

geschrieben a .

3.1.17.1 Rechenregeln a) a b a b± ≤ +

b) a b a b± ≥ −

c) a b a b− ≤ − a b a b− ≤ ± a b a b± ≤ +

d) a b a b⋅ = ⋅

e) a

b

a

b=



3.1.18 Zahlenbereiche


18 ZAHLENBEREICHE


Beispiel 1

Durch x < 3 wird verlangt, dass x nur Werte zwischen -3 und +3 annehmen darf (Intervall):

− < <3 3x Beispiel 2

Durch x a− ≤ ε wird ein abgeschlossenes Intervall der Breite 2ε in der Umgebung des Wertes a (Punktes a) gekennzeichnet. Beispiel 3

Die Gleichung a b a b+ ≥ + wird auch als Dreiecksungleichung bezeich-net. Sie besagt, dass die Summe zweier Dreiecksseiten stets grösser als die dritte Seite ist.


18 ZAHLENBEREICHE


Beispiel 4

Gesucht ist die grafische Darstellung von: x y+ ≤ 4 Y

X

1 2 3 4 5 6 7 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7


18 ZAHLENBEREICHE


Beispiel 5

Gesucht ist die grafische Darstellung von: y x= ⋅2

Y

X

1 2 3 4 5 6 72-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

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