05spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1.amazonaws.com/bcv/guide/... · 05 El corrent altern...

05El corrent altern

Gairebé tota l’energia elèctrica que s’utilitza avui dia és alterna, ja que presenta, respecte al

corrent continu, un seguit d’avantatges com són la generació, el transport i la distribució.

Una de les principals raons que ha influït en la seva utilització és que l’energia elèctrica

alterna es pot elevar a voltatges alts amb transformadors de manera que l’energia que es

perd per transportar-la a llargues distàncies és molt petita. És per aquesta raó que la majo-

ria dels aparells de consum funcionen amb aquest tipus de corrent.

En aquesta unitat estudiarem com es genera un corrent altern i quin comportament tenen

els components passius estudiats (resistor, condensador i bobina) en un circuit amb corrent

altern.

5.1 El corrent alternEl corrent altern és aquell el valor i sentit del qual van canviant en funció del temps.

Una de les aplicacions de l’electromagnetisme és la generació de corrents induïts; per tal d’acon-seguir-los és necessari mantenir constantment una variació de flux magnètic sobre el conductor.

El generador o alternador més senzill de corrent altern consisteix en una espira o bobina que esfa girar a l’interior d’un camp magnètic uniforme (fig. 5.1), i on l’expressió de la FEM obtingu-da i de la εmàx. és:

ε = εmàx. sin ω t εmàx. = N ω S B

Si observem l’expressió de la FEM, podem veure que depèn del sinus de l’angle que forma a ca-da instant l’espira o bobina respecte al camp magnètic; per això el corrent altern obtingut es

denomina sinusoïdal.

Els valors de la intensitat i el voltatge en un circuit amb corrent altern s’expressen en minús-cules, per diferenciar-los dels valors de corrent continu, de la manera següent:

i = Imàx. sin ω t

v = Vmàx. sin ω t

A. Representació de magnituds sinusoïdals

Si fem girar un vector →V amb el seu origen en el punt o en sentit antihorari i amb una velocitat cons-

tant ω, la component Y del vector en un instant determinat estarà definida per l’expressió:

YV = V sin ω t

L’expressió obtinguda és similar a la FEM induïda, i és per aquesta raó que el valor del correntaltern sinusoïdal el podem representar com la projecció en l’eix d’ordenades d’un vector rotatiuo fasor (fig. 5.2).

5. El corrent altern5.1 El corrent altern

05122

Fig. 5.1. Generador de corrent altern


05123

Si dibuixem ara tres vectors rotatius →A,

→B i

→C, amb un mateix origen o, i els fem girar a una matei-

xa velocitat, obtindrem per un mateix instant de temps tres projeccions o valors diferents (fig. 5.3):

YA = A sin ω tYB = B sin (ω t + ϕ1)YC = C sin (ω t – ϕ2)

On ϕ1 representa l’angle que ha recorregut→B quan ha començat a girar

→A i ϕ2 representa l’an-

gle que li falta per recórrer a→C quan

→A comença a girar.

Els valors d’aquests angles s’anomenen diferència de fase o desfasament entre els vectors.

El vector →B estarà avançat un angle ϕ1 respecte al vector

→A.

El vector →C estarà retardat un angle ϕ2 respecte al vector

→A.

Si dos dels vectors coincideixen en la seva representació gràfica direm que estan en fase.

Fig. 5.2. Representació de funcions sinusoïdals per vectors o fasors

!

!

"

#

#$###

#$##

#$##

! "

!

"#$# ###$

%

Fig. 5.3

##$###&#'# (

"

#$##

#$##&#'#(

%

!

B. Paràmetres del corrent altern

Prenguem com a exemple per explicar els paràmetres d’un corrent altern la tensió sinusoïdal quetenim a casa nostra, representada en la figura 5.4.

Valor màxim (Vmàx., Imàx.). Com indica la seva denominació, és el valor més elevat a què potarribar l’ona sinusoïdal. En el nostre exemple aquest valor és de 325,27 V.

Valor instantani (v, i). És el valor que pot prendre el senyal altern en cada instant de tempsi està donat per l’expressió:

v = Vmàx. sin ω t

Valor mitjà (Vm, Im). És un valor independent del temps i s’anomena també valor mitjàaritmètic. Aquest només s’ha de referir a una de les alternances, ja que si les consideréssimtotes dues el valor seria zero.

Vm =

Aquest valor equival a trobar l’alçada d’un rectangle la base i superfície del qual siguin igualsa la de l’alternança. Com que es tracta d’un senyal sinusoïdal, el valor serà:

Vm = Vmàx. = 0,636 Vmàx.

En el nostre cas, aquest valor serà de:

Vm = 0,636 · 325,27 V = 206,87 V

Valor eficaç (Vef, Ief o V, I). El valor eficaç d’un corrent altern equival al valor d’un correntcontinu que, en passar per una resistència, produeixi els mateixos efectes calorífics queaquesta en forma variable. Utilitzarem el valor eficaç per realitzar els diferents càlculs. És elvalor que mesuren els diferents aparells de mesura.

2π

v1 + v2 + v3 + .... + vnn


05124

Fig. 5.4. Diferents paràmeters del corrent altern

) !) ) !) #*+

) !

' ) !

*,+

#$#-##

-


05125

Es demostra matemàticament que per a un senyal sinusoïdal aquest valor equival a:

Vef =

El valor de la tensió eficaç en el nostre habitatge és de:

Vef = = = 230 V

Període (T). És el temps que s’inverteix a completar un cicle. En l’alternador descrit ante-riorment, el període equival al temps que trigaria l’espira a donar una volta completa. En elnostre exemple el període és:

T = 20 ms

Freqüència (f). És el nombre d’oscil·lacions o cicles que es produeixen en una unitat detemps i es mesura en cicles/s o hertzs (Hz).

f =

En l’exemple anterior:f = = 50 c/s o 50 Hz

El valor de la freqüència està relacionat directament amb la velocitat angular (ω) amb quègira l’alternador. Si una volta completa equival a un angle de 2 π radiants i triga un temps Tequivalent al període, tenim que:

ω = rad/s

ω = = 2 π f2 π1/f

2 πT

120 ms

1T

325,27 V

2Vmàx.2

Vmàx.2

Activitats

1> Representa gràficament sobre un paper mil·limetrat lafunció v = 10 sin ω t.

2> Sabent que la freqüència en la xarxa elèctrica americanaés de 60 Hz, calcula’n el període.

3> Donada la representació gràfica de la figura 5.5, calculaImàx., Imitjana, I, T i f.

) !) #*+

*+

Fig. 5.5

5.2 Circuits de corrent altern amb un component passiu

En aquest apartat estudiarem com es comporten els diferents components passius (resistor, con-densador i bobina) quan se’ls aplica una tensió alterna en els extrems.

A. Impedància i llei d’Ohm

En els circuits de corrent altern tota oposició al pas del corrent es denomina de manera gene-ral impedància i es representa per la lletra Z. Quan el circuit està constituït per una resistèn-cia pura, el valor de la impedància coincideix amb el valor de la resistència R. Si el circuit estàformat per condensadors i bobines, la seva impedància dependrà de la freqüència.

Si en l’expressió de la llei d’Ohm substituïm R per Z, aquesta ens servirà per als circuits de correntaltern.

I = V/Z

B. Circuit amb resistència òhmica pura

Si apliquem una tensió sinusoïdal a un circuit amb resistència pura (fig. 5.6), la intensitat que cir-cula per aquest circuit és variable i en tot moment és proporcional a la tensió que subministra elgenerador. Per calcular-la podem aplicar la llei d’Ohm. La tensió als extrems de la resistència serà:

Vmàx. sin ω t = εmàx. sin ω t

i = = · sin ω t = Imàx. sin ω t

A la pràctica, moltes vegades treballem amb valors eficaços de tensió i corrent, ja que:

Imàx. = → R = = =

En aquest cas, la impedància del circuit coincideix amb el valor de la resistència.

La figura 5.7 ens mostra la representació gràfica de la tensió i la intensitat que travessa la re-sistència amb els seus respectius fasors (tensió i intensitat instantània); com que no hi ha des-fasament entre les dues direm que es troben en fase.

VI

Vmàx./2Imàx./2

Vmàx.Imàx.

Vmàx.R

Vmàx.R

Vmàx. sin ω t

R

5. El corrent altern5.2 Circuits de corrent altern amb un component passiu

05126

Fig. 5.6. Circuit amb resistència pura

$#-.##

Fig. 5.7. Valors instantanis de la tensió i intensitat en un circuit amb resistència pura: a) diagramavectorial; b) diagrama sinusoïdal

#*,+)# #*+( (

*+

-

#-

-

-

Les unitats en què s’expressa Z sónohms (Ω)


05127

La potència instantània dissipada en la resistència és:

p = v i = Vmàx. · sin ω t · Imàx. · sin ω t = Pmàx. · (sin ω t)2

D’acord amb l’expressió obtinguda veiem que la potència és proporcional a (sin ω t)2 i, per tant,en elevar els valors negatius del sinus al quadrat en resultarà que la potència sempre és positi-va. En la figura 5.8 pots veure la seva representació gràfica.

Per calcular la potència mitjana al llarg d’un cicle o més, hem de calcular la mitjana de totsaquests valors instantanis. Per a això fixem-nos en la figura 5.9, on pots comprovar que tenimtot un conjunt d’àrees iguals que ens faciliten el treball.

Pmitjana = = = · = V I

D’aquesta expressió es dedueix que el valor eficaç d’un senyal sinusoïdal és de 1/2.

C. Circuit amb autoinducció pura

Quan en un circuit de CA tenim una bobina o autoinducció i aquesta és recorreguda per un correntvariable, es crea un flux magnètic variable que talla els seus propis conductors, i crea una força con-traelectromotriu ε’ que s’oposa a l’increment o disminució del corrent i, que provoca un efecte deretard en el corrent elèctric respecte a la tensió.

ε’ = –L∆i∆t

Imàx.2

Vmàx.2

Vmàx. · Imàx.2

Pmàx.2

Fig. 5.8. Potència instantània

! "

#$#-#-# #

Fig. 5.9. Potència mitjana

-

/0

#$#-# #

# #

"

- 1

1

1

Fig. 5.10

2# #34 5#6#7

5#%% #6#7

Si apliquem al circuit l’equació de malles (Σε = Σ R i) i considerem que la resistència del bobi-nat de la bobina és menyspreable, ja que hem considerat que es tracta d’una inductància pura,R = 0, tindrem:

ε – L = 0

ε = L = εmàx. sin ω t

Si aïllem el valor de i per càlcul diferencial tindrem:

i = – cos ω t = sin (ω t – 90°)

L’expressió anterior ens indica que la intensitat que recorre la bobina està retardada un anglede 90° o π/2 radiants respecte a la tensió que hi ha entre els seus extrems.

Imàx. =

On el valor de ω L es denomina reactància inductiva (XL) i és la impedància del circuit (es me-sura en ohms).

XL = ω L

XL = 2 π f L

El valor de la reactància inductiva depèn de la freqüència, creix amb aquesta i per a freqüènciesmolt baixes es pot considerar un curtcircuit (fig. 5.11).

La figura 5.12 et mostra la representació gràfica de la intensitat i la tensió en els extrems de labobina.

La potència instantània dissipada en la bobina serà:

p = v i = εmàx. sin ω t Imàx. cos ω t = sin 2 ω t

Com pots observar per l’expressió obtinguda, aquesta oscil·la amb una freqüència angular 2ω.En la figura 5.13 tens la seva representació gràfica; la potència mitjana subministrada pel ge-nerador a la bobina és 0, ja que la bobina en un semicicle emmagatzema energia i en l’altre lacedeix al circuit.

Pmàx.2

Vmàx.ω L

εmàx.ω L

εmàx.ω L

∆i∆t

∆i∆t


05128

Fig. 5.11. Variació del valor de la reactància induc-tiva en funció de la freqüència

#*+

*89+

Fig. 5.13. Gràfica de la potència en una autoin-ducció

"

:; %4

:; 04

!

Fig. 5.12

$#-

-

6#

" !

#*,+)# *+


05129

D. Circuit capacitiu pur

En aplicar una tensió alterna a un condensador, durant el primer semicicle (+), com que aquestinicialment està totalment descarregat, hi apareix un elevat corrent de càrrega que va dismi-nuint a mesura que el condensador es carrega i la tensió augmenta en els seus extrems. Quanla càrrega està completa, la tensió en els seus extrems arriba al valor màxim i el corrent s’a-nul·la. Si en aquest moment la tensió aplicada al circuit disminueix, el condensador es desca-rrega mentre que la intensitat, ara en sentit contrari, augmenta de zero fins al valor màxim.

En el segon semicicle (–), la tensió aplicada canvia de polaritat i es repeteix exactament tot elprocés de càrrega i descàrrega, però en sentit oposat.

El valor de la intensitat instantània que recorre el circuit (fig. 5.14) serà:

i = = = C = C

Per càlcul diferencial obtenim que: i = C ω Vmàx. cos ω t = C ω Vmàx. sin (ω t + 90°)

En aquest cas, el corrent està avançat respecte al voltatge a extrems del condensador.

Imàx. = C ω Vmàx.

La relació entre els dos valors màxims és: =

L’expressió es denomina capacitància o reactància capacitiva (Xc) i es mesura en ohms.

XC = XC =

El valor de la capacitància també depèn de la freqüència aplicada al circuit i augmenta quanaquesta disminueix, és a dir, per a freqüències molt baixes el condensador es comporta com uncircuit obert i per a freqüències molt elevades com un curtcircuit (fig. 5.15).

En la figura 5.16 et mostrem el diagrama vectorial i la representació gràfica de les dues mag-nituds.

12 π f C

1C ω

1C ω

1C ω

Vmàx.Imàx.

Vmàx. sin ω t

∆t∆v∆t

∆(C v)

∆t∆q∆t

Fig. 5.14

Fig. 5.15. Variació de la reactància capacitiva enfunció de la freqüència

#*+

#*89+

Fig. 5.16

$#'

6#

-

-

<5

! "

La potència instantània dissipada en el condensador és:

p = v i = Vmàx. · sin ω t · Imàx. · cos ω t = sin 2 ω t

En la figura 5.17 pots observar la seva representació gràfica, on es pot veure que la potència éspositiva quan els valors de la tensió i la intensitat tenen el mateix sentit i negativa quan tenensentits oposats. El valor mitjà de la potència és també zero, igual que en la inductància, ja queel condensador en un semicicle emmagatzema energia i en l’altre la cedeix al circuit.

Pmàx.2


05130

Fig. 5.17. Gràfica de la potència en un condensador

! "

0

009

Exemple 1

Determina el valor de l’autoinducció d’una bobina a través de la qual, connectada a una tensió de 230 V i una freqüència de 50 Hz,circula un corrent de 0,5 A.

ResolucióXL = V/I = 230 V / 0,5 A = 460 Ω

XL = L ω = 2 π f L → L = = = 1,46 H460 Ω2 π · 50 Hz

XL2 π f

Activitats

4> Una resistència de 100 Ω es troba connectada a una tensióalterna de 10 V i 100 Hz. Determina el valor del corrent quehi circula i la potència dissipada en la resistència, i fes larepresentació gràfica sinusoïdal de les diferents magnitudsque hi intervenen.

5> Determina el valor de la capacitat d’un condensador através del qual, connectat a una tensió alterna de 230 V iuna freqüència de 50 Hz, circula un corrent de 0,8 A.

6> Una bobina amb un coeficient d’autoinducció d’1 H estàconnectada a una tensió de 230 V i una freqüència de 50 Hz.

a) Determina el valor de la intensitat de corrent que hicircula.

b) Fes el diagrama vectorial de la tensió i de la intensitat.

5. El corrent altern5.3 Circuits sèrie RL, RC i RLC

05131

5.3 Circuits sèrie RL, RC i RLC

A. Circuit sèrie RL

En connectar-se en sèrie una resistència òhmica i una reactància inductiva (fig. 5.18), el valorde la intensitat de corrent dependrà de l’efecte combinat de R i XL, però aquest serà el mateixper als dos components, ja que es tracta d’un circuit sèrie.

La tensió total aplicada al circuit serà la suma vectorial de les dues caigudes de tensió.

→ε =

→vR +

→vL

Si representem ara el diagrama vectorial de les diferents magnituds (→i,

→vR i

→vL) que intervenen

en el circuit prenent com a referència la intensitat en ω t = 0, vR estarà en fase amb la intensi-tat, ja que la resistència no provoca cap tipus de desfasament, i vL estarà avançada 90° respectea la intensitat.

Si en la representació vectorial sumem els dos vectors →vR i

→vL, obtindrem com a resultant el vec-

tor de la tensió total aplicada al circuit (fig. 5.19).

Fig. 5.18. Circuit sèrie RL

#$#

#$#

=#

Fig. 5.19. Triangle de tensions

#$#

Matemàticament tindrem:→ε =

→vR +

→vL → ε = vR2+ vL

2

ϕ = arc tg

Si dividim el triangle de tensions per i obtindrem el triangle d’impedàncies (fig. 5.20).

En el qual:ZT = R2+ XL

2

ϕ = arc tg XLR

vLvR


05132

Fig. 5.20. Triangle d’impedàncies

Exemple 2

Donat el circuit de la figura 5.21, calcula el valor de la impedància total, la intensitat total i la caiguda de tensió en cada compo-nent. Realitza el diagrama vectorial i sinusoïdal de les diferents magnituds.

Resolució

XL = ω L = 2 π f L = 2 π · 50 Hz · 159,1 mH = 50 Ω

→XL = 50 Ω90°

→R = 100 Ω0°

ZT = R2+ XL2 = 1002+ 502 = 111,8 Ω

ϕ = arc tg = = arc tg = 26,56°

ZT = 111,8 26,56°

→I = = = 89,4 mA–26,56° → Imàx. = 126,4 mA

→VR =

→I

→R = 89,4 mA–26,56° · 100 Ω0° = 8,94 V–26,56° → VRmàx. = 12,64 V

→VL =

→I

→XL = 89,4 mA–26,56° · 50 Ω90° = 4,47 V63,44° → VLmàx. = 6,32 V → εmàx. = 14,1 V

10 V0°111,8 Ω26,56°

ε→ZT

50 Ω100 Ω

XLR

Fig. 5.21

$##,#89

#$## #$#)#8

###6

#####6

'####'

' ###'

'###'

' ! "

*+)*,+

###6

")

' ")"

Fig. 5.22. Diagrama vectorial i sinusoidal

→ε = εϕ

B. Circuit sèrie RC

En connectar-se en sèrie una resistència òhmica i una reactància capacitiva, igual que passavaen el circuit de la figura 5.23, el valor de la intensitat de corrent dependrà de l’efecte combinatde R i XC, però aquest serà el mateix per als dos components, ja que es tracta d’un circuit sèrie.

La tensió total aplicada al circuit serà la suma vectorial de les dues caigudes de tensió (fig. 5.24).

→ε =

→vR +

→vC → ε = vR2+ vC

2

ϕ = arc tg

Si dividim el triangle de tensions per i obtenim el triangle d’impedàncies (fig. 5.25),

ZT = R2+ XC2 i ϕ = arc tg

–XCR

–vCvR


05133

→ε = εϕ

Fig. 5.23. Circuit sèrie RC

#$#

=#

$#

Fig. 5.25. Triangle d’impedàncies

Fig. 5.24

$

$ #$#

#$#

#$#

#$#


05134

Exemple 3

Donat el circuit de la figura 5.26, calcula:a) El valor de la impedància total.b) La intensitat total.c) La caiguda de tensió en cada component.d) Realitza el diagrama vectorial i sinusoïdal de les diferents magnituds.

Resolució

a) XC = 1/ (ω C) = 1 / (2 π f C) = 1 / (2 π · 50 Hz · 100 µF) = 31,8 Ω

→XC = 31,8 Ω –90°

→R = 100 Ω0°

→ZT = R2+ XC

2 = 1002+ 31,82 = 104,9 Ω

ϕ = arc tg = arc tg = –17,6°

→ZT = 104,9–17,6°

b)→I = = = 95,3 mA17,6° → Imàx. = 134,7 mA

c)→VR =

→I

→R = 95,3 mA 17,6° · 100 Ω0° = 9,53 V 17,6° → VRmàx. = 13,47 V

→VC =

→I

→XC = 95,3 mA17,6° · 31,8 Ω–90° = 3,03 V-72,4° → VCmàx. = 4,28 V

εmàx. = 14,1 V

d)

10 V0°104,9 Ω–17,6°

→ε→ZT

–31,8 Ω100 Ω

–XCR

#,#89

#

#>?

###6

#####6

'####'

' ###'

'###'

' ! "

*+)#4#*,+

###6

'! )!)"

Fig. 5.27

Fig. 5.26


05135

C. Circuit sèrie RLC

És un circuit format per una resistència R, una inductància L i un condensador C, com ens mos-tra la figura 5.28, on el corrent que recorre cada un dels components és igual al corrent total.Apliquem ara els conceptes vistos anteriorment per estudiar aquest circuit.

Si en la representació vectorial de la figura 5.29 sumem els tres vectors corresponents a les cai-gudes de tensió en cada un dels components, obtenim com a resultant el vector de la tensió to-tal aplicada al circuit. Matemàticament tenim:

→ε =→vR +

→vL +

→vC → ε = vR2+ (vL – vC)2

ϕ = arc tg

Si dividim cada un dels vectors corresponents a les caigudes de tensió en cada un dels compo-nents representats en la figura 5.30 per i, obtenim els vectors d’impedàncies.

ZT = R2+ (XL – XC)2

ϕ = arc tg XL – XC

R

vL – vCvR

Fig. 5.28. Circuit sèrie RLC

)

#$#

#$#

#

→ε = εϕ

Fig. 5.30. Vectors d’impedància

Fig. 5.29

# #$#

$#

$#

#$#


05136

Exemple 4

Donat el circuit de la figura 5.31 , calcula:

a) El valor de la impedància total.b) La intensitat total.c) La caiguda de tensió en cada component.d) Fes el diagrama vectorial i sinusoïdal de les diferents magnituds.

Resolució

a)→XL = 100 Ω 90°;

→XC = 75 Ω–90°;

→R = 100 Ω 0°

ZT = R2+ (XL – XC)2 = 1002+ 252 = 103 Ω

ϕ = arc tg = arc tg = 14,04°

→ZT = 103 14,04°

b)→I = = = 0,117 A–14,04° → Imàx. = 0,165 A

c)→VR =

→I

→R = 0,117 A–14,04° · 100 Ω0° = 11,7 V–14,04° → VRmàx. = 16,55 V

→VL =

→I

→XL = 0,117 A–14,04° · 100 Ω90° = 11,7 V75,96° → VLmàx. = 16,55 V

→VC =

→I

→XC = 0,117 A–14,04° · 75 Ω–90° = 8,77 V–104,04° → VCmàx. = 12,37 V

d)

12 V0°103 Ω 14,04°

→ε

→ZT

25 Ω100 Ω

XL – XCR

!)"

')

###6

#####6

'####'

' ###'

'###'

' !

"

*+)*,+

###6

Fig. 5.32

#

#

!#

#,

Fig. 5.31

D. Ressonància d’un circuit sèrie RLC

Diem que un circuit sèrie RLC està en ressonància quan es verifica que (fig. 5.33):

XL = XC → ZT = R

En aquest instant el valor de la intensitat serà el màxim i valdrà:

I =

Perquè un circuit estigui en ressonància cal que la freqüència de la tensió aplicada coincideixiamb el valor de la freqüència de ressonància. Aquesta es dedueix de la igualtat entre la re-actància inductiva i capacitiva.

XL = XC → ω L = → ω2 L C = 1 → ω2 =

fr =

Els circuits ressonants s’utilitzen freqüentment en circuits de ràdio i televisió per filtrar o eli-minar determinades freqüències. Per tal d’aconseguir-ho es connecta un circuit sèrie RLC desdel punt on es vulgui eliminar una determinada freqüència a massa.

12 π · LC

1L C

1ω C

εR


05137

Fig. 5.33. Variació de la impedància en funció dela freqüència

)#*+

*89+

#$#

#$#

#$#

Activitats

7> Un circuit RL sèrie format per una resistència de 68 Ω iuna inductància de 100 mH es troba connectat a una ten-sió de 230 V i 50 Hz. Calcula’n:

a) La impedància total.b) La caiguda de tensió en cada component.c) La intensitat de corrent.d) Realitza’n un diagrama vectorial i sinusoïdal de les ten-

sions i del corrent total.

8> Un circuit RC sèrie format per una R = 100 Ω i un C = 50 µFes connecta a una tensió alterna de 24 V i 50 Hz. Determi-na’n:

a) El valor del corrent.b) La tensió en R i C.c) Realitza’n el diagrama sinusoïdal.

9> Un circuit RLC sèrie format per una R = 47 Ω, una L = 47 mH i un C = 100 µF es connecta a una tensió alter-na de 12 V i 50 Hz. Determina’n:

a) El valor de la intensitat de corrent.b) La tensió en R, L i C.c) Realitza’n el diagrama sinusoïdal.

10> Una bobina presenta una inductància de 60 mH i una re-sistència òhmica de 10 Ω, i es troba en sèrie amb un con-densador de 100 µF. Determina la caiguda de tensió encada component si el conjunt es troba connectat a 125 Vi 60 Hz.

11> Calcula la freqüència de ressonància del circuit de l’exer-cici 9.

5.4 Nombres complexos per resoldrecircuits en CA

Un cop ja saps resoldre circuits en corrent altern mitjançant operacions amb vectors, et facili-tem una nova eina de càlcul, que són els nombres complexos, que et facilitaran en moltes oca-sions el càlcul de circuits en CA.

Tot vector té dos components, que corresponen a cada una de les projeccions sobre els eixos decoordenades i, per tant, el podem representar mitjançant un nombre complex en forma alge-braica (fig. 5.34).

El nombre real a s’anomena part real del nombre complex.El nombre real b s’anomena part imaginària del nombre complex.

Una altra manera de representar els nombres complexos és a través de la forma polar, on ex-pressarem el nombre complex pel seu mòdul i l’argument.

z = a + bj z = mϕ

m = a2 + b2

ϕ = arc tg

Donats dos nombres complexos, z1 = a + bj i z2 = c + dj, es defineixen les operacions següents:

Suma: z1 + z2 = (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j

Producte:

– Forma algebraica: z1 · z2 = (a + bj) · (c + dj) = (ac – bd) + (ad + bc)j– Forma polar: mϕ1

· nϕ2= m · nϕ1 + ϕ2

Quocient:

– Forma algebraica: = = =

– Forma polar: = ϕ1 – ϕ2mn

mϕ1nϕ2

(ac + bd) + (bc + ad)

c2 - d2(a + bj) (c – dj)(c + dj) · (c – dj)

a + bjc + dj

z1z2

ba

5. El corrent altern5.4 Nombres complexos per resoldre circuits en CA

05138

Exemple 5

Calcula, mitjançant la utilització dels nombres complexos, la impedància total del circuit de la figura 5.35:

Resolució

→R = 100;

→XL = 50j;

→XC1 = – 80j;

→XC2 = –30j

→ZT = R + XL + XC1 + XC2 = 100 + 50j – 80j – 30j = 100 – 60j

# # # #

Fig. 5.35

Perquè l’equació x2 + 1 tingui solució calun nou conjunt de nombres que tinguicom a element –1; aquest nombre esrepresenta amb i en matemàtiques i ambj en electrotècnia, i s’anomena unitatimaginària.

j = –1 → j2 = –1

Fig. 5.34

&(

#$##6##$#

5.5 Circuits paral·lel RL, RC i RLCDe la mateixa manera que la inversa de la resistència R es denomina conductància G, en alterna, lainversa de la impedància Z rep el nom d’admitància Y.

G = 1/R Y = 1/Z

Si la impedància d’un circuit es redueix a una resistència, l’admitància es redueix també a unaconductància. Si la impedància es tracta d’una reactància inductiva, la seva inversa es denomi-na susceptància inductiva BL. Si la impedància es tracta d’una reactància capacitiva, la seva in-versa es denomina susceptància capacitiva BC.

BL = 1/XL BC = 1/XC

Les admitàncies i susceptàncies es mesuren en siemens (S), igual que la conductància.

A. Circuit paral·lel RL

Donat el circuit paral·lel de la figura 5.37, on la tensió aplicada al circuit és la mateixa que latensió a extrems de la resistència i de la bobina, tenim:

→iR =

→iC = = – j

vLXL

vLj XL

vRR

5. El corrent altern5.5 Circuits paral·lel RL, RC i RLC

05139

Fig. 5.37. Circuit paral·lel RL

Activitats

12> Calcula la impedància equivalent d’un circuit format peruna resistència de 68 Ω, un condensador de 100 µF i unabobina amb una inductància de 38 mH i una resistènciaòhmica de 5 Ω, sabent que el conjunt es troba connec-tat en sèrie, a 230 V i 50 Hz.

13> Calcula, mitjançant la utilització dels nombres comple-xos, la tensió existent en cada un dels components delcircuit de la figura 5.36.

"# #>? #8

#$# #,###89Fig. 5.36

El corrent en cada instant valdrà:

→i = iR – jiL; i = (iR)2+ (iL)2; ϕ = arc tg

Si representem els dos vectors i en realitzem gràficament la suma obtindrem en aquest cas eltriangle d’intensitats (fig. 5.38).

Per deduir la fórmula per calcular la impedància total utilitzarem l’expressió:

→i = = – j

El quadrat del mòdul de l’expressió anterior serà:

( )2= ( )2

+ ( )2

Si dividint per ε2 obtenim que:

= +

L’expressió obtinguda no és res més que el teorema de Pitàgores aplicat per calcular el mòdulde la impedància total del circuit; aquesta la podem expressar també per:

YT 2 = G 2 + BL

2 i ϕ = arc tg – = arc tg – RXL

BLG

1XL

21

R2

1ZT

2

εXL

εR

εZT

εXL

εR

→ε

→ZT

–iLiR


05140

Exemple 6

Un circuit està format per una bobina d’una impedància inductiva pura de 30 Ω i una resistència de 50 Ω connectades en paral·lel.Determina el valor de l’admitància total i la intensitat total i parcial si el circuit està connectat a un corrent altern de 24 V.

Resolució

→YT =

→G +

→BL

→G = = = 0,02 S

→BL = = = = –0,033j S

→YT =

→G +

→BL = 0,02 – 0,033j S

YT = 0,022+ 0,0332 = 0,03858 S

→ZT = = = = 13,43 + 22,16j

→IR =

→ε ·

→G = 24 V · 0,02 S = 0,48 A

→IL =

→ε ·

→BL = 24 V · (– 0,033j) S = –0,792 A

→IT =

→ε

→YT = 24 V · (0,02 – 0,033j) S = 0,48 – 0,79j A

0,02 + 0,033j1,489 · 10–3

10,02 – 0,033j

1→YT

–j30

130j

1→XL

150

1→R

Fig. 5.38

$#

#$#

B. Circuit paral·lel RC

El circuit de la figura 5.39 representa una resistència en paral·lel amb un condensador. La im-pedància total equivalent del circuit serà:

→YT =

→G +

→BC

→ZT = = =

Com que la tensió als extrems dels dos components és la mateixa i igual a la tensió del genera-dor, tenim:

→iR = ;

→iC = = j

El corrent total valdrà:

→i = iR + j iC i = iR2+ iC

2 ϕ = arc tg iCiR

vCXC

vC–j XC

vRR

1→G + →BC

1→YT


05141

Fig. 5.39. Circuit paral·lel RC

! "

"

"

1→R

1→XC

1

+


05142

Exemple 7

Un circuit està format per un condensador de 50 µF i una resistència de 100 Ω connectats en paral·lel. El circuit està connectat aun corrent altern de 12 V i 50 Hz:

a) El valor de l’admitància total.b) La intensitat total i les parcials.

Resolució

a) XC = 1/(ω C) = 1/ (2 π f C) = 1/ (2 π · 50 Hz · 50 µF) = 63,7 Ω; →XC = –63,7j Ω

→YT =

→G +

→BC

→G = = = 0,01 S

→BC = = = 0,0157j S

→YT =

→G +

→BC = 0,01 – 0,0157j

→ZT = = = = 28,86 – 45,31j

b)→IR =

→ε

→G = 12 V · 0,01 S = 0,12 A

→IC =

→ε

→BC = 12 V · 0,0157j S = 0,1884j A

→IT =

→ε

→YT = 12 V · (0,01 + 0,0157j) S = 0,12 + 0,1884j A

0,01 – 0,0157j3,465 · 10–4

10,01 + 0,0157j

1→YT

1–63,7j

1→XC

1100

1→R

$#

$##$#

Fig. 5.40

C. Circuit paral·lel RLC

El circuit de la figura 5.41 ens mostra els tres components R, L i C en derivació. En aquesta si-tuació també els resoldrem per admitàncies.

→YT =

→G +

→BL +

→BC; YT = G2+ (BC– BL)2; tg ϕ =

→ZT = = =

Com que la tensió als extrems dels components és la mateixa i igual a la tensió del generador,tenim (fig. 5.42):

→iR = ;

→iL = = –j

→iC = = j

El corrent total valdrà:→i = iR – jiL + jiC ; i = (iR)2+ (iC – iL)2

ϕ = arc tg iC – iL

iR

vCXC

vC–j XC

vLXL

vLj XL

vRR

1

→1

R + →

X

1

L

+ →X

1

C

1→G +

→BL +

→BC

1→YT

BC – BLG


05143

Fig. 5.41. Circuit paral·lel RLC

6

'

@#

Fig. 5.42

$#

$#

#$#

$#


05144

Exemple 8

Una resistència de 68 Ω, un condensador de 50 µF i una bobina de 47 mH es troben en derivació i formen un circuit paral·lel RLC.El conjunt està connectat a una tensió de 30 V i una freqüència de 50 Hz.

Calcula la impedància total, la tensió i la intensitat que circula per cada component.

Resolució

XL = ω L = 2 π f L = 2 π · 50 Hz · 47 mH = 14,77 Ω;

→XL = 14,77 j Ω

XC = =

XC = 1/(2 π · 50 Hz · 50 µF) = 63,7 Ω

→XC = –63,7j Ω

→G = = = 0,0147 S

→BL = = = –0,0677j S

BC = = = 0,0157j S

→YT =

→G +

→BL +

→BC

→YT = 0,0147 – 0,0677j + 0,0157j = 0,0147 – 0,052j S

→ZT = = = = 5,03+ 17,8j

ZT = 5,032+ 17,82 = 18,49 Ω

ϕ = arc tg = 74,22°

→IR =

→ε

→G = 30 V · 0,0147 S = 0,441 A

→IL =

→ε

→BL = 30 V · (–0,0677j) S = –2,031j A

→IC =

→ε

→BC = 30 V · 0,0157j S = 0,471j A

→IT =

→ε

→YT = 30 V · (0,0147 – 0,052j) S = 0,441 – 1,56j A = 1,62–74,22° A

17,85,03

0,0147 + 0,052j

2,92 · 10–31

0,0147 – 0,052j

1→YT

163,7j

1→XC

114,77j

1→XL

168

1→R

12 π f C

1ω C

D. Ressonància en un circuit paral·lel LC i RLC

Un circuit RLC paral·lel està en ressonància quan la reactància capacitiva del condensador coin-cideix amb la reactància inductiva de la bobina.

XL = XC

ω L =

ω2 L C = 1

La impedància del conjunt LC paral·lel per la freqüència de ressonància valdrà:

ZLC = =

ZLC =

Quan es verifica que XL = XC: ZLC = = = ∞

En aquest instant la impedància és màxima i la intensitat nul·la.

En un circuit RLC la impedància valdrà:

Z = = = R

La freqüència de ressonància serà:

fr = 1

2 π LC

1(1/R)2 + (ω C – 1/ω L)2

1Y

ω L0

ω L1 – ω2 L C

ω L1 – ω2 L C

1ω C –

ω1L

1YLC

1ω C


05145

Activitats

14> Una resistència d’1 kΩ es troba en paral·lel amb un con-densador de 5 µF; el conjunt està connectat a una tensióde 50 V i 50 Hz. Quin és el valor de les intensitats parcialsi total del circuit?

15> Un circuit paral·lel RLC format per una resistència d’1 kΩ,un condensador de 2 µF i una bobina amb una autoinduc-ció de 500 mH es troba connectat a un generador amb unaforça electromotriu de 12 V i 50 Hz.

a) Determina el valor de les intensitats parcials i totals delcircuit.

b) Realitza’n els diagrames vectorial i sinusoïdal.

5.6 Resolució de circuits mixtosIgual que en els circuits mixtos amb resistències podem trobar formes il·limitades de circuits;en aquest apartat ens limitarem a resoldre pas a pas un d’aquests circuits (fig. 5.43).

En primer lloc, hem de calcular la impedància total del circuit:

XL = ω L = 2 π f L = 2 π · 50 Hz · 50 mH = 15,7 Ω;

→XL = 15,7j Ω

XC = 1/(ω C) = 1/(2 π f C) = 1/(2 π · 50 Hz · 100 µF) = 31,83 Ω;

→XC = –31,83j Ω

→ZA =

→R2 +

→XC = 47 – 31,83j Ω

→YA = = = 0,01458 + 9,878 · 10–3j S

→BL = = = – 0,0637j S

→YB =

→YA +

→BL = (0,01458 + 9,878·10–3j) S + (–0,0637j) S = 0,01458 – 0,0538j S

→ZB = = = 4,69 + 17,32j Ω

→ZT =

→R1 +

→ZB = 56 + (4,69 + 17,32j) = 60,69 + 17,32j Ω

ZT = R12 + ZB

2 = 60,692+ 17,322 = 63,11 Ω

ϕ = arc tg 17,32/60,69 = 15,92°

→ZT = 63,1115,92° Ω

Una vegada conegut el valor de la impedància total, ja podem calcular la intensitat total, lesparcials i les caigudes de tensió en cada un dels components.

→IT =

→IR1 = = 20 V/63,1115,92° Ω = 0,317–15,92° A

→VR1 =

→IR1

→R1 = 0,317–15,92° A · 560° Ω = 17,75–15,92° V

→VAB =

→IT

→ZB = 0,317–15,92° A · (4,69 + 17,32j) Ω = 0,317–15,92° A · 17,9474,84° = 5,6858,92° V

→IR2 =

→IC =

→VAB

→YA = 5,6858,92° (0,01458 + 9,878 · 10–3j) S = 5,6858,92° · 0,017634,11° = 0,09993,03°

→IL =

→VAB ·

→BL = 5,68 58,92° V · 0,0637–90° S = 0,36–31,08° A

→VL =

→VAB = 5,68 58,92° V

→VR2 =

→IR2

→R2 = 0,09993,03° A · 470° Ω = 4,6593,03° V

→VC =

→IC

→XC = 0,09993,03° A · 31,83–90° = 3,153,03° V

→ε→ZT

10,01458 – 0,0538j S

1→YB

115,7j

1→XL

147 – 31,83j Ω

1→ZA

5. El corrent altern5.6 Resolució de circuits mixtos

05146

Fig. 5.43. Circuit mixt

$# #,#89

#$#"#

#$##8 #$#!#

#$##>?

En la figura 5.44 es poden observar les representacions sinusoïdals de les diferents magnituds.

Activitats

16> Una resistència de 180 Ω es troba en paral·lel amb unabobina de 0,8 H amb una resistència òhmica de 50 Ω. Elconjunt està connectat a una tensió de 24 V, 50 Hz.

a) Calcula les intensitats del circuit.b) Dibuixa’n el diagrama vectorial.

17> Una bobina d’1,2 H i resistència òhmica de 50 Ω estàconnectada en paral·lel a un condensador de 3 µF. Cal-cula la intensitat que circula pel circuit si es connecta auna tensió de 230 V i 50 Hz.

18> Donats els circuits de la figura 5.45, determina:

a) El valor de la intensitat.b) La caiguda de tensió en cada un dels components.

5. El corrent altern5.6 Resolució de circuits mixtos

05147

Fig. 5.44

##6

##6

##'

##'

##'

' "

*,+

##6

!

###6

###6

' ###'

'###'

'"###'

' !

*+)

"###6

"

*,+

#$##

$##

$##,#89

#$# #

#$##

$##,#89

#$##

#$###$##

#$##

Fig. 5.45

5.7 Potència activa, reactiva i aparentEn un circuit de corrent altern hem vist que hi ha elements, com ara la resistència, que con-sumeixen energia, i d’altres, com ara la bobina i el condensador, que durant un semicicleconsumeixen energia però durant l’altre la retornen al circuit o al generador.

Si ara ens fixem en la representació sinusoïdal de la tensió aplicada, la intensitat de correntque hi circula i la potència consumida en un circuit RL (fig. 5.46), tenim que hi ha una partde l’energia, quan aquesta és negativa, que representa l’energia que la bobina retorna al ge-nerador.

Aquesta àrea coincideix amb la part superior, que equival a l’energia que anteriorment el gene-rador havia subministrat a la bobina. L’àrea restant equival a la potència realment consumidapel circuit, denominada potència activa.

L’equació de les potències en un circuit és donada per l’expressió:

→ε·

→I =

→VR

→I +

→VX

→I

El primer terme, ε I, representa la potència aparent (S) i es mesura en volts · ampers (VA); el ter-me VR I representa la potència activa (P) que és la que correspon a l’efecte Joule en la resistència(R I2) i s’expressa en watts (W); VX I, finalment, representa la potència reactiva (Q), que s’expres-sa en volts·ampers reactius (VAr), i és la que produeixen les bobines i condensadors i no es trans-forma en un treball efectiu, sinó que va fluctuant entre el component i el generador.

→S =

→P +

→Q

Si realitzem la suma de vectors obtenim el triangle de potències (fig. 5.47), on:

S = P2+ Q2

5. El corrent altern5.7 Potència activa, reactiva i aparent

05148

Fig. 5.47

#$##

Fig. 5.46

! "

La relació existent entre la potència activa i la potència aparent s’anomena factor de potènciai es representa per cos ϕ. El valor d’aquest angle coincideix amb el desfasament entre el vol-tatge aplicat al circuit i la intensitat de corrent que hi circula.

cos ϕ =

Aquest factor ens indica quina part de la potència aparent es transforma en activa.

P = S cos ϕ = ε I cos ϕ

Si el factor de potència és nul significa que el circuit consisteix en una reactància pura, induc-tiva o capacitiva.

Un factor de potència petit és un inconvenient per a les línies que transporten corrent, ja queper una diferència de potencial donada cal molta més intensitat de corrent, que en realitat noes consumeix sinó que és retornada posteriorment a la xarxa elèctrica. Això provoca grans pèr-dues de potència per efecte Joule en les línies.

Per fer minvar el consum excessiu d’energia reactiva, les companyies subministradores apliquenun complement en els rebuts pel consum d’aquesta energia, que pot ser un recàrrec o un des-compte percentual que s’aplica sobre la totalitat de la tarifa bàsica. Per aplicar aquest comple-ment cal instal·lar un comptador d’energia reactiva.

En les instal·lacions industrials s’utilitza molta maquinària, normalment amb motors, i la il·lu-minació és generalment de tubs de descàrrega; per tant, hi ha un conjunt considerable de re-actàncies. Aquests elements, com que són receptors inductius, fan que es treballi amb unapotència reactiva elevada que cal corregir.

Per contrarestar aquest consum excessiu depotència reactiva de caràcter inductiu escol·loquen condensadors en paral·lel amb laxarxa, que tenen la missió d’emmagatzemarl’energia reactiva de les bobines i retornar-ladesprés a les mateixes bobines.

En la figura 5.48 està representada la mane-ra com s’ha de col·locar el condensador enparal·lel amb el motor per compensar lapotència reactiva.

PS

5. El corrent altern5.7 Potència activa, reactiva i aparent

05149

Fig. 5.48

AB

Activitats

19> Determina la potència activa, reactiva i aparent en un cir-cuit sèrie RC. Dades: V = 230 V; 50 Hz; R = 20 Ω i XL = 15 Ω.

20> La potència activa d’una instal·lació és de 5 kW quan estàconnectada a una tensió de 230 V i 50 Hz. Si el factor depotència és de 0,7, calcula’n la potència reactiva i l’apa-rent.

21> Per un motor elèctric circula un corrent elèctric de 5 Aquan es connecta a 230 V. Si la seva potència nominal ésde 1000 W, calcula’n el factor de potència.

5.8 Corrents alterns trifàsicsFins ara hem estudiat un sol corrent altern, que rep el nom de corrent altern monofàsic, peròen la pràctica s’utilitzen de manera simultània diferents corrents alterns monofàsics del ma-teix valor eficaç i freqüència però de diferent fase, que s’anomenen conjunt polifàsic de cor-rents.

L’angle de desfasament entre els diferents corrents serà igual a 360° dividit pel nombre de correntsmonofàsics que componen el sistema.

El sistema més emprat és el sistema trifàsic, compost per tres corrents desfasats un angle de120°.

A. L’alternador trifàsic. Generació

El funcionament d’un alternador trifàsic està basat en el funcionament de l’alternador estudiaten començar la unitat.

L’alternador trifàsic està constituït per tres bobines o espires situades a l’entorn d’un eix icol·locades formant entre elles un angle de 120°, que giren a l’interior d’un camp magnètic uni-forme (fig. 5.49). El corrent generat en les bobines passa al circuit exterior per un sistema d’a-nells col·lectors i escombretes.

Com que el sistema d’anells col·lectors i escombretes és molt complex i ocasiona molts proble-mes, els alternadors moderns estan constituïts per un estator format per tres bobines indepen-dents disposades de tal manera que l’angle que formen entre elles és de 120°, i un rotor quecrea un camp magnètic (fig. 5.50). Aquest camp, en girar, indueix en cada una de les bobinesuna força electromotriu alterna sinusoïdal, del mateix valor i freqüència, però desfasades en unangle de 120°.

Els conductors que formen un conjunt trifàsic reben el nom de L1, L2 i L3.

Un dels avantatges que comporta la utilització d’un sistema trifàsic és que per transportar elcorrent tan sols són necessaris tres (tres fases) o quatre (tres fases i un neutre) conductors encomptes de sis.

5. El corrent altern5.8 Corrents alterns trifàsics

05150

Fig. 5.49. Alternador trifàsic

Fig. 5.50. Alternador trifàsic

1

1

1

Les tres bobines de l’alternador es poden connectar de dues maneres diferents: en estrella i entriangle (fig. 5.51). La més utilitzada és la connexió en estrella, ja que permet utilitzar un con-ductor amb un potencial de 0 V, anomenat neutre (N).

B. Tensió simple i tensió composta

En un sistema trifàsic amb connexió estrella podem distingir diferents tipus de tensió: tensiósimple i tensió composta (fig. 5.52).

Tensió simple (Vs), anomenada també tensió de fase (Vf), que és la tensió generada als ex-trems de cada bobina i equival a la tensió existent entre la fase i el neutre: VL1, VL2 i VL3.

Tensió composta (Vc), anomenada també tensió de línia, que és la tensió existent entre lesdiferents fases: VL1 – L2, VL2 – L3, i VL3 – L1.

En un sistema trifàsic tindrem que:

→VL1 – L2 =

→VL1 –

→VL2 ;

→VL2 – L3 =

→VL2 –

→VL3 ;

→VL3 – L1 =

→VL3 –

→VL1

Per determinar el valor d’una tensió composta hem de realitzar la suma vectorial de dues ten-sions simples, com indica la figura 5.53.

Si observem aquesta mateixa figura veurem que el triangle format és un triangle isòsceles, i queun dels seus angles és de 120° i els altres dos han de ser iguals. Si els tres angles d’un trianglesumen 180°, aquests dos angles valdran 30°.

Aplicant els conceptes de la trigonometria podem trobar la relació existent entre una tensiócomposta i una tensió simple:

cos 30° =

VL1 – L2 = 2 VL1 cos 30° = 2 VL1

VL1 – L2 = 3 VL1

VC = 3 Vs

3

2

VL1

2– L2

VL1


05151

Fig. 5.51. Connexió de les bobines de l’alternador: a) en estrella; b) en triangle

!

( (

Fig. 5.53

'

#'#

Fig. 5.52. Tensions simples i tensions compostes.Diagrama vectorial

)#

)#

)

!

#'# #'#

#'#

'

#'#

#'#

'

' #'#

C. Connexió de receptors en un sistema trifàsic

Els receptors trifàsics, com els motors trifàsics, els podem connectar en un sistema trifàsic entriangle o en estrella o, si es tractés de receptors monofàsics com ara làmpades, els podem con-nectar entre fase i neutre o entre fases (fig. 5.54). Si disposéssim de diferents càrregues, aques-tes podrien estar en connexió estrella o triangle.

En connectar diferents càrregues en un sistema trifàsic, aquest pot estar equilibrat si:

– Les intensitats en les tres fases tenen el mateix valor IL1 = IL2 = IL3

– Els cos ϕ de cada una de les fases són els mateixos cos ϕL1 = cos ϕL2 = cos ϕL3

Per tant, quan està equilibrat la intensitat en el conductor neutre IN = 0

O bé pot estar desequilibrat si:

– Les intensitats en les tres fases tenen diferent valor: IL1 IL2 IL3

– Els cos ϕ de cada una de les fases són diferents: cos ϕ1 cos ϕ2 cos ϕ3

En aquest cas, la intensitat en el conductor neutre IN 0.


05152

Exemple 9

Determina el valor de la tensió de línia que correspon a un sistema trifàsic amb una tensió de fase de 230 V.

Resolució

Vc = 3 Vs = 3 · 230 V = 398,37 V

Fig. 5.54. Connexió de receptors

!

"(#5##0

!

(#5###7

!

(#5##7## (#5##

!

Connexió de receptors en estrella. Circuit equilibrat

En la figura 5.55 pots observar un receptor trifàsic o tres càrregues idèntiques connectades enestrella.

Com que es tracta d’un sistema equilibrat tenim que:

Z1ϕ1= Z2ϕ2

= Z3ϕ3= Zϕ ; VL1 = VL2 = VL3 = VL

Si apliquem la llei d’Ohm podem trobar el valor de les tres intensitats de fase:

→IL1 = ;

→IL2 = ;

→IL3 =

on →IL1 =

→IL2 =

→IL3

La intensitat en el conductor neutre serà igual a la suma vectorial de les tres intensitats del ma-teix valor i freqüència i desfasades entre elles 120°.

→IN =

→IL1 +

→IL2 +

→IL3 = 0

La figura 5.56 ens mostra el diagrama vectorial de totes les tensions i corrents. Per calcular lapotència consumida pel sistema serà suficient amb la suma de les potències que consumeixencada una de les càrregues.

PT = VL1 IL1 cos ϕ1 + VL2 IL2 cos ϕ2 + VL3 IL3 cos ϕ3

Com que el sistema està equilibrat tindrem: PT = 3 Vf IL cos ϕ

Com que Vf = tenim: PT = 3 VC IL cos ϕ; QT = 3 VC IL sin ϕ; ST = 3 VC IL

Connexió de receptors en triangle. Circuit equilibrat

Si connectem tres càrregues idèntiques en triangle, com mostra la figura 5.57, tenen en els seusextrems una tensió composta i hi circula un corrent de valor:

→IL1 – L2 = ;

→IL2 – L3 = ;

→IL3 – L1 =

En aquest cas, les tensions de fase VL1, VL2 i VL3 són les mateixes que VL1 – L2, VL2 – L3 i VL3 – L1, res-pectivament.

→VL3 – L1Z3ϕ3

→VL2 – L3Z2ϕ2

→VL1 – L2Z1ϕ1

VC3

→VL3Z3ϕ3

→VL2Z2ϕ2

→VL1Z1ϕ1


05153

Fig. 5.55. Connexió en estrella de receptors

!

#

#'# #'#

!

Fig. 5.56. Diagrama vectorial d’una connexió enestrella

'

'

# #'#

#'#

#'#

Fig. 5.57. Connexió en triangle de receptors

#'# #'#

#'#

#'#

#'#

#'#

Si apliquem la primera llei de Kirchhoff podem calcular la intensitat que circula pels tres con-ductors o línies que alimenten les càrregues.

→IL1 =

→IL1–L2 –

→IL3–L1;

→IL2 =

→IL2–L3 –

→IL1–L2;

→IL3 =

→IL3–L1 –

→IL2–L3

Anomenarem els corrents IL1, IL2 i IL3 corrents compostos o de línia (IC o IL), i els corrents IL1–L2, IL2–L3

i IL3–L1, corrents de fase (If). Si realitzem el diagrama que ens mostri el càlcul de la intensitat de lí-nia, podem deduir-ne la relació existent entre la intensitat de fase i la intensitat de línia (fig. 5.58).

cos 30° = → IL1 = 2 IL1–L2 cos 30° = 2 IL1–L2 · → IL1 = 3 IL1–L2

Ilínia = 3 Ifase

Per calcular la potència total consumida en una connexió en triangle haurem de sumar la potèn-cia absorbida per cada una de les càrregues.

PT = VL1–L2 IL1–L2 cos ϕ1–2 + VL2–L3 IL2–L3 cos ϕ2–3 + VL3–L1 IL3–L1 cos ϕ3–1

Com que el sistema està equilibrat, tindrem: PT = 3 VC If cos ϕ

Com que If = , tenim: PT = 3 VC IL cos ϕ; QT = 3 VC IL sin ϕ; ST = 3 VC ILIL

3

3

2

I2L1

IL1–L2


05154

Fig. 5.58. Intensitats de fase i de línia. Diagramavectorial

#'# #'#

#'#

'#'#

Exemple 10

Un motor trifàsic d’una potència de 10 kW i un cos ϕ = 0,75 es troba connectat en triangle a una xarxa trifàsica amb una tensió entrelínies de 400 V. Determina el valor de la intensitat elèctrica que absorbirà de la línia, i també la seva potència reactiva i aparent.

Resolució

P = 3 VC IL cos ϕ → IL = = = 19,25 A

ϕ = arc cos 0,75 = 41,41°

Q = 3 VC IL sin ϕ = 3 · 400 V · 19,25 A · sin 41,41° = 8821,5 V Ar

S = 3 VC IL = 3 · 400 V · 19,25 A = 13336,8 VA

10 kW3 · 400 V · 0,75

P3 VC cos ϕ

Activitats

22> Determina el valor de la tensió línia que correspon a unsistema trifàsic amb una tensió de fase de 127 V.

23> Es connecten en triangle tres bobines iguals amb una re-sistència òhmica de 10 Ω i una reactància inductiva de 20 Ωa una xarxa trifàsica de 400 V. Calcula la potència activa, re-activa i aparent consumida pel conjunt.

24> Determina el valor de la intensitat elèctrica que absorbiràde la línia, i la potència reactiva i aparent, que consumeixun motor trifàsic d’una potència de 15 kW i un cos ϕ = 0,8que es troba connectat en estrella a una xarxa trifàsicaamb una tensió entre línies de 400 V.

5.9 L’oscil·loscopiL’oscil·loscopi és un aparell emprat per observar, enregistrar i mesurar corrents alterns i continus.

El component principal d’un oscil·loscopi és el tub de raigs catòdics, que es troba connectat aquatre circuits electrònics: l’amplificador vertical, l’amplificador horitzontal, l’amplificador desincronisme i la base de temps.

El tub de raigs catòdics (fig. 5.59) és una ampolla de vidre de forma acampanada (on s’ha fetel buit) que disposa d’un càtode (2) que, en ser escalfat per un filament (1), emet electronsper efecte termoiònic. Un petit cilindre denominat Wehnelt (3) el recobreix, amb un petit ori-fici per on surten els electrons; aquest cilindre es troba a un potencial negatiu i regula el pasd’electrons. A continuació trobem dos elèctrodes cilíndrics (4) connectats a un potencial po-sitiu que actuen com unes lents, de tal manera que concentren i acceleren els electrons en unfeix fi; aquests electrons són atrets pel gran potencial positiu (de 2 a 20 kV) de l’ànode o pan-talla (6).

També hi trobem un conjunt de quatre plaques metàl·liques (5), paral·leles dos a dos, anome-nades plaques deflectores, que s’encarreguen, segons el seu potencial, de desviar horitzontal-ment (plaques deflectores verticals) o verticalment (plaques deflectores horitzontals) el feixd’electrons.

En incidir el feix d’electrons sobre la pantalla fluorescent s’hi produeix un punt lluminós com aconseqüència de l’impacte dels electrons sobre la pantalla. Pel fenomen de persistència, el puntlluminós perdura uns instants, de manera que es pot veure sobre la pantalla un traç lluminós iobservar, així, la corba de variació de la magnitud a analitzar.

L’oscil·loscopi (fig. 5.60) disposa d’un amplificador vertical que amplifica les tensions apli-cades a l’entrada vertical, les quals, aplicades a les plaques deflectores horitzontals, provoquenel desplaçament vertical del feix d’electrons. La sensibilitat vertical (V/cm) dependrà de l’am-plificació del senyal d’entrada.

5. El corrent altern5.9 L’oscil·loscopi

05155

Fig. 5.59. Tub de raigs catòdics

5 C

:37

:

"

Fig. 5.60. Esquema en blocs de l’oscil·loscopi

A

<

%7 4

D%E4

##0 D%EF9##0

%7 F9

2#%

G#%

#

#

F9

El circuit de la base de temps proporciona un senyal en forma de dent de serra que, amplifica-da per l’amplificador horitzontal, és aplicada a les plaques verticals per produir el desplaçamenthoritzontal. La combinació dels dos desplaçaments degudament sincronitzats per un circuitelectrònic fa que puguem visualitzar a la pantalla el senyal a analitzar. El valor de la freqüèn-cia del senyal en dent de serra ens determinarà el temps que triga el feix d’electrons per recó-rrer horitzontalment la pantalla. El valor de la base de temps ens servirà per poder calcular elperíode i la freqüència del senyal a analitzar (fig. 5.61).

5. El corrent altern5.9 L’oscil·loscopi

05156

Fig. 5.61

#4 #,#

2##%##

-#$# #H##4 #$######## $# )# #H# #,# #$##,

#$# #H###%#$###$#"# #H### #$#"#>##$#<#$#"###"""#89

Activitats

25> Cerca informació sobre l’efecte termoiònic. 26> Dibuixa l’oscil·loscopi del teu laboratori i indica la mis-sió que té cada un dels seus comandaments.

5. El corrent alternActivitats finals

Activitats finals

1> La intensitat eficaç d’un corrent altern varia amb eltemps? Justifica la teva resposta.

2> Per a quins dels valors següents es compleix la lleid’Ohm en un circuit altern?a) Valors màxims.b) Valors eficaços.c) Valors instantanis.

3> Es disposa d’una resistència de 100 Ω, un condensadorde 50 µF i una inductància de 100 mH. Calcula la inten-sitat que circularia per cada un d’aquests components sies connecten per separat a una tensió de 230 V i 50 Hz.

R: IR = 2,3 A; IC = 3,62 A; IL = 7,32 A

4> Quina diferència hi ha entre el comportament d’un con-densador i una bobina en corrent altern?

5> Per una bobina de resistència 5 Ω i una autoinducció de25 mH circula un corrent del qual es desconeix lafreqüència. Calcula el valor d’aquesta si el factor depotència és de 0,8.

R: f = 23,87 Hz

6> Dibuixa un gràfic que ens mostri la variació de la re-actància capacitiva d’un condensador de 100 µF en fun-ció de la freqüència.

7> Calcula la freqüència de ressonància d’un circuit RLC sèrieformat per R = 200 Ω, C = 10 µF i L = 38 mH. Quant val laimpedància total del circuit per la freqüència de res-sonància?

R: fr = 258,18 Hz; ZT = 200 Ω

8> Es connecten en sèrie un condensador de 100 µF ambuna resistència de 10 kΩ a una tensió de 230 V i 50 Hz.Calcula el valor de ZT, I, VR, VC i ϕ.

R: ZT = 33,3 kΩ; I = 6,9 mA; VR = 69 V; VC = 219,42 V;ϕ = –72,5°

9> Si en un circuit sèrie RLC mesurem la tensió a extremsde cada component amb un voltímetre de CA, la sumadels tres valors mesurats ens donarà el valor de la ten-sió total aplicada al circuit? Raona la teva resposta.

10 >Determina els valors de ZT, I, VR, VC, VL i ϕ en el circuitde la figura 5.62. Dibuixa’n el diagrama vectorial i sinu-soïdal.

R: ZT = 163,27 Ω; I = 91,87 mA; VR = 13,78 V;VC = 11,69 V; VL = 5,77 V; ϕ = –23,26°

11 >Un motor monofàsic de 2 kW i cos ϕ = 0,72 es trobaconnectat a una tensió de 230 V i 50 Hz. Determina’n elvalor de la intensitat, la potència reactiva i l’aparentquan funciona a plena càrrega.

R: I = 12,08 A; Q = 1928,3 VAr; S = 2778,4 VA

12 > Per què cal corregir el factor de potència d’una instal·la-ció? Raona la teva resposta.

13 >Quina diferència hi ha entre la potència activa, la reac-tiva i l’aparent des del punt de vista energètic?

14 >Una resistència de 150 Ω es troba en paral·lel amb uncondensador de 15 µF. El conjunt està connectat a unatensió de 10 V i 50 Hz. Calcula el valor ZT i les intensitatsque circulen pel circuit, i realitza’n un diagrama vectorial.

R: ZT = 122,52–35,27°; IT = 81,6 mA; IR = 66,6 mA; IC = 47,1 mA

15 >Un circuit RLC paral·lel format per una resistència de100 Ω, un condensador de 25 µF i una bobina amb unaautoinducció de 58 mH es troba connectat a una tensióde 15 V i 50 Hz. Determina el valor de les intensitatsparcials i la intensitat total del circuit, i realitza’n elsdiagrames vectorial i sinusoïdal.

R: IR = 0,15 A; IC = 0,118 A; IL = 0,823 A; IT = 0,72 A

16 >Un circuit elèctric està format per una bobina d’una im-pedància de (30 + 20j) Ω i una resistència de 50 Ω con-nectades en paral·lel. Determina el valor de l’admitàn-cia total i la intensitat total i parcial si el conjunt estroba connectat a un corrent altern de 24 V i 50 Hz.

R: Y = 0,0456 S; IR = 0,48 A; IL = 0,66 A; IT = 1,09 A

05157

#$## #$# #>?

#,###89

#$# #8

Fig. 5.62

Activitats finals

5. El corrent alternActivitats finals

05158

17 > Calcula la caiguda de tensió i la intensitat que circula percada un dels components del circuit de la figura 5.63:

R: IR1 = IC = 0,125 A; IR2 = IL = 0,212 A; VR1 = 8,5 V; VC = 8,46 V; VR2 = 9,97 V; VL = 6,66 V

18 >Dues inductàncies de 10 mH i 40 mH estan connectadesen sèrie a una xarxa de corrent altern de 230 V. Calculales tensions que suporten.

R: VXL1 = 45,97 V; VXL2 = 183,88 V

19 >Donat el circuit de la figura 5.64, determineu:a) El valor de la reactància X.b) El valor de la resistència R.c) La mesura de l’amperímetre A2.d) El factor de potència del conjunt.

R: a) X = 23 Ω; b) R = 11,5 Ω; c) IA2 = 22,36 A; cos ϕ = 0,8944

20 >Quin creus que pot ser el motiu que les companyieselèctriques subministradores utilitzin línies trifàsiquesen comptes d’una de monofàsica?

21 >Un forn industrial trifàsic consta de tres resistències de5 Ω connectades en estrella. Calcula’n la potència si esconnectés a una tensió de 400 V entre fases.

R: P = 31869,73 W

22 >Donat el circuit de la figura 5.65, determineu:a) El corrent IR per la resistència.b) El corrent IL per la inductància.c) El corrent per la font d’alimentació.d) La potència activa P.e) El factor de potència.

R: a) IR = 23 Ω; b) IL = 12,2 A; c) IT = 25,99 A; d) P = 5 060 W;e) cos ϕ = 0,8465

23 >Donat el circuit de la figura 5.66, determineu:a) La impedància equivalent.b) El corrent.c) Les potències activa i reactiva consumides.d) La freqüència a la qual la impedància és mínima.

R: a) ZT = 10,2 Ω; b) IT =22,55 A; c) P = 5 085,03 W;Q = 1017 VA; d) f =55,9 Hz

24 > Calcula el valor de la tensió composta que correspon aun sistema trifàsic amb una tensió simple de 230 V.

R: VC = 398,37 V

25 > En un sistema trifàsic en desequilibri amb una tensió en-tre fases de 400 V s’han realitzat les mesures següents: IL1 = 22 A; cos ϕL1 = 0,75; IL2 = 35 A; cos ϕL2 = 0,8;IL3 = 25 A i cos ϕL3 = 0,6. Determina’n el valor de lapotència total activa, reactiva i aparent.

R: P = 13685 W; Q = 13685 VAr; S = 18860 VA

#$###$# ##$# #,#$##89

Fig. 5.64

Fig. 5.65

#$##,#$###$###$###$##89

Fig. 5.66

#$#"# #$#!#>?

#,###89

#$#!# #$##8

Fig. 5.63

ε = 230 VL = 60 mHR = 10 Ωf = 50 Hz

05spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1.amazonaws.com/bcv/guide/... · 05 El corrent altern...

Documents

Transcript of 05spain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1.amazonaws.com/bcv/guide/... · 05 El corrent altern...