1

2. Einzielentscheidungen mit einem Szenarium

Entscheidungssituation, in der ein Entscheider unter Berück-sichtigung nur eines Ziels in einer Sicherheitssituation eine Auswahl aus mehreren Alternativen treffen muß

Konsequenzen des Umweltzustandes bezüglich der Zielgröße werden beschrieben durch:

2.1 Deterministische Bewertung

2.2 Stochastische Bewertung

2.3 Fuzzy-Bewertung

2

2.1 Deterministische Bewertung

Ergebnisse in Form reeller Zahlen xi = g(ai)

Ergebnisse in Form von Nutzenwerten

(ordinale) Nutzenfunktion:

anspruchsniveaubezogene Zielformulierung

)a(gx)x(uu.bzw)a(gx)x(uu iiiiiiii

optimale Aktion a* A

)x(Min)a(gMin*)a(g.bzw)x(Max)a(gMax*)a(g ii

ii

ii

ii

3

2.2 Stochastische Bewertung

ausreichende Erfahrungen aus der Vergangenheit Konsequenzen in Form einfacher Wahrscheinlichkeitsverteilungen

über R

Ergebnisse in Form von normalverteilten Nutzenwerten

Normalverteilung mit Mittelwert und Standardabweichung

2

2

2)x(exp

21),|x(

),|x(),|x(u iiiiii ),|x(),|x(u.bzw iiiiii

4

Dichtefunktion normalverteilter Ergebnisse

Bei einer Normalverteilung - 68,27% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall- 95,45% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall - 99,73% der Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Intervall

],[ ]2,2[ ]3,3[

5

-Regel Mittelwerte als Entscheidungsgrundlage

starke Vereinfachung, Streuung wird vollkommen vernachlässigt

(,)-Regel Maximierung des Nutzenmittelwertes bei gleichzeitiger Minimierung

der Streuung Zweizielproblem lösbar durch Angabe der Indifferenzkurven

Risikoaversion

Risikofreude

Risikoneutralität

6

Beispiel - Portfoliotheorie:Wertpapiermischung zwischen

- einem festverzinslichen Papier F, dessen Ertrag N(F, F)- normalverteilt und

- einem Aktienpaket A, dessen Ertrag N(A, A)-normalverteilt ist,

wobei F < A und F < A

mit dem Mittelwert

Mischung aus x Teilen F, 0<x<1, und (1-x) Teilen A ist ebenfalls normalverteilt

AFM )x1(x

mit der Standardabweichung

FAAF22

A2F

2M )x1(x2)x1(x

7

Portfolio im (,)-Diagramm

F A

A

F

adäquate Entscheidungsregel für normalverteilte Ergebnisse, die durch Parameter und vollständig beschrieben sind

8

Schiefverteilte Ergebnisse

Mehrgipflige Ergebnisse

9

2.3 Fuzzy-Bewertung nicht ausreichende Erfahrungen aus der Vergangenheit vages Wissen in Form von Fuzzy-Größen

Abgrenzung in der Praxis schwierig wegen Grenzfällen Fuzzy-Menge: Ist X eine Menge von Objekten, die hinsichtlich einer unscharfen Aussage zu bewerten sind , so heißt

eine unscharfe Menge auf X (fuzzy set in X).

subjektive Zugehörigkeitsfunktion A

Menge im Sinne von Cantor: Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten

unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen scharf abgegrenzte Menge, a A oder a A

]1,0[X:mit}Xx|))x(,x({A~ AA

10

< 2.6 > Unscharfe Menge „junge Männer“

11

< 2.7 > Unscharfe Menge „ungefähr gleich 8“

}))8x(1()x(|))x(,x{(A~ 12A

2A

R

sonst0

11x8für3

x11

8x5,5für5,2

5,5x

)x(mit}))x(,x{(B~ B2

B R

0 2 4 6 8 10 12 14 x

1(x)

)x(A

)x(B

12

< 2.8 > Prognose des Finanzexperten P. Rognose über den LIBOR im nächsten Jahr:

„Der LIBOR liegt im nächsten Jahr über 3% und unter 8%, am ehesten aber erwarte ich, daß er im Intervall [5%; 5.5%] liegt.“

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

1(x)

)x(C

Fuzzy-Größen zur dem Informationsstand des Entscheiders angepaßten Form der Wissensmodellierung

13

Fuzzy-Größen

Gesamtheit ihrer -Niveau -Mengen

Beschränkung auf prominente Zugehörigkeitswert/ -Niveaus

})x(|Xx{A A

1)u(:1 ix

)u(: ix

)u(: ix

ixix

1ix

1ix

ix

ix

,ii

1i

1iiii )x,x,x,x,x,x(X~

stückweise lineare Zugehörigkeitsfunktion des --Typs

14

arithmetische Operationen mit Fuzzy-Größen erweiterte Addition:

< 2.9 > 5 Alternativen

,11,11 )b,b,b,b,b,b()a,a,a,a,a,a( ,1111 )ba,ba,ba,ba,ba,ba(

,1 )5,3;3;5,2;2;5,1;1(X~ ,

2 )6;3,5;5;4;8,3;3(X~ ,

3 )11;10;9;8;7;6(X~ ,4 )12;7,10;10;5,8;3,7;5,6(X~

,5 )10;5,9;9;5,8;2,8;8(X~

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1X~ 4X~3X~ 5X~2X~

15

Nutzenfunktion:

-Präferenz

-Präferenz

Niveau-Ebenen-Verfahren

,ii

1i

1iiiiii )x,x,x,x,x,x(X~)a(U~U~

,ii

1i

1iiiiii )x,x,x,x,x,x(X~)a(U~U~

Auswahl der nutzenmaximalen Alternative Rangordnung von Fuzzy-Größen

16

-PräferenzEine Menge wird einer Menge auf dem Niveau [0,1] vorgezogen, und man schreibt , wenn die kleinste reelle Zahl ist, so daß für alle [, 1]

und für wenigstens ein [, 1] diese Ungleichung im strengen Sinne erfüllt ist. Dabei sind und die -Niveau-Mengen von bzw. .

)a(U~ k

)a(U~ k

)a(U~ i

)a(U~ i)a(U~)a(U~ ik

)(aU~ Sup)a(U~ Inf ik

})x( | Xx{)a(U )a(Ui i })x( | Xx{)a(U )a(Uk k

)a(U k

1

))a(U~(S k))a(U~(S i

)a(U i

17

kann gelten für

für =

für =

für = 1

)a(U k

1

))a(U~(S k))a(U~(S i

)a(U i

)a(U~)a(U~ ik

ob ein Entscheidungsträger ein Präferenzniveau für aus-reichend hält, hängt von seiner subjektiven Risikoeinstellung ab.

18

für =

für =

für = 1

eher pessimistsiche Grundhaltung, da nur die negativen und nicht gleichzeitig die positiven Aspekte berücksichtigt werden

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1X~ 4X~3X~ 5X~2X~

19

-PräferenzEine Menge wird einer Menge auf dem Niveau [0,1] vorgezogen, und man schreibt , wenn die kleinste reelle Zahl ist, so daß und für alle [, 1] und für wenigstens ein [, 1] diese Ungleichung im strengen Sinne erfüllt ist.

)a(U~ k )a(U~ i)a(U~)a(U~ ik

)(aU~ Sup)a(U~ upS ik )(aU~ Inf)a(U~ nfI ik

1

)a(U k

)a(U i

20

schwächere Ordnungsrelation, deswegen nur mit das restriktivste Zugehörigkeitsniveau verwenden

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1X~ 4X~3X~ 5X~2X~

Niveau-Ebenen-Verfahren für Fuzzy-Intervalle des --Typs

6xx

6xx

6xx

x̂1i

1iiiii

i

21

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1X~ 4X~3X~ 5X~2X~

25,26

5,136

5,335,225,11x̂1

52,46

1,27x̂2 5,8651x̂3 17,9

655x̂4 67,8

62,53x̂5

20,01225,2)1(R 41,0

1252,4)2(R 77,0

125,8)3(R

83,01217,9)4(R 79,0

1267,8)5(R

Werte ins Verhältnis zur Länge des kleinsten Intervalls, das die stüt-zenden Mengen enthält, als Sicherheitsschranke )j()i( RR