1 Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Peter Kneisel Sommersemester 2009.
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1 Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Peter Kneisel Sommersemester 2009
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Algorithmen &Datenstrukturen
Prof. Dr. Peter Kneisel
Sommersemester 2009
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Didaktik: Durchführung
Diese Vorlesung enthält Übungen Die Übungen werden je nach Bedarf durchgeführt. Zur Vorbereitung werden Übungsblätter, je nach Vorlesungsverlauf
zusammengestellt. Weitere Übungen sind im Foliensatz vorhanden und sollten selbständig und
vollständig bearbeitet werden.
Vorsicht ! Kommen Sie in alle Veranstaltungen - machen Sie die Übungen … auch wenn vieles auf JAVA zugeschnitten ist, so sind die Konzepte
verallgemeinbar und vielseitig zu verwenden – insb. seien mir syntaktische „Ungenauigkeiten“ verziehen und sogar zusätzclicher Ansporn für eigene konstruktive Verbesserungsvorschläge ;-)
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Didaktik: Folien
Der Vorlesungsstoff wird anhand von Folien dargelegt Die Folien bilden nur einen Rahmen für die Inhalte. Die Folien sollten daher mit Hilfe
eigener Vorlesungsskizzen ergänzt werden - am besten in Form einer Vorlesungsnachbereitung max. 3 Tage nach der Vorlesung
Zusätzlich zu den Folien werden Beispiele an der Tafel oder am Rechner gezeigt. Diese sollten Sie vollständig mitskizzieren.
Zur vollständigen Nachbereitung, z.B. als Klausurvorbereitung, sind die Folien einheitlich strukturiert
Es gibt genau drei Gliederungsebenen: Kapitel, Unterkapitel, Abschnitte Die Inhalte jedes Kapitels und jedes Unterkapitels werden jeweils motiviert und sind
verbal beschrieben. Zusätzlich gibt es jeweils ein stichwortartiges Inhaltsverzeichnis der Unterkapitel, bzw. Abschnitte
Die Vorlesung wird ständig überarbeitet, so dass sich die Foliensätze ändern können (und werden)
Laden Sie sich zur endgültigen vollständigen Klausurvorbereitung nochmals zusätzlich den kompletten Foliensatz herunter.
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Literatur
Diese Veranstaltung ist anhand (wirklich) vieler Bücher und einer Menge eigener Erfahrungen erstellt worden. Jedes Buch hat dabei Schwerpunkte in speziellen Bereichen und ist daher sinnvoll. Eine Auflistung aller dieser Bücher ist nicht sinnvoll.Stellvertretend für all diese Bücher sei hier ein Buch angeführt:
Robert Sedgewick: „Algorithmen in Java: Teil 1-4“; Addison-Wesley 2003
viele Programmierbeispiele sind auch aus: G.Saake, K.-U. Sattler: „Algorithmen & Datenstrukturen: Eine Einführung mit Java“,
dpunkt.verlag, 2002
der Klassiker ist: N.Wirth: „Algorithmen & Datenstrukturen“, Teubner, 1979
Motivation ist alles !Haben Sie meine Empfehlungen aus dem ersten Semester beherzigt ?
S.Singh: „Fermats letzter Satz“; DTV, 9.Auflage 2004 M. Spitzer: „Geist im Netz“; Spektrum, Akad. Verlag 2000 H. Lyre: „Informationstheorie“; UTB, 2002 A.Hodges: „Alan Turing, Enigma“; Springer-Verlag, 1983 D.R.Hofstadter: „Gödel, Escher, Bach“; Klett-Cotta, 2006 (Taschenbuch 1991)
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Inhalt
In „Grundlagen der Informatik“ haben wir uns mit zwei grundlegenden Aspekte der Informatik befasst:
Was ist Information und wie kann man diese auf höheren semantischen Ebenen strukturieren.
Aus welchen einfachen Elementen ist ein (imperativer) Algorithmus aufgebaut
„Algorithmen & Datenstrukturen“ nimmt diese Zweiteilung auf: Zunächst werden wir die semantische Leiter nach oben steigen und komplexere
semantische Strukturen kennenlernen, die grundlegend für Lösungen vieler typischer Problemstellungen sind.
Anschließend werden wir die wichtigsten Algorithmen kennenlernen, die auf diesen Strukturen arbeiten.
Inhalt1. Abstrakte Datentypen (ADTs)2. Suchen: Grundlagen, Algorithmus, Analyse3. Sortieren Grundlagen, Algorithmus, Analyse
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Überblick und Einordnung
Elemente
OOP
Information
RAGDI
Strukturierung
Sta
tik,
Str
uktu
r
Codes
Zeichen
Zahlen
Datenstrukturen
Verifikation
Komplexität
A&D
Dyn
amik
, A
lgor
ithm
ik
ADTsSuchen
Sortieren
PIS
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Kapitel 1 Abstrakte Datentypen (ADTs)
In „Grundlagen der Informatik“ haben wir elementare Strukturen kennengelernt und gesehen, wie daraus mit komplexeren Strukturierungsverfahren komplexere Strukturen aufgebaut werden können.Wir haben uns dabei genau auf die Strukturen beschränkt, die den meisten imperativen Programmiersprachen gemeinsam sind.In diesem Kapitel gehen wir nun in semantisch höhere Ebenen und erläutern Strukturen, die häufig verwendet werden, aber nicht im Sprachumfang der meisten Programmiersprachen liegen (sehr wohl aber in Klassenbibliotheken)
Inhalt1. Wiederholung
2. Was sind ADTs
3. Stacks (Kellerspeicher, Stapel)
4. Queues (Warteschlangen)
5. Einfach verkettete Listen
6. Zweifach verkettete Listen
7. Hashlisten
8. Bäume
9. Graphen
10. Frameworks
1.1 Wiederholung
Wir haben bereits in „Grundlagen der Informatik“ einiges über die Beziehung von Datentypen erfahren.Was, wird hier kurz zusammengefasst
1. Datenstrukturen
2. Datentypen
3. KLassifikation von Datentypen
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1.1.1 Datenstrukturen
In der Informatik werden Objekte der realen oder abstrakten Welt erfasst Bei der Erfassung beschränkt man sich möglichst auf die für den weiteren
Transport / Speicherung/Verarbeitung/Umsetzung notwendige Information
Zur internen Repräsentation werden diese Objekte abstrahiert Zur Abstraktion gehört die Erkennung von Strukturen - zunächst im Sinne einer
Aggregation. Also
Aus welchen Teilobjekten bestehen Objekte ? In welchem Verhältnis stehen die Teilobjekte zueinander ? Welches sind die „atomaren“ Teilobjekte ?
es existieren noch weitere strukturelle Beziehungen (z.B. Vererbung)
Anschließend werden diese Objekte typisiert. Typisierung ist die Einteilung von abstrakten internen Objekten in Gruppen mit
gleichen oder ähnlichen Eigenschaften.
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1.1.2 Datentypen
Typen sind also nicht die intern repräsentierten Objekte, sondern beschreiben die Eigenschaft einer Gruppe von Objekten.
Zu diesen Eigenschaften gehören: Struktur Wertebereich anwendbare Operatoren, Funktionen, Relationen Beziehungen zu anderen Typen interne Repräsentationsweise …
Einige Anmerkungen:: Der Begriff „Datentyp“ ist weitergehend als der Begriff „Datenstruktur“ In der Objektorientierten Programmierung wird statt „Datentyp“ auch der Begriff
„Klasse“ verwendet (Klassen beschreiben mehr Eigenschaften) Konkrete Repräsentanten eines Datentyps werden (u.a) „Variable“ oder
- bei OO-Sprachen - „Instanz“ genannt
Beispiel:
Imaginäre Zahlen
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1.1.3 Klassifikation der Datentypen
Datentypen
IdealisierteAbstrakteKonkrete
Einfache StrukturiertePointer(Zeiger)
Boolean(Wahrheitswert)
Integer(Ganzzahl)
Char (Zeichen)
Enumeration (Aufzählung)
Ordinale Real(Fließkomma)
Array (Feld)
Record (Verbund)
Union(Variantenverb.)
...
...
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1.1.3 Erläuterung der Klassifikation
Idealisierte Datentypen aus der Mathematik bekannte Datentypen: R, N, Z, ... Variablen dieser Typen sind oft nicht endlich darstellbar (Bsp: 2) In einem Computer-Algebra-System symbolisch darstellbar (Bsp: 2^( 1/2))
Konkrete Datentypen in einem Rechner von Hard- oder Software bereitgestellte Datentypen entweder vordefiniert oder durch den Benutzer definierbar
Abstrakte Datentypen verbergen ihren inneren Aufbau vor dem Benutzer bestehen aus beliebigen Strukturen über konkrete/idealisierte Datentypen, sowie aus
Zugriffsfunktionen bzw. Prozeduren Beispiel: Baum
2 12 15
79
6 61
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insert (Element)
delete (Element)
search (Element)
1.2 Was sind ADTs
„Ein abstrakter Datentyp fasst die wesentlichen Eigenschaften und Operationen einer Datenstruktur zusammen, ohne auf deren eigentlichen Realisierung im Rechner einzugehen“Konkrete Datentypen werden aus ordinalen (Basis-) Datentypen konstruiert und sind somit direkt in einer Implementierung einsetzbar.
1. Grundsätze
2. Algebren
3. Signaturen
4. Axiome
5. Beispiel einer ADT-Schnittstelle
6. Anwendung: Tabelle
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1.2.1 Grundsätze
Kapselung:Ein abstrakter Datentyp darf nur über seine Schnittstellen benutzt werden.Das bedeutet insbesondere,
dass interne Strukturen von außen nicht direkt zugreifbar sind dass interne Strukturen, die nicht über Operationen der Schnittselle zugreifbar sind, gar
nicht von außen zugegriffen werden können.
Geheimnisprinzip:Die interne Realisierung eines abstrakten Datentyps ist verborgen.Das bedeutet insbesondere,
dass konkrete Umsetzungen von ADTs sehr stark von der verwendeten Programmiersprache und der geplanten Verwendung abhängen.
Diese Prinzipen der Kapselung und des Geheimnisprinzips wurden schon in frühen rein prozeduralen imperativen Programmiersprachen gefordert, aber erst mit der Einführung objektorientierter imperativer Programmiersprachen ducrh Sprachkonstrukte mehr oder weniger erzwungen.
In Pascal konnte man Teilstrukturen eines abstrakten Datentyps jederzeit auch von außen zugreifen. Die möglichen Operation waren sprachlich nicht mit den Strukturen verknüpft.
In Java werden Datenstrukturen als „private“ vor Zugriffen von außen geschützt und Operationen in Methoden „geheim“ realisiert.
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1.2.2 Algebren
Datentypen (auch abstrakte) lassen sich mathematisch als „Algebren“ betrachten ( Vorlesung „Diskrete Strukturen“)
Eine Algebra ist definiert durch Wertemengen und die Operatoren, die man darauf anwenden kann.
Bsp: Betrachten Sie die natürlichen Zahlen. darauf lassen sich (zunächst) die Operatoren: +, -, x und % (ganzahliges Teilen)
anwenden, als Ergebnis bekommen Sie Werte aus der Wertemenge der natürlichen Zahlen
Sie können aber auch Vergleichsoperatoren: >, <, ==, != anwenden, dann bekommen Sie als Ergebnis Werte einer anderen Wertemenge, die der bool‘sche Zahlen: true, false,
Sie können nun auf die Wertemenge der bool‘schen Werte auch bool‘sche Operatoren anwenden: , , als Ergebnis bekommen Sie wieder bool‘sche Werte.
Ihre gesamte Algebra verwendet also zwei Sorten von Datenstrukturen (mehrsortige Algebra): natürliche Zahlen und bool‘sche Werte und kann darauf unterschiedliche Operatoren anwenden: +, -, x, %, >, <, ==, !=, , , wobei nicht jeder Operator auf jeden Wert (oder Wertepaar) anwendbar ist.
Eine Algebra ist also definiert durch ihre Sorten, die Operationen und die Art, wie diese Operationen auf Werte der Sorten anwendbar sind.
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1.2.3 Signaturen
Die Schnittstellen eines (A)DTs - also die Art, wie man den (A)DT verwendet -lassen sich durch seine Signatur beschreiben.
Bsp: betrachten Sie den Datentyp integer: integer unterstützt/erzeugt zwei Sorten: integer und bool integer unterstützt die Operatoren:
const : integer // nullstelliger Operator: Konstantesuccessor : integer integer // einstellige Operation+, -, x, % : integer integer integer // zweistellige Operation >, <, ==, != : integer integer bool // zweistellige Operation, : bool bool bool // zweistellige Operation : bool bool // einstellige Operation
Diese Formalisierung einer Algebra beschreibt die Strukturen und die Operationen eines (abstrakten) Datentyps und wird Signatur des Datentyps genannt.Aus der Signatur eines (A)DTs geht also insbesonder hervor:
Dessen Wertebereiche in den unterschiedlichen Sorten Die Operatoren und deren Stelligkeit Die Wertebereiche der bei den Operationen verwendeten Operanten
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1.2.4 Axiome
Selbst wenn Sie die Signatur eines (A)DT kennen, wissen Sie zwar welche Operatoren auf welche Wertebereiche (Sorten) anzuwenden sind, Sie wissen aber immer noch nicht wie die Werte durch die Operatoren verändert werden:Das beschrieben Sie mit Axiomen.
Bsp.: Betrachten Sie die natürlichen Zahlen, so gilt z.B. für die Addition folgendes Axiom:+ (i,0) = i
+ (i,successor (j)) = succesor (+ (i,j))
Entsprechend lassen sich für alle Operatoren Axiome aufstellen. Damit ergibt sich als Spezifikation für den ADT integer: (in Pseudo-Notation)type: integer // implizit auch verwendbare Sorte
import: boolean // Sorten, die zusätzlich verwendet werden
operators:
+, -, x, % : integer integer integer ...
axioms: i,j : integer + (i,0) = i
+ (i,successor (j)) = succesor (+ (i,j))
...17
1.2.5 Beispiel einer ADT-Schnittstelle
type: list(T) // T ist die Wertemenge der Elemente
// T ist ein sog. Sortenparameter
import: integer
operators:
[] : list _ : _ : T x list list // erweitert Liste // _ : _ ist Infix-Operator
head : list T // Kopf der Liste tail : list list // Liste ohne Kopf length : list integer // Anzahl Listenelementeaxioms: l : list, x : T head ( x : l ) = x
tail ( x : l ) = l
lenght ( [] ) = 0 // [] ist leere Liste
length ( x : l ) = successor ( length (l) )
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1.2.6 Anwendung: Tabellen
Listen repräsentieren oft „Tabellen“: Definition:
Eine Tabelle o der Größe n ist eine Folge (z.B. Liste) von n Elementen gleichen Typs o = (o1, o2, … , on)
Oft sind die Elemente einer Tabelle nochmals in zwei Teile unterstruktiert: Schlüssel-Daten (key)
Die Schlüsseldaten bezeichnen (oft eindeutig) das Element einer Liste.Der Key kann nochmals unterstrukturiert sein.
Informations-Daten (info)Die Informations-Daten geben für das durch den key bezeichnete Element zusätzliche Informationen an.Auch info kann nochmals unterstrukturiert sein.
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key1 info1
key2 info2
keyn infon
…
Anmerkung:Da die Indizierung von Listen invielen Programmiersprachen mit„0“ beginnt, man aber in der realenWelt mit „1“ zu zählen beginnt, wirddas „0“-te Element oft als Dummy-Element mit einem Dummy-Wertversehen und ignoriert.
1.3. Stacks (Kellerspeicher, Stapel)
Stacks (Kellerspeicher, Stapel) sind einfache Abstraktionen von Strukturen, die in vielen Bereichen der Informatik, insbesondere aber in den systemnahen Bereichen verwendet werden.Stacks bezeichnet man manchmal auch als LIFO (Last in – First Out)-Schlangen
1. Spezifikation
2. Implementierung
3. Die Java-Klasse „stack“
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1.3.1 Spezifikation
type: stack(T) // T ist die Wertemenge der Elemente
import: boolean
operators:
empty : stack // erzeugt leeren Stack push : stack x T stack // Legt Element auf Stack pop : stack stack // nimmt Element von Stack top : stack T // zeigt oberstes Element an is_empty : stack boolean // ist Stack leer ?axions: s : stack, x : T pop (push (s,x)) = s
top (push (s,x)) = x
is_empty (empty) = true // empty ist Wert des Stack
is_empty (push (s,x)) = false
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1.3.2 Implementierung eines Stacks
public class ArrayStack implements Stack {
private Object elements[] = null; // Elemente
private int num = 0; // aktuelle Anzahl
// Stack mit vorgegebener Größe erzeugen
public ArrayStack(int size) {
elements = new Object[size];
}
// Abfrage auf leeren Stack
public boolean isEmpty() {
return num == 0;
}
public void push(Object obj) throws StackException {
if (num == elements.length)
// KapazitŠt erschöpft
throw new StackException();
elements[num++] = obj;
}
public Object pop() throws StackException {
if (isEmpty()) // Stack ist leer
throw new StackException();
Object o = elements[--num];
elements[num] = null;
return o;
}
public Object top() throws StackException {
if (isEmpty()) // Stack ist leer
throw new StackException();
return elements[num - 1];
}
}
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1.3.3 Die Java-Klasse „stack“
import java.util.*;
public class StackExample {
public static void main(String[] args)
{
Stack s = new Stack(); // ohne Parameter
s.push("Erstes Element"); // Rückgabewert: eingefügtes Element ...
s.push("Zweites Element"); // ... wird ignoriert
s.push("Drittes Element");
while (true) {
try {
System.out.println(s.pop()); // ? peek() würde Element entfernen } catch (EmptyStackException e) { // wird beim Lesezugriff auf ...
break; // ... leeren Stack geworfen
}
}
}
}
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1.4. Queues
Queues (Warteschlangen) sind lineare Listen, deren Elemente nach dem FIFO-Prinzip (First in–First Out) ein- bzw. ausgefügt werden Auch Queues kommen in systemnahen Bereichen vor, insbesondere bei Betriebssystemen.
1. Spezifikation
2. Implementierung einer Queue
3. Die Java-Klasse „queue“
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1.4.1 Spezifikation
type: queue(T) // T ist die Wertemenge der Elemente
import: boolean
operators:
empty : queue // erzeugt leere Queue enter : queue x T queue // stellt Element ans Ende der Queue leave : queue queue // nimmt erstes Element von Queue front : queue T // zeigt erstes Element der Queue is_empty : queue boolean // Ist Queue leer ?axions: q : queue, x : T // empty ist der Wert einer leeren queue leave (enter (empty,x)) = empty
// (x) ohne Kopf = empty
leave (enter (enter(q,x),y)) = enter (leave (enter (q,x)), y)
// (q,x,y) ohne Kopf = (q,x) ohne Kopf + y -> ((q,x) ohne Kopf,y)
front (enter (empty,x)) = x
// Kopf von (x) = x
front (enter (enter(q,x), y)) = front (enter (q,x))
// Kopf von (q,x,y) = Kopf von (q,x)
is_empty (empty) = true // is_empty von empty ist true
is_empty (enter(q,x)) = false // is_empty von (q,x) ist falsch 25
1.4.2 Implementierung einer Queue
public class ArrayQueue implements Queue {
private Object[] elements; // Elemente
private int l = 0; // „lower“ Zeiger
private int u = 0; // „upper“ Zeiger
// in der Queue sind max. size-1 Elemente
// Queue mit vorgegebener Länge erzeugen
public ArrayQueue (int size) {
elements = new Object[size];
}
public boolean isEmpty () {
return l == u;
}
// Zeige das lower Element
public Object front () throws QueueException {
if (isEmpty ())
throw new QueueException ();
return elements[l];
}
// Einfügen eines Elementes
public void enter (Object obj) throws QueueException {
if ((elements.length - l + u) % elements.length
== elements.length - 1)
// Kapazität ist erschöpft (= size-1)
throw new QueueException ();
elements[u] = obj;
// oberen Zeiger aktualisieren
u = (u + 1) % elements.length;
// Modulo, da array zyklisch verwendet.
}
// Herausnehmen des lower-Elementes
public Object leave () throws QueueException {
if (isEmpty ())
throw new QueueException ();
Object obj = elements[l];
elements[l] = null;
// unteren Zeiger aktualisieren
l = (l + 1) % elements.length;
return obj;
}
}26
1.4.3 Die Java-Klasse „queue“
import java.util.*;
public class QueueExample {
public static void main(String[] args)
{
Queue<String> queue = new LinkedList<String>(); // <...> gibt den Typ
// von Elementen an
queue.offer( "Fischers" );
queue.offer( "Fritze" );
queue.offer( "fischt" );
queue.offer( "frische" );
queue.offer( "Fische" );
queue.poll();
queue.offer( "Nein, es war Paul!" );
while ( !queue.isEmpty() )
System.out.println( queue.poll() );
}
}
// und es gibt noch einige weitere Queues in java.util.*
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1.5 Einfach verkettete Liste
Listen sind (ziemlich) simple Datentypen, die sich statisch durch den konkreten strukturierten Datentyp „array (Feld)“ darstellen lässt und damit in den meisten Programmiersprachen implizit vorhanden ist.In der nicht-imperativen Programmiersprache LISP ist „Liste“ zudem der einzige strukturierte Datentyp.Möchte man die Länge einer Liste jedoch zur Laufzeit eines Programmes dynamisch verändern so muss man auf eigenen Umsetzungen mithilfe eines ADTs zurückgreifen.
1. class
2. main
3. Methoden
4. Implementierung als Liste
28
1.5.1 class
public class List {
static class Node {
Object obj;
Node next;
public Node(Object o, Node n) { obj = o; next = n; }
public Node() { obj = null; next = null; }
public void setElement(Object o) { obj = o; }
public Object getElement() { return obj; }
public void setNext(Node n) { next = n; }
public Node getNext() { return next; }
}
private Node head = null;
public List() {}
public void addFirst(Object o) {}
public void addLast(Object o) {}
public Object getFirst() throws ListEmptyException {}
public Object getLast() throws ListEmptyException {}
public Object removeFirst() throws ListEmptyException {}
public Object removeLast() throws ListEmptyException {}
public int size() {}
public boolean isEmpty() {}
} 29
1.5.2 main
public static void main(String args[]) {
List lst = new List();
lst.addFirst("Drei");
lst.addFirst("Zwei");
lst.addFirst("Eins");
lst.addLast("Vier");
lst.addLast("Fünf");
lst.addLast("Sechs");
while (! lst.isEmpty()) {
System.out.println((String) lst.removeFirst());
}
}
30
1.5.3 Methoden
public List() { head = new Node();}
public void addFirst(Object o) { Node n = new Node(o, head.getNext()); head.setNext(n);}
public Object getFirst() throws ListEmptyException
{ if (isEmpty()) throw new ListEmptyException(); return head.getNext().getElement();}
public void addLast(Object o) { Node l = head; while (l.getNext() != null) l = l.getNext(); Node n = new Node(o, null); l.setNext(n);}
public Object removeFirst() throws ListEmptyException {
if (isEmpty()) throw new ListEmptyException(); Object o = head.getNext().getElement(); head.setNext(head.getNext().getNext()); return o;}
public Object removeLast() throws ListEmptyException {
if (isEmpty()) throw new ListEmptyException(); Node l = head; while (l.getNext().getNext() != null) l = l.getNext(); Object o = l.getNext().getElement(); l.setNext(null); return o;}
31
1.5.4 Implementierung als Liste
public class ListStack implements Stack { private List list; // Liste zur Verwaltung der Elemente public ListStack () { list = new List (); } public void push (Object obj) { // Element vorn anfŸgen list.addFirst (obj); } public Object pop () throws StackException { if (isEmpty ()) throw new StackException (); // Element von vorn entfernen return list.removeFirst (); } public Object top () throws StackException { if (isEmpty ()) throw new StackException (); return list.getFirst (); } public boolean isEmpty () { return list.isEmpty (); }}
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1.6 Zweifach verkettete Liste
Aus bestimmten Gründen – vor allem Laufzeit-Effizienz – verwendet man oft Listen, deren einzelne Elemente nicht nur den jeweiligen Nachfolger, sondern auch den jeweiligen Vorgänger kennen.Diese Listen nennt man das „Zweifach bzw. Doppelt verkettete Listen“
1. class
2. iterator
3. main
4. Methoden
33
1.6.1 class
public class DList {
static class Node {
Object obj;
Node prev, next;
public Node (Object o, Node p, Node n) { obj = o; prev = p; next = n; }
public Node () { obj = null; prev = next = null; }
...
// Setter und Getter-Methoden
public void setElement (Object o) { obj = o; }
public Object getElement () { return obj; }
public void setNext (Node n) { next = n; }
public Node getNext () { return next; }
public void setPrevious (Node p) { prev = p; }
public Node getPrevious () { return prev; }
}
private Node head = null;
private Node tail = null;
...
public java.util.Iterator iterator () {}
}
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1.6.2 iterator
class ListIterator implements java.util.Iterator { private Node node = null; public ListIterator () { node = head.getNext(); } public boolean hasNext () { return node.getNext () != tail; } public void remove () { throw new UnsupportedOperationException (); } public Object next () { if (! hasNext ()) throw new java.util.NoSuchElementException (); Object o = node.getElement (); node = node.getNext (); return o; } }
35
1.6.3 main
public static void main (String args[]) {
DList lst = new DList ();
java.util.Iterator it = lst.iterator ();
while (it.hasNext ()) {
System.out.println ((String) it.next ());
}
lst.addFirst ("Drei");
lst.addFirst ("Zwei");
lst.addFirst ("Eins");
lst.addLast ("Vier");
lst.addLast ("Fünf");
lst.addLast ("Sechs");
it = lst.iterator ();
while (it.hasNext ()) {
System.out.println ((String) it.next ());
}
}36
1.6.4 Methoden
public DList () { head = new Node (); // dieser Knoten existiert immer, auch bei leerer Liste tail = new Node (); // dieser Knoten existiert immer, auch bei leerer Liste head.setNext(tail); // head und tail werden initial miteinander verlinkt tail.setPrevious(head); tail.setNext(tail); // tail.next zeigt auf sich selbst}
public void addFirst (Object o) { Node n = new Node (o, head, head.getNext()); head.getNext ().setPrevious (n); head.setNext (n);}
public Object getFirst () throws ListEmptyException { if (isEmpty ()) throw new ListEmptyException (); return head.getNext ().getElement ();}
public void addLast (Object o) { Node l = tail.getPrevious (); Node n = new Node (o, l, tail); l.setNext (n); tail.setPrevious (n);}
public Object removeFirst () throws ListEmptyException {
if (isEmpty ()) throw new ListEmptyException (); Object o = head.getNext ().getElement (); head.setNext (head.getNext ().getNext ()); head.getNext ().setPrevious (head); return o;}
public Object removeLast () throws ListEmptyException {
if (isEmpty ()) throw new ListEmptyException (); Node n = tail.getPrevious (); n.getPrevious ().setNext (tail); tail.setPrevious (n.getPrevious ()); return n.getElement ();}
37
1.7 Hashlisten
Hashlisten sind Listenstrukturen, manchmal erweitert durch „weitere“ Strukturen, die sich sehr gut für das Suchen eignen ( Kapitel 2).Hier seien die grundlegenden Ideen des Hashens dargestellt.
1. Grundprinzip des Hashens
2. Die Hashfunktion
3. Behandlung von Kollisionen
4. Implementierung einer Hashliste
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1.7.1 Grundprinzipien des Hashens
Das Hashen basiert auf drei Grundprinzipien: Die Speicherung der Datensätze erfolgt in einem Feld mit Indexwerten von 0 bis n-1.
wobei die einzelnen Positionen als „Buckets“ (Eimer) bezeichnet werden. Eine Hashfunktion h bestimmt für ein zu speicherndes Element e dessen Position
h(e) im Feld Diese Hashfunktion h sorgt für eine „gute“ – im besten Fall kollisionsfreie, d.h.
injektive (meist aber „Nur“ kollisionsarme) Abbildung d.h. Verteilung der zu speichernden Elemente.
Da normalerweise der Wertebereich der möglicherweise zu speichernden Element größer ist als die Anzahl der Elemente in der Hashliste kann die Funktion h (meist) nicht für alle Werte n eindeutige Hashwerte h(n) liefern.Das führt zu Kollisionen, deren Behandlung die „Qualität“ eines Hashverfahrens ausmacht.
Ist die Hashfunktion ungeschickt gewählt, kann das Verfahren „entarten“, was zu teilweise dramatischen Geschwindigkeitsverlusten führen kann.
39
1.7.2 Die Hashfunktion
Die Auswahl der Hashfunktion h hängt natürlich vom zu speichernden Datentyp (bzw. dessen Wertebereich) und der Auftrittswahrscheinlichkeit der Werte ab.
Für Integerwerte i wird oft die Modulofunktion verwendet: h(i) = i mod n (wobei n die größe der Hashliste ist)
Diese Funktion funktioniert in der Regel nur für große primzahlige n gut(inbesondere ist n = 2x nicht gut !)
Beispiel: h(i) = i mod 7Index 0 1 2 3 4 5 6Element 28 36 16 66 25 75 27 (danach führt jedes Element zu Kollision)
Für andere Datentypen kann eine Abbildung auf Integerwerte erfolgen: Bei Fließkommazahlen kann man z.B. Mantisse und Exponent addieren Bei Strings kann man den ASCII oder Unicode der einzelnen Buchstaben, eventuell
mit einem Faktor gewichtet, miteinander addieren.
Meist ist eine Gleichverteilung der Bildbereiches der Hashfunktion wünschenswert, so dass man sich bestimmte Eigenschaften (z.B. ungleichgewichtige Verteilungen) des Urbildes zu Nutze machen kann und sollte.Andererseits geht die Komplexität der Hashfunktion h multiplikativ in die Gesamtkomplexität ein und sollte daher einfach gehalten werden. 40
1.7.3 Behandlung von Kollisionen
Führt die Hashfunktion für unterschiedlich Werte des Urbildes auf gleiche Hashwerte, so spricht man von Kollision, die man z.B. mit folgenden Verfahren behandeln kann:
Verkettung der Überläufer:Man erweitert die eindimensionale Listenstruktur der Hashliste um eine zweite Dimension (z.B. durch eine einfach verkettete Liste), in die man die kollidierenden Werte ablegt
Sondieren:Man legt den kollidierenden Wert an ein andere Stelle in der Hashliste ab, die sich durch die Berechnung eines Offsets ergeben:
beim linearen Sondieren wird die nächste freie Position verwendet.(also als Offset die Werte 1,2,3,4, …)
beim quadratischen Sondieren ergibt sich der mögliche Offset durch die Quadratzahlen (also 1,4,9,16,25, …).Dadurch wir d die „Klumpenbildung“, zu der das lineare Sondieren neigt, vermieden.
41
1.7.4 Implementierung einer Hashliste
42
public class HashTable {
Object[] table;
public HashTable (int size) {
table = new Object [size];
}
// fügt Element in Hashliste
public void add (Object o) {
int idx, oidx;
// berechnen Hashfunktion
oidx = idx = (o.hashCode () &
0x7fffffff) % table.length;
// falls Kollision -> suche nächstes Freies
while (table[idx] != null) {
idx = ++idx % table.length;
// fall Suche erfolglos -> Fehler
if (idx == oidx)
throw new HashTableOverflowException ();
}
// trage Wert ein
table[idx] = o;
}
// sucht Element in Hashliste
public boolean contains (Object o) {
int idx, oidx;
oidx = idx = (o.hashCode () &
0x7fffffff) % table.length;
while (table[idx] != null) {
if (o.equals (table[idx]))
return true;
idx = ++idx % table.length;
if (idx == oidx)
break;
}
return false;
}
public static void main (String[] args) {
HashTable tbl = new HashTable (20);
tbl.add („Au");
tbl.add („Oh");
tbl.add („Ah");
System.out.println (tbl.contains („Ah"));
System.out.println (tbl.contains („Be"));
}
}
1.8 Bäume
Bäume sind (zumindest) zweidimensionale Strukturen, die viele reale Strukturen abzubilden Vermögen und zudem sehr gut zum Durchsuchen geeignet sind.Es gibt daher sehr viele spezielle Arten von Bäumen, von denen hier stellvertretend vor allem die binären Bäume behandelt werden sollen.
1. Definitionen & Beispiele
2. Spezifikation
3. Datentypen
4. Traversierung
5. Weitere Bäume
43
1.8.1. Definitionen & Beispiele
Ein Baum ist eine Menge von Knoten und (gerichteten) Kanten mit folgenden Eigenschaften:
Ein ausgezeichneter Knoten wird als Wurzel bezeichnet Jeder Knoten (außer der Wurzel) ist durch genau eine Kante mit seinem
Vorgängerknoten verbunden (Vaterknoten, Elternknoten).Dieser Knoten wird dann auch als Kind (Sohn, Nachfolger) bezeichnet.
Ein Knoten ohne Kinder heißt Blatt Knoten mit Kindern heißen innere Knoten
44
… nich‘ so praktisch
… wie sich derInformatiker einenBaum vorstellt
1.8.1. Definitionen & Beispiele
Ein Pfad in einem Baum ist eine Folge von unterschiedlichen Knoten, in der die aufeinanderfolgenden Knoten durch Kanten verbunden sind
Zwischen jedem Knoten und der Wurzel gibt es genau einen Pfad Dies bedeutet, dass ein Baum zusammenhängend ist und keine Zyklen besitzt
Unter dem der Niveau (der Tiefe) eines Knotens versteht man die Länge dessen Pfades zu der Wurzel
Die Höhe (Tiefe) eines Baumes entspricht dem maximalen Niveau einesBlattes + 1 („+1“ da die Wurzel mitzählt)
Je nach Art und Anzahl von Kindern unterscheidet man zwischen n-ären Bäumen, wenn die maximale Anzahl von Kindern gleich n ist
(also z.B. binärer Baum, wenn die maximale Anzahl der Kinder gleich 2 ist) geordneten Bäumen, wenn die Kinder entsprechend einer Ordnungsrelation (z.B.
von links nach rechts) angeordnet sind
45
Tiefe 0
Tiefe 1
Tiefe 2
Tiefe 3
((1+2)*3)+(2+5)
1.8.2. Binäre Bäume: Spezifikation
type: tree (T) // T ist die Wertemenge der Elemente
import: boolean
operators:
empty : tree // erzeugt leeren Baum // verbindet zwei Bäume über neue Wurzel T
bin : tree x T x tree tree left : tree tree // liefert den linken Teilbaum right : tree tree // liefert den rechten Teilbaum value : tree T // liefert die Wurzel is_empty : tree boolean // ist Baum leer ?axions: s : stack, x : T left (bin (x,b,y)) = x // linker Teilbaum
right (bin (x,b,y)) = y // rechter Teilbaum
value (bin (x,b,y)) = b // Wurzel
is_empty (empty) = true // empty ist Wert des Baums
is_empty (bin (x,b,y)) = false
46
1.8.3 Binäre Bäume: Datentypen
47
static class TreeNode {
Object key; // Wert des Knotens
TreeNode left = null; // Referenz auf linken Teilbaum
TreeNode right = null; // Referenz auf rechten Teilbaum
// Konstruktor
public TreeNode (Object e) { key = e; }
// getter Methoden
public TreeNode getLeft () { return left; }
public TreeNode getRight () { return right; }
public Object getKey () { return key; }
// setter Methoden
public void setLeft (TreeNode n) { left = n; }
public void setRight (TreeNode n) { right = n; }
}
static class BinaryTree {
protected TreeNode root = null;
public BinaryTree () { }
public BinaryTree (TreeNode n) { root = n; }
}
TreeNode e1 = new TreeNode(“+“);
e1.setleft (new TreeNode(“1“));
e1.setright (new TreeNode(“2“));
TreeNode e2 = new TreeNode(“*“);
e2.setleft (e1);
e2.setright (new TreeNode(“3“));
TreeNode e3 = new TreeNode(“+“);
e3.setleft (new TreeNode(“2“));
e3.setright (new TreeNode(“5“));
TreeNode e = new TreeNode(“+“);
e.setleft (e2);
e.setright (e3);
Bäume baut man „von unten nach oben“ auf
1.8.4 Binäre Bäume: Traversierung
Je nach Reihenfolge unterschiedet man beim Baumdurchlauf folgende Traversierungsarten.
Inorder: Hier wird zuerst rekursiv der linke Teilbaum, danach der Knoten selbst, und schließlich der rechte Teilbaum durchlaufen.
Preorder: Hier wird zuerst der Knoten, danach zunächst rekursiv der linke Teilbaum und schließlich rekursiv der rechte Teilbaum durchlaufen.
Postorder: Hier wird zuerst rekursiv der linke Teilbaum, danach rekursiv der rechte Teilbaum, schließlich der Knoten durchlaufen.
Diese Traversierungsarten gehen also für jeden Knoten rekursiv in die Tiefen der beiden Teilbäume und können daher auch Tiefentraversierung genannt werden.Daneben gibt es noch eine Traversierungsart, die auf jedem Niveau alle Knoten berücksicht. Diese Breitentraversierung nennt man:
Levelorder: erst werden alle Knoten eines Niveaus durchlaufen, danach rekursiv die beiden Teilbäume
48
Inorder: 1 + 2 * 3 + 2 + 5Preoder: + * + 1 2 3 + 2 5Postorder: 1 2 + 3 * 2 5 + + ( UPN)Levelorder: + * + + 3 2 5 1 2
1.8.4 Binäre Bäume: Traversierung
49
private void printPreorder (TreeNode n) {
if (n != nullNode) {
System.out.println (n.toString ());
printPreorder (n.getLeft ());
printPreorder (n.getRight ());
}
}
private void printPostorder (TreeNode n) {
if (n != nullNode) {
printPostorder (n.getLeft ());
printPostorder (n.getRight ());
System.out.println (n.toString ());
}
}
protected void printInorder (TreeNode n) {
if (n != nullNode) {
printInorder (n.getLeft ());
System.out.println (n.toString ());
printInorder (n.getRight ());
}
}
private void printLevelorder (Queue q) {
while (! q.isEmpty ()) {
TreeNode n = (TreeNode) q.leave ();
if (n.getLeft () != nullNode)
q.enter (n.getLeft ());
if (n.getRight () != nullNode)
q.enter (n.getRight ());
System.out.println (n.toString ());
}
}
...
// zur Zwischenspeicherung der Knoten ->1.4.2
Queue queue = new ArrayQueue ();
// Initialisierung
queue.enter (root);
// Aufruf
printLevelorder (queue);
1.8.5 Weitere Bäume
Für spezielle Anwendungen des Suchens und Sortierend werden bestimmte Spezialformen von Bäumen verwendet
Ausgeglichene (balanced) Bäume: Hier wird beim Auf- und Abbau des Baumes versucht ,die Tiefen der Teilbäume möglichst ähnlich oder sogar gleich zu halten:
AVL-Bäume sind binäre Bäume und beschränken die Niveaudifferenz aller Teilbäume auf 1.Sie werden vor allem zum Suchen verwendet .
B-Bäume (b steht für balanciert, buschig, breit) sind n-äre Bäume, bei denen alle Teilbäume gleichtief sind. Diese sind also meist nicht binär.Sie werden oft bei Datenbanksystemen zur Indexierung verwendet.
Digitale Bäume: Das sind n-äre Bäume die eine feste Anzahl von Verzweigungen (Nachfolgenknoten) unabhängig von den Werten im Baum haben.
Tries (retrieval): sind n-äre Bäume bei denen die n Werte (z.B. 127 ASCII-Werte) des Knotens als Index für die Nachfolgeknoten verwendet werden.Sie werden zum Suchen von Worten in Texten verwendet. (
Patricia-Bäume (Practical Algorithm to Retrieve Information Coded in Alphanumeric): Spezielle Form von Tries, bei denen Knoten mit nur einem Nachfolger übersprungen werden können.Auch Sie werden zum Suchen von Worten in Texten (oder von Gensequenzen in einem Genom) verwendet.
Kapitel 250
1.9. Graphen
Graphen sind (oft) die komplexesten Grundstrukturen, mit denen man es bei abstrakten Datentypen zu tun hat.,,, und tatsächlich sind die im vorherigen Unterkapitel behandelten Bäume Spezialfälle von Graphen.
1. Arten
2. Umsetzung
3. Implementierung eines Graphen
51
1.9.1 Arten
Es gibt (neben anderen) drei wichtige Arten von Graphen ungerichtete Graphen: Hier sind Knoten mit ungerichteten Kanten verbunden, d.h.
es gibt kein Nachfolge- oder Vorgänger-Beziehung und auch kein Einschränkungen bezüglich Anzahl von Kanten pro Knoten.Anwendungen findet man bei der Modellierung von Straßenverbindungen (ohne Einbahnstraßen), der Nachbarschaft von Gegenständen oder eines Telefonnetzes.
gerichtete Graphen: Hier sind Knoten durch gerichtete Kanten verbunden, es kann also zwischen zwei Knoten bis zu zwei Kanten geben (eine hin, eine zurück).Anwendungen sind Modelle von Förderanlagen, der Kontrollfluss von Programmre
gerichtete azyklische Graphen (DAG directed acyclic graphs): dieser Spezialfall von gerichteten Graphen erlaubt keine Zyklen im Graph, d.h. es darf keinen Pfad von einem Knoten zu sich selbst geben.
Zusätzlich können Kanten von Graphen noch gewichtet sein (gewichtete Graphen)
52
1
4
6
5
2
3
1
4
6
5
2
3
1
4 5
2
3
6
2575
2422
20
6430
1.9.2 Umsetzung
Die interne Darstellung von Graphen erfolgt (historisch) in vier Varianten: Knotenliste:
<#Knoten>,<#Kanten>, <Kanteniste> (<Kantenlliste> := <Vorgängerknoten>, <Nachfolgeknoten>)
6, 8, 1,2, 1,4, 3,2, 3,5, 4,5, 4,6, 5,2, 6,3 Kantenliste:
<#Knoten>,<#Kanten>, <Kantenliste> (<Kantenliste> := <#Nachfolgeknoten>,<Nachfolgeknoten, …>)
6, 8, 2,2,4, 0, 2,2,5, 2,5,6, 1,2, 1,3 Adjazenzmatrix
0 25 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 75 0 0 24 0 0 0 0 0 22 64 0 32 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0
dynamische Adjazenzliste
53
1
4 5
2
3
6
2575
2422
20
6430
321 2 3 4 5 6
2
4
2
5
5
6
2 3
1.9.3 Implementierung eines Graphen
54
public class Graph {
static class Edge {
int dest, cost;
public Edge(int d, int c) {
dest = d; // Nachfolgeknoten
cost = c; // Gewicht
}
}
private ArrayList nodes;
public Graph() {
nodes = new ArrayList();
}
public void addNode(String label) { ... }
public void addEdge(String src, String dest, int cost) { ... }
public Iterator getEdges(int node) { ... }
}
1.10. Frameworks
Aufgrund des häufigen Einsatzes dieser ADTs gibt es praktisch für jede Programmiersprache entsprechende Bibliotheken.
1. ADTs in Programmiersprachen
2. Bibliotheken in Java
55
1.10.1 ADTs in Programmiersprachen
ADTs werden in vielen Programmiersprachen unterstützt:
Diese Bibliotheken sind zwar teilweise standardmäßig in den Entwicklungsumgebungen enthalten, sind aber (meist) nicht Teil des Sprachumfangs
Manche Programmiersprachen besitzen ADTs als Teil des Sprachumfangs.(z.B. good ol‘ Pascal: sets)
Beispiele für C++ und Java: C++: Standard Template Library
(Vorsicht: nicht standardisiert !)(z.B. http://www.sgi.com/tech/stl)
:Java Collection Framework (http://java.sun.com/docs/books/tutorial/collections/index.html)
56
1.10.2 Bibliotheken in Java
In Java sind diverse Klassen definiert, die die hier beschriebenen ADTs implementieren:
Vector funktioniert wie ein array, das bei Bedarf dynamisch wachsen kann.Nur für Integerwerte.Generische Variante: ArrayList
Stackferweiterert Vector zu eimem LIFO-Stack.
LinkedListDoppelt verkettete Liste, kann auch als Queue (Warteschlange) eingesetzt werden.
HashMapHashliste.TreeMap kann auch für gehashten (assoziativen) Zugriff verwendet werden, ist intern als Baum aufgebaut und etwas langsamer – dafür sind die Schlüssel alle sortiert.
TreeSetBalancierter Binärbaum. Die Elemente im Baum sind sortiert
Diese Klassen befinden sich im Paket: java.util.* und können mit import java.util.* eingebunden werden.
57
1.11 Zusammenfassung
„Ein abstrakter Datentyp fasst die wesentlichen Eigenschaften und Operationen einer Datenstruktur zusammen, ohne auf deren eigentlichen Realisierung im Rechner einzugehen“
Stacks (Kellerspeicher, Stapel) sind einfache Abstraktionen von Strukturen, die in vielen Bereichen der Informatik, insbesondere aber in den systemnahen Bereichen verwendet werden.Stacks bezeichnet man manchmal auch als LIFO (Last in – First Out)-Schlangen
Queues (Warteschlangen) sind lineare Listen, deren Elemente nach dem FIFO-Prinzip (First in–First Out) ein- bzw. ausgefügt werden Auch Queues kommen in systemnahen Bereichen vor, insbesondere bei Betriebssystemen.
Listen sind (ziemlich) simple Datentypen, die sich statisch durch den konkreten strukturierten Datentyp „array (Feld)“ darstellen lässt und damit in den meisten Programmiersprachen implizit vorhanden ist.In der nicht-imperativen Programmiersprache LISP ist „Liste“ zudem der einzige strukturierte Datentyp.Möchte man die Länge einer Liste jedoch zur Laufzeit eines Programmes dynamisch verändern so muss man auf eigenen Umsetzungen mithilfe eines ADTs zurückgreifen.
Aus bestimmten Gründen – vor allem Laufzeit-Effizienz – verwendet man oft Listen, deren einzelne Elemente nicht nur den jeweiligen Nachfolger, sondern auch den jeweiligen Vorgänger kennen.Diese Listen nennt man das „Zweifach bzw. Doppelt verkettete Listen“
Bäume sind (zumindest) zweidimensionale Strukturen, die viele reale Strukturen abzubilden vermögen und zudem sehr gut zum Durchsuchen geeignet sind.Es gibt daher sehr viele spezielle Arten von Bäumen, von denen hier stellvertretend vor allem die binären Bäume behandelt werden sollen.
Graphen sind (oft) die komplexesten Grundstrukturen, mit denen man es bei abstrakten Datentypen zu tun hat (Tatsächlich sind die im vorherigen Unterkapitel behandelten Bäume Spezialfälle von Graphen)
Aufgrund des häufigen Einsatzes dieser ADTs gibt es praktisch für jede Programmiersprache entsprechende Bibliotheken.
58
2. Sortieren
Suchen und Sortieren sind grundlegende Operationen in der Informatik.Man schätzt, dass über 50% der Rechenzeiten auf diese Operationen zurückzuführen sind.Für diese beiden Operationen gibt es zwar völlig unterschiedliche Umsetzungen, doch sind beide Operationen mitteinander verwandt, denn oft basiert ein Suche auf sortierten Strukturen.Das ist auch der Grund, weshalb das (eher etwas kniffeligere) Sortieren vor dem Suchen behandelt wird.
1. Wiederholung: Komplexität
2. Grundlagen
3. Elementare Sortieralgorithmen
4. Fortgeschrittene Sortieralgorithmen
59
60
2.1 Wiederholung: Komplexität
In GDI haben wir den Begriff „Komplexität“ diskutiert und definiert. Komplexität, insbesomdere Zeitkomplexität (Aufwand) ist nun ein entscheidendes Kriterium für und wider den Einsatz der im folgenden behandelten Algorithmen und soll daher hier nochmals kurz wiederholt werden.
Inhalt1. Wie „gut“ ist ein Algorithmus
2. Die O-Notation
3. Häufige O-Ausdrücke
4. Einige Regeln
5. Quantitatives
6. Platzbedarf
61
2.1.1 Qualität eines Algorithmus
Die Abarbeitung eines Algorithmus benötigt „Ressourcen“, vor allem: Zeit Laufzeit des Algorithmus Platz Speicherplatzbedarf des Algorithmus
Problem bei der Ressourcenermittlung - der Ressourcenbedarf ist Abhängig von:
der Problemgröße (z.B. Multiplikation einer 10x10 bzw. 100x100 Matrix) der Eingabewerte (z.B. Sortieren einer bereits sortierten Menge) der Fragestellung (bester, mittlerer, schlechtester Fall) der Güte der Implementierung (z.B. (un-)geschickte Typwahl) der Hard- und Software (z.B. Schneller Rechner, optimierter Compiler)
Es gibt auch Qualitätsmerkmale eines Algorithmus, der sich nicht am Ressourcenbedarf festmachen (aber das ist eine andere Geschichte ...)
Wartbarkeit, Wartungsintensität Robustheit Eleganz ...
62
2.1.2 Die O-Notation: Definition
Definition:Eine Funktion g(n) wird O(f(n)) genannt („Die Laufzeit, der Aufwand, die Zeitkomplexität von g(n) ist O(f(n))“), falls es Konstanten c und n0 gibt, so dass:
g(n) cf(n), für fast alle n no ist f(n) ist damit eine obere Schranke für die Laufzeit des Algorithmus (allerdings nur
zusammen mit einem festen c und ab bestimmten n0) !
Die Problemgröße kann der Umfang der Eingabemenge sein, die Größe des zu verarbeitenden Objektes (z.B. der Zahl), …
Laufzeit
Problemgröße
g(n)
f(n)
cf(n)
no
g(n) cf(n), für alle n no
63
2.1.3 Die O-Notation: Beispiel
Beispiel: Bei der Analyse eines Algorith-
mus hat sich herausgestellt, dass die Laufzeit: g(n) = 3n2 + 7n – 1ist.
Behauptung:Die Laufzeit von g(n) ist O(n2), also f(n)=n2,
Beweis:Es muss Konstanten c und n0 geben, so dass gilt:
3n2+7n-1 c n2, für alle n n0
setze n0=7 und c=4, dann gilt:
3n2+7n-1 3n2+7n 3n2+n2 = 4n2
Allgemein: g(n) = amnm + am-1nm-1 + … + a0n0
amnm + am-1nm + … + a0nm
= nm (am + am-1 + … + a0 )
also: g(n) c nm
mit c = am + am-1 + … + a0
Laufzeit
Problemgröße
g(n)
f(n)=n2
cf(n) = 4 n2
no
g(n) cf(n), für fast alle n no
64
2.1.4 Die O-Notation: Schranken
Die Notation gibt nur eine obere Schranke der Komplexität , das muss nicht notwendigerweise die beste Schranke sein.
Beispiel: Eine weitere obere Schranke für g(n) = 3n2 + 7n - 1 ist auch O(n3), welche sicher nicht die beste ist.
Bei der Suche nach der Größenordnung von f(n) wird man versuchen, das kleinste f(n) zu finden, für das g(n) c . f(n)
Dieses ist dann eine kleinste, obere Schranke für den Aufwand Zur Bestimmung des tatsächlichen asymptotischen Aufwands wird man also
noch eine größte, untere Schranke h(n) = (g(n)) suchen für die gilt: limn h(n)/f(n) = 1
Eine untere Schranke ist die Zeit, die jeder Algorithmus (ab einem n>n0) benötigt
Das ist im Allgemeinen viel schwieriger !
65
2.1.5 Die O-Notation: Achtung
Achtung !Die Konstanten c und n0 werden üblicherweise nicht angegeben und können sehr groß sein
Beispiel:Algorithmus A habe eine Laufzeit von O(n2)Algorithmus B für das gleiche Problem eine Laufzeit von O(1,5n)Welcher Algorithmus ist besser ?
schnelle Antwort: A (das stimmt auch für große n) bessere Antwort: Wie groß ist n ? Wie groß sind die Konstanten ? z.B. für cA=1000 und cB=0,001
n cAn2 cB1,5n
1 103 1,5 10-3
10 105 1,8 10-2
20 4 105 3,350 2,5 106 6,4 105
100 107 4,1 1014
Bis hier ist B besser als A
2.2.. Grundlagen
… bevor es losgeht:
1. Definitionen
2. Beispiele
3. Framework für Implementierungen
66
2.2.1 Definitionen
Beim Sortieren werden Elemente entsprechend der Werte ihrer Schlüssel entsprechend einer Ordnungsrelation angeordnet
Elemente sind Datenstrukturen, die aus mehreren Unterstrukturen bestehen können, d.h. Element müssen nicht „elementar“ (Int, Real, Char, etc). sein.Sortieren ist eine „generische“ Operation, d.h. Elemente unterschiedlichsten Typs können sortiert werden, sofern eine sinnvolle Ordnungsrelation existiert,
Liegen die Elemente vollständig im Hauptspeichers vor, sprechen wir von internem Sortieren, ansonsten von externem Sortieren.
Dabei ist der wesentliche Unterschied, dass beim internen Sortieren leicht auf beliebige Elemente zugegriffen werden kann. Bein externen Sortieren kann das nur sequenziell oder allenfalls blockweise geschehen.
Eine oder mehrere Element-Unterstrukturen definieren den (nicht notwendigerweise eindeutigen) Schlüssel, der einen eindeutigen Wert besitzt.Ist der Schlüssel nicht eindeutig, so kann es mehrere auch unterschiedliche Elemente mit gleichem Schlüssel geben.
Sortierverfahren die die ursprüngliche Reihenfolge von Elementen gleichen Schlüssels beibehalten heißen „stabil“.
Auf dem Wertebereich des Schlüsselwertes muss eine Ordnungsrelation definiert sein, die die Reihenfolge der Schlüsselwerte festlegt.
67
2.2.2 Beispiele
Kartenspiel Element = Schlüssel unterschiedliche Ordnungsrelationen (Für Skat, Doppelkopf, …)
Telefonbuch: Name, Vorname, Telefonnr Element > Schlüssel Alphabet als Ordnungsrelation
… Tafel
68
2.2.3 Framework für Implementierungen
interface ITEM
{ boolean less(ITEM v); }
class Sort
{
static boolean less(ITEM v, ITEM w)
{ return v.less(w); }
static void exch(ITEM[] a, int i, int j)
{ ITEM t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t; }
static void compExch(ITEM[] a, int i, int j)
{ if (less(a[j], a[i])) exch (a, i, j); }
static void sort(ITEM[] a, int l, int r)
{ example(a, l, r); }
static void example(ITEM[] a, int l, int r)
{
for (int i = l+1; i <= r; i++)
for (int j = i; j > l; j--)
compExch(a, j-1, j);
}
}s
class myItem implements ITEM // Key ist int
{ private int key;
public boolean less(ITEM w)
{ return key < ((myItem) w).key; }
void read()
{ key = In.getInt(); }
void rand()
{ key = (int) (1000 * Math.random()); }
public String toString(){ return key + ""; }
}
class myItem implements ITEM // Key ist string
{ String key;
public boolean less(ITEM w)
{ return key.compareTo(((myItem) w).key)<0; }
void read()
{ key = In.getString(); }
void rand()
{ int a = (int)('a'); key = "";
for (int i = 0; i < 1+9*Math.random(); i++)
key += (char) (a + 26*Math.random());
}
public String toString() { return key; }
}69
2.3. Elementare Sortieralgorithmen
… da Sortieren eine so grundlegende Operation in der Informatik ist, gibt es schon seit einigen Jahrzehnten eingeführte Algorithmen, die teilweise optimiert wurden und immer noch Einsatz finden:
1. Selection Sort (Sortieren durch Auswählen)
2. Insertion Sort (Sortieren durch Einfügen)
3. Shellsort
4. Bubblesort
5. Vergleich
sorting-algorithms.com
70
2.3.1 Selection Sort (Sortieren durch Auswählen)
Idee: Suche das kleinste Element (z.B. einer Liste) und tausche es mit dem Element an der ersten Position. Betrachte dann den Rest der Liste und gehe ebenso vor
Beispiel (instabil) (auch instabil)
3 6 3 4 3 9 8 1 7 5 5 3 6 3 4 3 9 8 1 7 5 51 6 3 4 3 9 8 3 7 5 5 1 6 3 4 3 9 8 3 7 5 5 1 3 6 4 3 9 8 3 7 5 5 1 3 3 4 3 9 8 6 7 5 5 1 3 3 4 6 9 8 3 7 5 5 1 3 3 4 3 9 8 6 7 5 5 1 3 3 3 6 9 8 4 7 5 5 1 3 3 3 4 9 8 6 7 5 5 1 3 3 3 4 9 8 6 7 5 5 1 3 3 3 4 9 8 6 7 5 51 3 3 3 4 5 8 6 7 9 5 1 3 3 3 4 5 8 6 7 5 9 1 3 3 3 4 5 5 6 7 9 8 1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 91 3 3 3 4 5 5 6 7 9 8 1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9 1 3 3 3 4 5 5 6 7 9 8 1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9 1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9 1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9 1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9 1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9.
71
2.3.1 Selection Sort: Implementierung 1
// Sorts array a starting from index l up to index r
static void selection(ITEM[] a, int l, int r)
{
// iterates through list
for (int i = l; i < r; i++) {
int min = i; // initialize index to minimum
// iterate through unsorted part of list
for (int j = i+1; j <= r; j++) {
if (less(a[j], a[min])) {
min = j; // index to minimum has changed
}
}
exch(a, i, min); // swap first element with minimum // even if i=min, i.e. minimum is already
// in front
}
}
72
2.3.1 Selection Sort: Implementierung 2 (stabil)
// Sorts a linked list, by removing it from in-list (h.next) and
// inserting max in front of the out-list (out)
// (head of list is dummy)
// find node previous to minimum in linked list
private static Node findMin(Node h) {
for (Node t = h; t.next != null; t = t.next)
if (t.next.item < h.next.item) h = t;
return h;
}
// iterate through in-list and move max to head of out-list
static Node selection(Node h) {
Node head = new Node(-1, h), out = null;
while (head.next != null) {
Node min = findMin(head);
Node t = max.next; min.next = t.next; // remove from in-list
t.next = out; out = t; // put in front of out-list
}
return out;
} 73
2.3.1 Selection Sort: Diskussion
Algorithmus „profitiert“ nicht von „günstigen“ Vorgaben:, z.B. von einer vorhandenen Sortierung.
Aufwand: im Beispiel: 11+10+9+8+…+1 Vergleiche = (n*(n+1)) / 2 O(n2) Im Beispiel: 11 Umordnungen (Einsortierungen) = n O(n) Best Case = Worst Case = Average Case = O(n2)
Selection Sort wird (trotz schlechten Aufwandes) eingesetzt für das Sortieren von Daten mit großen Elementen mit jeweils kleinen Schlüsseln:
… bei diesen Daten sind die Kosten für den Vergleich sehr viel kleiner als die Kosten für die Umordnung
Der Aufwand für die Umordnungen ist mit O(n) kleiner als in den meisten anderen Verfahren.
74
2.3.2 Insertion Sort (Sortieren durch Einfügen)
Idee: Wie beim Sortieren eines Kartenblattes auf der Hand eines Spielers werden neue (rechts neben den bereits sortierten) Karten in das bereits sortierte Kartenblatt an der richtigen Stelle eingefügt.Angewandt auf eine Liste existiert also immer eine bereits sortierte Teilliste (am Anfang der Liste), die bei jeder Iteration um ein weiteres korrekt einsortiertes Element erweitert wird..
Beispiel:3 6 3 4 3 9 8 1 7 5 53 6 3 4 3 9 8 1 7 5 5 3 6 3 4 3 9 8 1 7 5 53 3 6 4 3 9 8 1 7 5 53 3 4 6 3 9 8 1 7 5 53 3 3 4 6 9 8 1 7 5 53 3 3 4 6 9 8 1 7 5 53 3 3 4 6 8 9 1 7 5 5 // swapping of „1“ is exhausting1 3 3 3 4 6 8 9 7 5 5 1 3 3 3 4 5 6 8 9 7 5 1 3 3 3 4 5 5 6 8 9 7
75
2.3.2 Insertion Sort: Implementierung Variante 1
// sort array “ITEM[]” between indexes l and r
static void example(ITEM[] a, int l, int r)
{
// iterate through list (starting with second position) from ltr
for (int i = l+1; i <= r; i++)
{ // consider first element after already sorted list.
// Iterate from rtl through already sorted list // and swap elements if considered one is smaller
for ( int j = i; j > l; j-- )
{
compExch(a, j-1, j);
}
}
}
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2.3.2 Insertion Sort: Implementierung Variante 2
// sort array “ITEM[]” between indexes l and r
static void insertion(ITEM[] a, int l, int r)
{ int i; // initially bring smallest element to front
for (i = r; i > l; i--) compExch(a, i-1, i);
// iterate through list starting with second position // from left to right
for (i = l+2; i <= r; i++)
{ int j = i;
ITEM v = a[i]; // remember element to be inserted
// Iterate from right to left through already sorted list // and shift elements to right ...
while (less(v, a[j-1])) // ... stop on correct position
{ a[j] = a[j-1]; j--; }
// insert element to its proper position
a[j] = v;
}
}
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2.3.2 Insertion Sort: Diskussion
Variante 2 unterscheidet sich von Variante 1 durch folgende vorteilhafte Erweiterungen
bringt zunächst das kleinste Element nach vorn, so dass der sortierte Teil nicht mehr vollständig verschoben werden muss, wenn immer wieder „Kleinste“ Elemente einzusortieren sind.
Die innere Schleife beinhaltest keine Vertauschungen (compExch = drei Zuweisungen) sondern nur eine Zuweisung (a[j] = a[j-1])
Die innere Schleife terminiert, sobald die richtige Position gefunden ist.
Aufwand: Vergleiche : min: O(n), max: O(n2), average O(n2) Bewegungen: min: O(n), max: O(n2), average O(n2)
Der Aufwand des Insertion Sort ist stark abhängig vom Zustand der zu sortierenden Daten. So ergibt sich der Best-Case bei bereits sortierten oder stark vorsortierten Daten. Ist dieser Zustand gegeben dann kann dieser Algorithmus gut verwendet werden.
Der Insertion Sort ist, bei geschickter Auswahl der Ordnungsrelation, stabil.
78
2.3.3 Shellsort (Donald L. Shell, 1959)
Motivation: Der Insertion-Sort ist langsam, da nur benachbarte Element getauscht werden. Insbesondere sehr kleine Elemente müssen dabei häufig vertauscht werden, um vom Ende an den Anfang zu „rutschen“
Idee:Bei den bislang behandelten Algorithmen ist der linke Teil der Liste jeweils sortiert, als jedes Element links . Beim Shellsort werden Teillisten, bestehend aus den jeweils h-ten Elementen mit dem Insertion-Sort sortiert . Man verkleinert h bis es zu 1 wird.
Die Schrittweite des Vertauschens ist anfangs also groß, so dass Elemente „recht schnell grob vorsortiert“ werden.
Beispiel (h-Folge: 4,3,1)3 6 3 4 3 9 8 1 7 5 5 2 3 5 3 1 3 6 5 2 7 9 8 4h = 4 h = 3 3 6 3 4 3 5 3 1 3 5 3 1 2 33 9 8 1 3 6 5 2 1 3 6 3 3 47 5 5 2 7 9 8 4 5 2 7 5 5 6
9 8 4 9 8 7mit h=1 wird hier abschließend nochmals Insertion-sortiert1 2 3 3 3 4 5 5 6 9 8 7 1 2 3 3 3 4 5 5 7 8 9
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2.3.3 Shellsort: Implementierung
// sort array “ITEM[]” between indexes l and r
static void shell(ITEM[] a, int l, int r) {
int h;
// compute initial value of h depending on lebgth of array (r-l)
for (h = 1; h <= (r-l)/9; h = 3*h+1);
// dicrease h – by dividing by 3 -> h = ...,364,121,40,13,4,1
for ( ; h > 0; h /= 3) {
// apply insertion sort - increment not 1 but h
for (int i = l+h; i <= r; i++) {
int j = i; ITEM v = a[i];
while (j >= l+h && less(v, a[j-h]))
{ a[j] = a[j-h]; j -= h; }
a[j] = v;
}
}
}
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2.3.3 Shellsort: Diskussion
Der Aufwand von Shellsort hängt von der Wahl der h-Folge ab. Dafür gibt es unterschiedliche Ansätze:
Hibbard-Folge (1969) 2i-1 1,3,7,15,31, … <= h1 mit n/4 < h1 < n/2
Knuth-Folge (1973) (3i-1)/2 1,4,13,40,121, … <= h1 mit n/4 < h1 < n/2
Gonnet-Folge (1984) h1 = * n, hn = * hn-1 mit = 0,45454
Mit der bislang besten bekannten Folge, der Gonnet-Folge erreicht man Vergleiche = Bewegungen : min = max = average O(n1,2)
Damit war der Shellsort ein Jahr lang (bis 1960) der schnellste bekannte Sortieralgorithmus
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2.3.4. Bubblesort
Idee: Durchlaufe die Datei und vertausche die Elemente solange bis alle Elemente am richtigen Ort sind
Dadurch „bubbeln“ kleine Elemente nach oben (links), solange bis sie auf noch kleinere stoßen, diese „bubbeln“ dann weiter.
Mit jedem Durchgang wird das kleinste nach oben „gebubbeld“, gleichzeitig werden dabei auch noch andere kleine „mitgerissen“
Beispiel:3 6 3 4 3 9 8 1 7 5 5 // stoppt bei Gleichheit
1 3 6 3 4 3 9 8 5 7 51 3 6 3 3 4 5 9 8 5 71 3 3 6 3 4 5 5 9 8 71 3 3 3 6 4 5 5 7 9 81 3 3 3 4 6 5 5 7 8 91 3 3 3 4 5 6 5 7 8 91 3 3 3 4 5 5 6 7 8 91 3 3 3 4 5 5 6 7 8 91 3 3 3 4 5 5 6 7 8 91 3 3 3 4 5 5 6 7 8 91 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9
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2.3.4 Bubblesort: Implementierung
// sort array “ITEM[]” between indexes l and r
static void bubble(ITEM[] a, int l, int r) { for (int i = l; i < r; i++)
for (int j = r; j > i; j--)
compExch(a, j-1, j);
}
3 6 3 4 3 9 8 1 7 5 5 // stoppt bei Gleichheit1 3 6 3 4 3 9 8 5 7 51 3 3 6 3 4 5 9 8 5 7
1 3 3 3 6 4 5 5 9 8 7
1 3 3 3 4 6 5 5 7 9 81 3 3 3 4 5 6 5 7 8 9
1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9
1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9
1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9
1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9
1 3 3 3 4 5 5 6 7 8 9
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2.3.4 Bubblesort: Diskussion
Der Bubblesort ist zwar sehr einfach zu implementieren und stabil, ist aber i.A. langsamer als Selection- und Insertion-Sort (und daher diesen nicht vorzuziehen)Aufwand:
Vergleiche : min: O(n), max: O(n2), average O(n2) Bewegungen: min: O(n), max: O(n2), average O(n2)
Der Bubblesort ist sehr ähnlich der Variante 1 des Insertion Sort. Dort wird in der inneren Schleife allerdings der sortierte linke Teil durchlaufen, beim Bubblesort der unsortierte rechte.
Der Bubblesort lässt sich noch etwas optimieren, indem die äußere Schleife abgebrochen wird, sobald in der inneren keine Vertauschung mehr stattfindet , denn dann ist die Folge bereits sortiert.Dadurch wird er aber auch nicht weniger aufwändig als Selection- oder Insertionsort.
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2.3.5 Vergleich
Selection Insertion Shell Bubble
min O(n2) O(n) O(n1,2) O(n)
max O(n2) O(n2) O(n1,2) O(n2)
average O(n2) O(n2) O(n1,2) O(n2)
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