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Auspreisen von Restriktionen

Lagrange-Multiplikatoren Kuhn-Tucker-Theorem

Schattenpreise

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Restriktionen

beschränken die Menge der wählbaren Handlungsmöglichkeiten im Entscheidungskalkül

Handlungsmöglichkeiten, die zu inakzeptablen Ergebnissen führen, weil die vorhandenen Mittel nicht ausreichen, um sie durchzuführen durch Vorentscheidungen festgelegte Ziele („Targets“) nicht

erreicht werdenwerden durch Restriktionen ausgeschlossen.

Im Folgenden betrachtet: Restriktionen in Gleichungs- oder Ungleichungsform mit stetig

differenzierbarer Abhängigkeit von den Entscheidungsvariablen keine explizite Berücksichtigung von Unsicherheit

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Darstellung der Handlungsmöglichkeiten als lineare Aktivitäten

Charakterisierung durch Einsatz und Aufkommen von Gütern in Abhängigkeit von Entscheidungsvariablen

Handlungsalternativen als Kombinationen von Aktivitäten Zielbeiträge Einfluss auf Zulässigkeitsbedingungen (Restriktionen)

insbesondere Güterbilanzen

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Optimierung kontinuierlich variabler Aktivitätsniveaus: Lineare Optimierung

Ein Gut des Plans wird als Zielgröße ausgewählt, für die übrigen sind Restriktionen einzuhalten.

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Lineare Optimierung: Formale DarstellungBezeichne

aij den Koeffizienten von Gut i in Aktivität j(i = 0 bezeichne die Zielgröße)

xj das Aktivitätsniveau von Aktivität j

bi die Verfügbarkeitsschranke für Gut i

A := (aij)i = 1,...,m; j = 1,...,n

a0• := (a0j)j = 1,...,n

b := (bi )i = 1,...,m

x 1 x 2 x 3 . . . x n

a 11 a 12 a 13 . . . a 1na 21 a 22 a 23 . . . a 2n

.

.a i1 a i2 a i3 . . . a in

.

.a m1 a m2 a m3 . . . a mn

b 1b 2..

b i..

b m

a 01 a 02 a 03 . . . a 0n Z

x

A b

a 0 z

in der Tabelle:

}0;|{max 0 xbAxxax

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Lineares Optimierungsproblem: Beispiel

Die Tiefkühlkost AG hat je eine Produktionsstätte in den Anbaugebieten SW und NO und Auslieferungslager in S und NW. Einige Daten der Produktionsstätten und Auslieferungslager:

Das Management sucht nach der kostengünstigsten Lösung, den Bedarf zu bedienen.

Produktionsstätten SW NO Ausl.-Lager Bedarf

200 100 NW 5000 t Transportkosten je Monatstonne von Produktionsstätte zu Auslieferungslager 50 150 S 2500 t

Vorhandene Kapazität in Monatstonnen 2000 6000 Kapazitätskosten je zusätzliche Monatstonne 125 25

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Aktivitäten: j = 1: Produktion in SW für NW; j = 2: ... in SW für Sj = 3: Produktion in NO für NW; j = 4: ... in NO für Sj = 5: Einrichtung zusätzlicher Kapazität in SW; j = 6: ... in NO.

Restriktionen: i = 1: Bedarf in NW; i = 2: Bedarf in S; i = 3: Kapazität in SW; i = 4: Kapazität in NO.LP-Formulierung:

min {200x1 + 50x2 +100x3 + 150x4 + 125x5 + 25x6 }u.d.N. x1 + x3 5000

x2 + x4 2500 – x1 – x2 + x5 2000

– x3 – x4 + x6 000

xi, 0 (alle i)

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Bedarf NW: 1 0 1 0 0 0 5000Bedarf S: 0 1 0 1 0 0 2500Kapazität SW: -1 -1 0 0 1 0 -2000Kapazität NO: 0 0 -1 -1 0 1 -6000

k T 200 50 100 150 125 25

ErgebnisbereichGüter:

x T 0 2000 3500 500 0 1000 35002500

Kosten: -2000675000 -3000

min {200 x1 + 50 x2 + 100 x3 + 150 x4 + 125 x5 + 25 x6

u.d.N. x1 + x3 5000 x2 + x4 2500

– x1 – x2 + x5 2000 – x3 – x4 + x6 000

xi, 0 (alle i)

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Knappheitspreise im Sensitivitätsbericht (Excel®)

Veränderbare ZellenLösung Reduzierter

Zelle Name Endwert Gradient$B$13 xT SW für NW 0 200,0005987$C$13 xT Ergebnisbereich 2000 0$D$13 xT NO für NW 5000 0$E$13 xT NO für S 500 0$F$13 xT SW 0 24,99970293$G$13 xT NO 0 25,00019073

NebenbedingungenLösung Lagrange-

Zelle Name Endwert Multiplikator$H$13 xT 5000 100$H$14 2500 150$H$15 Kosten: -2000 100$H$16 -5500 0

!!

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Nichtlineare Optimierung unter Restriktionen

Aufstellen der Zielfunktion F(x1,...,xn) Bewerten der Restriktionsverletzungen fi(x1,...,xn) mit

einem Knappheitspreis i (i = 1,...,m) Einbeziehung der bewerteten Restriktionsverletzungen

als Kosten in die Zielgröße (Lagrange-Funktion)L(x1,...,xn ,1..., m) : = F(x1,...,xn) 1 f1(x1,...,xn) ...

m fm(x1,...,xn) Ein System von Bedingungen für Knappheitspreise

und Entscheidungsvariablen ermöglicht die Bestimmung der optimalen Lösung

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Ökonomische Interpretation

Dem Entscheider bietet ein virtueller Partner einen bestimmten Knappheitspreis i , zu dem er fehlenden Spielraum fi(x1,...,xn) der Restriktion i kaufen und

überschüssigen Spielraum -fi(x1,...,xn) verkaufen kann. Die Lagrangefunktion ist die Zielfunktion des Entscheiders in

dieser Situation Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass der

Entscheider effektiv weder kaufen noch verkaufen will, d.h. der Preis muss null sein, wenn die Restriktion nicht bindet eine Verbesserung der Zielgröße durch Zukauf von Spielraum

zum Knappheitspreis ausschließen.

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Joseph-Louis Lagrange

*1736 in Turin (Italien)† 1813 in Paris

1766 von Friedrich II. von Preußen als Nachfolger von Leonhard Euler nach Berlin berufen1787 von Louis’ XVI. nach Paris berufen 1797 folgte er einem Ruf an die neu gegründete École Polytechnique in Paris, wo er bis zu seinem Tode blieb.Napoleon I. erhob ihn in den Stand eines Comte (Grafen).

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Ökonomische Interpretation

Der Knappheitspreis muss so gewählt werden, dass er die mit der zusätzlichen Einheit des knappen Faktors erzielbare Verbesserung des Zielfunktionswerts gerade absorbiert.

Dann ist der Entscheider indifferent, ob er die zusätzliche Einheit nachfragt oder nicht.

Der Knappheitspreis kann nicht negativ sein, sonst könnte der Entscheider durch Erhöhen seiner Nachfrage nach dem knappen Faktor den Wert der Lagrangefunktion beliebig erhöhen.

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Optimalitätsbedingungen

Problem: max {F(x1,...,xn)| fi(x1,...,xn) 0 (i = 1,...,m), x1,...,xn 0}

Lagrangefunktion: L(x1,...,xn ,1..., m) : = F(x1,...,xn) 1 f1(x1,...,xn) ...

m fm(x1,...,xn) Optimalitätsbedingungen:

(Karush/Kuhn-Tucker-Bedingungen) ( bezeichnet hier die Ableitung der Funktion L nach der Variablen xj )

Stets gilt: xj 0 und Lxj

0 . Falls xj 0 , muss gelten Lxj

0;

stets gilt: i 0 und Li

0. i 0 kann nur gelten, falls Li

0.

jxL

xLj

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Geometrische Veranschaulichung I

Fall 1: x j 0 , daher muss im Maximum L xj0. gelten.

0 0.50

0.2

0.4

L x j

x j

Für ein inneres Maximumgilt die übliche Optimalitäts-

bedingung: Ableitung der Zielfunktion = 0

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Geometrische Veranschaulichung II

Fall 2: x j 0, daher kann im Maximum L xj0 gelten;

0 0.2 0.40

0.5

L x j

x j

Bei einem Randmaximumkann die Ableitung der Zielfunktion nur negativoder null sein; wäre sie positiv, würde eine Erhöhungvon xj den Zielfunktions-wert erhöhen.

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Vorsicht !

Es gibt Fälle, in denen eine optimale Lösung den genannten Bedingungen nicht genügt und

Fälle, in denen eine Lösung, die den Bedingungen genügt, nicht optimal ist.

Für diese Probleme muss auf mathematische Literatur verwiesen werden, z.B.:

Mangasarian, Olvi L., Nonlinear Programming, New York 1969, (McGraw-Hill), Chapter 7.

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Beispiel: Lagerhaltung bei beschränkter Annahmekapazität

Magdeburg-Frost vertreibt von einem Auslieferungslager Tiefkühl-produkte (j = 1,..., n), die mit Tiefkühl-LKW angeliefert werden. bj Kosten einer LKW-Lieferung qj Menge je LKW-Lieferung hj Lagerkosten pro to und Jahr. fj Lieferhäufigkeit pro Jahr fj qj Jahresabsatzmenge dj Bruttogewinn je Einheit Jahresabsatz Zahl der Lieferungen pro Jahr (für alle Produkte zusammen) darf

nicht größer sein als f. Jahresnachfrage Dj nach Produkt j muß befriedigt werden.

Wie groß sollten• Menge qj je Lieferung• und Lieferhäufigkeit fj

für jedes Produkt j sein ?

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Modellierung

max q1 ,..., qn { j = 1,...,n [dj fj qj – (hj qj)/2 – fj bj] }

u.d.N. fj = Dj/qj (in der Zielgröße substituieren!)

fj f ; (Knappheitspreis: )

qj 0.

LagrangefunktionL( q1 ,..., qn , m) =

j = 1,...,n [ Djdj – (hjqj )/2 – Djbj/qj ]

– (j = 1,...,n Dj /qj – f )

Jahres-absatz

Lagerkostenpro Jahr

Jahres-lieferkosten

j = 1

n

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Erläuterung

Die Zielgröße setzt sich zusammen aus den Erlösen: j = 1,...,n fj qj dj den Kosten der Anlieferung j = 1,...,n fj bj und den Kosten der Lagerung = durchschnittlicher Bestand

Lagerkostensatz = j = 1,...,n (hj qj)/2.Unterstellt: gleichmäßiger Lagerabgang, sofortige Anlieferung von qj , sobald Lager leer.

Dann ist im langfristigen zeitlichen Durchschnitt die halbe Bestellmenge am Lager.

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Lösung des Tiefkühlkost-Beispiels

qi = 0 ist ausgeschlossen, die Nachfrage könnte nicht bedient werden. Also muss gelten:

LL(( qq1 1 ,...,,..., qqnn , , ) ) = = jj [[ DDjjddjj ( (hhjjqqjj )/2 )/2 DDjjbbjj//qqjj ] ] j j DDjj//qqjj f f ))

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Erweiterung

Aufgabe: Man erweitere das vorherige Beispiel für den Fall, dass neben der Annahmebeschränkung auch noch der Lagerraum beschränkt ist. (Man nehme dazu an, dass die Lieferzeitpunkte so gewählt werden können, dass sich die Lagerraum-beschränkung nur auf den durchschnittlichen Lagerbestand auswirkt. Ihr Modell sollte den unterschiedlichen Lagerraumbedarf der Produkte je Werteinheit berücksichtigen.)