1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

78
1 Bildtransformatio nen “New worlds, new opportunities, new challenges.” 4

Transcript of 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

Page 1: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

1

Bildtransformationen

“New worlds, new opportunities, new challenges.”

4

Page 2: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

2

Bildtransformation Transformation der Bildinformation in eine neue

Darstellung Ausnutzen bestimmter Eigenschaften der

Darstellung zur Bildverarbeitung oder -analyse Rücktransformation der Darstellung in den

Bildbereich

Page 3: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

3

Bildtransformation

Unitäre Bildtransformationen Fourier Transformation Cosinus Transformation Walsh-Hadamard Transformation Haar Transformation ...

Parametrische Bildtransformationen Hough Transformation Radon Transformation ...

Page 4: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

4

Wichtige Anwendungsgebiete Allgemein Dimensionsreduktion Dekorrelation

Speziell Bildfilterung

Filterung im Frequenzraum

Bildkompression JPEG, etc

Bildmerkmale für Mustererkennung & Klassifikation z.B. Objekterkennung, Gesichtserkennung

Page 5: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

5

Fourier-Reihen Erstpublikation 1807, Buch 1822 Übersetzung auf Englisch in 1878 Darstellung von (praktisch) jeder periodischen

Funktion mit Periode T als eine (ggf. unendliche) Summen-Reihe von gewichteten Sinus und Cosinus Wellen

Verlustfreie, invertierbare Transformation

Page 6: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

6

Fourier-Reihe

Page 7: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

7

Fourier-Reihe))sin()cos(()(

10 tnbtnaatf n

nn

T

dttfT

a0

0 )(1

für 0 < t < T

T

n

T

n

dttntfT

b

dttntfT

a

0

0

)sin()(2

)cos()(2

für n ≥ 1

für n ≥ 1

Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen an und bn einbezogen

Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER sin & cos Wellen

Page 8: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

8

Fourier-Reihe

n

tinn

nnn

nnn

nnn

nnn

ega

tnda

tnca

tnbtna

tnbtnaatf

0

10

10

0

10

)sin(

)cos(

)sin()cos(

)sin()cos()(

xjxe xj 2sin2cos2

Page 9: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

9

Beispiel Rechteck-Signal

Page 10: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

10

Page 11: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

11

Page 12: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

12

Page 13: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

13

Page 14: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

14

Page 15: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

15

Page 16: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

16

Page 17: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

17

Beispiel Sägezahn-Signal

Page 18: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

18

Page 19: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

19

Page 20: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

20

Page 21: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

21

Page 22: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

22

Page 23: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

23

Page 24: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

24

Page 25: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

25

Fourier-Reihe

n

tinn

nnn

nnn

nnn

nnn

ega

tnda

tnca

tnbtna

tnbtnaatf

0

10

10

0

10

)sin(

)cos(

)sin()cos(

)sin()cos()(

xjxe xj 2sin2cos2

Page 26: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

26

Fourier Transformation

F f x e dx

f x F e d

j x

j x

( ) ( )

( ) ( )

2

2

xjxe xj 2sin2cos2

ALLE Werte der Funktion f(x) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen

Page 27: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

27

Fourier Transformation

Fourier Transformierte ist komplex

F F e j( ) ( ) ( )

Aufspaltung in Betrag und Phase

F F F( ) ( ) ( ) 2 2

( ) arctan

( )

( )

F

F

“Spektrum”

“Phase”

F F j F( ) ( ) ( )

Page 28: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

28

Fourier Transformation

Beispiel

F f x e dx

A e dx

A

je

A

je

A

je e e

AX e

j x

j x

X

j x X

j X

j X j X j X

j X

( ) ( )

sin( )

2

2

0

20

2

2

21

2

FA

X e

AXX

XAX X

j X( ) sin( )

sin( )

( )

sinc

X

A

AX

X 1

f x( )

F( )

Page 29: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

29

Impuls & sinc

Page 30: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

30

2D Fourier Transformation

F f x y e dxdy

f x y F e d d

j x y

j x y

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( )

( )

1 22

1 22

1 2

1 2

1 2

F F F( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2

2

1 2

2

( , ) arctan

( , )

( , )

1 2

1 2

1 2

F

F

Page 31: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

31

Abtastungf n f x n x n N[ ] ( ), { , , } 0 0 1

Abtastungsgröße

Page 32: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

32

Diskrete Fourier Transformation

uN x

1F u

Nf n e

f nN

F u e

n

Nj

un

N

u

Nj

un

N

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1

10

1 2

0

1 2

Page 33: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

33

Diskrete 2D Fourier Transformation

F v uMN

f m n e

f m nMN

F v u e

n

Nj

un

N

vm

M

m

M

u

Nj

un

N

vm

M

v

M

[ , ] [ , ]

[ , ] [ , ]

1

1

0

12

0

1

0

12

0

1

Page 34: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

34

Fourier Spektrum Eine diskrete 2D Matrix mit M x N Werte (= digitales Bild)

wird in eine M x N Matrix mit komplexen Fourier-Koeffizienten transformiert

Jeder dieser komplexen Fourier Koeffizienten läßt sich in Polarkoordinaten ausdrücken:

F F e j( ) ( ) ( )

F F F( ) ( ) ( ) 2 2

( ) arctan

( )

( )

F

F

“Amplituden Spektrum”

“Phasen Spektrum”

Page 35: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

35

Fourier Spektrum

N x M Pixel N x M Frequenzen

real komplex

Bild Spektrum

Jeder Eintrag in dem Spektrum definiert eine Cosinus-Welle

Amplitude = Höhe einer Welle (=„Wichtigkeit“)

Phase = Verschiebung der Welle zum Ursprung

Abstand zum Mittelpunkt = Frequenz der Welle

Ausbreitung = Verbindungsgerade zum Mittelpunkt

Page 36: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

36

Fourier Wellen Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t)

werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen!

ALLE Funktionswerte werden bei der Berechnung JEDER Welle berücksichtigt

Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER Wellen!

JEDE Welle ist ÜBERALL im Bild aktiv

Page 37: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

37

Fourier Wellen

Page 38: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

38

Fourier Wellen

Page 39: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

39

Fourier-Wellen

Page 40: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

40

Fourier-Wellen

Page 41: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

41

Fourier-Wellen

Page 42: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

42

2D Fourier Transformation

f x y( , ) F( , ) 1 2

Page 43: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

43

Spektrum-Abtastdichte Relation

Page 44: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

44

Fourier Spektra

Page 45: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

45

Fourier Spektra

Page 46: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

46

Fourier Spektra

Page 47: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

47

Fourier Spektra

Page 48: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

48

Eigenschaften

f m m n n

F v u ej

un

N

vm

M

[ , ]

[ , ]

0 0

2 0 0

Translation

0

Page 49: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

49

Eigenschaften

f r r

F

[ sin , cos ]

[ sin , cos ]

0 0

0 0

Rotation

Page 50: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

50

Eigenschaften

F v u F v u N F v M u F v M u N[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]

Periodizität

die DFT eines Bildes ist periodisch

Symmetrie

],[],[ uvFuvF

reel ][ falls ][ ][ m,nf,-v, -uF*v,uF

die DFT eines Bildes ist symmetrisch

Page 51: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

51

Eigenschaften

Separierbarkeit

f m n[ , ]

n

m

F m u[ , ]

u

m

F v u[ , ]

u

v

Transformation Transformation

der Zeilen der Spalten

F v uMN

e f m n e

f m nMN

e F v u e

jvm

M

n

Nj

un

N

m

M

jvm

M

u

Nj

un

N

v

M

[ , ] [ , ]

[ , ] [ , ]

1

1

2

0

1 2

0

1

2

0

1 2

0

1

Page 52: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

52

Eigenschaften

F(0,0) beinhaltet den MxN skalierten Mittelwert des Bildes (i.d.R. ziemlich großer Wert)

Linearität:

Page 53: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

53

Fourier Spektra

Page 54: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

54

Fourier Spektra

Page 55: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

55

Fourier Spektra

Page 56: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

56

Fourier Spektra

Page 57: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

57

Fourier Spektra

Page 58: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

58

Translation & Rotation: Power

Page 59: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

59

Translation & Rotation: Phase

Page 60: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

60

Manipulation des Fourier Spektrums

Amplitude AmplitudePhase

r eaj a

r eaj b r eb

j a

r ebj b

Page 61: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

61

Manipulation des Fourier SpektrumsPhase

Amp = 1Phase = Frau

Amp = Frau Phase = 0

Amp = RechteckPhase = Frau

Amp = FrauPhase = Rechteck

Page 62: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

62

Bildtransformation

Fourier Transformation+ Transformierte repräsentiert Bildfrequenzen

(Manipulation)– Transformierte komplex (Spektrum & Phase)– Fließkomma Koeffizienten – Transformierte redundant (Symmetrie)

Suche nach anderen Transformationen zur geeigneten Informationsdarstellung

Page 63: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

63

Parametrische Transformation Darstellung der Bildinformation anhand von

veränderten Ortsraumparametern, z.B.

Transformation ist nicht zwingend orthogonal (in der Regel nicht invertierbar)

Bestimmte Informationen sind in der transformierten Darstellung einfacher abzulesen

f m n f r[ , ] [ , ]

Page 64: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

64

Radon Transformation Orthogonale Projektion des Bildes bezüglich des

Bildmittelpunktes in Abhängigkeit des Winkels

R x f x y x y dy ( ) ( cos sin , sin cos )

x x y

y x y

cos sin

sin cos

Page 65: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

65

Radon Transformation

x

y

R x0 ( )

R x45 ( )

R x90 ( )

Page 66: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

66

Radon Transformation

x

x

x

Page 67: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

67

Radon Transformation

x

max ( ) ,R x xo 94 101

x

Page 68: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

68

Radon Transformation

Page 69: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

69

Radon Transformation

Page 70: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

70

Unitäre Bildtransformation

G A FA

F A GA

M N

M

T

N

T* *

Definition einer separablen & symmetrischen Transformation

A A I A A IN N

T

M M

T* *, Orthonormalität

ZeilentransformationBild

Transformiertes Bild

Spaltentransformation

dim( ) , dim( )

dim( ) , dim( )

F G

A A

M N M N

N N M MN M

Page 71: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

71

Unitäre Bildtransformation Basisbilder (2D Basisvektoren)

A a ak l k l

T

,* * *

F G A , ,*k l

Ein Bild läßt sich als Linearkombination der mit den Transformationskoeffizienten gewichteten Basisbilder darstellen

F

A a A aM k N l

,

Page 72: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

72

Beispiel: Basisbilder des 8x8 Bildraums0 1 3 1 2 0 1 2

2 3 2 0 1 2 2 2

1 1 3 0 2 2 0 1

1 1 1 1 1 2 2 2

0 2 1 1 0 0 0 2

3 0 3 1 0 0 2 2

3 3 0 1 2 1 2 0

2 2 1 1 1 1 1 0

, =

• Lege jede Maske über das Bild• Multipliziere Maske & Pixel paarweise• Addiere alle Teilergebnisse zu einer Zahl• Trage diese an der Masken-Position im transformierten Bild

=> ALLE Pixel des Originals tragen an JEDER Stelle des transformierten Bildes bei!

Page 73: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

73

Walsh-Hadamard Transformation Reelle Transformation Schnell (Addition/Subtraktion) Implementierung mit ganzzahligen Koeffizienten möglich Befriedigende Datendekorrelation

A

1

8

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Page 74: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

74

Walsh-Hadamard Transformation

Page 75: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

75

Haar Transformation

A

1

8

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 2 2 2

2 2 0 0 0 0 0 0

0 0 2 2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 2 0 0

0 0 0 0 0 0 2 2

Reelle Transformation Schnell Ortsinformation bleibt teilweise erhalten Mäßige Datendekorrelation

Page 76: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

76

Haar Transformation

Page 77: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

77

Cosinus Transformation

11,2

)12(cos

2

0,1

][Nu

N

un

N

uNua

Reelle Transformation Pseudofrequenzdarstellung

(DCT ist nicht der Realteil der DFT!) Exzellente Datendekorrelation Effiziente SW, beschleunigte HW

Page 78: 1 Bildtransformationen New worlds, new opportunities, new challenges. 4.

78

Cosinus Transformation