1 Die Laplace-Poisson-Gleichung¼here... · 5 1 Die Laplace-Poisson-Gleichung 1.1 Einleitung Rn,...

5

1 Die Laplace-Poisson-Gleichung

1.1 Einleitung

Rn, Ω ⊂ Rn beschranktes Gebiet, glatter Rand ∂Ω

Randwertaufgaben

seien A = −∆ Laplace1-Operator, f gegeben, suchen u mit

Au(x) = −∆u(x) = f(x), x ∈ Ω Laplace-Poisson2-Gleichung

Randbedingungen: ϕ : ∂Ω→ R gegeben

u(y) = ϕ(y), y ∈ ∂Ω, Dirichlet3-Bedingung

∂u

∂νy(y) = ϕ(y), y ∈ ∂Ω, Neumann4-Bedingung

ϕ(y)

f(x) ν

∂ΩΩ

ν . . . außere Normale

Bemerkung : ∆u =n∑

j=1

∂2u

∂x2j,

∂u

∂ν=

n∑j=1

∂u

∂xjνj

Beispiel : Stationare Warmeverteilung

Ω ⊂ R3, ϕ(y), y ∈ ∂Ω gegeben, Anfangstemperatur w(x), x ∈ Ω, gesucht: Temperatur u(x, t),mit

∆u(x, t)− ∂u

∂t(x, t) = 0, x ∈ Ω, t ≥ 0

u(x, 0) = w(x), x ∈ Ω

u(y, t) = ϕ(y), y ∈ ∂Ω, t ≥ 0

stationare Verteilung, d.h. u(x, t) fur t→∞ ?

heuristisch: u(x) := limt→∞

u(x, t) 99K ∆u(x) = 0, x ∈ Ω, u(y) = ϕ(y), y ∈ ∂ΩDirichlet’sches Maximum-Prinzip max

x∈Ωu(x) = max

y∈∂Ωu(y)

Integralsatze

• Satz von Gauß5

Ω ⊂ Rn beschrankt, zulassiges Gebiet, F : Rn −→ Rn, F = (F1, . . . , Fn), Fk ∈ C1(Ω), k = 1, . . . , n∫Ω

∂Fk

∂xj(x) dx =

∫∂Ω

Fk(σ)νj(σ) dσ, j, k = 1, . . . , n,∫Ω

divF (x) dx =

∫∂Ω

〈F (σ), ν(σ)〉dσ (1)

• Satze von Green6/ Green’sche Formeln

Ω ⊂ Rn beschrankt, zulassiges Gebiet, f, g ∈ C2 (Ω), h ∈ C1(Ω), ν außere Normale an ∂Ω∫Ω

h(x)(∆f)(x) dx = −n∑

j=1

∫Ω

∂h

∂xj(x)

∂f

∂xj(x) dx +

∫∂Ω

h(σ)∂f

∂ν(σ) dσ

∫Ω

[f ∆g − g ∆f ] dx =

∫∂Ω

[f∂g

∂ν− g ∂f

∂ν

]dσ

(2)

1Pierre Simon Laplace (∗ 23.1.1749 Beaumont-en-Auge, Normandie † 5.3.1827 Paris)2Simeon Denis Poisson (∗ 21.6.1781 Pithiviers/Frankreich † 25.4.1840 Sceaux/Frankreich)3Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (∗ 13.2.1805 Duren † 5.5.1859 Gottingen)4Carl Gottfried Neumann (∗ 7.5.1832 Konigsberg † 27.3.1925 Leipzig)5Carl Friedrich Gauß (∗ 30.4.1777 Brunswick † 23.2.1855 Gottingen)6George Green (∗ July 1793 Nottingham † 31.5.1841 Nottingham)

6 1 Die Laplace-Poisson-Gleichung

Schwache Losungen

Dirichlet-Problem fur Poisson-Gleichung, homogene Randbedingungen : gegeben f ∈ C(Ω), suchen (punkt-weise) Losung u ∈ C2(Ω) ∩ C

(Ω)

mit

−∆u(x) = f(x), x ∈ Ω

u(y) = 0 , y ∈ ∂Ω

=⇒ −

∫Ω

∆u(x)ψ(x) dx =

∫Ω

f(x)ψ(x) dx ∀ ψ ∈ C1(Ω), ψ∣∣∂Ω

= 0

y∫Ω

f(x)ψ(x) dx = −∫Ω

∆u(x)ψ(x) dx

=Green (2)

∫Ω

n∑j=1

∂ψ

∂xj

∂u

∂xjdx−

∫∂Ω

0︷︸︸︷ψ(σ)

∂u

∂ν(σ) dσ

︸︷︷︸0

=

∫Ω

n∑j=1

∂ψ

∂xj

∂u

∂xjdx ∀ ψ ∈ C1(Ω), ψ

∣∣∂Ω

= 0 (3)

sei u∣∣∂Ω

= 0 mit (3) y u”schwache“ Losung des Randwertproblems; f gegeben 99K betrachten∫

Ω

f(x)ψ(x) dx als lineares Funktional aufψ ∈ C1(Ω) : ψ

∣∣∂Ω

= 0

y dafur nur noch f ∈ Lloc1 (Ω) (statt

f ∈ C(Ω)) notwendig ; D′(Ω) Distributionen, z.B. f ∈ Lp(Ω) 99K ∆u ∈ Lp(Ω) 99K Sobolev-Raume, . . .

zunachst: Prazisierung der betrachteten Klasse von Differentialoperatoren und Gebieten

Definition 1.1 Seien ajk(x) = akj(x) ∈ C∞ (Ω) reellwertig, j, k = 1, . . . , n, bl(x), c(x) ∈ C∞ (Ω) kom-plexwertig, l = 1, . . . , n, dann heißt der Differentialoperator zweiter Ordnung

Au := −n∑

j,k=1

ajk(x)∂2u

∂xj∂xk+

n∑l=1

bl(x)∂u

∂xl+ c(x)u

elliptisch in Ω, falls es ein C > 0 gibt, so dass fur alle x ∈ Ω und ξ ∈ Rn die Elliptizitatsbedingung

n∑j,k=1

ajk(x)ξjξk ≥ C |ξ|2 (4)

erfullt ist.

Beispiel : Laplace-Operator : −∆ = −n∑

j=1

∂2

∂x2j99K ajk(x) ≡

1 , j = k0 , sonst

, bl ≡ 0, c ≡ 0

=⇒n∑

j,k=1

ajk(x)ξjξk =

n∑j=1

ξ2j = |ξ|2 99K C := 1 =⇒ −∆ elliptisch in (beliebigem) Ω

Schreibweise : α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 , |α| =

n∑i=1

αi, Dα =∂|α|

∂xα11 . . . ∂xαn

n, ξα = ξα1

1 · · · ξαnn , ξ ∈ Rn

1.1 Einleitung 7

Bemerkung : • allgemeiner : aα : Ω −→ R messbar, stetig, α ∈ Nn0 , 0 ≤ |α| ≤ 2, dann ist

A = −∑|α|≤2

aα(x)Dα

(gleichmaßig) elliptisch in Ω, falls es ein C > 0 gibt, so dass∑|α|=2

aα(x)ξα ≥ C |ξ|2 ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn

|α| = 2 99K aα(x) =: ajk(x) = akj(x), 1 ≤ j, k ≤ n, mit αj , αk 6= 0 y

A = −∑|α|≤2

aα(x)Dα = −

n∑j,k=1

ajk(x)∂2

∂xj∂xk+

n∑l=1

bl(x)∂

∂xl+ c(x)

•∑|α|=2

aα(x) ξα . . . quadratische Form

• ∃ C > 0 ∀ x ∈ Ω, ξ ∈ Rn :∑|α|=2

aα(x)ξα ≤ −C |ξ|2 y

∑|α|≤2

aα(x)Dα elliptisch

komplexe / reelle Bedingung: sei ξ ∈ Cn ⇐⇒ ξ = (<e ξ1 + i =m ξ1, . . . ,<e ξn + i =m ξn)

Ansatz :n∑

j,k=1

ajk(x)ξjξk ≥ C |ξ|2 , ξ ∈ Cn (5)

sinnvoll:n∑

j,k=1

ajk(x)ξjξk =n∑

j,k=1

ajk(x)︸︷︷︸=ajk(x)=akj(x)∈R

ξjξk =n∑

k,j=1

akj(x)ξkξj ∈ R; klar : (5) ====⇒ξ ∈ Rn

(4)?

=⇒ (5):

yn∑

j,k=1

ajk(x) (<e ξj + i =m ξj)︸︷︷︸ξj

(<e ξk − i =m ξk)︸︷︷︸ξk

=

n∑j,k=1

ajk(x) (<e ξj <e ξk + =m ξj =m ξk)︸︷︷︸<e

(n∑

j,k=1

ajk(x)(<e ξj+i=m ξj)(<e ξk−i=m ξk)

)

≥(4)

C( n∑

j=1

|<e ξj |2 + |=m ξj |2)

= C |ξ|2

d.h. (4) ⇐⇒ (5) Elliptizitatsbedingung

Gebiete

Definition 1.2 Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes Gebiet und m ∈ N. Ω gehort zur Klasse Cm, Ω ∈ Cm,falls es endlich viele offene Kugeln Ki, i = 1, . . . , N , mit folgenden Eigenschaften gibt :

(i) ∂Ω ⊂N∪i=1

Ki, Ki ∩ ∂Ω 6= ∅

(ii) Es gibt Funktionen ψ(i) : Rn −→ Rn, ψ(i) ∈ Cm(Ki

), i = 1, . . . , N , die Ki eineindeutig auf

ψ(i)(Ki) ⊂ Rn abbilden; dabei seien ψ(i)(∂Ω ∩Ki

)⊂ x ∈ Rn : xn = 0, ψ(i)(Ω ∩Ki) ⊂ Rn

+

einfach zusammenhangend, und

∂(ψ(i)1 (x), . . . , ψ

(i)n (x)

)∂ (x1, . . . , xn)

6= 0, x ∈ Ki.


ψ(i) =(ψ(i)1 , . . . , ψ

(i)n

)ψ(i)k : Rn −→ R,

ψ(i)k ∈ Cm

(Ki

),

k = 1, . . . , n, i = 1, . . . , Nψ(i) (∂Ω ∩Ki)

ψ(i) (∂Ω)

ψ(i)

(ψ(i)

)−1Ω

∂Ω

ψ(i) (Ω ∩Ki)

Ki

Bemerkung : sei lokal auf ∂Ω : xn = ϕ(x′)

o.B.d.A. ϕ(0) = 0,∂ϕ

∂xj(0) = 0, j = 1, . . . , n− 1, ϕ differenzierbar

setzen ψ(x) = (ψ1(x), . . . , ψn(x)) := (x1, . . . , xn−1, xn − ϕ(x′)) 99K ψ differenzierbar,

ψ (∂Ω) ⊂ x ∈ Rn : xn = 0

Plan der Vorlesung

1. ∆ klassisch, Eigenschaften, harmonische Funktionen

2. Potentialtheorie, Randwertprobleme, Fredholmsche Integralgleichungen

3. Distributionen

4. Sobolev-Raume

5. Elliptische Differentialgleichungen : L2-Theorie

6. Spektraltheorie in Hilbert- und Banach-Raumen

1.2 Singularitatenlosung, Integraldarstellung

Ω ⊂ Rn Gebiet, betrachten Laplace-Gleichung bzw. homogene Potential-Gleichung

∆u(x) =n∑

j=1

∂2u

∂x2j(x) = 0, x ∈ Ω (6)

Bemerkung : beschreibt Potential einer stationaren Stromung, eines elektromagnetischen Feldes

Bezeichnung: Kn = Kn(0) . . . n−dimensionale Einheitskugel, ωn = ∂Kn . . . n-dimensionale Sphare

|ωn| =2√π n

Γ(n2

) =

2 πm

(m−1)! , n = 2m2m+1 πm

(2m−1)!! , n = 2m+ 1

z.B. |ω1| = 2, |ω2| = 2π, |ω3| = 4π, . . .

Radialsymmetrische Losungen

suchen zunachst Losungen u(x) fur (6) in Ω = Rn \ 0, fur die gilt

u(x) = v (r(x)) , x ∈ Rn \ 0, r = r(x) =

√√√√ n∑j=1

x2j =⇒ ∂r

∂xj=xjr, j = 1, . . . , n

1.2 Singularitatenlosung, Integraldarstellung 9

∂u

∂xj(x) =

dv

dr(r)

∂r

∂xj= v′(r)

xjr

∂2u

∂x2j(x) =

∂

∂xj

(v′(r)

xjr

)= v′′(r)

∂r

∂xj

xjr

+v′(r)

r

∂xj∂xj

+ v′(r)

(−xjr2

∂r

∂xj

)

= v′′(r)x2jr2

+v′(r)

r− v′(r)

xjr2xjr

= v′′(r)x2jr2

+v′(r)

r− v′(r)

x2jr3

=⇒ ∆u(x) =n∑

j=1

∂2u

∂x2j(x) =

v′′(r)

r2

n∑j=1

x2j︸︷︷︸r2

+v′(r)

r

n∑j=1

1︸︷︷︸n

− v′(r)

r3

n∑j=1

x2j︸︷︷︸r2

= v′′(r) +n− 1

rv′(r)

y ∆u(x) = 0 ⇐⇒ 0!= v′′(r) +

n− 1

rv′(r)

n = 2 : 0 = v′′(r) +v′(r)

r=⇒ v(r) = c1 + c2 ln r allgemeine Losung

n ≥ 3 : 0 = v′′(r) +n− 1

rv′(r) =⇒ v(r) = c1 + c2 r

2−n allgemeine Losung

(Ansatz v(r) = rκ 99K κ(κ − 1) + κ(n− 1) = 0 99K κ = 0, 2− n)

=⇒ u(x) =

c ln |x| , n = 2

c |x|2−n , n ≥ 3

radialsymmetrische Losungen von ∆u(x) = 0 in Rn \0

mit w(x) := u(x− x0) lost w(x) die Laplace-Gleichung ∆w(x) = 0 in Rn \ x0

Satz 1.3 Seien n ≥ 3, Ω ⊂ Rn ein beschranktes C1-Gebiet, u ∈ C2 (Ω), und ∆u(x) = f(x), x ∈ Ω.Fur x0 ∈ Ω gilt dann

u(x0)=

1

(n− 2)|ωn|

∫∂Ω

(1

|σ − x0|n−2

∂u

∂ν(σ)− u(σ) ∂

∂ν

1

|σ − x0|n−2

)dσ −

∫Ω

f(x)

|x− x0|n−2 dx

,wobei ν die außere Normale auf ∂Ω bezeichnet.

Bemerkung : n = 2 :

u(x0)=

1

2π

− ∫∂Ω

(ln∣∣σ − x0∣∣ ∂u

∂ν(σ)− u(σ) ∂

∂νln∣∣σ − x0∣∣) dσ +

∫Ω

f(x) ln∣∣x− x0∣∣ dx

B ew e i s : Idee : Greensche Formel (2) anwenden fur u(x) und∣∣x− x0∣∣2−n

y suchen Gebiet G, so dass Voraussetzungen erfullt sind

sei x0 ∈ Ω, Ω offen =⇒ ∃ ε > 0 : Kε(x0) ⊂ Ω, sei Γε := ∂Kε(x

0)

setzen G := Ω \ Kε(x0) 99K Voraussetzungen des Greenschen Satzes sind

erfullt, da gx0(x) :=∣∣x− x0∣∣2−n ∈ C2(G); wenden (2) auf u und gx0 an y

ν

∂Ω

Γε

Ω

ε

x0


∫∂G

[1

|σ − x0|n−2

∂u

∂ν− u ∂

∂ν

1

|σ − x0|n−2

]dσ =

∫G

[ ∣∣x− x0∣∣2−n∆u(x)︸︷︷︸f(x)

− u(x) ∆∣∣x− x0∣∣2−n︸︷︷︸0, x0 6∈G

]dx

=

∫G

f(x)

|x− x0|n−2 dx

Ω =

G︷︸︸︷(Ω \Kε(x0)

)∪ Kε(x0) = G ∪ Kε(x0), ∂G = ∂Ω ∪ Γε y

∫Ω

f(x)

|x− x0|n−2 dx−∫

Kε(x0)

f(x)

|x− x0|n−2 dx =

∫∂Ω

[1

|σ − x0|n−2

∂u

∂ν− u ∂

∂ν

1

|σ − x0|n−2

]dσ

+

∫Γε

[1

|σ − x0|n−2

∂u

∂ν− u ∂

∂ν

1

|σ − x0|n−2

]dσ

g.z.z. : (i) limε↓0

∫Kε(x0)

f(x)

|x− x0|n−2 dx = 0

(ii) limε↓0

∫Γε

∣∣σ − x0∣∣2−n ∂u

∂ν(σ) dσ = 0

(iii) limε↓0

∫Γε

u(σ)∂

∂ν

∣∣σ − x0∣∣2−ndσ = (n− 2) |ωn| u

(x0)

zu (i) :

∣∣∣∣∣∣∣∫

Kε(x0)

f(x)

|x− x0|n−2 dx

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ maxx∈Ω|f(x)|︸︷︷︸≤c

∫|x−x0|≤ε

∣∣x− x0∣∣2−ndx =

y = x−x0

ε

c

∫|y|≤1

ε2−n |y|2−n︸︷︷︸|x−x0|2−n

εn dy︸︷︷︸dx

= c ε2∫

|y|≤1

|y|2−n dy = c ε21∫

0

r2−nrn−1

∫ωn

dσ dr

︸︷︷︸≤cn

≤ c′ ε2 −−→ε↓0

0

zu (ii) : σ ∈ Γε ⊂ Ω, u ∈ C2(Ω) =⇒∣∣∣∣∂u∂ν (σ)

∣∣∣∣ ≤ n∑j=1

∣∣∣∣ ∂u∂xj (σ)∣∣∣∣ |νj |︸︷︷︸

≤1

≤ c auf Γε

∣∣∣∣∣∣∫Γε

∣∣σ − x0∣∣2−n ∂u

∂ν(σ) dσ

∣∣∣∣∣∣ ≤∫Γε

∣∣σ − x0∣∣2−n∣∣∣∣∂u∂ν (σ)

∣∣∣∣ dσ ≤ c

∫|σ−x0|=ε

∣∣σ − x0∣∣2−n︸︷︷︸ε2−n

dσ

= c ε2−n

∫|σ−x0|=ε

dσ

︸︷︷︸εn−1|ωn|

= c′n ε −→ε ↓ 0

0

1.2 Singularitatenlosung, Integraldarstellung 11

zu (iii) : σ ∈ Γε, ν = ν(σ) = − σ − x0

|σ − x0|=⇒ ∂

∂ν= −

n∑j=1

∂

∂xj

σj − x0j|σ − x0|︸︷︷︸

−νj

= − ∂

∂r, r = |σ − x0|

=⇒ ∂

∂ν

∣∣σ − x0∣∣2−n︸︷︷︸r2−n

= − ∂

∂rr2−n = (n− 2) r1−n =

r = |σ − x0| = ε

(n− 2) ε1−n

∫Γε

u(σ)∂

∂ν

∣∣σ − x0∣∣2−ndσ =

∫|σ−x0|=ε

u(σ) (n− 2) ε1−n︸︷︷︸∂∂ν |σ−x0|2−n

dσ

= (n− 2) ε1−n

∫|σ−x0|=ε

[u(x0) + u(σ)− u(x0)

]dσ

= (n− 2) ε1−n u(x0)

∫|σ−x0|=ε

dσ

︸︷︷︸εn−1|ωn|

− (n− 2) ε1−n

∫|σ−x0|=ε

[u(x0)− u(σ)

]dσ

= (n− 2) |ωn|u(x0) − (n− 2) ε1−n

∫|σ−x0|=ε

[u(x0)− u(σ)

]dσ

n.z.z. : limε↓0

(n− 2) ε1−n

∫|σ−x0|=ε

[u(x0)− u(σ)

]dσ = 0

u ∈ C2(Ω), Kε(x0) ⊂ Ω =⇒ max|σ−x0|=ε

∣∣u(x0)− u(σ)∣∣ −−→ε↓0

0

=⇒∣∣∣(n− 2) ε1−n

∫|σ−x0|=ε

[u(x0)− u(σ)

]dσ∣∣∣ ≤ (n− 2) ε1−n max

|σ−x0|=ε

∣∣u(x0)− u(σ)∣∣εn−1|ωn|︷︸︸︷∫

|σ−x0|=ε

dσ

≤ (n− 2) |ωn| max|σ−x0|=ε

∣∣u(x0)− u(σ)∣∣ −−→ε↓0

0

Definition 1.4 Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes C1-Gebiet, n ≥ 2, und x0 ∈ Ω. Dann heißt

γx0(x) =

− 1

2πln∣∣x− x0∣∣ + Φ(x) , n = 2

1

(n− 2)|ωn|1

|x− x0|n−2 + Φ(x) , n ≥ 3

Grundlosung fur ∆ zu x0 ∈ Ω, falls Φ(x) ∈ C2(Ω)

mit ∆Φ(x) = 0, x ∈ Ω, gilt.

Satz 1.5 (Greensche Darstellungsformel)

Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes C1-Gebiet, n ≥ 2, u ∈ C2 (Ω), und ∆u(x) = f(x), x ∈ Ω. Fur x0 ∈ Ωgilt dann

u(x0)=

∫∂Ω

[γx0(σ)

∂u

∂ν(σ)− u(σ)∂γx

0

∂ν(σ)

]dσ −

∫Ω

γx0(x) f(x) dx ,

wobei ν die außere Normale auf ∂Ω und γx0(x) die Grundlosung fur ∆ zu x0 bezeichnen.


Bew e i s : Satz 1.3 & Definition 1.4 y

u(x0)

=

∫∂Ω

[(γx0 − Φ) (σ)

∂u

∂ν(σ)− u(σ)∂(γx

0 − Φ)

∂ν(σ)

]dσ −

∫Ω

(γx0 − Φ) (x) f(x) dx

=

∫∂Ω

[γx0(σ)

∂u


0

∂ν(σ)

]dσ −

∫Ω

γx0(x) f(x) dx

−

∫∂Ω

[Φ(σ)

∂u

∂ν(σ)− u(σ)∂Φ

∂ν(σ)

]dσ −

∫Ω

Φ(x) ∆u(x) dx

︸︷︷︸

0, Greenscher Satz (2)

1.3 Greensche Funktionen

Definition 1.6 Sei Ω ⊂ Rn ein beschranktes C1-Gebiet, n ≥ 2. Dann heißt g(x0, x) : Ω×Ω −→ R ∪ ∞Greensche Funktion zu Ω, falls fur beliebige x0 ∈ Ω gilt

(i) g(x0, x) Grundlosung von ∆ zu x0, d.h. ∆xg(x0, x) = 0, x ∈ Ω \ x0

(ii) g(x0, y) = 0, y ∈ ∂Ω

Eigenschaften

(i) 0 ≤ g(x0, x) ≤ 1

(n− 2)|ωn|1

|x− x0|n−2, n ≥ 3

(ii) g(x0, x) = g(x, x0), x, x0 ∈ Ω, x 6= x0

(hier ohne Beweis)

Idee : seien g(x0, x) Greensche Funktion zu ∆, u Losung von

∆u(x) = f(x) , x ∈ Ω

u(y) = ϕ(y) , y ∈ ∂Ω

Ω

∂Ω

Ω∂Ω ∂Ω x0

Ω× Ω

∂Ω

∆xg(x0, x)

x

= 0

====⇒Satz 1.5

u(x0)

=

∫∂Ω

[γx0(σ)︸︷︷︸

g(x0,σ)=0

∂u

∂ν(σ)− u(σ)︸︷︷︸

ϕ(σ)

∂

∂νγx0(σ)︸︷︷︸g(x0,σ)

]dσ −

∫Ω

γx0(x)︸︷︷︸g(x0,x)

f(x) dx

= −∫∂Ω

ϕ(σ)∂g(x0, σ)

∂νdσ −

∫Ω

g(x0, x) f(x) dx

d.h. Kenntnis von g(x0, x) 99K Losungsformel fur u(x0), x0 ∈ Ω

‘Konstruktion’ von g(x0, x)

o.B.d.A. n ≥ 3, Definition 1.6 (i) & Definition 1.4 y

g(x0, x) =1

(n− 2)|ωn|1

|x− x0|n−2 + Φx0(x) ====⇒y ∈ ∂Ω

g(x0, y) =1

(n− 2)|ωn|1

|y − x0|n−2 + Φx0(y)!= 0

1.3 Greensche Funktionen 13

d.h. man muss fur alle x0 ∈ Ω das Randwertproblem fur Φx0 ,

∆Φx0(x) = 0 , x ∈ Ω

Φx0(y) = − 1

(n− 2)|ωn|1

|y − x0|n−2 , y ∈ ∂Ω

losen 99K g(x0, x) :=1

(n− 2)|ωn|1

|x− x0|n−2 + Φx0(x) 99K u(x0) y i.a. nicht einfacher

Spiegelungsprinzip

fur spezielle (‘symmetrische’) Gebiete7 kann (ein) g(x0, x) relativ einfach konstruiert werden

Satz 1.7 Seien n ≥ 3, R > 0 und x0 ∈ Ω = KR(0) ⊂ Rn. Dann ist

g(x0, x) =1

(n− 2)|ωn|

[1

|x− x0|n−2 −(R

|x0|

)n−21

|x− x0∗|n−2

], x0 6= 0

[1

|x|n−2 −1

Rn−2

], x0 = 0

mit x0∗ = x0R2

|x0|2, x0 6= 0, eine Greensche Funktion fur Ω.

B ew e i s : Ω = KR(0) ⊂ Rn, R > 0, sei x0 ∈ Ω \ 0, sei x0∗ der am Kreis gespiegelte Punkt von x0,

x0∗ = x0R2

|x0|2

99K eineindeutige Zuordnung

Rn \KR(0) ←→ KR(0) \ 0 ,

wobei ∂KR(0) Fixmenge ist

suchen Φx0 mit

∆Φx0(x) = 0 , |x| < R

Φx0(y) = − 1

(n− 2)|ωn|1

|y − x0|n−2︸︷︷︸=:γx0 (y)

, |y| = R

x0∗

R

x00

Ω

Pythagoras y

|x0∗|2 −R2 = |x0

∗ − x0|2 +R2 − |x0|2

x0∗ = λx0 =⇒ |x0|2

[λ2 − (λ− 1)2 + 1

]= 2R2

⇐⇒ |x0|2λ = R2 ⇐⇒ λ =R2

|x0|2

Ansatz : Φx0(x) := c(x0) γx0∗(x) =

c(x0)

(n− 2)|ωn|1

|x− x0∗|n−2

=⇒ ∆xΦx0(x) =c(x0)

(n− 2)|ωn|∆x

1

|x− x0∗|n−2︸︷︷︸

0,|x|<R<|x0∗|

= 0, |x| < R

sei |y| = R =⇒ Φx0(y) =c(x0)

(n− 2)|ωn|1

|y − x0∗|n−2

!= − 1

(n− 2)|ωn|1

|y − x0|n−2

⇐⇒ c(x0)

|y − x0∗|n−2 = − 1

|y − x0|n−2 ⇐⇒ c(x0)∣∣y − x0∣∣n−2

= −∣∣y − x0∗∣∣n−2

7z.B. Kreis, Kugel, Halbraum und Schnittmengen davon, z.B. Halbkugel, ∼ -kreis, Viertelkugel, ∼ -kreis . . .


∣∣y − x0∗∣∣2 =

∣∣∣∣y − x0 R2

|x0|2

∣∣∣∣2 =

⟨y − x0 R2

|x0|2, y − x0 R2

|x0|2

⟩

= |y|2︸︷︷︸R2

− 2R2

|x0|2⟨y, x0

⟩︸︷︷︸∈R

+

(R2

|x0|2

)2 ∣∣x0∣∣2 =R2

|x0|2(∣∣x0∣∣2 − 2

⟨y, x0

⟩+ R2

)︸︷︷︸

|x0−y|2, |y|=R

=R2

|x0|2∣∣y − x0∣∣2

=⇒ c(x0) = −

(∣∣y − x0∗∣∣|y − x0|

)n−2

= −(R

|x0|

)n−2

, x0 6= 0

=⇒ Φx0(x) = − 1

(n− 2)|ωn|

(R

|x0|

)n−21

|x− x0∗|n−2 , x0 6= 0

1

Rn−2, x0 = 0

Bemerkung : n = 2, R > 0, x0 ∈ Ω = KR(0) ⊂ R2, mit x0∗ = x0R2

|x0|2fur x0 6= 0,

g(x0, x) = − 1

2π

[ln∣∣x− x0∣∣ − ln

∣∣x− x0∗∣∣ + lnR

|x0|

], x0 6= 0

[ln |x| − lnR] , x0 = 0

Satz 1.8 Seien n ≥ 2, R > 0, Ω = KR(0) ⊂ Rn, u ∈ C2(Ω)

mit ∆u(x) = 0, x ∈ Ω. Dann gilt furx0 ∈ Ω

u(x0)

=R2 −

∣∣x0∣∣2R |ωn|

∫|y|=R

u(y)

|y − x0|ndσy .

Bew e i s : Satz 1.5 mit ∆u(x) = 0, x ∈ Ω, γx0(y) = g(x0, y) = 0, y ∈ ∂Ω y

u(x0)=

∫∂Ω

[γx0(σ)︸︷︷︸

0

∂u


0

∂ν(σ)]dσ−

∫Ω

γx0(x)︸︷︷︸g(x0,x)

∆u(x)︸︷︷︸0

dx = −∫

|y|=R

u(y)∂g

∂ν(x0, y) dσy (7)

|y| = R =⇒ ν =y

R=⇒ νj =

yjR, j = 1, . . . , n

o.B.d.A. n ≥ 3, x0 6= 0 (andere Falle analog)

g(x0, x) =1

(n− 2)|ωn|

[1

|x− x0|n−2 −(R

|x0|

)n−21

|x− x0∗|n−2

]

y∂g

∂ν(x0, y) =

n∑j=1

∂g

∂yj(x0, y)

yjR︸︷︷︸νj

=1

R

n∑j=1

∂g

∂yj(x0, y) yj (8)

1.4 Harmonische Funktionen 15

∂g

∂yj(x0, y) =

1

(n− 2)|ωn|

[∂

∂yj

(1

|y − x0|n−2

)−(R

|x0|

)n−2∂

∂yj

(1

|y − x0∗|n−2

)]

=1

(n− 2)|ωn|

[−n+ 2

|y − x0|n−1

yj − x0j|y − x0|

−(R

|x0|

)n−2 −n+ 2

|y − x0∗|n−1

yj −(x0∗)j

|y − x0∗|

]

= − 1

|ωn|

yj − x0j|y − x0|n

−(R

|x0|

)n−2 yj − R2

|x0|2x0j

|y − x0∗|n

Beweis Satz 1.7 =⇒∣∣y − x0∗∣∣ =

R

|x0|∣∣y − x0∣∣, |y| = R

=⇒ ∂g

∂yj(x0, y) = − 1

|ωn|

yj − x0j|y − x0|n

−

(∣∣x0∣∣R

)2yj − R2

|x0|2x0j

|y − x0|n

= − 1

|ωn|yj − x0j −

|x0|2R2 yj + x0j

|y − x0|n

= − 1

|ωn|R2 −

∣∣x0∣∣2R2

yj|y − x0|n

=⇒(8)

∂g

∂ν(x0, y) =

1

R

n∑j=1

∂g

∂yj(x0, y) yj = −

R2 −∣∣x0∣∣2

R3|ωn|1

|y − x0|nn∑

j=1

y2j︸︷︷︸|y|2=R2

= −R2 −

∣∣x0∣∣2R|ωn|

1

|y − x0|n

=⇒(7)

u(x0)=R2 −

∣∣x0∣∣2R |ωn|

∫|y|=R

u(y)

|y − x0|ndσy

Bemerkung : u ≡ 1 ====⇒Satz 1.8

1 =R2 −

∣∣x0∣∣2R |ωn|

∫|y|=R

dσy|y − x0|n

, n ≥ 2, |x0| < R (9)

1.4 Harmonische Funktionen

Definition 1.9 Sei Ω ⊂ Rn ein zusammenhangendes Gebiet. Eine Funktion u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω)

heißtharmonisch in Ω ⊂ Rn, wenn ∆u(x) = 0 fur x ∈ Ω gilt.

Bemerkung : • n = 1 : u(x) harmonisch ⇐⇒ u(x) = ax+ b, a, b ∈ R

• n ≥ 2 : Losungsraum der Laplace-Gleichung unendlich-dimensional, z.B. sind furn = 2 alle Polynome 1, x, y, xy, x2− y2, x3− 3xy2, y3− 3x2y, . . . harmonisch, aberauch sin(ay)eax, cos(ay)eax , . . .


Definition 1.10 (Mittelwerteigenschaft)

Sei Ω ⊂ Rn ein zusammenhangendes Gebiet.

(i) Eine Funktion u ∈ C(Ω)

besitzt in Ω die Flachenmittelwert-Eigenschaft, wenn fur alle x0 ∈ Ωund alle R > 0 mit KR(x

0) ⊂ Ω stets gilt

u(x0) =1

Rn−1|ωn|

∫|y−x0|=R

u(y) dσy .

(ii) Eine Funktion u ∈ C(Ω)

besitzt in Ω die Volumenmittelwert-Eigenschaft, wenn fur alle x0 ∈ Ωund alle R > 0 mit KR(x

0) ⊂ Ω stets gilt

u(x0) =n

Rn|ωn|

∫|x−x0|≤R

u(x) dx .

Satz 1.11 Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes, zusammenhangendes Gebiet und u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω). Dann

sind folgende Aussagen aquivalent :

(i) u ist harmonisch in Ω, d.h. ∆u(x) = 0, x ∈ Ω

(ii) u besitzt die Flachenmittelwert-Eigenschaft

(iii) u besitzt die Volumenmittelwert-Eigenschaft

Bew e i s : (ii) =⇒ (iii) : seien x0 ∈ Ω, R > 0 und KR(x0) ⊂ Ω

=⇒ n

Rn|ωn|

∫|x−x0|≤R

u(x) dx =n

Rn|ωn|

R∫0

∫|y−x0|=r

u(y) dσy

︸︷︷︸u(x0)rn−1|ωn|, (ii)

dr =n u(x0)

Rn

R∫0

rn−1 dr

︸︷︷︸Rn

n

= u(x0)

(iii) =⇒ (ii) : sei x0 ∈ Ω,

==⇒(iii)

h(R) :=Rn|ωn|n

u(x0) −R∫0

∫|y−x0|=r

u(y) dσy dr ≡ 0 ∀ R > 0, KR(x0) ⊂ Ω

=⇒ 0 ≡ h′(R) = Rn−1|ωn| u(x0)−∫

|y−x0|=R

u(y) dσy ⇐⇒ u(x0) =1

Rn−1|ωn|

∫|y−x0|=R

u(y) dσy

(i) =⇒ (ii) : betrachten spharische Mittel

M(R)u(x0) =1

Rn−1|ωn|

∫|y−x0|=R

u(y) dσy =1

|ωn|

∫|ν|=1

u(x0 +Rν) dσν

=⇒ limR↓0M(R)u(x0) =

1

|ωn|

∫|ν|=1

limR↓0

u(x0 +Rν)︸︷︷︸u(x0)

dσν =u(x0)

|ωn|

∫|ν|=1

dσν

︸︷︷︸|ωn|

= u(x0)

M(R)u(x0) stetig in R, auch differenzierbar


yd

dRM(R)u(x0) =

1

|ωn|

∫|ν|=1

du

dR(x0 +Rν) dσν =

1

|ωn|

∫|ν|=1

n∑j=1

∂u

∂xj(x0 +Rν) νj︸︷︷︸⟨

gradu(x0 +Rν), ν⟩

dσν

=Satz v. Gauß

1

|ωn|

∫|ν|≤1

div (gradu)︸︷︷︸∆u

(x0 +Rν) dν =1

|ωn|

∫|ν|≤1

∆u(x0 +Rν) dν

d.h. ∆u(x) = 0, x ∈ Ω ⊃ KR(x0) =⇒ d

dRM(R)u(x0) = 0 =⇒ M(R)u(x0) ≡ c

limR↓0M(R)u(x0) = u(x0) =⇒ M(R)u(x0) = u(x0), R > 0 mit KR(x

0) ⊂ Ω

(ii) =⇒ (i) : zeigen ∆u(x0) = 0, x0 ∈ Ω; seien R > 0 mit KR(x0) ⊂ Ω, M(R)u(x0) ≡ u(x0)

y 0 =d

dRM(R)u(x0) =

1

|ωn|

∫|ν|≤1

∆u(x0 +Rν) dν =1

|ωn|

∫|y−x0|≤R

∆u(y) dy (10)

Annahme : ∆u(x0) > 0 ===⇒stetig

∃ δ > 0 ∀ y ∈ Kδ(x0) : ∆u(y) > 0 zu (10); analog fur ∆u(x0) < 0

Bemerkung : aus Beweis ‘(i) =⇒ (ii)’ ersichtlich:

∆u(x) ≥ 0 in Ω =⇒ u(x0) ≤M(R)u(x0), ∀ x0 ∈ Ω, R > 0 mit KR(x0) ⊂ Ω

∆u(x) ≤ 0 in Ω =⇒ u(x0) ≥M(R)u(x0), ∀ x0 ∈ Ω, R > 0 mit KR(x0) ⊂ Ω

Satz 1.12 (Maximum-Minimum-Prinzip)

Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes, zusammenhangendes Gebiet und u reellwertig und harmonisch in Ω.Dann nimmt u(x) sein Maximum und Minimum auf dem Rand ∂Ω an.

B ew e i s : ausreichend, Aussage fur Maximum zu beweisen

99K v(x) := −u(x), x ∈ Ω harmonisch in Ω, minx∈Ω

u(x) = − maxx∈Ω

v(x) = − maxy∈∂Ω

v(y) = miny∈∂Ω

u(y)

seien M := maxx∈Ω

u(x), m := maxy∈∂Ω

u(y), M ≥ m

Annahme : M > m, d.h. ∃ x0 ∈ Ω : M = u(x0)wahlen R > 0 so, dass KR(x

0) ∩ ∂Ω 6= ∅=⇒ ∃ y0 ∈ KR(x

0) ∩ ∂Ω, u(y0) ≤ maxy∈∂Ω

u(y) = m

u stetig auf Ω =⇒ ∃ δ > 0 ∀ x ∈ Ω ∩ Kδ(y0) :

u(x) ≤ m+M −m

2︸︷︷︸ε

< M

wahlen r < R so, dass ∂Kr(x0) ∩ Kδ(y

0) 6= ∅

Kδ(y0)

Kr(x0)

R

Ω

KR(x0)x0


u harmonisch =======⇒Satz 1.11 (ii)

u(x0) =1

rn−1|ωn|

∫|y−x0|=r

u(y) dσy

=1

rn−1|ωn|

( ∫∂Kr(x0) ∩ Kδ(y0)

<M︷︸︸︷u(y) dσy +

∫∂Kr(x0) \ Kδ(y0)

≤M︷︸︸︷u(y) dσy

)

< M1

rn−1|ωn|

∫∂Kr(x0)

dσy

︸︷︷︸rn−1|ωn|

= M

=⇒ u(x0) < M = u(x0) y M = m

Bemerkung : • Eine in Ω harmonische Funktion ist durch ihre Randwerte eindeutig bestimmt.

• aus Beweis ersichtlich :

∆u(x) ≥ 0 in Ω =⇒ maxx∈Ω

u(x) = maxy∈∂Ω

u(y) (11)

∆u(x) ≤ 0 in Ω =⇒ minx∈Ω

u(x) = miny∈∂Ω

u(y) (12)

Folgerung 1.13 Sei Ω ⊂ Rn ein beschranktes, zusammenhangendes C1-Gebiet mit Greenscher Funktiong(x0, x). Dann gilt fur alle x, x0 ∈ Ω, x 6= x0 :

(i) n ≥ 3, 0 ≤ g(x0, x) < γx0(x) =1

(n− 2)|ωn|1

|x− x0|n−2

(ii) g(x0, x) = g(x, x0)

Bew e i s : zu (i) : g(x0, x) = γx0(x) = γx0(x) + Φx0(x) mit ∆Φx0(x) = 0, Φx0(y) = − γx0(y) < 0

=====⇒Satz 1.12

Φx0(x) < 0, x ∈ Ω =⇒ g(x0, x) = γx0(x) + Φx0(x) < γx0(x)

seien x, x0 ∈ Ω, x 6= x0, δ > 0 so, dass Kδ(x0) ⊂ Ω, γx0(x)︸︷︷︸

↑∞, x→x0

> |Φx0(x)|︸︷︷︸beschrankt

, x ∈ Kδ(x0) (13)

=⇒ g(x, x0) harmonisch in Ω \Kδ(x0), g(y, x0) =

0 , y ∈ ∂Ωγx0(y) + Φx0(y) ≥

(13)0 , y ∈ ∂Kδ(x

0)

=⇒ g(x, x0) harmonisch in Ω \Kδ(x0), g(y, x0) ≥ 0, y ∈ ∂

(Ω \Kδ(x

0))

=====⇒Satz 1.12

g(x, x0) ≥ 0, x ∈ Ω \Kδ(x0) ==⇒

(13)g(x, x0) ≥ 0, x ∈ Ω

zu (ii) : seien ξ1, ξ2 ∈ Ω, ξ1 6= ξ2, u(x) := g(ξ1, x), v(x) := g(ξ2, x), x ∈ Ω

g.z.z. : u(ξ2) = v(ξ1) ⇐⇒ g(ξ2, ξ1) = g(ξ1, ξ2)

ξ1 6= ξ2 =⇒ ∃ δ > 0 : Kδ(ξ1) ∩ Kδ(ξ2) = ∅, Kδ(ξ1), Kδ(ξ2) ⊂ Ω

u, v harmonisch in Ωδ := Ω \ (Kδ(ξ1) ∪ Kδ(ξ2)), wenden Satz von Greenauf u, v in Ωδ an

Kδ(ξ2)

ξ1 ξ2Ω

Kδ(ξ1)

ν


=⇒ 0 =

∫Ωδ

[u(x)∆v(x)︸︷︷︸

0

−v(x)∆u(x)︸︷︷︸0

]dx =

(2)

∫∂Ωδ

[u(σ)

∂v

∂ν(σ)− v(σ)∂u

∂ν(σ)

]dσ

=

∫∂Ω

[u(σ)︸︷︷︸

0

∂v

∂ν(σ)− v(σ)︸︷︷︸

0

∂u

∂ν(σ)

]dσ +

∫∂Kδ(ξ1) ∪ ∂Kδ(ξ2)

[u(σ)

∂v

∂ν(σ)− v(σ)∂u

∂ν(σ)

]dσ

=

∫∂Kδ(ξ1)

[u(σ)

∂v

∂ν(σ)− v(σ)∂u

∂ν(σ)

]dσ

︸︷︷︸−→δ ↓ 0

− v(ξ1)

+

∫∂Kδ(ξ2)

[u(σ)

∂v

∂ν(σ)− v(σ)∂u

∂ν(σ)

]dσ

︸︷︷︸−→δ ↓ 0

u(ξ2)

analog zu (ii), (iii) im Beweis von Satz 1.3, da u, v spezielle Struktur (Grundlosung) haben

Satz 1.14 (i) Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes, zusammenhangendes Gebiet, u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω)und

u harmonisch in Ω. Dann ist u beliebig oft differenzierbar in Ω.

(ii) (Satz von Liouville8) Sei Ω = Rn.

Die Funktion u ist harmonisch und beschrankt in Rn genau dann, wenn u ≡ const gilt.

B ew e i s : zu (i) : seien x0 ∈ Ω y u(x) := u(x+ x0) harmonisch in Ω :=x ∈ Rn : x+ x0 ∈ Ω

,

seien R > 0 so, dass KR(x0) ⊂ Ω und x ∈ KR(x0)

=⇒ u(x) = u(x− x0) =Satz 1.8

R2 −∣∣x− x0∣∣2

R |ωn|

∫|y|=R

u(y)

|y − (x− x0)|ndσy

=R2 −

∣∣x− x0∣∣2R |ωn|︸︷︷︸∈C∞

∫|y|=R

u(y + x0)

|y − (x− x0)|ndσy

︸︷︷︸=:h(x)

|y| = R,∣∣x− x0∣∣ < R =⇒

∣∣y − (x− x0)∣∣ ≥ |y| − ∣∣x− x0∣∣ > 0 =⇒ h(x) ∈ C∞(KR(x0)), d.h.

u(x) beliebig oft differenzierbar in KR(x0), x0 ∈ Ω, R > 0 beliebig =⇒ u(x) ∈ C∞(Ω)

zu (ii) : ‘⇐=’ klar;seien x ∈ Rn, R >> |x|, verwenden Volumenmittelwert-Eigenschaft, Satz 1.11(iii), fur u(x), u(0) :

u(x)− u(0) =n

Rn|ωn|

∫|y−x|≤R

u(y) dy −∫

|y|≤R

u(y) dy

y |u(x)− u(0)| ≤ n

Rn|ωn|

∫KR(x)4KR(0)

|u(y)|dy

u beschrankt, |u(x)| ≤ c y |u(x)− u(0)| ≤ c n

Rn|ωn||AR(x)|

mit AR(x) = KR(x) 4 KR(0) = (KR(x) \KR(0)) ∪ (KR(0) \KR(x))

AR(x)

R

x

0

8Joseph Liouville (∗ 24.3.1809 Saint-Omer/Frankreich † 8.9.1882 Paris)


y |AR(x)| ≤ |ωn| [(R+ |x|)n − (R− |x|)n] ≤ c′(x) Rn−1

y |u(x)− u(0)| ≤ c′′(x)

RnRn−1 =

c′′(x)

R−−−−→R→∞

0, x ∈ Rn =⇒ u(x) ≡ u(0), x ∈ Rn

Sobolev’sches9Mittelungsverfahren

Rn

ω(x)ce−1

0

Sei

ω(x) :=

c e

− 11−|x|2 , |x| < 1

0 , |x| ≥ 1

, x ∈ Rn (14)

y supp ω = x ∈ Rn : |x| ≤ 1 kompakt

Beh. : ω(x) ∈ C∞0 (Rn)

∂ω(x)

∂xj= c e

− 11−|x|2

−2xj(1− |x|2)2

99K · · · 99K Dγω(x) = c e− 1

1−|x|2

Polynom︷︸︸︷pγ(x)

(1− |x|2)2|γ|, γ ∈ Nn

0

lim|x|↑1

Dγω(x) = lim|x|↑1

e− 1

1−|x|2c pγ(x)

(1− |x|2)2|γ|=

t = 11−|x|2

limt→∞

e−t t2|γ| pγ(t) = 0

=⇒ ω(x) ∈ C∞0 (Rn), Normierung: wahlen c so, dass

∫Rn

ω(x) dx = 1 gilt

sei jetzt h > 0, setzen

ωh(x) :=1

hnω(xh

)supp ω = x ∈ Rn : |x| ≤ 1 y

supp ωh = y ∈ Rn : |y| ≤ h

∫Rn

ωh(x) dx =1

hn

∫Rn

ω(xh

)dx =

y = xh

∫Rn

ω(y) dy = 1

c

ω(x)

ωh(x)

Rn1 0 1

sei f : Ω −→ C beschrankt, mit kompaktem Trager supp f in Ω,

fh(x) := (ωh ∗ f)(x), x ∈ Ω, 0 < h < h0 (15)

fh(x) =

∫Rn

ωh(x− y) f(y)︸︷︷︸:=0, y∈Rn\Ω

dy =1

hn

∫Rn

ω

(x− yh

)f(y) dy

=z = x−y

h

∫Rn

ω(z)︸︷︷︸=0,|z|>1

f(x− hz) dz =

∫|z|≤1

ω(z)f(x− hz) dz

=

∫|x−y|≤h

ωh(x− y)f(y) dy

Ωfh(x) 6= 0

z fh(z) = 0

supp fh

supp f

x

9Sergei Lvovich Sobolev (∗ 6.10.1908 St. Petersburg † 3.1.1989 Leningrad)


dist(x, supp f) ≤ h =⇒i.a.

fh(x) 6= 0, dist(z, supp f) > h =⇒ fh(z) = 0

dist(supp f, ∂Ω) > 0 =⇒ wahlen h0 > 0 so, dass supp fh ⊂ Ω, 0 < h ≤ h0 y supp fh kompakt

Beh. : fh ∈ C∞(Ω)

sei t ∈ R, 0 < |t| < δ klein y

fh(x1 + t, x2, . . . , xn)− fh(x1, . . . , xn)t

=

∫Rn

ωh(x1 + t− y1, x2 − y2, . . . , xn − yn)− ωh(x− y)t︸︷︷︸

∂∂ξ1

ωh(x1−y1+θt,x2−y2,...,xn−yn), MWS, 0<θ<1

f(y) dy

=

∫supp f

∂

∂ξ1ωh (x1 − y1 + θt, x2 − y2, . . . , xn − yn) f(y) dy

ωh ∈ C∞(Rn), f beschrankt y∣∣∣∣fh(x1 + t, x2, . . . , xn)− fh(x1, . . . , xn)t

∣∣∣∣ ≤ ∫supp f

∣∣∣∣ ∂∂ξ1ωh (x1 − y1 + θt, x2 − y2, . . . , xn − yn)∣∣∣∣︸︷︷︸

≤ c1

|f(y)|︸︷︷︸≤ c2

dy

︸︷︷︸≤C, supp f beschrankt

=⇒Satz10von Lebesgue11

limt→0

fh(x1 + t, x2, . . . , xn)− fh(x1, . . . , xn)t︸︷︷︸

∂fh∂x1

(x)

=

∫Rn

∂ωh

∂ξ1(x− y)f(y) dy 99K existiert

ωh ∈ C∞(Rn), h > 0 ====⇒Iteration

fh ∈ C∞(Ω), 0 < h ≤ h0, Dγfh(x) =

∫Rn

Dγωh(x− y)f(y) dy, γ ∈ Nn0

Folgerung 1.15 Sei u ∈ C(Ω), u besitze die Flachenmittelwert-Eigenschaft in Ω. Dann gilt fur x ∈ Ω

u(x) = uh(x) = (ωh ∗ u)(x), 0 < h < h0.

Bemerkung : nach Vorbemerkung folgt daraus sofort Satz 1.14 (i)

B ew e i s : seien x ∈ Ω, h > 0 y

uh(x) =

∫|x−y|≤h

ωh(x− y)u(y) dy =

h∫0

∫|x−y|=r

ωh(x− y)︸︷︷︸ωh(rθ), |θ|=1

u(y) dσy dr

=

h∫0

ωh(rθ)

∫|x−y|=r

u(y) dσy

︸︷︷︸rn−1|ωn|u(x), r<r0, Vor.

dr = u(x)

∫|z|≤h

ωh(z) dz

︸︷︷︸1

= u(x), 0 < h < h0

10fk, f messbar in Ω, fk −−−−→k→∞

f f.u., |fk| ≤ g f.u., k ∈ N,∫Ω

g(x) dx < ∞ =⇒∫Ω

fk(x) dx −−−−→k→∞

∫Ω

f(x) dx < ∞11Henri Leon Lebesgue (∗ 28.6.1875 Beauvais, Picardie/Frankreich † 26.7.1941 Paris)


1.5 Das Dirichlet-Problem

Definition 1.16 (inneres Dirichlet-Problem fur ∆)

Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes, zusammenhangendes Gebiet und ϕ ∈ C (∂Ω). Gesucht wird eine Funktionu ∈ C2(Ω) ∩ C

(Ω)

mit

∆u(x) = 0 , x ∈ Ω

u(y) = ϕ(y) , y ∈ ∂Ω

Satz 1.17 Das innere Dirichlet-Problem fur den Laplace-Operator besitzt hochstens eine Losung.

Bew e i s : seien u1, u2 Losungen =⇒ u := u1 − u2 lost

∆u(x) = 0 , x ∈ Ωu(y) = 0 , y ∈ ∂Ω

u harmonisch in Ω, o.B.d.A. u reell (sonst zerlegen)=====⇒Satz 1.12

maxx∈Ω

u(x) = maxy∈∂Ω

u(y) = 0 = miny∈∂Ω

u(y) = minx∈Ω

u(x) =⇒ u(x) ≡ 0, x ∈ Ω ⇐⇒ u1 ≡ u2

Bemerkung : Die Losungen fur das Dirichlet-Problem hangen stetig von den Randwerten ab : sei ui Losungvon

∆u(x) = 0 , x ∈ Ωu(y) = ϕi(y) , y ∈ ∂Ω

, i = 1, 2,

y maxx∈Ω|u1(x)− u2(x)| ≤ max

y∈∂Ω|ϕ1(y)− ϕ2(y)|

Satz 1.18 (Poissonsche Formel)

Seien Ω = KR(0) ⊂ Rn und ϕ ∈ C (∂KR(0)) gegeben. Die eindeutig bestimmte Losung des innerenDirichlet-Problems fur die Laplace-Gleichung wird durch

u(x) =

R2 − |x|2

R|ωn|

∫|y|=R

ϕ(y)

|y − x|ndσy , |x| < R

ϕ(x) , |x| = R

gegeben.

Bew e i s : 1. Schritt : Laplace-Gleichung ∆u(x) = 0

|x| < R =⇒ ϕ(y)

|y − x|nstetig, 99K Vertauschung Differentiation und Integration y

∆xu(x) =1

R|ωn|

∫|y|=R

ϕ(y) ∆x

(R2 − |x|2

|y − x|n

)dσy

g.z.z. : ∆x

(R2 − |x|2

|y − x|n

)= 0 (16)

entweder direkt oder mit Trick : n ≥ 3 =⇒ ∆x

(1

|y − x|n−2

)= 0, y 6= x y

0 =∂

∂xj∆x

(1

|y − x|n−2

)= ∆x

(∂

∂xj

1

|y − x|n−2

)= (n− 2) ∆x

(xj − yj|y − x|n

)(17)

n = 2 =⇒ 0 =∂

∂xj∆x (ln |x− y|) = ∆x

(yj − xj|y − x|2

)(18)

1.5 Das Dirichlet-Problem 23

andererseits ist fur |y| = R

R2 − |x|2

|y − x|n=|y|2 − |x− y + y|2

|y − x|n=|y|2 −

|x−y+y|2︷︸︸︷〈(x− y) + y, (x− y) + y〉

|y − x|n

=|y|2 − |x− y|2 − |y|2 − 〈x− y, y〉 − 〈y, x− y〉

|y − x|n

=−|x− y|2 − 2〈x− y, y〉

|y − x|n= − 1

|y − x|n−2− 2

n∑j=1

yjxj − yj|y − x|n

=⇒ ∆x

(R2 − |x|2

|y − x|n

)= − ∆x

(1

|y − x|n−2

)︸︷︷︸

0, Grundlosung

− 2n∑

j=1

yj ∆x

(xj − yj|y − x|n

)︸︷︷︸

0, (17), (18)

= 0

2. Schritt : Stetigkeit von u(x) in Ω; x ∈ Ω klar nach 1. Schritt;

sei ξ ∈ ∂Ω, |ξ| = R, z.z. : ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, |x− ξ| < δ : |u(x)− u(ξ)| < ε

x ∈ ∂Ω = ∂KR(0) 99K |u(x)− u(ξ)| = |ϕ(x)− ϕ(ξ)| < ε, ϕ stetig, sei jetzt |x| < R

=⇒(9)

1 =R2 − |x|2

R |ωn|

∫|y|=R

dσy|y − x|n

, n ≥ 2 ====⇒Satz 1.8

u(x)− u(ξ)︸︷︷︸ϕ(ξ)

=R2 − |x|2

R |ωn|

∫|y|=R

ϕ(y)− ϕ(ξ)|y − x|n

dσy

=⇒ |u(x)− u(ξ)| ≤ R2 − |x|2

R |ωn|

∫(∂Ω)1

|ϕ(y)− ϕ(ξ)||y − x|n

dσy

︸︷︷︸I1

+R2 − |x|2

R |ωn|

∫(∂Ω)2

|ϕ(y)− ϕ(ξ)||y − x|n

dσy

︸︷︷︸I2

mit (∂Ω)1 ∪ (∂Ω)2 = ∂KR(0)

ϕ stetig auf ∂KR(0) 99K wahlen (∂Ω)1 ⊂ ∂KR(0) so klein, dass

maxy∈(∂Ω)1

|ϕ(y)− ϕ(ξ)| < ε

2=⇒ I1 <

ε

2

R2 − |x|2

R |ωn|

∫(∂Ω)1

dσy|y − x|n︸︷︷︸

≤1, (9)

≤ ε

2

Kδ(ξ)

R0

(∂Ω)2

(∂Ω)1

ξ

ϕ stetig auf ∂KR(0) 99K |ϕ(y)− ϕ(ξ)| ≤ 2 maxy∈∂KR(0)

|ϕ(y)| ≤ M , y ∈ (∂Ω)2

wahlen δ0 > 0 mit Kδ(ξ) ∩ ∂KR(0) ⊂ (∂Ω)1 fur δ < δ0, dist(Kδ(ξ), (∂Ω)2) > 0sei x ∈ Kδ(ξ) =⇒ |y − x| ≥ cδ, y ∈ (∂Ω)2 y

I2 =R2 − |x|2

R |ωn|

∫(∂Ω)2

≤2M︷︸︸︷|ϕ(y)− ϕ(ξ)||y − x|n︸︷︷︸

≥cnδ

dσy ≤R2 − |x|2

R |ωn|2M

cnδ

∫(∂Ω)2

dσy

︸︷︷︸≤Rn−1|ωn|

≤ 2M

cnδRn−2 (R+ |x|)(R− |x|)︸︷︷︸

R2−|x|2

≤ c Rn−1(R− |x|) <ε

2fur x ∈ Kδ(ξ), δ < δ(ε)

=⇒ |u(x)− u(ξ)| < ε fur |x− ξ| < δ(ε) ⇐⇒ u ∈ C(KR(0)

)Bemerkung : Seien Ω zusammenhangend, beschrankt, mit glattem Rand ∂Ω, ϕ stetig auf ∂Ω. Dann besitzt

das innere Dirichlet-Problem auf Ω genau eine Losung u ∈ C2(Ω)∩C(Ω)(siehe z.B. [Tri92a]).


1.6 Die Poisson-Gleichung

Definition 1.19 (inneres Dirichlet-Problem fur die Poisson-Gleichung)

Seien Ω ⊂ Rn ein beschranktes, zusammenhangendes Gebiet, f ∈ C(Ω) und ϕ ∈ C (∂Ω). Gesucht wirdeine Funktion u ∈ C2(Ω) ∩ C

(Ω)

mit

∆u(x) = f(x) , x ∈ Ω

u(y) = ϕ(y) , y ∈ ∂Ω

Satz 1.20 Sei f ∈ C2(Rn) mit kompaktem Trager supp f = x ∈ Rn : f(x) 6= 0. Dann ist dasNewton12sche Potential

u(x) =

1

2π

∫R2

f(z) ln |x− z| dz , n = 2

− 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

f(z)

|x− z|n−2 dz , n ≥ 3

mit u ∈ C2(Rn) eine Losung der Poisson-Gleichung ∆u(x) = f(x), x ∈ Rn .

Bew e i s : o.B.d.A. n ≥ 3

u(x) = − 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

f(z)

|x− z|n−2 dz =y = x − z

− 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

f(x− y)|y|n−2 dy

=⇒ u(x+ h)− u(x) = − 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

f(x+ h− y)− f(x− y)|y|n−2 dy

sei R > 0 so, dass supp f ⊂ KR(0) =⇒ |f(z)| ≤M, z ∈ KR(0), sei |h| ≤ 1

=⇒ |f(x+ h− y)− f(x− y)| ≤

2M , |x− y| < R+ 10 , |x− y| ≥ R+ 1

=⇒

∣∣∣∣∣∣∫Rn

f(x+ h− y)− f(x− y)|y|n−2 dy

∣∣∣∣∣∣≤

∫|x−y|<R+1

≤2M︷︸︸︷|f(x+ h− y)− f(x− y)|

|y|n−2 dy +

∫|x−y|≥R+1

0︷︸︸︷|f(x+ h− y)− f(x− y)|

|y|n−2 dy

≤ 2M

∫|x−y|<R+1

|y|2−ndy

︸︷︷︸<∞

≤ c

=⇒ limh↓0|u(x+ h)− u(x)| ≤ 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

limh↓0|f(x+ h− y)− f(x− y)|

|y|n−2 dy = 0

analog fur∂u

∂xj,

∂2u

∂xj∂xk, j, k = 1, . . . , n =⇒ u ∈ C2(Rn), da f ∈ C2(Rn),

12Sir Isaac Newton (∗ 4.1.1643 Woolsthorpe/England † 31.3.1727 London)

1.6 Die Poisson-Gleichung 25

y ∆u(x) = − 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

∆zf(z)

|x− z|n−2 dz = − 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

∆xf(x− y)|y|n−2 dy (19)

verwenden jetzt Greensche Darstellungsformel fur f ∈ C2(Rn), supp f ⊂ KR(0) =: Ω, und x ∈ KR(0)

====⇒Satz 1.5

f (x) =

∫|y|=R

[γx(y)

∂f

∂ν(y)︸︷︷︸0

− f(y)︸︷︷︸0

∂γx∂ν

(y)

]dσy −

∫KR(0)

γx(z)︸︷︷︸1

(n−2)|ωn|1

|x−z|n−2

∆f(z) dz

= − 1

(n− 2)|ωn|

∫KR(0)

∆f(z)

|x− z|n−2 dz = − 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

∆f(z)

|x− z|n−2 dz

==⇒(19)

∆u(x) = − 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

∆f(z)

|x− z|n−2 dz = f(x), x ∈ KR(0) 99KR > 0bel. groß

∆u(x) = f(x), x ∈ Rn

Bemerkung : schwachere Bedingungen an f moglich, z.B. supp f kompakt, f ∈ C1(Rn)

Bezeichnung : sei (N f)(x) :=

1

2π

∫R2

f(z) ln |x− z| dz , n = 2

− 1

(n− 2)|ωn|

∫Rn

f(z)

|x− z|n−2 dz , n ≥ 3

. . . Newton-Potential

Satz 1.21 Seien Ω = KR(0) ⊂ Rn, ϕ ∈ C (∂KR(0)) und f ∈ C2(Rn) mit kompaktem Tragersupp f gegeben. Dann besitzt das innere Dirichlet-Problem fur die Poisson-Gleichung genau eine Losungu ∈ C2(Ω) ∩ C

(Ω),

u(x) =

(N f)(x) +

R2 − |x|2

R|ωn|

∫|y|=R

ϕ(y)− (N f)(y)|y − x|n

dσy , |x| < R

ϕ(x) , |x| = R .

B ew e i s : seien

uhom(x) :=

R2 − |x|2

R|ωn|

∫|y|=R

ϕ(y)− (N f)(y)|y − x|n

dσy , |x| < R

ϕ(x)− (N f)(x) , |x| = R

, uinh(x) := (N f)(x)

und u(x) := uhom(x) + uinh(x) y

∆u(x) = ∆ uhom(x)︸︷︷︸0, Satz 1.18

+ ∆ uinh(x)︸︷︷︸f(x), Satz 1.20

= f(x) , x ∈ KR(0)

u(y) = uhom(y)︸︷︷︸ϕ(y)−(Nf)(y)

+ uinh(y)︸︷︷︸(Nf)(y)

= ϕ(y) , |y| = R

Stetigkeit von ϕ(x)− (N f)(x) auf ∂KR(0) folgt aus Voraussetzung und Satz 1.20

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