1 Digitale Filter - dnt.kr.hsnr.dednt.kr.hsnr.de/DSV14/skripte_dss/filter.pdf · Impulsantwort...

HG Hirsch 1 DSS-WS 201112

1 Digitale Filter

Die Extraktion oder die Wichtung bestimmter Frequenzkomponenten eines Signals stellt einen

fundamentalen Bestandteil der Signalverarbeitung dar Im vorhergehenden Kapitel zur Diskreten

Fourier Transformation wurde bereits gezeigt wie man die Impulsantworten bestimmter Filter

bestimmen kann

In diesem Kapitel wird die konkrete Realisierung als digitale Filter aufgezeigt Die grundlegenden

Eigenschaften digitaler Filter und die Analyse ihres Verhaltens im Spektralbereich mit Hilfe der Z-

Transformation werden erlaumlutert Es werden die Unterschiede von Filtern mit begrenzter

Impulsantwort (FIR) und Filter mit zeitlich nicht begrenzter Impulsantwort (IIR) aufgezeigt

Abschlieszligend werden verschiedene Verfahren zum Entwurf digitaler Filter vorgestellt

11 Digitales Filter als Beispiel eines linearen zeitinvarianten diskreten Systems

Bei digitalen Filtern handelt es sich um lineare zeitinvariante diskrete Systeme mit einem

zeitdiskreten Eingangs- und einem zeitdiskreten Ausgangssignal Das lineare und zeitinvariante

Verhalten von Systemen wurde bereits in Kapitel 2 ausfuumlhrlich beschrieben

Ein System weist ein lineares Verhalten auf wenn das Eingangssignal x(n) = a1x1(n) + a2x2(n)

das eine Linearkombination der beiden Signale x1(n) und x2(n) darstellt das Ausgangssignal y(n) =

a1y1(n) + a2y2(n) erzeugt Dabei stellen y1(n) und y2(n) die Ausgangssignale dar die bei der

alleinigen Betrachtung von x1(n) oder x2(n) als Eingangssignal am Ausgang generiert wuumlrden

Desweiteren nennt man ein System zeitinvariant wenn ein um m Abtastintervalle verzoumlgertes

Eingangssignal x(n-m) ein ebenfalls um m Abtastintervalle verzoumlgertes Ausgangssignal y(n-m)

erzeugt

Ausgehend von diesen Definitionen kann man ein lineares zeitinvariantes diskretes System mit

den in Bild 41 gezeigten Grundelementen aufbauen Dies sind der Addierer der Multiplizierer mit

einer Konstanten und ein Verzoumlgerungselement das das zeitdiskrete Signal um ein Abtastintervall

T verzoumlgert Diese Grundfunktionen lassen sich mit einem Digitalrechner oder einer digitalen

Schaltungsanordnung einfach realisieren


Bild 41 Grundelemente eines linearen zeitinvarianten zeitdiskreten Systems

Ein einfaches Beispiel eines linearen zeitinvarianten diskreten Systems das aus diesen

Grundelementen gebildet wird ist in Bild 42 dargestellt

Bild 42 Schaltungsanordnung eines einfachen digitalen Filters

Das Ausgangssignal laumlsst sich beschreiben als

)1()()()()( 10

1

10 minussdot+sdot=minussdot+sdot==

nxbnxbTnxbnxbnyT

Die Beschreibung von y(n) in dieser Form bezeichnet man auch als Differenzengleichung Damit

laumlsst sich die Impulsantwort h(n) dieses Filters bestimmen zu

)1()()( 10 minussdot+sdot= nbnbnh δδ

Bild 43 Impulsantwort des in Bild 42 dargestellten Filters

b1

b0

Zeit

-2T -T 0 T 2T

y(n)=x(n-1) x(n)

x2(n)

+ x1(n)

y(n)= x1(n)+ x2(n) T

a y(n)=ax(n) x(n)

b0

b1

+

T

x(n) y(n)


Das Ausgangssignal des Filters laumlsst sich bei Kenntnis der Impulsantwort mit Hilfe der diskreten

Faltung bestimmen

Moumlchte man die spektralen Eigenschaften dieses Systems analysieren so laumlsst sich durch

Anwendung der Fourier Transformation der Frequenzgang H(f) = Y(f)X(f) bestimmen zu

( ) ( ) ( )TfbjTfbbebbfX

fYfH

efXbfXbfY

Tfj

Tfj

sdotsdotsdotsdotminussdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot+==

sdotsdot+sdot=

sdotsdotsdotsdotminus


πππ

π

2sin2cos)(

)()(

)()()(

1102

10

210

Damit ergibt sich der Betrag |H(f)| der Uumlbertragungsfunktion zu

( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( )TfbbbbfH

TfbTfbTfbbb

TfbTfbbfH

sdotsdotsdotsdotsdotsdot++=

sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdotsdotsdot+

=sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=+=

π

πππ

ππ

2cos2)(

2sin2cos2cos2

2sin2cosImRe)(

10

2

1

2

0

22

122

110

2

0

22

1

2

1022

Der Betrag |H(f)| des Frequenzgangs laumlsst sich fuumlr die Werte b0=b1=1 sowie b0=1 und b1=(-1)

bestimmen zu

( )

( ) Tiefpassf

fTffH

giltEs

TffH

a

rArr

sdotsdot=sdotsdotsdot=rArr

sdot+plusmn=sdotrArr+

plusmn=

sdotsdotsdotsdot+=

ππ

αααα

π

cos2cos2)(

cos222cos22

cos12cos

2cos22)(

( )

( ) Hochpassf

fTffH

giltEs

TffH

a

rArr


sdotminusplusmn=sdotrArrminus

plusmn=

sdotsdotsdotsdotminus=

ππ

αααα

π

sin2sin2)(

cos222sin22

cos12sin

2cos22)(

Die resultierenden Verlaumlufe der Frequenzgaumlnge werden in Bild 44 wiedergegeben Fuumlr den Fall

b1=1 besitzt die Uumlbertragungsfunktion dieser einfachen Anordnung eine Tiefpasscharakteristik und

11 10 == bb

11 10 minus== bb


fuumlr b1=(-1) eine Hochpasscharakteristik

Bild 44 Zwei moumlgliche Frequenzgaumlnge des in Bild 42 dargestellten Filters

Ein derartiges Hochpassfilter wird beispielsweise zur Houmlhenanhebung in der Sprachverarbeitung

verwendet mit b0=1 und b1=095 hellip 098 bei einer Abtastfrequenz von 8 kHz Damit werden

Spektralkomponenten im niedrigeren Frequenzbereich gedaumlmpft bei denen hauptsaumlchlich die

Energie eines Sprachsignals zu finden ist Umgekehrt werden houmlherfrequente Komponenten

angehoben bei denen Sprache geringere Energie besitzt die aber fuumlr bestimmte Laute zB

Zischlaute informationstragend sind Deshalb spricht man bei dieser Filterung auch von einer

Houmlhenanhebung (preemphasis) Insgesamt wird durch diese Filterung ein Signal erzeugt bei dem

die Energie gleichmaumlszligiger uumlber das gesamte Spektrum verteilt ist

12 Z Transformation

Das Verhalten digitaler Filter im Spektralbereich kann durch die Verwendung der Z Transformation

einfacher beschrieben und besser veranschaulicht werden als durch alleinige Verwendung der


Fourier Transformation In Analogie zur Laplace Transformation bei analogen Signalen

gewaumlhrleistet die Z Transformation bei zeitdiskreten Signalen auch eine Konvergenz fuumlr Signale

die beispielsweise Pole oder Dirac Stoumlsse im Spektrum besitzen und fuumlr die die Fourier

Transformation keine Konvergenz aufweist

Die Z Transformation eines zeitdiskreten Signals x(n) ist im Allgemeinen definiert zu

sumsuminfin

minusinfin=

minus=infin

minusinfin=

sdotminus sdot=sdotsdot=n

nT

n

TnznxzTnxzX )()()(

1

Dabei beschreibt z im allgemeinen einen komplexen Wert ( )fjez

sdotsdotsdot+= πσ 2 Damit ist das Z Spektrum

in einer komplexen Ebene definiert sumsuminfin

minusinfin=

sdotsdotsdotsdotsdotminussdotsdotminusinfin

minusinfin=

sdotminus sdotsdotsdot=sdotsdot=n

TnfjTn

n

TneeTnxzTnxzX

πσ 2)()()(

Durch die Multiplikation mit dem Term Tne

sdotsdotminusσ kann man auch fuumlr Signale die keine Konvergenz

besitzen bei einem entsprechend gewaumlhlten σ die Konvergenz des Signals TneTnx sdotsdotminussdotsdot σ)(

erreichen

Beschraumlnkt man sich auf Signale deren Fourier Transformierte Konvergenz aufweisen koumlnnen Z

Transformierte und Fourier Transformierte ineinander uumlberfuumlhrt werden durch Setzen von 0=σ

Ausgehend von suminfin

minusinfin=

minussdot=n

nznxzX )()( kann durch Substitution mit af

fj

Tfjeez

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot ==

ππ

22

das

Fourier Spektrum sumsuminfin

minusinfin=

sdotsdotsdotsdotminusinfin

minusinfin=

sdotsdotsdotsdotsdotminus sdotsdot=sdotsdot=n

ff

nj

n

Tnfj aeTnxeTnxfXπ

π2

2 )()()( bestimmt werden

Das Fourier Spektrum findet sich dann in der komplexen Z Ebene auf dem Einheitskreis |z|=1 wie

es in Bild 45 veranschaulicht wird

Bild 45 Auftreten der Fourier Transformierten auf dem Einheitskreis der Z Transformierten

f=fa4

Im(z)

Re(z)

|z|=1

f=0

f=3fa4

f=fa2


Bei der Z Transformation gelten ebenfalls die Theoreme der Fourier Transformation Insbesondere

geht die Faltung im Zeitbereich in eine Multiplikation im Z Spektrum uumlber

)()()()()()( zHzXzYnhnxny sdot=lowast=

Fuumlr das in Abschnitt 41 verwendete Beispiel eines einfachen digitalen Filters ergibt sich die

Uumlbertragungsfunktion bei Anwendung der Z Transformation zu

110

110

2

210

)(

)()(

)()()(

)()()(

minus

minussdotsdotsdotsdot


sdot+==

sdotsdot+sdot=rArr=

sdotsdot+sdot=

zbbzX

zYzH

zzXbzXbzYzeMit

efXbfXbfY

Tfj

Tfj

π

π

Die Verzoumlgerung um ein Abtastintervall fuumlhrt bei Betrachtung der Z Transformierten zu einer

Multiplikation mit z-1

Dies verdeutlicht dass man fuumlr ein lineares zeitinvariantes diskretes System

die Z Transformierte auf einfache Weise bestimmen kann Tritt bei einem Filter eine Verzoumlgerung

eines Signals um N Abtastintervalle auf so entspricht dies der Multiplikation der Z Transformierten

des Signals mit z-N

( ) NzzXNnxNnnx minussdotminus=minuspartlowast )()()(

Durch die Substitution aff

jTfj

eezsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdot ==π

π2

2 kann aus der Uumlbertragungsfunktion H(z) der

Frequenzgang H(f) unmittelbar bestimmt werden

13 FIR Filter

Finite Impulse Response (FIR) Filter sind wie es ihr Name schon verdeutlicht dadurch

gekennzeichnet daszlig ihre Impulsantwort eine endliche Laumlnge aufweist Alle Filter mit einer nicht-

rekursiven Struktur wie es beispielhaft in Bild 46 dargestellt ist sind FIR Filter Nicht rekursiv

bedeutet dass es keine Ruumlckkopplung des Ausgangssignals y(n) in dieser Schaltungsanordnung

gibt

Das Ausgangssignal y(n) setzt sich aus einer Summe gewichteter und um bis zu N Abtastintervalle

verzoumlgerter Versionen des Eingangssignals x(n) zusammen Man bezeichnet die in Bild 46

dargestellte Filterstruktur auch als Transversalfilter Es wird der Begriff der Filterordnung

eingefuumlhrt der der Anzahl von Verzoumlgerungselementen entspricht die zur Generierung der groumlszligten

Verzoumlgerung des Eingangssignals benoumltigt werden Die Filterordnung ist in diesem allgemeinen

Beispiel folglich N Die Faktoren bk bezeichnet man als Filterkoeffizienten


Bild 46 Struktur eines Transversalfilters

Das Ausgangssignal y(n) laumlszligt sich als Differenzengleichung beschreiben zu

)()]1([)2()1()()( 1210 NnxbNnxbnxbnxbnxbny NN minussdot+minusminussdot++minussdot+minussdot+sdot= minusL

Durch Anwendung der Z Transformation laumlszligt sich die Uumlbertragungsfunktion H(z) bestimmen zu

sum=

minusminusminusminusminus

minusminus

minusminusminusminus

minusminus

sdot=sdot+sdot++sdot+sdot+==

sdotsdot+sdotsdot++sdotsdot+sdotsdot+sdot=N

k

k

k

N

N

N

N

N

N

N

N

zbzbzbzbzbbzX

zYzH

zzXbzzXbzzXbzzXbzXbzY

0

)1(1

22

110

)1(1

22

110

)(

)()(

)()()()()()(

L

L

Die Uumlbertragungsfunktion H(z) laumlsst sich einfach umformen so dass nur positive Exponenten bei

den z Termen auftreten

N

NN

NNN

z

bzbzbzbzbzH

+sdot++sdot+sdot+sdot= minus

minusminus 11

22

110)(

L

Im Zaumlhler tritt dabei ein Polynom vom Grad N auf Ermittelt man die Nullstellen dieses Polynoms

und betrachtet deren Lage in der komplexen Z Ebene so laumlsst sich damit auf einfache Weise

feststellen bei welchen Frequenzen der Frequenzgang des Filters Minima aufweist Man erhaumllt

somit eine grobe Vorstellung uumlber das Aussehen der Frequenzcharakteristik des Filters Diese

Betrachtungsweise wird bei der Darstellung der IIR Filter detaillierter vorgestellt

Nicht rekursive Filter sind wegen der fehlenden Ruumlckkopplung immer stabil wobei der Begriff der

Stabilitaumlt bei der Betrachtung nicht-rekursiver Filter noch genauer erlaumlutert wird FIR Filter sind

zudem linearphasig wenn die Filterkoeffizienten eine der in Bild 47 gezeigten Symmetrien

aufweisen

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip


Bild 47 Symmetrische Impulsantworten linearphasiger FIR Filter

Man bezeichnet derartige Filter als linearphasig weil der Phasengang der Uumlbertragungsfunktion

eine lineare Abhaumlngigkeit der Phase von der Frequenz aufweist Der Phasengang Φ(f) laumlszligt sich

mittels ( ) TN

ff sdotsdotsdotsdotminus=Φ2

2 π beschreiben

Anschaulich bedeutet das linearphasige Verhalten eine zeitliche Verschiebung des Signalverlaufs

am Ausgang um N2 Abtastintervalle ohne Verzerrungen im Vergleich zum Signalverlauf am

Eingang Diese anschauliche Betrachtungsweise laumlszligt sich formal als konstante Gruppenlaufzeit τg

beschreiben Die Gruppenlaufzeit ist definiert als die Ableitung der Phase uumlber der Frequenz zu

( )f

fg

part

Φpartsdot

sdotminus=

πτ

2

1 Aus dem zuvor angegebenen Phasengang fuumlr Filter mit symmetrischer

Anordnung der Filterkoeffizienten folgt somit eine konstante Gruppenlaufzeit

( )T

NT

N

f

fg sdot=

sdotsdotsdotminussdot

sdotminus=

part

Φpartsdot

sdotminus=

222

2

1

2

1π

ππτ

Dies wird auch in Bild 48 verdeutlicht in dem die Filterung zweier Schwingungen eines

Sinussignals mit einer dreieckfoumlrmigen Impulsantwort eines symmetrischen FIR Filters der

Ordnung 6 dargestellt ist Abgesehen von den Ein- und Ausschwingvorgaumlngen zu Beginn und am

Ende des Signalabschnitts bleibt die Form der Sinusschwingung unbeeinflusst Es kommt zu einer

zeitlichen Verzoumlgerung des Ausgangssignals um N2 = 3 Abtastwerte

punktsymmetrisch

spiegelsymmetrisch N - gerade

N - gerade

N - ungerade

N - ungerade


Bild 48 Ausgangssignal y(n) eines symmetrischen FIR Filters nach Faltung von x(n) mit h(n)

Mit FIR Filtern koumlnnen die haumlufig benoumltigten Basis Filtercharakteristiken wie Tiefpaszlig Hochpaszlig

Bandpaszlig und Bandsperre als auch komplexere Filterstrukturen realisiert werden

14 IIR Filter

Im Gegensatz zu FIR Filtern besitzen Infinite Impulse Response (IIR) Filter eine Impulsantwort die

keine endliche Laumlnge aufweist Dies ist die Folge von Ruumlckkopplungen des Ausgangssignals in die

Schaltungsanordnung wie es in der allgemeinen Darstellung eines rekursiven Filters in Bild 49 zu

sehen ist Der obere Teil des Bildes entspricht dem bereits zuvor gezeigten FIR Transversalfilter

Weiterhin wird das Ausgangssignal jedoch um bis zu M Abtastintervalle verzoumlgert und ebenfalls

gewichtet aufaddiert Das Ausgangssignal laumlszligt sich beschreiben als Differenzengleichung mit

sumsum==

minussdotminusminussdot=

minussdotminusminusminussdotminusminussdotminusminussdot++minussdot+sdot=M

k

k

N

k

k

MN

knyaknxb

MnyanyanyaNnxbnxbnxbny

00

2110

)()(

)()2()1()()1()()( LL


Bild 49 Nicht-kanonische Direktstruktur eines IIR Filters

Die Uumlbertragungsfunktion H(z) dieser allgemeinen Darstellung eines IIR Filters ergibt sich mit

Hilfe der Z Transformation zu

( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

=sdot++sdot+sdot+

sdot++sdot+==

sdot++sdot+sdot=sdot++sdot+sdot+sdot

sdotsdotminusminussdotsdotminussdotsdotminussdotsdot++sdotsdot+sdot=

M

k

k

k

N

k

k

k

M

M

N

N

N

N

M

M

M

M

N

N

za

zb

zazaza

zbzbb

zX

zYzH

zbzbbzXzazazazY

zzYazzYazzYazzXbzzXbzXbzY

1

02

21

1

110

110

22

11

22

11

110

11)(

)()(

)(1)(

)()()()()()()(

L

L

LL

LL

Die Ordnung dieses Filters ist bestimmt durch den groumlszligeren der beiden Werte M und N In vielen

praktischen Anwendungen ist N haumlufig gleich M Die Polynome der Uumlbertragungsfunktion H(z) im

Zaumlhler und Nenner koumlnnen durch Faktorisierung in einer anderen Form dargestellt werden

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

NM

M

N

M

N

M

MMM

N

NN

zpzpzpz

ozozozb

z

z

azazaz

bzbzb

zX

zYzH

minus

minus

minus

minusminus

minus

sdotminussdotsdotminussdotminus

minussdotsdotminussdotminussdot

=sdot++sdot+sdot+

++sdot+sdot==

L

L

L

L

21

210

22

11

110

)(

)()(

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip

T T T T

hellip -a1 -a2 -aM-1 -aM


Die im Allgemeinen komplexen Werte oi werden als Nullstellen von H(z) und die Werte pi als Pole

von H(z) bezeichnet Mit ihrer Kenntnis kann der grobe Verlauf des Frequenzgangs bereits

abgeschaumltzt werden

Die Nullstellen und Pole koumlnnen in der komplexen Z Ebene dargestellt werden Diese Darstellung

wird als Pol-Nullstellendiagramm bezeichnet dem wesentliche Eigenschaften des Filters

entnommen werden koumlnnen Zunaumlchst gilt grundsaumltzlich daszlig reele Koeffizienten ai und bi zu Polen

und Nullstellen fuumlhren die entweder selbst reel sind oder sich als konjugiert komplexes Paar von

Polen oder Nullstellen ergeben Aus der Lage der Pole in der komplexen Z Ebene kann man die

Stabilitaumlt des Filters erkennen Ein zeitdiskretes System heiszligt stabil wenn sich bei einer Folge

amplitudenbeschraumlnkter Eingangswerte |x(n)|ltinfin auch am Ausgang eine Folge

amplitudenbeschraumlnkter Werte |y(n)|ltinfin einstellt Diese Bedingung ist erfuumlllt wenn fuumlr die

Impulsantwort h(n) gilt infinltsuminfin

=0

)(n

nh

Bild 410 Stabilitaumltsbereich fuumlr die Lage der Pole von H(z)

Dieser Bedingung im Zeitbereich entspricht bei Betrachtung der Z Transformierten eine Lage der

Polstellen innerhalb des Einheitskreises also es gilt |pi|lt1 fuumlr alle i Diese Bedingung wird in Bild

410 veranschaulicht in der der Stabilitaumltsbereich fuumlr die Lage der Pole in der komplexen Z Ebene

dargestellt ist

Im Folgenden wird beispielhaft das in Bild 411 dargestellte Filter 2Ordnung analysiert

Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil


Bild 411 IIR Filter 2 Ordnung

Das Ausgangssignal laumlsst sich beschreiben als Differenzengleichung

( ) ( ) ( ) ( )2510224502450 minussdotminusminussdotminussdot= nynxnxny

Daraus laumlsst sich die Uumlbertragungsfunktion H(z) bestimmen zu


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==

minussdotsdot=sdot+sdot

sdotsdotminussdotsdotminussdot=

z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY

Zur Bestimmung der Nullstellen und Pole der Uumlbertragungsfunktion wird die Uumlbertragungsfunktion

umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH

sdot=sdotminus=minusplusmn=rArr=+

=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2

Die Lage der reelen Nullstellen in der komplexen Z Ebene ist mit kleinen Kreisen und die Lage des

konjugiert komplexen Polpaares mit Kreuzen in Bild 412 markiert

y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T


Bild 412 Lage der Null- und Polstellen des Filters 2 Ordnung

Aus der Lage der Null- und Polstellen kann man einfach und schnell den Frequenzgang abschaumltzen

Aus dem Winkel unter dem eine Null- oder Polstelle auftritt kann man naumlherungsweise auf die

Frequenz schlieszligen bei der im Frequenzgang ein Extremwert auftritt Die Zuordnung der

Frequenzen von 0 bis zur halben Abtastfrequenz gemaumlszlig der Bewegung auf dem oberen Halbkreis

wurde in Bild 45 verdeutlicht Dabei resultiert aus einer Nullstelle also einem Wert bei dem das

Zaumlhlerpolynom den Wert Null annimmt ein Minimum im Frequenzgang Umgekehrt resultiert aus

einer Polstelle also einem Wert bei dem das Nennerpolynom den Wert Null annimmt ein

Maximum im Frequenzgang Die Uumlbertragungsfunktion H(f) ergibt sich aus den Werten von H(z)

auf dem Einheitskreis Daher faumlllt ein Minimum oder Maximum umso extremer aus je naumlher die

Null- oder Polstelle am Einheitskreis liegt Liegt eine Nullstelle auf dem Einheitskreis so nimmt die

Uumlbertragungsfunktion H(f) bei der zugehoumlrigen Frequenz den Wert Null an

In dem betrachteten Beispiel resultiert somit aus der Nullstelle 12 =o die unter dem Winkel von

0=ϕ auftritt ( ) 00 ==fH und aus der Nullstelle 11 minus=o die unter dem Winkel von πϕ =

-j

Im(z)

Re(z)

minus1 minus075 minus05 minus025 0 025 05 075 1

minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af

fH Damit werden Frequenzanteile bei 0=f (= Gleichanteil) und bei

2af

f = durch dieses Filter vollstaumlndig unterdruumlckt Aus der Polstelle die auf der imaginaumlren

unter dem Winkel von 2πϕ = auftritt resultiert ein Maximum bei 4

aff = Die konjugiert

komplexe Polstelle im negativen Bereich der imaginaumlren Achse beschreibt das wiederholte

Auftreten des Maximums oberhalb von 2af

bei aff sdot= 43 Aus dieser kurzen Analyse der Lage

von Null- und Polstellen kann man folgern dass das Filter eine Bandpasscharakteristik besitzt

Die genaue Berechnung einiger Werte von H(f) kann durch die Substitution aff

j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH

Bild 413 Frequenzgang |H(f)| des Filters 2Ordnung


Eine naumlhere Lage der Polstellen am Einheitskreis wuumlrde zu einem groumlszligeren Wert von

= 4

affH fuumlhren Der genaue Verlauf des Betrags der Uumlbertragungsfunktion ist in Bild 413

wiedergegeben

Mit IIR Filtern koumlnnen auch alle Basis-Filterstrukturen wie Tiefpaszlig Hochpaszlig Bandpaszlig und

Bandsperre realisiert werden

15 Realisierungsaspekte

Die Struktur des in Bild 49 dargestellten IIR Filters bezeichnet man als nicht-kanonische

Direktform Eine alternative Darstellung in der sogenannten 1 kanonischen Direktform ist in Bild

414 wiedergegeben wobei hier M=N angenommen wird

Bild 414 1 kanonische Direktform eines IIR Filters

Die Bezeichnung kanonisch beinhaltet dabei einen Aufbau des Filters mit der minimalen Anzahl

von Grundelementen also des Addierers mit zwei Eingaumlngen des Multiplizierers mit einer

Konstanten und der Verzoumlgerung um ein Abtastintervall

Fuumlr ein IIR Filter bei dem der Grad N des Zaumlhlerpolynoms dem Grad M des Nennerpolynoms

entspricht ergibt sich die Anzahl der

- Verzoumlgerungselemente zu N

- Addierer zu Nsdot2

- Multiplizierer zu 12 +sdot N

bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip


In der Praxis realisiert man ein Filter houmlherer Ordnung haumlufig durch eine Kaskadierung

(Hintereinanderschaltung) von IIR Filtern der Ordnung 2 Die Uumlbertragungsfunktion ergibt sich als

Produkt der Uumlbertragungsfunktionen der kaskadierten Filter 2 Ordnung Bei Betrachtung der

logarithmierten Betrags- oder Leistungsdichtespektren geht das Produkt in eine Summe uumlber Die

logarithmierten Frequenzgaumlnge lassen sich folglich einfach additiv uumlberlagern

L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH

Im Gegensatz zu FIR Filtern besitzen IIR Filter im Allgemeinen keinen linearen Phasengang und

damit eine frequenzabhaumlngige Gruppenlaufzeit Die Gruppenlaufzeit ist jedoch haumlufig kleiner als

die eines symmetrischen FIR Filters FIR Filter sind immer stabil wohingegen IIR Filter instabil

sein koumlnnen FIR Filter sind weniger empfindlich gegenuumlber Quantisierungseffekten aufgrund der

Quantisierung der Filterkoeffizienten mit einer begrenzten Anzahl von Bits und damit einer

begrenzten Genauigkeit in Digitalrechnern Bei IIR Filtern koumlnnen derartige

Quantisierungsungenauigkeiten durch die mehrfache Verwendung eines Filterkoeffizienten

aufgrund der Ruumlckkopplung zu Abweichungen von der gewuumlnschten Filtercharakteristik fuumlhren

Eine bestimmte Filtercharakteristik in einem vorgegeben Toleranzschema laumlszligt sich in der Regel

durch IIR Filter mit einer geringeren Ordnung als bei einem FIR Filter realisieren Damit sind der

Realisierungsaufwand und die benoumltigte Rechenkapazitaumlt in diesem Fall beim IIR Filter geringer

16 Filterentwurf

Nachdem in den vorangegangenen Abschnitten das Verhalten und die Eigenschaften digitaler Filter

vorgestellt wurden bleibt die Frage wie ein Filter zu entwerfen ist das eine bestimmte

Filtercharakteristik mit einem gewuumlnschten Frequenzgang aufweist Konkret fuumlhrt dies zu der

Frage welche Ordnung das Filter und welche Werte die Filterkoeffizienten eines FIR oder IIR

Filters anzunehmen haben um einen bestimmten Frequenzgang zu erzielen

In diesem Abschnitt wird die prinzipielle Vorgehensweise zur Bestimmung der Filterkoeffzienten

fuumlr IIR und FIR erlaumlutert ohne auf die im Detail recht komplexen algorithmischen Loumlsungen

einzugehen In nahezu allen verfuumlgbaren Programmpaketen zur digitalen Signalverarbeitung finden

sich Programme die die verschiedenen Entwurfsverfahren beinhalten und die zur Findung der

Filterkoeffizienten verwendet werden koumlnnen


Der Entwurf von IIR Filtern beruht auf den bekannten Verfahren zur Bestimmung analoger Filter

mit einer bestimmten Filtercharakteristik Der Entwurf analoger Filter wiederum basiert auf dem

Ansatz daszlig der Betrag des Frequenzgangs in einem vorgegebenen Toleranzschema liegt wie es

beispielhaft fuumlr einen Tiefpaszlig in Bild 415 dargestellt ist In Analogie dazu kann man auch fuumlr

Hochpaszlig Bandpaszlig und Bandsperre entsprechende Toleranzschemata definieren

0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|

Bild 415 Toleranzschema zum Entwurf eines Tiefpasses

Das gezeigte Toleranzschema beinhaltet die Anforderung an den Betrag des Frequenzgangs

innerhalb des hell markierten Bereichs zu verlaufen und damit eine bestimmte Flankensteilheit beim

Uumlbergang vom Durchlaszlig- zum Sperrbereich und eine maximale Welligkeit im Durchlaszlig- und im

Sperrbereich zu gewaumlhrleisten Das Verhalten im Sperrbereich laumlsst sich durch den Wert von 1h als

mindestens zu erreichende Daumlmpfung

sdot

1

1log20h

in dB das Verhalten im Durchlassbereich

durch den Wert von 2h als maximal erlaubte Welligkeit

minussdot

211log20

h in dB beschreiben

Es existieren verschiedene Approximationsverfahren zum Filterentwurf die sich bezuumlglich der

Anforderungen an den Verlauf des Frequenzgangs unterscheiden Die 4 Verfahren werden in Bild

416 veranschaulicht wobei die dargestellten Frequenzgaumlnge durch Filterentwurf mit den jeweils

angegebenen Parametern mit Hilfe der Matlab Signalverarbeitungsroutinen bestimmt wurden

Die Butterworth Approximation beinhaltet die Forderung eines moumlglichst flachen Verlaufs des

Betragsspektrums im Durchlass- und Sperrbereich Die Tschebyscheff Approximationen vom Typ I

und II erlauben eine Welligkeit entweder im Durchlassbereich (Typ I) oder im Sperrbereich (Typ

2h

1h


II) Bei der Approximation nach Cauer wird sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich eine

Welligkeit zugelassen

Bild 417 Approximationsverfahren zum Entwurf von IIR Filtern

Alle Verfahren beruhen auf der Wahl bestimmter Funktionen zur Approximation des gewuumlnschten

Filterverlaufs wobei sich die prinzipiellen Funktionstypen der Verfahren unterscheiden

Beispielsweise werden die nach dem Cauer Verfahren bestimmten Filterfunktionen auch als

elliptische Filter bezeichnet da zur Approximation elliptische Funktionen verwendet werden

Die schlieszliglich gewaumlhlte Funktion mit den fuumlr das Filter spezifischen Parametern laumlszligt sich auch als

Laplace Transformierte H(p) darstellen Aus H(p) laumlszligt sich mit Hilfe der sogenannten bilinearen

Transformation durch die Substitution 1

1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z

Tp die Uumlbertragungsfunktion H(z) bestimmen

Anschaulich bildet die bilineare Transformation den Frequenzgang der sich auf der imaginaumlren

Achse der Laplace Transformierten findet auf den Einheitskreis in der komplexen Z Ebene ab

Damit sind die Koeffizienten des IIR Filters bestimmt


Zur Bestimmung der Koeffizienten eines FIR Filters gibt es verschiedene Verfahren von denen 3

im Folgenden kurz erlaumlutert werden Das erste Verfahren wird nach seinen Erfindern als Parks-

McClellan Methode bezeichnet Ausgangspunkt ist wie bei der Bestimmung der Koeffizienten eines

IIR Filters ein Toleranzschema fuumlr den gewuumlnschten Frequenzgang Zunaumlchst wird die

Filterordnung geschaumltzt Anschliessend werden mit Hilfe des sogenannten Remez-Exchange

Algorithmus in einem iterativen Prozess die Filterkoeffizienten eines symmetrischen FIR Filters so

lange veraumlndert bis der Frequenzgang sich innerhalb des festgelegten Toleranzschemas befindet

Die zweite Methode wird als Fenster-Verfahren bezeichnet Der gewuumlnschte Frequenzgang H(f)

wird mit Hilfe einer Inversen Fourier Transformation in den Zeitbereich transformiert wobei im

allgemeinen eine Impulsantwort h(n) generiert wird deren Laumlnge nicht beschraumlnkt ist Im Kapitel

zur diskreten Fourier-Transformation wurde beispielsweise der Si-foumlrmige Verlauf der

Impulsantwort eines idealen TP-Filters aus dem rechteckfoumlrmigen Verlauf im Frequenzbereich

hergeleitet Zur Beschraumlnkung der Filterlaumlnge wird dann durch die Wichtung der Impulsantwort

h(n) mit den Abtastwerten w(n) einer Fensterfunktion ein endlich langer Abschnitt der

Impulsantwort herausgeschnitten

Bild 418 Fenster-Verfahren zum Entwurf von FIR Filtern

minus50 minus40 minus30 minus20 minus10 0 10 20 30 40 50

0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|


Als Fensterfunktionen werden die gleichen Funktionen verwendet die auch bei der Diskreten

Fourier Transformation eingesetzt werden beispielsweise das Hanning- das Hamming- oder das

Kaiser-Fenster Ein Beispiel fuumlr den Entwurf eines Filters nach dem Fenster Verfahren wird in Bild

418 veranschaulicht

In der obersten Graphik wird der Verlauf der Si-foumlrmigen Impulsantwort gezeigt die zur

Realisierung eines idealen Tiefpasses mit einer Grenzfrequenz von 250 Hz bei einer Abtastfrequenz

von 1000 Hz benoumltigt wird In der darunter liegenden Graphik wird eine Hamming Funktion

dargestellt mit der die Werte der Impulsantwort gewichtet und zeitlich auf den Bereich -20 ms le t le

+20 ms begrenzt werden Das Ergebnis der Multiplikation der Abtastwerte der Impulsantwort mit

den Werten der Fensterfunktion wird in der dritten Graphik dargestellt Der sich aus einer Z-

Transformation ergebende Betrag der Uumlbertragungsfunktion |H(f)| wird in der untersten Graphik

veranschaulicht Die Wichtung mit der Fensterfunktion fuumlhrt zu einem bdquoglattenldquo Verlauf der

Frequenzcharakteristik im Durchlass- und Sperrbereich ohne das bei Wichtung mit einer

Rechteckfunktion typische Schwingungsverhalten Allerdings verringert sich dadurch die Steigung

des Frequenzgangs im Bereich der Grenzfrequenz

Das Frequenz-Abtastverfahren stellt eine dritte Moumlglichkeit zur Bestimmung der Koeffizienten

eines FIR Filters da Dabei wird der gewuumlnschte Frequenzverlauf in aumlquidistanten Abstaumlnden

abgetastet zu Erzeugung eines frequenzdiskreten Spektrums Durch Anwendung einer IDFT kann

daraus eine bereits zeitlich begrenzte Impulsantwort generiert werden


Bild 41 Grundelemente eines linearen zeitinvarianten zeitdiskreten Systems

Ein einfaches Beispiel eines linearen zeitinvarianten diskreten Systems das aus diesen

Grundelementen gebildet wird ist in Bild 42 dargestellt

Bild 42 Schaltungsanordnung eines einfachen digitalen Filters

Das Ausgangssignal laumlsst sich beschreiben als

)1()()()()( 10

1

10 minussdot+sdot=minussdot+sdot==

nxbnxbTnxbnxbnyT

Die Beschreibung von y(n) in dieser Form bezeichnet man auch als Differenzengleichung Damit

laumlsst sich die Impulsantwort h(n) dieses Filters bestimmen zu

)1()()( 10 minussdot+sdot= nbnbnh δδ

Bild 43 Impulsantwort des in Bild 42 dargestellten Filters

b1

b0

Zeit

-2T -T 0 T 2T

y(n)=x(n-1) x(n)

x2(n)

+ x1(n)

y(n)= x1(n)+ x2(n) T

a y(n)=ax(n) x(n)

b0

b1

+

T

x(n) y(n)



Faltung bestimmen




fYfH

efXbfXbfY

Tfj

Tfj


sdotsdot+sdot=



πππ

π

2sin2cos)(

)()(

)()()(

1102

10

210


( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( )TfbbbbfH

TfbTfbTfbbb

TfbTfbbfH




π

πππ

ππ

2cos2)(

2sin2cos2cos2

2sin2cosImRe)(

10

2

1

2

0

22

122

110

2

0

22

1

2

1022


bestimmen zu

( )

( ) Tiefpassf

fTffH

giltEs

TffH

a

rArr



plusmn=

sdotsdotsdotsdot+=

ππ

αααα

π

cos2cos2)(

cos222cos22

cos12cos

2cos22)(

( )

( ) Hochpassf

fTffH

giltEs

TffH

a

rArr



plusmn=


ππ

αααα

π

sin2sin2)(

cos222sin22

cos12sin

2cos22)(



11 10 == bb

11 10 minus== bb












12 Z Transformation









sumsuminfin

minusinfin=

minus=infin

minusinfin=


nT

n

TnznxzTnxzX )()()(

1




minusinfin=


minusinfin=


TnfjTn

n

TneeTnxzTnxzX

πσ 2)()()(




erreichen




minusinfin=

minussdot=n


fj

Tfjeez


ππ

22

das


minusinfin=


minusinfin=


ff

nj

n

Tnfj aeTnxeTnxfXπ

π2





f=fa4

Im(z)

Re(z)

|z|=1

f=0

f=3fa4

f=fa2







110

110

2

210

)(

)()(

)()()(

)()()(

minus



sdot+==

sdotsdot+sdot=rArr=

sdotsdot+sdot=

zbbzX

zYzH

zzXbzXbzYzeMit

efXbfXbfY

Tfj

Tfj

π

π






des Signals mit z-N



jTfj

eezsdotsdotsdot


π2



13 FIR Filter





gibt












sum=


minusminus


minusminus



k

k

k

N

N

N

N

N

N

N

N

zbzbzbzbzbbzX

zYzH


0

)1(1

22

110

)1(1

22

110

)(

)()(

)()()()()()(

L

L



N

NN

NNN

z

bzbzbzbzbzH


minusminus 11

22

110)(

L









aufweisen

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip





mittels ( ) TN


2 π beschreiben





( )f

fg

part

Φpartsdot

sdotminus=

πτ

2



( )T

NT

N

f

fg sdot=


sdotminus=

part

Φpartsdot

sdotminus=

222

2

1

2

1π

ππτ






punktsymmetrisch


N - gerade

N - ungerade

N - ungerade





14 IIR Filter







sumsum==



k

k

N

k

k

MN

knyaknxb


00

2110

)()(

)()2()1()()1()()( LL





( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

=sdot++sdot+sdot+

sdot++sdot+==



M

k

k

k

N

k

k

k

M

M

N

N

N

N

M

M

M

M

N

N

za

zb

zazaza

zbzbb

zX

zYzH

zbzbbzXzazazazY


1

02

21

1

110

110

22

11

22

11

110

11)(

)()(

)(1)(

)()()()()()()(

L

L

LL

LL




( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

NM

M

N

M

N

M

MMM

N

NN

zpzpzpz

ozozozb

z

z

azazaz

bzbzb

zX

zYzH

minus

minus

minus

minusminus

minus



=sdot++sdot+sdot+

++sdot+sdot==

L

L

L

L

21

210

22

11

110

)(

)()(

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip

T T T T















=0

)(n

nh





dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==



z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY


umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht


















Faltung bestimmen




fYfH

efXbfXbfY

Tfj

Tfj


sdotsdot+sdot=



πππ

π

2sin2cos)(

)()(

)()()(

1102

10

210


( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( )TfbbbbfH

TfbTfbTfbbb

TfbTfbbfH




π

πππ

ππ

2cos2)(

2sin2cos2cos2

2sin2cosImRe)(

10

2

1

2

0

22

122

110

2

0

22

1

2

1022


bestimmen zu

( )

( ) Tiefpassf

fTffH

giltEs

TffH

a

rArr



plusmn=

sdotsdotsdotsdot+=

ππ

αααα

π

cos2cos2)(

cos222cos22

cos12cos

2cos22)(

( )

( ) Hochpassf

fTffH

giltEs

TffH

a

rArr



plusmn=


ππ

αααα

π

sin2sin2)(

cos222sin22

cos12sin

2cos22)(



11 10 == bb

11 10 minus== bb












12 Z Transformation









sumsuminfin

minusinfin=

minus=infin

minusinfin=


nT

n

TnznxzTnxzX )()()(

1




minusinfin=


minusinfin=


TnfjTn

n

TneeTnxzTnxzX

πσ 2)()()(




erreichen




minusinfin=

minussdot=n


fj

Tfjeez


ππ

22

das


minusinfin=


minusinfin=


ff

nj

n

Tnfj aeTnxeTnxfXπ

π2





f=fa4

Im(z)

Re(z)

|z|=1

f=0

f=3fa4

f=fa2







110

110

2

210

)(

)()(

)()()(

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minus



sdot+==

sdotsdot+sdot=rArr=

sdotsdot+sdot=

zbbzX

zYzH

zzXbzXbzYzeMit

efXbfXbfY

Tfj

Tfj

π

π






des Signals mit z-N



jTfj

eezsdotsdotsdot


π2



13 FIR Filter





gibt












sum=


minusminus


minusminus



k

k

k

N

N

N

N

N

N

N

N

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0

)1(1

22

110

)1(1

22

110

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)()(

)()()()()()(

L

L



N

NN

NNN

z

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minusminus 11

22

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L









aufweisen

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip





mittels ( ) TN


2 π beschreiben





( )f

fg

part

Φpartsdot

sdotminus=

πτ

2



( )T

NT

N

f

fg sdot=


sdotminus=

part

Φpartsdot

sdotminus=

222

2

1

2

1π

ππτ






punktsymmetrisch


N - gerade

N - ungerade

N - ungerade





14 IIR Filter







sumsum==



k

k

N

k

k

MN

knyaknxb


00

2110

)()(

)()2()1()()1()()( LL





( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

=sdot++sdot+sdot+

sdot++sdot+==



M

k

k

k

N

k

k

k

M

M

N

N

N

N

M

M

M

M

N

N

za

zb

zazaza

zbzbb

zX

zYzH

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1

02

21

1

110

110

22

11

22

11

110

11)(

)()(

)(1)(

)()()()()()()(

L

L

LL

LL




( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

NM

M

N

M

N

M

MMM

N

NN

zpzpzpz

ozozozb

z

z

azazaz

bzbzb

zX

zYzH

minus

minus

minus

minusminus

minus



=sdot++sdot+sdot+

++sdot+sdot==

L

L

L

L

21

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22

11

110

)(

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x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip

T T T T















=0

)(n

nh





dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

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z

z

zX

zYzH

zzXzzY

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umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht



























12 Z Transformation









sumsuminfin

minusinfin=

minus=infin

minusinfin=


nT

n

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1




minusinfin=


minusinfin=


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n

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erreichen




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fj

Tfjeez


ππ

22

das


minusinfin=


minusinfin=


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n

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π2





f=fa4

Im(z)

Re(z)

|z|=1

f=0

f=3fa4

f=fa2







110

110

2

210

)(

)()(

)()()(

)()()(

minus



sdot+==

sdotsdot+sdot=rArr=

sdotsdot+sdot=

zbbzX

zYzH

zzXbzXbzYzeMit

efXbfXbfY

Tfj

Tfj

π

π






des Signals mit z-N



jTfj

eezsdotsdotsdot


π2



13 FIR Filter





gibt












sum=


minusminus


minusminus



k

k

k

N

N

N

N

N

N

N

N

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zYzH


0

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22

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22

110

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L

L



N

NN

NNN

z

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minusminus 11

22

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L









aufweisen

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip





mittels ( ) TN


2 π beschreiben





( )f

fg

part

Φpartsdot

sdotminus=

πτ

2



( )T

NT

N

f

fg sdot=


sdotminus=

part

Φpartsdot

sdotminus=

222

2

1

2

1π

ππτ






punktsymmetrisch


N - gerade

N - ungerade

N - ungerade





14 IIR Filter







sumsum==



k

k

N

k

k

MN

knyaknxb


00

2110

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( ) ( )

sum

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=

minus

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minusminus



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=sdot++sdot+sdot+

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M

k

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1

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22

11

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L

L

LL

LL




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M

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M

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minus

minus

minus

minusminus

minus



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L

L

L

L

21

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11

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x(n)

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dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

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( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

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124505101

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minusminus

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z

z

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umgeformt

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z

z

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21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

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0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

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Rez

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Nullstellen

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auftritt 02 =

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j

ezsdotsdotsdot

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vorgenommen werden

( ) 0510

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22

22

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+

minussdot=

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sdotsdot

sdotsdot

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hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

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21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

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z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

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0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht






















sumsuminfin

minusinfin=

minus=infin

minusinfin=


nT

n

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1




minusinfin=


minusinfin=


TnfjTn

n

TneeTnxzTnxzX

πσ 2)()()(




erreichen




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minussdot=n


fj

Tfjeez


ππ

22

das


minusinfin=


minusinfin=


ff

nj

n

Tnfj aeTnxeTnxfXπ

π2





f=fa4

Im(z)

Re(z)

|z|=1

f=0

f=3fa4

f=fa2







110

110

2

210

)(

)()(

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minus



sdot+==

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sdotsdot+sdot=

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13 FIR Filter





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minusminus


minusminus



k

k

k

N

N

N

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N

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L

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22

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aufweisen

x(n)

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hellip





mittels ( ) TN


2 π beschreiben





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πτ

2



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N

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part

Φpartsdot

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222

2

1

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punktsymmetrisch


N - gerade

N - ungerade

N - ungerade





14 IIR Filter







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k

k

N

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k

MN

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00

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minus

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sdot++sdot+==



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L

L

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instabil

stabil







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minusminus

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212

2

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2

2

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2



y(n)

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0245 -0245

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T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

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minus05

minus025

0

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05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

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=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

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1

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2

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22

22

2

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minussdot==

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sdotsdot

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minus=

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minusminussdot=

+

minussdot=

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π

π

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= 4


wiedergegeben
















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hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

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21

21

fHfHfH

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16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht






















110

110

2

210

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)()()(

minus



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sdotsdot+sdot=

zbbzX

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Tfj

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π






des Signals mit z-N



jTfj

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π2



13 FIR Filter





gibt












sum=


minusminus


minusminus



k

k

k

N

N

N

N

N

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0

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22

110

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22

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L

L



N

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NNN

z

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minusminus 11

22

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L









aufweisen

x(n)

b0

+

T

y(n)

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b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip





mittels ( ) TN


2 π beschreiben





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fg

part

Φpartsdot

sdotminus=

πτ

2



( )T

NT

N

f

fg sdot=


sdotminus=

part

Φpartsdot

sdotminus=

222

2

1

2

1π

ππτ






punktsymmetrisch


N - gerade

N - ungerade

N - ungerade





14 IIR Filter







sumsum==



k

k

N

k

k

MN

knyaknxb


00

2110

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( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

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sdot++sdot+==



M

k

k

k

N

k

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M

M

N

N

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M

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1

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22

11

110

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)()(

)(1)(

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L

L

LL

LL




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NM

M

N

M

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minus

minus

minusminus

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L

L

L

L

21

210

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hellip

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Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







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( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

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)(

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124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

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z

z

zX

zYzH

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umgeformt

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z

z

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minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

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05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

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2af









j

ezsdotsdotsdot

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vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

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12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

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minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

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sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

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π

π

π

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ff

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e

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e

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j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

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minusminussdot=

+

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sdot

sdot

π

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j

a

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wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

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x(n)

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T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

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21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht





















sum=


minusminus


minusminus



k

k

k

N

N

N

N

N

N

N

N

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0

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22

110

)1(1

22

110

)(

)()(

)()()()()()(

L

L



N

NN

NNN

z

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minusminus 11

22

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L









aufweisen

x(n)

b0

+

T

y(n)

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b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip





mittels ( ) TN


2 π beschreiben





( )f

fg

part

Φpartsdot

sdotminus=

πτ

2



( )T

NT

N

f

fg sdot=


sdotminus=

part

Φpartsdot

sdotminus=

222

2

1

2

1π

ππτ






punktsymmetrisch


N - gerade

N - ungerade

N - ungerade





14 IIR Filter







sumsum==



k

k

N

k

k

MN

knyaknxb


00

2110

)()(

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( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

=sdot++sdot+sdot+

sdot++sdot+==



M

k

k

k

N

k

k

k

M

M

N

N

N

N

M

M

M

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za

zb

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1

02

21

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22

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22

11

110

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)()(

)(1)(

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L

L

LL

LL




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NM

M

N

M

N

M

MMM

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NN

zpzpzpz

ozozozb

z

z

azazaz

bzbzb

zX

zYzH

minus

minus

minus

minusminus

minus



=sdot++sdot+sdot+

++sdot+sdot==

L

L

L

L

21

210

22

11

110

)(

)()(

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip

T T T T















=0

)(n

nh





dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==



z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY


umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht




















mittels ( ) TN


2 π beschreiben





( )f

fg

part

Φpartsdot

sdotminus=

πτ

2



( )T

NT

N

f

fg sdot=


sdotminus=

part

Φpartsdot

sdotminus=

222

2

1

2

1π

ππτ






punktsymmetrisch


N - gerade

N - ungerade

N - ungerade





14 IIR Filter







sumsum==



k

k

N

k

k

MN

knyaknxb


00

2110

)()(

)()2()1()()1()()( LL





( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

=sdot++sdot+sdot+

sdot++sdot+==



M

k

k

k

N

k

k

k

M

M

N

N

N

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M

M

M

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N

N

za

zb

zazaza

zbzbb

zX

zYzH

zbzbbzXzazazazY


1

02

21

1

110

110

22

11

22

11

110

11)(

)()(

)(1)(

)()()()()()()(

L

L

LL

LL




( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

NM

M

N

M

N

M

MMM

N

NN

zpzpzpz

ozozozb

z

z

azazaz

bzbzb

zX

zYzH

minus

minus

minus

minusminus

minus



=sdot++sdot+sdot+

++sdot+sdot==

L

L

L

L

21

210

22

11

110

)(

)()(

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip

T T T T















=0

)(n

nh





dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==



z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY


umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht




















14 IIR Filter







sumsum==



k

k

N

k

k

MN

knyaknxb


00

2110

)()(

)()2()1()()1()()( LL





( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

=sdot++sdot+sdot+

sdot++sdot+==



M

k

k

k

N

k

k

k

M

M

N

N

N

N

M

M

M

M

N

N

za

zb

zazaza

zbzbb

zX

zYzH

zbzbbzXzazazazY


1

02

21

1

110

110

22

11

22

11

110

11)(

)()(

)(1)(

)()()()()()()(

L

L

LL

LL




( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

NM

M

N

M

N

M

MMM

N

NN

zpzpzpz

ozozozb

z

z

azazaz

bzbzb

zX

zYzH

minus

minus

minus

minusminus

minus



=sdot++sdot+sdot+

++sdot+sdot==

L

L

L

L

21

210

22

11

110

)(

)()(

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip

T T T T















=0

)(n

nh





dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==



z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY


umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht




















( ) ( )

sum

sum

=

minus

=

minus

minusminusminus

minusminus



sdot+

sdot

=sdot++sdot+sdot+

sdot++sdot+==



M

k

k

k

N

k

k

k

M

M

N

N

N

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M

M

M

M

N

N

za

zb

zazaza

zbzbb

zX

zYzH

zbzbbzXzazazazY


1

02

21

1

110

110

22

11

22

11

110

11)(

)()(

)(1)(

)()()()()()()(

L

L

LL

LL




( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

NM

M

N

M

N

M

MMM

N

NN

zpzpzpz

ozozozb

z

z

azazaz

bzbzb

zX

zYzH

minus

minus

minus

minusminus

minus



=sdot++sdot+sdot+

++sdot+sdot==

L

L

L

L

21

210

22

11

110

)(

)()(

x(n)

b0

+

T

y(n)

T T T

b1 b2 bN bN-1

+ + +

hellip

T T T T















=0

)(n

nh





dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==



z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY


umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

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j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht





























=0

)(n

nh





dargestellt ist


Im(z)

Re(z)

|z|=1

instabil

stabil







( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==



z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY


umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

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j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht






















( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

22

22

5101

12450

)(

)()(

124505101

51024502450

minus

minus

minusminus

minusminus

sdot+

minussdot==



z

z

zX

zYzH

zzXzzY

zzYzzXzXzY


umgeformt

jpjppzPolstellen

ooznNullstelle

z

z

z

z

z

zzH


=minus=rArr=minus

+

minussdot=sdot

sdot+

minussdot=

minus

minus

71410714105100510

1101

510

12450

5101

12450)(

21212

212

2

2

2

2

2

2



y(n)

x(n)

0245 -0245

-051

T

+

T

+

T T
















-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

π

π

π

π

j

j

a

ff

j

ff

j

ff

j

ff

j

ez

e

effHfH

e

e

e

e

fHa

a

a

a

aff

j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

minusminussdot=

+

minussdot=

=

sdot

sdot

π

π

j

j

a

e

effH




= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht































-j

Im(z)

Re(z)


minus1

minus075

minus05

minus025

0

025

05

075

1

Rez

Imz

Nullstellen

Polstellen


auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

2450)(

2

2

4

4

22

22

2

=+

minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

minus

sdot==

sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

=sdotsdotsdot

π

π

π

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j

j

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j

ff

j

ff

j

ff

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e

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e

e

e

e

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a

a

a

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j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

minus

minus=

+minus

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+

minussdot=

=

sdot

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π

π

j

j

a

e

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= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht

















auftritt 02 =

= af


2af









j

ezsdotsdotsdot

=π2

vorgenommen werden

( ) 0510

1245020

5101

1124500

510

12450

510

1

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2

2

4

4

22

22

2

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minussdot=

==

+

minussdot==

+

minussdot=

+

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sdotsdot

sdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

sdotsdotsdot

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π

π

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π

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ff

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ff

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ff

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e

e

e

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a

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j

1490

490

5101

112450

510

124504 =

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+

minussdot=

=

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π

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j

j

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= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

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21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht


















= 4


wiedergegeben
















bN-1 b1 b0

-a1

x(n)

+ y(n)

T + T + + T

-aN-1 -aN

bN

hellip

hellip







L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht






















L

L

++=

sdotsdot=

)(log)(log)(log

)()()(

21

21

fHfHfH

zHzHzH












16 Filterentwurf

















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht






















0 01 02 03 04 050

02

04

06

08

1

ffa

|H(f

)|







sdot

1

1log20h



minussdot

211log20

h in dB beschreiben








2h

1h












1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht



























1

1

12minus

minus

+

minussdot=

z

z























0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht


































0

05

1


0

05

1


0

05

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0

05

1

Zeitms

Zeitms

Zeitms

FrequenzHz

h(n)

w(n)

h(n)w(n)

|H(f)|





418 veranschaulicht




















418 veranschaulicht
















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