1 Grundlagen Kinematik -...

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Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 1 Version 24. Juni 2004 Kinematik und Kinetik Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog f¨ ur Mechanik 2 abgedruckt, aus dem jede Woche Auf- gaben f¨ ur die Große ¨ Ubung, die Tutorien und das eigenst¨ andige Arbeiten ausgew¨ ahlt werden. L¨ osungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungef¨ ahr eine Woche nach Bearbeitung ver¨ offentlicht. Leider schleichen sich manchmal in die ver¨ offentlichten L¨ osungen Fehler ein. Wir bem¨ uhen uns, diese m¨ oglichst ugig auszumerzen. Jeder Student ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum selbst¨ andig rech- nen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterl¨ osungen) rechnen m¨ ochte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenb¨ uchern verwiesen. Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet. 1 Grundlagen Kinematik 1. Ein Radfahrer f¨ ahrt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 36 km/h. Zur Zeit t 0 springt die noch 150 m entfernte Ampel auf Rot. 20 s sp¨ ater schaltet sie wieder auf Gr¨ un. Genau dann will der Radfahrer die Ampel passieren. Dazu bewegt er sich vom Moment t 0 an bis zum Passieren der Ampel mit der konstanten Beschleunigung a 1 . Wie groß ist a 1 , und mit welcher Geschwindigkeit passiert der Radfahrer die Ampel? 36 km/h 150 m 2. Auf einer Straße f¨ ahrt ein Auto A mit der Geschwindigkeit v A . Hinter ihm kommt ein Wagen B mit der Geschwindigkeit v B . Als der Fahrer von B merkt, daß er nicht ¨ uberholen kann, ist zwischen der vorderen Stoßstange von B und der hinteren Stoßstange von A der Zwischenraum l. Nach einer Schrecksekunde“ T angt B an zu bremsen. (a) Welche Bremsbeschleunigung a * ist mindestens n¨ otig, damit ein Zusammenstoß vermieden wird? Welcher Wert ergibt sich f¨ ur a * , wenn der Wagen B zu Beginn mit einer Geschwindigkeit von 72 km h -1 ahrt und erst bei einem Abstand von 20 m zum Vordermann feststellt, daß das ¨ Uberholen nicht m¨ oglich ist? (b) Nach welcher Zeit und wo ber¨ uhren sich f¨ ur diesen Grenzfall die Stoßstangen der Fahrzeuge? (c) Zeichnen Sie Diagramme f¨ ur die Wege und Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge. Nehmen Sie an, daß B seine Bremsung bis zum Stillstand fortsetzt. Geg.: l, v, v A = v, v B =2v, T = l 2v 3. In einer Ballmaschine werden Tennisb¨ alle aus der Ruhelage beschleunigt. Die Beschleunigung eines Tennisballes entlang des Abschussrohres nimmt mit dem zur¨ uckgelegten Weg li- near von a 0 am Anfang des Rohres auf a 0 /2 am Ende ab (siehe Diagramm). Die nutzbare L¨ ange des Rohres heißt l. Bestimme die Geschwindigkeit eines Tennisballes beim Ver- lassen des Rohres! Geg.: a 0 , l. l s a(s) a 0 a0 2 l

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Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 1Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog fur Mechanik 2 abgedruckt, aus dem jede Woche Auf-gaben fur die Große Ubung, die Tutorien und das eigenstandige Arbeiten ausgewahlt werden. Losungenzu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefahr eine Woche nach Bearbeitung veroffentlicht. Leiderschleichen sich manchmal in die veroffentlichten Losungen Fehler ein. Wir bemuhen uns, diese moglichstzugig auszumerzen. Jeder Student ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum selbstandig rech-nen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterlosungen) rechnen mochte, sei auf die breite Auswahl anAufgabenbuchern verwiesen.

Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.

1 Grundlagen Kinematik

1. Ein Radfahrer fahrt mit einer konstanten Geschwindigkeitvon 36 km/h. Zur Zeit t0 springt die noch 150 m entfernteAmpel auf Rot. 20 s spater schaltet sie wieder auf Grun.Genau dann will der Radfahrer die Ampel passieren. Dazubewegt er sich vom Moment t0 an bis zum Passieren derAmpel mit der konstanten Beschleunigung a1.

Wie groß ist a1, und mit welcher Geschwindigkeit passiertder Radfahrer die Ampel?

PSfrag replacements

36 km/h

150 m

2. Auf einer Straße fahrt ein Auto A mit der Geschwindigkeit vA. Hinter ihm kommt ein Wagen B mit derGeschwindigkeit vB . Als der Fahrer von B merkt, daß er nicht uberholen kann, ist zwischen der vorderenStoßstange von B und der hinteren Stoßstange von A der Zwischenraum l. Nach einer

”Schrecksekunde“

T fangt B an zu bremsen.

(a) Welche Bremsbeschleunigung a∗ ist mindestens notig, damit ein Zusammenstoß vermieden wird?Welcher Wert ergibt sich fur a∗, wenn der Wagen B zu Beginn mit einer Geschwindigkeit von72 km h−1 fahrt und erst bei einem Abstand von 20 m zum Vordermann feststellt, daß dasUberholen nicht moglich ist?

(b) Nach welcher Zeit und wo beruhren sich fur diesen Grenzfall die Stoßstangen der Fahrzeuge?

(c) Zeichnen Sie Diagramme fur die Wege und Geschwindigkeiten der beiden Fahrzeuge. Nehmen Siean, daß B seine Bremsung bis zum Stillstand fortsetzt.

Geg.: l, v, vA = v, vB = 2v, T = l2v

3. In einer Ballmaschine werden Tennisballe aus der Ruhelagebeschleunigt. Die Beschleunigung eines Tennisballes entlangdes Abschussrohres nimmt mit dem zuruckgelegten Weg li-near von a0 am Anfang des Rohres auf a0/2 am Ende ab(siehe Diagramm). Die nutzbare Lange des Rohres heißt l.

Bestimme die Geschwindigkeit eines Tennisballes beim Ver-lassen des Rohres!

Geg.: a0, l.

PSfrag replacements l

s

a(s)a0

a0

2

l

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 2Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

4. In der Ballmaschine aus Aufgabe 3 wird der Abschussme-chanismus ausgetauscht. Die Beschleunigung verlauft nunlinear uber der Zeit gemaß nebenstehendem Diagramm. Zurzunachst nicht bekannten Zeit tl verlasst der Ball das Ab-schussrohr.

(a) Bestimme die Geschwindigkeit eines Tennisballesbeim Verlassen des Rohres!

(b) Das Abschussrohr steht unter einem Winkel α zurErdoberflache. Das Ende des Rohres befindet sich ineiner Hohe h uber dem (ebenen) Erdboden. Wie weitfliegen die Tennisballe? Vernachlassige die Reibung!

(c) Bestimme die maximale Flughohe der Tennisballe!

Geg.: a0, l, h, α, g.

PSfrag replacements

l

h

α

t

a(t)a0

a0

2

tl

g

5. Fulle die leeren Felder fur Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung! Alle Großen, die nicht explizitals Funktion der Zeit t angegeben sind, seien konstant.

Ort Geschwindigkeit Beschleunigung Nebenbedingungenx(t) = a0 x(0) = x(0) = 0

r(t) = v0 + a1t r(0) = r0s(t) = L sinΩt

y(t) = u0eωt y(t0) = u0

ω

y(t) = r0√t−t1

cos

ω2(t2 − t20)

ϕ(t) = ϕ(t) ϕ(0) = 1x(t) = −λ2x(t) − v0t x(0) = L, x(0) = − v0

λ2

6. Der nebenstehend skizzierte Industrieroboter kann sich um die senk-rechte z-Achse drehen (Drehwinkel ϕ), seinen Arm um das Gelenk inder Hohe l auf und ab bewegen (Winkel ψ) und zusatzlich die Langedes Armes r verandern.

Berechne den Orts- und Geschwindigkeitsvektor (in kartesischen Ko-ordinaten) des auf der Spitze des Armes sitzenden Greifers, wenn derRoboter mit ϕ = Ω = konst. um die z-Achse rotiert, der Arm sich mitψ = Θ = konst. hebt und sich seine Lange gemaß r = l(2 + sin Ωt)mit der Zeit t andert. Am Anfang (t = 0) liegt der Greifer auf derpositiven x−Achse (ϕt=0 = 0, zt=0 = 0).

Geg.: l, Ω, Θ.

PSfrag replacements

ϕ

ψ

r

l

x

y

z

7. Der Punkt Paul bewegt sich auf der Innenflache eines zylindrischen Rohresmit dem Radius R. Seine Bahn wird beschrieben durch z(ϕ) = l0e

kϕ,ϕ(t) = ωt. Das Rohr erstreckt sich in Richtung der z-Achse bis zur HoheH . Gegeben sind die Konstanten ω, l0, k, R und H .

Bestimme den Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor des Punktesbeim Verlassen des Rohres in kartesischen Koordinaten!

PSfrag replacements

H

R

xy

z

Paul

ϕ

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 3Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

8. Die beiden oberen starr miteineinder verbundenen Riemenscheiben mitden Radien r und R drehen sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω. DasSeil lauft auf allen drei Riemenscheiben ohne Schlupf, seine Abschnittezwischen den Riemenscheiben hangen genau senkrecht. Der DrehpunktS der unteren Scheibe ist vertikal gefuhrt.

Berechne die Geschwindigkeit des Punktes S!

Geg.: R, r, ω = konst.

PSfrag replacements

r R

S

ω

9. Ein Rad mit dem Radius R rollt auf einer Ebe-ne. Zur Zeit t = 0 beruhrt der auf dem Umfangdes Rades befestigte Punkt Titus die Ebeneund zwar genau im Ursprung des ortsfestenkartesischen Koordinatensystems.

Bestimme Titus’ Orts-, Geschwindigkeits- undBeschleunigungsvektor in Bezug auf das orts-feste Koordinatensystem als Funktion derZeit t in kartesischen Koordinaten.

Geg.: R, ddtϕ(t) = ϕ = konst..

PSfrag replacements

x

R

Titus

Tip: Bestimme zuerst die Koordinaten des Mittelpunktes des Rades zu einer beliebigen Zeit t und dann

den Abstand in x- und y-Richtung des Punktes Titus von diesem Mittelpunkt. Daraus kann dann der

Ortsvektor ermittelt werden.

10. Ein Flugzeug steuert mit Hilfe seiner Peilvorrichtung einenFlughafen an, wird jedoch durch den Wind abgetrieben, dermit konstanter Geschwindigkeit vf in Richtung der y-Achseweht. Das Flugzeug hat die Relativgeschwindigkeit vr. Gesuchtist die wahre, ebene Bahn des Flugzeuges, wenn es vom PunktP0(x0, y0) ab Kurs auf die Peilanlage des Flughafens halt, dieim Ursprung O liegen moge.

PSfrag replacements

x

y

vfvr

θ

P(x, y)

O

11. Eine mit der Zeit t veranderliche vektorielle Große V an einem durch seine Koordinaten r, ϕ undψ bestimmten Punkt P wird durch den Vektor v(t) beschrieben. Dieser Vektor v(t) soll durch seineKoordinaten vr(t), vϕ(t) und vψ(t) im raumfesten Kugelkoordinatensystem dargestellt werden.

Die Basis des Kugelkoordinatensystems sei gegeben durch die Einheitsvektoren

er =

cosϕ cosψsinϕ cosψ

sinψ

<x,y,z>

, eϕ =

− sinϕcosϕ

0

<x,y,z>

und eψ =

− cosϕ sinψ− sinϕ sinψ

cosψ

<x,y,z>

.

(a) Der Punkt P verandert seine Lage im Raum nicht. Berechne fur diesen Fall die Kugelkoordinatender ersten Ableitung nach der Zeit v(t) des Vektors v(t). Schreibe v(t) als Linearkombination derBasisvektoren er, eϕ und eψ!

(b) Nun soll sich der Punkt P bewegen, seine Koordinaten sind also Funktionen der Zeit. Gib furdiesen Fall die erste und zweite Ableitung nach der Zeit v(t) und v(t) in Kugelkoordinaten an!

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 4Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

12. Das skizzierte System wird von einer Zahnstange angetrieben,die sich gemaß s(t) = v0t geradlinig bewegt. Auf der senkrechtenmit α = ω rotierenden Scheibe ist der Punkt P befestigt.

Berechnen Sie Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-vektor des Punktes P als Linearkombination der mitgedrehtenBasisvektoren er, eϕ und ez bezuglich des ruhenden Bezugssy-stems mit Ursprung O.

Geg.: R, h , a, s(t), ω = konst., α(0) = 0, ϕ(0) = 0

PSfrag replacements P

h

a

s(t)

α

ereϕ

ez

ϕ

O

R

13. Harry Coolman will mit seiner”Turbo-Eagle“ ei-

ne Faßrolle fliegen. Das ist eigentlich nicht zulassigund deshalb fragt er dich, was er und seine Muhledabei wohl fur Belastungen (Beschleunigungen)zu erwarten haben.

Die Flugbahn soll eine Schraubenlinie mit kon-stantem Geschwindigkeitsbetrag v, Radius R undSteigungswinkel (90−α) beschreiben. Das Flug-zeug liegt dabei immer so in der Luft, daß derKopf des Piloten zur Mittellinie der Schraubenli-nie zeigt.

PSfrag replacements

xy

R

vk1

k2

(a) Wir definieren ein erdfestes kartesisches Koordinatensystem, dessen x-Achse auf der Mittellinie derSchraubenlinie liegt, z weist nach oben. Schreibe den Ortsvektor x(t) des Flugzeugs als Funktionder Zeit t in diesen Koordinaten, wenn x(t = 0) = −R ey.

Hinweis: Auf die y-z-Ebene projiziert (wenn man die x-Komponente erst

mal außer acht laßt) beschreibt die Bewegung eine Kreisbahn mit konstanter

Winkelgeschwindigkeit ϕ · = k2/R und dem Radius R. Die x-Komponente

der Bewegung stellt eine gleichmaßige Bewegung dar mit der konstanten

Geschwindigkeit k1. Betrachtet man den Geschwindigkeitsvektor z.B. zur

Zeit t = 0 in der x-z-Ebene, so kann man seine Komponenten k1 und k2 aus

der Skizze links ablesen.

PSfrag replacements

x

yz

α

Rv

k1

k2

(b) Das flugzeugfeste Koordinatensystem ist mit ϕ(t) = v sinαR

t gegeben durch

e1(t) =

cosαsinα sinϕ(t)sinα cosϕ(t)

<x,y,z>

, e2(t) =

− sinαcosα sinϕ(t)cosα cosϕ(t)

<x,y,z>

, e3(t) =

0− cosϕ(t)sinϕ(t)

<x,y,z>

.

(Aus der Sicht des Piloten zeigt e1 nach vorne, e2 nach rechts und e3 nach unten.)

Bestimme die Ableitungen dieser Basisvektoren nach der Zeit in flugzeugfesten Koordinaten (alsoals Linearkombination der flugzeugfesten Basis).

(c) Berechne die flugzeugfesten Koordinaten des Ortsvektors aus Teilaufgabe (a). Das Ergebnis sieht

etwa so aus: x = . . . e1 + . . . e2 + Re3.

(d) Leite den Ortsvektor aus Teilaufgabe (c) zweimal nach der Zeit ab. Zeige dabei, daß die Geschwin-digkeit im flugzeugfesten Koordinatensystem wie erwartet nur eine Komponente in e1-Richtunghat.

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 5Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

14. In einem Turm ist in Punkt A eine Maus, imMittelpunkt O eine Katze. Die Maus rennt mitder konstanten Geschwindigkeit vM entlang derTurmmauer, um das rettende Loch L zu errei-chen. Die Katze verfolgt die Maus mit der kon-stanten Geschwindigkeit vK und beschreibt dabeieine Bahn, die durch die Archimedische SpiralerK(ϕK) = R

πϕK beschrieben wird.

Geg.: R, vM ,∫ √

1 + x2dx = 12 [x

√1 + x2 +

arsinhx]

(a) Gib die Geschwindigkeits- und Beschleuni-gungsvektoren von Katze und Maus als Li-nearkombination aus er, und eϕ an! Nimmdabei die Winkelgeschwindigkeit der KatzeϕK(t) als eine gegebene Funktion der Zeitan.

(b) Wie groß muß die Bahngeschwindigkeit vKder Katze sein, damit sie die Maus am Locherwischt?

PSfrag replacements

ϕKrK

ϕM

R

A

L

O

15. Berechnen Sie bezuglich des Koordinatenursprungs O

(a) den Ortsvektor zum Punkt P (setzen Sie dabeis(t) = v0t und α(t) = Ωt ein),

(b) seinen Geschwindigkeitsvektor,

(c) seinen Beschleunigungsvektor und

(d) den Drehimpuls der Punktmasse m im Punkt P!

(e) Bestimmen Sie den Vektor der Reaktionskraft, dieauf die Punktmasse wirkt (Gravitation wird ver-nachlassigt)!

Geg.: H , L, h, b, ω = konst., s(t) = v0t, α(t) = Ωt, m

PSfrag replacements

ereϕ

ez

L

m

h

H

b

s(t)ω

α(t)

P

A

O

16. Eine Scheibe dreht sich um die Kante B-C mit dem Drehwinkel ϕ(t) =ωt. Der Punkt Petra bewegt sich auf der Scheibe von A nach B mit derkonstanten Geschwindigkeit v0 relativ zur Scheibe.

Berechne die Vektoren und Betrage der (Absolut-) Geschwindigkeit und(Absolut-) Beschleunigung

(a) mit einer raumfesten, konstanten kartesischen Basis.

(b) mit einer korperfesten (mit der Scheibe) mitgedrehtenZylinderkoordinaten-Basis.

Geg.: b, h, ω, v0

PSfrag replacements

ϕ

v0

b

h

A

B

C

Petra

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 6Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

17. Der Punkt Paul bewegt sich auf der Innenflacheeines zylindrischen Rohres mit dem Radius R. Sei-ne Bahn wird beschrieben durch z(ϕ) = l0e

kϕ,ϕ(t) = ωt. Gegeben sind die Konstanten ω, l0,k und R.

Bestimme zu jeder Zeit t den Orts-,Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektordes Punktes als Linearkombination aus er , eϕund ez! Bestimme außerdem die kartesischenKoordinaten des Beschleunigungsvektors!

PSfrag replacements

R

xy

z

Paul

ϕ

18. Ein Punkt bewegt sich auf der ebenen Bahn

r(ϕ) = a(1 +ϕ

2π) mit 0 < ϕ < 2π , ϕ = c t.

a und c sind positive Konstanten, Zeit t > 0. GibGeschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor in der Ba-sis < er, eϕ > und in der Basis < ex, ey > an!

PSfrag replacements

r

ϕ

a

19. Eine starre Scheibe rotiert in der x-y- bzw.r-ϕ-Ebene um den Ursprung. Die Winkel-geschwindigkeit ϕ(t) = ω(t) ist eine als be-kannt vorausgesetzte Funktion der Zeit t.

Gib den Orts-, Geschwindigkeits- und Be-schleunigungsvektor eines durch seine mo-mentanen Koordinaten r und ϕ identifizier-ten Punktes auf der Scheibe sowohl mit einerkartesischen Basis als auch mit er und eϕ an!

PSfrag replacements

x

y

ω

ϕ

r

20. Ein Schwimmkorper K soll von einem Ufer ei-nes mit der Geschwindigkeit vS dahinfließendenStromes der Breite b zum anderen Ufer dadurchbefordert werden, daß er mittels eines im PunktO befestigten Taues herubergezogen wird. Man er-mittle unter der Voraussetzung einer konstantenVerkurzungsgeschwindigkeit vT des Taues die Glei-chung der Bahnkurve des Schwimmkorpers.

O

PSfrag replacements

x

y

b

vSr

K

ϕ

vT

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 7Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

21. Fur das skizzierte Planetengetriebe, das aus einem Sonnenrad (a1, ω1),einem Hohlrad (a2, ω2) und Planetenradern besteht, ermittle man

(a) die Bahngeschwindigkeit v fur den Mittelpunkt des Planetenra-des,

(b) die Winkelgeschwindigkeit ω des Plantenrades,

(c) die Winkelgeschwindigkeit ω∗ des Plantenradtragers,

geg.: a1, a2, ω1, ω2.

22. Das Sonnenrad A bewege sich mit der Winkelgeschwindigkeit ωA und derVerbindungshebel C mit ωC. Das Planetenrad bewegt sich rein rollend. Er-mittle den Geschwindigkeitsvektor des Punktes P, der sich auf dem Plane-tenrad B befindet.

Geg.: r1, r2, a, ωA, ωC, ψ.

23. Das dargestellte ebene Getriebe besteht aus denZahnradern 1 und 2, dem Winkelrahmen 3 und derSchubstange 4. Der Winkelrahmen 3 rotiert mit derWinkelgeschwindigkeit ω3 um den Lagerpunkt A. Dasim Punkt C mit dem Rahmen verbundene Zahnrad2 rollt infolgedessen im Punkt B auf dem blockiertenZahnrad 1 ab. Die Schubstange 4 ist in E gelenkig mitdem Winkelrahmen 3 sowie uber die Schiebehulse D mitZahnrad 2 verbunden. Alle Teile verhalten sich starr.

PSfrag replacements

ABCD

E

1

2

34

x

y

RR 2R

4Rω3

(a) Zeigen Sie, dass die Winkelgeschwindigkeit des Zahnrades 2

ω2 = 32ω betragt.

(b) Berechnen sie die Winkelgeschwindigkeit ω4 der Schubstange 4.

(c) Berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit v(rel)D in der Schiebehulse D.

Geg.: R, ω3 = ω

24. Ein Hebelwerkzeug besteht aus drei masselosenStarrkorpern: die Schubstange 1 gleitet auf demreibungsfreien und festen Untergrund mit derGeschwindigkeit v1 und der Beschleunigung a1;das zum Hubausleger 2 gehorende, in B dreh-bar gelagerte Rad rollt in A ohne Schlupf aufder Stange 1 ab; der stutzende Winkelrahmen3 ist im Punkt C drehbar mit dem Hubausle-ger 2 verbunden und gleitet in D, uber eine ge-lenkige Schiebehulse gekoppelt, reibungsfrei aufder Schubstange 1. Die folgenden Aufgabenteilebeziehen sich auf die momentane Lage des Sy-stems.

PSfrag replacements

A

B

C

D1

2

3

x

y

3r

6r

6r 10r

a1, v1

xreibungsfrei

(a) Zeigen Sie, dass sich die Winkelgeschwindigkeiten der Elemente 2 und 3 zu ω2 = − 13 · vr bzw. zu

ω3 = − 18 · vr ergeben, und berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit vD,rel zwischen der Schie-

behulse in D und der Schubstange 1.

(b) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung ω2 des Hubauslegers.

(c) Konstruieren Sie den Momentanpol G3 des Rahmens 3.

Geg.: r, |v1| = v, |a1| = a,

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 8Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

2 Grundlagen Kinetik

25. Ein mechanischer Basketballspieler wirft den Ball immer unter demWinkel α ab.

(a) Wie groß muß die Abwurfgeschwindigkeit sein, damit der Ballden Korb trifft?

(b) Ab welcher minimalen Entfernung d von der Wand hat er keineMoglichkeit mehr zu treffen?

Geg.: α, h, d, Erdbeschleunigung g

PSfrag replacements

v0

d

h

g

α

26. Bestimmen Sie fur das skizzierte System mit denNewtonschen Gesetzen die Lage der Kugel zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt t.

Das Seil und die Umlenkrolle sollen als masse-los und nicht dehnbar angenommen werden. DerStromungswiderstand der Kugel ist proportional zurGeschwindigkeit mit dem Widerstandskoeffizienten k.Der Gleitreibbeiwert zwischen dem zweiten Korperund seiner Unterlage ist µ. Der hydrostatische Auf-trieb der Kugel soll vernachlassigt werden. Zur Zeitt = 0 ruht das System bei x = 0. Danach sinkt dieKugel senkrecht nach unten.

Geg.: m1, m2, k, µ, α, g

Tip: Kurzen Sie die Koeffizienten der Differentialglei-

chung ab, um sich Schreibarbeit zu sparen.

PSfrag replacements

g

m1

m2α

µ

x

27. Auf einer als starr und masselos anzusehenden Stange kann die Masse m, diemittels einer idealen Feder mit dem Drehpunkt verbunden ist, reibungsfrei glei-ten. Es sei l0 die Federlange im spannungslosen Zustand. Ein Antrieb im Dreh-punkt der Stange regt mit dem Moment M(t) = M0 sin Ωt das System zumSchwingen an.

Stelle die Bewegungsdifferentialgleichung auf! Berucksichtige die Schwerkraft.

Geg.: m, l0, M0, Ω, g, c

PSfrag replacements

m

µ = 0

M(t)c

28. Zwei Massen M und m sind uber einSeil miteinander verbunden. Zum Zeit-punkt (t = 0) besitzt das System dieAnfangsgeschwindigkeit v = 0. DerKlotz M gleitet von A nach B rei-bungsfrei. Von B nach C herrscht derReibungskoeffizient µ. Wie groß mußµ sein, damit der Klotz genau an derStelle C zum Halten kommt?

Geg.: l, M = 2m, m, µ, g

PSfrag replacements

M

m

gA B C

µ = 0 µ 6= 0

l 10l

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 9Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

29. Drei gleiche Massenm1 = m2 = m3 = msind mit Seilen ubermasselose Rollen ver-bunden. Man bestim-me die Bewegungs-gleichungen fur denFall, daß sichm3 nachunten bewegt!

Geg: α, µ, g, m

PSfrag replacements

αµ

µ

g

m1

m2

m3

30. In dem skizzierten System gleitet die Masse M die Rampe hinab. Auf Mbewegt sich reibungsfrei eine zweite Masse m.

Gesucht ist die Beschleunigung von M .

Geg.: M , m, µG, α, g

PSfrag replacements

g

α

µ = 0

µ = µG

M

m

31. Wie lautet die Gleichung der Bahnkurve einer Masse m, die imSchwerefeld der Erde zum Zeitpunkt t = 0 mit der Anfangsge-schwindigkeit v0 unter dem Winkel α bei x0, y0 abgeworfen wird?Berucksichtige den Luftwiderstand nach dem Gesetz FW = −kvmit k ≥ 0!

PSfrag replacements

α

x

yFW

mg

v

v0

x0

y0

32. Auf der skizzierten Scheibe, die mit der konstanten Winkel-geschwindigkeit ω rotiert, gleitet die Masse m in einer dia-metralen Fuhrung. Zwischen der Masse m und ihrer Fuhrungherrscht der Reibkoeffizient µ. Die Scheibe liegt in einer ho-rizontalen Ebene, d. h. die Gewichtskraft wirkt in Richtungder Drehachse.

Zum Zeitpunkt t = 0 hat die Masse m keine Relativgeschwin-digkeit zur Scheibe und den Abstand r0 von der Drehachseder Scheibe. Stellen Sie fur diese Annahmen die Bewegungs-differentialgleichung fur die Masse m auf!

Geg.: m, r0, ω, µ

PSfrag replacements

ω

33. Eine Punktmasse m gleitet reibungsfrei auf einer Ebene. Sie ist aneinem Seil befestigt, das mit der konstanten Geschwindigkeit v zumPunkt P gezogen wird. Zur Zeit t = 0 betragt die Umfangskompo-nente der Geschwindigkeit der Punktmasse ω0l0 und ihr Abstandzum Punkt P l0.

Bestimme die Seilkraft!

Geg.: m, v, l0, ω0

PSfrag replacements

x

vP

m

l0

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 10Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

34. Die Aufhangevorrichtung (Masse m1) eines ebenen Pen-dels mit der Lange l und der Pendelmasse m2 gleitet rei-bungsfrei auf einer horizontalen Schiene.

Ermitteln Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen furdie Massen m1 und m2.

Geg.: m1, m2, l, g

PSfrag replacementsm1

m2

s

ϕ l

g

35. Ein Korper (Masse m1) gleitet reibungsfrei in vertikaler Richtung undist uber eine masselose Stange (Lange l) mit einer Punktmasse m2 ge-lenkig verbunden. Die Punktmasse ist uber eine weitere Stange (Langel) gelenkig an die Umgebung gekoppelt.

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?

(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung fur das Sy-stem.

Geg.: l, g, m1, m2

PSfrag replacements

ϕ

m1

m2

l

l

g

x

y

glatt

36. Auf einer schiefen Ebene bewegt sich reibungsfrei einKorper der Masse m, Bewegungskoordinate s, infolgeder Schwerkraft abwarts. In einer radialen Bohrung istein Zylinder der Masse M , der Relativkoordinate x, ela-stisch angeordnet, der sich ebenfalls reibungsfrei bewe-gen kann. Fur die entspannte Lage der Federn gilt s = 0und x = 0. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferential-gleichungen fur die generalisierten Koordinaten s undx.

Geg.: m, M , c, α, g

37. Das untersuchte Gerat besteht aus einer Massem, drei Staben und zwei Rollen. Die Massen derStabe und der Rollen seien vernachlassigbar klein.Die Stabe haben einen quadratischen Querschnitt(Kantenlange b). Das Gerat bewegt sich wie ab-gebildet auf einer Kreisbahn mit konstanter Win-kelgeschwindigkeit ω. Die Bewegung findet in einerEbene statt.

(a) Berechnen Sie die kleinste Winkelgeschwin-digkeit ω, bei der es zum Knicken der Stabekommt.

(b) Setzen Sie nun folgende Zahlenwerte ein m =100 kg, l = 0,5 m, E = 200 GPa, b = 10 mm,r = 0,3 m

Geg.: m, l, E, b, r

PSfrag replacements

ωr

lb

b m

30o

Stabquerschnitt

38. Zwei Autos stoßen unter einem Winkel α zusammen und rutschen ineinander verkeilt nach dem Zu-sammenstoß mit blockierten Radern eine Strecke XR, bis sie zum Stillstand kommen.

Geg.: Massen und Geschwindigkeitsbetrage der Autos vor dem Zusammenstoß m1, v1, m2 und v2,Reibbeiwert beim Rutschen µ, α

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 11Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

(a) In welche Richtung rutschen die Autos nach dem Zusammenstoß?

(b) Wie lang ist die Rutschstrecke XR?

(c) Ein Golf m1 = 1000kg und ein Mercedes m2 = 2000kg stoßenunter α = 45 zusammen. Der Golf hat seine Bewegungsrichtungbeim Zusammenprall um β = 30 geandert. Aus der Rutsch-strecke konnte die Geschwindigkeit der ineinander verkeilten Au-tos unmittelbar nach dem Zusammenstoß bestimmt werden, siebetrug 20m

s .

Wie schnell waren die Autos vor dem Zusammenstoß?

PSfrag replacementsα

β

XRm1

m2

39. In einem Duschkopf wird das Wasser rechtwinklig umgelenkt. Da-durch andert sich der Impuls des Wassers sowohl in x- als auch iny-Richtung. Berechne die Kraft (Betrag und Richtung), die das Was-ser auf den Duschkopf ausubt, wenn pro Sekunde 0,2 l Wasser aus-stromen (Volumenstrom V = 0,2 · 10−3m3/s). Der RohrquerschnittA betragt 2 cm2. Reibung und Gravitation sollen vernachlassigt wer-den.

PSfrag replacements

A

v

xy

Hinweis: Ein Liter Wasser habe die Masse 1 kg. Damit kann der Massenstrom dmdt

aus dem Volumenstrombestimmt werden. Der Betrag der Geschwindigkeit v des Wassers ergibt sich aus der Beziehung fur den Volu-menstrom V = Av. Der Betrag der Geschwindigkeit andert sich durch die Umlenkung nicht. Betrachte einezusammenhangende Gruppe von Wasserteilchen mit der Masse m auf ihrem Weg durch die Krummung. Indieser Betrachtung kann so getan werden, als ob die Umlenkung in einer scharfen Ecke erfolgt, ein Teilchenalso entweder noch gar nicht oder schon vollstandig umgelenkt ist.

PSfrag replacements

xy

t1 t2 t3

m

Schreibe den Impuls dieser Masse m zu einem beliebigen Zeitpunkt auf: vor (t1), wahrend (t2) und nach derUmlenkung (t3). Uber den Impulssatz kannst Du die Kraft bestimmen, die das Rohr auf dieses Wasserpaketausuben muß, um die Impulsanderung und damit die Umlenkung zu erzwingen.

Zu jedem Zeitpunkt kann man sich eine zusammenhangende Gruppe von Wasserteilchen denken, die geradeumgelenkt wird. Deshalb kann man aus der Kraft zur Umlenkung eines Pakets auf die Kraft schließen, die derWasserstrahl als ganzes auf den Duschkopf ausubt.

40. Eine Kugel der Masse m fliegt mit einer Geschwindigkeit v0. Sie ex-plodiert in zwei Teile. Die Einzelteile haben die Massen m1 bzw. m2.Sie fliegen mit den Geschwindigkeiten v1 bzw. v2 unter den Winkelnα1 bzw. α2 zur ursprunglichen Flugrichtung auseinander.

Die Richtungen α1 und α2 sowie die Geschwindigkeit v1 des einenTeils unmittelbar nach der Explosion werden gemessen. Bestimmedie Massen der Teile und die nicht gemessene Geschwindigkeit v2!

Geg.: m, v0, α1 = π2, α2, v1

PSfrag replacements

α1

α2

m

m1

m2

v0

v1

v2

41. Ein Seil der Lange L mit der Masse M liegt auf dem Boden. Nun soll es an einem Ende hochge-zogen werden. Welche Kraft H ist notig, um dieses Ende mit der konstanten Beschleunigung anach oben zu heben? Es soll angenommen werden, daß das Seil bis zum Boden immer senkrechthangt.

Geg.: L, M , a

PSfrag replacements

H

42. Aus einem anfanglich ruhenden Boot werden zwei schwere Steine horizontal nach hinten geworfen. Das Boothat die Gesamtmasse m0 (einschließlich der Steine), die Steine haben die Massen m1 und m2. Die Reibung desBootes soll vernachlassigt werden. Die Abwurfgeschwindigkeit (relativ zum Boot) sei w.

Wie groß ist die Geschwindigkeit des Bootes nach dem Abwerfen, wenn

(a) die beiden Steine gleichzeitig, bzw.

(b) zuerst die Masse m1 und dann die Masse m2

geworfen werden?

Geg.: m0, m1, m2, w

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 12Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

43. Um die Bewegungsgleichungen fur das skizzierte System zu bestim-men, soll angenommen werden, dass die Seile masselos und undehnbarsind und dass abgesehen vom Gleiten der Masse m5 keine Reibungs-verluste auftreten.

(a) Schneide die einzelnen Massen frei und trage alle außeren Krafteund Momente an.

(b) Schreibe fur jede Masse Impuls- und/oder Drallsatz auf, je nach-dem, was fur die Berechnung der Bewegung relevant sein kann.

(c) Gib die notigen kinematischen Zusatzbedingungen an.

(d) Setze alle Massen und alle Radien gleich: mi = m, rj = r.Reduziere das Gleichungssystem fur diesen Spezialfall auf zweiGleichungen fur ϕ1 und ϕ2.

Geg.: mi(i = 1 . . . 5), rj(j = 1 . . . 3), µ, M0

PSfrag replacementsm1

m2

m3

m4

m5

M0

r1

r2

r3

µ

ϕ1

ϕ2

44. Mit Hilfe der skizzierten Vorrichtung soll die Last mit derMasse mL angehoben werden. Es wird vorausgesetzt, daßdie Walze auf der schiefen Ebene (ohne zu rutschen) rolltund daß alle senkrecht skizzierten Seilabschnitte genausenkrecht bleiben.

(a) Schneide die relevanten Teilkorper frei und gib diedazugehorigen Bewegungsgleichungen an!

(b) Stelle alle auftauchenden kinematischen Großen inBeziehung zur Beschleunigung der Last zL!

(c) Zeige, daß gilt

Man =5

6mLr

(

zL + g)

+mr(377

30zL + g

)

,

wenn ran = 32r, r1 = r3 = 2r, R1 = R3 = 3r, r2 =

r4 = r, m1 = m3 = m, m4 = 35m, Jan = 9

8mr2,

J1 = J3 = 92mr2, J2 = J4 = 1

2mr2, α = π

6!

Geg.: mL, zL, g, α, alle Massen mi, alleTragheitsmomente Ji, alle Radien ri, Ri.

PSfrag replacements

ran

r1

R1

r2

r3

R3

r4

mL

Man

man, Janm1, J1

m2, J2

m3, J3

m4, J4

g

α

45. Die skizzierte Kollermuhle wird vom Moment Man angetrieben. Die Brei-te der Rader soll vernachlassigt werden wie auch die Masse und dasTragheitsmoment der senkrechten Antriebsstange.

Wie groß darf das Antriebsmoment hochstens sein, damit die Rader nichtrutschen?

Geg.: µ0, m1, m2, a, l, g

46. Die beiden oberen Riemenscheiben mit den Radien r und R sind starr mitein-einder verbunden. Das Seil lauft auf allen drei Riemenscheiben ohne Schlupf,seine Abschnitte zwischen den Riemenscheiben hangen genau senkrecht. DerDrehpunkt S der unteren Scheibe ist vertikal gefuhrt.

Berechne die Geschwindigkeit des Punktes S zu einem beliebigen Zeitpunkt tmit dem Impuls- und Drehimpulssatz.

Geg.: R, r, m1, ΘS1 , m2, ΘS

2 , g, z(0) = z(0) = 0

PSfrag replacementsr R

S

g

x

z

m1,ΘS1

m2,ΘS2

47. Auf einem keilformigen starren Korper der Masse M , der sich rei-bungsfrei langs der x-Achse bewegen kann, rollt im Schwerefeld einehomogene Walze der Masse m und des Radius b. Am Keil wirkt dabeieine konstante Kraft F in dessen Bewegungsrichtung.

(a) Ermittle die beiden Bewegungsgleichungen von M und m in xund ξ!

(b) Wie groß mußte die Kraft F sein, damit die Walze relativ zumKeil in Ruhe bleibt?

Geg.: M , m, F , β, b, g.

PSfrag replacements

x

y

b g

m

F

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 13Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

48. Durch die Wirkung der Schwerkraft setzt sich das dargestell-te System in Bewegung. Bestimme mit Hilfe des Impuls- undDrallsatzes die Beschleunigung x1 der Masse m1 im Momentdes Losrollens unter der Annahme, dass m2 rollt und dassdie Verbindungsstange m1–m2 starr ist. Nehmen Sie außerdeman, dass die Massen m3 und m4 in diesem Moment senkrechthangen.

Geg.: r1 = r, r2 = 2r, m1 = m2 = M , m3 = m4 = m, ΘS2 , µ,

g, α

PSfrag replacements

x1

m1

m3

m4

m2,ΘS2

µ

g

α

r1r2

49. Auf den zwei drehbar gelagertenRollen A und B liegt eine dunnehomogene Platte der Masse m1

(Dicke der Platte vernachlassigbarklein). Die Rollen rotieren mit sehrgroßer Winkelgeschwindigkeit imskizzierten Richtungssinn. In derskizzierten Ausgangslage (x1 =x2 = 0) liegt die Platte genau mit-tig auf den Rollen und die Federist entspannt.

PSfrag replacements

m1m2, JSc

µ µ

reines Rollen

S

A B

gx1

x2

L

r

(a) Erstellen Sie je eine Freischnittskizze der beiden Massen m1 und m2 in einer ausgelenkten Lage!

(b) Bestimmen Sie die Normalkrafte zwischen der Platte und den Rollen in der ausgelenkten Lage als Funktionvon x1! (statisches Problem)

(c) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen des Systems in den Koordinaten x1 und x2! SortierenSie die Gleichungen nach Ableitungen von x1 und x2 oder schreiben Sie das System in Matrizenschreib-weise!

Geg.: m1, m2, JS , c, µ, g, L

50. Eine dunne homogene Stange gleitet reibungsfrei mit ihren Endpunkten A, B aufzwei zueinander senkrecht stehenden Wanden. Bei α0 = π

2war sie in Ruhe.

(a) Ermittle den Impuls P und den auf den Schwerpunkt bezogenen Drall LS

der Stange als Funktion von α.

(b) Wie groß ist der auf den Koordinatenursprung O bezogene Drall LO?

Geg.: m, g, l

PSfrag replacements

α

ex

ey

l

gO

S

A

B

51. Das Massentragheitsmoment ΘA des abgebildeten Schwungrades soll bestimmtwerden. Dazu wird das Rad mit einem dunnen Faden umwickelt. Am Ende desFadens wird ein Korper mit der Masse m1 befestigt. Nun wird die Dauer t1 ge-messen, in der der Korper aus der Ruhelage um die Hohe h absinkt.

Um den Einfluß des im Lager A wirkenden Reibmomentes zu eliminieren, wirdder Versuch mit einem anderen Korper mit der Masse m2 wiederholt. Bei gleicherAbsinkhohe wird diesmal die Absinkdauer t2 gemessen.

Bestimme ΘA unter den Annahmen, daß das Reibmoment MR konstant ist unddaß die Masse des Fadens vernachlassigt werden kann.

PSfrag replacements

m1,m2

A

h

r

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 14Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

52. Ein starrer Korper fuhrt Schwingungen in einer ver-tikalen Ebene unter dem Einfluß der Schwerkraft aus.Der Zapfen (Radius R) rollt ohne zu gleiten auf derstarren Unterlage. Verluste durch Reibung seien ver-nachlassigbar. Der Massenmittelpunkt C hat den Ab-stand a vom Zapfenmittelpunkt M. Der Korper hat dieMasse m und das Massentragheitsmoment J um denMassenmittelpunkt.

PSfrag replacements

ϕ

x

y

C

M

g

(a) Zeigen Sie, daß die Bewegung durch die Differentialgleichung

ϕ(

J +m(

a2 +R2)

− 2maR cosϕ)

+mga sinϕ+maRϕ2 sinϕ = 0

beschrieben wird.

(b) Bestimmen Sie nun ausgehend von der hergeleiteten Bewegungsdifferentialgleichung die statische Ruhe-lage.

(c) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung, wenn man kleine Schwingungen um die Ruhelage ϕ = 0betrachtet?

(d) Mit welcher Kreisfrequenz ω schwingt das System bei kleinen Auslenkungen?

53. Ein Klotz (Gewichtskraft FG) wird durch eine un-ter dem Winkel ϕ angreifende Kraft F gleichformig

eine schiefe Ebene hinaufgezogen (Reibzahl µG).Am Klotz ist eine Walze der Gewichtskraft FW

uber einen Stab der Lange l angeschlossen.

(a) Wie groß ist F fur den Spezialfall ϕ = 40,FG = 100N, FW = 180N, l = 0.1m, r =0.035m, b = 0.035m, µG = 0.12 und α = 30

?

(b) Fur welchen Winkel ϕ tritt fur diesen Spezi-alfall (außer, dass ϕ nun nicht gegeben seinsoll) Selbsthemmung auf?

Hinweis: Es soll idealisierend angenommen werden,dass keine Kippmomente wirken.

PSfrag replacementsϕ

α

F

µG

FW

FG

b/2

r

l

54. Fur den um die z-Achse rotationssymmetrischen Korper mit der konstanten

Dichte ρ, dessen Kontur durch die Gleichung z = r2

agegeben ist, berechne

man:

(a) den Ortsvektor xC zum Massenmittelpunkt,

(b) das Massentragheitsmoment um die z-Achse ΘCzz bzgl. des Schwerpunk-

tes.

Geg.: h, a, ρ

PSfrag replacements

z

r

C

h

55. Das skizzierte physikalische Pendel besteht aus einem dunnen Stab der Lange l mit derMasse m und einer punktformigen Endmasse M .

(a) Bestimme das Massentragheitsmoment bezuglich der Achse, die orthogonal zur Zei-chenebene durch den Aufhangepunkt A geht.

(b) Bestimme die Koordinaten des Schwerpunktes.

Geg.: l, m, M = 4m

PSfrag replacements

m

M

A

l

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 15Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

56. Betrachtet werden zwei Systeme I und II. Sy-stem I ist eine homogene, dunne Scheibe derMasse m. System II besteht aus vier Punkt-massen, die durch starre, masselose Stabe ver-bunden sind. Zeigen Sie, daß die SystemeI und II die gleichen Tragheitseigenschaftenbesitzen. Anmerkung: Im Englischen sprichtman in diesem Zusammenhang von equimo-mental systems.

PSfrag replacements

112m

112m

112m

34m

a

b

13b

13a

System I System II

57. Ein biegestarrer Rotor mit der Masse m und dem Tragheitstensor

Θ(P ) =

Jξ −Jξη −Jξζ

−Jξη Jη −Jηζ

−Jξζ −Jηζ Jζ

sitzt auf einer masselosen Welle. Das ξηζ-Koordinatensystem ist forperfest. Der Ursprung des Koordinaten-systems liegt auf der Drehachse im Punkt P. Die ζ-Achse weist in Richtung der Drehachse. Die Lage desRotorschwerpunktes S ist im korperfesten Koordinatensystem durch ξS 6= 0, ηS 6= 0 und ζS = 0 gegeben.

Die Welle ist uber ein Loslager in A und ein Festlager in B drehbar gelagert und wird durch ein konstantesDrehmoment M0 angetrieben.

PSfrag replacementsξ

ζP

A B

a b

M0

(a) Zeigen Sie, daß der Schwerpunktsatz die Form

−mωηS −mω2ξS = Aξ +Bξ

mωξS −mω2ηS = Aη +Bη

0 = Bζ

und der Drallsatz die Form

ω2Jηζ − ωJξζ = Aηa−Bηb

−ω2Jξζ − ωJηζ = −Aξa+Bξb

ωJζ = M0

annehmen. Alle Lagerkrafte sind positiv in positive Koordinatenrichtung angenommen.

(b) Bestimmen Sie nun die Lagerkrafte.

(c) Wie groß sind die Lagerkrafte, wenn der Rotor statisch und dynamisch ausgewuchtet ist?

58. Eine dunne, homogene Dreiecksscheibe der Masse m ist in A und B drehbar gelagert.Sie wird durch ein Moment M0 angetrieben.

Wie groß sind die Lagerreaktionen in A und B und wie groß ist die Winkelbeschleuni-gung?

Geg.: b, c, m, M0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

b

c

A

B

M0

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 16Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

59. Eine dunne, homogene Rechteckscheibe der Masse m ist in A und B dreh-bar gelagert; A ist ein Loslager, B ein Festlager. Die Scheibe wird durchein Moment M0 angetrieben. Zudem sind in der gleichen Ebene zwei mas-selose Stangen an der Scheibe befestigt.

(a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung der Rechteckscheibe?

(b) Wie groß sind die Lagerreaktionen in A und B?

(c) Ist es moglich, den Rotor durch Anbringen von Punktmassen aufden masselosen Stangen auszuwuchten? Wenn ja, in welchem Ab-stand von der Drehachse mussen welche Punktmassen angebrachtwerden?

Geg.: b, c, m, M0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

b

c

A

B

M0

60. Ein homogener Korper der Mas-se m ist auf einer masselosenWelle befestigt und in A und Bgelagert. Er wird durch ein An-triebsmoment MAN im Schwere-feld der Erde aus der Ruhe her-aus beschleunigt. S , S,

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

a

a

a

a

2a

2a

4a

4a4a

g

MAN

A

A

A

B

η η

ζζ ξ

ξ ω ω

Schnitt A-A

(a) Zeigen Sie, dass sich fur den auf den Schwerpunkt S bezogenen Massentragheitstensor des Korpers imangegebenen ξ − η − ζ−Koordinatensystems

Θ(s) =ma2

12

25 0 00 6 60 6 21

ergibt.

(b) Bestimmen Sie die Lagerkrafte in A und B wahrend des Beschleunigungsvorganges in Abhangigkeit vonω und ω.

(c) Wie groß ist ω?

Geg.: g, m, a, MAN

61. Der skizzierte Rotor, der sich imSchwerefeld der Erde befindet, be-steht aus den masselosen Stangen 1©,2©, und 3© sowie der massenbehafte-ten, homogenen, rechteckigen Schei-be 4© (Masse m). Er ist in B ge-genuber der Umgebung gelagert unddreht sich mit der konstanten Winkel-geschwindigkeit ω um die masseloseAchse AB. Das eingezeichnete ξ−η−ζ−Koordinatensystem ist korperfest,d.h. es dreht sich mit dem Rotor.Die Punktmassen m1 und m2 sindzunachst nicht montiert und mussennur in Aufgabenteil b) berucksichtigtwerden.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

α

α

α

2l

2l

2l

ll

g

m1m1

m2

m2

(m)

A

B

η

ζ

ξ1

ξ2

ξ

ξω

ω

Seitenansicht: Draufsicht:

1

2

2

3

3

4

4

(a) Bestimmen Sie samtliche Auflagerreaktionen in B!

Hinweis: B ist ein funfwertiges Lager!

(b) Wie groß mussen m1 und m2 sein, und an welcher Stelle ξ2 muß die Masse m2 auf der Stange 2© montiertwerden, damit der Rotor bezuglich der ζ−Achse statisch und dynamisch ausgewuchtet ist?

Hinweis: Die Stelle ξ1, an der die Masse m1 beim Auswuchten montiert werden muß, ist gegeben!

Geg.: l, m, g, α = 45o, ω =√

g

l, ξ1 = l.

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 17Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

dyn-ie

62. Zwei Personen mit den Massen m1 und m2 laufen auf einer Scheibe mit Mas-sentragheitsmoment ΘS langs zweier konzentrischer Kreise mit den Bahnge-schwindigkeiten v1 und v2. Die Scheibe ist dabei in Ruhe.

Mit welcher Winkelgeschwindigkeit rotiert die reibungsfrei und zentrisch gela-gerte Scheibe, wenn beide Personen plotzlich stehenbleiben?

Geg.: m1, m2, ΘS , r1, r2, v1, v2

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

S v1

v2

m1

m2

r1

r2

ΘS

63. Eine Kugel fliegt mit einer Geschwindigkeit v0. Zum Zeitpunkt t = t0zerplatzt sie in drei Teile. Alle Geschwindigkeitsvektoren liegen ineiner Ebene, deren Draufsicht anbei skizziert ist.

Geg.: m0, α = π6, β = π

2, v0, v1 = 2

√3v0, v2 = 4

3

√3v0, v3 = 8

3

√3v0

(a) Bestimmen Sie die Massen der drei Teile.

(b) Wieviel mechanische Energie hat das gesamte System beimZerplatzen insgesamt aufgenommen, wenn m0 = 6 g (sechsGramm) und v0 = 10m

s?

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

α

αβ

m0

m1

m2

m3 v0

v1

v2

v3

x

y

64. Eine Kugel (m2) stoßt mit der Geschwindigkeit v0 gegen einen frei be-weglichen ruhenden Klotz (m1, JS). Nach dem Stoß ist die Geschwin-digkeit der Kugel null.

(a) Wie groß sind die Winkelgeschwindigkeit ω des Klotzes und dieGeschwindigkeit seines Schwerpunkts vs,1 nach dem Stoß? (DerStoß kann nicht als ideal elastisch angenommen werden.)

(b) Berechnen Sie nun fur den Fall eines ideal elastischen Stoßes undJS = 1

2m1a

2 zusatzlich das Verhaltnis der Massen m1/m2!

Geg.: m1, m2, JS , a, v0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1, JS

m2

a

v0

65. Eine Masse m1 trifft mit einem elastischen Stoß auf ein Pendel (m2, ΘA2 , Schwer-

punkt S).

(a) Bestimme die Winkelgeschwindigkeit des Pendels nach dem Stoß. (zusatzlichgegeben: a)

(b) Bestimme die Lange a so, daß im Lager A keine Krafte infolge des Stoßesauftreten.

Geg.: m1, v1, m2, ΘA2 , s

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1

m2,ΘA2

as

v1

A

S

66. Eine sich mit v1 bewegende Kugel trifft auf eine sich mit v2 bewegende Un-terlage.

Ermittle die Winkelgeschwindigkeit Ω1 der Kugel nach dem elastischen Stoß.

Geg.: m1, m2, v1 = −v1en, v2 = v2et

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

v2

v1

m2

m1

r

et

en

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 18Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

67. Eine Kugel der Masse m und des Radius r trifft mit der Geschwindigkeitv unter einem Winkel α auf eine starre Platte.

Bestimme die Geschwindigkeiten v und ω sowie den Winkel β nach demStoß unter den folgenden vereinfachenden Annahmen:

(a) Der Stoß sei ideal elastisch (ohne Energieverlust).

(b) Die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand sei nachdem Stoß umgekehrt gleich der vor dem Stoß (elastischer Stoßin Normalenrichtung). Der Beruhrpunkt auf der Kugel habe nachdem Stoß eine Geschwindigkeitskomponente tangential zur Wand,die genau gleich der der Wand, also Null ist (plastischer Stoß intangentialer Richtung).

(c) Die Kugel gleitet an der Wand ohne Reibung.

Geg.: m, r, v, α

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0m

r

ω

α βv

v

68. Eine Kugel der Masse m2 stoßt mittig gegen einen ruhenden homogenen Wurfel mit der Dichte ρ, der an einemals masselos anzusehenden Stab befestigt ist.

(a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit des Wurfels unmit-telbar nach dem Aufprall. Der Stoß sei ideal elastisch, JS undm1 als bekannt anzunehmen.

Geg.: l, v0, JS, m1, m2

(b) Leiten Sie das Massentragheitsmoment JS des Wurfels umseinen Schwerpunkt aus der allgemeinen Formel fur das Mas-sentragheitsmoment eines beliebig geformten starren Korpersab.

Geg.: ρ, l

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

69. Zwei Kugeln treffen wie skizziert aufeinander. Der Stoß sei ideal elastisch, dieOberflachen der Kugeln haften dabei (

”rauhe“ Kugeln). Vor dem Stoß ist die

Masse m1 in Ruhe undm2 bewegt sich mit der Geschwindigkeit v2, beide Kugelndrehen sich nicht.

Berechnen Sie Geschwindigkeiten und Drehgeschwindigkeiten der Kugeln nachdem Stoß.

Geg.: m1, m2, v2, α = π6, r1, r2

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m2

m1

v2

α

r2

r1

70. Eine Masse m, die von einem Faden gehaltenwird, bewegt sich mit der Winkelgeschwindig-keit ω0 auf einer glatten Ebene mit dem Ab-stand r0 von einem Loch A. Die Masse hangtan einem Faden, der durch das Loch gefuhrt istund mit der Kraft S0 gehalten wird.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

A

m

r0

r0

S0

ω0

(a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω1, wenn der Faden so weit angezogen wird, dass sich die Masseanschließend im Abstand r1 bewegt?

(b) Wie andert sich hierbei die Fadenkraft?

71. Eine homogene gleichseitige Dreiecksscheibe der Dicke t stoßt mit der Spitze gegen eine ruhende Kugel.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

Hinweis: yo(x) =√

33x

x

y

√3

2l

l2

yo(x)

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 19Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

(a) Bestimmen Sie das Massentragheitsmoment der Scheibe um ihr Lager A!

(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel unmittelbar nach dem Stoß!

Geg.: l, t, ρ, m, ω0, v0 = 0

72. Eine Kugel der Masse m1 rollt aus der Hohe H herab gegen einen Kasten (Leermasse m2) und bleibt darinstecken. Durch den Aufprall rutscht der Kasten eine schiefe Ebene hinauf. Zu Beginn waren Kugel und Kastenin Ruhe.

(a) Berechnen Sie mit dem Energieerhaltungssatz dieGeschwindigkeit der Kugel beim Auftreffen aufden Kasten!

(b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Kastensmit der darin steckenden Kugel unmittelbar nachdem Aufprall (Vernachlassigen Sie das von derKugel auf den Kasten ubertragene Moment)!

(c) Berechnen Sie mit dem Arbeitssatz welche StreckeL der Kasten bis zum Stillstand zurucklegt!

Geg.: m1, JS = 25m1r

2, r, m2, H, α, µ, g,

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0 m1, JS

m2

µ

reines Rollen g

H

r

L

α

73. Eine dunne homogene Scheibe (Radius r, Masse m) ist im Punkt P frei drehbardurch ein Kugelgelenk gelagert. Im Punkt Q stoßt etwas senkrecht zur Scheibe (iny-Richtung) dagegen. Um welche Achse dreht sich die Scheibe unmittelbar nachdem Aufprall? Bearbeite dazu zunachst die folgenden Teilaufgaben!

(a) Berechne den Drehimpuls(-vektor) bezuglich P einer Punktmasse, die senk-recht zur Scheibenebene im Punkt Q gegen die Scheibe stoßt vor und nachdem Aufprall (Masse und Geschwindigkeiten seien gegeben).

(b) Berechne den Massentragheitsmomententensor der Scheibe bezuglich P.

(c) Die Drehung der Scheibe um eine beliebige durch P gehende Achse wirddurch den Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω charakterisiert. Berechne denDrehimpuls(-vektor) der Scheibe bezuglich P bei vorgegebenem ω.

Geg.: r, m

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0 rm

P

Q

x

y

z

74. Ein System, bestehend aus einem Balken und zwei Rollenan den Balkenenden, fuhrt eine ebene Bewegung aus. Be-kannt ist die waagerechte Geschwindigkeitskomponente vsx

des Balkenmittelpunktes und der Stellungswinkel β.

Bestimme die kinetische und potentielle Energie des Sy-stems!

Geg.: l, r1, r3, m1, J1 = m2r21, m2, J2 = 2

3ml2, m3, J3 =

m2r23 , vsx, β

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

75. Berechnen Sie an der Atwoodschen Fallmaschine vermittels des Energiesatzes die Geschwin-digkeit der zwei Massen in Abhangigkeit der Auslenkung.

Das Seil sei hierbei als masselos und dehnstarr anzusehen, die Scheibe als tragheitslos.

Gegeben: g, M, m.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

MM +m

76. Ein Korper der Masse m wird normal zum Schwerefeld der Erde um die Strecke dx bewegt.

Zeigen Sie, daß ausgehend vom Newtonschen Gesetz F = ma fur die kinetische Energie

T =1

2mv2

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 20Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

folgt, wenn fur die Arbeit dW = F dx gilt.

77. Eine Punktmasse m wird am Punkt A durcheine um ∆s gespannte Feder abgeschossen.Die Punktmasse lauft reibungsfrei von Auber B nach C. Ab dem Punkt C herrschtGleitreibung.

(a) Wie groß ist die Geschwindigkeit derPunktmasse im Punkt B und C?

(b) Wie lang ist der Bremsweg L?

Geg.: a, β = 30, c, g,H,m,µg = 0.6,∆s.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

A

B

CDµ = 0 µg

g

β a

4s

m

c

H

L

78. Zwei Massen sind uber eine Rolle miteinander verbunden.

(a) Wie groß darf der Haftreibbeiwert µ0 hochstens sein, damit sich dieMasse m2 nach unten in Bewegung setzt?

(b) Berechne unter Verwendung des Arbeitssatzes die Beschleunigung x2

der Masse m2.

(c) Nachdem die Masse m2 am Boden auftrifft, bewegt sich die Masse m1

weiter und kommt an ihrem hochsten Punkt zum Stillstand. WelchenWeg L legt sie dabei zuruck? Hinweis: Losung uber Arbeitssatz

Geg.: m1, m2, Θ, r1, r2, µ0, Gleitreibbeiwert µ, g, h, α

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1

m2α µ, µ0

r1

r2

h

Θ

g

79. Im nebenstehend skizzierten System tritt kein Schlupf auf, dieReibung wird vernachlassigt.

(a) Das Antriebsmoment sei M1 := −Ma. Bestimme mit demArbeitssatz die Geschwindigkeit z(z) der Masse m an je-der beliebigen Stelle z!

(b) Bestimme das Antriebsmoment Mb = −M1, bei dem dieMasse m maximal die Hohe zb erreicht!

Geg.: JS , m, r, c, Ma, zb, g, z(0) = z(0) = ϕ1(0) = ϕ2(0) =ϕ3(0) = 0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

80. Jemand mochte mit seinem Skateboard durch ein Looping fahren.

Man bestimme die Mindesthohe h, bei der der Skateboarder aus der Ruhestarten kann, damit er das Looping vollstandig durchlauft.

Der Skateboarder wird als Punktmasse der Masse m angenommen. Dissipa-tion (Energieverlust) tritt nicht auf.

Geg.: g, m, R.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0R

h

g

81. Auf einer rauhen schiefen Ebene mit dem Winkel α befindet sich eine Punktmassem im Erdschwerefeld. An ihr wirkt wie dargestellt eine Kraft F0, und zusatzlichwird sie von einem Wind mit v0 = konst. angeblasen.

(a) Stelle mit Hilfe des Arbeitssatzes die Bewegungsgleichung auf.

(b) Berechne die Kraft F0 die notig ist, damit sich die Masse m mit der kon-stanten Geschwindigkeit x = v0 bewegt.

Geg.: α, µ, m, g, k, v0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

α

xy

F0

v0

µ

g

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 21Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

82. Eine zylinderformige Walze (m2) schiebt einen Klotz (m1, Gleitreib-koeff. µ) auf einer schiefen Ebene vor sich her. Die Walze und derKlotz treffen auf eine Feder und drucken diese bis zum Maximalbe-trag f zusammen. Die schiefe Ebene besteht aus zwei unterschiedli-chen Materialien mit den Gleitreibkoeffizienten µ1 und µ2. Auf demersten Material rollt die Walze, auf dem zweiten Material gleitet sie.

Wie groß muß v0 sein, damit die Feder um die Lange f zusammen-gedruckt wird?

Geg.: l1, l2, f , α, µ1, µ2, r, m1, m2, c, g

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

A

B

α

v0

m1

m2

l1

l2f

c

µ1

µ2

r

g

83. Im skizzierten ebenen System soll die Reibung vernachlassigt werden. Das antreibende MomentM0 sei konstant,die Drehfeder bei ϕ(t=0) = 0 entspannt.

(a) Stellen Sie den Arbeitssatz fur das System aufzwischen dem Anfangszustand mit ϕ(t=0) =ϕ(t= 0) = 0 und einem beliebigen spaterenZustand, der durch den Winkel ϕ(t) charak-terisiert wird. Diese Gleichung soll außer ϕ(t)und ϕ(t) keine Unbekannten enthalten.

(b) Bestimmen Sie daraus die Winkelgeschwindig-keit ϕ(t1) in dem Moment t1, in dem dasStabende E gerade durch den Koordinatenur-sprung geht!

(c) Wie groß muß das Moment M0 mindestenssein, damit das Stabende E den Koordina-tenursprung uberhaupt erreicht.

Geg.: l, c, g, M0, m, JS

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

84. Ein Massepunkt der Masse m bewegt sich reibungsfrei auf der skizzier-ten Unterlage. Auf dem ebenen Teil der Bahn ist seine Geschwindigkeitv0.

(a) Bei welchem Winkel ϕ1 hebt die Masse von der Unterlage ab?

(b) Wie hoch mußte die Geschwindigkeit v0 mindestens sein, damitder Massepunkt bereits bei ϕ2 = 0 abhebt?

Gegeben: g, m, r, v0.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

r

m

v0

ϕ

g

85. Die Stange m1 gleitet ohne Reibung an der linken Wand ab. Zwischender Stange und dem Rad m2 wirkt das konstante Reibmoment MR.

Bestimme mit Hilfe des Arbeitssatzes die Geschwindigkeit des PunktesA zu dem Zeitpunkt, an dem die Stange genau waagerecht ist. Dabeisoll angenommen werden, daß A mit der Wand in Kontakt bleibt.

Geg.: r, L, g, m1, JS1 = 1

12m1L

2, m2, JS2 = 1

3m2r

2, MR = konst.,Anfangsbedingungen: ϕ(0) = π

6, ϕ(0) = 0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

86. Ein Klotz mit der Masse m gleitet auf der dar-gestellten Bahn von 0 uber A und B nach C undzuruck bis nach D. Im Punkt 0 habe er die Ge-schwindigkeit v0. Der Gleitreibungskoeffizient zwi-schen A und B sei µ, uberall sonst gleich Null. DerLuftwiderstand soll vernachlassigt werden. Bei Cist eine Feder (Federsteifigkeit k) befestigt. l ist derAbstand bis zum Anschlag bei entspannter Feder.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

gm

α β

µ

h0

h1

v0

b

0

A B

C

D

k

l

N.N.

Verwenden Sie den Arbeits- und/oder Energiesatz.

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 22Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

(a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten des Klotzes, wenn er die Punkte A und B das erste Mal passiert.

(b) Bestimmen Sie die maximale Auslenkung der Feder ∆s.

(c) Bis zu welcher Hohe h1 gleitet der Klotz zuruck?

Geg.: α, β, m, v0, h0, l, b, k, µ, g

87. Dargestellt ist eine einfache Sortiermaschine, die Guter mit Hilfeeiner reibungsbehafteten schiefen Ebene in erste und zweite Wahlaufteilt. Ein Arbeiter legt die Waren je nach Qualitat oberhalb bzw.unterhalb einer Markierung auf die Rampe. In welchem Abstand azum Ende der Rampe muß die Markierung angebracht werden?

Geg.: b, h, α, g, µ, m

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

α

bh

a

µ

g

88. Ein Pendel der Lange l und Masse m wird aus der Winkellage ϕ0 gegenuber derVertikalen losgelassen (1). Bei ϕ = 0 wird das Pendel im Punkt P umgelenkt.

Bestimme den maximalen Winkel ϕ bis zu dem das Pendel emporsteigt (3), wennOP = l/2 gilt!

Geg.: g, l, m, OP = l/2, ϕ0 = 45.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0l

0

ϕ0P g

1

2

3

89. Ein Segelflugschuler mochte seinen Fluglehrer beeindrucken und mitder hochstzulassigen Geschwindigkeit vne knapp uber den Boden glei-ten. In welcher Flughohe H muß er mit dem Manover beginnen, wenner vorher mit der Mindestgeschwindigkeit vmin fliegt?

(a) Vernachlassige den Luftwiderstand.

(b) Berucksichtige (als Abschatzung) eine konstante Widerstands-kraft FW auf einem geradlinigen Flugweg unter einem Winkelα zur Horizontalen.

m = 270kg, vmin = 60km/h, vne = 190km/h, FW = 400N, α = 45

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

FW

H

α

90. Ein Motorsegler (Abflugmasse m) habe bei eingeklapptem Trieb-werk ein Gleitverhaltnis von ε = 1:35, das heißt auf einer Gleit-strecke von 35 m verliert er bei konstanter Bahngeschwindigkeit1 m an Hohe.

Welche effektive Leistung Peff muß das Triebwerk erbringen, umden Motorsegler bei einer konstanten Geschwindigkeit v im Hori-zontalflug zu halten?

Geg.: m = 400kg, ε = 1:35, v = 108km/h

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

arctan(E)

Gleitflug ohne Motor

Flug mit Motor

91. Berechne unter Verwendung des Arbeitssatzes die Beschleunigung x2 derMasse m2.

Geg.: m1, m2, ΘC2 , d, D, µ

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1

m2,ΘC2

d

D

αµ

e1e3

92. Ein Turmspringer, idealisiert als Massenpunkt der Masse m, springt unter einem Winkel α mit der Geschwin-digkeit v0 von einem Sprungbrett ab, das sich in der Hohe H uber der Wasseroberflache des Sprungbeckensbefindet. Wahrend des Fluges wird dem Springer vom Gegenwind eine Kraft W = konst. aufgepragt.

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 23Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

(a) Stelle mit Hilfe des Energiesatzes die Bewegungsgleichung fur denMassenpunkt auf!

(b) Bestimme die Bahnkurve in der Form x = x(t) und y = y(t)!

(c) Berechne die Flugzeit te bis zum Erreichen der Wasseroberflache!

(d) An welcher Stelle xe = x(te) taucht die Masse ins Wasser ein, wennα = 0 war?

(e) Wie groß darf die Windkraft W hochstens sein, damit der Springerdas Becken gerade noch trifft?

Geg.: H, α, m, v0, W , Erdbeschleunigung g

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0α

v0

m1

g

H W

x

y

93. Ein Wagen (m2) schleppt einen Klotz (m1, Gleitreibkoeff. µ) auf ei-ner schiefen Ebene. Der Wagen selbst bewegt sich reibungsfrei, seineAnfangsgeschwindigkeit bei A ist v0. Bei B blockieren die Rader desWagens, der Gleitreibkoeffizient ist dann ebenfalls µ.

Wie groß muß v0 sein, damit die Feder um die Lange f zusammenge-druckt wird?

Geg.: l1, l2, µ, α, f , m1, m2, c, Erdbeschleunigung g

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

A

B

α

v0

m1 m

2

l1

l2f

c

µ

94. Ein Wagen mit der Masse m hat im Punkt A die GeschwindigkeitvA und rollt dann verlustfrei durch eine Senke. An der Stelle Csteht ein Rammbock mit der Federkonstanten c.

(a) Welche Geschwindigkeit hat der Wagen im Punkt B?

(b) Wie weit hat sich die Feder des Rammbocks im Punkt Czusammengedruckt, wenn der Wagen bei C zum Stillstandkommt?

Geg.: m, vA, c, h, Erdbeschleunigung g

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

A

B C

h

vA

c

95. Ein Guterwagen der Masse m rollt auf einen elasti-schen Prellbock (Federkonstante c) mit der Geschwin-digkeit v0 zu. Bei 1 werden die Rader durch Brem-sen blockiert (Gleiten!), bei 2 trifft der Wagen auf denPrellbock, dessen entspannte Feder die Lange a hat.

Um welche Strecke ∆x = a − x0 wird der Puffer biszum Stillstand des Wagens bei 3 zusammengedruckt?

Gegeben: a, c, m, µ, µ0, v0.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

x x0

v0

µ, µ0

a

5a

m

1 2 3

c

96. Beim Windenstart wird ein Segelflugzeug von ei-ner Seilwinde an einem langen Stahlseil in dieLuft gezogen. Das Flugzeug wird in einer Hoheh mit einer Geschwindigkeit v ausgeklinkt.

Berechne unter Vernachlassigung des Luftwider-stands die Energie, die notig ist, um ein Flugzeugder Masse m bei Windstille zu starten.

Geg.: H = 300m, m = 350kg, v = 108km/h

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

97. Ein Auto fahrt auf einer Straße in eine Kurve mit dem Radius R.Die Rader sollen mit der Straße den Haftreibkoeffizienten µ0 haben.Die Masse des Autos sei m, die Erdbeschleunigung g.

(a) Wie schnell kann das Auto in der Kurve fahren, ohne seitlichzu rutschen?

Geg.:R = 50m, µ0 =0,5 und g=9,81 ms2

.

(b) Das Auto fahrt in der Kurve mit der Geschwindigkeit v0.Plotzlich taucht ein Hindernis auf, das Auto bremst so, daßes gerade nicht rutscht. Stelle die Bewegungsdifferentialglei-chung mit den zugehorigen Randbedingungen auf!

Geg.: µ0, R, m, g, v0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

R

∆s

v0

Hindernis

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 24Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

98. Der Hokkaido-Express fahrt mit v = 400km/h nach Norden. Der Zugbefindet sich auf ψ = 45 nordlicher Breite. Ein einzelner Wagen wiegt6 Tonnen.

Welche seitliche Kraft ubt dieser Wagen auf die Schienen aus? In welcherRichtung wirkt das Kippmoment?

Zusatzlich geg.: Erdradius R = 6, 4 · 106m.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

ω

ψ

v

Nordpol

99. Am Aquator steigt warme Luft auf und an den Polen sinkt sie wieder ab. Inder Hohe stromt deshalb immer Luft vom Aquator zu den Polen. Dort entstehtdurch die Corioliskraft der sog. Jetstream, ein starker permanent vorhandenerHohenwind. In welche Richtung blast der Jetstream auf der Nordhalbkugel undin welche Richtung auf der Sudhalbkugel?

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

N

S

Erdrotation

Aquator

100. Ein LKW hat am hinteren Ende seiner Ladeflache eine Kiste ge-laden. An einer Kreuzung muß er eine Vollbremsung machen, allevier Rader rutschen. Auch die Kiste beginnt dabei, auf der La-deflache nach vorn zu rutschen und stoßt irgendwann vorne an.Die Masse der Kiste soll sehr klein sein gegenuber der Masse desLKW

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

(a) Welche Angaben brauchst Du, um die Beschleunigung des LKW bei der Vollbremsung zu bestimmen?

(b) Wie groß ist die Beschleunigung des LKW?

(c) Wie groß ist die durch diese Beschleunigung hervorgerufene Tragheitskraft auf die Kiste im mit dem LKWmitbewegten Bezugssystem?

(d) Welche Angaben brauchst Du, um die Bewegung der Kiste auf der Ladeflache zu beschreiben?

(e) Wann schlagt die Kiste vorne an?

101. Eine ringformige Raumstation dreht sich um sich selbst, um im Ring eine kunstliche Schwer-kraft zu erzeugen. Wie lange braucht die Station fur eine volle Drehung, wenn im Ring die

”normale“ Schwerkraft g=9,81 m

s2wirken soll? Der Durchmesser des Rings betrage D = 1km.

Wie schnell muß man sich in dem Ring bewegen, um schwerelos zu werden und in welcheRichtung?

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

102. Ein Stein klemmt im Profil eines Autoreifens. Um ihn herauszulosen, ware dieKraft FR erforderlich. Das Auto beschleunigt mit der konstanten Beschleuni-gung a. Der Raddurchmesser sei D, die Masse des Steins m. Zu Beginn stehtdas Rad auf dem Stein. Wann wird der Stein aus dem Rad herausgeschleudert?

Geg.: FR, D, a, m, ϕ(0) = 0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

Stein ϕ

a

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 25Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

103. Ein Passagierflugzeug fliegt eine Linkskurve. Der Betrag derGeschwindigkeit des Flugzeugs betragt v = konst., der Kur-venradius betragt R. Betrachtet werden soll eine Tasche inder Kabine des Flugzeugs mit der Masse m.

(a) Wie groß ist die”scheinbare Gewichtskraft“, also die

Kraft, die man benotigt, um die Tasche an ihrem Ortim Flugzeug festzuhalten?

(b) In welche Richtung lenkt die Corioliskraft die Tascheab, wenn sie losgelassen wird und nach

”unten“ fallt?

(c) Das Flugzeug fliegt mit 1000 km/h. Bestimme denQuerneigungswinkel des Flugzeugs und die

”scheinbare

Gewichtskraft“ einer 10 kg schweren Tasche bei einemKurvenradius von 10 km und bei einem Kurvenradiusvon 3 km.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

Tasche (m)

104. Ein Fahrrad lehnt in der U-Bahn an der Fahrerhausruckwand unter einemWinkel α zu dieser Wand. Wenn die U-Bahn losfahrt, wirkt neben derErdbeschleunigung g auch noch die Anfahrbeschleunigung a der U-Bahnals sogenannte Fuhrungskraft. Das Fahrrad hat die Masse m und die Hoheh. Der Schwerpunkt soll in der Mitte des Fahrrades angenommen werden.Die Breite des Lenkers betragt b. Ein Wagen der U-Bahn habe die MasseM .

Geg.: m, M , h, b, α, g (Hinweis: Nicht alle Angaben werden zur Losungder Aufgabe benotigt.)

(a) Wie groß ist die Fuhrungskraft in Fahrtrichtung, wenn die Beschleu-nigung der U-Bahn a = g/10 betragt?

(b) Wie groß muß der Neigungswinkel α des Fahrrades mindestens sein,damit es bei dieser Beschleunigung nicht umkippt?

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

α

a

h

105. Eine Masse m gleitet reibungsfrei in einem liegenden Rohr. DasRohr dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω umeine senkrecht stehende Achse. An einem als masselos anzusehen-den Seil wird mit einer Kraft S an der Masse gezogen und zwar inRichtung auf die Drehachse des Rohres.

Geg.: m, ω

(a) Berechne die Seilkraft S, die erforderlich ist, um die Massein einem bestimmten Abstand r von der Rotationsachse zuhalten. (Zusatzl. geg.: r)

(b) Bestimme die Bewegungsgleichung fur r(t), wenn die Seilkraftkonstant gehalten wird (S = S0). (Zusatzl. geg.: S0, r(0) = r0,r(0) = 0)

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

ω m

r

S

106. Eine Punktmassem wird von A aus durch eine mit ∆l vorgespannte Feder in die dargestellte Bahn A-E gestoßen.Zunachst durchlauft die Masse das gerade, reibungsfreie Stuck A-B. Dann durchquert sie die reibungsfreieSpiralwindung B-C (Radius r, Hohe h). Es folgt eine weitere gerade und reibungsfreie Strecke C-D, bis schließlichder reibungsbehaftete Abschnitt D-E (Reibkoeffizient µ, keine Uberhohung, sondern reibungsfreie seitlicheFuhrung) erreicht wird. Dabei handelt es sich um einen Halbkreis mit dem Radius r.

(a) Wie groß ist die Federsteifigkeitc der Feder in A zu wahlen, da-mit die Punktmasse in B die Ge-schwindigkeit vB =

√3πga er-

reicht?

(b) Wie groß ist dann die Geschwin-digkeit vE der Punktmasse in E?

(c) Berechnen Sie den von derKoordinate ϕ abhangigenUberhohungswinkel α(ϕ) derBahn in der Spirale, so dass diePunktmasse nicht aus der Bahngetragen wird. Die Koordinate ϕsei 0 im Punkt B.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

g

m

m

pp

c

r

r

F (t)

s

2R

α(ϕ)

A

B

CD

E

x

y

z

Schnitt durch die Bahn

Geg.: a, g, h = 3πa, m, r = 2a, ∆l =√

π3a, µ = 1

4.

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 26Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

107. Eine Punktmasse m bewegt sich vonA aus durch einen Halbkreis A-B mitdem Radius 2R und anschließend durcheinen Dreiviertelkreis-Looping B-E mitdem Radius R. Am Ende eines geradenUbergangstuckes E-H gleitet die Punktmas-se schließlich auf einen großeren Klotz derMasse M . Im Viertelkreis D-E wirkt derPunktmasse die Widerstandskraft FW (s)entgegen, der Rest der Bahn ist reibungsfrei.Zwischen der Punktmasse und dem Klotzherrscht Gleitreibung (µ), auf den Klotzwirkt zudem die Kraft F (t).

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

g

m

M

µ

R

F (t)

FW 2R

vA

AB

C

D

E

H

(a) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit vA =√

3gR betragen muß, damit die Punktmasse im hochsten PunktC des Loopings gerade noch nicht herunterfallt.

(b) Wie groß ist die Konstante k im Ausdruck fur die Widerstandskraft FW (s) zu wahlen, damit die Punkt-masse im Punkt H gerade die Geschwindigkeit vH =

√gR besitzt? Anmerkung: Die Koordinate s beginnt

bei D.

(c) Berechnen Sie mit vH aus (b) die Geschwindigkeit vM des Klotzes, wenn die Punktmasse auf dem Klotzzur Ruhe gekommen ist. Die Zeitzahlung beginnt, wenn die Punktmasse in H auf den Klotz gleitet.

Geg.: g, m, M = 12m, F (t) = 1

8m

g3

Rt, R, FW (s) = 4 km

π2 s, µ = 14.

108. Das dargestellte System bestehtaus einer Punktmasse m, die aufeinem Klotz 1 der Masse M1

liegt. Zwischen der Punktmasseund Klotz 1 wirkt der Gleitrei-bungskoeffizient µ, die Unterla-ge sei reibungsfrei. Klotz 1 istuber ein undehnbares masslosesSeil und eine masselose Rolle miteinem weiteren Klotz 2 der MasseM2 verbunden. Das System wirdzum Zeitpunkt t = 0 aus der Ruheheraus losgelassen und setzt sichin Bewegung. Nach der Zeit t∗

schlagt der Klotz 2 auf den Bodenauf.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

µ m

h

g

M1

M2Klotz 1Klotz 2

Punktmasse

reibungsfrei

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Impulssatzes die Geschwindigkeit v∗m der Punktmasse und v∗M des Klotzes 1zum Zeitpunkt t∗, an dem Klotz 2 auf den Boden aufprallt.

(b) Bestimmen Sie die gemeinsame Endgeschwindigkeit vEnd von Klotz 1 und Punktmasse, nachdem diePunktmasse relativ zu Klotz 1 wieder zum Stehen gekommen ist.

(Rechnen Sie mit v∗m = 25

√2gh und v∗M = 1

2

√2gh).

(c) Zeichnen Sie den Verlauf der Impulse von Punktmasse und Klotz 1 in ein Diagramm ein.

Geg.: g, m, M1 = M2 = 25m, µ = 1

5, t∗ = 2

2hg

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 27Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

3 Schwingungen

109. Ein homogener Stab der Masse m ist wie skizziert gelagert. DieMasse des Verbindungselementes zwischen den Drehfedern seivernachlassigbar klein.

(a) Stelle die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems auf!

(b) Berechne die Eigenkreisfrequenz ω fur kleine Auslenkun-gen!

(c) Gib die Losung der DGL (bei kleinen Auslenkungen) furdie Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = 0 und ϕ(t = 0) = Ω0

an!

Geg.: cd, cf , m, a, l, Ω0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0a

l

r

cd

2

cd

2

cf

m

110. Berechne die Eigenkreisfrequenzen der folgenden Systeme!

(a)

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

c1

c2

m

(b)

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

c1

c2

m

(c)

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

cm, JS

a

α

(d) !"##$ %%& '( )*++,,

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0c1 c2

c3

m

(e)

-.-/./0.01.12.23.34.45.56.67.78.88.89.99.9

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

EIm

l

111. Die dargestellte homogene Kreisscheibe rollt ohne Schlupf. Be-rechne die Eigenkreisfrequenz des Systems fur kleine Auslenkun-gen.

Geg.: c1 = c2 = c, c3 = c2, c4 = 3c, m, a, ΘS = 1

2ma2,

:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.::.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.::.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.::.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.::.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.::.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.::.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:

;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;.;

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

c1c2

c3

c4m

a

112. Der dargestellte Stab pendelt unter dem Einfluß der Schwerkraft.

(a) Stelle die Bewegungsdifferentialgleichung auf!

(b) Fur kleine Auslenkungen kann das Problem linearisiert werden. Gib die ent-sprechende Differentialgleichung an!

(c) Lose diese Differentialgleichung mit den Anfangsbedingungenϕ(t = 0) = ϕ0 und ϕ(t = 0) = 0 !

(d) Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des Systems?

Geg.: g, m, l, JS = 112ml2

<.<=.=>.>[email protected] DEFGPSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

g

l

ϕ

m, JS

113. Ermittle fur das skizzierte System bei kleinen Aus-schlagen

(a) die Bewegungsdifferentialgleichung,

(b) die Eigenfrequenz des schwach gedampften unddes ungedampften Systems.

Geg.: a, l, c1, c2, c3, r, m, JS

HIJK LMNOP.PQ R.RS.S

T.TU.UV.VV.VW.WW.WX.XY.YZ.Z[.[

\.\].]^.^^.^_.__._`.``.`a.aa.a

b.bc.c

def.fghi jk

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0a a

ll

SO

m, JS

c1

c2

c3

r

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 28Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

114. Das skizzierte System wird durch das Moment M(t) zumSchwingen angeregt. Der Stromungswiderstand der Kugel istproportional zur Geschwindigkeit mit dem Widerstandskoeffi-zienten k. Alle anderen Widerstande, die Masse der Umlen-krolle sowie der hydrostatische Auftrieb der Kugel sollen ver-nachlassigt werden. Die nicht dehnbaren Seile bleiben immergespannt. Die Feder ist bei x = 0 entspannt.

(a) Berechnen Sie die statische Ruhelage xstat fur den FallM(t) = 0!

(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung umdie statische Ruhelage (in der Variable x = x− xstat).

(c) Bestimmen sie die Amplitude und den Phasenwinkel derstationaren Schwingung!

Geg.: m1, m2, JS1 , M(t) = M0 cos Ωt, M0, Ω, g, c, k

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1, JS1

m2

M(t)

x

y

S

gc

k

r

R

reines Rollen

115. Ein masseloser Balken (Lange l, Biegesteifigkeit EI) istbei A gelenkig gelagert und bei B in eine Hulse gesteckt,die dem Balken dort eine horizontale Tangente aufzwingt.Die Hulse (Masse m) kann auf einer starren Stange in ver-tikaler Richtung reibungsfrei gleiten. Der Balken schwingtausschließlich in Querrichtung.

(a) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung furdie vertikale Bewegung der Masse m?

(b) Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz ω?

Geg.: EI, l, m

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

x

wEI

l

m

glatt, starr

A B

116. Ein eingespannter, masseloser Stab mit kreisformigem Quer-schnitt tragt an seinem Ende eine Einzelmasse. GeeigneteAnfangsbedingungen lassen den Stab um seine Langsachseschwingen.

(a) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung fur dieDrehbewegung der Endmasse auf.

(b) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω.

Geg.: l, m, G, Ip, A

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

G, Ip, A

m

r

ϑ

x

yz

l

117. Ein gefederter und gedampfter einachsiger Anhanger rollt mit konstan-ter Geschwindigkeit v durch sinusformige Bodenwellen mit der Wel-lenlange l und der Amplitude z0. Untersuche fur den stationaren Zu-stand den Einfluß der Parameter z0, v, m, c und r auf die AmplitudeA und die Phasenverschiebung α der Schwingung und die AchskraftW !

Geg.: l, z0, v, m, c, r

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0 vz

r c2

c2

z0

l/4

x

m

118. Ein schwach gedampftes schwingungsfahiges System wird durch M(t) =M0 sinλt angeregt. In der skizzierten Stellung ist die Feder gerade span-nungsfrei.

(a) Bestimme die Bewegungsdifferentialgleichung fur kleine Auslen-kungen ϕ!

(b) Gib die allgemeine Losung der Differentialgleichung an und passediese folgenden Anfangsbedingungen an:

ϕ(t = 0) =m2g

caund ϕ(t = 0) = 0

(c) Wie groß sind Amplitude und Phasenwinkel im eingeschwungenenZustand?

Geg.: a, b, c, r, M0, λ, m1, JS , m2

!! ""#$$%% &'()

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0 a

rc

m1, JS

m2

M(t)

119. Die partikulare Losung einer Schwingungsdifferentialgleichung stellt den eingeschwungenen, stationaren Zu-stand des zwangserregten Systems dar. Berechne die stationaren Losungen der folgenden Schwingungsdifferen-

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 29Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

tialgleichungen und stelle sie in der Form A cos(ωt+ϕ) dar, wobei A die (reelle) Schwingungsamplitude und ϕdie Phasenverschiebung darstellt.

(a) y + γy + ω20y = F cos Ωt

(b) y + γy + ω20y = F sin Ωt

(c) y + γy + ω20y = F1 cos Ω1t+ F2 sin Ω2t

120. An einer homogenen Kreisscheibe greift wie skizziert eine harmo-nische Erregerkraft S(t) an.

x(t) beschreibt die Auslenkung aus der statischen Ruhelage. Be-rechne den stationaren (eingeschwungenen) Zustand des Systems(Amplitude und Phasenlage) bei kleinen Auslenkungen.

Geg.: S(t) = S0 cos Ωt, m, c, k, a

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

α

a

m

xS(t)

c

k

reines Rollen

121. Bei fremderregten Schwingern hangt die zu erwartende Amplitudeder Systemantwort bei gegebenen Parametern des Schwingers vonder Erregerfrequenz ab. Diese Abhangigkeit wird haufig uber einesogenannte Vergroßerungsfunktion V ausgedruckt, die im folgende-nen fur den abgebildten Einmassenschwinger hergeleitet werden soll.Die Dampfung sei so gering, daß es tatsachlich zu Schwingungenkommt.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

x

k

d m

F cos Ωt

(a) Zeigen Sie, daß die Schwingungen des abgebildeten Einmassenschwingers durch die Differentialgleichung

mx+ dx+ kx = F cos Ωt (1)

beschrieben werden.

(b) Leiten Sie die dimensionslose Formξ′′ + 2Dξ′ + ξ = cos ητ (2)

der Differentialgleichung (1) her. Welche Beziehungen gelten zwischen x und ξ sowie zwischen t und τ?

(c) Bestimmen Sie mittels (2) die Vergroßerungsfunktion V , die als Quotient aus Amplitude im eingeschwun-genen Zustand und statischer Absenkung unter der Wirkung der Kraft F definiert sein soll.

122. Das skizzierte System wird durch das Moment M(t) zumSchwingen angeregt. Die nicht dehnbaren Seile bleiben immergespannt.

(a) Schneiden Sie die Masse m frei! (Skizze)

(b) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung in derSchwerpunktskoordinate x!

(c) Bestimmen sie die Amplitude und den Phasenwinkel derstationaren Schwingung!

Geg.: m, JS , M(t) = M0 cos Ωt, M0, Ω, g, c, k

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0 m, JS

M(t)

xS

c

c

k

r

R

reines Rollen

123. Das skizzierte System wird von einem im Massenmittelpunkt S an-greifenden Moment angetrieben. Nach einer Einschwingphase stelltsich ein stationarer Zustand mit kleinen Ausschlagen ein. (Gravitati-on spielt keine Rolle.)

(a) Bestimmen Sie die lineare Bewegungsdifferentialgleichung!

(b) Wie groß ist die Kreisfrequenz der freien gedampften Schwin-gung?

(c) Bestimmen Sie die Amplitude und den Phasenwinkel der sta-tionaren Schwingung!

Geg.: a, r, c, m, JS = 2ma2, M(t) = M0 cos Ωt

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 30Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

124. Eine Maschine der Gesamtmasse M sei wie skizziert gegen dasFundament gelagert. Im Innern rotiert eine Punktmasse m an ei-nem Hebel der Lange a mit Ω = const.. Die Feder sei fur x = 0spannungsfrei, die Fuhrung reibungsfrei.

Bestimme die Bewegungsgleichung, Amplitude und Phasenlage derSchwingung und den Verlauf x(t)!

Geg.: M , m, c, d, a, Ω, x(0) = 0, x(0) = 0

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0m

M

Ωt

c

d

x

a

125. Das Ventil eines 4-Takt-Motors wird durch den mitΩ = ϕN rotierenden Nocken in eine harmonische Bewe-gung u(t) versetzt und dabei durch die massebehafteteVentilfeder (Konstante cF ) gegen den Nocken gedruckt.

Fur eine naherungsweise Berechnung der Schwingungender Ventilfeder wird ein Ersatzsystem aus zwei idealenFedern c∗ und einer Masse m∗ = 1

3mF gebildet.

(a) Bestimme u(t) und ein geeignetes c∗!

(b) Berechne die Bewegung x(t) der Ersatzmasse m∗

fur den stationaren (eingeschwungenen) Fall.

Geg.: a, cF , mF , ϕN , m∗ = 13mF

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

Ersatzsystemfur cF , mF :

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

u(t)

x(t)

c∗c∗

m∗

126. Das skizzierte System besteht aus zwei Zahnscheiben,zwei Federn und einem Dampfer und wird von der os-zillierenden Kraft F (t) angetrieben. Die Federn sind inder skizzierten Lage entspannt.

(a) Bestimme die lineare Bewegungsdifferentialglei-chung!

(b) Bestimme die Kreisfrequenz der freien gedampftenSchwingung!

(c) Bestimme die Amplitude und den Phasenwinkelder stationaren Schwingung!

Geg.: a, b, r, c, m, JS , F (t) = F0 cos Ωt, F0, Ω

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

127. Das skizzierte System (homogene Kreisscheibe M , Js, mas-selose Umlenkrolle, ideales Seil, Masse m, lineare Feder c,linearer Dampfer k) erfahrt eine Fußpunkterregung u(t) =u cos Ωt.

(a) Wieviele Freiheitsgrade hat das System?

(b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung fur die Bewegungdes Scheibenschwerpunktes auf.

(c) Berechnen Sie die Losung im eingeschwungenen Zu-stand.

(d) Wie kann man die Seilkraft berechnen?

Geg.: M , m, Js = 12Mr2, c, k, r, u, Ω, g

M, Js

m

r

c

k

u( )t

g

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

reines Rollen

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 31Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

128. Die Vertikalschwingungen eines Automobils konnen durch das ge-zeichnete Ersatzmodell beschrieben werden. Durch die Koordina-ten y10, y20 ist die Ruhelage des Systems gekennzeichnet.

(a) Bestimme die Bewegungsdifferentialgleichung(en) des Sy-stems!

(b) Wie lautet die charakteristische Gleichung?

(c) Welche Eigenwerte (Eigenkreisfrequenzen) hat das Systemohne Dampfung (k=0)?

Geg.: m1 = 600kg, m2 = 40kg, c1 = 150N/cm, c2 = 1600N/cm

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1

m2

c1

c2

k

y

y10

y20

y1

y2

Fahrzeug-aufbau

Dampfung,Federung

Achsen,Rader

Reifen-federung

129. Ein starrer Stab ist auf zwei Federn und einem Dampferelement gela-gert. Es sollen kleine Auschlage ausschließlich in senkrechter Richtungund schwache Dampfung angenommen werden. Die Gravitation wirdvernachlassigt.

Berechne die Eigenfrequenzen und Eigenformen des Systems!

Geg.: l, c, k, m, JS = ml2 !!"" #$ %&''())** +,--. /0 12

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m, JS S

cc k

l l

x1 x2

130. (a) Fur das skizzierte System stelle man dasBewegungsdifferentialgleichungssystem auf undschreibe es auf Matrizenform um. Es sollenvon vornherein kleine Auslenkungen angenom-men werden.

(b) Man berechne die Eigenkreisfrequenzen und diedazugehorigen Eigenformen des Systems.

Geg.: c1 = 14c , c2 = c3 = c , m1 = 2

3m, m2 =

m, ΘS = 12m1r

2, r

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

131. Das skizzierte System schwingt mit kleinen Auslenkun-gen. Die Feder und der Pendelstab sind masselos. DieLange der entspannten Feder ist l0.

(a) Stelle die Schwingungsdifferentialgleichung (in Ma-trixschreibweise, ohne die Spezialisierung in Teil b)auf!

(b) Bestimme die Eigenkreisfrequenzen als Funktionvon c und m fur folgenden Spezialfall: m1 = m

33,

m2 = m, Θ1 = 166mr2, Θ2 = 1

2mr2, l = 2r, c = mg

33r

Geg.:m1, m2, Θ1, Θ2, l, r, c, g, l0 333333333333333333333333444444444444444444444444

5567789:;;<==>?@

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1,Θ1

m2,Θ2

c

l

l

l0

Ψ

ϕ

xg

r

132. Eine starre Rechteckplatte ist federnd in ihren Ecken gelagert. Berechnedie Eigenkreisfrequenzen und -formen.

Berucksichtige dabei nur kleine Ausschlage senkrecht zur Plattenebene!

Geg.: a, b, c, m

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

133. Im skizzierten System soll die Reibung vernachlassigt werden.

(a) Stelle die Bewegungsdifferentialgleichungen auf!

(b) Bestimme die Eigenfrequenzen und Eigenformen der Schwin-gung und gib die allgemeine Losung der Schwingungsdifferen-tialgleichung an!

Geg.: c1 = 2c, c2 = c, m1 = 2m, m2 = m AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

m1 m2

c1 c2

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 32Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

134. Im skizzierten schwingungsfahigen System soll die Reibungvernachlassigt werden.

(a) Schneiden Sie die einzelnen Massen frei und stellenSie das Bewegungsdifferentialgleichungssystem auf!

(b) Stellen Sie die charakteristische Gleichung auf!

(c) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und dazu-gehorigen Eigenformen des Systems!

Geg.: m, c

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

12c

12c

cc

m

m

135. Untersucht werden soll das skizzierte System bei kleinen Ausschlagen.

(a) Stellen Sie das lineare Bewegungsdifferentialgleichungssystemauf!

(b) Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und die zugehorigen Ei-genschwingungsmoden!

Geg.: m, L, JS = 112ml2, k, g

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

l

l

g

m, JS

m, JS

ϕ

ψ

k

136. Zwei masselose Stangen der Lange l und zwei identische Punktmas-sen m bilden wie abgebildet ein Doppelpendel. Untersucht werdenSchwingungen mit kleinen Auslenkungen um die stabile Ruhelage.Ausschlage großer als 2 fuhren zu einem Versagen des Systems. Aufdie obere Stange wirkt ein periodisch veranderliches Moment M(t).

(a) Kommt es zum Versagen des mechanischen Systems? Be-grunden Sie Ihre Entscheidung mit geeigneten Berechnungen.

(b) Als konstruktive Anderung wird vorgeschlagen, einen visko-ser Drehdampfer in das mechanische System einzubauen. Woist dieser Dampfer zu plazieren? Begrunden Sie Ihre Entschei-dung.

Geg.: l, m, g, M(t) = M sin(Ωt), Ω =

(2+√

2)gl

, M

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

l

l

m

m

g

M(t) = M sin(Ωt)

137. Bestimmen Sie fur das dargestellte System

(a) die Bewegungsdifferentialgleichungen,

(b) die Eigenkreisfrequenzen,

(c) die Bewegungen der beiden Massen fur den eingeschwungenen Zustand,

(d) diejenige Erregerfrequenz, bei der die Masse m in Ruhe bleibt,

(e) die kritischen Erregerfrequenzen und

(f) die Vergroßerungsfunktionen!

Gegeben: m, M , c1, c2, r, P (t) = P0

2cos Ωt

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

x

M

m

r

P (t)P (t)

c1

c2

ϕ

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 33Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

138. Zwei masselose elastische Balken (Biegesteifigkeit EI) sind zu einemrechtwinkligen Trager zusammengeschweißt. Der Trager ist an einem En-de fest eingespannt und tragt am anderen Ende eine Punktmasse m.Untersucht werden Schwingungen mit kleinen Auslenkungen u und v.Am Punkt B wirkt auf den Trager ein periodisch veranderliches MomentM(t).

(a) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen, die kleineSchwingungen des Systems beschreiben.

(b) Wie lauten die Eigenfrequenzen des Systems?

(c) Berechnen Sie die Losung im eingeschwungenen Zustand fur denFall, daß die Erregerfrequenz Ω nicht eine der Eigenfrequenzen ist.

Geg.: l, m, g, M(t) = M sin(Ωt), M

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

l

2l

mg

M(t)

u

v

x

yA

B

C

139. Im Betrieb liegengebliebene U-Bahnzuge wer-den in der Regel mit betrieblichen Mitteln, d. h.durch den nachstfolgenden Zug von der Streckegeschoben. Wenn beim Abschieben plotzlich dieNotbremse ausgelost wird, kann es zu hohen dy-namischen Kraften in den Kupplungen und so-gar zum Abriss der Kupplungen kommen.

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

Fe(t)

U-BahnU-Bahn

x

1 2

Fur ein erstes Studium der Langsdynamik soll ein sehr stark vereinfachtes Modell zweier U-Bahnen betrachtetwerden. Die U-Bahnen seien in sich starr (Zugmasse m) und durch eine lineare Kupplung (Federsteifigkeit k)verbunden. Auf den linken Wagen 1 wirkt die Antriebs- bzw. Bremskraft Fe, auf den defekten rechten Wagen2 wirkt nur die Kupplungskraft Fk. Der Zugverband fahrt nach rechts (positive x-Richtung).

Die maximale Kupplungskraft soll fur den Fall berechnet werden, daß die außere Kraft sich sprungartig vonFe > 0 (Beschleunigen) zu −Fe < 0 (Bremsen) andert.

(a) Zeigen Sie, daß zur Bestimmung der maximalen Kupplungskraft die Betrachtung eines Einmassenschwin-gers genugt.

(b) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung fur den Einmassenschwinger auf. Wie groß ist die Eigen-kreisfrequenz?

(c) Losen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung fur die angegebene Anregung und bestimmen Sie die maxi-male Kupplungskraft.

140. Ein federnd gelagerter Rotor mit der Masse m1 tragt am Radiusr eine Unwucht der Masse m0. Durch ein zweites Federpaar isteine weitere Masse m2 mit dem Rotor verbunden.

(a) Die Bewegung soll um die statische Ruhelage beschriebenwerden. Die Koordinaten x1 und x2 sollen die Lage derMassen in Bezug auf die (bzw. abgemessen von der) stati-sche(n) Ruhelage angeben. Wie groß sind die Federkraftein der statischen Ruhelage?

(b) Stelle fur Ω = konst. die Bewegungsgleichungen des Sy-stems auf!

(c) Berechne die Eigenkreisfrequenzen des Systems!

(d) Bei welcher Winkelgeschwindigkeit bleibt der Rotor m1

in Ruhe (x1(t) ≡ 0)?

Geg.: m0, m1, m2, c1, c2, r, Ω, g

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

r

m2

m1

m0

c12

c12

c22

c22

Ωt

g

x2

x1

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 34Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

4 Haften

141. Man berechne fur die eingezeichnete Anordnung dieGrenzen des Winkels α, bei denen das System geradenoch nicht rutscht. Die Haftreibkoeffizienten seien zwi-schen der schiefen Ebene und dem Korper 2 µ2 = 0, 2bzw. zwischen den Korpern 2 und 3 µ1 = 0, 3.

Geg.: G1 = G, G2 = G, G3 = 2G, µ1 = 0, 3, µ2 = 0, 2

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

G1

G2

G3

g

α

142. Der gelenkig gelagerte homogene Quader (Masse m, Kan-tenlange L) druckt einen homogenen Kreiszylinder (Massem, Radius r) gegen eine vertikale Wand. Wie groß muß hsein, damit der Kreiszylinder nicht nach unten rutscht?

Geg.: µ1 = 0, 4, µ2 = 0, 2, m, g, L, r

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

g

S1

h

L

L

µ1

µ2

143. Das abgebildete System besteht aus zwei identischen Balken, die in C gelenkig miteinander verbunden sind.Balken AC ist in A gelagert; Balken CE stutzt sich an einem Ende auf einer rauhen Unterlage (Haftreibwertµ) ab. Vom Punkt D aus ist ein Seil uber Rollen in B und C gespannt, das durch die Gewichtskraft G belastetwird. Die Rollen seien reibungsfrei und von vernachlassigbar kleinem Durchmesser. Die Balken seien masselos.

(a) Bestimmen Sie die Große der in E wirkenden Haft-kraft H in Abhangigkeit des Winkels α. SkizzierenSie den Verlauf fur das Intervall 0 ≤ α ≤ 90 un-ter Angabe charakteristischer Werte.

(b) Fur welche Winkel αk ist das System auch ohneHaftung im Gleichgewicht?

(c) Welchen Wert µerf muß der Haftreibwertuberschreiten, damit das System fur alle Winkel30 ≤ α ≤ 60 nicht zu rutschen beginnt?

Geg.: G, l

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

G

A

B

C

D

E

l

lg

µα

144. Zwei Klotze (Gewichtskrafte G1 und G2) sind durch eine starre Stange Smiteinander verbunden und werden wie dargestellt auf eine schiefe undeine flache Ebene gelegt (Reibwert µH).

(a) Wie groß darf (fur α ≤ 45) das Verhaltnis G1/G2 werden, so dassdie Klotze noch haften?

(b) Wie groß darf G1/G2 fur den Spezialfall α = 45 und µH = 0, 5werden?

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

µH

µH

S

G1

G2

α

145. Ein Stab wird durch eine reibungsfreie Fuhrung gesteckt und an einerWand so abgestutzt, dass in ihn eine Kraft F eingeleitet werden kann.

(a) In welchem Abstand d von der Wand muss F angreifen, wennfur die Haftreibung zwischen Wand und Stab µH = 0, 2 gilt?Bestimme d fur den Spezialfall l = 1m und α = 30!

(b) Wie groß ware d fur eine glatte Wand? Berechne d auch hier furden Spezialfall!

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

α

ABA

l

F

µ

d

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 35Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

5 Weitere Aufgaben

146. Zwei Massen M und m, mit den Reibungskoeffizientenµ1 bzw. µ2 gegenuber der rauen Unterlage, sind durcheinen masselosen starren Stab verbunden und gleiten ei-ne schiefe Ebene hinab. An der Masse m greift zusatzlichnoch eine Kraft P an.

Geg.: M , m, P , g, µ1, µ2, α

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0M

m

gS

P

x

y

α

(a) Bestimmen Sie die Stabkraft S !

(b) Wie groß ist die Beschleunigung des Systems?

(c) Wie groß ist die Geschwindigkeit in Abhangigkeit vom zuruckgelegten Weg, wenn die Kraft P = 0, dieReibungskoeffizienten µ1 = µ2 = µ sind und die Massen mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 hinabgestoßenwurden?

(d) Nach welcher Strecke kommen die Massen zur Ruhe? Unter welchen Umstanden ist dies moglich?

147. Eine Masse m soll mit einem Stabzweischlag wie abgebildet gelagert wer-den. Beide Stabe bestehen aus dem gleichen Werkstoff (E-Modul E) undhaben die gleiche konstante Querschnittsflache A. Die Masse der Stabesei gegenuber der Masse m vernachlassigbar.

Fur die folgenden Untersuchungen seien kleine Auslenkungen der Massevorausgesetzt.

(a) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichungen fur die Bewegungder Masse m auf. Schreiben Sie die Gleichungen auch in Matrix-form.

(b) Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen des Systems.

Geg.: F , a, E, A

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0ex

ey

m a

α

F

A

B C2

1

148. Eine Holzkugel der Masse m wird aus der Hohe h0 uber einer festen Unterlage aus dem gleichen Holz losgelassen.Die Kugel erreicht beim Ruckprall die geringere Hohe h1.

Die Aufgabe ist in folgenden Schritten zu bearbeiten.

(a) Leiten Sie zunachst die Formel

e = − v1 − v2v1 − v2

fur den zentrischen, teilelastischen Stoß zweier Korper her. Erklaren Sie alle Formelzeichen.

(b) Nun soll das eingangs beschriebene Problem bearbeitet werden. Die Hohen h0 und h1 wurden gemessen.Berechnen Sie daraus die Stoßzahl e.

(c) Geben Sie eine rekursive und eine explizite Formel zur Berechnung der Ruckprallhohe hi nach dem itenStoß an.

149. Eine dunne Scheibe (Masse m, Radius R) rotiert mit konstanter Win-kelgeschwindigkeit ω2 um die horizontale Achse AB. Zudem rotiert dasSystem um die vertikale Achse OA mit ebenfalls konstanter Winkelge-schwindigkeit ω1.

Bestimmen Sie die Kraft S im Seil CD unter der Annahme, daß dieMasse der Scheibe deutlich großer ist als die Massen der anderen Teile.

Geg.: m = 35 kg, R = 0,5 m, ω2 = 15 s−1, ω1 = 8 s−1, a = 1 m,b = 0,75 m

PSfrag replacements

ξζ

PABab

M0

AB

C

D

R

a

b

g

O

ω1

ω2

45o

Mechanik 2 Prof. Popov SS 04 Seite 36Version 24. Juni 2004Kinematik und Kinetik

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen Kinematik 1

2 Grundlagen Kinetik 8

3 Schwingungen 27

4 Haften 34

5 Weitere Aufgaben 35