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Magnettechnik für Teilchenbeschleuniger

Grundlagen der Magnetostatik• Maxwellgleichungen• Koordinatensystem im Beschleuniger• Potentialfunktion• Laplacegleichung• Berechnung von Magnetfeldern

Quadrupolemagnete

Vektorpotential

Stromverteilung für Supraleitende Magnete• cos-teta Stomverteilung

2

Magnetostatik

Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet

]m/A[H

]m

sV[ oder ]Tesla[ 2

BB

AmVs

104 mit 700

HB

Magnetfeld gemessen in A/m

Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig:

In einem isotropen Material mit der Permeabilität gilt :

HB

0

Im allgemeinen ist etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist in der Grössenordung von einigen tausend.

3

Maxwellgleichungen

tik)Magnetosta der tz(Grundgese

0 Gesetz ches4.Maxwells

hteLadungsdic mC mit

tik)Elektrosta der tz(Grundgese

Gesetz ches3.Maxwells

sgesetz)(Induktion

t Gesetz ches2.Maxwells

ung Verschiebchedielektris mC und eStromdichtmAj mit

tj :Gesetz esMaxwellsch 1.

3el

el

22

BdivB

DdivD

BErotE

D

DHrotH

]/[

]/[]/[

4

Maxwellgleichungen im Vakuum

Es wird für das Vakuum angenommmen:

• kein elektrischer Strom (keine Leiter für Elektronen)

• keine Magnetisierung (kein magnetisches Material)

• keine dielektrische Verschiebung

und daher gilt:

EHrotH

t

0

0 BdivB

0M

1.Maxwellsches Gesetz

2.Maxwellsches Gesetz

3. Maxwellsches Gesetz

4. Maxwellsches Gesetz

0j

BErotE

t

0 EdivE

ED

0

HB

0

5

Maxwellgleichungen für Magnetostatik - zeitlich konstant

j

HrotH

0 BdivB

1. Maxwellsches Gesetz

2. Maxwellsches Gesetz

(Induktionsgesetz)

3. Maxwellsches Gesetz

(Grundgesetz der Elektrostatik)

4. Maxwellsches Gesetz

(Grundgesetz der Magnetostatik)

0 ErotE

eld DivD

6

Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum

0 HrotH

0 BdivB

aus dem 1. Maxwellsches Gesetz

0 B

aus dem 4. Maxwellsches Gesetz

j

HrotH

Ausserdem gilt mit : HB

0

7

Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers

)dy

ddx

d,

dxd

dzd

,dz

d

dyd

(

))z,y,x(),z,y,x(),z,y,x(()z,y,x(

:gilt nsystemKoordinate - zy,x, Im

xyzxy

zyx

BBBBBBB

BBBBB

z

z

x

s

vB

F

0)ds

ddx

d,

dxd

dzd

,dz

dds

d(

))z,s,x(),z,s,x(),z,s,x(()z,s,x(

:gilt gerBeschleuni den für nsystemKoordinate- sz,x, Im

xszxsz

szx

BBBBBBB

BBBBB

8

Quadrupole: Fokussierung nur in einer Ebene

0rot BB

Annahme im 2-dimensionalem Fall:

0 :gilt da 0 sz BBBB x ),,(

0)0,dz

ddx

d,0( xz BB

B

und daher:

dzd

dxd xz BB

z

x

z-Komponente des Quadrupolemagnetfeld auf der x-Achse

9

Teilchenablenkung für Quadrupolmagneten

Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung

z

x

zconst)z(

xconst)x(

x

z

B

B

x

z

s

x

s

z

Sicht von oben

Sicht entlangder Teilchenbahn

10

Berechnung des Magnetfeldes

0 gilt es denn , :sich ergibt damit

0 :fliesst Strom kein woBereich Im

H

HrotH

z)(x,dzd

)z,x( ,z)(x,dxd

)z,x( und z)(x,

:sich ergibt Richtung-s in Komponente ohne Magnetfeld ein Für

z HHx

dzd

,dsd

,dxd

Potential skalares ein ist s)z,(x,

zs HHHx

11

Laplacegleichung

dzd

,dsd

,dxd

für Potential skalares ein ist s)z,(x,

zs HHH

H

x

2

2

2

2

2

22

2

z

)z,s,x(

s

)z,s,x(

x

)z,s,x()z,s,x(

0)z,s,x(

:ichungLaplacegle die folgt 0 :gilt ausserdem da

BdivB

)z,s,x(

:Potentials skalaren des Gradient der ist d.h. ,definieren für Potential

skalares ein sich lässt Vakuum) (im mit 0

B

BB

HB

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Berechnung des Magnetfeldes für einen Eisenmagneten

Satz von Stokes:

Gegeben: • vektorieller Ortsfunktion, wie z.B. • geschlossener Weg, der eine Fläche begrenzt

0dd)( :folgt daraus sHAHrot

Dann gilt für Bereiche, in denen kein Strom fliesst:

)z,y,x(H

0 HrotH

0d sH

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Skalares Potential ist konstant entlang der Eisenoberfläche

0 :folgt daraus lll

:folgt 1 und :Bedingung der Mit

parallelLLE

ELE

HHHH

HH

E

E

An der Grenzfläche zwischen Luft und Eisen gibt es keine Feldkomponente tangential entlang des Eisens.

Entsprechend der elektrischen Ladungen auf einer Metallplatte: es gibt keine Potentialdifferenz, und keine Feldkomponente entlang der leitenden

Platte.

Eisen

Luft oder Vakuum

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Berechnung des Feldverlaufs (2-dimensional)

0)z,x( :ichungLaplacegle

)z,x( :Magnetfeld für Gleichung2

B

:bekannt ist Achse-x der entlang (x,z) fFeldverlau Der :Ansatz zB

Beispiel:Quadrupolfeld

z

x

Funktion unbekannte eine ist )zf(

)zf()x(G(x,z) z zB

xg mit xg)x(Gz

zB

15

Berechnung des Feldverlaufs (2-dimensional)

22

z2

2z

2

2z

2

2

2

2

22

zx

)x(G21

dzzx

)x(G)zf( :folgt daraus

0z

)z(fz

x

)x(G

z

)z,x(

x

)z,x()z,x(

:folgt ichungLaplacegle der Aus

z)z,x(

(x,z) :sowie x

)z,x((x,z) :nKomponente die und

zx

)x(G61

z)x(G)z,x(:folgt Daraus

zx

32

z2

z

BB

)zf()x(G(x,z) :Annahme der mit z zB

dz(x,z))z,x(

:folgt leichungPotentialg der Aus

zB dz)zf(z)x(Gdz)]zf()x([G zz

16

Quadrupolmagnet

Beispiel: Quadrupolmagnete zur Fokussierung von Teilchen haben ein linear ansteigendes Feld Bz(x) entlang der x-Achse:

Hyperbeln sind x

z(x) Wert einen für iallinienÄquipotent

zxg)z,x(

xg(x,z) und zg(x,z)

)z,x(z

(x,z) und )z,x(x

(x,z)

00

zx

zx

BB

BB

Beispiel:Quadrupolfeld

z

x

zxgdz)zf(z)x(G)z,x(

xg(x,z)

0)z(f

zx

)x(G21

dzzx

)x(G)zf(

xg mit xg)x(G

z

22

z2

2z

2

z

z

z

B

B

17

Feld eines Leiters in s-Richtung im Zentrum vom (x,z)

haben) zu Dimension keine Funktion-ln der in

um Konstante als nur dient es heraus, a fällt Ableitung der (beiar

ln2

I mit

)0,,0()z,s,x( )0,dz

ddx

d,0(

:sich ergibt Fall lendimensiona-2 den Für

0

xz

s

s

A

AABB

AB

r

z

x

r2I

:mit Kreise chekonzentris hat

Leiter flossenenstromdurch einen um Magnetfeld Das

0

B

jBB

0 und 0 :gilt ausserdem

)z,s,x()s,z,x(

:ableiten ntialVektorpote dem aus sich lässt

AB

B

18

Feld eines Leiters in s-Richtung

z

x

Leiter mit Strom in s-Richtung

Raumpunkt P

a

r

Strahlachse

R

Θ

z

x

s

19

Feld eines Leiters in s-Richtung

)](ncos[ar

n1

2I

),r( und

)](ncos[ar

n1

21

alnRln :sich ergibt nz

z)(1ln Mit

)])(iexp[ar

1ln(21

)])(iexp[ar

1ln(21

(a)lnRln

:sLogarithmu der davon

))](iexp[ar

1())](iexp[ar

1(aR

:man erhält ))ixexp()ix(exp(21

cos(x) :von Hilfe mit

))cos(ar

2a

r1(a)cos(ra2raR

n

1n

0s

n

1n1n

n

2

22222

A

20

Strom entlang eines leitenden Zylinders

a

d

)]mcos(),m[sin(ar

a2I

)r

,r1

()r,(

)mcos(ar

m1

2I

),r(

:inatenPolarkoord von Hilfe mit sich ergibt Daraus

m00ss

m00

s

AAAB

A

1,2,3...m mit d)mcos(I)dI(

:eilungWinkelvert - der mit

Strom ein fliesst Zylinder dem Auf

0

d)mcos()](ncos[

ar

n1

2I

),r(

:nIntegratio und ntialVektorpote das in Einsetzen

2

0

n

1n

00sA

21

Erzeugung von Dipol und Quadrupolfeldern

)(Dipolfeld a2

I)x( :folgt

ilungStromverte förmige-cos d.h. ,1m Für

xa2

I)x( und 0

:damit und 0 ist Dafür et.ausgerechn )x( wird0z für

:Achse-x der entlang fFeldverlau

00

1mm

00x

z

z

z

B

BB

B

xa2

I)x( :folgt

ilungStromverte förmige-cos*2 d.h. ,2m Für

200

zB

+

+-

-