1 Marktformen, Wohlfahrtsbegriﬀe und spieltheoretische L ... · Mikro¨okonomie 2 (Allgemeine...

Mikrookonomie 2 (Allgemeine Wirtschaftspolitik) - SS 2003 1

1 Marktformen, Wohlfahrtsbegriffeund spieltheoretische Losungskonzepte

Aufgabe 1.1 Team-Dilemma

Zwei Studenten i ∈ A,B arbeiten getrennt an einem gemeinsamen Seminarthema. Jeder der Studentenkann ”arbeiten“ (a) oder ”faulenzen“ (f). Arbeiten beide gewissenhaft, entsteht eine gute Arbeit, fur diejeder 10 Bonuspunkte erhalt. Arbeitet nur einer, ist die Arbeit mittelmaßig und es gibt 5 Bonuspunkte.Faulenzen beide, gibt es 0 Bonuspunkte. Fleißig zu sein kostet 6 Nutzeneinheiten, faul zu sein dagegen0 Nutzeneinheiten. Der Nutzen jeder Strategie ergibt sich aus der Differenz zwischen Bonuspunkten undKosten.

(a) Stellen Sie das Spiel in Normalform dar?

(b) Ermitteln Sie die Nash-Gleichgewichte? Wie werden sich A und B voraussichtlich verhalten?

(c) Zeichnen Sie die Nutzenkombinationen in ein (uA, uB) Diagramm?

(d) Welche der Zustande sind Pareto-Effizient?

(e) Vergleichen Sie das Ergebnis der Teilaufgaben (b) und (d). Was stellen Sie fest?

Losungsskizze zu Aufgabe 1.1

(a) Normalform des Spiels:

BuA/uB a f

a (10− 6)/(10− 6) (5-6)/(5-0)A

f (5− 0)/(5− 6) 0/0

(b) Nash-Gleichgewicht: (Af , Bf ) ⇒ Gleichgewicht in dominanten Strategien

(c) Nutzendiagramm:

UA

U B

(d) Pareto-Effizient sind: (Af , Ba), (Aa, Bf ), (Aa, Ba) ⇒ weder A noch B konnen sich besser stellen,ohne den anderen schlechter zu stellen

(e) Das Nash Gleichgewicht ist nicht pareto-effizient.

Aufgabe 1.2 Pareto-Effizienz, Kaldor-Hicks Kompensation


Der Spieler A verfugt uber die Strategien 1-3, der Spieler B uber die Strategien 1-2, die zu folgendenAuszahlungen fuhren.

Ai/Bi B1 B2

A1 3/15 5/1A2 4/1 8/2A3 2/16 7/8

(a) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht! Was glauben Sie, werden sich A und B das Nash-Gleichgewichtspielen?

(b) Zeichnen Sie die Nutzenkombinationen in ein (uA, uB) Diagramm.

(c) Ermitteln Sie alle pareto-effizienten Zustande.

(d) Welche der pareto-effizienten Zustande dominieren einander nach Kaldor-Hicks?


(a) Nash-GG: (A2, B2), A hat die dominante Strategie A2, die beste Antwort des B ist die StrategieB2 ⇒ Koordination im Nash-Gleichgewicht ist daher wahrscheinlich

(b) Nutzendiagramm:

U A

U B

A1 ,B1

A 3 ,B1

A 3 ,B2

A2 ,B 2

A1 ,B2

A2 ,B1

(c) Pareto-Effizient: (A2, B2), (A3, B2), (A1, B1), (A3, B1)(d) Kaldor-Hicks-Dominanz: (A1, B1), (A3, B1)

Aufgabe 1.3 Pareto-Effizienz und Kaldor-Hicks Kriterium

Die Akteure A,B und C konnen in den Umweltzustanden 1,2,3 und 4 folgende Auszahlungen erwarten:

1 2 3 4A 6 5 8 6B 8 8 4 12C 0 10 7 8

(a) Welche der Zustande sind pareto-effizient?

(b) Welche Zustande sind nach Kaldor-Hicks uberlegen?


(a) 2; 3; 4 sind pareto-effizient


(b) 2 ist 3, 4 ist 2 und damit ist 4 auch 3 uberlegen nach Kaldor-Hicks

Aufgabe 1.4 Nash-Gleichgewicht, Pareto-Effizienz, Kaldor-Hicks

Die Zwillinge X und Y begeistern sich außerordentlich fur Sport. Wahrend X sich gerne Pferdepoloansieht, ist Y ein fanatischer Fußballfan. Beide haben den gemeinsamen Besuch einer Sportveranstaltungverabredet, jedoch vergessen festzulegen, wo sie zuschauen werden. Zum Gluck kennen sie sowohl deneigenen Nutzen, als auch den des Geschwisters fast vollstandig. Allerdings hangt der Nutzen von Y beimgemeinsam besuchten Fußballspiel immer davon ab, wie viele Tore s fallen (s > 0 gilt immer).

Y(P)olo (F)ußball

(P)olo 10/5 0/0X(F)ußball 0/0 5/s

(a) Ermitteln Sie die Nash-Gleichgewichte?

(b) Welche pareto-effizienten Zustande gibt es in Abhangigkeit von s?

(c) Fur welche s gibt es nach Kaldor-Hicks uberlegene Strategiekombinationen?

Aufgabe 1.5 Multiple Nash-Gleichgewichte, Pareto-Effizienz und Kaldor-Hicks Kriterium

Ai/Bi B1 B2 B3 B4

A1 7/2 2/5 1/3 9/9A2 1/3 6/4 9/4 4/3A3 7/7 11/3 8/3 4/1A4 2/10 2/8 2/4 2/10

(a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte (Hinweis: Eliminieren Sie zunachst die strikt dominiertenStrategien).

(b) Welche der Nash-Gleichgewichte sind Pareto-Effizient?

(c) Bestimmen Sie alle Pareto-Effizienten Zustande.

(d) Ordnen Sie die Pareto-Effizienten Zustande mit Hilfe des Kaldor-Hicks Kriteriums.


(a) A4 ist eine strikt dominierte Strategie und entfallt fur die Suche nach Nash-Gleichgewichten; Nash-Gleichgewichte: (A1, B4), (A2, B3), (A3, B1)

(b) Pareto-Effizientes Nash-Gleichgewicht: (A1, B4)

(c) Menge aller pareto-effizienten Zustande: (A1, B4), (A3, B2), (A4, B1), (A4, B4)(d) Reihenfolge der Aufzahlung in (c) entspricht der Uberlegenheit nach Kaldor-Hicks

Aufgabe 1.6 Nash-Gleichgewichte, Pareto-Effizienz

Zwei nach einem Korruptionsskandal angeklagte Personen (1 und 2) werden getrennt vernommen. Beidehaben die Moglichkeit, ihr Vergehen zu gestehen (g) oder nicht zu gestehen (ng). Die Aussagen bleibenwechselseitig voreinander verborgen.

(a) Nutzen Sie nachfolgende Darstellung des Spieles in extensiver Form zur Ermittlung aller Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien. Kennzeichnen Sie alle pareto-effizienten Zustande. WelchesVernehmungsergebnis erwarten Sie? (Begrundung)

r

r r®

©ª

r r r r

©©©©©©

HHHHHH¡

¡¡

@@

@

¡¡

¡

@@

@

1

2 2

ng g

ng g ng g

(−2−2

) (−10−1

) ( −1−10

) (−5−5

)(u1u2

)


(b) Person ”1“ weiß mit Sicherheit, dass der Richter ein enger Freund ist (Typ t = f). Dieser sprichtihn trotz ”Nicht-Gestehens“ frei, solange ”1“ nicht durch die Aussage von ”2“ belastet wird. Uber-nehmen Sie unten gezeichneten Baum auf Ihr Losungsblatt und passen Sie die Auszahlungen anden erforderlichen Stellen an.

bt = f

r

r r®

©ª

r r r r

©©©©©©

HHHHHH¡

¡¡

@@

@

¡¡

¡

@@

@

1

2 2

ng g

ng g ng g

( ) ( ) ( ) ( )

(c) Welche Anderungen ergeben sich bezuglich der Anzahl der Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien,der pareto-effizienten Zustande und des Vernehmungsresultats gegenuber Teilaufgabe (a), wennt = f gilt? (Begrundung)

Losungsskizze zu Aufgabe 1.6: folgt

Aufgabe 1.7 Gefangenen-Dilemma?

Ein Spiel habe 2 Spieler. Jeder Spieler habe zwei mogliche Strategien. Eine Strategie heißt ”kooperieren”,die andere abweichen”. Jeder Spieler notiert auf einem Zettel entweder K fur kooperieren oder A furabweichen. Wenn beide Spieler K aufschreiben, erhalt jeder 100. Wenn beide A aufschreiben, erhalten siebeide 0. Wenn ein Spieler kooperiert und der andere abweicht, erhalt der kooperierende Spieler S undder abweichende Spieler T . Abweichen ist eine dominante Strategie, wenn

(a) S + T > 100

(b) T > 2S

(c) S < 0 und T > 100

(d) S < T und T > 100

(e) immer, fur alle S und T


Korrekt: c) (einfach eine pay-off Matrix wie fur das Gefangenendilemma zeichnen!)

Aufgabe 1.8 Richtig oder falsch?

1. Ein Situation, in der jeder eine dominante Strategie spielt, muss auch ein Nash- Gleichgewicht sein.

2. In einem Nash-Gleichgewicht spielt jeder eine dominante Strategie.

3. Wenn im Gefangenendilemma jeder glaubt, daß der andere leugnet, werden beide tatsachlich leug-nen.

4. Wahrend die Spieltheorie fur ein einzelnes Spiel des Gefangenendilemmas unkooperatives Verhaltenvoraussagt, sagt sie fur ein 20-fach wiederholtes Gefangenendilemma kooperatives Verhalten voraus.


Korrekt: 1. richtig, 2. - 4. falsch

Aufgabe 1.9 Top/Bottom, Left/Right

Betrachten Sie die folgende pay-off Matrix der Spieler A (Strategien Top und Bottom) und B (StrategienLeft und Right):


Left RightTop a/b c/d

Bottom e/f g/h

(a) Welche Relationen mussen zwischen den Parametern a bis h erfullt sein, damit Top/Left ein Gleich-gewicht in dominanten Strategien ist?

(b) Welche dieser Ungleichungen mussen erfullt sein, damit Top/Left ein Nash-Gleichgewicht ist?


(a) a > e, b > d, c > g, f > h

(b) a > e, b > d

Aufgabe 1.10 Clarissa + Arno

Clarissa und Arno treffen sich auf einer Uni-Party. Beide mochten sich unbedingt wiedersehen, aber siehaben vergessen, ihre Namen oder Telefonnummern auszutauschen. Jedem von ihnen stehen jetzt zweiStrategien zur Verfugung: Entweder zu Hause bleiben und lernen oder auf eine Party gehen. Wenn siebeide zu der Party gehen, treffen sie sich mit Sicherheit, ansonsten treffen sie sich auf keinen Fall. DerNutzen, wenn sie sich treffen, betragt 1.000 fur beide, treffen sie sich nicht, haben beide einen Nutzenvon 0. Die pay-offs sehen also wie folgt aus:

ArnoParty Lernen

Clarissa Party 1000/1000 0/0Lernen 0/0 0/0

(a) Welche Gleichgewichte in dominanten Strategien gibt es?

(b) Welche Nash-Gleichgewichte gibt es?

(c) Andern wir die Spielsituation ein wenig, so dass Clarissa und Arno jetzt die Moglichkeit haben,entweder zu einer kleinen Party zu gehen, bei der sie sich mit Sicherheit treffen und so einenNutzen von 1.000 haben oder zu einer großen Party zu gehen, bei der sie sich, auf wenn beide sichfur diese Strategie entscheiden aufgrund der Masse der Anwesenden nur mit Wahrscheinlichkeit 0,5treffen und so nur je einen Erwartungsnutzen von 500 haben. Die pay-off Matrix sieht wie folgt aus:

Arnokleine Party große Party

Clarissa kleine Party 1000/1000 0/0große Party 0/0 500/500

Gibt es hier ein Gleichgewicht in dominanten Strategien?

(d) Welche Nash-Gleichgewichte gibt es?

(e) Warum ist es relativ wahrscheinlich, dass beide zur kleinen Party gehen?


(a) Beide gehen zur Party

(b) Entweder gehen beide zur Party oder beide bleiben zu Hause.

(c) Nein

(d) Beide gehen zur kleinen Party oder beide gehen zur großen Party

(e) Das Gleichgewicht große Party/große Party ist pareto-ineffizient gegen”ber dem Gleichgewicht klei-ne Party/kleine Party. Wenn beide die pay-off Matrix kennen, kann man annehmen, dass sie sichfur das pareto-effiziente Gleichgewicht entscheiden werden.

Aufgabe 1.11 Abstimmung


Innen-, Justiz- und Finanzministerium diskutieren drei mogliche Sicherheitspakete ”(t)ough“, ”(m)edium“und ”(w)eak“. Da Sicherheitsbedurfnisse, Burgerrechte und Finanzbedarf unterschiedliche Berucksichtungfinden, hat jeder Minister andere Praferenzen, namlich:

t m w

Inneres 2 1 0Justiz 0 2 1

Finanzen 1 0 2

Gibt es keine einfache Mehrheit, wird die vom Innenministerium bevorzugte Variante ”(t)ough“ beschlos-sen.

(a) Veranschaulichen Sie das Spiel mit Hilfe der dynamischen Form.

(b) Hat eines der Ministerien eine strikt dominante Strategie?

(c) Uberprufen Sie, ob die Einstimmigkeitszustande Nash-Gleichgewichte darstellen.

(d) Uberprufen Sie, ob die Falle, in denen keine einfache Mehrheit besteht und jeder der Akteure durcheinseitiges Abweichen eine einfache Mehrheit erreichen kann, Nash-Gleichgewichte sind.

(e) Prufen Sie die Falle einer bestehenden einfachen Mehrheit, die durch einseitiges Abweichen verandertwerden kann, auf die Existenz von Nash-Gleichgewichten.

(f) Welche Pakete konnten beschlossen werden?


(a) Das Spiel in dynamischer Form:

Justiz

Finanz

t m w

t m w t m w t m w

t m w t m w t m w t m w t m w t m w t m w t m w t m w

Innen

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

I

J

F

(b) – Innenministerium: (w) und (m) werden (schwach) dominiert durch (t) ⇒ (t) ist keine striktdominante Strategie

– Justizministerium: (t) wird durch (w) (schwach) dominiert ⇒ keine strikt dominante Strategie

– Finanzministerium: (m) wird durch (t) (schwach) dominiert, (t) wird durch (w) schwach do-miniert ⇒ keine strikt dominante Strategie

(c) –

tmw

resultiert, wenn (I, J, F ) =

(t, t, t)(m, m,m)(w, w, w)

– diese Abstimmungsergebnisse sind Nash-Gleichgewichte

(d) – (I, J, F )ε(t,m, w), (t, w,m), (m, t, w), (m,w, t), (w, m, t), (w, t, m)– dann resultiert Paket t und somit immer (2,0,1)

– J hat immer Anreiz, nach m oder w auszuweichen (sofern nicht schon gewahlt)


– F hat immer Anreiz, nach w auszuweichen (sofern nicht schon gewahlt)

– Zustande sind keine Nash-Gleichgewichte

(e) Fallunterscheidung:

einfache Mehrheit mogliche Mehrheit fur (I,J,F) Stabilitattt m (t, t,m) 0

(t,m, t) 1(m, t, t) 0

w (t, t, w) 0(t, w, t) 0(w, t, t) 0

einfache Mehrheit mogliche Mehrheit fur (I,J,F) Stabilitatmm t (m,m, t) 0

(m, t,m) 0(t,m,m) 0

w (m,m, w) 0(m,w,m) 0(w,m,m) 0

einfache Mehrheit mogliche Mehrheit fur (I,J,F) Stabilitatww t (w, w, t) 0

(w, t, w) 0(t, w, w) 1

m (w,w,m) 0(w,m, w) 0(m,w, w) 0

(f) – Die Menge der Nash-Gleichgewichte ist (t, t, t); (m,m, m); (w,w, w); (t, w,w); (t,m, t)– sowohl t,m als auch w konnten akzeptiert werden

Aufgabe 1.12 Schwaches Monopol

Ein Monopolist hat die Kostenfunktion K = 20 + y2 (20 sind versunkene Kosten) und bedient einenMarkt mit der Preis-Absatz-Funktion p = 10− y.

(a) Bestimmen Sie die gewinnmaximierende Preis-Mengen Kombination.

(b) Welcher Wohlfahrtsverlust entsteht im Vergleich zu einem Markt mit vollstandiger Konkurrenz?


(a) dEdy = dK

dy ⇔ y∗ = 2, 5d2Gdy2 |y=y∗ < 0 → y∗ ist ein Maximum; p(y∗) = 15

2

Gewinn: G(y)|y=y∗ = 754 − 105

4 = − 304

Deckungsbeitrag: DB(y) = E(y)−Kvar(y)y=y∗= 50

4 = 12, 5

(b) first best: p = dKdy ⇔ y1st = 10

3 ; p1st = 203

Konsumentenrente: KR1st = 509 ; Produzentenrente: PR1st = 100

9 ;Wohlfahrt: W 1st = 150

9

Monopol:Konsumentenrente: KRM = 25

8 ; Produzentenrente: PRM = 504

Wohlfahrt: WM = 15, 625∆W = W 1st −WM = 1, 0416

Aufgabe 1.13 Wohlfahrtsmaximierung im schwachen Monopol


In Monopolist sieht sich sich der Preis-Absatzfunktion p = 16− y gegenubergestellt und hat die Kosten-funktion K(y) = 4y + 11.

(a) Um welche Art von Monopol handelt es sich?

(b) Bestimmen Sie Preis, Menge, Gewinn (zeichnerisch und rechnerisch) sowie Produzentenrente, Kon-sumentenrente und Gesamtwohlfahrt im ”first best“.

(c) Bestimmen Sie Preis, Menge, Gewinn (zeichnerisch und rechnerisch) sowie Produzentenrente, Kon-sumentenrente und Gesamtwohlfahrt im ”second best“.

(d) Subventionen und Steuern:

(d1) Wie hoch musste die Stucksubvention s sein, damit das Monopol freiwillig die wohlfahrtsma-ximale Menge anbietet (Hinweis: Die Regulierungsbehorde setzt keine Preisobergrenze. DerMonopolist ist folglich frei in der Wahl seiner Preispolitik)?

(d2) In welcher Hohe darf der Staat eine Pauschalsteuer T maximal festsetzen, damit der Mono-polist gerade noch bereit ist, die first-best Menge auf dem Markt anzubieten (Hinweis: DieStucksubvention aus (d1) wird beibehalten)?

(d3) Der von der Regulierungsbehorde festgelegte Preis betrage p1st = 4. Wie hoch ist die Stucks-ubvention s, die beim Monopolisten gerade zu einem Gewinn von NULL fuhrt, wenn er diefirst-best Menge anbietet.


(a) naturliches Monopol (die Durchschnittskosten sinken mit steigender Ausbringungsmenge)

(b) first best:p = K ′(y) −→ y1st = 12, p1st = 4, G1st = −11Produzentenrente: PR1st = 0, Konsumentenrente: KR1st = 72Wohlfahrt: W 1st = 72

(c) p = K(y)y −→ y2nd = 11, p2nd = 5, G2nd = 0

Produzentenrente: PR2nd = 11, Konsumentenrente: KR2nd = 1212

Wohlfahrt: W 2nd = 1432

(d) Subventionen und Steuern:

(d1) Ansatz:

E(y) = py + sy = (16− y)y + sy K(y) = 4y + 11 | y1st = 12E′(y) = K ′(y) −→ s = 12

(d2) Ansatz:

G(y) = (16− y)y + sy −K(y)− T ≡ 0 | y = y1st = 12, s = 12⇔ T = (16− 12)12 + 12 · 12− (4 · 12 + 11)

⇔ T = 48 + 144− 59 = 133

(d3) Ansatz 1: p1st = 4, y1st = 12, der Monopolist erlost 4 · 12 = 48, seine variablen Kosten sind4 · 12 = 48, die Fixkosten betragen 11, die Fixkostendeckung muss pro Stuck folglich 11/12betragen. Die Regulierungsbehorde muss pro Stuck einen Betrag von s = 11/12 zahlen, damitder Monopolist bei einer Ausbringungsmenge von y1st = 12 einen Gewinn von NULL erreicht(Gesamtkosten sind gedeckt).Ansatz 2 (so geht es auch): G = p1sty1st+sy1st−(4y1st+11) ≡ 0⇒ 4·12+s·12−(4·12+11) ≡ 0⇒ s = 11/12


2 Allgemeine Darstellung statischer Oligopolspiele

Aufgabe 2.1 Statischer Mengenwettbewerb im homogenen Oligopol

Der Markt fur Importbananen wir von zwei großen Anbietern (A und B) dominiert. Die Grenzkostenbeider Unternehmen sind konstant und gleich 1. Die inverse Nachfragefunktion ist durch p = 10 − ygegeben.

(a) Beide Anbieter uberlegen, welche Menge sie auf dem Markt anbieten sollen. Dabei mussen sieberucksichtigen, dass die Bananen aus der Perspektive der Konsumenten vollig gleich beurteiltwerden. Der Bananenpreis ist daher allein davon abhangig, welche Gesamtmenge auf den Markt ge-worfen wird. Wie viel werden die Unternehmen im Cournot-Nash-Gleichgewicht anbieten? WelcherMarktpreis resultiert? Wie hoch sind Gewinn und Wohlfahrt?

(b) A und B vereinbaren eine abgestimmte Vorgehensweise zur Maximierung ihrer gemeinsamen Ge-winne. Wie hoch ist die Menge, wie hoch der Marktpreis? Wie hoch sind die jeweiligen Gewinneder Unternehmen? Beurteilen sie die Wohlfahrtswirkung!

(c) Die Regulierungsbehorde beobachtet die Kartellabsprachen aufmerksam, entscheidet sich jedoch,nichts dagegen zu unternehmen, da die Absprachen nicht von Dauer, also nicht stabil sind. Ist dasso?


(a) A: G(y1, y2) = p(y1, y2)y1 −K(y1) = [10− (y1 + y2)]y1 − y1

notwendige Bedingung fur Gewinnmaximum:

dG

dy1= 10− 2y1 − y2 − 1 ≡ 0 ⇒ y1 =

12(9− y2)

Reaktionsfunktion des A auf eine Mengenanderung von B.B: identisches Vorgehen fur Exporteur B ⇒ y2 = 1

2 (9− y1)folgende Gleichungen resultieren:

y1 =12(9− y2) (1)

y1 =12(9− y1) (2)

durch Einsetzen erhalt man: yc1 = yc

2 = 3Marktpreis: p = (10− 3− 3) = 4Gewinne: GA = GB = 9Produzentenrente: ohne Fixkosten gilt G = PRKonsumentenrente: KR = (10− 4)61

2 = 18Wohlfahrt: W = KR + PR = 36

(b) im Gewinnmaximum muss geltendKA

dyA=

dKB

dyB

– beide Unternehmen haben konstante und identische Grenzkosten

– die Grenzkosten hangen demnach nicht von den produzierten Mengen ab

– die Gesamtkosten sind davon unabhangig, wer wieviel produziert

– hier Produktionsaufteilung

gemeinsame Gewinnfunktion:

GK(y) = p(y)y −K(y) = (10− y)y − y (3)

notwendige Bedingung fur ein Optimum:

dG

dy= (−1)y + (10− y)− 1 ≡ 0 ⇒ yK = 4, 5 (4)


jeder produziert die Halfte: yKA = yK

B = 2, 25Marktpreis: p = (10− 4, 5) = 5, 5Gewinne: GA = GB = 10, 125Produzentenrente: PR = (5, 5− 1)4, 5 = 20, 25Konsumentenrente: KR = (10− 5, 5)4, 5 1

2 = 10, 125Wohlfahrt: W = PR + KR = 30, 375⇒ GK

j > GCj ; WK

j < WCj

(c) Wieviel bietet A an, wenn sich B an die Kartellabsprache halt?

– Reaktionsfunktion des A: y1 = 12 (9− y2)

– ⇒ ydA = 1

2 (9− 2, 25) = 3, 375

– Marktpreis: p = (10− 3, 375− 2, 25) = 4, 375

– Gewinne: GA = 11, 390625 GB = 7, 59375

betrachtete Strategien:

– yMi - Kartellvereinbarung

– ydi - optimale Abweichung von Kartellvereinbarung

– yci - Cournot-Nash Menge

Gewinnmatrix:A/B yB = yM

B yB = ydB yB = yc

B

yA = yMA 10, 125/10, 125 7, 59375/11, 390625 8, 4375/11, 25

yA = ydA 11, 390625/7, 59375 7, 59375/7, 59375 8, 859375/7, 875

yA = ycA 11, 25/8, 4375 7, 875/8, 859375 9/9

Die Kartellabsprache ist nicht stabil. Fur jeden Anbieter besteht ein Anreiz, mehr als die festgelegteKartellmenge anzubieten.

Aufgabe 2.2 Subventionierung im statischen Mengenwettbewerb homogener Oligopole

Der Erdgasmarkt der Schweiz werde von einem russischen und einem britischen Unternehmen beliefert.Beide Anbieter haben konstante Grenzkosten in Hohe von 1. Fixkosten mussen nicht gedeckt werden.

(a) B und R stehen im Cournot-Mengenwettbewerb (britisches und russisches Erdgas sind homogeneGuter). Wie viel Erdgas bieten B und R an, wenn die Preisabsatzfunktion durch p = 10− (yB +yR)ausgedruckt werden kann? Welche Wohlfahrt resultiert?

(b) Die russische Regierung mochte den Erdgasexport ausdehnen und subventioniert daher jede expor-tierte Einheit mit einer halben Geldeinheit. Welche Auswirkung hat das auf die abgesetzten Mengenim Cournot-Nash-Gleichgewicht? Beurteilen Sie die Wohlfahrtswirkung!


(a) Reaktionsfunktionen wie in Aufgabe 5.1 (a): yi = 12 (9− yj)

yr = yb = 3; p∗ = 4; PR = 18;KR = 18; W = 36

(b) Ansatz:

Gr = (10− [yr + yb])yr − yb +12yr

︸︷︷︸Subventionserlos

notwendige Bedingung erster Ordnung:

dG

dyr= (−1)yr + [10− (yr + yb)]− 1 +

12≡ 0 (5)

⇒ yr =12(9, 5− yb) Reaktionsfunktion des ”r“ (6)

Reaktionsfunktion des ”b“: yb = 12 (9− yr)


– einsetzen der Reaktionsfunktionen fuhrt zum Cournot-Nash-Gleichgewicht

– ycr = 10

3 ycb = 17

6 pc = 236

– Gr = 17018 Gb = 8, 027

– Produzentenrente: ohne Fixkosten gilt G = PR

– Konsumentenrente: KR = (10− 236 )( 10

3 + 176 ) 1

2 = 19, 01

– Subventionsaufwand: S = 12

103 = 10

6

– Wohlfahrt:W = PR + KR− S = 34, 8194

Aufgabe 2.3 ”Freedom Fries“

Zwei Anbieter (i und j) von ”Freedom Fries“ entscheiden uber ihren Werbeaufwand αk, wobei die Gewinnder Unternehmen von der Hohe des Etats wie folgt beeinflusst werden:

Πi(αi, αj) ≡ 4αi + 3αiαj − (αi)2 und Πj(αi, αj) ≡ 2αj + αiαj − (αj)2

(a) Berechnen und zeichnen Sie die ”best-response“ Funktionen jedes Unternehmens (Hinweis: Fur jedenWerbeetat des Unternehmens j muss der gewinnmaximierende Werbeaufwand des Unternehmens ibestimmt werden.)

(b) Untersuchen Sie, ob es sich bei den Strategien um strategische Substitute oder strategische Kom-plemente handelt.

(c) Bestimmen Sie den Werbeaufwand von i und j im Nash-Gleichgewicht sowie die Gewinne.


Aufgabe 2.4 Simultaner Mengenwettbewerb im heterogenen Oligopol

Zwei große Anbieter von ”Soft-Drinks“ unterscheiden sich nur geringfugig in ihrer Produktcharakteristik,d.h. das die Produkte keine perfekten Substitute sind, die Kreuzpreiselastizitat der Nachfrage folglichnicht gegen unendlich strebt. Die erzielbaren Preise sind daher

pA = 10− 2yA − yB sowie pB = 10− 2yB − yA

Die Grenzkosten beider Anbieter sind gleich 1.

(a) Wie hoch sind die im Nash-Gleichgewicht angebotenen Mengen?

(b) Ist ein Mengenkartell in diesem Fall stabil?


(a) keine perfekten Substitute, eigene Mengenveranderung mit großerer Auswirkung auf den erzielbarenPreis als die Mengenanderung des oder der KonkurrentenGewinnfunktion des ”a“:

Ga = paya −Ka = (10− 2ya − yb)ya − ya (7)

notwendige Bedingung 1. Ordnung:dGa

dya= 0 (8)

⇒ ya =14(9− yb) (9)

gleiche Vorgehensweise fur b: yb = 14 (9− ya)

Nash-Gleichgewicht: yna = yn

b = 1, 8 ⇒ pa = pb = 4, 6Gewinne: Ga = Gb = 6, 48

(b) gemeinsame Gewinnfunktion:

G(ya, yb) = (10− 2ya − yb)ya + (10− 2yb − ya)yb − (ya + yb) (10)

notwendige Bedingungen 1. Ordnung:dG

dya≡ 0

dG

dyb≡ 0 (11)

ya =14(9− 2yb) yb =

14(9− 2ya) (12)

yKa = yK

b = 1, 5 pa = pb = 5, 5 Ga = Gb = 6, 75 (13)


optimale Abweichung des ”a“: yda = 1/4(9− yK

b ) = 1, 875Marktpreise: pa = 4, 75 pb = 5, 125Gewinne: Ga = 7, 03125 Gb = 6, 1875Gewinnmatrix:

A/B yKb yd

b yNb

yKa 6, 75/6, 75 6, 1875/7, 030125 6, 3/7, 02

yda 7, 030125/6, 1878 6, 328125/6, 328125 6, 46875/6, 345

yNa 7, 02/6, 3 6, 345/6, 46875 6, 48/6, 48

⇒ Das Mengenkartell ist auch im simultanen, einstufigen Mengenwettbewerb des heterogenen Oli-gopols nicht stabil, da fur jeden Akteur ein Anreiz existiert, von der Absprache abzuweichen.

Aufgabe 2.5 Simultaner Preiswettbewerb im homogenen Oligopol

Eine kleine Stadt wird von einer Straße durchquert, an der sich in unmittelbarer Nachbarschaft zweiTankstellen befinden. In der Stadt gibt es Y = 2000 Autos. Wenn der Preis pro Liter 10 EUR uberschrei-tet, gehen alle Fahrzeuginhaber lieber zu Fuß, betragt er 5 EUR, tankt genau die Halfte und ist Benzinkostenlos, werden alle Wagen betankt. Die Konsumenten kaufen den Treibstoff nur an der Tankstelle,die den geringeren Preis offeriert. Sind die Preise der Anbieter gleich, teilen sich die Unternehmen dieGesamtnachfrage. Die Grenzkosten jedes der beiden Unternehmen betragen genau 1 EUR.

(a) Bestimmen Sie die lineare Nachfrage nach Kraftstoff.

(b) Bestimmen Sie Gleichgewichtspreise in einem einstufigen Bertrand-Spiel, wenn die Unternehmenihre Preise simultan festlegen.

(c) Nehmen Sie an, dass die Grenzkosten bei Unternehmen 2 auf 4 EUR ansteigen, wahrend die von Un-ternehmen 1 unverandert bleiben. Wie hoch sind jetzt die Gleichgewichtspreise in einem einstufigenBertrand-Spiel?


(a) Die direkte Nachfragefunktion fur das Intervall 10 ≥ p ≥ 0 betragt y = 200(10 − p). Die inverseNachfragefunktion ist folglich p = 10− 1

200y.

(b) Die Gewinnfunktion der Unternehmen ist

Gi = (pi − ci)yi (14)

Beide Unternehmen erzielen Gi ≥ 0, solange pi ≥ ci, pi < 10 und pi ≤ pj . Als Bertrand-GGresultiert p1 = p2 = 1. Somit folgt q1 = q2 = 900 und G1 = G2 = 0.

(c) Unternehmen 1 ist bei Preisen unterhalb von c2 = 4 Monopolist. Liegt dieser uber dem Monopol-preis, wird U1 den Monopolpreis wahlen, liegt er darunter, wird p1 = 4 gewahlt.1 Monopolpreis:

G1 = (p1 − c1)y1 = (10− 1200

y1)y1 − c1y1 (15)

notwendige Bedingung 1. Ordnung:dG1

dy1= 10− 1

100y1 − c1 ≡ 0 (16)

⇒ y1 = 900 p1 = 5, 5 (17)⇒ pM

1 > c2 ⇒ p1 = 4 (18)y1 = 1200 G1 = E1 −K1 = 4800− 1200 = 3600 G2 = 0 (19)

Aufgabe 2.6 Simultaner Preiswettbewerb im heterogenen Oligopol

Statt im Mengenwettbewerb stehen die Softdrinkhersteller aus Aufgabe 2.4 nun im Preiswettbewerb. DieGrenzkosten der Produzenten bleiben unverandert bei 1.

1Im diskreten Fall (ε = 0, 01) muss genau genommen mit EUR 3,99 gerechnet werden.


(a) Bestimmen Sie die direkten Nachfragefunktionen aus den in Aufgabe 6.2 gegebenen inversen Nach-fragefunktionen

pA = 10− 2yA − yB sowie pB = 10− 2yB − yA

(b) Wie lauten die Reaktionsfunktionen der beiden Unternehmen?

(c) Wie hoch sind die Gleichgewichtspreise, die im Gleichgewicht offerierten Mengen und die Gewinnebeider Unternehmen? Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen des heterogenen Mengenwettbewerbs.


(a) Umformen der inversen Nachfragefunktionen ergibt:

yA = 1/3(pB − 2pA + 10) sowie yB = 1/3(pA − 2pB + 10) (20)

(b)GA = yApA − yA = yA(pA − 1) = 1/3(pB − 2pA + 10)(1− pA) (21)

Die notwendige Bedingung erster Ordnung bei A ist:

dGA

dpA= −2/3(pA − 1) + 1/3(−2pA + pB + 10) ≡ 0 (22)

Reaktionsfunktion des A: pA = 1/4(12 + pB)Aufgrund der Symmetrie folgt fur B: pB = 1/4(12 + pA)Die Reaktionsfunktionen sind im heterogenen Preiswettbewerb monoton steigend; ein aggressiveresVerhalten des A zieht also ein aggressiveres Verhalten des B nach sich.

(c) Einsetzen der Reaktionsfunktion fuhrt zu: pA = pB = 4. Es folgt yA = yB = 2 und GA = GB = 6.Die Marktpreise sind geringer, die Mengen folglich hoher und die Gewinne wiederum geringer alsbeim heterogenen Mengenwettbewerb. Das ist ein allgemeines Ergebnis.


3 Dynamische Oligopolspiele

Aufgabe 3.1 Richtig oder falsch?

1. Im Cournot-Nash-Gleichgewicht wahlt jedes Unternehmen seine gewinnmaximale Menge unter derAnnahme, dass die anderen Unternehmen ihren Preis beibehalten werden.

2. Je großer die Anzahl identischer Firmen im Cournot Gleichgewicht, desto naher Preis dem, der sichbei vollstandiger Konkurrenz ergabe.

3. Ein Fuhrer im Stackelberg-Wettbewerb wahlt seine Aktion unter der Annahme, dass die nach imziehenden Spieler sich seinen Handlungen so anpassen werden, dass irh Gewinn maximiert wird.

4. Im Bertrand Wettbewerb im Duopol wird sich der Preis einstellen, der sich auch bei vollstandigerKonkurrenz ergabe.

Losungsskizze zu Aufgabe 3.1: 1. falsch, 2. - 4. richtig

Aufgabe 3.2

In einem Markt sei die Nachfragefunktion p = 10−∑i xi, wobei xi die Menge eines Unternehmens i ist.

Jedes moglicherweise am Markt tatige Unternehmen hat die Kostenfunktion Ki = xi + 2.

(a) Nehmen Sie an, dass nur ein Unternehmen am Markt agiert. Bestimmen Sie die Menge, den Preisund den Gewinn.

(b) Nehmen Sie an, dass zwei Unternehmen in einem Cournot-Wettbewerb agieren. Bestimmen SieMenge, Preis und Gewinn.

(c) Nehmen Sie an, dass zwei Unternehmen in einem Stackelberg-Wettbewerb agieren. Bestimmen SieMenge, Preis und Gewinn.

Losungsskizze zu Aufgabe 3.2:

(a) xM = 4, 5, pM = 5, 5, GM = 18, 25

(b) xC1 = xC

2 = 3, pC = 4, GC1 = GC

2 = 7

(c) (Annahme: 1 zieht zuerst): xS1 = 4, 5, xS

2 = 2, 25, pS = 3, 25, GS1 = 8, 125, GS

2 = 3, 0625

Aufgabe 3.3 Kreps-Scheinkman-Wettbewerb

Zwei Unternehmen befinden sich in einem Kreps-Scheinkman-Wettbewerb. Die Preis-Absatzfunktionenlauten p1 = 200− y1 − y2 und p2 = 200− y1 − y2. Die Kosten der Kapazitatserrichtung belaufen sich aufK1(y+

1 ) = 2y1 und K2(y+2 ) = 2y2. Bestimmen Sie die Mengen, die sich im Gleichgewicht ergeben.

Losungsskizze zu Aufgabe 3.3: y+1 = 66, y+

2 = 66

Aufgabe 3.4

In einem homogenen Oligopol agieren 3 Unternehmen in einem Stackelberg-Wettbewerb. Die Preis-Absatz-Funktion lautet p = 100 − y1 − y2 − y3. Kosten fallen keine an. Zuerst setzt Unternehmen 1seine Menge fest, dann Unternehmen 2 und zuletzt Unternehmen 3 (es gibt hier also 3 Informationsbe-zirke!!). Bestimmen Sie die teilspielperfekten Angebotsmengen der 3 Unternehmen.

Losungsskizze zu Aufgabe 3.4: Man kann hier genauso vorgehen wie auch bei einem 2-stufigenStackelberg-Wettbewerb: Zuerst ermittelt man die Reaktionsfunktion des zuletzt ziehenden Unterneh-mens 3 (y∗3 = 50− 0, 5y1− 0, 5y2) und setzt diese in die Gewinnfunktion von Unternehmen 2 ein. Darauskann dann Unternehmen 1 die Reaktionsfunktion von 2 (y∗2 = 50 − 0, 5y1) ermitteln und diese in seineGewinnfunktion einsetzen (dabei muß auch in der Reaktionsfunktion von Unternehmen 3 das y2 durch dieReaktionsfunktion substituiert werden!) Damit erhalt Unternehmen 1 wieder eine Gewinnfunktion, dienur noch von y1 abhangt (G1 = 25y1−0, 25y2

1) und kann damit seine gewinnmaximale Menge bestimmen:y1 = 50, y2 = 25, y3 = 12, 5.


Aufgabe 3.5 Sequenzieller Mengenwettbewerb - Stackelberg Modell

Unternehmen A und B bauen kristallines Gestein ab, das sie auf einem gemeinsamen Absatzmarkt an-bieten. Die Preis-Absatz-Funktion ist p = 20 − (yA + yB). Die Kostenfunktion von A ist KA(yA) = y2

A,die von B ist KB(yB) = 2y2

B .

(a) Wie hoch sind die Mengen bei gemeinsamer Gewinnmaximierung?

(b) Wieviel bieten A und B im Cournot-Mengenwettbewerb an?

(c) Wieviel Gestein wird angeboten, wenn das Unternehmen A aufgrund der besseren Kostensituationzuerst in den Markt eintreten kann?


(a) im gemeinsamen Gewinnmaximum muss gelten:

dK

dya=

dK

dyb⇔ ya = 2yb (23)

yb =13y ya =

23y (24)

G(y) = y(20− y)− (23y)2 − 2(

13y)2 (25)

notwendige Bedingung 1. Ordnung:dG

dy≡ 0 (26)

⇒ y = 6 ⇒ ya = 4 yb = 2 p = 14 (27)Teilen sie den Gesamtgewinn, dann Ga,b = 30 (28)

(b) Reaktionsfunktion des ”a“: ya = 1/4(20− yb)Reaktionsfunktion des ”b“: yb = 1/6(20− ya)⇒ ya = 100/23 yb = 60/23 p = 300/23 Ga = 37, 807 Gb = 20, 4158

(c) ”a“ zieht zuerst und kann davon ausgehen, dass sich ”b“ nach der Mengenentscheidung des ”a“gemaß der Reaktionsfunktion verhalten wird. Jede Ankundigung des ”b“, sich anders zu verhalten,ist nicht glaubwurdig, da die Reaktionsfunktion die optimale Antwort widerspiegelt.Reaktionsfunktion des ”b“: yb = 1/6(20− ya)Gewinnfunktion des ”a“:

G(ya; yb) = (20− [ya + yb])− y2a = (20− [ya + (16(20− ya))])− y2

a (29)dG

dya≡ 0 ⇔ ya =

5011

(30)

⇒ yb =17066

p = 12.8787 Ga = 37, 8787 Gb = 19, 9033 (31)

Aufgabe 3.6 Deny/Waffle/Confess

Zwei Spieler A und B spielen folgendes Spiel uber drei Perioden (ohne Diskontierung der Pay-offs).

BDeny Waffle Confess

Deny 10,10 -1,-12 -1,15A Waffle -12,-1 8,8 -1,-1

Confess 15,-1 8,-1 0,0

(a) Warum gibt es kein Gleichgewicht, in dem beide Spieler uber alle 3 Perioden hinweg leugnen?

(b) Beschreiben Sie ein teilspielperfektes Gleichgewicht, in dem beide Spieler in den ersten beidenPerioden leugnen.

(c) Wie sieht dieses teilspielperfekte Gleichgewicht aus, wenn A und B das Spiel zweimal wiederholen?


(d) Wie sieht es fur ein T-mal wiederholtes Spiel aus?

(e) Was ist die maximale Diskontrate, fur die das teilspielperfekte Gleichgewicht aus dem 3-mal wie-derholten Spiel gerade noch halt?


(a) Jeder der beiden Spieler kann in der dritten Periode seinen Nutzen durch gestehen erhohen, wenndas Gleichgewicht fur die dritte Periode leugnen vorsieht.

(b) Spiele ”leugnen“ in den ersten beiden Perioden und ”waffle“ in der dritten Periode. Weicht derandere Spieler in Periode 1 oder 2 ab, spiele von da an ”gestehen“. Es handelt sich dabei um einGleichgewicht, da der abweichende Spieler durch den Wechsel zu ”gestehen“ einen Gewinn von 5macht (15 - 10), in der letzten Periode aber 8 verliert (0 - 8).

(c) Spiele ”leugnen“ in der ersten Periode und ”waffle“ in der zweiten. Weicht der andere Spieler in derersten Periode ab, spiele in der zweiten ”gestehen“.

(d) Spiele ”leugnen“ in den ersten T-1 Perioden und ”waffle“ in der letzten. Weicht der andere Spielerirgendwann in den ersten T − 1 Perioden ab, spiele von da an ”gestehen“.

(e) Der Nutzen im Gleichgewicht ist

U∗ = 10 +10

(1 + r)+

8(1 + r)2

Der Nutzen der profitabelsten Abweichung (Gestehen in der zweiten Periode) ist

UA = 10 +15

1 + r+ 0

Gleichsetzen und nach r auflosen der beiden Gleichungen ergibt r = 0, 6.

Aufgabe 3.7 Wiederholtes Gefangenendilemma

Zeigen Sie, dass tit-for-tat kein teilspielperfektes Gleichgewicht in einem unendlich oft wiederholten Ge-fangenendilemma ohne Diskontierung ist!

BDeny Confess

A Deny R,R S,TConfess T,S P,P

P sei 0 und 2R > S + T !

Losungsskizze zu Aufgabe 3.7Nehmen Sie an, A hat ”gestehen”gespielt. Wird sich B jetzt rachen, indem er in der nachsten Periode auchgesteht? Wenn beide nach der Abweichung tit-for-tat folgen, wiederholt sich immer wieder das Ergebnis(gestehen, leugnen), (leugnen, gestehen). Der payoff von B ware dann T + S + T + S + .... Wenn Bvergeben wurde, ware sein payoff R + R + R + R + .... Fur die ersten vier Perioden nach A’s Abweichunghatte also Vergeben einen hoheren payoff als Rache, da 4R > 2S + 2T . Dieser payoff wiederholt sichin einem unendlich oft wiederholten Spiel noch unendlich oft, so dass der payoff von Vergeben den vonRache immer dominiert und tit-for-tat nicht teilspielperfekt sein kann.

Aufgabe 3.8 Gemischte Strategien

Zwei risikoneutrale Nachbarn A und B verklagen sich gegenseitig wegen eines Grundstucks, das beidebesitzen mochten. Beide ziehen in Erwagung, den vorsitzenden Richter des Prozesses zu bestechen. Jedermacht dem Richter ein Geschenk und der mit dem teureren Geschenk erhalt das Grundstuck, das fur beideeinen Wert von EUR 2.000 hat. Bestechen sie den Richter mit dem gleichen Betrag, sind die Chancenfur den Erhalt des Grundstucks 50:50. Zulassig sind nur Geschenke im Wert von EUR 0, EUR 900 undEUR 2.000.

(a) Was ist das einzige Gleichgewicht in reinen Strategien?


(b) Nehmen Sie jetzt an, es sei auch moglich EUR 1.500 zu schenken. Zeigen Sie, dass es jetzt keinGleichgewicht in reinen Strategien mehr gibt.

(c) Wie lautet das Gleichgewicht in gemischten Strategien in diesem Fall? Wie hoch ist der erwarteteEpayoff des Richters?


(a) In der folgenden Tabelle sind die erwarteten payoffs der Spieler dargestellt:

B0 900 2000

0 1.000/1.000 0/1.100 0/0A 900 1.100/0 100/100 -900/0

2000 0/0 0/-900 -1.000/-1.000

2.000 zu schenken ist fur beide eine dominierte Strategie. Das einzige Nash-Gleichgewicht in reinenStrategien ist 900/900.

(b) In der folgenden Tabelle sind wieder die erwarteten payoffs dargestellt:

B0 900 1500 2000

0 1.000/1.000 0/1.100 0/500 0/0A 900 1.100/0 100/100 -900/500 -900/0

1.500 500/0 500/-900 -500/-500 -1.500/02.000 0/0 0/-900 0/-1.500 -1.000/-1.000

2.000 zu schenken ist auch hier wieder eine dominierte Strategie. Uberprufen Sie bitte selbst, dasskeine der verbleibenden Strategienkombinationen ein Nash-Gleichgewicht ist.

(c) p0, p900, p1500 und p2000 seien die Wahrscheinlichkeiten mit denen das jeweilige Geschenk gemachtwerden. 2.000 zu bieten ist sinnlos, da diese Strategie nur payoffs kleiner oder gleiche 0 erm”glicht.Also is p2000 = 0. Damit ein Spieler seine Strategien mischt, mussen sie ihm den gleichen Erwartungs-nutzen bringen, also muss gelten: ΠA(0) = ΠA(900) = ΠA(1500). Der Erwartungsnutzen des SpielersA hangt offensichtlich von den Wahrscheinlichkeiten ab, die B seinen verschiedenen Strategien zu-ordnet (da das Spiel symmetrisch ist und daher beide mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten spielenwerden, wird bei p auf den Index A bzw. B verzichtet): ΠA(0) = 1.000p0 + 0p900 + 0p1500p

A(900);ΠA(900) = 1.100p0 +100p900−900p1500; ΠA(1500) = 500p0 +500p900−500p1500. Weiterhin mussensich die Wahrscheinlichkeiten fur die einzelnen Strategien zu 1 addieren: p0+p900+p1500+p2000 = 1(wobei p2000 = 0) Damit stehen genugend Gleichungen zur Verfugung, um die Wahrscheinlichkeitenberechnen: p0 = 0, 4; p900 = 0, 5; p1500 = 0, 1; p2000 = 0. Der erwartete payoff des Richters ist dannP = 2 · 0, 5 · 900 + 2 · 0, 1 · 1.500 = 1.200.


4 Naturliches Monopol und Regulierung

Aufgabe 4.1

Auf einem Markt mit einem Anbieter gelte die Nachfragefunktion p = 100/y + 100. Die Kostenfunktionsei K(y) = 120y.

(a) Bestimmen Sie Gleichgewichtsmenge und -preis sowie den Gewinn des Anbieters im Gewinnmaxi-mum.

(b) Angenommen, die Kosten pro Outputeinheit sinken um 25 Geldeinheiten. Welche Angebotsmengewird der Anbieter nun wahlen?

(c) Gehen Sie nun davon aus, daß der gleiche Markt von 2 Anbietern (A und B) beliefert wird, diefolgende Kostenfunktionen haben: KA(y) = 90y KB(y) = 120y Bestimmen Sie Preis, Mengen undGewinne.


(a) G = y - 120y = 100 - 20y. Dieser Ausdruck wird maximiert, wenn y = 0. Damit geht der Preisgegen und G = 100.

(b) G = y - 95y = 100 + 5y Dieser Ausdruck wird maximiert fur y gegen ∞.

(c) y1 gegen ∞ (wie b)) p = 100 G = y2 = 0 (wie a)) G =0

Aufgabe 4.2

Wenn ein Monopolist seinen Preis so setzt, dass seine gesamten Durchschnittskosten gedeckt sind, wirder

(a) mehr als die wohlfahrtsoptimale Menge produzieren

(b) einen Verlust machen

(c) weniger als die wohlfahrtsoptimale Menge produzieren

(d) seinen Gewinn maximieren

(e) sich einer Ubernachfrage gegenubersehen

Losungsskizze zu Aufgabe 4.2 Korrekt: c)

Aufgabe 4.3

In einem monopolistischen Markt laute die Preis-Absatz-Funktion q = 50 − p/2. Der Monopolist habekonstante Grenzkosten von 20 und fixe, aber bei Einstellung der Produktion abbaubare (also keine sunkcosts!), von C. Wie hoch darf C maximal sein, damit der Monopolist eine positive Menge anbietet?

(a) 20

(b) 1000

(c) 800

(d) 50

Losungsskizze zu Aufgabe 4.3 Korrekt: c)

Aufgabe 4.4

Ein naturliches Monopol habe die totale Kostenfunktion K(q) = 350+q. Die Preis-Absatz-Funktion lautep = 100 − 2q. Die Regulierungsbehorde verlangt, dass der Monopolist eine positive Menge anbietet undeinen Preis in Hohe der totalen Durchschnittskosten verlangt. Um diese Bedingungen zu erfullen, mussder Monopolist

(a) es ist unmoglich, das zu erfullen


(b) eine Menge von q = 40 anbieten

(c) entweder q = 5 oder q = 35 anbieten

(d) einen Preis von 70 verlangen

(e) q = 20 anbieten

Losungsskizze zu Aufgabe 4.4 Korrekt: (b),(c),(e)

Aufgabe 4.5 Price Caps Regulierung

(a) Charakterisieren Sie die wesentlichen Elemente der ”price caps“-Regulierung eines naturlichen Mo-nopols.

(b) Ein naturliches Monopol bietet die beiden Guter x1 und x2 an. Dabei gelten die Nachfragefunktio-nen p1 = 1−x1 und p2 = 2−x2. Fur die Produktion der beiden Guter fallen gemeinsame Fixkostenvon 1 an, wahrend die Grenzkosten bei beiden Gutern gleich Null sind. Berechnen Sie die ge-winnmaximierenden Angebotsmengen beider Guter, den Gewinn des Monopols und die aggregierteWohlfahrt.

(c) Gehen Sie nun davon aus, dass die Regulierungsbehorde dem naturlichen Monopol als Bedingung furdie Preise vorgibt p1 + 2p2 = 2. Ermitteln Sie die Angebotsmengen, die den Gewinn des Monopolsunter dieser Nebenbedingung maximieren. Wie wirkt sich die Vorgabe der Regulierungsbehorde aufden Gewinn des Monopols und die aggregierte Wohlfahrt aus?


(a) – bei MPU wird Preisindex fur Warenkorb festgelegt

– Anpassung PI nicht an Kostenentwicklung des MPU orientiert

– Anreiz zur Produktivitatssteigerung bleibt erhalten

(b) Ansatz: Max G = (1− x1)x1 + (2− x2)x2 − 1B1O: dG/dx1 = 1− 2x1 ≡ 0B2O: dG/dx2 = 2− 2x2 ≡ 0x1 = 1/2, x2 = 1G = (1− 1/2)1/2 + (2− 1)1− 1 = 1/4KR1 = 1/2(1− 1/2)1/2 = 1/8KR2 = 1/2(2− 1)1 = 1/2W = KR1 + KR2 + G = 7/8 o. W = KR1 + KR2 + G + 1 = 15/8

(c) Ansatz: Max G = (1− x1)x1 + (2− x2)x2 − 1 + λ(2− (1− x1)− 2(2− x2))B1O: ∂G/∂x1 = 1− 2x1 + λ ≡ 0B1O: ∂G/∂x2 = 2− 2x2 + 2λ ≡ 0B1O: ∂G/∂λ = 2− (1− x1)− 2(2− x2) ≡ 0x1 = 3/5, x2 = 6/5G = (1− 3/5)3/5 + (2− 6/5)6/5− 1 = 1/5KR1 = 1/2(1− 2/5)3/5 = 1/2 · 9/25KR2 = 1/2(2− 4/5)6/5 = 1/2 · 36/25W = KR1 + KR2 + G = 11/10 o. W = KR1 + KR2 + G + 1 = 21/10Gc < Gb und Wc > Wb

Aufgabe 4.6 Marktsegmentierung

in großer PKW-Hersteller hat folgende Nachfragefunktionen fur den inlandischen und den auslandischenMarkt fur PKW identifiziert.

yI(pI) = 100− pI

yA(pA) = 100− 2pA

Er kann seine Fahrzeuge auf der Basis konstanter Grenzkosten in Hohe von C ′(y) = 20 anbieten. Arbi-trage sei ausgeschlossen.


(a) Welchen Preis legt er fur jeden der Teilmarkte fest? Wieviele PKW werden dann jeweils angeboten?Wie hoch ist der Gewinn des Monopolisten?

(b) Die Regulierungsbehorden des In- und des Auslandes vereinbaren, dem Monopolisten die Preisdis-kriminierung zu untersagen - er muss jetzt auf jedem Markt zum gleichen Preis anbieten. WelchenPreis wahlt er und welche Menge wird angeboten? Ist die Entscheidung der Regulierungsbehordewirtschaftspolitisch sinnvoll?


(a) Zielfunktion: maxG =∑

i Ei −KBedingung erster Ordnung: gyI

= gyA= 0 mit gyi

= ∂G∂yi

Bedingung zweiter Ordnung: gyIyI, gyAyA

< 0 und gyIyIgyAyA

> g2yIyA

y∗I = 40; y∗A = 30; p∗I = 60; p∗A = 35; GDM = 2050

KRDA = 225;PRD

A = 450; KRDI = 800; PRD

I = 1600;⇒ WD = 3075

(b) Preisabsatzfunktion:

p(y) =

100− y ∀ y ≤ 501/3(200− y) ∀ y > 50

(ba) 100− y ∀ y ≤ 50: y = 40, p = 60, G = 1600

(bb) 1/3(200− y) ∀ y > 50: y = 70, p = 130/3, G = 1633 13

⇒ (po; yo) = (130/3; 70)

KRoA = 400/9; PRo

A = 2800/9;KRoI = 11050/9;PRo

I = 18700/9⇒ W o = 32950/9 = 3661, 11 ⇒ GD > Go; WD < W o

Aufgabe 4.7 Ramsey Pricing

Ein regionaler Monopolist produziert mit der gleichen Technologie fetthaltige und fettarme Milch. DieFixkosten der Produktion betragen CF > 0; beide Produkte werden also auf Grundlage des gleichenKapitalstockes hergestellt. Die Grenzkosten fur beide Produkte betragen cl bzw. ch wobei cl < ch geltensoll. Die inverse Nachfrage nach fettarmer und fetthaltiger Milch lautet:

pl(yl) = A− αyl (α > 0) ph(yh) = B − βyh (β > 0) (32)

Durch staatliche Regulierung der Preise soll sichergestellt werden, dass moglichst viele Konsumenten aufbeiden Teilmarkten bedient werden, wobei beachtet werden muss, das der Milchproduzent kostendeckendproduziert.

(a) Bestimmen Sie die Funktion der aggregierten Wohlfahrt.

(b) Welche Nebenbedingung muss die Regulierungsbehorde bei der Bestimmung wohlfahrtsmaximalenPreise beachten?

(c) Wie lauten die Bedingungen 1. Ordnung fur ein Wohlfahrtsmaximum?

(d) Zeigen Sie, dass die notwendige Bedingung eines Wohlfahrtsoptimums impliziert, dass das Verhalt-nis der relativen Preisaufschlage, (p−c

p ), dem umgekehrten Verhaltnis der Preiselastizitaten derNachfrage entsprechen muss.


(a) aggregierte Wohlfahrt:

W =∫ yl

0

pl(τl)dτl − clyl +∫ yh

0

ph(τh)dτh − chyh − CF (33)

(b) Kostendeckung: pl(yl)yl + ph(yh)yh = clyl + chyh + CF


(c) Lagrange-Ansatz:

max L =∫ yl

0

pl(τl)dτl − clyl +∫ yh

0

ph(τh)dτh − chyh − CF + (34)

µ(pl(yl)yl + ph(yh)yh − (clyl + chyh + CF )

)(35)

(1)∂L

∂yl≡ 0 (36)

(2)∂L

∂yh≡ 0 (37)

(3)∂L

∂µ≡ 0 (38)

(d)

(1′) (pl − cl)(1− µ)− µ(∂pl

∂xlyl) = 0 (39)

(2′) (ph − ch)(1− µ)− µ(∂ph

∂xhyh) = 0 (40)

⇒ (1′′)(pl − cl)(1− µ)

pl= µ(

1∂yl

∂pl

pl

yl

) (41)

⇒ (2′′)(ph − ch)(1− µ)

ph= µ(

1∂yh

∂ph

ph

yh

) (42)

mit εp,y =∂y

∂p

p

yfolgt (43)

(pl−cl)pl

(ph−ch)ph

=εh

εl(44)

Aufgabe 4.8 Monopolregulierung mit vermindertem Informationsbedarf und Wettbewerb um das Naturli-che Monopol

Die Nachfrage nach Trinkwasser kann durch die Preis-Absatz Funktion p = 16 − y beschreiben werden.Das Versorgungsunternehmen A muss fur die Trinkwasserherstellung Kosten in Hohe von KA(y) = 4y+11aufwenden. Der Regulierungsbehorde sind die Kosten von A nicht bekannt.

(a) Welchen mengenabhangigen Transfer t(y) muss die Regulierungsbehorde dem Unternehmen Agewahren, damit A die Wohlfahrt maximiert. Wie hoch ist der Transfer fur die wohlfahrtsma-ximale Menge? Welche Informationen benotigt die Regulierungsbehorde fur die Bestimmung desTransfers?

(b) Wie hoch ist dann der Gewinn des Unternehmens A? Welche Konsumentenrente verbleibt nachAbzug des Unternehmenstransfers?

(c) Warum ist eine Verbesserung der Verteilung der Renten durch eine Pauschalbesteuerung des Un-ternehmens A in diesem Fall ungeeignet?

(d) Nach dem Auslaufen der Lizenz des Unternehmens A beschließt die Regulierungsbehorde, das Rechtzur Ausubung eines Versorgungsmonopols zu versteigern. Neben Erzeuger A bewirbt sich nun Er-zeuger B, der die Kostenfunktion KB = 3y + 11 hat. Der Gewinner der Auktion zahlt einen Preisin Hohe des zweithochsten Gebotes (Vickrey Auktion). Jedes der Unternehmen kann aus folgendenfunf (Gebots-) Strategien bi

j wahlen (Gebote werden verdeckt abgegeben):

– bi1 = Gi − 20 ⇔ biete den Gewinn aus dem Naturlichen Monopol weniger 20

– bi2 = Gi − 10

– bi3 = Gi

– bi4 = Gi + 10


– bi5 = Gi + 20

(d1) Stellen Sie das (Auktions-)Spiel in Normalform dar!(d2) Ermitteln Sie das Nash-Gleichgewicht in schwach dominanten Strategien!(d3) Ermitteln Sie alle anderen Nash-Gleichgewichte!


(a) Transferberechnung:

– Gewinn des Unternehmens: G(y) = p(y)y −K(y) + t(y)

– Wohlfahrt: W (y) =∫ y

0p(y)dy −K(y)

– Vergleich von Gewinnfunktion und Wohlfahrtsfunktion:W (y) = G(y) ⇔ ∫ y

0p(y)dy −K(y) = p(y)y −K(y) + t(y)

⇒ t(y) =∫ y

0p(y)dy − p(y)y

– mit p = 16− y folgt: t(y) = 1/2y2

– y1st = 12 ⇒ t(y1st) = 72– Informationsbedarf: Nachfragefunktion und Stuckpreis (auf Angebotsmenge kann dann ruck-

geschlossen werden)

(b) G(y) =∫ y1st

0p(y)dy −K(y)|y=y1st = (16y − 1/2y2)|y1st

0 − (4y1st + 11) = 61Konsumentenrente: KR = 1/2(16− 4)12 = 6 · 12 = 72 ⇒ KR− t(y1st) = 0

(c) Die Kostenfunktion des Erzeugers A ist der Regulierungsbehorde nicht bekannt.

(d) Gewinne (Regulierungsbehorde zahlt t(y)): GA = 61, GB = 73, 5 (Hinweis: Unternehmen B hatgeringere Grenzkosten. Folglich ergibt sich ein neues first-best ⇒ y1st = 13. )

(d1) Auktionsspiel in Normalform:

UB/UA 41 51 61 71 8153,5 32,5/0 22,5/0 0/7,5 0/7,5 0/7,563,5 32,5/0 22,5/0 12,5/0 0/-2,5 0/-2,573,5 32,5/0 22,5/0 12,5/0 2,5/0 0/-12,583,5 32,5/0 22,5/0 12,5/0 2,5/0 -7,5/093,5 32,5/0 22,5/0 12,5/0 2,5/0 -7,5/0

(d2) Schwach dominante Strategie jedes der Anbieter ist das Bieten des tatsachlichen Gewinns(bi

3 = Gi). Das Nash-Gleichgewicht in schwach dominanten Strategien ist folglich 12, 5/0. Berhalt den Zuschlag und zahlt des Gebot des A in Hohe von 61, womit ein Gewinn von 12,5verbleibt.

(d3) Weitere Nash-Gleichgewichte sind in (d1) kursiv hervorgehoben.

Aufgabe 4.9 Kapitalrenditenregulierung im Monopol

Der Produzent von Solaranlagen hat sich durch eine Prokuktinnovation eine marktbeherrschende Stellunggesichert. Die Nachfragefunktion ist

y = 1000− 2p (45)

Die Technologie kann wiederum durch eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion beschrieben werden, wobeijetzt α = β = 0, 25 gilt. Der Preis der Arbeit sei wA = 10, der des Kapitals wK = 0, 1.

(a) Berechnen Sie die Kostenfunktion des Unternehmens (Hinweis: Nutzen Sie das Ergebnis aus Ubung3.2f).

(b) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge, den Marktpreis und den Gewinn des Un-ternehmens. Wie viel Arbeit und wie viel Kapital wird das Unternehmen einsetzen?

(c) Bestimmen Sie die gewinnmaximale Faktornachfrage aus dem Ansatz

G(y(A,K)) = p(y(A,K))y(A,K)− (wAA + wKK) (46)

Achten Sie bei der Herleitung der notwendigen Bedingungen auf das Verhaltnis der Grenzproduk-tivitaten.


(d) Die Regulierungsbehorde entscheidet sich, die Kapitalrendite des Unternehmens zu regulieren. Dasbedeutet, dass der Unternehmensgewinn eine bestimmten Teil s des eingesetzten Kapitals nichtuberschreiten darf, also G(y(A,K)) ≤ sK gelten muss. Zeigen Sie die diesem Verfahren innewoh-nende Ineffizienz! Hinweis: Wie verhalten sich das Verhaltnis der Grenzproduktivitaten und das derFaktorpreise jetzt zueinander? Vergleichen Sie mit Teilaufgabe (c)!


(a) nach dem Einsetzen der Parameter α = β = 0, 25 in die Kostenfunktion aus Aufgabe 3.2 (f) folgt:C(y) = 2y2

(b) Ansatz:

max G(y) = p(y)y − C(y) (47)

Bed. 1. Ordnung:dG

dy≡ 0 (48)

yM = 100, pM = 450, G = 25000 (49)Bed. 2. Ordnung: sinkende Skalenertrage → erfullt (50)

Faktornachfrage (benutze 7.1 e):

K(y) = 10y2

y=yM

︷︸︸︷−→ K = 100000 (51)

A(y) = 0, 1y2

y=yM

︷︸︸︷−→ A = 1000 (52)

(c) Ansatz:

maxG(A,K) = p(y(A,K))y(A, K)− (wAA + wKK) (53)

(1)∂G

∂A= 1/8A−3/4K1/4(1000− 2A1/4K1/4)− wA ≡ 0 (54)

(2)∂G

∂K= 1/8K−3/4A1/4(1000− 2A1/4K1/4)− wK ≡ 0 (55)

umformen und dividieren von (1) und (2) fuhrt zu:

yA

yK=

K

A=

wA

wK(56)

es folgt: K = wA/wKA = 100A bzw. A = wK/wAK = 0, 01Keinsetzen in Bed. 1 Ordnung und auflosen: A = 1000, K = 100000

(d) Lagrangeansatz (s-Kapitalrendite):

max G(y) = p(y)y − (wAA + wKK)− µ(p(y)y − (wAA + wKK)− sK) (57)

(1)∂G

∂A= (1/8A−3/4K1/4(1000− 2A1/4K1/4))(1− µ)− wA(1− µ) ≡ 0 (58)

(2)∂G

∂K= (1/8K−3/4A1/4(1000− 2A1/4K1/4))(1− µ)− wK(1− µ) + µs ≡ 0 (59)

(3)∂G

∂µ≡ 0 wird nicht benotigt (60)

nach umformen und dividieren von Gleichung (1) und (2) folgt:

K

A=

wA(1− µ)wK(1− µ)− µs

(61)

– rechte Seite von Gleichung 61 großer als die von Gleichung 56

– folglich ist das Verhaltnis der Grenzproduktivitaten in Gleichung 61 großer als in Gleichung56

– aufgrund abnehmender Grenzproduktivitat der Faktoren setzt das Unternehmen mehr Kapitalund weniger Arbeit ein


– Verhaltnis der Grenzproduktivitaten und Verhaltnis der Faktorpreise sind nicht ausgeglichen– das Unternehmen produziert nicht mit der kostenminimalen Faktorkombination → Ineffizienz

Aufgabe 4.10 Monopolistische Konkurrenz I

(a) Nennen Sie die wesentlichen Annahmen, die dem Modell der monopolistischen Konkurrenz zugrundeliegen, und illustrieren Sie das langfristige Gleichgewicht bei monopolistischer Konkurrenz anhandeiner geeigneten Graphik.

(b) Gehen Sie davon aus, dass ein einzelnes Unternehmen bei monopolistischer Konkurrenz der Nach-fragefunktion p = 2n−1/4y−1/2 gegenubersteht. Dabei bezeichnet y die Ausbringungsmenge desUnternehmens, und n ist die Gesamtzahl der Unternehmen auf dem Markt. Die Kostenfunktion desUnternehmens lautet K = y +1/100. Bestimmen Sie das gewinnmaximierende y des Unternehmensin Abhangigkeit von n. Wie hoch ist der Gewinn des Unternehmens?

(c) Ermitteln Sie die Zahl der Unternehmen n im langfristigen Gleichgewicht.


Aufgabe 4.11 Monopolistische Konkurrenz II

Auf dem Markt fur Schrauben bieten zahlreiche Anbieter ihre Produkte an, die sich lediglich in Farbe,Gewindeprazision und Werkstoffzusammensetzung unterscheiden. Die Technologie zur Herstellung vonSchrauben ist hinlanglich bekannt und standardisiert, weshalb die Kostenfunktion aller Anbieter k ∈i,−i identisch ist. Fur Anbieter i kann sie so geschrieben werden:

Ki(y) = 5y3i − 16y2

i + 22yi + 18

(a) Skizzieren Sie die Grenzkostenfunktion und die Durchschnittskostenfunktion in ein (y, p)-Diagramm.An welchem charakteristischen Punkt schneidet die Grenzkostenfunktion die Durchschnittskosten-funktion?

(b) Die Nachfragefunktion, die von unveranderten Preisen der Anbieter −i bei einer Preisanderungdes Anbieters i ausgeht, sei anfanglich p = 200 − 60yi. Zeichnen Sie auch diese Funktion in das(y, p)-Diagramm.

(c) Welchen Preis setzt Unternehmen i fur seine Schraubenpakete (kurzfristiges Gleichgewicht)? Wiehoch ist der Gewinn von Unternehmen i? Skizzieren Sie die Grenzerlosfunktion und das kurzfristigeGleichgewicht im (y, p)-Diagramm.

(d) Nehmen Sie an, dass weitere Anbieter mit identischen Kostenfunktionen in den Markt eintreten undsich dadurch die individuelle Nachfragefunktion parallel zum Koordinatenursprung hin (nach innen)verschiebt. Wie lange treten neue Unternehmen in den Markt ein? Skizzieren Sie ihr Ergebnis im(y, p) - Diagramm! (Hinweis: Es geht um den Zusammenhang zwischen der Preis-Absatz Funktionund der Durchschnittskostenfunktion.)

(e) Wie viele Pakete Schrauben bietet ein Unternehmen ungefahr an, nachdem der Markteintritt zumStillstand gekommen ist und wie hoch ist der Preis eines Pakets (langfristiges Gleichgewicht, gra-phische Losung)? Wie hoch ist der Gewinn im langfristigen Gleichgewicht?


(a) DK := Ki(yi)/yi = 18+22yi−16y2i +5y3

i

yi, K

′i(yi) = 22− 32yi + 15y2

i

1 2 3 4y_i

50

100

150

200

250

p


Die Grenzkostenfunktion schneidet das Minimum der Durchschnittskostenfunktion. Schnittpunktist folglich (2, 03476; 18, 9913).

(b) Mit der Nachfragefunktion ergibt sich:

1 2 3 4y_i

50

100

150

200

250

300

p

(c) Gleichsetzen von Grenzerlos und Grenzkosten fuhrt zur gewinnmaximalen Preis-Mengen-Kombination(p; y) = (104, 53; 1.59117). Der Gewinn betragt Gmax = 133, 685

1 2 3 4y_i

-150

-100

-50

50

100

150

200

p

(d) Wenn die Nachfragefunktion die Durchschnittskostenfunktion tangiert, verbleibt kein weiterer Ge-winnspielraum.

(e) Ansatz:

– erste Ableitung der Durchschnittskostenfunktion muss gleich −60 sein ⇒ y = 0, 6, p = 44, 2

– individuelle Preis-Absatz Funktion ist dann p = 80, 2− 60y

– Gewinn im langfristigen Gleichgewicht ist gleich NULL


5 Theorie externer Effekte

Aufgabe 5.1

Mit x als emittiertem Schadstoff sei die wirkliche Grenznutzenfunktion der Emissionen fur die Unterneh-men U ′

R = 20 − x. Die Umweltbehorde geht falschlicherweise von U ′G = 30 − 0, 5x aus. Die volkswirt-

schaftlichen Grenzkosten durch die Emissionen seien K ′ = x.

(a) Berechnen Sie den von der Umweltbehorde vorgegebenen Steuersatz und die Hohe der Emissionen,fur die sich die Unternehmen entscheiden.

(b) Berechnen Sie den Wohlfahrtsverlust, der im Vergleich zum Optimum entsteht.


(a) Die Umweltbehorde bestimmt den Steuersatz wie folgt:

U ′G = K ′ = 30− 0, 5x = x ⇒ xG = 20

t = U ′G(x) = K ′(x) ⇒ t = 20

Beim Steuersatz von t = 20 emittieren die Unternehmen jedoch nicht 20, wie die Umweltbehordeerwartet, sondern

t = U ′R ⇒ 20 = 20− x ⇒ xR = 0

U’,K’

x

K’

UG’UR’

t=20

(b) Die pareto-effizienten Emissionen waren

U ′R = K ′ ⇒ 20− x = x ⇒ x∗ = 10

Die tatsachlichen Emissionen sind folglich xR = 0, womit sich der Wohlfahrtsverlust wie folgtberechnen lasst.

∆W =∫ 10

0

(20− x)dx−∫ 10

0

xdx = 20 · 10− 0, 5 · 102 − 0, 5 · 102 = 100

Der Wohlfahrtsverlust ist in der Grafik schraffiert hervorgehoben.

Aufgabe 5.2

Auf einem Monopolmarkt sei folgende Nachfragefunktion gegeben:

p = a− by (a > 0; b > 0)

Die Kostenfunktion sei K(y) = cy, wobei c > 0 gelten soll. Weiterhin werden bei der Produktion Emis-sionen E in Abhangigkeit vom Output freigesetzt:

E(y) = ey (e > 0)

Die Schadensfunktion sei S(E) = sE mit s > 0. Zur Internalisierung der externen Effekte wird nun eineEmissionssteuer pro emittierter Einheit erhoben.


(a) Wie hoch muss die Emissionssteuer im Wohlfahrtsoptimum sein?

(b) In welcher Beziehung mussen die Parameter zueinander stehen, damit keine Steuer notwendig ist,um das Wohlfahrtsoptimum zu erreichen? Zeichnen und interpretieren Sie diese Situation.


Aufgabe 5.3

Die Wohlfahrt bei der Produktion der Ware y in Land A sei WA = 10y − y2. Dabei werden Emissio-nen freigesetzt, die in Land B niedergehen. Bei jeder produzierten Einheit wird eine Emissionseinheit xfreigesetzt. Die entstehenden Schaden in Land B seien durch S = x2 charakterisiert.

(a) Nehmen Sie an, dass die Eigentumsrechte bei Land A liegen und es zu keiner Verhandlung kommt.Welche Emissionshohe kommt zustande?

(b) Bestimmen Sie die zugehorige Wohlfahrt in Land A, die zugehorige Wohlfahrt in Land B und dieGesamtwohlfahrt.

(c) Nehmen Sie nun an, dass Land B Land A ein ”take-it-or-leave-it“ Verhandlungsangebot macht.

(c1) Bestimmen Sie die angebotene Emissionshohe x∗ und die Kompensationszahlung z.

(c2) Zeigen Sie, dass die Annahme dieses Angebots fur A rational ist.

(c3) Bestimmen Sie weiterhin die zugehorige Wohlfahrt in Land A, die zugehorige Wohlfahrt inLand B sowie die Gesamtwohlfahrt.


(a) WA = 10y − y2 W ′A = 10− 2y ⇒ y = 5, x = 5

(b) WA = 25 WB = −25∑

W = 0

(c) Wir wissen, dass Verhandlungen unter diesen Annahmen zum Pareto-Optimum fuhren.

(c1) ⇒ WG = 10y − y2 − y2 = 10y − 2y2 W ′G = 10− 4y ⇔ y = x = 2, 5

⇒ z = WA(y = 5)−WA(y = 2, 5) = 25− (25− 6, 25) = 6, 25

(c2) Land A hat bei Annahme des Angebots den gleichen Nutzen wie bei dessen Ablehnung.

(c3) WA = 25 WB = −12, 5∑

W = 12, 5

Aufgabe 5.4

Ein Monopolist sieht sich der Preis-Absatz-Funktion p = 10 − y gegenuber. Seine Kostenfunktion seiKU = 2y. Da bei der Produktion des Monopolisten ein negativer externer Effekt anfallt, lautet diegesamtwirtschaftliche Kostenfunktion KG = 6y.

(a) Bestimmen Sie die Angebotsmenge des Monopolisten.

(b) Wie lautet die pareto-effiziente Produktionsmenge?

(c) Welche Steuer muss erhoben werden, damit der Monopolist die pareto-effiziente Menge produziert?


(a) K ′U = E′ ⇔ 2 = 10− 2y ⇒ yM = 4

(b) K ′G = U ′ = p ⇒ 6 = 10− y ⇒ y∗ = 4

(c) t = 0

Aufgabe 5.5


In Land A und B werden bei der Produktion eines Gutes grenzuberschreitende Emissionen frei. DerNutzen des Landes A aus seinen Emissionen EA sei gegeben durch UA = 10EA − E2

A, der des LandesB sei UB = 11EB − E2

B . Die Schaden, die durch die Emissionen entstehen, werden durch folgendeSchadensfunktionenen bestimmt:

S −A = E −A + 0, 5E −B + 0, 5EAEB

SB = 0, 25EA + 0, 5EB + 0, 5EAEB

Die Wohlfahrt in beiden Landern ergibt sich aus

WA(EA, EB) = UA(EA)− SA(EA, EB)WB(EA, EB) = UB(EB)− SB(EA, EB)

(a) Bestimmen Sie die wohlfahrtsoptimalen Emissionen sowie die Wohlfahrt in den beiden Lander.

(b) Wieviel emittieren die Lander, wenn sie ihren eigenen Nutzen maximieren (d.h. wieviel emittierenbeide im Nash-Gleichgewicht!)? Wie groß ist jetzt die Wohlfahrt?


(a) WG(EA, EB) = 10EA−E2A−EA−0, 5EB−0, 5EAEB+11EB−E2

B−0, 25EA−0, 5EB−0, 5EAEB ⇒E∗

A = 2, 5 E∗B = 3, 75 W ∗

A = 9, 6875 W ∗B = 20

(b) ∂WA/∂EA = 9− 2EA ≡ 0 ∂WB/∂EB = 10, 5− 2EA − 0, 5EB ≡ 0EN

A = 3, 4 ENB = 4, 4 WN

A = 7, 36 WNB = 10, 51

Aufgabe 5.6

Die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolisten lautet p = a − bx wobei (a, b > 0) gilt. Bei der Pro-duktion fallt zusatzlich zu den Kosten K(x) des Monopolisten ein negativer externer Effekt an, dessenGrenzschaden mit S′ = nx (n > 0) bewertet wird. Wie mussen die Parameter der PAF und der Grenzscha-densfunktion zusammenhangen, damit der Monopolist genau die wohlfahrtsoptimale Menge produziert?

Losungsskizze zu Aufgabe 5.6:Monopolist: E = x(a− bx) E′ = a− 2bx E′ = K ′ ⇔ K ′ = a− 2bx ⇒ xm = (a−K′)

2b

Wohlfahrsoptimum: U ′ = K ′ + S′ ⇔ a− bx = K ′ + nx ⇒ x∗ = (a−K′)(n+b)

Wenn n = b ist die gewinnmaximale Menge des Monopolist gleich der pareto-effizienten Menge, d.h.wenn die Steigung der Preis-Absatz-Funktion im Betrag gleich der Steigung der Grenzschadensfunktionist. Der Monopolist bietet dagegen eine zu große Menge an, wenn n + b > 2b (bzw. n > b) ist, also wennder Grenzschaden schneller steigt als der Grenzerlos des Monopolisten sinkt.

Aufgabe 5.7

In Deutschland (D) und Ungarn (U) werden bei der Produktion eines Gutes grenzuberschreitende Emis-sionen frei. Der Nutzen aus den Emissionen ist gegeben durch UU = 15EU −E2

U , bzw. UD = 12ED−E2D.

Die Schaden, die durch die Emissionen entstehen, werden durch folgende Schadensfunktionenen bestimmt:

SU = EU + 0, 25ED + 0, 25EDEU

S −D = 0, 5EU + 2ED + 0, 75EDEU .

Die Wohlfahrt in beiden Landern ergibt sich aus

WD(ED, EU ) = UD(ED)− SD(ED, EU )WU (ED, EU ) = UU (EU )− SU (ED, EU )

(a) Bestimmen Sie die wohlfahrtsoptimalen Emissionen in den beiden Lander.

(b) Wieviel emittieren die Lander, wenn sie ihren eigenen Nutzen maximieren (d.h. wieviel emittierenbeide im Nash-Gleichgewicht!)?


(a) EU = 5, 75 ED = 2


(b) EU = 6, 688 ED = 2, 49

Aufgabe 5.8

Richtig oder falsch?

1. Die Internalisierung externer Effekte ist nur durch Steuern moglich.

2. Die pareto-effiziente Verschmutzung ist unabhangig davon, ob dem Schadiger oder dem Geschadig-ten die Eigentumsrechte zugesprochen werden.

3. Eine Pigou-Steuer ist so berechnet, dass sie genau genug Steuereinnahmen erbringt, um die Kostendes Staates fur die Kontrolle der Emissionsmenge zu decken.

4. Wenn negative externe Effekte vorliegen, fuhrt vollstandige Konkurrenz nicht zum Pareto-Optimum.Positive externe Effekte verbessern dagegen die Effizienz einen Marktes bei vollstandiger Konkur-renz.

Losungsskizze zu Aufgabe 5.8: alle falsch

Aufgabe 5.9

Ein Flughafen liegt direkt neben einem großen Grundstuck, das einem Projektentwickler gehort. DieserDeveloper mochte auf dem Grundstuck ein Wohnungsbauprojekt errichten. Der Wert der Wohnungenwird jedoch durch den Larm der Flugzeuge reduziert. Je mehr Flugzeuge fliegen, desto geringer wird derProfit des Developers. X sei die Zahl der pro Tag fliegenden Flugzeuge und Y die Anzahl der gebautenHauser. Die Gewinnfunktion des Flughafens lautet dann GF = 48X −X2 und die Gewinnfunktion desDevelopers GD = 60Y − Y 2 −XY .

(a) Nehmen Sie an, es kommt nicht zu Verhandlungen zwischen dem Flughafen und dem Developer.

– Wieviele Flugzeuge fliegen pro Tag?

– Wieviele Hauser baut der Developer?

– Welchen Gewinn machen der Flughafen und der Developer?

(b) Nehmen Sie jetzt an, die ortlichen Behorden verbieten aufgrund der Larmbelastigung den Flugver-kehr komplett.

– Wieviele Hauser baut der Developer jetzt?

– Wie groß ist sein Gewinn?

(c) Nehmen Sie jetzt an, dass ein Gesetz verabschiedet wird, dass den Flughafen fur alle dem Devel-oper entstehenden Schaden aus dem Luftverkehr haftbar macht. Da die Gewinne des Developersohne Flugverkehr 60Y − Y 2 waren, mit Flugverkehr jedoch nur 60Y − Y 2 −XY belaufen sich dieSchadensersatzzahlungen des Flughafens an den Developer auf XY Geldeinheiten.

– Was ist jetzt die gewinnmaximale Hausermenge des Developers?

– Welche Flugzeugmenge maximiert den Gewinn nach Schadensersatzzahlung des Flughafens?

– Welchen Gewinn machen der Flughafen und der Developer?

(c) Ein Investor kauft sowohl den Flughafen als auch das Grundstuck des Developers und maximiertjetzt den gemeinsamen Gewinn dieser zwei Unternehmen.

– Welche Mengen X und Y wird er wahlen um seinen Gewinn zu maximieren?

– Wie hoch ist dann der Gewinn?


(a) X = 24 Y = 18 GF = 576 GD = 324∑

G = 900

(b) Y = 30 GD = 900

(c) Y = 30 X = 9 GD = 900 GF = 81∑

G = 981

(d) G = 48X −X2 + 60Y − Y 2 −XY X = 12 Y = 24 G = 1.008


Aufgabe 5.10

Imkerei und Obstplantage grenzen aneinander. Um Nektar zu sammeln, fliegt das Bienenvolk der Starkex zur Plantage. Je mehr Tiere emsig Nektar saugen, desto reicher ist die Honigausbeute V . Zudemsteigt die Obstproduktion W an. Neben der Starke des Bienenvolks ist die Anzahl der Obstbaume y furden Output der Plantage bestimmend. Wenn mehr Obstbaume vorhanden sind, steigt jedoch auch dieHonigproduktion an. Die Produktionsfunktionen lauten wie folgt:

Imkerei: V = x1/2 + y1/2

Plantage: W = x1/2 + y1/2

Die Kosten der Imkerei sind CV = x/2, die der Obstplantage CW = y. Der Marktpreis fur Honig istPV = 8 und der fur Apfel ist PW = 6.

(a) Charakterisieren Sie die vorliegende Externalitat. Errechnen Sie die Starke des Bienenvolkes, dieAnzahl der Obstbaume sowie den aggregierten Gewinn, wenn Imkerei und Obstplantage ihre Ge-winne getrennt voneinander maximieren.

(b) Imkerei und der Obstplantage haben sich auf eine Fusion geeinigt. Berechnen Sie die Starke desBienenvolkes und die Anzahl der Obstbaume, die den gemeinsamen Gewinn von Imkerei und Obst-plantage maximieren. Bestimmen Sie den aggregierten Gewinn und vergleichen Sie ihn mit demErgebnis aus Teilaufgabe (a).

(c) Die Fusion wird fur gescheitert erklart. Wie hoch musste eine Stucksubvention sx sein, die der Imke-rei fur die Bienen gezahlt wird und wie hoch die Stucksubvention sy an die Obstplantage fur derenObstbaume sein, damit beide Unternehmen getrennt voneinander die Stuckzahlen produzieren, dieSie in Aufgabenstellung (b) ermittelt haben?


(a) – positive, wechselseitige Produktionsexternalitat

– Ansatz:- Max GV = PV (

√x +

√y)− 1/2x dGV /dx = 1/2PV x−1/2 − 1/2 ≡ 0 ⇒ x = 64

- Max GW = PW (√

x +√

y)− 1x dGW /dy = 1/2PW y−1/2 − 1 ≡ 0 ⇒ y = 9- GV = 56, GW = 57;

∑G = 113

(b) Ansatz:- Max G = PV (

√x +

√y) + PW (

√x +

√y))− 1/2x− x

- ∂G/∂x ≡ 0 ⇒ x∗ = 196- ∂G/∂y ≡ 0 ⇒ y∗ = 49 - G∗ = 147 ⇒ G∗ > G(a)

(c) Ansatz:

- GV = PV (√

x +√

y)− 1/2x + sxx dGV /dx ≡ 0x∗=196︷︸︸︷⇒ sx = 3/14

- GW = PW (√

x +√

y)− 1x + syy dGW /dy ≡ 0y∗=49︷︸︸︷⇒ sy = 4/7

Aufgabe 5.11

Die Gemeinden ”Sud“ und ”Nord“ grenzen an das Gewerbegebiet ”Odland I“, auf dem die Entsorgungs-firma T eine Schrottpresse betreiben will. Der Marktpreis fur Schrott ist P und kann durch T nichtbeeinflusst werden. T entstehen keine Kosten.

Die Schrottpresse verursacht Larmemissionen, welche die Anwohner gemaß der Leidensfunktion L(y)belastigen. Die Hohe der absoluten Belastigung hangt von der Betriebsgroße y der Schrottpresse ab. Fur

”Nord“ gilt LN (y) = 1/2y2. Die Belastigung fur ”Sud“ ist bei gleichem Durchsatz hoher, da meist einrauher Nordwind weht. Dort gilt LS = y2.

(a) Bestimmen Sie rechnerisch und graphisch die Betriebsgroße y, welche die aggregierte Wohlfahrt,d.h. die Differenz zwischen dem Gewinn der Entsorgungsfirma und der Larmbelastigung in beidenGemeinden, maximiert.


(b) Gehen Sie davon aus, dass der Gewinn der Firma T an die Gemeinden verteilt wird. Der Gewinnan-teil von ”Nord“ ist αN = 0, 5 und der von ”Sud“ ist (1− αN ) = 0, 5. Ermitteln Sie rechnerisch undgraphisch die Betriebsgroße y, wenn sie durch (b1) ”Nord“ bzw. durch (b2) ”Sud“ festgelegt wird?Ermitteln Sie die Hohe der aggregierten Wohlfahrt fur beide Falle.

(c) Bestimmen Sie den wohlfahrtsoptimalen Gewinnanteil α∗N , wenn (c1) ”Nord“ die Betriebsgroßebestimmt bzw. wenn (c2) ”Sud“ diese Entscheidung trifft.


(a) – Grafik: Preisgerade; vertikale Aggregation der Grenzleidfunktionen; Kennzeichnung Schnitt-punkt/wohlfahrtsoptimale Menge; Achsenbeschriftung

– Rechnung:Ansatz: Max G = Py − 1/2y2 − y2

B1O: dG/dy = P − 3y ≡ 0y = P/3

(b) – Grafik: Achsenbeschriftung; Preisgerade auf halber Hohe; Grenzleidfunktionen; KennzeichnungSchnittpunkte/gewinnmaximierenden Mengen

– Rechnung: Ansatze: Max GN = 1/2Py − 1/2y2 bzw. Max GS = 1/2Py − y2

yN = P/2 > P/3 bzw. yS = P/4 < P/3 mit B1O.Nord bestimmt:- GN = 1/2 · P · P/2− 1/2(P/2)2 = P 2/8- GS = 1/2 · P · P/2− (P/2)2 = 0- G = P 2/8Sud bestimmt:- GN = 1/2 · P · P/4− 1/2(P/4)2 = (3/32)P 2

- GS = 1/2 · P · P/4− (P/4)2 = P 2/16- G = (5/32)P 2

(c) Nord:- G = αPy − 1/2y2

- dG/dy = αP − y ≡ 0- ⇒ α = y/P ⇒ y := P/3 ⇒ α = 1/3Sud:- G = (1− α)Py − y2

- dG/dy = (1− α)P − 2y ≡ 0- ⇒ α = 1− (2y)/P ⇒ y := P/3 ⇒ α = 1− 2/3 = 1/3Alternative: Verteilung im Verhaltnis der Grenzkosten

Aufgabe 5.12 Produktionsexternalitat, Okosteuer, Coase-Theorem

Die Kosten eines Pharmaunternehmen sind erstens abhangig von der Menge y hergestellter Kopfschmerz-tabletten. Desweiteren hangen sie von der Brauchwassermenge b ab, die in einen Fluss geleitet wird. Biszu einer bestimmte Hohe konnen dadurch die Entsorgungskosten verringert werden. Die Kostenfunktionkann wie folgt geschrieben werden.

KP = 0.05y2 + (b− 30)2 (62)

Die flussabwarts gelegene Großstadt kostet die Trinkwasseraufbereitung dagegen

KW = x2 + 20b (63)

Auf dem Markt fur Kopfschmerztabletten kann von vollkommener Konkurrenz bei einem Marktpreis vonpP = 18 ausgegangen werden. Der Trinkwasserpreis ist pW = 100.

(a) Wie viele Tabletten, wie viel Brauchwasser und wie viel Trinkwasser wird produziert, wenn dieAnbieter ihre Gewinn getrennt maximieren? Wie hoch sind die Gewinne, wie hoch ist der Effizienz-verlust?

(b) Kann eine Okosteuer den Effizienverlust mindern? Wie hoch sollte die Regulierungsbehorde dieSteuer wahlen?


(c) Aufgrund zu hoher Kosten der Steuerberechnung und -erhebung wird beschlossen, der Stadt die Ein-leitungsrechte in den Fluss zu ubertragen. Wie hoch wurde diese den Preis fur das Recht festsetzen.Ware das Ergebnis effizient?

(d) Nehmen Sie an, die Eigentumsrechte werden auf einem Markt bei vollstandiger Konkurrenz gehan-delt, so dass sowohl die Stadt, als auch das Pharmaunternehmen Preisnehmer sind. Ist es dann vonBedeutung, wer die Eigentumsrechte erwirbt? Vergleichen Sie mit dem pareto-effizienten Ergebnis.


(a) Pharmaunternehmen:

max GP = 18y −(0.5y2 + (b− 30)2

)(64)

(1)∂GP

∂y≡ 0 ⇔ y = 180 (65)

(2)∂GP

∂b≡ 0 ⇔ b = 30 (66)

GP |y=180,b=30 = 1620 (67)

Stadt:

max GK = 100x− (x2 + 20b) (68)

(1)∂GW

∂x≡ 0 ⇔ x = 50 (69)

GW |x=50,b=30 = 1900 (70)

Effizienz: maximal moglicher Gesamtgewinn

max GP+W = 18y −(0.5y2 + (b− 30)2

)+ 100x− (x2 + 20b) (71)

(1)∂GP+W

∂y≡ 0 ⇔ y = 180 (72)

(2)∂GP+W

∂x≡ 0 ⇔ x = 50 (73)

(3)∂GP+W

∂b≡ 0 ⇔ b = 20 (74)

GP+W |y=180,x=50,b=20 = 3620 > (GP + GW ) (75)⇒ ∆G = 3620− (1900 + 1620) = 100 (76)

(b) Oko-Steuer auf das die Externalitat verursachende Produkt → bPharmaunternehmen:

GP = 18y −(0.5y2 + (b− 30)2

)− tb (77)

(1)∂GP

∂y≡ 0 ⇔ y = 180 (78)

(2)∂GP

∂b≡ 0 ⇔ b =

(60− t)2

(79)

⇔ t = 60− 2b|b=20 ⇔ t = 20 (80)

Gesamtgewinn unter der Okosteuer:

GP |y=180,t=20,b=20 = 1120 (81)GW |x=50,b=20 = 2100 (82)GRB |t=20,b=20 = 400 (83)∑

iεP,W,RBGi = 3620 (84)


(c) zuerst setzt Stadt den Preis, dann legt Unternehmen Mengen fest ⇒ Kommune kann optimaleReaktion des Unternehmens in Preisfestlegung einbeziehen

max GP = 18y −(0.5y2 + (b− 30)2

)− eb (85)

(1)∂GP

∂y≡ 0 ⇔ y = 180 (86)

(2)∂GP

∂b≡ 0 ⇔ b =

(60− e)2

= 30− e/2 (87)

Gewinn der Stadt:

max GW = 100x− (x2 + 20b) + eb | b = 30− e/2 (88)

(1)∂GW

∂x≡ 0 ⇔ x = 50 (89)

(2)∂GW

∂e≡ 0 ⇔ e = 40 ⇒ b = 10 (90)

Gesamtgewinne:

GP = 820, GW = 2700∑

i

Gi = 3520 < Geff (91)

(d) Eigentumsrecht der Stadt auf sauberes Wasser:

max GW = 100x− (x2 + 20b) + eb (92)

(1)∂GW

∂x≡ 0 ⇔ x = 50 (93)

(2)∂GW

∂b≡ 0 ⇔ e = 20 (94)

max GP = 18y −(0.5y2 + (b− 30)2

)− eb (95)

(1)∂GP

∂y≡ 0 ⇔ y = 180 (96)

(2)∂GP

∂b≡ 0 ⇔ b =

(60− e)2

= 30− e/2 | e = 20 (97)

⇒ b = 20 (98)

Gewinne: GP = 1120, GW = 2500,∑

i Gi = 3620 = Geff

Eigentumsrecht des Unternehmens auf Verschmutzung:gegebenes Einleitungsniveau b∗

max GW = 100x− (x2 + 20b)− e(b∗ − b) (99)

(1)∂GW

∂x≡ 0 ⇔ x = 50 (100)

(2)∂GW

∂b≡ 0 ⇔ e = 20 (101)

max GP = 18y −(0.5y2 + (b− 30)2

)+ e(b∗ − b) (102)

(1)∂GP

∂y≡ 0 ⇔ y = 180 (103)

(2)∂GP

∂b≡ 0 ⇔ b = 30− e/2 | e = 20 (104)

⇒ b = 20 (105)

Gewinne: Ausgangssituation b∗ = 30⇒ GP = 1720, GW = 1900,

∑i Gi = 3620 = Geff

Aufgabe 5.13 Offentliche Guter


Die Straßenbeleuchtung einer Straße ist ein typisches offentliches Gut. Gehen Sie zunachst einmal davonaus, dass lediglich zwei Anlieger (i und j) mit der Nachfragefunktion p = 20 − y existieren (y sei diegesamte Zahl der Straßenlaternen). Die Grenzkosten der Bereitstellung der Leuchten betragen 10.

(a) Wie hoch ist die sozial optimale Anzahl der Straßenlaternen (Hinweis: Ermitteln Sie zunachst dieGesamtnachfrage durch vertikale Addition der individuellen Nachfragefunktionen)?

(b) Nehmen Sie an, dass die Straßenbeleuchtung nicht durch die offentliche Hand bereitgestellt wird.

(b1) Wie viele Laternen wurde i anbieten, wenn j gar keine Straßenbeleuchtung bereitstellt?

(b2) Wie viele Laternen wurde i anbieten, wenn j funf Straßenlaternen bereitstellt?

(b3) Wie viele Laternen wurde i anbieten, wenn j zehn Straßenlaternen bereitstellt?

(b4) Zeigen Sie auf der Basis Ihrer Ergebnisse aus Aufgabenstellung (b1-b3), dass die Bereitsstellungvon insgesamt zehn Laternen ein Nash-Gleichgewicht darstellt.

(c) Nehmen Sie nun an, dass sich die Anwohnerzahl der Straße auf 100 erhoht.

(c1) Wie hoch ist die sozial optimale Anzahl Straßenlaternen nun?

(c2) Zeigen Sie, dass im Nash-Gleichgewicht wiederum 10 Laternen angeboten werden.

(d) Zeigen und erklaren sie, dass es sich in den (b) und (c) um ein Trittbrettfahrerproblem handelt.


(a) Vertikale Addition der Nachfragefunktionen bedeutet den aggregierten Grenznutzen der q-ten La-terne (0 ≤ q ≤ 20) zu bestimmen.Aggregierte Nachfrage nach Laternen: pc = pi(y) + pj(y) = 40− 2y

Kostenfunktion: C(y) = 10y

soziales Optimum, wenn sozialer Grenznutzen und Grenzkosten ubereinstimmen, also:

pc = C ′(y) ⇒ (40− 2y) = 10 ⇒ y∗ = 15 (106)

(b) individuell nutzenmaximierendes Angebot, wenn Grenznutzen und Grenzkosten identisch sind:

pi(yi, yj) = C ′(yi)⇒ (20− (yi + yj)) = 10⇒ yi = 10− yj

yj = 0 ⇒ yoi = 10 ⇒ U i(y) = 150, Ci(yi) = 100, U i − Ci = 50



Aggregiertes Angebot von 10 ist ein Nash-Gleichgewicht, da es fur beide Anwohner nutzenmaxi-mierend ist, bei gegebenem Angebot des anderen Anwohners die Differenz anzubieten.

5 10 15 20y

10

20

30

40

p


(c) (c1) Gesamtnachfrage:

pc =100∑

i=1

(20− y) = 100(20− y) (107)

100(20− y) = 10 ⇒ y∗ = 199/10 (108)

(c2) individuelles Angebot:

pi(yi,∑

−i

y−i)yi = C ′(yi) ⇒ yoi = 10−∑

−i y−i (109)

Auch wenn es 100 Anwohner gibt, bietet jeder den Differenzbetrag zwischen dem Angebotder anderen Anwohner und zehn Laternen an und maximiert damit den individuellen Nutzen.Folglich handelt ist es auch hier um ein Nash-Gleichgewicht, wenn insgesamt zehn Laternenangeboten werden.

(d) Trittbrettfahrerproblem wird deutlich, wenn man den Nettonutzen betrachtet (z.B. in Aufgabe(b), analog in (c)). Dieser steigt, je hoher das aggregierte Angebot der anderen Anwohner ist. Dereinzelne Akteur maximiert den Nutzen, wenn er keine Laternen anbieten muss und auf ”Kosten“der anderen Akteure die Beleuchtung der Straße konsumieren kann.


6 Theorie asymmetrischer Informationsverteilung

Aufgabe 6.1

Diskutieren Sie unterschiedliche Formen einer asymmetrischen Informationsverteilung und deren Bedeu-tung!

Aufgabe 6.2 Market for Lemons

Betrachtet werden soll ein Gebrauchtwagenmarkt, auf dem unterschiedliche Qualitaten gehandelt werden.Die Verkaufer konnen die Qualitat x beobachten, Kaufer dagegen kennen lediglich die Durchschnittsqua-litat bzw. die erwartete Qualitat - die Qualitat ist aus der Sicht der Kaufer eine Zufallsvariable, die durchX gekennzeichnet werden soll.

Der Kaufer weiß, dass vom vollig nutzlosen Unfallwagen (schick lackiert aber es gilt eben doch xl = 0)bis zum Spitzenmodell (xh = 30000) alle Qualitatsstufen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten konnen- die Qualitat ist folglich im Intervall [0, 30000] gleich verteilt.

(a) Die Wertschatzung des Verkaufers (US) entspricht der Qualitat des PKW, die des Kaufers (UD)liegt α = 0, 10 hoher als die des Verkaufers (orientiert sich aber an der erwarteten Qualitat).

(a1) Berechnen und skizzieren Sie die Angebots- und die Nachfragefunktion im (x,U i) - Diagramm.

(a2) Wie viele Autos wechseln den Besitzer?

(a3) Ist das Ergebnis effizient?

(b) Bestimmen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus Teilaufgabe (a) den Mindestwert des Para-meters α > 1, mit dem ein volliger Zusammenbruch des Marktes abgewendet werden kann.

(c) Wie sind Institutionen wie der TUV oder Gebrauchtwagengarantien zu beurteilen? Konnen diesedas Problem asymmetrischer Informationen auf dem Gebrauchtwagenmarkt mildern?

(d) Wurde der Markt zusammenbrechen, wenn weder Kaufer noch Verkaufer uber die Qualitat derPKW informiert waren?


(a) Es handelt sich asymmetrischer Information auf dem Gebrauchtwagenmarkt.

(a1) Berechnung der Angebots- und der Nachfragefunktion:

∗ Angebotsfunktion: US = x

∗ Nachfragefunktion:

UD(x) = (1 + α)EX = (1 + α)∫ x

xl

1(x− xl)

xdx =(1 + α)

2x

Skizze des Marktes (Ud - solide Linie, Us - gestrichelte Linie):

5000 10000 15000 20000 25000 30000x

5000

10000

15000

20000

25000

30000

U

(a2) fur jede maximale Qualitat ist die Zahlungsbereitschaft der Kaufer kleiner als der Angebots-preis der Verkaufer ⇒ kein Auto wechselt den Besitzer

(a3) ineffizientes Ergebnis, da die Wertschatzung potenzieller Kaufer fur jede Qualitatsstufe großerals die Wertschatzung der Verkaufer ist; es ware effizient, wenn alle PKW den Eigentumerwechseln wurden


(b) Nutzen der Verkaufer entspricht dem Nutzen der Verkaufer ⇔ Ud = Us:

x = (1 + α)1/2x ⇒ α = 1

Die Wertschatzung der Kaufer musste doppelt so hoch wie jener der Verkaufer sein, damit derMarkt nicht zusammenbricht.

(c) Institutionen, die die Qualitat eines Produktes glaubhaft machen, konnen das Marktversagen lin-dern; TUV und Gebrauchtwagengarantien sind solche Institutionen; beachte allerdings auch dieKosten solcher Institutionen

(d) nein

Aufgabe 6.3 Regulierung eines Monopols mit unbekanntem Kostentyp

Die Nachfrage auf dem Markt fur Telefongesprache sei p = a − y, wobei p den Preis und y die Mengesymbolisiert. Der Markt wird von nur einer Telefongesellschaft bedient, das konstante Grenzkosten inHohe von c hat. Die Regulierungsbehorde weiß nur, dass der Monopolist mit einer Wahrscheinlichkeit σhohe Grenzkosten ch und mit einer Wahrscheinlichkeit 1 − σ niedrige Grenzkosten ch hat (das Unter-nehmen weiß naturlich, ob es hohe oder niedrige Grenzkosten hat). Ziel der Regulierungsbehorde ist dieMaximierung der sozialen Wohlfahrt. Zwei Instrumente stehen ihr zur Verfugung:

1. Festlegung des Marktpreises entsprechend der bekannt gegebenen Grenzkosten ⇔ p(c)

2. Bestimmung einer Pauschalsubvention in Abhangigkeit der bekannt gegebenen Grenzkosten ⇔ s(c)

(a) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion des Monopolisten G(c, c).

(b) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion des Monopolisten G∗(c), wenn er seine wahren Grenzkostenbekannt gibt.

(c) Bestimmen Sie die Bedingungen fur Anreizkompatibilitat eines Mechanismus fur die Falle c ∈cl, ch.

(d) Bestimmen Sie die Bedingungen fur die individuelle Rationalitat des Mechanismus fur die Fallec ∈ cl, ch.

(e) Zeigen Sie, dass folgender Mechanismus das Unternehmen veranlasst, den wahren Kostentyp offen-zulegen, anreizkompatibel und individuell rational ist sowie die soziale Wohlfahrt maximiert.

p(ch) = ch und p(cl) = cl

s(ch) ≥ 0 und s(cl) ≥ 0 solange(ch − cl)(a− ch) ≤ s(cl)− s(ch) ≤ (ch − cl)(a− cl)


(a) G(c, c) = p(c)− cy + s(c) = [p(c)− c][a− p(c)] + s(c)

(b) G∗(c) ≡ G(c, c) = [p(c)− c][a− p(c)] + s(c)

(c) wahre Grenzkosten sind ch:

[p(ch)− ch][a− p(ch)] + s(ch) ≥ [p(cl)− ch][a− p(cl)] + s(cl) (110)

wahre Grenzkosten sind cl:

[p(cl)− cl][a− p(cl)] + s(cl) ≥ [p(ch)− ch][a− p(ch)] + s(ch) (111)

(d) wahre Grenzkosten sind ch:[p(ch)− ch][a− p(ch)] + s(ch) ≥ 0 (112)

wahre Grenzkosten sind cl:[p(cl)− cl][a− p(cl)] + s(cl) ≥ 0 (113)

(e) Beweis:


– Unternehmen (jedes Kostentyps) macht positiven Gewinn, wenn es die Wahrheit sagt, das(ch) ≥ 0 und s(cl) ≥ 0 (individuelle Rationalitat)

– mit p(ch) = ch und p(cl) = cl in den Anreizkompatibilitatsbedingungen folgt

(ch − cl)(a− ch) ≤ s(cl)− s(ch) ≤ (ch − cl)(a− cl) (114)

– um zu verhindern, dass Unternehmen mit niedrigeren Grenzkosten vorgibt, hohe Grenzkostenzu haben, muss die Pauschalsubvention bei niedrigen Grenzkosten hoher sein als bei hohenGrenzkosten ⇔ s(cl) > s(ch).

Aufgabe 6.4 Signalisierung auf dem Arbeitsmarkt

Ein Unternehmen, dass sich einer großen Zahl Bewerber gegenuber. Unter den Bewerbern haben 60%eine sehr niedrige Produktivitat (Typ Θl), 30% eine mittlere Produktivitat (Typ Θm) und 10% eine sehrhohe Produktivitat (Typ Θh). Die Erlose des Unternehmens hangen von nur von der Produktivitat desBewerbers ab. Pro Person eines bestimmten Typs konne folgende Ertrage erwirtschaftet werden:

E(Θl) = 600000 E(Θm) = 690000 E(Θh) = 900000 (115)

Wie schon erwahnt, sind die Erlose durch den Typ des Bewerbers eindeutig bestimmt. Die Bewerberkonnen jedoch eine Ausbildung wahlen, die Kosten in unterschiedlicher Hohe nach Ausbildungsart undTyp des Bewerbers verursacht. Es gibt die drei Ausbildungsniveaus e: ”(k)eine Ausbildung“, ”(A)bitur“,

”(D)iplom“. Folgende Kosten C(Θi, e) entstehen hierfur:

C(Θl, k) = C(Θm, k) = C(Θh, k) ≡ 0 (116)C(Θl, A) = 150000 C(Θm, A) = 80000 C(Θh, A) = 70000 (117)

C(Θl, D) = 600000 C(Θm, D) = 400000 C(Θh, D) = 120000 (118)

(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit der jeweiligen Produktivitatstypen?

(b) Angenommen, der Unternehmer zahlt einen Lohn in Hohe der erwarteten Produktivitat.

(b1) Wie hoch ist der Lohn?

(b2) Welcher Produktivitatstyp hatte dann eine Ausbildung gewahlt?

(c) Das Unternehmen zieht folgende Lebensgehalter in Betracht...

w(k) = 600000 w(A) = 690000 w(D) = 900000 (119)

(c1) Welche Ausbildung wahlen die Individuen von Typ Θl,Θm,Θh, wenn sie sich individuell ratio-nal verhalten? Um welchen Gleichgewichtstyp handelt es sich? Ist das Gleichgewicht effizient?

(c2) Wie ware die Effizienz des Gleichgewichts zu beurteilen, wenn durch die Ausbildung die Pro-duktivitat gestiegen ware (Abitur um 5%, Diplom um 10%). Wie hatte ein Signalisierungs-gleichgewicht in diesem Fall ausgesehen?

(d) Der Staat erhebt fur das Gymnasium eine Gebuhr von 15000, ein Diplom erfordert Investitionen von30000. Welche Auswirkungen haben Schul- bzw. Studiengebuhren auf die Ausbildungsentscheidungder Bewerber unterschiedlicher Typen (Ausbildung hat keine Produktivitatswirkung).

(e) Wie hoch mussten die Gebuhren fur die Ausbildungsarten mindestens sein, damit sich kein zukunfti-ger Arbeitnehmer fur eine mogliche Ausbildungart entscheidet? Sind Schul- bzw. Hochschulgebuhrenin diesem Zusammenhang effizient?

(f) Wie hoch waren die Gewinne/Verluste der einzelnen Typen, wenn die zusatzliche Ausbildung einfachverboten wird? Wie ist ein Verbot insgesamt zu beurteilen?


(a) Aus den Anteilen Gruppen ergibt sich: σl = 0, 6, σm = 0, 3 und σh = 0,.

(b) Die erwartete Produktivitat ist: Mε = 0, 6 · 600000 + 0, 3 · 690000 + 0, 1 · 900000 = 657000.


(b1) Die Lohnhohe ist 657000.

(b2) Kein Bewerber wahlt eine Ausbildung, da diese Kosten verursacht ohne zu hoherer Entlohnungzu fuhren.

(c) Die Kalkulation der Typen ist wie folgt:

(c1)

Θl : G(k) = 600000− 0 = 600000G(A) = 690000− 150000 = 540000G(D) = 900000− 150000− 600000 = 150000

⇒ Θl wird keine weitere Ausbildung anstreben.Θm : G(k) = 600000

G(A) = 690000− 80000 = 610000G(D) = 900000− 80000− 400000 = 420000

⇒ Θm wird das Abitur anstreben.Θh : G(k) = 600000

G(A) = 690000− 70000 = 620000G(D) = 900000− 70000− 120000 = 710000

⇒ Θm wird das Diplom anstreben.

Es handelt sich um ein separierendes Gleichgewicht (separating equilibrium), da jedem Typein Ausbildungsniveau zugeordnet werden kann und umgekehrt. Man kann folglich aus derAusbildung des Bewerbers auf dessen Produktivitat zuruckschließen. Das Gleichgewicht istaber nicht effizient, da Ausbildungskosten anfallen ohne das die Produktivitat der Bewerbersteigt.

(c2) Die mittlere Gruppe wahlt weiterhin das Abitur. Hier gibt sich ein absoluter Produktivitats-zuwachs von 34500, dem Ausbildungskosten von 80000 gegenuber stehen. Die hochproduktiveGruppe wahlt weiterhin das Diplom. Sie erlangt einen Zuwachs von 90000, dem Ausbildungs-kosten von 190000 gegenuber stehen. Da fur beide Gruppen die Produktivitatszuwachse kleinersind als die zusatzlichen Ausbildungskosten, ist das Gleichgewicht weiterhin als ineffizient ein-zustufen.

(d) Betrachtung der Veranderungen fur die Gruppen:

Θl : wahlt weiterhin ”k“Θm : wahlt jetzt ”k“ an Stelle von ”A“Θh : wahlt weiterhin ”D“

⇒ Separating Gleichgewicht bei drei unterschiedlichen Lohnen und drei unterschiedlichen Gleich-gewichtsniveaus kommt nicht mehr zustande.

(e) Um auch Θh zu veranlassen, keine Ausbildung zu wahlen, muss die minimale Abiturgebuhr 20000und die minimale Diplomgebuhr 90000 betragen. Studiengebuhren sind nutzlich, insofern dieseineffiziente Ausbildung verhindern. Letzteres ist hier der Fall, da durch die Ausbildung kein Pro-duktivitatszuwachs erfolgt (aber selbst moderate Zuwachse rechtfertigen die Ausbildung nicht).

(f) Bei einem Ausbildungsverbot erhalten alle den Durchschnittslohn von 657000. Folglich

– profitiert Θl, da 657000− 600000 = 57000

– profitiert Θm, da 657000− (690000− 80000) = 47000

– verliert Θh, da 657000− (900000− 70000− 120000) = −53000

Gewichtung mit der relativen Gruppengroße ergibt:

0, 6 · 57000 + 0, 3 · 47000 + 0, 1(−53000) = 43000

Das Verbot wirkt analog zu prohibitiv hohen Studiengebuhren effizienzsteigernd.


Aufgabe 6.5 Arbeitsvertrage bei Unsicherheit und symmetrischer Information

Ein Unternehmer mochte einen Arbeitnehmer einstellen. Folgende Interaktion im Zeitablauf sei gegeben.

1. Der Unternehmer spezifiziert im Arbeitsvertrag den Lohn w des Arbeitnehmers in Abhangigkeitdes Erloses E des Unternehmens, also w(E).

2. Der Unternehmer unterbreitet dem Arbeitnehmer ein ”take-it-or-leave-it“Angebot.

3. Der Arbeitnehmer akzeptiert (es geht weiter mit [4]) oder lehnt ab (das ”Spiel“ ist zu Ende, derArbeitnehmer arbeitet anderen Orts und a erzielt damit einen Reservationsnutzen U = 10).

4. Nachdem der Arbeitnehmer den Vertrag akzeptiert hat, spezifiziert er seinen Arbeitseinsatz a. DerArbeitseinsatz ist entweder ah = 2 oder al = 0.

5. Der Unternehmer beobachtet den Ertrag und zahlt dem Arbeitnehmer den in (1) festgelegten Lohnw(E).

6. Der Nutzen des Arbeitnehmers ist U = w − e.

(a) Der Erlos sei vom Aktivitatsniveau des Arbeitnehmers wie folgt abhangig: E(ah) = H und E(al) =L. Der Gewinn des Unternehmers ist G = E(ai)−w. Es wird angenommen, dass H −L so groß ist,dass sich der Unternehmer immer besser stellt, wenn er den Arbeitnehmer Anreize zu hoher Akti-vitat gibt. Ziel ist dann die Minimierung des Lohnes w bei Erhaltung des hohen Aktivitatsniveausah.

(a1) Wie hoch muss der Lohn wh des Arbeitnehmers sein, dass sich hohe Aktivitat gegenuberalternativer Beschaftigung lohnt (individuelle Rationalitat)?

(a2) Wie hoch muss der Lohn bei hohem Aktiviatsniveau gegenuber dem bei niedrigem Aktivitats-niveau sein (Anreizkompatibilitat)?

(a3) Bestimmen Sie den Mindestlohn fur ein hohes Aktivitatsniveau aus der individuellen Anreiz-bedingung und den Hochstlohn fur ein niedriges Aktivitatsniveau aus der Anreizkompatibi-litatsbedingung!

(a4) Bestimmen Sie den Gewinn des Unternehmers fur a = 2 und a = 0. Welcher Zusammenhangzwischen H und L muss gelten, damit sich der Vertrag fur den Unternehmer lohnt?

(b) Erlos und Aktivitatsniveau hangen neben der Anstrengung des Arbeitnehmers nun auch von einerZufallskomponente ab. Es gilt daher:

E(ah) =

H mit Wahrscheinlichkeit σ = 0, 8L mit Wahrscheinlichkeit (1− σ) = 0, 2

(120)

E(al) =

H mit Wahrscheinlichkeit θ = 0, 4L mit Wahrscheinlichkeit (1− θ) = 0, 6

(121)

Der Arbeitnehmer weiß in diesem Fall nicht genau, ob er bei hohem (niedrigem) Aktivitatsniveaueinen hohen (niedrigen) Lohn erhalt, da die Wahrscheinlichkeit fur einen niedrigen (hohen) Erlosgroßer als NULL ist. Der Lohn ist folglich eine Zufallsgroße, die mit Ω bezeichnet wird. Die Nut-zenfunktion des Arbeitnehmers ist daher:

U =

MΩ− a bei Aktivitatsnivau a

10 bei alternativer Beschaftigung(122)

M steht hierbei fur den Erwartungswert der Zufallsgroße.

(b1) Bestimmen Sie den erwarteten Lohn des Arbeitnehmers fur die Falle ai ∈ ah, al.(b2) Bestimmen Sie die individuelle Rationalitatsbedingung.

(b3) Wie lautet die Anreizvertraglichkeitsbedingung?

(b4) Bestimmen Sie die optimale (hohe und niedrige) Lohnhohe aus der individuellen Rationalitats-bedingung und der Anreizvertraglichkeitsbedingung.


(c) Vergleichen Sie die erwarteten Lohnzahlungen des Unternehmers der Aufgabenteile (a) und (b),wenn sich der Arbeitnehmer fur ein hohes Aktivitatsniveau entscheidet. Verursacht die Implemen-tierung eine Anreizvertrages in diesem Fall zusatzliche Kosten? Warum (nicht)?


(a) Fur den Fall, dass aus dem Erlos mit Wahrscheinlichkeit EINS auf das Aktivitatsniveau zuruckge-schlossen werden kann, ergibt sich...

(a1) individuelle Rationalitat...wh − ah ≥ 10 (123)

(a2) Anreizkompatibilitat...wh − ah ≥ wl − 0 (124)

(a3) Aus der individuellen Rationalitat folgt wh ≥ 10 + ah = 12. Folglich ist muss wh mindestens12 sein. Aus der Anreizvertraglichkeitsbedingung folgt mit wh = 12: wl ≤ 12− 2

(a4)GH = H − wh = H − 12 GL = L− wl = L− 10

⇒ Folglich muss GH ≥ GL sein, damit sich der Vertrag fur den Unternehmer lohnt, bzw.H ≥ L + 2.

(b) Fur den Fall, dass aus dem Erlos nicht mit Wahrscheinlichkeit EINS auf das Aktivitatsniveauzuruckgeschlossen werden kann, ergibt sich...

(b1) Die erwarteten Lohnzahlungen sind...

ai = ah : MΩ = 0, 8 · wh + 0, 2 · wl

ai = al : MΩ = 0, 4 · wh + 0, 6 · wl

(b2) individuelle Rationalitat (IRU) unter Unsicherheit:

0, 8 · wh + 0, 2 · wl − 2 ≥ 10

(b3) Anreizvertraglichkeit (AVU) unter Unsicherheit:

0, 8 · wh + 0, 2 · wl − 2 ≥ 0, 4 · wh + 0, 6 · wl − 0

(b4) Aus IRU folgt wl = 60− 4wh. Aus AVU folgt wl = wh− 5. Folglich ist die optimale Lohnhohefur die Realisation L wl = 8 und fur die Realisation H wh = 13.

(c) Wenn der Arbeitnehmer ein hohes Aktivitatsniveau wahlt und nicht beobachtet werden kann, istdie erwartete Auszahlung: 0, 8 · 13 + 0, 2 · 8 = 12. Das entspricht der Lohnzahlung, wenn dasNiveau beobachtbar und hoch ist. Die Implementierung des Anreizvertrages ist somit ex-ante (imErwartungswert) ohne zusatzliche Kosten moglich.

Aufgabe 6.6 Arbeitsvertrage bei Unsicherheit und asymmetrischer Information

Es gelten die Annahmen aus Aufgabe 8.2 - der Unternehmer zahlt wh bei hohem Erlos und wl beiniedrigem ERlos (wh > wl). Unternehmer (U) und Arbeitnehmer (A) haben aber nun unterschiedlicheInformationen hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit, mit der ein hohes (niedriges) Aktivitatsniveau zumhohen (niedrigem) Erlos fuhrt. Es gilt:

RU (ah) =

H mit σ = 0, 8L mit 1− σ = 0, 2

RU (al) =

H mit θ = 0, 4L mit 1− θ = 0, 6

(125)

RA(ah) =

H mit σ = 0, 7L mit 1− σ = 0, 3

RA(al) = RU (al) (126)

(a) Bestimmen und vergleichen Sie den Erwartungswert des Lohns aus der Perspektive von Unterneh-mer und Arbeitnehmer fur den Fall eines hohen Aktivitatsniveaus seitens des Arbeitnehmers.


(b) Bestimmen Sie die Teilnahmebedingung (individuelle Rationalitat) des Arbeitnehmers.

(c) Bestimmen Sie die Anreizkompatibilitatsbedingung des Arbeitnehmers.

(d) (Be)Zeichnen Sie beide Bedingungen in ein(em) (wl, wh) Diagramm.

(e) Bestimmen Sie die erwartete Lohnzahlung des Unternehmers, wenn sich der Arbeitnehmer zuvorfur ein hohes Aktivitatsniveau entschieden hat. Welchen Verlauf hat die Iso-Lohn-Kurve im (wl, wh)Diagramm.

(f) Welche Lohnkombination (wl, wh) minimiert die erwartete Lohnzahlung des Unternehmers, wennsich der Arbeitnehmer fur ein hohes Aktivitatsniveau entschieden hat? Nutzen Sie hierfur das(wl, wh) Diagramm. Wie hoch ist dann die erwartete Lohnzahlung des Unternehmers?

(g) Wie hoch sind die Gesamtkosten des Arbeitnehmers, wenn er viel leistet (Opportunitatskostender Teilnahme zuzuglich der Kosten des Arbeitsleids)? Vergleichen Sie diese mit der erwartetenLohnzahlung. Wie erklart sich eine mogliche Differenz?


(a) Fur die erwartete Lohnzahlung bei hohem Aktivitatsniveau ergibt sich aus der Perspektive...

des Unternehmers: MUΩ = 0, 8 · wh + 0, 2 · wl

des Angestellten: MAΩ = 0, 7 · wh + 0, 3 · wl

⇒ Der erwartete Lohn des Arbeitnehmers ist niedriger als der des Unternehmers.

(b) Teilnahmebedingung des Arbeitnehmers unter Unsicherheit und asymmetrischer Information (IRUA):

0, 7 · wh + 0, 3 · wl − 2 ≥ 10 ⇒ wh =12− 0, 3wl

0, 7

(c) Anreizkompatibilitatsbedingung des Arbeitnehmers unter Unsicherheit und asymmetrischer Infor-mation (AVUA):

0, 7 · wh + 0, 3 · wl − 2 ≥ 0, 4 · wh + 0, 6 · wl − 0 ⇒ wh =203

+ wl

(d) (wl, wh) Diagramm (IRUA - solide Linie, AVUA - gestrichelteLinie):

2 4 6 8 10 12 14wl

10

12

14

16

18

20

22wh

(e) minimiere erwartete Lohnzahlung:

minwh,wlMUΩ = 0, 8wh + 0, 2wl

(wl, wh) Diagramm mit Iso-Lohn-Funktion (IRUA - solide Linie, AVUA - gestrichelte Linie, Iso-Lohn-Funktion - graue Linie):

2 4 6 8 10 12 14wl

10

12

14

16

18

20

22wh


(f) Schnittpunkt aller drei Geraden ergibt die optimale Lohnkombination. Da die erwartete Lohnzah-lung des Unternehmers immer kleiner wird, je weiter innen die Iso-Lohn-Funktion liegt, muss dasMinium im Schnittpunkt aller drei Geraden liegen. Zur Bestimmung der Lohne lost man IRUAund AVUA nach wl bzw. wh auf. Es folgt wh = 14 und wl = 22/3. Die erwartete Lohnzahlung desUnternehmers fur den Fall H ist MUΩ = 12, 66.

(g) Die Gesamtkosten des Arbeitnehmers sind 10 + 2 = 12. Die Differenz zwischen MUΩ = 12, 66 und12 ist als Kompensation des Arbeitnehmers zu verstehen, den Arbeitsvertrag inklusive des hohenAktivitatsniveaus gegenuber einer sicheren Alternative zu bevorzugen (der Arbeitnehmer ist relativzum Unternehmer einem hoheren Risiko ausgesetzt).

1 Marktformen, Wohlfahrtsbegriﬀe und spieltheoretische L ... · Mikro¨okonomie 2 (Allgemeine...

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