Motivation durch Musik Motivation (allgemein) Motivation durch Musik Mindmachines.
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1
Großübung Querschnittskennwerte
1. Motivation
2. Definition von Querschnittskennwerten
3. Berechnung der Kennwerte
4. Beispiele
2
Motivation Ziel des Ingenieurs ist es, ein Bauteil so zu gestalten, dass es den auftretenden Belastungen stand hält und die Verformungen zulässig bleiben. Dazu müssen die auftretenden Belastungen mit den Eigenschaften der verbauten Materialien und den geometrischen Abmessungen in Zusammen-hang gebracht werden. Hierfür sind absolute Grö-ßen (Kräfte, Momente) nicht geeignet. Es werden aus den äußeren Lasten Schnittgrößen bestimmt und diese Größen werden auf Querschnittskenn-größen bezogen. Dadurch wird es möglich, rech-nerisch bestimmte Beanspruchungsgrößen an realen Bauteilen mit in Materialtests bestimmten Beanspruchungsgrößen zu vergleichen (hierbei werden genormte Testkörper verwendet) und so Aussagen über die Haltbarkeit der Bauteile zu treffen. Dies gilt sinngemäß auch für die Verfor-mungsberechnung.
3
Diese normierten Größen heißen Spannungen. Alle bisher berechneten Schnittgrößen tauchen in den Formeln zur Spannungsberechnung wieder auf. Die Spannungen werden abhängig von ihrer Richtung in zwei Arten unterteilt. Normalspannungen σ (senkrecht zur Schnittfläche) infolge Normalkraft und Biegung (bezogen auf Hauptachsen)
yxIxMz
xIxM
xAxNzyx
z
bz
y
byx )(
)()()(
)()(),,( −+=σ
GrundbeanspruchungenBiegung um die y-Achse + Biegung um die z-Achse + Längskraft = komplexe BeanspruchungHieraus resultieren Normalspannungen σ.
Weitere mögliche Beanspruchungen sind Querkraftschub in y- und z-Richtung sowie Torsion.
Koordinatensystem:
Diese Beanspruchungen verursachen Tangential-(Schub-)Spannungen τ.
+ + =
y
zx Spannungsnulllinie σ = 0x
4
Schubspannungen τ (in der Schnittfläche) infolge Querkraft bzw. Torsion (bezogen auf Hauptachsen)
rI
MWM
ybxIySxQ
yx
zbxIzSxQ
zx
t
tt
t
tt
z
zyyx
y
yzzx
==
=
=
ττ
τ
τ
ten Querschnitgen kreisförmi bei ,
)()()()(
),(
)()()()(
),(
max
Die in den Formeln auftretenden geometrischen Größen sind jetzt zu bestimmen.
5
Definition von Querschnittskennwerten Die Kennwerte sind im allgemeinen durch Integrale über die Fläche definiert. Falls sich Querschnitts-flächen in bekannte Teilflächen zerlegen lassen, ist eine Berechnung durch endliche Summen möglich. Fläche (Flächenmoment 0. Ordnung)
∫ ∫∫== dzdydAA statisches Moment (Flächenmoment 1. Ordnung)
∫∫
=
=
dAyS
dAzS
z
y
Flächenträgheitsmoment (Flächenmoment 2. Ordnung)
∫∫∫
−=
=
=
dAzyI
dAyI
dAzI
yz
z
y
2
2
polares Trägheitsmoment
( )∫∫
+=
=
+=
dAzy
dAr
III zyp
22
2
Die Bestimmung von It ist ein gesondertes Problem (It ≤ Ip).
6
Die Querschnittskennwerte werden im allgemeinen bezogen auf Koordinaten durch den Flächenmittelpunkt (Schwerpunkt) benötigt, können aber für beliebige Achsen bestimmt werden und mittels des Satzes von Steiner auf zueinander parallele Achsen umgerechnet werden. Mittelpunktkoordinaten, bezogen auf ein beliebiges Ausgangskoordinatensystem zy − :
∫∫∫
∫
==
==
dA
dAzAS
z
dA
dAyASy
ys
zs
Satz von Steiner, y-z Koordinatensystem im Flächenmittelpunkt (Schwerpunkt) der Fläche
AzyII
AyII
AzII
yzzy
zz
yy
−=
+=
+=2
2
0
z
yS
z
y
z
z
yy
s
s
z
y
rdA
Fläche A
7
Drehung des Koordinatensystems um einen Winkel φ
( ) ( )
( ) ( )
( ) )2cos()2sin(21
)2sin()2cos(21
21
)2sin()2cos(21
21
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
rssryz
rssrsrz
rssrsry
IIII
IIIIII
IIIIII
+−−=
−−−+=
+−++=
Hauptträgheitsmomente (HTM)
Alle Koordinatenachsen, bezüglich derer Iyz = 0 ist, heißen Hauptträgheitsachsen (HTA) des Quer-schnittes. Die axialen Flächenträgheitsmomente bezüglich der HTA heißen Hauptträgheitsmo-mente.
22
min
22
max
22
22
yzzyzy
II
yzzyzy
I
IIIII
II
IIIII
II
+
−−
+==
+
−+
+==
ϕ r
y
sz
8
Hauptträgheitsachsen Die zu diesen HTM gehörenden HTA findet man unter den Winkeln:
zy
yz
III−
=2
)2tan( 0ϕ
alternative Formulierungen für den Winkel zwischen der Achse y und der Achse I sind:
2
)tan(
00
0
πϕϕ
ϕ
+=
−=
−=
−=
−=
III
IIy
yz
zI
yz
yz
IIz
yz
yII II
III
II
III
II
Merke:
• HTA gibt es für jeden Querschnitt • HTA verlaufen durch den Flächenmittelpunkt • Symmetrieachsen sind HTA • HTA stehen immer senkrecht aufeinander • bezüglich der HTA haben die Flächenträgheitsmomente extremale Werte, das Deviationsmoment Iyz ist dann Null
9
Berechnung der Kennwerte durch Integration
Beispiel Dreieckfläche Beschreibung im KOOS zyO −− Funktion
( )
ba
aaby
baa
ab
ydybaaydz
ydzdzdAzI
b
byz
b
b
y
yz
zy
3
440
4
3
0
)(0
0
3
0
)(
0
22
121
0121
121
31
3
=
−
−=
−
−=
−==
==
∫∫
∫ ∫∫= =
Transformation nach S (3
;3
azby ss == )
ba
baba
ababa
AzII Syy
3
33
23
2
361
181
121
21
3121
=
−=
−=
−=
analog ergibt sich für 3
361 baI z =
2441
32
21
2
432
221
221
21
2
2222
0
4
2
23222
0
3
2
2222
2
0
)(0
0
2
0
)(
0
baba
ybay
baay
ydybay
baay
ydybaayydzy
ydzdzydAzyI
b
b
byz
b
b
y
yz
zzy
−=
+−−=
+−−=
+−−=
−−=−=
−=−=
∫
∫∫
∫ ∫∫= =
Hinweis: Iy, Iz sind immer positiv, das Vorzeichen von Iyz hängt von der Lage (Orientierung) der Fläche im Koordinatensystem ab!
0
S y
z
a
by
z
b3
a3
ybaayz −=)(
ybaayz −=)(
Transformation nach S
22
2222
22
721
181
241
21
31
31
241
ba
baba
abbaba
AzyII Sszyyz
=
+−=
+−=
+=
10
Das Dreieck kann in der Ebene z.B. die folgenden Orientierungen haben:
S1S2
S3 S4
Sy
z
Zusammengesetzt ergeben die 4 Dreiecke eine Raute die doppelsymmetrisch ist. Da Symmetrieachsen HTA sind, ist dann Iyz = 0. Die Deviationsmomente Iyz für die Teilflächen sind:
224
223
222
221
721
721721
721
baI
baI
baI
baI
yz
yz
yz
yz
−=
=
−=
=
Sie können unter Berücksichtigung der Steinerschen Anteile zum Gesamtwert Iyz für den Flächenmittelpunkt zusammengefasst werden.
0=RauteyzI
11
Vorgehensweise bei bekannten Teilflächen
Die Fläche sei aus n Teilflächen zusammenge-setzt, für die die Lagen der Flächenmittelpunkte und die auf diese bezogenen Flächenträgheits-momente bekannt sind.
O – Ursprung eines beliebigen Koordinatensystems S – Ursprung des Koordinatensystems im Flächenmittelpunkt der Gesamtfläche Si – Ursprung des Koordinatensystems im Flächenmittelpunkt einer Teilfläche i
Dann können die Integrale durch Summen ersetzt werden.
AS
zAS
y
AySAzS
AA
ys
zs
n
iisiz
n
iisiy
n
ii
==
==
=
∑∑
∑
==
=
11
1
0
z
yS
z
y
z
z
yy
s
s
z
y
Teilfläche Aisi
si
Si
12
Flächenträgheitsmomente bezüglich
( )( )( )∑
∑
∑
=
=
=
−=
+=
+=
n
iisisiyzizy
n
iisiziz
n
iisiyiy
AzyII
AyII
AzII
1
1
2
1
2
Flächenträgheitsmomente bezüglich S – y – z
AzyII
AyIIAzII
sszyyz
szzsyy
+=
−=−=22
(hier wird der Satzes von Steiner angewandt)
Die Berechnungen erfolgen bei mehreren Teilflä-chen zweckmäßig in Tabellenform nach folgendem Schema:
i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay
2 yziI isisi Azy 1 2 M n
Spaltensummen A= zS= yS= 1 2 3 4 5 6
AS
zAS
y ys
zs ==
1+2 3+4 5-6
zy −−0
=yI =zI =zyI
13
Es folgt die Transformation auf den Flächenmittel-punkt und, falls erforderlich, die Berechnung der HTM und HTA.
Beispiele
Die Querschnitte werden in geeignete Teilflächen zerlegt. Hierbei sind verschiedene Einteilungen möglich. Die Kennwerte für Rechteck~, Quadrat~, Dreieck~, Kreisfläche und andere Formen findet man in diversen Formelsammlungen. Die notwendigen Koordinatensysteme werden eingeführt und ein Ausgangskoordinatensystem so gewählt, dass es für die Berechnung günstig ist.
14
L-Profil Das Ausgangskoordinatensystem liege im Punkt S1. Die Zerlegung der Fläche erfolgt in zwei Rechtecke gemäß Skizze. Die Koordinatenachsen fallen auf Symmetrielinien der Teilflächen.
0,12
,12
33
=== yzzy IhbIbhI
( )
( )
42
42
42
41
43
1
43
1
0
333,5
333,0
0
5,012
61
181261
cmIcmI
cmI
cmI
cmcmcmI
cmcmcmI
yz
z
y
yz
z
y
=
=
=
=
==
==
i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay
2 yziI isisi Azy 1 0 0 6 0 0 18 0 0,5 0 0 0 2 1,5 3,5 4 6 14 0,333 49 5,333 9 0 21
Spaltensummen 10 6 14 18,333 49 5,833 9 0 21
cmcmcmzcm
cmcmycmA ss 4,1
1014,6,0
106,10 2
3
2
32 =====
( )( )( ) 44
44
44
21210
333,149333,5
333,6749333,18
cmcmI
cmcmI
cmcmI
yz
z
y
−=−=
=+=
=+=
( )( )( ) 44
442
442
6,12104,16,021
233,11106,0333,14
733,47104,1333,67
cmcmIcmcmI
cmcmI
yz
z
y
−=⋅⋅+−=
=⋅−=
=⋅−=
40
10
70
10
S1
S2
y
z z
y
2
2
y
z
S
II
I
ϕ01
1, z
1, y
15
Da Iyz ungleich Null ist, sind diese Koordinatenachsen nicht die Hauptachsen.
22
min
max
22 yzzyzy
II
I IIIII
IIII
+
−±
+=
==
°−=
−=−
−=
−=
==
==
86,17
3117,06,12
733,4766,51)tan(
306,7
66,51
01
4
44
01
4min
4max
ϕ
ϕcm
cmcmI
IIcmIIcmII
yz
yI
II
I
(mathematisch negative Richtung)
16
Quadrat mit Ausschnitten Das Ausgangskoordinatensystem liege in der linken unteren Ecke des Querschnittes. Die Fläche ergibt sich aus einem Quadrat abzüglich zweier quadratischer Aussparungen (negative Flächen). Es sind natürlich auch andere Aufteilungen der Fläche möglich.
Teilfläche 1
Teilfläche 2
Teilfläche 3
0
y, y1
z, z1
S, S1
z
y
S2
S3
II
I
ϕ01
60
15
15
15 15
60
10
10y3
z3
y2
z2
0,12
,12
33
=== yzzy IhbIbhI
Die tabellarische Rechnung liefert folgende Zwischenergebnisse [cm]:
i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay
2 yziI isisi Azy 1 3 3 36 108 108 108 324 108 324 0 324 2 1,5 4,5 -1 -1,5 -4,5 -0,083 -20,25 -0,083 -2,25 0 -6,75 3 4,5 1,5 -1 -4,5 -1,5 -0,083 -2,25 -0,083 -20,25 0 -6,75
Spaltensummen 34 102 102 107,83 301,5 107,83 301,5 0 310,5
17
Querschnittsfläche, Flächenmittelpunkt
cmzcmycmA ss 334
102,334
102,34 2 =====
FTM, bezogen auf das Ausgangskoordinatensystem
44
44
44
5,310)5,3100(
33,409)5,30183,107(
33,409)5,30183,107(
cmcmI
cmcmI
cmcmI
zy
z
y
−=−=
=+=
=+=
Transformation zum Flächenmittelpunkt
44
4422
4422
5,4)34335,310(
33,103)34333,409(
33,103)34333,409(
cmcmAzyII
cmcmAyII
cmcmAzII
sszyyz
szz
syy
−=⋅⋅+−=+=
=⋅−=−=
=⋅−=−=
Da Iyz ungleich Null ist, sind diese Koordinatenachsen nicht die Hauptachsen. Hauptträgheitsmomente, Hauptachsenrichtungen
( ) 4
22
min
max
5,433,103
22
cm
IIIII
IIII
yzzyzy
II
I
±=
+
−±
+=
==
4min
4max
833,98
833,107
cmIIcmII
II
I
==
==
°+=°−=+=
°−=
−=−
−=
−=
451352
45
15,4
333,103833,107)tan(
00
0
0
πϕϕ
ϕ
ϕ
III
I
yz
yII I
II
18
Dieses Ergebnis ist auch anschaulich aus der Betrachtung des Querschnittes zu interpretieren. Die HTA sind Symmetrieachsen. Die Entscheidung, welche Achse die Achse mit dem größten FTM ist, kann auch anschaulich interpretiert werden. Das größte FTM erhält man für eine Achse, von der die Fläche(n) weitest möglich entfernt ist/sind (Analogie zum Schwungrad).
19
Fläche mit Aussparung Das Ausgangskoordinatensystem liege in der linken unteren Ecke des Querschnittes. Die Fläche ergibt sich aus einem Dreieck, einem Rechteck und einer kreisförmigen Aussparung (negative Fläche). Es sind natürlich auch andere Aufteilungen der Fläche möglich, z. B. Rechteck minus Dreieck minus Kreis.
0,464
:Kreis
beachten! ngOrientieru 72
,36
,36
:Dreieck
0,12
,12
:Rechteck
44
2233
33
====
−===
===
yzzy
yzzy
yzzy
IrdII
hbIhbIbhI
IhbIbhI
ππ
S1
S2
S3
O
z
y
S y
z
Kreisdurchmesser d = 1 cm
d
3
2
1
1 cm 2 3 4 5 6 7
I
II
ϕ01
Die tabellarische Rechnung liefert folgende Zwischenergebnisse [cm]:
i siy siz iA isi Ay isi Az yiI isi Az2 ziI isi Ay
2 yziI isisi Azy 1 2 1 4,5 9 4,5 2,25 4,5 2,25 18 -1,125 9 2 5 1,5 12 60 18 9 27 16 300 0 90
3 6 1 4π
− π23
− 4π
− 64π
− 4π
− 64π
− π9− 0 π23
−
Spaltensummen 15,715 64,288 21,715 11,20 30,715 18,20 289,726 -1,125 94,288
20
Fläche, Flächenmittelpunkt
cmz
cmy
cmA
s
s
382,1715,15715,21
091,4715,15288,64
715,15 2
==
==
=
FTM, bezogen auf das Ausgangskoordinatensystem
44
44
44
413,95)288,94125,1(
926,307)726,28920,18(
915,41)715,3020,11(
cmcmI
cmcmI
cmcmI
zy
z
y
−=−−=
=+=
=+=
Transformation zum Flächenmittelpunkt
4
4
4422
4422
564,6
)715,15091,4382,1413,95(
915,44)715,15091,4926,307(
901,11)715,15382,1915,41(
cm
cmAzyII
cmcmAyII
cmcmAzII
sszyyz
szz
syy
−=
⋅⋅+−=+=
=⋅−=−=
=⋅−=−=
Da Iyz ungleich Null ist, sind diese Koordinatenachsen nicht die Hauptachsen. Hauptträgheitsmomente, Hauptachsenrichtungen
( ) 4
22
min
max
764,17408,28
22
cm
IIIII
IIII
yzzyzy
II
I
±=
+
−±
+=
==
4min
4max
644,10
172,46
cmIIcmII
II
I
==
==
21
°+=°−=+=
°−=
−=−
−=
−=
84,1016,1692
16,79
22,5564,6
901,11172,46)tan(
00
0
0
πϕϕ
ϕ
ϕ
III
I
yz
yII I
II
Alternativ zu Handrechnungen gibt es natürlich auch numerische Methoden.
Wegen der in diesen Berechnungen auftretenden Potenzen der Abmessungen sind diese Rechnungen sehr empfindlich gegenüber Rundungsfehlern bzw. einer zu geringen Zahl mitgeführter Stellen.
22
Invarianzbeziehungen (siehe Anhang)
( )455,491477,491
644,10172,46564,6915,44901,11
816,56816,56644,10172,46915,44901,11
2
2
≈⋅=−−⋅
=−
=+=+
+=+
IIIyzzy
IIIzy
IIIII
IIII
Man sieht, es gibt geringfügige Abweichungen infolge der Rechengenauigkeit.
23
Anhang: Trägheitsmatrix, Eigenwerte, Eigenrichtungen
Die Trägheitsmomente Iy, Iz, Iyz, Izy bilden die Trägheitsmatrix.
zyyzzzy
yzy IIIIII
=
= I
Die Trägheitsmatrix ist symmetrisch.
Die Eigenwerte (Hauptträgheitsmomente) und Eigenrichtungen (Hauptträgheitsachsenrichtungen) können aus dem Matrizen-Eigenwert-Problem berechnet werden.
( ) 0xEI =λ− wobei E die Einheitsmatrix und x der Vektor der Eigenrichtungen ist.
Das Gleichungssystem hat nichttriviale Lösungen, wenn gilt:
0detdet =λ−
λ−=λ−
zyz
yzy
IIII
EI
Daraus ergibt sich die charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte
( )( )( ) ( ) 0
022
2
=−++λ−λ
=−λ−λ−
yzzyzy
yzzy
IIIII
III
mit den Invarianten
2yzzy2
zy1
IIIInvariante
IIInvariante
−=
+=
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist die schon bekannte Formel zur Bestimmung der Hauptträgheitsmomente.
22
22
,2,1
22
22
yzzyzy
yzzyzyzy
III
IIIII
IIIIIII
I
+
−±
+=
+−
+±
+==λ
24
Die Eigenrichtungen erhält man durch Einsetzen der Eigenwerte in das Gleichungssystem (Lösung für 1. und 2. Eigenwert)
=
−
−
00
1
1
zy
IIIIII
Izyz
yzIy
Dies ist ein homogenes Gleichungssystem. Es kann nur gelöst werden, wenn man y1 oder z1 vorgibt. (Vorgabe z.B. y1 = 1) Aus der Skizze ist zu erkennen, dass der Hauptachsenwinkel ϕ01 bestimmt ist durch
( ) 11
101tan z
yz
==ϕ (Vorgabe y1=1)
z1 lässt sich nun aus dem Gleichungssystem bestimmen.
( )zI
yz
yz
yI
III
III
z−
=−
== 101tan ϕ
In gleicher Weise lässt sich der Hauptachsenwinkel ϕ02 durch Einsetzen des Eigenwertes III bestimmen.
( ) 22
202tan z
yz
==ϕ (Vorgabe y2=1)
( )zII
yz
yz
yII
III
III
z−
=−
== 202tan ϕ
Da die Hauptachsenrichtungen orthogonal zueinander sind und für orthogonale Geraden gilt
( ) ( )0201 tan
1tanϕ
ϕ −=
folgt daraus auch
( )yz
IIz
IIy
yz
zI
yz
yz
yI
III
III
III
III −
=−
=−
=−
=01tan ϕ
z
z1
y1 y
ϕ01
25
Für Hauptträgheitsachsen hat die Trägheitsmatrix die Form
=
II
I
II0
0I
Die charakteristische Gleichung ist dann
( )( )( ) ( ) 0
02 =++λ−λ
=λ−λ−
IIIIII
III
IIIIII
mit den Invarianten
III
III
IIInvarianteIIInvariante
=+=
2
1
Es gilt demzufolge immer
2yzzyIII
zyIII
IIIII
IIII
−=
+=+
Anschaulich ist die Bestimmung der HTM und HTA die Drehung des Ausgangskoordinatensystems im Flächenmittelpunkt um einen speziellen Winkel.
II
I
zzy
yzy
II
IIII
00
um Drehung 01ϕ