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GRUNDBAU – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG

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1. Stabilitätsprobleme (S. 123 – 172)

1.1 Allgemeine Bemerkungen (S. 123)

Man unterscheidet drei Arten von Stabilitätsproblemen; gesucht sind je nach Problem andere

Kenngrössen:

1) Böschungsstabilität: Sicherheitsfaktor F

2) Erddruck: aktive und passive Erddruckkräfte Ea und Ep

3) Tragfähigkeit: Bruchspannung σf

Den drei Problemen besitzen drei Gemeinsamkeiten: es stellt sich ein Scherbruch ein, die

Bruchvorgänge sind ähnlich und das Grundwasser hat negative Auswirkungen.

1.2 Drainierte und undrainierte Scherfestigkeit (S. 124)

1.3 Scherparameter (S. 124)

1.4 Lösung eines Stabilitätsproblems (S. 124/5)

Die genaue Lösung erhält man durch das Lösen eines Gleichungssystems, welches statische

Gleichgewichtsbedingungen, kinematische Geometriegleichungen, Bruchzustandsgleichungen

und statischen sowie kinematischen Randbedingungen. Da die Lösung nicht einfach erreichbar

ist, existieren zwei Näherungsmethoden der Plastizitätstheorie, welche für alle drei Probleme

geeignet sind:

1) statische Methode: konservativ, ergibt unteren Grenzwert

2) kinematische Methode: nicht konservativ, ergibt oberen Grenzwert

In der Praxis genügt es, einen eng begrenzten Bereich zwischen beiden Lösungen zu definieren!


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1.5 Erddruck (S. 153 – 172)

Auf ein in den Boden eingebundenes Bauwerk wirken seitliche

Kräfte aufgrund des Bodens. Je nach Richtung der Deformation

werden diese Kräfte als „aktiv“ (Ea) oder „passiv“ (Ep) bezeichnet.

Treten keine Deformationen auf, so spricht man vom Erdruhe-

druck e0. Allgemein ergeben Deformationen „vom Boden weg“

aktive Erddruckkräfte, während Deformationen „auf den Boden

zu“ passive Erddruckkräfte erzeugen. Oder, lapidar formuliert:

auf der aktiven Seite verschieben die Erddruckkräfte die Mauer, während die Mauer auf der

passiven Seite den Boden staucht.

1.5.1 Näherungsmethoden der Erddrucktheorie (S. 158)

Es gibt zwei Methoden, um die Erddrücke zu berechnen: die Theorie nach Rankine und

diejenige von Coulomb. Rankine ergibt einen unteren (konservativen) Grenzwert. Beide

Theorien gehen von unterschiedlichen Annahmen aus, welche in der Realität nicht immer

zutreffend sein müssen:

Rankine Coulomb

Wand starr starr

Wandreibung keine beliebig

Oberfläche gerade (auch geneigt!) beliebig

Bruchzustand ganzer Bodenbereich Auf zwei Bruchebenen (Gleitebene im Boden

und an der Wand)

Boden beliebig homogen

1.5.2 Erddrucktheorie nach Rankine (S. 154 – 157)

Die Erddrucktheorie nach Rankine ist eine statische Methode, d.h. sie ist konservativ. Sie geht

von drei (in der Regel unzutreffenden!) Annahmen aus:

1) Starre, vertikale Wand ohne Reibung

2) gerade Bodenoberfläche (aber nicht unbedingt horizontal)

3) Bodenbereich einseitig der Wand im Bruchzustand

Die nachfolgenden Lösungen gelten für den dargestellten Rankine’schen Sonderfall.

Aktive und passive Erddruckbeiwerte Ka und Kp:

p

aK

K1

'sin1

'sin1

2

'45tan

2 =+

−=

−°=

ϕ

ϕϕ

Neigung der Bruchflächen gegenüber der Horizontalen:

2

'45:

2

'45:

ϕϕ−°+° passivaktiv


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Verteilung des Erddrucks: (S. 156)

Der Erddruck ist (im homogenen Boden) grundsätzlich dreiecksförmig verteilt. Ein Sprung in der

Verteilung kommt bei Schichtwechseln oder beim Übergang in die grundwassergesättigte

Zone vor. Der Erddruck e ist eine Spannungsgrösse in [kPa = kN/m2]. Allgemein gilt für c’ = 0:

∫ ⋅=⋅=H

h

v dzeEKe 'σ

Falls die Verschiebungen der Wand genügend gross sind, tritt links und rechts der Wand ein

vollkommener Bruchzustand auf und es werden die maximalen Erddrücke mobilisiert. Für

einen homogenen Boden gelten dann die Formeln:

ppppaaaa KHErespKzeKHErespKze ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= 22

2

1.

2

1. γγγγ

Wirkung der Kohäsion: (S. 156)

Für den Erddruck in überkonsolidierten feinkörnigen Böden ist die Wirkung der Kohäsion c’ mit

in Betracht zu ziehen (die Kohäsion ist prinzipiell stabilitätsfördernd):

'2'2'' cKKecKKe pvppavaa ⋅⋅+⋅=⋅⋅−⋅= σσ

[Beachte: Bei der Berechnung der Erddrücke bei vertikalen Baugrubenabschlüssen wird der berechnete Erddruck mit

dem Faktor m reduziert, d.h. der Faktor m geht nicht in die Wurzel ein! Dies ist deshalb so, weil m nicht die

Unsicherheiten des Kp-Werts abdeckt, sondern die Tatsache berücksichtigt, dass auf der passiven Seite nicht der

gesamte passive Erddruck mobilisiert werden kann.]

Spalt hinter der Wand (bei kohäsiven Böden): (S. 156)

Wie die Abbildung zeigt, können bei kohäsiven Böden rechnerisch

auf der aktiven Seite Zugspannungen ergeben. Weil es zwischen

Wand und Boden keine dauerhafte Haftung gibt, können diese

Kräfte nicht übertragen werden; stattdessen bildet sich ein Spalt.

Erst unterhalb des Spalts beginnt die Wirkung der aktiven Erddrücke:

a

crK

cz

⋅=

γ

'2

1.5.3 Erddrucktheorie nach Coulomb (S. 157 – 164)

Die Erddrucktheorie nach Coulomb ist eine kinematische Methode und ergibt deshalb unvor-

sichtige Werte. Sie geht von drei Annahmen aus:

1) starre Wand

2) Bruchmechanismus mit flacher Gleitebene

3) homogener Boden

Die Wandneigung α, die Geländeneigung β und die Wandreibung δ sind im Allgemeinen nicht

null; zur Vorzeichenregelung siehe S. 159, Bild 9.3.12 resp. die Abbildung im Anhang.

zcr


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Einfluss der Wandreibung: (S. 159/162)

Wenn sich der Boden nach unten bzw. die Wand nach oben bewegt, so ist der

Wandreibungswinkel δ positiv, andernfalls negativ. Er wird folgendermassen geschätzt:

Aktive Seite: normale Bauwerksoberfläche: '3/2 ϕδ ⋅=

sehr raue Oberflächen: 'ϕδ =

passive Seite: vorsichtig zu wählen, deshalb: '2/1 ϕδ ⋅−=

Allgemeine Randbedingungen: (S. 163):

Die aktiven und passiven Erddruckbeiwerte werden für allgemeine Randbedingungen wie folgt

ermittelt:

)cos(

)cos()cos(

)'sin()'sin(1)cos()(cos

)'(cos2

5.0

2

2

αδ

βααδ

βϕδϕαδα

αϕ−⋅=

+⋅−

−⋅++−⋅

+= aaha KKK

)cos(

)cos()cos(

)'sin()'sin(1)cos()(cos

)'(cos2

5.0

2

2

αδ

βααδ

βϕδϕαδα

αϕ−⋅=

+⋅−

+⋅−−−⋅

−= pphp KKK

Verteilung des Erddrucks:

Die Verteilung des Erddrucks kann analog wie bei der Theorie nach Rankine berechnet werden.

Bemerkung:

Bei sehr grossen Wandsetzungen kann der Wandreibungswinkel negativ werden (siehe Analyse

„Crib Wall“, Vorlesung 2).

1.5.4 Sicherheit gegen Gleiten und Kippen

Vorgehen zur Wandstabilitätsberechnung nach Rankine resp. Coulomb:

1) Effektive vertikale Spannungen ermitteln und skizzieren

2) Erddruckbeiwerte berechnen

3) aktive und passive Erddrücke ea und ep berechnen und aufzeichnen. Achtung: Zug-

spannungen sind nicht möglich! Werkleitungen u.ä. können evtl. zu einem späteren

Zeit-punkt wieder ausgegraben werden; dann fehlt dieser Bodenbereich und die Wand

muss trotzdem stabil sein – Nachweis also für den Grenzzustand „Werkleitung

ausgegraben“ führen!!!

4) aktive und passive Erddruckkräfte Ea und Ep ausrechnen und Wirkungslinie einzeichnen.

Achtung: Trapezförmige Erddruckverteilung in Rechtecke und Dreiecke mit unterschied-

lichen Wirkungslinien der Resultierenden zerlegen!

5) hydrostatische Grundwasserdruckverteilung skizzieren und äquivalente Wasserdruck-

kräfte Fw,a und Fw,p ermitteln


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6) (langfristige) Sicherheit gegen Gleiten (Fg) und Kippen (F

k) um den Fusspunkt O der

Mauer berechnen:

7) Bei Gewichtsmauern: Reibung der Mauersohle in Gleitfläche:

1.6 Tragfähigkeit (S. 142 – 153)

Das Tragfähigkeitsproblem besteht darin, dass die Traglast σf des Bodens unter einem

Fundament überschritten wird; die Schubspannungen im Boden erreichen dessen Scher-

festigkeit und es kommt zum Bruch.

1.6.1 Näherungsmethoden für den undrainierten Zustand (S. 143/4)

Der einzige Bodenparameter, welcher benötigt wird, ist die undrainierte Scherfestigkeit su. In

der Formel für die Bruchspannung wird die Einbindetiefe t des Fundaments und die

Geländeauflast q eingesetzt:

1.6.2 Statische Methode für den drainierten Zustand (S. 144/5)

Die nachfolgende Tragfähigkeitsformel gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen:

1) unendlich langes Streifenfundament (→ ebenes Problem)

2) vertikale und zentrische Belastung des Fundaments

3) homogener und isotroper Boden mit horizontaler Oberfläche

4) kleine Gründungstiefe t, d.h. t < b (mit b als Breite des Fundaments)

Die Tragfähigkeitsfaktoren Nc, Nq und Nγ können berechnet oder auf S. 147 in Bild 9.2.7

herausgelesen werden.

Abb. 9.2.6

5.1,,

,,≥

+

+=∑∑

aktivWasserhorizontala

passivWasserhorizontalp

gFE

FEF

[ ][ ]

5.1,,

,,

,

,≥

⋅+⋅

⋅+⋅==∑∑

∑∑

aWaWiah

pWpWiph

aO

pOk

dFdE

dFdE

M

MF

)()tan(, avMaueraMauerR EGNF +⋅=⋅= δµMauerMauerMauer VG γ⋅=

14.52:)( =+=⋅++⋅= πγσ cucf NmitsNqt

γγγσ NbNqtNc qcf ⋅⋅++⋅+⋅=2

1)('

ϕtan

1)1( −= qc NN

+°⋅= ⋅

245tan

2tan ϕϕπeNq

ϕγ tan)1(8.1 −≈ qNN

ah

MauerRg

E

FF ,=


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1.6.3 Allgemeine Tragfähigkeitsformel (andere Randbedingungen) (S. 148 – 152)

Können obige Randbedingungen (aus 1.6.2) nicht erfüllt werden, so muss für die Analyse des

drainierten Zustandes die allgemeine Tragfähigkeitsformel verwendet werden. Sie besteht aus

fünf verschiedenen Korrekturfaktoren:

s: Formfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.12)

d: Tiefenfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.13)

i: Lastneigungsfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.14)

g: Geländeneigungsfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.15)

b’: Fundamtentneigungsfaktoren (S. 151, Kap. 9.2.16)

Diese Faktoren können gemäss den Formeln in den entsprechenden Kapiteln berechnet oder

via Tabellen bestimmt werden. Die allgemeine Formel der Tragfähigkeit lautet somit:

γγγγγγγγσ '2

1')(' bgidsNbbgidsNqtbgidsNc qqqqqqccccccf ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

Damit diese Formel gilt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1) horizontale Bodenoberfläche bis zur Distanz L vom Fundamentrand her:

ϕπ

ϕ tan2

245tan

⋅

+°⋅= ebL

2) homogener Boden bis in die Tiefe H unter dem Fundament

ϕϕπ

ϕ

ϕ tan2

45180

245cos2

cos

+°

°

+°⋅

= ebH

Exzentrischer Lastangriff: (S. 149)

Ist der Lastangriff exzentrisch, so muss mit einer „reduzierten“ Fundamentfläche gerechnet

werden. Dies ergibt fiktive Breiten b und l , welche (immer) in obiger allgemeinen Tragfähig-

keitsformel eingesetzt werden müssen!

Einbindetiefe t: (S. 151)

Die Einbindetiefe t ist vom Bewegungsmechanismus abhängig; es soll die Einbindetiefe auf

derjenigen Fundamentseite verwendet werden, auf welche sich das Fundament auch

zubewegt. Falls der Mechanismus nicht bestimmt werden kann, empfiehlt es sich, im Rahmen

einer konservativen Annahme die kleinste vorhandene Einbindetiefe zu wählen.

Einfluss des Porenwasserdrucks: (S. 148)

Die Einflüsse des Porenwasserdrucks sind auf Seite 148, Kap. 9.2.8, hilfreich illustriert.


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1.6.4 Schnelle Belastung von gesättigten Tonen (S. 151)

Bei der schnellen Belastung von gesättigten Tonen ist φ = 0 und c = su in Rechnung zu stellen.

Dadurch gelten obige Formeln nicht mehr – in Kapitel 9.2.17 auf Seite 151 ist das Vorgehen

beschrieben.

1.6.5 Sicherheitsgrad Fstat (S. 148)

Da die Tragfähigkeitsformeln lediglich Näherungslösungen darstellen, muss ein Sicherheits-

faktor von 2 gewählt werden. Die Ausmasse der Setzungen sind separat zu prüfen; auch diese

können die maximale Belastung eines Fundaments limitieren! Ein Sicherheitsgrad von 3 erfüllt

aber in der Regel auch Setzungsbedingungen.

( )3:2 >>= stat

vorhanden

fstat FkritischSetzungenfallsF

σ

σ

1.7 Böschungsstabilität (S. 125 – 142)

Der Winkel einer Böschung wird mit β bezeichnet, die Höhe mit H und das Raumgewicht mit γ.

1.7.1 allgemeine Definition des Sicherheitsgrades (S. 136)

Die übliche Definition des Sicherheitsgrades ist ein Verhält-

nis zwischen den Summen der rückhaltenden und treiben-

den Kräften resp. Momenten. Diese Definition ist irrefüh-

rend, weil sie von der Richtung der Kräfte abhängig ist; eine

Kraft kann sowohl als „negativ treibende Kraft“ (d.h. mit

Minus-Vorzeichen im Nenner) oder – fälschlicherweise! – als

„rückhaltende Kraft“ (d.h. mit Plus-Vorzeichen im Zähler) in

die Berechnung verstanden werden...

Für eine Böschung unter der Annahme einer Gleitebene (nicht: zylindrischen Gleitfläche!) lässt

sich der Sicherheitsgrad gemäss Abbildung wie folgt definieren:

xG

LsFZustandterundrainier

xG

Lc

xFZustandrdrainierte u

sin:

sin

'

tan

'tan:

⋅

⋅=

⋅

⋅+=

ϕ

Für zylindrische Gleitflächen ist ein Lamellenverfahren durchzuführen.

1.7.2 undrainierter Zustand (S. 139)

Im undrainierten Zustand ist φ = φm = 0 und c = su. Mit den Methoden von Culmann und Taylor

ergibt sich mit dem Stabilitätsfaktor Ns:

DiagrammausNTaylorNCulmannH

Ns

s

sF ss

su

um

us :;

cos1

sin4:

β

β

γ −=⇒

⋅

⋅==

su steht dabei für die undrainierte Scherfestigkeit, sum für die undrainierte, mobilisierte

Scherfestigkeit.


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1.7.3 drainierter Zustand (S. 138/9)

Nach den Methoden von Taylor und Culmann unterscheidet man zwei Sicherheitsfaktoren: Fφ

für die Reibung, Fc für die Kohäsion. Man unterscheidet wieder zwischen dem effektiven und

dem mobilisierten Parameter (Index „m“). Beide Sicherheitsfaktoren müssen gleich gross sein:

m

c

m c

cFF

'

'

'tan

'tan !

===ϕ

ϕϕ

Gegeben sind φ’ und c’. Das Vorgehen bei den Methoden von Taylor und Culmann unterschei-

det sich letztlich nur in der Bestimmung des Stabilitätsfaktors Ns. Beide Methoden sind

kinematische Methoden, welche man in homogenen Böden anwenden darf, um die obere

Grenze des Sicherheitsgrades abzuschätzen. Es sind immer beide Methoden anzuwenden!

Taylor ergibt aber meist einen besseren oberen Grenzwert (ausser bei sehr steilen Böschungen).

Vorgehen:

1) Wählen eines Sicherheitsgrades für die Reibung Fφ (z.B. 1 oder 1.2…)

2) Der mobilisierte Scherwinkel ist:

ϕ

ϕϕ

Fm

'tan'tan =

3) Berechnen des Stabilitätsfaktors Ns:

DiagrammausNTaylorNCulmann s

m

ms :

)'cos(1

'cossin4:

ϕβ

ϕβ

−−

⋅⋅=

4) Die mobilisierte Kohäsion c’m beträgt:

s

mN

Hc

⋅=

γ'

5) Der Sicherheitsgrad für die Kohäsion Fc ist dadurch:

m

cc

cF

'

'=

6) Bestimmen des Punktes im Fφ-Fc-Raum und verbessern der Schätzung von Fφ; weitere

Iterationen bis Fφ = Fc erreicht ist.

Wirkungsweise des Wassers:

Grundsätzlich gilt: Strömendes Wasser verringert den Sicherheitsgrad, während stehendes

Wasser diesen erhöht.


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Stabilitätsfaktoren für homogene bindige Böden nach Taylor:


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2. Grundwasser (S. 87 – 108)

2.1 Strömungsdruck und hydraulischer Gradient (S. 93/4) [vergrösserte Abbildung: S. 24]

Strömendes Wasser übt in Strömungsrichtung einen Strömungsdruck S auf den Boden aus und

verändert dadurch den Spannungszustand:

Man sieht bei der linken Abbildung deutlich, dass durch eine Absenkung der Porenwasser-

drücke u (Strömung nach unten) gegenüber dem hydrostatischen Druck eine Erhöhung der

effektiven Spannungen σ’v bewirkt!

2.2 Durchströmen von Schichtpaketen (S. 95/6)

Der mittlerer k-Wert kmh für die schichtparallele (horizontale) Durchströmung ergibt sich aus

der Tatsache, dass i für alle Schichten konstant ist, Q hingegen auf die verschiedenen Schichten

aufgeteilt wird. Praktisch steuert die Schicht mit dem grössten k-Wert die Wassermenge Q:

[ ]∑∑

∑⋅⋅=

⋅= imh

i

iimh dikQ

d

dkk

Der mittlere k-Wert kmv für eine zur Schichtung normalen Durchströmungsrichtung ergibt sich

dadurch, dass Q durch alle Schichten hindurch konstant sein muss, i aber nicht. Die Schicht mit

dem minimalen k-Wert wird ausschlaggebend für die Durchflussmenge Q:

{

flächeschnittsQuer

Gradientmittlerer

i

mvi

mv Ad

HkQ

k

d

k

d

k

d

dk

−−

⋅⋅=

+++

=∑

∑

321...3

3

2

2

1

1

Ist das k-Wert-Verhältnis zwischen zwei normal durchströmten Schichten 10 oder grösser (z.B.

Ton – Kies), so darf angenommen werden, dass die gesamte Druckdifferenz H in der undurch-

lässigeren Schicht (Ton) abgebaut wird! In geschichteten Böden ist die horizontale

Durchlässigkeit im allgemeinen grösser (bis sehr viel grösser!) als die vertikale Durchlässigkeit,

auch wenn der Boden im Grossen betrachtet gleichmässig erscheint.

ViS w ⋅⋅= γVG ⋅= 'γ

][

][

mckeFliessstre

mrenzhöhendiffePiezometer

d

hi =

∆=


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2.3 Wasserdrücke auf Bauwerke im strömenden Grundwasser (S. 96 – 99)

Im homogen-isotropen Boden ist das hydraulische Gefälle überall gleich gross; im anisotropen

Boden hingegen werden die Potentialunterschiede in der undurchlässigsten Schicht resp.

vertikal abgebaut werden. Die beiden Abbildungen illustrieren diesen Sachverhalt: der

hydrostatische Druck kann nicht wirken, weil am Wandfuss links und rechts gleiche

Wasserdrücke herrschen müssen. Geht man von homogenen Schichten aus, so ergeben sich

lineare Abweichungen zur hydrostatischen Druckverteilung:

homogen-isotroper Boden: anisotroper Boden:

Abb. 7.18 und 7.19 (mit FORMELN)

2.4 Hydraulischer Grundbruch und Auftrieb (S. 99 – 102, 237 – 239)

Hydraulischer Grundbruch ist eine hydraulisch bedingte Instabilität der Baugrubensohle; der

auslösende Mechanismus ist der Strömungsdruck. Die Instabilität der Baugrubensohle entsteht

durch Erosion von Bodenteilchen (nicht-bindige Böden) resp. durch das Aufbrechen von

Schichten unter der Last des Auftriebes (bindige Böden).

Für einen homogenen Boden kann die Sicherheit gegen hydraulischen Grundbruch wie folgt

definiert werden (verschiedene Ansätze, abgeleitet aus der ersten Gleichung):

tH

Him

⋅+=

2 t

Hi ≤

)1~0,0(

5.1

1

'

2

'

1211

mtHmit

H

dttF

w

H

≤≤=∆

≥⋅

⋅+⋅+⋅=

γ

γγγ

5.1/'

≥==vorh

w

vorh

kritH

ii

iF

γγ

5.1.

≥=berschussAuftriebsü

rBodenkörpeGewichteffFH

5.1'''

≥⋅

=⋅⋅

⋅==

wvorhwvorh

HiVi

V

S

GF

γ

γ

γ

γ


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Der Sicherheitsfaktor von FH = 1.5 ist nur dann zulässig, wenn gute geotechnische und

hydrologisch Kenntnisse über den Baugrund vorliegen, Anisotropie angenommen werden darf,

der Baugrund nicht aus Feinsand oder Silt besteht und das Gefährdungspotential der Baugrube

klein ist. Alle Forderungen müssen gleichzeitig erfüllt sein; ansonsten ist ein grösserer

Sicherheitsfaktor (bis 4.5 und noch höher) zu wählen! Massnahmen gegen hydraulischen

Grundbruch sind: kurzfristig: Kiesfilter (Belastung), Ansteigenlassen des Wasserspiegels in die

Baugrube und langfristig: Entspannen.

Neben dem hydraulischen Grundbruch ist auch die Sicherheit gegen Auftrieb nachzuweisen:

3. Vertikale Baugrubenabschlüsse (S. 173 – 189)

3.1 Belastung der Wände (S. 177 – 179)

Von erstrangiger Bedeutung sind Belastungen aus Erddrücken, Wasserdrücken und Auflasten

neben der Baugrube (Stapellasten: 10 kN/m2, Verkehrslasten: 20 kN/m2). Der passive Erddruck

wird mit einer Partialsicherheit m versehen; meist wird m = 1.5 angesetzt, bei mehrfach

abgestützten Wänden empfiehlt sich m = 2.0. Der Sicherheitsbeiwert m deckt nicht etwa

Unsicherheiten des Kp-Werts ab, sondern berücksichtigt die Tatsache, dass auf der passiven

Seite nicht der volle passive Erddruck mobilisiert werden kann.

Es ist zu überprüfen, ob die Resultierende der vertikalen Kräfte nach unten zeigt. Eine nach

oben gerichtete Resultierende bedeutet, dass die Wandreibung auf der passiven Seite (und

damit auch der passive Erddruck!) überschätzt wurde.

Für die Wandreibungen gelten folgende Richtwerte:

'2

1:'

3

2: ϕδϕδ −== pa SeitepassiveSeiteaktive

Im Buch sind die K-Werte nach Rankine und Coulomb (und Caquot-Kérisel) für verschiedene

Annahmen der Wandreibung δ und des inneren Reibungswinkels φ’ für vertikale Wände und

horizontales Gelände berechnet: siehe Seite 178.

!:

':

1.1)'(

)'(

verwendenAchtung

ttGrenzfallfürNachweis

th

tttF

g

w

ww

gwwA

γ

γ

γγ

=

≥⋅+

⋅−+⋅=

iR = 0

uFusspunkt

!':

1.1)'(

'

verwendennichtundAchtung

th

t

uF

wwFusspunkt

FusspunktA

γγ

γ

γσ≥

⋅+

⋅==

σFusspunkt


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3.2 nicht abgestützte, im Boden eingespannte Wand (S. 180 – 182)

Bei der Wandbemessung ist es vernünftig, mit dem Ersatzbalkenverfahren nach Blum zu

arbeiten. Dieses Verfahren ist eine harte Modell-Vereinfachung; das Interaktionsproblem

Wandverformungen-Spannungen wird damit nicht gelöst sondern nur umgangen.

Die nachfolgenden Formeln gelten nur für homogene Verhältnisse (ohne Wasser, Auflast u.ä.):

3.3 einfach abgestützte Wand (S. 182 – 187)

Die Abstützungen (Anker oder Spriessen) stellen unverschiebliche Auflager dar. Die Verteilung

des aktiven Erddrucks ist in der Regel unbekannt, weshalb er „umgelagert“ wird, d.h. man

vergrössert die (nach Coulomb) dreiecksförmige Erddruckverteilung (welche sich bei

Verkippung um den Fusspunkt ergeben würde) um 30% und formt sie zu einem Rechteck um.

Dabei sollte hf/H > 0.7 sein. Wasserdruckkräfte werden nicht umgelagert!

Die Wand kann entweder „frei aufgelagert“ oder „voll eingespannt“ sein. Bei der freien

Auflagerung ist t’ = t’min resp. C = 0; die Verformungen am Wandfuss sind nicht gleich null. Das

System ist statisch bestimmt. Bei der vollen Einspannung hingegen sind die Verformungen am

Wandfuss gleich null und es ist die grösste statisch sinnvolle Einbindetiefe erreicht: t’ = t’max.

Das System ist einfach statisch unbestimmt; deshalb geht man davon aus, dass

Belastungsnullpunkt (BNP) und Momentennullpunkt (MNP) identisch sind. Die nachfolgende

Tabelle und Grafik zeigt die Unterschiede zwischen der freien Auflagerund und der vollen

Einspannung nochmals auf:

( )

( )

ttzt

Km

tzH

Ct

EE

Eht

EEC

zH

zzHH

h

KKm

KHzBNP

KKm

tE

KHzHE

p

ap

a

ap

ahph

ah

ahphp

aha

∆++=

⋅++⋅⋅

=∆

⋅−

⋅⋅=

−=

+

⋅+

+⋅

=

−

⋅=

−⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅=

00

00

00

0

2

00

0

0

2

0

0

1)(2

3

3

3

2

3

1

1:

1

2

1

)(2

1

γ

γ

γ


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t’ C δU ΣMU ΣMO ΣMBNP ∆t

freie Auflagerung tmin 0 ≠ 0 0 0 ≠ 0 (0.2…0.3)t’

volle Einspannung tmax ≠ 0 0 0 0 0

Für den skizzierten homogenen Boden ohne Auflasten, Grundwasser usw. gelten die Formeln:

BCdarausEtBt

EBC

atzbalkenuntererErs

p

p

2

3

1

:

00

=

⋅=⋅

=+BundAdaraus

zHHAhE

BAE

enErsatzbalkoberer

Aa

a

+−⋅=⋅

+=

)(

:

00

ttzt

Km

tzH

Ct

tKKm

tBt

p

ahph

∆++=

⋅++⋅

=∆

⇒

−⋅⋅=⋅

00

00

0

3

00

1)(2

1)(

6

1

γ

γ

ppahphp

a

aha

aha

ahph

ah

etEKKm

te

hundEdarausKHe

KHe

KKm

KHz

⋅=⇒

−⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

−

⋅=

00

0'

0

2

11

65.0

1

γ

γ

γ

hf


Seite 15 von 28

3.4 mehrfach abgestützte Wand (S. 187/8)

Mehrfach abgestützte Wände sind an sich Durchlaufträger auf n Stützen und Auflagern. Das

System ist dadurch mehrfach statisch unbestimmt. Wenn aber mit vorgespannten Ankern

gearbeitet wird, so ändern diese ihre Kräfte zwischen den Bauzuständen nicht allzu stark, d.h.

wenn eine Ankerkraft aus BZ I bekannt ist, so wird diese Kraft im BZ II ungefähr dieselbe

Grössenordnung haben. Anders sieht es aus bei Spriessen; diese passen sich dem Erddruck an.

Weil die Erddruckverteilung aber sowieso sehr ungenau ist und die Modellbildung nach Blum

sehr hart ist, macht es Sinn, mit groben Näherungslösungen zu arbeiten. Damit werden

Schnittkräfte berechnet, welche erheblich von den tatsächlichen differieren können, aber eine

detailierte Modellbildung würde auch nur zu Scheingenauigkeiten führen und wäre sinnlos.

4. Sohldruckverteilung unter Fundamenten (Flachfundationen) (S. 191 – 202)

4.1 Allgemeiner Grundsatz (S. 191/2)

Das Fundament ist durch die äussere Last P und den Sohldruck q(x) belastet. Daraus ergibt sich

eine Biegelinie des Fundaments y(x) und eine Setzungsmulde )(xy . Der allgemeine Grundsatz

fordert )()( xyxy ≡ . Die Sohlpressung q(x) soll überall positiv, d.h. eine Druckspannung, sein.

2

2

10

1

12

1

heM

heM

heA

aS

aF

a

⋅≈

⋅≈

⋅≈


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4.2 Relative Steifigkeit K (S. 192/3)

4.3 Geeignetes Berechnungsverfahren

4.4 Spannungstrapezverfahren (S. 193/4)

Das Spannungstrapezverfahren wird für endlich steife Fundamente angewendet. Die

Sohldruckverteilung wird linear angenommen; sie wird aus Gleichgewichtsbedingungen be-

stimmt, ohne Verträglichkeitsbedingungen zu berücksichtigen. Dies entspricht dem Bettungs-

modulverfahren für EI → ∞. Der allgemeine Grundsatz ist nicht erfüllt. Das Spannungstrapez-

verfahren ist gefährlich und darf nur bei gleichmässiger Steifigkeitsverteilung angewendet

werden!

Solange die Resultierende R im Kern angreift, darf mit folgenden Formeln gerechnet werden:


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Falls R nicht innerhalb des Kerns angreift, entstehen Sohlpressungen q(x) < 0, was unsinnig ist.

Dann gelten folgende Beziehungen:

4.5 Bettungsmodulverfahren (Bettungszifferverfahren) (S. 194 – 198)

Das Bettungsmodulverfahren erfüllt den allgemeinen Grundsatz (falls q(x) > 0). Die Grösse

)(xp ist dabei die gesamte Belastung des Balkens, die sich zusammensetzt aus der vertikal

nach unten gerichteten äusseren Last –p(x) und dem vertikal nach oben gerichteten Sohldruck

q(x). Für den letzteren Wert kann man mit Hilfe des Bettungsmoduls ks schreiben:

)()(:)()(: xybkxqLinienlastxykxqtFlächenlas ss ⋅⋅=⋅=

Für die Berechnung wird weiter die sogenannt elastische Länge benötigt: 4/1

4

⋅

⋅=

bk

EIL

s

Die Differentialgleichung 4. Ordnung für das Biegemoment unter der Flachfundation ist der

Ausgangspunkt für das Bettungsmodulverfahren:

)(''4

44

4

xpL

M

dx

Md−=+

qmax durch Breite b

dividieren!!!


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4.5.1 konstante oder linear mit x variable äussere Linienlast (S. 194/5)

Falls p(x) eine konstante oder linear mit x variable Linienlast ist, wird p’’(x) = 0 und obige

Gleichung erhält die Lösung:

L

xeAeAeAeAM =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= −− ααααα αααα

sincossincos 4321

4.5.2 Anwendungsgrenzen (S. 195)

Belastung des unendlich langen

Balkens durch eine Einzellast P:

4.5.3 Der Bettungsmodul ks (S. 196 – 198)

Das Biegemoment ist nicht sehr sensitiv bezüglich des Bettungsmoduls, da dieses unter der

vierten Wurzel in die Berechnung eingeht. Der Bettungsmodul kann aus Platten- oder

Ödometerversuchen bestimmt werden:

bf

MkrsuchÖdometerve

Dmf

MksuchPlattenver E

sE

s⋅

≈⋅⋅

≈ ::


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4.6 Schlaffes und starres Fundament (S. 201/2)

Die Annahme eines schlaffen Fundaments ist nicht konservativ, weil sich ein Fundament nicht

völlig biegeweich verhalten kann und eine Durchbiegung stets Biegemomente bewirkt.

Beim starren Fundament treten rechnerisch unendlich grosse Spannungsspitzen auf, welche

aber durch plastische Deformationen abgebaut werden. Die Annahme eines starren Funda-

ments ist deshalb in der Regel zu konservativ. Falls gemäss §4.3 aber mit einem starren Funda-

ment gerechnet werden kann, gelten folgende Beziehungen:


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5. Tiefgründung (S. 203 – 215)

5.1 Lasttransport in Pfählen (S. 206/7)

Die vertikale Last P wird im allgemeinen durch Mantelreibung Qm und Spitzenwiderstand Qs

des Pfahls aufgenommen:

sm QQP +=


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Im skizzierten Beispiel wird anfänglich in allen vier

Bodenschichten Mantelreibung mobilisiert werden. Die

weichen Tonschichten 1 und 3 werden infolge der

Mantelreibung eine vertikal nach unten gerichtete

Reaktionskraft erfahren und aufgrund dieser Belastung

konsolidieren. Die auf der unteren Tonschicht

aufliegende Sandschicht wird diese Setzung verstärken,

und die Sandschicht selber wird wegen der sich

setzenden Tonschicht ebenfalls nach unten verschoben.

Sobald sich aber Boden relativ zum Pfahl nach unten ver-

aber der Boden relativ zum Pfahl nach unten verschiebt, kann die Mantelreibung nicht mehr

mobilisiert werden – die Mantelreibung in den Schichten 1 bis 3 wird dadurch abgebaut! Es gilt

also P = Qs + QM4.

5.2 Tragfähigkeit von Rammpfählen (S. 207 – 210)

5.2.1 Mantelreibung Qm eines Einzelpfahles

h ist hier die Höhe, auf der die Mantelreibung wirkt und muss nicht gleich der Pfahltiefe T sein!

K = K0 ist eine konservative Annahme. Es ist zu prüfen, ob die Mobilisationssetzung tatsächlich

eintreten kann (und wird) – dies ist vor allem bei stehenden Pfählen problematisch! z ist in der

Hälfte der Schicht mit der Mantelreibung zu wählen; bei mehreren Schichten mit Mantel-

reibung ist die Berechnung entsprechend aufzuteilen. Gemäss [LHAP] darf für raue Pfähle mit

δ ≈ φ’ gerechnet werden.

'sin10 ϕ−=K


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5.2.2 Spitzenwiderstand Qs eines Einzelpfahles

5.3 Tragfähigkeit von Bohrpfählen (S. 207 – 210)

5.3.1 Mantelreibung Qm eines Einzelpfahles

*τUhQm =


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5.3.2 Spitzenwiderstand Qs eines Einzelpfahles

5.3.3 Alternative Berechnungsverfahren (S. 207/8)

Bei der oben vorgestellten Bemessung von Bohrpfählen werden Versuchsergebnisse aus

Ramm- und Drucksondierungsversuchen benötigt. Diese sind unter Umständen aber nicht

vorhanden. Dann empfiehlt es sich, den Bohrpfahl gleich wie den Rammpfahl zu berechnen,

allerdings ist der Erddruckbeiwert K eher kleiner als bei Rammpfählen, weshalb K = Ka sinnvoll

erscheint.

5.4 Sicherheitsfaktoren (S. 208)

Sowohl Qm als auch Qs sind Bruchlasten; für zulässige Werte sind Sicherheiten F einzuführen.

Der Wert von F liegt normalerweise zwischen 1.3 und 1.5, häufig fordert man aber auch:

2

smd

QQP

+≤

5.5 Pfahlsetzungen (S. 210 – 213)

5.5.1 Methode nach Cassan (S. 210 – 213)

Die Methode nach Cassan ist im Buch beschrieben. Der Vorteil der Methode Cassan liegt darin,

dass vorgängig keine Tragfähigkeitsberechnung durchgeführt werden muss.

5.5.1 Methode U.S. Army Corps of Engineers

Die einfachste Art, die Setzung von Einzelpfählen zu berechnen, ist nach der Methode U.S. Army

Corps of Engineers. Für diese Methode muss vorgängig eine Tragfähigkeitsberechnung

durchgeführt werden, weil Mantelreibung und Spitzenwiderstand in die Berechnung eingehen.

Es handelt sich um einen semi-empirischen Ansatz. Die Gesamtsetzung des Pfahlkopfs setzt

sich aus den drei Komponenten Setzung des Pfahlkopfs durch Verkürzung, Setzung der Spitze

aufgrund Spitzendruck und Setzung der Spitze aufgrund Mantelreibung zusammen.


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Setzungen des Pfahlkopfs durch Verkürzung:

Im Sinne einer konservativen Berechnung empfiehlt es sich, αm = 0.67 anzunehmen. Für T ist

hier die gesamte Pfahltiefe einzusetzen.

Setzung der Spitze aufgrund Spitzendruck:


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Setzung der Spitze aufgrund Mantelreibung:

T entspricht hier der Schichtmächtigkeit, in der Mantelreibung mobilisiert wird. Diese kann

wesentlich kleiner sein als die Pfahltiefe!

5.6 Negative Mantelreibung (S. 208 – 210)

Wird der Boden neben einem bestehenden Pfahl wesentlich zusammengedrückt (z.B. durch

eine Zusatzbelastung q oder durch eine Grundwasserspiegelabsenkung), so stellt sich eine

Relativbewegung des Bodens gegenüber dem Pfahl nach unten ein. Dadurch werden

Reibungskräfte am Pfahl erzeugt, welche nach unten gerichtet sind und den Pfahl zusätzlich

belasten. Dieses Phänomen bezeichnet man als negative Mantelreibung. Sie kann betrags-

mässig nie grösser sein als die maximale mobilisierbare Mantelreibung!


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5.7 horizontale Belastung von Pfählen (S. 213 – 215)

Horizontale Belastungen können durch Schrägpfähle (insbes. bei Rammpfählen) oder durch die

seitliche Stützung des Pfahles durch das Erdreich abgebaut werden. Man unterscheidet zwei

Randbedingungen: (a) der Pfahlkopf ist verschieblich und frei drehbar und (b) der Pfahlkopf ist

voll eingespannt und verschieblich. In der folgenden Grafik stellt y die Auslenkung (Deforma-

tion) des Pfahles dar (resp. kshy entspricht dem Stützdruck des Bodens), M steht für die

Momentenverteilung. Die skizzierte Lösung gilt nur für T > 3L, wobei L die elastische Länge des

Pfahles darstellt. Ksh steht für den horizontalen Bettungsmodul, einer Ableitung aus dem

horizontalen Verformungsmodul Esh und dem Pfahldurchmesser D.

D

Ek sh

sh ⋅≈ 4.1

4/1

4

⋅

⋅=

Dk

EIL

sh


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6. Anhang

6.1 Zusammenstellung typischer Globale Sicherheitsfaktoren

6.2 Porenwasserdruck u und effektive vertikale Spannungen σ’v


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6.3 Tragfähigkeitsproblem mit exzentrischem Lastangriff auf das Fundament

6.4 Voreichenregelung für Gelände- und Wandneigungswinkel

1. Stabilitätsprobleme (S. 123 – 172) 1 - n.ethz.chn.ethz.ch/~dehrbar/download/Zusammenfassung...

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