1

Stochastik I ErwartungswertEine Aussage über die Zukunft

2

Beispiel 1 - Gewinnspiel Würfelspiel X: Gewinn in € Gewinnplan:

Augenzahl 1 2 3 4 5 6

Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €

3

10-malige Durchführung

Augenzahl 1 2 3 4 5 6

Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €

Absolute Häufigkeit 2 3 2 1 1 1

Relative Häufigkeit 10

2103

102

101

101

101

4

Durchschnittlicher Gewinn pro Spiel Arithmetisches Mittel

(durchschnittlicher Gewinn pro Spiel):

101€3

101€1

101€)2(

102€0

103€)2(

102€1x

€20,0101€3

103€1

102€0

104€)2( x

Gewinn -2 €

0 € 1 € 3 €

Relative Häufigkei

t104

103

102

101

Verkürzt:

€20,0

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Vergangenheit -> Zukunft Arithmetisches Mittel

macht eine Aussage über die Vergangenheit.

Wie lässt sich eine Aussage über die Zukunft machen?

ZU ERWARTENDER (DURCHSCHNITTLICHER) GEWINN PRO

SPIEL

6

Erwartungswert

Xi in € -2 0 1 3P(X=xi

) 62

62

61

61

E(X) = 613

621

610

622

Bei sehr vielen Spielen kann man mit einem durchschnittlichen Gewinn von 0,17€ pro Spiel rechnen.

Augenzahl 1 2 3 4 5 6Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €

17,061

7

Erwartungswert

E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn)

Statt E(X) schreibt man auch μ.

Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist.

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Stochastik IIBinomialverteilte Zufalls-variablenBernoulli-Experimente

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Bernoulli-Experiment Was ist das?

Ein Bernoulli-Experiment ist– ein Zufallsexperiment mit nur zwei

ErgebnissenODER

– ein Experiment, das als Experiment mit nur zwei Ergebnissen interpretierbar ist.

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Bernoulli-Experiment Wie sehen die

Wahrscheinlichkeiten aus?

Wahrscheinlichkeit für Treffer:p

Wahrscheinlichkeit für Niete:1-p

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Bernoulli-Experiment Beispiel:

– Werfen eines Würfels:Ergebnisse:„6“ (Treffer) oder „Keine 6“ (Niete)

– Wahrscheinlichkeiten:P(„6“)=1/6 P(„Keine 6“)=1-(1/6)=5/6

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Bernoulli-Kette Was ist das?

– Besteht ein Zufallsexperiment aus einem mehrfach durchgeführten Bernoulli-Experiment, so nennt man es Bernoulli-Kette.

– Wird es n-mal durchgeführt, heißt es Bernoulli-Kette der Länge n.

– Darstellung als Baumdiagramm möglich

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Bernoulli-Ketten

Beispiel:Werbung: Figur in jedem siebten Ü-Ei

Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Eiern genau eine Figur zu erhalten?

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Bernoulli-Ketten

76

71

76

76

76

76

76

767

171

71

71

71

71

Zur Wahrscheinlichkeit für genau eine Figur gehören die folgenden drei PfadeP(FNN)=P(NFN)=P(NNF)=

P(„1F“)=

34336

76

76

71

34336

34336

34336

343363

343108

Anzahl der Pfade

34336

76

71

76

34336

71

76

76

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Bernoulli-Ketten Problem

– Für größere n (z.B. n=10) sehr aufwendig und unübersichtlich!

Lösung– Einführung einer Zufallsvariable– Benutzen der Binomialkoeffizienten

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Erweitertes Beispiel Kauf von 10 Ü-Eiern Wahrscheinlichkeit für genau 4 Figuren

n=10X: Anzahl der Treffer bzw. der Figuren, X=4p= , 1-p= 7

6711

71

64

76

71

410

035,0P(X=4)=

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Bernoulli-Ketten Zufallsvariable

– X: Anzahl der Treffer in n Versuchen

Binomialkoeffizienten– Anzahl der Möglichkeiten k Treffer in n

Versuchen anzuordnen

Wahrscheinlichkeiten– Trefferwahrscheinlichkeit p– Nietenwahrscheinlichkeit 1-p

kn

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Formel von Bernoulli

n Versuchswiederholungen p Trefferwahrscheinlichkeit 1-p Nietenwahrscheinlichkeit P(X=k) Wahrscheinlichkeit für k

Treffer

kn kp knp 1P(X=k)

=

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Beispiel: Tierarzt Ein Tierarzt behandelt 20 kranke

Tiere mit einem Medikament, das in 80% zur Heilung führen soll. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 19 Tiere geheilt werden?

P(X≥19)= 020119 2,08,02020

2,08,01920

069,0

20

Erwartungswert Erwartungswert für die Anzahl der

geheilten Tiere? Allgemeine Formel:

E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn) Hier gilt: E(X)=

Einfachere Berechnung:E(X) = 20 - 80% = 16

020191200 2,08,02020

20...2,08,0120

12,08,0020

0

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Erwartungswert bei einer Bernoulli-Kette

E(X) = n - p

- n Länge der Bernoulli-Kette- p Trefferwahrscheinlichkeit- E(X)Erwartungswert für die

Zufallsvariable X